Physik II – Teil 2 SS2013 W. Wurth

Physik II – Teil 2
SS2013
W. Wurth
Literaturhinweise:
Giancoli, Physik, Pearson
Griffiths, Elektrodynamik, Pearson
Zinth, Zinth, Optik, Oldenbourg
Hecht, Optik, Oldenbourg
gelb markiert: wichtige Formeln
grün markiert: nicht Klausur relevant
Skript zum zweiten Teil der Vorlesung Physik II SS2013 (nur zum persönlichen Gebrauch)
1
W.Wurth
8 Elektromagnetische Wellen
8.1 Wellengleichung
Ausgangspunkt für die Ableitung der Wellengleichung für elektromagnetische Wellen sind die
Maxwell‘schen Gleichungen in Materie
�⃗ = 𝜌
𝑑𝑖𝑣 𝐷
�⃗ = 0
𝑑𝑖𝑣 𝐵
𝑟𝑜𝑡 𝐸�⃗ = −
(1)
�⃗
𝜕𝐵
𝜕𝑡
�⃗ = 𝚥⃗ +
𝑟𝑜𝑡 𝐻
�⃗
𝜕𝐷
𝜕𝑡
(2)
(3)
(4)
sowie die beiden Gleichungen, die die Materialeigenschaften beinhalten
�⃗ = 𝜀0 𝜀𝑟 𝐸�⃗
𝐷
�⃗ = 𝜇0 𝜇𝑟 𝐻
�⃗
𝐵
Unter der Annahme, dass es weder freie Ladungen (𝜌 = 0) noch freie Ströme (𝚥⃗ = 0) gibt (z.B.
Lösungen im Vakuum) und dass man es mit nicht-magnetischen Materialien (𝜇𝑟 = 1) zu tun
hat, kann man die gekoppelten Differentialgleichungen (3) und (4) einfach entkoppeln, indem
man 𝑟𝑜𝑡 (3) bildet.
𝑟𝑜𝑡�𝑟𝑜𝑡𝐸�⃗ � = −𝑟𝑜𝑡 �
�⃗
𝜕𝐵
�
𝜕𝑡
𝑔𝑟𝑎𝑑�𝑑𝑖𝑣𝐸�⃗ � − ∆𝐸�⃗ = −
wegen 𝑑𝑖𝑣𝐸�⃗ = 0 und 𝜇𝑟 = 1 folgt
und mit Gleichung (4)
−∆𝐸�⃗ = −
∆𝐸�⃗ = 𝜇0
𝜕
�⃗�
�𝑟𝑜𝑡𝐵
𝜕𝑡
𝜕
�⃗ �
�𝜇 𝑟𝑜𝑡𝐻
𝜕𝑡 0
�⃗
𝜕 𝜕𝐷
� �
𝜕𝑡 𝜕𝑡
∆𝐸�⃗ = 𝜇0 𝜀0 𝜀𝑟
𝜕 2 𝐸�⃗
𝜕𝑡 2
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diese Wellengleichung für das elektrische Feld,
𝜕 2 𝐸�⃗ 𝜕 2 𝐸�⃗ 𝜕 2 𝐸�⃗
𝜕 2 𝐸�⃗
+
+
−
𝜇
𝜀
𝜀
=0
0 0 𝑟
𝜕𝑥 2 𝜕𝑦 2 𝜕𝑧 2
𝜕𝑡 2
die analog zur Mechanik (
𝜕2 𝑢
𝜕𝑥 2
−
1 𝜕2 𝑢
𝑣 2 𝜕𝑡 2
) die zweite Ortsableitung und die zweite Zeitableitung
des elektrischen Feldvektors enthält. Sie hat periodische Lösungen (Wellen) mit der
Phasengeschwindigkeit
𝑣2 =
𝑣=
1
𝜇0 𝜀0 𝜀𝑟
1
𝑐
1
=
�𝜇0 𝜀0 √𝜀𝑟 √𝜀𝑟
mit c, der Lichtgeschwindigkeit im Vakuum (𝜀𝑟 = 1), die definitionsgemäß den Wert
m
𝑐 = 299792458 s = ~3 ∙ 108
m
s
hat.
Der Einfluss der Materie wird durch den Brechungsindex 𝑛 = √𝜀𝑟 beschrieben.
Unter Verwendung von Gleichung (4) ergibt sich analog auch eine Wellengleichung für das
Magnetfeld
2 �⃗
�⃗ − 𝜇0 𝜀0 𝜀𝑟 𝜕 𝐵2 = 0
∆𝐵
𝜕𝑡
Insgesamt erhält man damit jeweils drei Gleichungen für die Komponenten des elektrischen
(𝐸𝑥 , 𝐸𝑦 , 𝐸𝑧 ) bzw. des magnetischen Felds (𝐵𝑥 , 𝐵𝑦 , 𝐵𝑧 )
8.2 Spez. Lösungen – ebene Wellen
Ein Klasse von Lösungen, die die Wellengleichung erfüllen, sind ebene harmonische Wellen
von der Form
𝐸�⃗ (𝑟⃗, 𝑡) = ����⃗
𝐸0 cos�𝜔 ∙ 𝑡 − 𝑘�⃗ ∙ 𝑟⃗ + 𝜑�
mit dem Wellenvektor 𝑘�⃗, der die Ausbreitungsrichtung der Welle definiert, der konstanten
2𝜋
Amplitude ����⃗
𝐸0 , der Phase 𝜑 und der Kreisfrequenz 𝜔 = 2𝜋𝜈 = (Frequenz 𝑣, Periodendauer
𝑇).
𝑇
Setzt man diese Lösungen in die Wellengleichung ein, erhält man die Dispersionrelation
(Zusammenhang zwischen 𝜔 und 𝑘�⃗)
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𝑘�⃗ 2 = 𝑘𝑥2 + 𝑘𝑦2 + 𝑘𝑧2 =
2𝜋
Die Wellenzahl ist 𝑘 = �𝑘�⃗ � = 𝑛 (Wellenlänge 𝜆).
𝜆
𝑛2 2
𝜔
𝑐2
Elektromagnetische Wellen existieren über den gesamten Frequenz- bzw.
Wellenlängenbereich (s. Abb. 8.1)
Abb. 8.1: Spektralbereich el.magn. Wellen (aus Giancoli, Physik, Pearson)
Häufig gibt man komplexe Lösungen für die Wellengleichung an. Die physikalischen
Messgrößen (die Felder) entsprechen dann dem Realteil oder dem Imaginärteil der komplexen
Lösung. Die komplexe Schreibweise für die ebenen Wellen lautet
�⃗
����⃗𝑐 (𝑟⃗, 𝑡) = ������⃗
𝐸
𝐸0𝑐 ∙ 𝑒 𝑖�𝜔𝑡−𝑘𝑟⃗+𝜑�
Die Bezeichnung ebene Wellen resultiert aus der Tatsache, dass die Orte mit konstantem Feld
Ebenen senkrecht zur Ausbreitungsrichtung sind.
8.3 Transversalwellen
Einsetzen einer komplexen ebenen Welle 𝐴⃗(𝑟⃗, 𝑡), wobei 𝐴⃗ hier allgemein für elektrische bzw.
magn. Feldvektoren stehen soll, in die Maxwell-Gleichungen ergibt
�∇⃗ ∙ 𝐴⃗ ∝ 𝑘�⃗ ∙ 𝐴⃗
daraus folgt
�⃗ × 𝐴⃗ ∝ 𝑘�⃗ × 𝐴⃗
∇
�⃗ , 𝑘�⃗ ⊥ 𝐵
�⃗
𝑘�⃗ ⊥ 𝐷
�⃗, 𝐷
�⃗ ⊥ 𝐻
�⃗
𝐸�⃗ ⊥ 𝐵
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in optisch isotropen Medien (𝜀𝑟 richtungsunabhängig) (insb. auch im Vakuum) gilt dann 𝑘�⃗ ⊥ 𝐸�⃗
𝑐
�⃗�, d.h. die Amplituden von elektrischem und magnetischem Feld sind nicht
und �𝐸�⃗ � = �𝐵
𝑛
unabhängig.
