Inhaltsverzeichnis

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Inhaltsverzeichnis
1 Dielektrika
1.1 Experiment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Kraft auf Grenzfläche DE-Vakuum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Stetigkeitsbedingung an Grenzflächen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
2
4
4
2 Strom
2.1 Ladungserhaltung
6
2.2 Elektrischer Widerstand und Ohmsches Gesetz
6
2.3 Elektrische Energie und Leistung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Gleichstromschaltkreise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
3 Magnetismus
3.1 Magnetische Feldstärke B, Lorentzkraft . . . . . . . .
3.1.1 Geladenes Teilchen im B-Feld . . . . . . . . . .
3.1.2 Metallstab, der im B-Feld gezogen wird
9
3.1.3 Halleffekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.4 Kraft auf stromdurchflossenen Leiter . . . . .
3.1.5 Leiterschleife und magnetisches Dipolmoment
3.2 Ampersches Durchflutungsgesetz . . . . . . . . . . .
3.2.1 Magnetfeld einer Spule . . . . . . . . . . . . .
8
8
9
1
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7
7
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10
10
11
12
1 Dielektrika
1 Dielektrika
Kondensator:
C=
Q
U
(1)
Wird nun ein dielektrisches Material (Dielektrizitätskonstante er ) zwischen die Platten gebracht,
steigt die Kapazität auf
C̃ = er C
(2)
1.1 Experiment
Fall 1:
Kondensator (ohne Dielektrikum (DE)) wird auf Ladung Q geladen und anschließend von der
Q
Spannungsquelle getrennt. Es gilt: C = U
Q̃
Nun wird ein DE in den Kondensator gebracht. Weiterhin gilt: C̃ = Ũ
(0), jedoch mit den neuen
Größen C̃, Q̃ und Ũ. Von oben wissen wir: C̃ = er C (2).
Da der Kondensator isoliert ist (von der Spannungsquelle getrennt), gilt: Q̃ = Q (a).
Setzen wir (2) und (a) in (0) ein, folgt:
er C =
Q
Q
⇒ Ũ =
er C
Ũ
Q
Vergleichen wir das mit U = Q
C (was wir aus C = U (ohne DE) erhalten), folgt: Ũ =
Spannung wird durch Einbringen des DE um den Faktor er reduziert.
U
er ,
d. h. die
Fall 2:
Spannungsquelle (U = const.) bleibt während des Experimentes am Kondensator angeschlossen.
Q
Wieder gilt: C = U
.
Q̃
Nach Einbringen eines DE (Dielektrizitätskonstante er ) gilt: C̃ = Ũ
(0); C̃ = er C (2).
Da die Spannungsquelle angeschlossen bleibt, ist U konstant ⇒ Ũ = U (b)
Q̃
Setzt man (2) und (b) in (0) ein, folgt: er C = U
⇒ Q̃ = er CU
Vergleich mit Q=CU (ohne DE) liefert:Q̃ = er Q
Um zu verstehen, was im DE passiert, betrachten wir Fall 1.
Durch Einbringen des DE ist die Spannung gesunken, und folglich wurde auch das Elektrische
Feld E = Ud kleiner (d: Plattenabstand, ist konstant). Die Verringerung des E-Feldes lässt sich durch
eine Ladungsverschiebung im Dielektrikum erklären.
Addiert man das äußere E-Feld und das Gegenfeld, erhält man das effektiv vorhandene Feld.
Dieses ist kleiner als das äußere Feld: Ẽ = eEr . Im Falle eines Leiters sind die Elektronen "frei
beweglich"’ und werden durch das äußere E-Feld so weit verschoben, dass das Gegenfeld betragsmäßig so groß wie das äußere Feld ist. Das effektiv vorhandene Feld im Leiter ist Null. Durch die
Ladungsverschiebung werden lokal Dipole ausgebildet. Das Dipolmoment pro Volumen wird
Polarisation ~
P genannt.
2
1 Dielektrika
Abbildung 1: Feld im DE
X
~P = 1
~pi
V
(3)
i
mit:
~pi : lokales Dipolmoment am Ort i.
