Mathematische Statistik

SS 2006
Mathematische Statistik
H. Walk, A. Meister
Blatt 7
Aufgabe 24. Sei {Xn }n∈N eine unabhängige Folge reeller Zufallsvariablen, die jeweils exp(ϑ)verteilt seien, d.h. eine Dichte f : R → R+ mit
ϑ exp(−ϑx) für x ≥ 0
f (x) =
0
sonst
besitzen. Der Parameter ϑ ∈ (0, ∞) sei unbekannt. Aufgrund einer Beobachtung (x1 , ..., xn )
von (X1 , ..., Xn ) (n ∈ N) soll ϑ geschätzt werden.
a) Bei der sogenannten Momentenmethode (K. Pearson, 1857-1936) berechnet man zur
Schätzung von k Parametern einer Verteilung PX die ersten k Momente EX1j (j = 1, ..., k)
in Abhängigkeit der zu schätzenden
Parameter. Diese Momente setzt man gleich ihren
P
empirischen Entsprechungen n1 ni=1 Xij und löst die Gleichungen nach den zu schätzenden
Parametern auf (nun in Abhängigkeit der Daten X1 , ..., Xn ), was die Schätzfunktionen
definiert.
Berechnen Sie auf diese Weise einen Schätzer für ϑ.
b) Berechnen Sie mit Hilfe des Maximum-Likelihood-Prinzips (R. Fisher, 1890-1962) einen
weiteren Schätzer für ϑ.
c) Berechnen Sie mit Hilfe des Bayes-Prinzips (T. Bayes, 1702-1761) einen weiteren Schätzer
für ϑ. Gehen Sie von einer exp(λ)-Verteilung (λ ∈ (0, ∞) fest) als a-priori Verteilung für
ϑ aus und legen Sie eine quadratische Verlustfunktion zugrunde.
d) Untersuchen Sie für n → ∞ die Schätzfolgen aus a)-c) auf Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit (Konsistenz) und fast sichere Konvergenz (starke Konsistenz).
Formelhinweis:
Z∞
ϑn exp(−aϑ)dϑ =
n!
an+1
0
für a > 0, n ∈ N0 .
Aufgabe 25. X1 , ..., Xn seien stochastisch unabhängige Zufallsvariablen. Zu den Parametern
a, b ∈ R, σ 2 > 0 wird ein Modell betrachtet, in dem Xj N (a + bj, σ 2 )-verteilt ist (j = 1, ..., n).
σ 2 sei dem Statistiker bekannt, zu schätzen sind a und b.
Man ermittle eine (2-dimensionale) suffiziente Statistik für (a, b) ∈ R × R. Berechnen Sie die
Maximum-Likelihood-Schätzung für (a, b). Ist sie konsistent?
Aufgabe 26. Die Zufallsvariablen X1 , . . . , Xn seien unabhängig und jeweils b(1, θ)-verteilt. Aufgrund einer Realisierung von (X1 , . . . , Xn ) soll beurteilt werden, ob θ eine rationale Zahl ist.
Diese Entscheidungssituation kann als Schätzproblem aufgefasst werden, bei dem γ(θ) = IQ (θ),
die Indikatorfunktion von Q an der Stelle θ, geschätzt werden soll. Zeigen Sie, dass kein Schätzer
δ für γ(θ) konsistent sein kann.
Hinweis: Was bedeutet die Konsistenz für die Funktion ϕn (θ) := Pθ (δ > 1/2)? Es darf ohne
Beweis folgendes Korollar des Satzes von Baire verwendet werden:
Sei A ⊂ R kompakt und eine Folge stetiger Funktionen ϕn : A → R gegeben mit ϕ(x) :=
limn→∞ ϕn (x) ∈ R für jedes x ∈ A. Dann besitzt die Funktion ϕ mindestens eine Stetigkeitsstelle.
Aufgabe 27. Gegeben sei die Schar der Dichten
fθ (x) =
1 −|x−θ|
e
,
2
x ∈ R,
mit dem Parameter θ ∈ R. Beobachtet wird jeweils eine Realisierung der unabhängigen Zufallsvariablen X1 , . . . , Xn , deren Verteilung die Dichte fθ besitzt. Zu schätzen ist der Parameter
θ.
a) Überprüfen Sie die Voraussetzungen des Satzes von Cramér-Rao, und berechnen Sie die
Fisher-Information in dem gegebenen Schätzproblem.
b) Zeigen Sie, dass für jeden erwartungstreuen Schätzer δ für θ die Varianz für jedes θ ∈ R
nicht schneller als mit der Ordnung 1/n gegen 0 konvergiert.
c) Konstruieren Sie einen erwartungstreuen Schätzer für θ, dessen Varianz die optimale
Konvergenzordnung 1/n für jedes θ ∈ R erreicht, und untersuchen Sie ihn auf starke
Konsistenz.
2