�⃗ bilden ein rechtshändiges System 𝑘�⃗ ⊥ 𝐸�⃗ ⊥ 𝐵
�⃗. Da die Amplituden der Wellen (die
𝑘�⃗ , 𝐸�⃗ , 𝐵
Feldvektoren) senkrecht zur Ausbreitungsrichtung stehen, handelt es sich um
Transversalwellen.
Abb. 8.2: Transversale el. magn. Welle (aus Giancoli, Physik, Pearson)
8.4 Polarisation
Die Orientierung der Feldvektoren in der Ebene senkrecht zur Ausbreitungsrichtung ist nicht
eindeutig festgelegt. Unter der Annahme, dass sich die el.magn. Welle in 𝑧̂ -Richtung
ausbreitet, liegen die Feldvektoren in der 𝑥𝑦-Ebene.
𝐸𝑥
�⃗
𝐸 = �𝐸𝑦 � = 𝐸�⃗𝑥 + 𝐸�⃗𝑦
0
Allgemein lässt sich eine ebene Welle, die sich in 𝑧̂ -Richtung ausbreitet, daher schreiben als
𝐸�⃗ (𝑧, 𝑡) = 𝐸0𝑥 ∙ 𝑥� ∙ 𝑒 𝑖(𝜔𝑡−𝑘𝑧+𝜑𝑥 ) + 𝐸0𝑦 ∙ 𝑦� ∙ 𝑒 𝑖�𝜔𝑡−𝑘𝑧+𝜑𝑦 �
𝐸0𝑥
𝐸0𝑥 ∙ 𝑒 𝑖𝜑𝑥
𝑖(𝜔𝑡−𝑘𝑧)
𝑖𝜑
= �𝐸0𝑦 ∙ 𝑒 𝑦 � 𝑒
=
� �𝐸0𝑦 ∙ 𝑒 𝑖∆𝜑 � 𝑒 𝑖(𝜔𝑡−𝑘𝑧)
0
0
d.h. der Feldvektor in der 𝑥𝑦-Ebene wird durch die beiden Amplituden 𝐸0𝑥 , 𝐸0𝑦 und die
Phasendifferenz ∆𝜑 = 𝜑𝑥 − 𝜑𝑦 charakterisiert.
Man kann drei Fälle für diese drei Größen unterscheiden:
•
linear polarisiert
∆𝜑 = 0, ±𝑛 ∙ 2𝜋, 𝐸�⃗𝑥 und 𝐸�⃗𝑦 in Phase
∆𝜑 = ±(2𝑛 + 1) ∙ 2𝜋, 𝐸�⃗𝑥 und 𝐸�⃗𝑦 in gegenphasig
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•
zirkular polarisiert
𝐸0𝑥 = 𝐸0𝑦 = 𝐸0
𝜋
2
𝜋
+
2
∆𝜑 = − + 2𝑛 ∙ 𝜋, rechtszirkular
•
∆𝜑 =
+ 2𝑛 ∙ 𝜋, linkszirkular
elliptisch polarisiert
𝐸0𝑥 ≠ 𝐸0𝑦 , beliebige Phasendifferenz (die nicht dem linearen Fall entspricht)
8.5 Strahlungsenergie
Die Energiedichte (Energie/Volumen) des el.magn. Felds im Vakuum (𝜀𝑟 = 1) ist
�⃗� =
mit �𝐵
�𝐸�⃗ �
𝑐
und mit 𝑐 =
1 2
1
�⃗
𝐵
𝑤 = 𝜀0 𝐸�⃗ 2 +
2𝜇0
2
ergibt das für el.magn. Wellen im Vakuum
1
�𝜀0 𝜇0
folgt daraus
1
1
𝐸�⃗ 2
𝑤 = 𝜀0 𝐸�⃗ 2 +
2𝜇0 ∙ 𝑐 2
2
1
1
𝑤 = 𝜀0 𝐸�⃗ 2 + 𝜀0 𝐸�⃗ 2 = 𝜀0 𝐸�⃗ 2
2
2
Das bedeutet, dass das elektrische und das magnetische Feld zu gleichen Teilen zur
Energiedichte beitragen.
8.6 Energiefluss, Energiestromdichte, Poynting-Vektor
Man betrachte ein Volumen senkrecht zur Ausbreitungsrichtung einer el.magn. Welle mit der
Stirnfläche 𝐴 und der infinitesimalen Länge 𝑑𝑥 = 𝑐 ∙ 𝑑𝑡. Die Energie in diesem Volumen ist
dann
𝑑𝑊 = 𝑤 ∙ 𝐴 ∙ 𝑑𝑥 = 𝜀0 𝐸�⃗ 2 ∙ 𝐴 ∙ 𝑐 ∙ 𝑑𝑡
Damit kann man den Energiefluss (Energiestromdichte) 𝑆 berechnen, d.h. die Energie die
Welle pro Zeiteinheit und Flächeneinheit transportiert
𝑆=
�⃗�
1 𝑑𝑊
�𝐸�⃗ ��𝐵
= 𝑤 ∙ 𝑐 = 𝜀0 𝑐 𝐸�⃗ 2 =
𝐴 𝑑𝑡
𝜇0
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Wenn man auch die Richtung des Energieflusses berücksichtigt, erhält man den PoyntingVektor
𝑆⃗ =
1
�⃗
𝐸�⃗ × 𝐵
𝜇0
Für die el.magn. Wellen im Vakuum (Transversalwellen) entspricht die Richtung von 𝑆⃗ der
Ausbreitungsrichtung 𝑘�⃗.
Alle eingeführten Größen (𝑤, 𝑆, 𝑆⃗, … ) sind für el.magn. Wellen zeitabhängig.
Häufig ist das zeitliche Mittel über eine Schwingungsperiode eine wichtige Messgröße. Die
zeitliche Mittelung der Energiestromdichte ergibt die Intensität. Die Mittelung über eine
Schwingungsperiode von harmonischen Wellen ergibt
⟨𝑠𝑖𝑛2 �𝜔𝑡 − 𝑘�⃗ 𝑟⃗�⟩ 𝑇 = ⟨𝑐𝑜𝑠 2 �𝜔𝑡 − 𝑘�⃗ 𝑟⃗�⟩ 𝑇 =
Man erhält daher für die Intensität 𝐼 der ebenen Welle
1
2
𝐸 𝐵
1
𝐼 = 𝑆̅ = 𝑜 𝑜 = 𝜀0 𝐸02 ∙ 𝑐
2𝜇0
2
W
mit der Einheit � 2 �, also Leistung/Fläche
m
____________________________
Beispiel: Kurzpulslaser mit 10mJ Pulsenergie, 10fs Pulsdauer, fokussiert auf eine Fläche von
(0.1mm)2
Intensität 𝐼 =
0.01J
10−14 s(10−4 m)2
W
= 1020 m2
Mit der Intensität lässt sich die Amplitude des el. Feldes berechnen
2𝐼
2 ∙ 1020
V
V
V
=�
= 3 ∙ 1011 = 30
𝐸0 = �
−12
8
8.85 ∙ 10
∙ 3 ∙ 10 m
𝜀0 𝑐
m
Å
Zum Vergleich: das Coulomb-Feld eines Protons (Wasserstoffkern) im Abstand von einem
Bohr’schen Radius (𝑎0 = 0.53Å) beträgt ~58
V
Å
8.7 Strahlungsimpuls und Strahlungsdruck
Für den Impulsübertrag bei der Wechselwirkung el.magn. Strahlung mit Materie kann man
zwei Extremfälle unterscheiden
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•
•
•
Impulsübertrag bei vollständiger Absorption der Strahlung
∆𝑊
∆𝑝 =
𝑐
Impulsübertrag bei vollständiger Reflexion der Strahlung
2∆𝑊
∆𝑝 =
𝑐
für anteilige Reflexion (Anteil x) folgt daraus
(1 + 𝑥)∆𝑊
∆𝑝 =
𝑐
Als resultierende Kraft erhält man
mit 𝑆 =
1 Δ𝑊
𝐴 Δ𝑡
𝐹=
𝑆
∆𝑝 (1 + 𝑥) ∆𝑊
=
= (1 + 𝑥) ∙ 𝐴 ∙
𝑐
𝑐
∆𝑡
∆𝑡
Daraus folgt für den Strahlungsdruck
𝑃=
und für den mittleren Strahlungsdruck
𝑆
𝐹
= (1 + 𝑥) ∙
𝑐
𝐴
𝑃 = (1 + 𝑥) ∙
𝐼
𝑐
8.8 Übertragung von Wellen
Im Hoch-Frequenz(HF-)bereich bis zu einigen GHz kann man el.magn. Wellen über Leitungen
wie z.B. Lecherleitungen (Doppelleitungen) und Koaxialkabel übertragen.