~p: lokales Dipolmoment unter der Annahme alle ~pi sind gleich und zwar ~pi = ~p
n: Anzahl der Dipole pro Volumen. "’Dipoldichte"’
~Ẽ = ~E − ~P ; Ẽ: E-Feld im DE; E: äußeres Feld.
e0
Dielektrische Verschiebung:
~ = e0~Ẽ + ~P = e0~Ẽ + e0 χ~Ẽ = e0 er ~Ẽ = e0~E
D
(4)
Soll die Kapazität eines Kondensators mit verschiedenen Dielektrika berechnet werden, so zerlegt
man ihn in einzelne Kondensatoren, deren Kapazitäten nach den zugehörigen Additionsregeln
addiert werden (Parallelschaltung: Cges = C1 + C2 , Reihenschaltung: Cges = CC11+·CC22 )
Abbildung 2: Kondensatoren
linker Kondensator:
3
1 Dielektrika
Zerlegen in Kondensator 2 ohne DE, Fläche A2 und Kondensator 1 mit DE, Fläche A1
Cges = C2 + C1 ( Parallelschaltung)
(5)
rechter Kondensator:
Zerlegen in Kondensator 2 ohne DE, Plattenabstand d2 und Kondensator 1 mit DE, Plattenabstand
d1
Cges =
C1 C2
( Reihenschaltung)
C1 + C2
(6)
1.2 Kraft auf Grenzfläche DE-Vakuum
Abbildung 3: Kraft auf DE
Kondensator isoliert ⇒ Q = const.
2
Für die im Feld gespeicherte Energien gilt: Wel = 12 QC ; W̃el =
⇒ Kraft, die DE in den Kondensator zu ziehen versucht.
C = e0 e r
1 Q2
2 Cer ;
er > 1 ⇒ W̃el < Wel
A hr
A h −r
e0 A
+ e0 h =
(er r + (h − r ))
d
d
hd
Q2 hd
1
Wel =
2 e0 A ( e r r + h − r )
∂Wel
1 Q2 hd(er − 1)
F=−
=
∂r
2 e0 A ( e r r + h − r ) 2
1.3 Stetigkeitsbedingung an Grenzflächen
An der Grenzfläche zwischen Medium 1 und Medium 2 gilt:
Ek1 = Ek2
(7)
1
2
D⊥
= D⊥
(8)
1
2
er1 E⊥
= er2 E⊥
(9)
Dk1
er1
=
Dk2
er2
(10)
4
2 Strom
Aus der Stetigkeit der Tangentialkomponente des E-Feldes folgt, dass im Falle eines Kondensators, wie in Abbildung 2 links, das E-Feld in beiden Teilen des Kondensators gleich ist. Für D
D1
D2
gilt: e1k = e2k . D.h. D ist in dem Bereich des Kondensators größer, indem sich das Material mit
r
r
der größeren Dielektrizitätskonstante befindet. D entspricht der Flächenladungsdichte auf den
Kondensatorplatten im Bereich des jeweiligen Dielektrikums.
Die Differenz D1 − E1 e0 ist die auf der Oberfläche des Dielektrikums induzierte Flächenladungsdichte.
2 Strom
Bewegte Ladung wird als Strom bezeichnet.
I=
dq
= q̇
dt
(11)
C
[ I ] = 1Ampere = 1A = 1 Coulomb
Sekunde = 1 S
Stromrichtung
Mit Stromrichtung ist meist die technische Stromrichtung gemeint. Sie beschreibt die Richtung
(gedachter) positiver Ladungsträger.
Außerhalb von Spannungsquellen: vom Plus- zum Minuspol
Innerhalb von Spannungsquellen: vom Minus- zum Pluspol
Stromdichte
~
~j = I
A
sie beschreibt den Strom pro Fläche senkrecht zur Flussrichtung.
