11. Übungsblatt zu Physik II - Delta

11. Übungsblatt zu Physik II
Prof. Dr. Thomas Weis / Prof. Dr. Heinrich Päs
Ausgabe: Fr, 18.06.15
SS 2015
Abgabe im Physik Foyer
Abgabe bis Fr, 26.06.15, 10 Uhr
1 Punkt
Aufgabe 1: EM-Welle
Eine in x−Richtung laufende elektromagnetische Welle im Vakuum werde durch das Magnetfeld

0
~ (~
B
r , t ) = a(x − c t )
b(x − c t )

beschrieben, wobei a(x) und b(x) beliebige Funktionen sind.
~ (~
a) Berechnen Sie aus den Maxwellgleichungen das zugehörige elektrische Feld E
r , t ).
b) Berechnen Sie die Energiedichte w(~r , t ).
~ ×B
~ und den gegebenen Feldern die Kontinuitätsgleic) Zeigen Sie, dass mit dem Poynting-Vektor ~
S = µ10 E
chung
∂w
∂t
+ ∇~
S = 0 erfüllt wird.
Aufgabe 2: fliegender Drahtbügel
2 Punkte
Ein U-förmiger Drahtbügel mit der Masse m taucht wie in der Abbildung gezeigt in zwei mit Quecksilber
~ . Wie hoch h max fliegt der Bügel,
gefüllte Näpfe ein. Senkrecht zum Drahtbügel herrscht ein Magnetfeld B
wenn über die Quecksilberkontakte plötzlich ein Strom I eingeschaltet wird?
(Hinweis: Solange der Bügel in Quecksilber eintaucht, also auf der Strecke b, wirkt eine konstante Kraft auf
den Draht im Magnetfeld.)
Zahlenwerte: L = 3 cm, b = 6 cm, m = 5 g, B = 1 T, I = 100 A
3 Punkte
Aufgabe 3: Ladung im elektromagnetischen Feld
Auf eine zum Zeitpunkt t = 0 am Ort ~
r = 0 ruhende Ladung q mit der Masse m falle eine elektromagnetische Welle, die durch ein Vektorpotential
~
A(~
r , t ) = [0, A 0 · sin(kx − ωt ), 0]T
(1)
beschrieben werde, wobei ω = ck. Berechnen Sie die resultierende Geschwindigkeit der Ladung in Abhängigkeit der Feldstärke A.
Auf die Ladung wirke die Kraft
¡
¢
~ (~
~ (~
m~
r¨ = q E
r , t ) +~
r˙(t ) × B
r ,t)
,
(2)
wobei hier die Feldstärken am Aufenthaltsort ~
r (t ) des Teilchens eingehen.
a) Berechnen Sie das elektrische und das magnetische Feld aus dem Vektorpotential und zeigen Sie, dass
keine Kraft in z−Richtung auf die Ladung wirkt.
b) Bestimmen Sie zunächst die y−Komponente der Geschwindigkeit. Finden Sie dazu eine Differentialgleichung der Art ÿ = F (x(t ), ẋ(t ), t ). Integrieren Sie diese Gleichung einmal, wobei Sie sowohl die Anfangsbedingungen ~
r (t = 0) = 0 und ~
r˙(t = 0) = 0 beachten, als auch daran denken, dass ddt x(t ) = ẋ ist.
Sie sollten u(t ) = kx(t ) − ωt substituieren.
Zeigen Sie, dass ẏ ∝ A ist.
c) Bestätigen Sie, dass
1
d 2 ω 2
·
A = A 0 sin(kx − ωt )cos(kx − w t )
2(x − c) d t
c
(3)
ist. Benutzen Sie dies und die Anfangsbedingungen, um zu zeigen, dass gilt
s
ẋ = c −
c2 −
³ q ´2
A2
mc
.
(4)
d) Für ein Elektron (m = me und q = e) kann man die Wurzel entwickeln. Zeigen Sie, dass ẋ ∝ A 2 . Welche
Bewegung führt das Elektron aus? Argumentieren Sie qualitativ anhand der Geschwindigkeitskomponenten ẋ und ẏ.
Hinweis: Denken Sie für die Bewegung der Ladung immer an den Unterschied zwischen der partiellen und
∂
der totalen Ableitung nach der Zeit: ∂t
(kx − ωt ) = −ω aber ddt (kx − ωt ) = k ẋ − ω.
4 Punkte
Aufgabe 4: Anschauung
Nutzen Sie einen Funktionierenplotter ihrer Wahl (z.B. gnuplot), um sich die folgenden Größen zu veranschaulichen:
a) Die Lösung der eindimensionalen, homogenen Wellengleichung
1 ∂2
∂2
φ(x, t ) − ∂x
2
c 2 ∂t 2
µ
¶
(x − c t )2
φ(x, t ) = exp −
cos (4(x − c t ))
8
=0
(5)
Zeigen Sie zunächst, dass es sich tatsächlich um eine Lösung der Wellengleichung handelt. Plotten Sie
dann die Lösung zu den Zeiten t = 0, t = 4 und t = 8. Was fällt Ihnen auf?
Hinweise: Setzen Sie zum Plotten der Einfachheit halber c = 1. Beachten Sie, dass Sie ggf. die Auflösung
des Plots erhöhen müssen, um einen glatten Graphen zu erhalten.
b) Plotten Sie außerdem die Kreiswelle:
ψ(~
r ,t) =
1
cos(r − c t )
r
(6)
als Funktion von x und y. Hinweis: Setzen Sie auch hier c = 1 zum Plotten. Sollten Sie noch keine
Funktionenplotter kennen, gibt es zum Beispiel unter der URL http://www.dpg-physik.de/dpg/
gliederung/junge/rg/hannover/data/gnuplotEinfuehrung.pdf eine Einführung in das Programm
gnuplot.