Eine Lecherleitung besteht aus zwei parallelen Drähten (in 𝑥-Richtung) zwischen denen eine
Potenzialdifferenz 𝑈(𝑥) herrscht und in denen ein Strom 𝐼(𝑥) fliesst. Mit der Induktivität 𝐿0
pro Längeneinheit und der Kapazität 𝐶0 pro Längeneinheit kann man die durch eine zeitliche
Änderung des Stroms induzierte Spannungsänderung bzw. die durch eine zeitliche Änderung
des Potenzials bewirkte Ladungsänderung (den Strom) in dieser Anordnung berechnen.
Man erhält für die Induktion
daraus folgt Gl. (1)
∆𝑈 = 𝑈(𝑥 + ∆𝑥) − 𝑈(𝑥) = −𝐿0 ∆𝑥 ∙
Δ𝐼
Δ𝑡
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Δ𝐼
𝑑𝑈
= −𝐿0 ∙
Δ𝑡
𝑑𝑥
Analog gilt für die Ladungsänderung
und damit Gl. (2)
∆𝐼 = 𝐼(𝑥 + ∆𝑥) − 𝐼(𝑥) = −𝐶0 ∆𝑥 ∙
ableiten von (1) nach der Zeit t ergibt
Δ𝑈
𝑑𝐼
= −𝐶0 ∙
Δ𝑡
𝑑𝑥
ableiten von (2) nach dem Ort x ergibt
d2 𝐼
𝑑2 𝑈
= −𝐿0 ∙ 2
𝑑𝑥𝑑𝑡
d𝑡
Δ𝑈
Δ𝑡
𝑑2 𝐼
d2 𝑈
=
−𝐶
∙
0
𝑑𝑥 2
dxd𝑡
zusammen erhält man die Telegrafengleichung für den Strom
und analog für die Spannung
𝑑2 𝐼
d2 𝐼
=
𝐶
𝐿
∙
0 0
𝑑𝑥 2
d𝑡 2
𝑑2 𝑈
d2 𝑈
=
𝐶
𝐿
∙
0 0
𝑑𝑥 2
d𝑡 2
das sind Wellengleichung für den Strom 𝐼 und die Spannung 𝑈, die über den Zusammenhang
mit den Feldern, die Ausbreitung von el.magn. Wellen entlang der Doppelleitung beschreiben.
Die Phasengeschwindigkeit beträgt
𝑣=
__________________________
1
�𝐿0 𝐶0
Beispiel: Koaxialkabel (Innenradius 𝑟𝑖 , Außenradius 𝑟𝑎 )
𝐿0 =
𝑟
ln� 𝑎�𝑟𝑖 �
2𝜋𝜇0
𝐶0 =
=
𝑟
ln� 𝑎�𝑟𝑖 �
2𝜋𝜀0 𝑐 2
2𝜋𝜀0 𝜀𝑟
𝑟
ln� 𝑎�𝑟𝑖 �
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daraus folgt
𝑣=
1
�𝐿0 𝐶0
=
𝑐
√𝜀𝑟
das gilt auch für andere Anordnungen paralleler Drähte (z.B. Lecherleitung). Da die
Phasengeschwindigkeit nicht von der Frequenz abhängt, lassen sich Signalpulse (Pulse ergeben
sich als Überlagerung von Wellen verschiedener Frequenzen (s. Fouriersynthese)) ohne
Änderung der Pulsform übertragen.
Durch die Anordnung mit zwei parallelen Drähten fallen die Felder nach außen sehr schnell ab
und werden daher nur auf den Leitungen geführt.
Für den Wellenwiderstand (die Impedanz) ergibt sich mit
𝑈(𝑥, 𝑡) = 𝑈𝑜 𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡 − 𝑘𝑥)
und Gl. (1) od. (2)
𝐶0
𝐼(𝑥, 𝑡) = � 𝑈𝑜 𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡 − 𝑘𝑥)
𝐿0
𝐿
d.h. 𝐼und 𝑈 sind in Phase und die Impedanz 𝑍 = �𝐶0
___________________________
0
Beispiel: Koaxialkabel
unabhängig von der Länge des Kabels!
𝑟
ln� 𝑎�𝑟𝑖 �
𝑍=
2𝜋𝜀0 𝑐√𝜀𝑟
𝑍 = 377Ω ∙
1 1
𝑟
∙
∙ 𝑙𝑛� 𝑎�𝑟𝑖 �
2𝜋 √𝜀𝑟
typische Wellenwiderstände für Koaxialkabel sind 75Ω bzw. 50Ω
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Reflexion am Kabelende
Reflexion führt zu einer Überlagerung von einfallender Welle und reflektierter Welle
Reflexion ist abhängig vom Abschlußwiderstand 𝑅 am Ende des Kabels
•
•
Für 𝑅 = 𝑍 (optimale Anpassung) gibt es keine Reflexion
Für 𝑅 ≠ 𝑍 (Fehlanpassung) wird immer ein Teil des Signals reflektiert
Extremfälle:
o Für 𝑅 = 0 (Kurzschluss) wird ein Signal vollständig gegenphasig reflektiert
o Für 𝑅 = ∞ (offenes Ende) wird ein Signal vollständig ohne Änderung der Phase
reflektiert
Reflexion von einer ebenen Welle an einer Metalloberfläche
Metalloberfläche (perfekter Leiter) in der 𝑥𝑦-Ebene
_______________________________
kurzer Einschub – Verhalten der Felder an Grenzflächen
Mit Hilfe der Maxwell’schen Gleichungen kann man zeigen (siehe z.B. Griffiths), dass folgende
Bedingungen an Grenzflächen zwischen zwei Medien gelten:
�⃗1⊥ − 𝐷
�⃗2⊥ = 𝜎𝐹 ∙ 𝑛�
𝐷
�⃗ ist gleich der Flächenladungsdichte 𝜎𝐹 an der
Die Differenz der Normalkomponenten von 𝐷
Grenzfläche
�⃗1⊥ − 𝐵
�⃗2⊥ = 0
𝐵
�⃗ ist gleich Null
Die Differenz der Normalkomponenten von 𝐵
𝐸�⃗1∥ − 𝐸�⃗2∥ = 0
Die Differenz der Parallelkomponenten von 𝐸�⃗ ist gleich Null
�⃗1∥ − 𝐻
�⃗2∥ = 𝚥⃗ × 𝑛�
𝐻
�⃗ ist gleich dem Vektorprodukt aus
Die Differenz der Parallelkomponenten von 𝐻
Flächenstromdichte an der Grenzfläche und Einheitsvektor senkrecht zur Grenzfläche
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Für den Übergang von Vakuum (~Luft) zu einem perfekten Leiter (Metalloberfläche in 𝑥𝑦Ebene bei 𝑧 = 0) gilt dann für eine einfallende linear polarisierte ebene Welle
(Ausbreitungsrichtung 𝑧-Richtung):
𝐸�⃗ (𝑧, 𝑡) = 𝐸0𝑖 𝑥� ∙ 𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡 − 𝑘 ∙ 𝑧) + 𝐸0𝑟 𝑥� ∙ 𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡 + 𝑘 ∙ 𝑧)
Überlagerung aus einfallender Welle und reflektierter Welle
da 𝐸�⃗ im Innern des perfekten Leiters gleich Null ist, muss auch 𝐸�⃗ ∥ = 0 an der Oberfläche
gelten. Daraus folgt
𝐸0𝑖 = −𝐸0𝑟 = 𝐸0
d.h.an der Oberfläche gibt es einen Phasensprung von 𝜋
In der Überlagerung der beiden Komponenten ergibt sich dann eine stehende Welle mit einem
Knoten an der Metalloberfläche
𝐸�⃗ (𝑧, 𝑡) = 𝐸0 𝑥� ∙ 𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡 − 𝑘 ∙ 𝑧) − 𝐸0 𝑥� ∙ 𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡 + 𝑘 ∙ 𝑧) = −2𝐸0 𝑥� ∙ sin(𝑘 ∙ 𝑧) ∙ cos(𝜔𝑡)
Für das Magnetfeld erhält man mit
𝜕𝐵𝑦
𝜕𝐸𝑥
=−
𝜕𝑧
𝜕𝑡
�⃗(𝑧, 𝑡) == −
𝐵
2𝐸0
𝑦� ∙ cos(𝑘 ∙ 𝑧) ∙ sin(𝜔𝑡)
𝑐
Bei der resultierenden stehenden Welle sind das elektrische Feld und das magnetische Feld
nicht mehr in Phase, das Magnetfeld hat an der Oberfläche einen Schwingungsbauch der
stehenden Welle.