(12)
Abbildung 4: Stromdichte
Q = ρ · Ax; I = Q̇ = ρ · Av
⇒j=
I
= ρ·v = h·q·v
A
(13)
5
2 Strom
mit n: Ladungsträgerdichte, q: Ladung eines Ladungsträgers
j = ρ · v = nqv
(14)
2.1 Ladungserhaltung
Eine Oberfläche schließe die Ladung Q ein.
Fließt ein Teil der eingeschlossenen Ladung als Strom nach außen ab, verringert sich folglich die
Ladung im Inneren:
Z
Z
~jd A
~jd A
~ ⇒−∂
~
ρdV =
∂t V
∂V
∂V
Z
Z
∂
Satz von Gauß
div~jdV
⇒
−
ρdV =
∂t V
V
∂
⇒ − ρ = div~j Kontinuitätsgleichung
∂t
∂Q
−
=
∂t
I
2.2 Elektrischer Widerstand und Ohmsches Gesetz
elektrischer Widerstand
R=
U
I
(15)
[ R] = 1 VA = 1Ω = 1Ohm
Der Widerstand eines Drahtes gibt an, wie hoch die Potentialdifferenz (Spannung) zwischen
den beiden Drahtenden gewählt werden muss, damit ein bestimmter Strom durch den Draht fließt.
makroskopisches Ohmsches Gesetz:
R=
U
I
(16)
mikroskopisches Ohmsches Gesetz:
~j = σel ~E
mit σel =
nq2 τ
m ; σel
(17)
: elektrische Leitfähigkeit[σel ] =
1
Ωm
Überlegung zu bzw. Herleitung von σel :
allgemein: Die Geschwindigkeit der Elektronen in einem Leiter aufgrund der thermischen Bewegung ist viel größer als die durch ein elektrisches Feld hervorgerufene Driftgeschwindigkeit.
Durch die statistische Richtungsverteilung der thermischen Bewegung ist die mittlere "‘thermische
Geschwindigkeit"’ Null. Jedoch werden die aufgrund des el. Feldes "‘fließenden"’ Elektronen
durch Stöße v. a. mit "‘thermischen Elektronen"’ gestört.
τ 0 sei die mittlere Zeit zwischen zwei Stößen eines Elektrons. Die mittlere Geschwindigkeit eines
e− , v Dri f t = 21 aτ´(Faktor 12 , da wir die mittlere und nicht die Endgeschwindigkeit brauchen).
qE
Hierbei sind: a = Fmel = m ; τ = 21 τ´
q~
⇒ ~v Dri f t = m Eτ;
einsetzen in ~j = nq~v Dri f t liefert:
2
~j = nq τ ~E
m
6
2 Strom
Der Kehrwert von σel ist der spezifische Widerstand ρel :
σel =
1
ρel
(18)
σel und ρel sind Materialkonstanten und daher unabhängig von der Geometrie des Leiters.
Der Zusammenhang zwischen ρel und R ist
d
A
d: Länge des Leiters, A: Querschnittsfläche des Leiters
R = ρel
(19)
Vorsicht: spezifischer Widerstand ρel hat nichts mit Ladungsdichte ρ zu tun, nur der Buchstabe ist
gleich. Das Gleiche gilt für die elektrische Leitfähigkeitσel und die Flächenladungsdichte σ.
2.3 Elektrische Energie und Leistung
Energie Wel = Q · U [Wel ] = C · V = J
Leistung Pel = U · I [ Pel ] = V · A = W
Beispiel:
Leistung eines Motors: (z. B. Anlasser im Auto)
U = 12V, I = 120A ⇒ P = U · I = 1, 44kW
Verlustleistung am Widerstand:
2
P = U · I = I 2 R = UR
2.4 Gleichstromschaltkreise
Kirchhoff’sche Gesetze:
1)Knotenregel: Die Summe aus in einen Schaltungsknoten hinein und aus ihm heraus fließenden
Ströme
ist Null.
P
Knoten Ii = 0
2) Maschenregel: Die Summe der Spannungen entlang einer geschlossenen Schleife aus Leiterstücken
(Masche) ist Null.
P
U
P Maschen i = 0
Ui = U0 + Spannnung, die über R1 abfällt = 0
⇒ Spannung, die über R1 abfällt, muss negativ sein.