Hohlleiter
Wenn man el.magn. Wellen mit höheren Frequenzen (mehr als einige GHz) (kürzeren
Wellenlängen) übertragen will, so ist das mit Drahtleitungen aufgrund hoher Verluste nicht
mehr möglich. Das hängt unter anderem damit zusammen, dass die Eindringtiefe von el.magn.
Wellen in den Leiter stark frequenzabhängig ist. Mit zunehmender Frequenz wird die
Eindringtiefe immer kleiner und die Wellen (und damit auch die Ströme) existieren nur in einer
dünnen Oberflächenschicht (Skineffekt). Daraus resultiert dann ein hoher Ohm`scher
Widerstand und eine entsprechend hohe Dämpfung.
Lösung für die Übertragung von Mikrowellen sind Hohlleiter, d.h. Metallröhren mit
zylindrischem oder rechteckigem Querschnitt und Abmessungen in der Größe der
Wellenlänge.
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In so einem Hohlleiter (Wellenleiter) kann man nur bestimmte elektromagnetische Wellen
führen, die Bedingungen erfüllen müssen, die sich aus den Randbedingungen für die Felder an
den Oberflächen ergeben.
Für einen rechteckigen Hohlleiter (Kantenlänge 𝑎 und 𝑏, in 𝑧-Richtung offen) ergeben sich aus
der Reflexion an den Metalloberflächen stehende Wellen in 𝑥- und 𝑦-Richtung.
Für eine ebene Welle mit Ausbreitungsrichtung 𝑘�⃗ erhält man die Dispersionsrelation:
𝑘 2 = 𝑘𝑥2 + 𝑘𝑦2 + 𝑘𝑧2 =
𝜔2
𝑐2
Da sich in 𝑥- und 𝑦-Richtung stehende Wellen ausbilden, können 𝑘𝑥 und 𝑘𝑦 nur diskrete Werte
annehmen (der Abstand in 𝑥- bzw. 𝑦-Richtung muss ein ganzzahliges Vielfaches der halben
Wellenlänge 𝜆⁄2 in der jeweiligen Richtung betragen)
Daraus folgt: 𝑘𝑥 =
𝑚∙𝜋
𝑎
und 𝑘𝑦 =
𝑛∙𝜋
𝑏
Damit ergibt sich für die Wellenzahl in Ausbreitungsrichtung
𝜔2
𝑚∙𝜋 2
𝑛∙𝜋 2
� −�
�
𝑘𝑧 = � 2 − �
𝑐
𝑎
𝑏
1
𝑎2
Unterhalb von der Grenzfrequenz 𝜔𝑔 = 𝜋𝑐�
+
1
𝑏2
wird 𝑘𝑧 für eine Mode mit 𝑚 = 𝑛 = 1
imaginär, d.h. es kann sich keine Welle dieser Art in z-Richtung ausbreiten. Die niedrigste
Grenzfrequenz erhält man für 𝑏 > 𝑎 bei 𝜔𝑔 =
𝜋𝑐
𝑏
Für die Phasengeschwindigkeit 𝑣 erhält man oberhalb von 𝜔𝑔
𝑣=
𝜔
𝑐
=
𝑘𝑧 �1 − 𝑐 2 𝜋 2 𝜔 −2 (𝑚2 ∙ 𝑎−2 + 𝑛2 ∙ 𝑏 −2 )
d.h. die Phasengeschwindigkeit einer el.magn. Welle in einem Hohlleiter ist größer als die
Lichtgeschwindigkeit 𝑐!
Allerdings steht das nicht im Widerspruch zur speziellen Relativitätstheorie, da für die Signal(„Informations-„)ausbreitung die Gruppengeschwindigkeit 𝑣𝑔 maßgeblich ist.
Die Gruppengeschwindigkeit 𝑣𝑔 gibt die Geschwindigkeit an, mit der sich die Einhüllende einer
Überlagerung von Wellen – ein Wellenpaket – bewegt
𝑣𝑔 =
𝑑𝜔
𝑑𝑘
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Insbesondere wenn 𝜔(𝑘) keine lineare Funktion von 𝑘 ist, unterscheiden sich
Phasengeschwindigkeit 𝑣 =
Hohlleiter).
𝜔
𝑘
und Gruppengeschwindigkeit 𝑣𝑔 =
𝑑𝜔
𝑑𝑘
(siehe das Beispiel
Die diskreten Wellen („Moden“), die sich in einem Hohlleiter ausbreiten können, sind keine
reinen Transversalwellen.
Je nachdem, ob 𝐸𝑧 = 0 oder 𝐵𝑧 = 0 , spricht man von transversal-elektrischen TE-Moden bzw.
transversal-magnetischen TM-Moden.
Die Moden werden dann noch entsprechend ihrer Feldverteilung in 𝑥𝑦-Richtung durch die
Angabe der Indices 𝑚, 𝑛 charakterisiert (z.B. TE31).
8.9 Erzeugung elektromagnetischer Wellen
8.9.1
Drahtwellen
Elektromagnetische Wellen können sich auch entlang eines einfachen Metalldrahts (Antenne)
ausbreiten. Die elektrischen Feldvektoren stehen dabei bei einem perfekten Leiter senkrecht
auf der Oberfläche des Drahts (siehe oben) und werden durch Oberflächenladungen erzeugt.
Abb. Drahtwelle. (Otten, Repetitorium der Physik (Springer))
Wie schon im Fall der Doppelleitungen diskutiert, führen offene Enden des Drahts zur
Reflexion der elektromagnetischen Wellen (ohne Änderung der Phase) und damit zur
Ausbildung stehender Wellen. Dabei entstehen an den offenen Enden ein Spannungsbauch
und ein Stromknoten. Die längste mögliche Wellenlänge für so eine stehende Welle erhält
man, wenn die Länge des Drahtes gerade gleich 𝜆�2 ist.
Abb. Übergang vom Schwingkreis zum Hertz‘schen Dipol
(Otten, Repetitorium der Physik (Springer))
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So ein Drahtstück entspricht einem einfachen Schwingkreis, wobei das Drahtstück der Spule
und die Enden dem Kondensator entsprechen.
Regt man diesen Schwingkreis mit der geeigneten hochfrequenten Wechselspannung an, so
dass die Wellenlänge 𝜆 doppelt so lange wie die Drahtlänge 𝑙 ist, erhält man einen resonanten
Hertz’schen Dipol.
Die Resonanzfrequenz ist dabei umgekehrt proportional zur Länge 𝑙, wie man auch einfach
anhand der Formel für Schwingkreise sehen kann (𝐿0 , 𝐶0 Induktivität, bzw. Kapazität pro
Längeneinheit)
8.9.2
Dipolstrahlung
𝜔𝑟𝑒𝑠 =
1
√𝐿 ∙ 𝐶
=
1
1
∙
𝑙 �𝐿0 ∙ 𝐶0
Wie von Hertz erstmals gezeigt, werden von so einem Dipol bei Anregung mit einer
Wechselspannung elektromagnetische Wellen abgestrahlt.
Abb. Ausbildung elektromagnetischer Wellen
beim Hertz’schen Dipol (Otten, Repetitorium
der Physik, Springer))
Man kann die resonante Schwingung des Dipol in vier Phasen aufteilen
•
𝜑 = 0: Maximale Oberflächenladung an den Enden, Strom ist Null
→ elektrisches Dipolfeld
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•
𝜋
2
𝜑 = : Oberflächenladungen gleich Null, Strommaximum in der Mitte
→ elektrisches Feld durch die Oberflächenladungen gleich Null;
magnetisches Feld eines Leiters mit endlicher Länge
•
𝜑 = 𝜋: Maximale Oberflächenladung an den Enden (Vorzeichen umgekehrt wie bei
𝜑 = 0 , Strom gleich Null
→ elektrisches Dipolfeld, Magnetfeld durch den Strom gleich Null
•
𝜑 = 𝜋: Oberflächenladungen gleich Null, Strommaximum in der Mitte (Richtung
3
2
𝜋
2
umgekehrt wie bei 𝜑 = )
→ elektrisches Feld durch die Oberflächenladungen gleich Null;
magnetisches Feld eines Leiters mit endlicher Länge
Allerdings gelten diese Überlegungen zu den von den Ladungen und den Strömen
ausgehenden elektrischen und magnetischen Feldern nur in der unmittelbaren Nähe des
Leiters, da sich die Information über die zeitliche Änderung der Ladungen und Ströme nur mit
Lichtgeschwindigkeit ausbreiten kann.
Zusätzlich ergeben sich elektrische und magnetische Wirbelfelder aufgrund der zeitlich
veränderlichen magnetischen und elektrischen Felder (siehe die entsprechenden
�⃗
�⃗
𝜕𝐵
�⃗ ∝ 𝜕𝐸 ), die unabhängig von den Ladungen
Maxwell’sche Gleichungen (𝑟𝑜𝑡𝐸�⃗ = − 𝜕𝑡 bzw. 𝑟𝑜𝑡𝐵
𝜕𝑡
und Strömen auf dem Leiter existieren.
Die genaue Berechnung der jeweiligen Felder ist ein schwieriges theoretisches Problem. Unter
gewissen Annahmen kann man die Felder aus den Potentialen (skalares Potential 𝜑 bzw.
Vektorpotential 𝐴⃗ ) berechnen. Für die Potentiale gilt
𝜑(𝑟⃗, 𝑡) ∝ ∫
����⃗′ ,𝑡−|𝑟�⃗|�
𝜌�𝑟
𝐴⃗(𝑟⃗, 𝑡) ∝ �
|𝑟⃗|
𝑐
𝑑𝑉
|𝑟⃗|
𝚥⃗ �𝑟���⃗′ , 𝑡 − 𝑐 �
Dabei geht jeweils die retardierte Zeit 𝑡𝑟𝑒𝑡 = 𝑡 −
|𝑟⃗|
|𝑟⃗|
𝑐
𝑑𝑉
ein, die berücksichtigt, dass zeitliche
Änderungen von Ladungen und Strömen im Abstand |𝑟⃗| von einem Beobachtungspunkt nur
verzögert wahrgenommen werden, da die Informationsausbreitung mit Lichtgeschwindigkeit
erfolgt .
Für einen Dipol (Dipolmoment 𝑝⃗(𝑡)), bei dem die Ladungen eine harmonische Schwingung mit
der Frequenz 𝜔 ausführen
𝑝⃗(𝑡) = 𝑞 ∙ 𝑑 ∙ cos 𝜔𝑡 ∙ 𝑒�𝑧 = 𝑝0 ∙ cos 𝜔𝑡 ∙ 𝑒�𝑧
Skript zum zweiten Teil der Vorlesung Physik II SS2013 (nur zum persönlichen Gebrauch)
16
W.Wurth
erhält man unter der Annahme 𝑑 ≪ 𝜆 ≪ |𝑟⃗| = 𝑟 (also gerade nicht der resonante Hertz’sche
Dipol)
das Fernfeld (in Kugelkoordinaten 𝑟, 𝜃, 𝜙):
𝐸�⃗ (r, t) = −𝑒̂𝜃
�⃗(r, t) = −𝑒̂𝜙
𝐵
𝑟
𝑝0 1 𝜔2
∙ ∙ 2 sin 𝜃 ∙ cos 𝜔 �𝑡 − �
4𝜋𝜀0 𝑟 𝑐
𝑐
𝑟
𝑝0 1 𝜔2
∙ ∙ 3 sin 𝜃 ∙ cos 𝜔 �𝑡 − �
4𝜋𝜀0 𝑟 𝑐
𝑐
1
𝑟
��⃗ in Phase
Dabei handelt es sich um el.magn. Kugelwellen (Amplituden ∝ ), bei denen �𝑬⃗ und 𝑩
�⃗ und senkrecht auf dem Abstandsvektor. Die abgestrahlten Felder
sind. 𝐸�⃗ ist senkrecht auf 𝐵
sind proportional zur Beschleunigung des Dipols (der Ladungen) 𝑝⃗̈ ∝ 𝜔2 cos 𝜔𝑡
Für den Poynting-Vektor erhält man
2
1
𝑝0 1 𝜔2
1 2
1
𝑟
�⃗ =
𝑆⃗ = 𝐸�⃗ × 𝐵
𝐸 ∙ 𝑒̂𝑟 =
∙ ∙ 2 sin 𝜃 ∙ cos 𝜔 �𝑡 − �� ∙ 𝑒̂𝑟
�
𝜇0
𝜇0 𝑐
𝜇0 𝑐 4𝜋𝜀0 𝑟 𝑐
𝑐
die Intensität (mittlere Strahlungsleistung pro Fläche) ergibt sich dann zu
𝐼 = ⟨�𝑆⃗�⟩ =
𝑝0 2
1 𝜔4 2
∙
∙
sin 𝜃
32𝜋 2 𝜀0 𝑟 2 𝑐 3
die gesamte abgestrahlte Leistung ergibt sich durch Integration über eine Kugeloberfläche zu
𝑃=
1 𝑝0 2 𝜔4
∙
∙
3 4𝜋𝜀0 𝑐 3
im Unterschied dazu sind im Nahfeld 𝑑 ≪ 𝑟 ≅ 𝜆 die elektrischen und magnetischen Felder
näherungsweise gleich den durch die Ladungen und Ströme erzeugten Felder. Die Felder fallen
1
1
�⃗-Feld) nach außen hin ab. Außerdem sind 𝑬
�⃗ und 𝑩
��⃗ phasenverschoben
mit 3 (𝐸�⃗ -Feld) bzw. 2 (𝐵
um
8.9.3
𝑟
𝜋
.
2
𝑟
Strahlung beschleunigter Ladungen
Betrachtet man die Zeitabhängigkeit der Strahlungsleistung in einem bestimmten Abstand
2 𝑝0 2 𝜔4
𝑃(𝑡) = ∙
∙
cos2 𝜔 𝑡
3 4𝜋𝜀0 𝑐 3
Skript zum zweiten Teil der Vorlesung Physik II SS2013 (nur zum persönlichen Gebrauch)
17
W.Wurth
findet man, dass die abgestrahlte Leistung mit dem Quadrat der 2. Ableitung des
Dipolmoments nach der Zeit variiert
𝑝̈ 2 = 𝑝02 𝜔4 cos2 𝜔 𝑡
Wenn man den schwingenden Dipol durch eine schwingende Punktladung 𝑞0 mit der
zeitabhängigen Amplitude 𝑥(𝑡) realisiert, erhält man
und für die 2. Ableitung
𝑝(𝑡) = 𝑞𝑜 ∙ 𝑥(𝑡) = 𝑞𝑜 ∙ 𝑥0 cos 𝜔𝑡
𝑝̈ = 𝑞0 𝑥̈
Daraus ergibt sich, dass die abgestrahlte Leistung proportional zum Quadrat der Ladung und
zum Quadrat der Beschleunigung der Ladung ist.
𝑃=
2 𝑞0 2 𝑥̈ 2
∙
∙
3 4𝜋𝜀0 𝑐 3
Dieser wichtige Zusammenhang gilt allgemein für beschleunigte Ladungen (nicht nur für
harmonische Schwingungen eines Dipols)!