Merkregel:
Wird in einem Stromkreis mit Strom I ein Widerstand R in Stromrichtung durchlaufen, so ergibt
sich eine Potenzialänderung −IR, ansonsten IR. Beim Durchlaufen einer idealen Spannungsquelle
vom Minus- zum Pluspol ergibt sich eine Potenzialänderung von U0 , ansonsten eine von −U0 .
Parallel- und Reihenschaltung von Widerständen und Kondensatoren
7
3 Magnetismus
Widerstände
P
Reihe: R ges = i Ri
P
Parallel: R1ges = i R1i
Kondensatoren
P
Parallel: Cges = i Ci
P
Reihe: C1ges = i C1i
Aufladen eines Kondensators
t
Q(t) = CU0 [1 − e− RC ]
(20)
Entladen eines Kondensators
t
Q(t) = Q0 e− RC
(21)
3 Magnetismus
So wie elektrische Felder von Ladungen hervorgerufen werden, entstehen Magnetfelder aufgrund
von Strömen.
Die Richtung des Magnetfeldes um einen stromdurchflossenen Draht erhält man, indem man
mit der rechten Hand eine Faust bildet, wobei der Daumen abgespreizt ist. Zeigt der Daumen in
technische Stromrichtung, zeigen die Finger entlang der magnetischen Feldlinien, entlang des
Magnetfeldes. (Rechte-Daumen-Regel).
⇒ Feldlinien um stromdurchflossenen Draht bilden konzentrische Kreise.
Abbildung 5: Rechte-Daumen-Regel
3.1 Magnetische Feldstärke B, Lorentzkraft
Vs
[ B] = 1Tesla = 1T = 1 m
2
Magnetische Felder üben Kräfte auf bewegte Ladungen aus, nicht jedoch auf ruhende.
Diese Kraft heißt Lorentz-Kraft ~FL .
~FL = q~v × ~B
(22)
Beträge: F = qvBsinφ; φ ist der Winkel zwischen ~v und ~B
⇒ FL = 0 wenn sich Ladung parallel zu B-Feld bewegt.
FL ist maximal, wenn sich Ladung senkrecht zu B-Feld bewegt.
FL steht stets senkrecht auf v und B.
8
3 Magnetismus
⇒ FL ändert die Geschwindigkeit und damit die kinetische Energie eines geladenen Teilchens
nicht.
3-Finger Regel der rechten Hand
• Daume:
zeigt in Bewegungsrichtung eines (gedachten) positiv geladenen Teilchens z.B: Strom: Daume
in technische Strom-Richtung von Plus nach Minus
• Zeigefinger:
Richtung des B-Felds
• Mittelfinger:
Richtung der Lorentz-Kraft
3.1.1 Geladenes Teilchen im B-Feld
Rechte-Hand-Regel
Tritt das Teilchen senkrecht zu B in das Feld ein, so wird es durch FL auf eine Kreisbahn gezwungen.
Lorentzkraft = Zentripetalkraft:
v2
r
= qvB
mv
⇒r =
; r : Radius
qB
2πr
2πm
T=
=
; T : Periodendauer
v
qB
2π
qB
ω =
=
; ω : Zyklotronfrequenz
T
m
m
Sind q und B bekannt, kann durch Messen des Radius der Impuls mv der Teilchen bestimmt
werden. Ist zusätzlich noch v bekannt, kann direkt die Masse bestimmt werden.
3.1.2 Metallstab, der im B-Feld gezogen wird
Annahme: Richtung des Stabes senkrecht auf B-Feld;
Abbildung 6: Stab
9
3 Magnetismus
∠~v, ~B : φ
Lorentzkraft auf Elektronen im Stab verschiebt Elektronen. Es bildet sich ein elektrisches Feld aus,
dessen Coulomb-Kraft der Lorentzkraft entgegenwirkt.
| FL | = | Fel | ⇒ e~v × ~B = e~E
⇒ U = L ~v × ~B = LvBsinφ
U: Spannung zwischen Stabenden.