Beispiele (Bremsstrahlung bei einer Röntgenröhre, Synchrotronstrahlung in Beschleunigern)
9 Optik
9.1 Brechungsindex
Makroskopisch wird die (lineare) 1 Wechselwirkung von elektromagnetischer Strahlung mit
Materie durch den Brechungsindex 𝑛(𝜔) beschrieben. Unter der Annahme, dass wir es mit
nicht-magnetischer Materie zu tun haben (𝜇𝑟 = 1) gilt dann:
𝑛(𝜔) = �𝜀𝑟
Eine elektromagnetische Welle in Materie kann man sich physikalisch als Überlagerung
zwischen einer einlaufenden Primärwelle (aus dem Vakuum) und einer an den Atomen
gestreuten Sekundärwelle vorstellen. Die resultierende Welle wird durch den Brechungsindex
𝑛(𝜔) charakterisiert. Unter der Annahme, dass die einfallende Welle senkrecht auf die
Grenzfläche auftrifft (der allgemeine Fall für beliebige Einfallswinkel wird später diskutiert),
ergibt sich
1
lineare Wechselwirkung bedeutet, dass die Polarisation 𝑃�⃗ = 𝜀0 �𝜒 (1) ∙ 𝐸�⃗ + �𝜒 (2) ∙ 𝐸�⃗ � ∙ 𝐸�⃗ + ⋯ � vollständig
durch den ersten Term der Entwicklung im elektrischen Feld beschrieben werden kann. Das gilt nicht für sehr
starke Lichtfelder wie sie z.B. bei Lasern auftreten können.
Skript zum zweiten Teil der Vorlesung Physik II SS2013 (nur zum persönlichen Gebrauch)
18
W.Wurth
𝜔
�⃗
�⃗
𝑖�𝜔𝑡−𝑛(𝜔) 𝑟⃗�
𝑐
𝐸�⃗𝑣𝑎𝑐 (𝑟⃗, 𝑡) ∝ 𝑒 𝑖�𝜔𝑡−𝑘𝑣𝑎𝑐 𝑟⃗� → 𝐸�⃗𝑀𝑎𝑡 (𝑟⃗, 𝑡) ∝ 𝑒 𝑖�𝜔𝑡−𝑛(𝜔)𝑘𝑣𝑎𝑐 𝑟⃗� = 𝑒
Absorption
Häufig benötigt man einen komplexen Brechungsindex zur vollständigen Beschreibung der
Wechselwirkung von el.magn. Strahlung mit Materie
𝑛(𝜔) = 𝑛𝑅𝑒 (𝜔) + 𝑖 ∙ 𝑛𝐼𝑚 (𝜔)
Wenn man den komplexen Brechungsindex in die Formel für die elektromagnetische Welle in
Materie einsetzt, sehen wir, dass der Imaginärteil des Brechungsindex (der i.a. eine negative
Zahl ist) die teilweise Absorption der Welle in Materie beschreibt.
𝜔
𝜔
𝜔
𝑖�𝜔𝑡−(𝑛𝑅𝑒 (𝜔)+𝑖∙𝑛𝐼𝑚 (𝜔)) 𝑟⃗�
𝑖�𝜔𝑡−𝑛𝑅𝑒 (𝜔) 𝑟⃗� +𝑛𝐼𝑚 (𝜔) 𝑟⃗
𝑐
𝑐 𝑒
𝑐
𝐸�⃗𝑀𝑎𝑡 (𝑟⃗, 𝑡) = 𝐸�⃗0 𝑒
= 𝐸�⃗0 𝑒
Das entspricht einer Welle, deren Amplitude als Funktion der Eindringtiefe in die Materie
exponentiell gedämpft ist, wenn 𝑛𝐼𝑚 (𝜔) negativ ist. Für die Intensität (𝐼 ∝ 𝐸�⃗ 2 ) als Funktion
der Eindringtiefe 𝑧 (Annahme: Ausbreitungsrichtung 𝑧̂ ) bedeutet das:
𝐼(𝜔, 𝑧) = 𝐼0 ∙ 𝑒 −𝛼(𝜔)∙𝑧 (Lambert-Beer’sche Gesetz)
mit dem Extinktionskoeffizienten
𝛼(𝜔) = −2𝑛𝐼𝑚 (𝜔)
Mikroskopisches Modell für den Brechungsindex
𝜔
𝑐
Vom sichtbaren Spektralbereich bis zum Röntgenbereich bestimmt die Wechselwirkung der
Elektronen mit den elektromagnetischen Wellen den Brechungsindex. Ein einfaches klassisches
Modell zur Beschreibung betrachtet die Auslenkung einzelner Elektronen gegenüber den
positiv geladenen Atomen unter dem Einfluss einer anregenden el.magn. Welle.
Lorentz‘sches Oszillatormodell
In diesem Modell wird die Bewegung der Elektronen gegenüber den Kernen als gedämpfte
Schwingung beschrieben, die von der el.magn. Welle als periodische äußere Kraft angetrieben
wird (erzwungene Schwingung), Die Bewegungsgleichung für die Auslenkung lautet dann:
𝑥̈ +
𝛾
−𝑒
∙ 𝑥̇ + 𝜔02 ∙ 𝑥 =
∙ 𝐸 𝑒 𝑖𝜔𝑡
𝑚𝑒
𝑚𝑒 0
Mit dem Lösungsansatz 𝑥(𝑡) = 𝑥0 𝑒 𝑖𝜔𝑡 ergibt sich die aus der Mechanik bekannte Lösung
𝑥(𝑡) =
1
−𝑒
∙ 2
𝐸 𝑒 𝑖𝜔𝑡
𝑚𝑒 (𝜔0 − 𝜔 2 ) + 𝑖𝛾𝜔 0
Skript zum zweiten Teil der Vorlesung Physik II SS2013 (nur zum persönlichen Gebrauch)
19
W.Wurth
das entspricht einem elektrischen Dipol
𝑝(𝑡) = −𝑒 ∙ 𝑥(𝑡)
damit kann man die Polarisation berechnen
𝑃(𝑡) = 𝑝(𝑡) ∙ 𝑁
mit der jeweiligen Teilchen(Elektronen)dichte 𝑁
aus dem Zusammenhang zwischen Polarisation und elektrischem Feld
𝑃(𝑡) = (𝜀𝑟 (𝜔) − 1) ∙ 𝜀0 𝐸(𝑡) = −𝑒 ∙ 𝑥(𝑡) ∙ 𝑁
ergibt sich die Frequenzabhängigkeit der Dielektrizitätskonstante
𝜀𝑟 (𝜔) = 1 +
1
𝑒 2𝑁
∙ 2
𝜀0 𝑚𝑒 (𝜔0 − 𝜔 2 ) + 𝑖𝛾𝜔
Die aus dem einfachen Modell abgeleitete Frequenzabhängigkeit lässt sich durch einfache
Modifikationen an verschiedene Systeme anpassen
•
Metalle
Für Metalle mit nahezu freien Valenzelektronen ist 𝑁 = 𝑛𝑒 die Dichte der
Valenzelektronen. Der Ausdruck
𝑒 2 𝑛𝑒
𝜀0 𝑚 𝑒
= 𝜔𝑝2 ist das Quadrat der Plasmafrequenz. Die
Plasmafrequenz ist die Resonanzfrequenz des Elektronensystems. Physikalisch
bedeutet das, dass alle Valenzelektronen kollektiv als Plasma gegen den Hintergrund
der Ionenrümpfe schwingen.
in diesem Fall kann man die Rückstellkraft vernachlässigen (𝜔02 ≈ 0) und erhält
aufgrund der Tatsache, dass die Stoßzeit 𝜏 der Elektronen in einem sehr guten Leiter
1
𝜏
sehr lange ist, d.h. = 𝛾 ≪ 𝜔 und man daher auch die Dämpfung vernachlässigen
kann
𝜔𝑝2
𝜔2
𝜀𝑟 ist für alle Frequenzen unterhalb der Plasmafrequenz negativ und damit der
Brechungsindex imaginär.