3.1.3 Halleffekt
Abbildung 7: Hall-Sonde
Das B-Feld geht in die Zeichenebene hinein: ⊗~B. (Würde es aus der Zeichenebene herauskommen:
.)
Das Magnetfeld übt Lorentz-Kraft auf die durch das Metallplättchen fließenden Elektronen aus.
⇒ Ablenkung der Elektronen.
Dadurch bildet sich ein elektrisches Feld aus. Die von ihm verursachte Kraft wirkt der Lorentzkraft
entgegen.
Im Gleichgewicht:
j
I
eE = ev Dri f t B = eB ne = B An
; n: Ladungsträgerdichte
I
Bd
Ane
Löst man nach B auf, so kann die Feldstärke bestimmt werden ⇒ Hall-Sonde
⇒ U = E·d =
(23)
3.1.4 Kraft auf stromdurchflossenen Leiter
FL = q~v D × ~B, mit q = I · t = I vLD
FL = I~L × ~B
3.1.5 Leiterschleife und magnetisches Dipolmoment
Auf die "‘b Seiten"’ wirkt keine Kraft, da sie parallel zu ~B verlaufen. Wenn die Schleife so um
die Drehachse gedreht wird, dass b nicht mehr parallel zu B verläuft, ist die vom Strom in b
10
3 Magnetismus
Abbildung 8: Drehmoment
verursachte Kraft uninteressant, da sie keinen Einfluss auf das Drehmoment hat.
Kräfte auf a:
| F1 | = | F2 | = I · a · B
Kraftarm: 2b sinθ, θ: Winkel zw. Flächennormale und ~B
~ × ~B
⇒ Drehmoment M = 2 · 2b sinθ · I · a · B = I A
Magnetisches Dipolmoment:
~ als magnetisches Dipolmoment bezeichnet.
analog zum elektrischen Dipol wird ~µ = I · A
~ hat Richtung der Flächennormalen: A
~ = A · ~n
A:
~ × ~B = ~µ × ~B.
M = IA
(24)
Potentielle Energie:
W = −~µ · ~B
(25)
W ist minimal, wenn ~µ und ~B parallel sind.
Denn: ~µ zeigt vom Süd- zum Nordpol, ~B vom Nord- zum Südpol.
Minimaler Energiezustand, da der Südpol des Dipols vom "‘Nordpol des ~B-Feldes"’ angezogen
wird.
3.2 Ampersches Durchflutungsgesetz
I
~Bd~s = µ0 Iein
(26)
Anwendung bei rotationssymmetrischen Geometrien sinnvoll.
Bsp.: Gerader Leiter mit kreisförmigen Querschnitt, der von einer konstanten Stromdichte j durchflossen wird. Der Gesamtstrom sei I0 .
Für r > R: H
Iein = I0 ⇒ ~Bd~s = 2πrB = µ0 I0
11
3 Magnetismus
Abbildung 9: Leiter
⇒ ~B(r ) =
µ0 I0
2πr êφ
2
2
πr
r
Für r < R: Iein = I0 πR
2 = I0 R2 ⇒
µ
I
r
⇒ ~B(r ) = 0 0 2 ê phi
H
~Bd~s = 2πrB = µ0 I0 r22
R
2πR
3.2.1 Magnetfeld einer Spule
Randeffekte werden vernachlässigt, Spule sei sehr lang.
Abbildung 10: Spule
H
~Bd~s =
Rc
Ra
Rb
Rc
Rd
Ra
~Bd~s + ~Bd~s + ~Bd~s + ~Bd~s.
a
b
Rd
=
b
c
d
≈ 0, da Weglänge bc = ad vernachlässigbar gegenüber Spulenlänge L.
d
= 0, da das B-Feld außerhalb der Spule annähernd Null ist.
c
⇒
H
~Bd~s =
Rb
~Bd~s = B · L
a
µ0 Iein = µ0 I · N
N: Windungszahl
⇒ B · L = µ0 I N ⇒
B = µ0 I
N
L
(27)
12