𝜀𝑟 (𝜔) = 1 −
•
Gebundene Elektronen
Für gebundene Elektronen kann man das Modell so modifizieren, dass für
unterschiedliche Elektronen entsprechend ihrer Bindungsenergie unterschiedliche
Resonanzfrequenzen berücksichtigt werden.
Man erhält dann für die Dielektrizitätskonstante
Skript zum zweiten Teil der Vorlesung Physik II SS2013 (nur zum persönlichen Gebrauch)
20
W.Wurth
𝜀𝑟 (𝜔) = 1 +
𝑓𝑖
𝑒2
∙� 2
𝜀0 𝑚𝑒
�𝜔0𝑖 − 𝜔 2 � + 𝑖𝛾𝑖 𝜔
𝑖
Abb. Schematische Darstellung des Realteil des Brechungsindex
als Funktion der Frequenz (nach Attwood)
Daraus folgt für den Realteil des Brechungsindex 𝑛𝑅𝑒 (𝜔) eine Form wie in der
Abbildung zu sehen. In großer Entfernung von den Resonanzen zeigt der
Brechungsindex normale Dispersion, d.h.
𝑑𝑛
𝑑𝜔
> 0. Bei jeder Resonanz 𝜔0𝑖 ändert sich
die Steigung des Brechungsindex und man erhält in der Nähe der Resonanz anomale
Dispersion, d.h
•
𝑑𝑛
𝑑𝜔
< 0.
Verdünntes Medium (z.B. Gas)
In einem verdünnten Medium ist 𝜀𝑟 (𝜔) = 1 + 𝛿𝜀 mit |𝛿𝜀| ≪ 1. In diesem Fall ist auch
der Brechungsindex nahe bei 1 und man kann ihn einfach aus der Dielektrizitätskonstante berechnen.
(𝜀𝑟 − 1) = (𝑛2 − 1) = (𝑛 + 1)(𝑛 − 1) ≅ 2(𝑛 − 1)
daraus folgt
1
𝑒2𝑁
1
(𝜀
𝑛(𝜔) − 1 ≅
∙ 2
𝑟 (𝜔) − 1) =
2
2𝜀0 𝑚𝑒 (𝜔0 − 𝜔 2 ) + 𝑖𝛾𝜔
und damit
(𝜔02 − 𝜔2 )
𝑒 2𝑁
𝑛𝑅𝑒 (𝜔) = 1 +
∙ 2
2𝜀0 𝑚𝑒 (𝜔0 − 𝜔 2 )2 + 𝛾 2 𝜔 2
und
−𝛾𝜔
𝑒2𝑁
𝑛𝐼𝑚 (𝜔) =
∙ 2
2𝜀0 𝑚𝑒 (𝜔0 − 𝜔 2 )2 + 𝛾 2 𝜔 2
Skript zum zweiten Teil der Vorlesung Physik II SS2013 (nur zum persönlichen Gebrauch)
21
W.Wurth
Die Abbildung zeigt den qualitativen Verlauf des
Realteils (oben) und des Imaginärteils (unten) des
Brechungsindex n als Funktion der Frequenz 𝜔
Die Abbildung zeigt die Dispersion von verdünntem
Na-Dampf in der Nähe der Na-(D-) Resonanzlinien
(Experiment in der Vorlesung)
9.2 Reflexion und Brechung an Grenzflächen
Beim Übergang zwischen zwei homogenen (isotropen) Medien mit den Brechungsindizes 𝑛𝑒
und 𝑛𝑡 (wobei der Index 𝑒 für das Medium steht aus dem eine elektromagnetische Welle auf
die Grenzfläche einfällt und der Index 𝑡 für das Medium, in das die Welle transmittiert wird)
beobachtet man sowohl Reflexion an der Grenzfläche als auch Brechung, d.h. die
Ausbreitungsrichtung der transmittierten Welle unterscheidet sich von der
Ausbreitungsrichtung der einfallenden Welle.
Geometrie an der Grenzfläche zwischen zwei
Medien
Wir verwenden folgende Ansätze um die Felder an der Grenzfläche bei 𝑧 = 0 zu beschreiben
𝐸�⃗𝑒 = 𝐸�⃗𝑒0 cos�𝜔𝑒 𝑡 − 𝑘�⃗𝑒 𝑟⃗�
𝐸�⃗𝑟 = 𝐸�⃗𝑟0 cos�𝜔𝑟 𝑡 − 𝑘�⃗𝑟 𝑟⃗�
𝐸�⃗𝑡 = 𝐸�⃗𝑡0 cos�𝜔𝑡 𝑡 − 𝑘�⃗𝑡 𝑟⃗�
Unter Berücksichtigung der Randbedingungen für Felder an Grenzflächen, erhält man für die
Tangentialkomponenten bei 𝑧 = 0
Skript zum zweiten Teil der Vorlesung Physik II SS2013 (nur zum persönlichen Gebrauch)
22
W.Wurth
𝐸�⃗𝑒0∥ cos�𝜔𝑒 𝑡 − 𝑘�⃗𝑒 𝑟⃗� + 𝐸�⃗𝑟0∥ cos�𝜔𝑟 𝑡 − 𝑘�⃗𝑟 𝑟⃗� = 𝐸�⃗𝑡0∥ cos�𝜔𝑡 𝑡 − 𝑘�⃗𝑡 𝑟⃗�
Diese Gleichung lässt sich für alle Zeiten 𝑡 an einem bestimmten Ort 𝑟⃗ auf der Grenzfläche nur
erfüllen, wenn gilt
𝜔𝑒 = 𝜔𝑟 = 𝜔𝑡 = 𝜔
d.h. alle Wellen schwingen mit der gleichen Frequenz.
Für die Wellenzahlen gilt dann
daraus folgt mit 𝑣𝑒 =
𝑐
𝑛𝑒
𝑘𝑒 ∙ 𝑣𝑒 = 𝑘𝑟 ∙ 𝑣𝑒 = 𝑘𝑡 ∙ 𝑣𝑡 = 𝜔
und 𝑣𝑡 =
𝑐
𝑛𝑡
𝑘𝑒 = 𝑘𝑟 =
𝑛𝑒
𝑘
𝑛𝑡 𝑡
Aus der Gleichung für die Tangentialkomponenten der Felder bei 𝑧 = 0 folgt weiter
𝑘�⃗𝑒 ∙ 𝑟⃗ = 𝑘�⃗𝑟 ∙ 𝑟⃗ = 𝑘�⃗𝑡 ∙ 𝑟⃗
ausführlich
𝑥 ∙ (𝑘𝑒 )𝑥 + 𝑦 ∙ (𝑘𝑒 )𝑦 = 𝑥 ∙ (𝑘𝑟 )𝑥 + 𝑦 ∙ (𝑘𝑟 )𝑦 = 𝑥 ∙ (𝑘𝑡 )𝑥 + 𝑦 ∙ (𝑘𝑡 )𝑦
Das gilt offensichtlich auch nur dann, für alle Werte 𝑥, 𝑦 wenn jede Komponente unabhängig
von der anderen gleich ist. Legen wir die Einfallsebene in die 𝑥 − 𝑧 −Ebene (d.h. (𝑘𝑒 )𝑦 = 0)
dann folgt daraus (𝑘𝑟 )𝑦 = (𝑘𝑡 )𝑦 = 0
Das bedeutet die einfallenden, reflektierten und transmittierten Wellenvektoren bilden mit
der Normalen auf die Grenzfläche eine Ebene (Einfallsebene).
Weiter gilt für die x-Komponenten
und damit 𝜃𝑒 = 𝜃𝑟
𝑘𝑒 sin 𝜃𝑒 = 𝑘𝑟 sin 𝜃𝑟
Das ist das Reflexionsgesetz: Einfallswinkel = Ausfallwinkel
Ebenso gilt
daraus folgt
Snellius’sches Brechungsgesetz
𝑘𝑒 sin 𝜃𝑒 = 𝑘𝑟 sin 𝜃𝑡
sin 𝜃𝑡 𝑘𝑒 𝑛𝑒
=
=
sin 𝜃𝑒 𝑘𝑡 𝑛𝑡
Skript zum zweiten Teil der Vorlesung Physik II SS2013 (nur zum persönlichen Gebrauch)
23
W.Wurth
Für 𝑛𝑒 > 𝑛𝑡 (Übergang von einem optisch dichteren Medium in ein optisch dünneres Medium)
wird beim Einfallswinkel 𝜃𝑒𝑇 (Totalreflexionswinkel)
𝑛𝑒
∙ sin 𝜃𝑒𝑇 = sin 𝜃𝑡 = 1
𝑛𝑡
d.h. 𝜃𝑡 = 90° und damit liegt der Wellenvektor des gebrochenen Strahls parallel zur
Grenzfläche
𝑛
Für alle Einfallswinkel 𝜃𝑒𝑇 > arcsin � 𝑛𝑒 � tritt Totalreflexion ein, d.h. die einfallende Welle tritt
𝑡
nicht in das dünnere Medium ein (präziser nur in eine sehr kleine Schicht an der Oberfläche).
Totalreflexion und evaneszente Wellen
Bei genauerer Betrachtung der Situation bei Totalreflexion erhalten wir für die Wellenvektoren
an der Grenzfläche
𝑘𝑡∥ = 𝑘𝑒∥ =
𝜔𝑛𝑒
sin 𝜃𝑒
𝑐
im Inneren des optisch dünneren Medium gilt
𝑘𝑡 =
𝜔𝑛𝑡
2
2
= �𝑘𝑡⊥
+ 𝑘𝑡∥
𝑐
daraus kann man 𝑘𝑡⊥ berechnen und erhält
𝜔𝑛𝑡 2
𝜔2
2
2
𝑘𝑡⊥
=�
� − 𝑘𝑡∥
= 2 (𝑛𝑡2 − 𝑛𝑒2 (sin 𝜃𝑒 )2 )
𝑐
𝑐
da für 𝜃𝑒 > 𝜃𝑒𝑇 gilt 𝑛𝑒 sin 𝜃𝑒 > 𝑛𝑡 folgt daraus, dass 𝑘𝑡⊥ imaginär wird
𝑛𝑒2
𝑘𝑡⊥ = ±𝑖 ∙ 𝑘𝑡 � 2 (sin 𝜃𝑒 )2 − 1 = ±𝑖 ∙ 𝛽
𝑛𝑡
Für die Feldstärke gilt dann (Einfallsebene 𝑥 − 𝑧-Ebene)
𝐸�⃗ (𝑥, 𝑧, 𝑡) = 𝐸�⃗0𝑡 𝑒 −𝛽𝑧 𝑒 −𝑖(𝜔𝑡−𝑘𝑥 𝑥)
das entspricht einer Oberflächenwelle, die nur an der Grenzschicht entlang läuft und
exponentiell nach innen abfällt.
Abschätzung für 𝛽 an einem Beispiel (Grenzfläche Glas/Luft):
𝑛𝑒 = 1.5; 𝑛𝑡 = 1; 𝜃𝑒𝑇 = 41.8°; 𝜃𝑒 = 45°; 𝜆 = 600nm
ergibt 𝛽 = 3.7 ∙ 10−3 𝑚𝑚−1 oder 1�𝛽 ≅ 𝜆�2
Skript zum zweiten Teil der Vorlesung Physik II SS2013 (nur zum persönlichen Gebrauch)
24
W.Wurth
Das bedeutet, dass die Eindringtiefe der Welle nur in der Größenordnung der Wellenlänge ist.
Bisher haben wir nur die Stetigkeit der Tangentialkomponente des elektrischen Felds benutzt
und hiervon auch nur die Phasenfaktoren (𝜔𝑡 − 𝑘�⃗ 𝑟⃗). Im nächsten Schritt wollen wir die
Amplituden betrachten und damit bestimmen welcher Anteil einer einfallenden el.magn.
Welle an einer Grenzfläche reflektiert bzw. transmittiert wird.
Reflexion und Transmission bei senkrechtem Einfall einer ebenen Welle
Für die Amplituden der Felder an der Grenzfläche gilt
𝐸�⃗0𝑒 + 𝐸�⃗0𝑟 = 𝐸�⃗0𝑡
�⃗0 =
Mit 𝐵
1
(𝑘�⃗
𝜔
�⃗0𝑒 + 𝐵
�⃗0𝑟 = 𝐵
�⃗0𝑡
𝐵
× 𝐸�⃗0 ) und 𝑘�⃗𝑒 = −𝑘�⃗𝑟 (Reflexion bei senkrechtem Einfall) sowie 𝑘�⃗𝑡 =
erhält man aus der Gleichung für die Magnetfelder
𝑛𝑡
𝑘�⃗
𝑛𝑒 𝑒
𝑛𝑒 𝐸�⃗0𝑒 − 𝑛𝑒 𝐸�⃗0𝑟 = 𝑛𝑡 𝐸�⃗0𝑡
Einsetzen von 𝐸�⃗0𝑡 aus der ersten Gleichung ergibt dann für die reflektierte Feldstärke
Mit dem Reflexionskoeffizienten
𝐸�⃗0𝑟 =
𝑛𝑒 − 𝑛 𝑡
𝐸�⃗ = 𝑟 ∙ 𝐸�⃗𝑜𝑒
𝑛𝑒 + 𝑛𝑡 𝑜𝑒
𝑟=
𝑛𝑒 − 𝑛𝑡
𝑛𝑒 + 𝑛𝑡
Für 𝑛𝑡 > 𝑛𝑒 , d.h. beim Übergang in ein optisch dichteres Medium schwingen die einfallende
Welle und die reflektierte Wellen gegenphasig. Bei der Reflexion gibt es einen Phasensprung
Δ𝜑 = 𝜋 . Beim Übergang in ein optisch dünneres Medium gibt es keinen Phasensprung, die
Felder sind an der Grenzfläche in Phase.
Für die transmittierte Welle erhält man für die Amplitude
𝐸�⃗0𝑡 =
Mit dem Transmissionskoeffizienten
2𝑛𝑒
𝐸�⃗ = 𝑡 ∙ 𝐸�⃗𝑜𝑒
𝑛𝑒 + 𝑛𝑡 𝑜𝑒
𝑡=
2𝑛𝑒
𝑛𝑒 + 𝑛𝑡
Der Reflexionsgrad 𝑹 einer Grenzfläche ergibt sich als das Verhältnis der Intensitäten
Skript zum zweiten Teil der Vorlesung Physik II SS2013 (nur zum persönlichen Gebrauch)
25
W.Wurth
𝑛𝑒 − 𝑛𝑡 2
𝑅 = 𝑟2 = �
�
𝑛𝑒 + 𝑛𝑡
Für den Reflexionsgrad ist die Richtung des Durchgangs durch die Grenzfläche unerheblich
Wenn die Brechungsindizes komplex sind, d.h. wenn ein Anteil der Welle im Medium
absorbiert wird, gilt
𝑅 = |𝑟|2 = 𝑟 ∙ 𝑟 ∗
wobei 𝑟 ∗ die komplex konjugierte Größe zu 𝑟 ist. Daraus folgt für einen rein imaginären
Brechungsindex (z.B. Metall unterhalb von 𝜔𝑝 ), dass der Reflexionsgrad 𝑅 = 1 ist, d.h. die
einfallende Welle wird vollständig reflektiert.
Beispiel: Luft/Glas-Grenzfläche 𝑛𝑒 = 1 und 𝑛𝑡 = 1.5 im sichtbaren Spektralbereich
→𝑅=
(1 − 1.5)2 0.25
=
= 0.04
(1 + 1.5)2 6.25
Beliebiger Einfallswinkel-Fresnel’sche Gleichungen
Die Fresnel’schen Gleichungen für das Reflexionsvermögen an einer Grenzfläche bei einem
beliebigen Einfallswinkel lassen sich ebenfalls aus den Randbedingungen für die Felder
ableiten.
Man unterscheidet zwei Fälle:
•
Reflexion von p-polarisierten el.magn. Wellen, d.h. der elektrische Feldvektor liegt in
der Einfallsebene (parallel zur Einfallsebene)
Dann erhält man:
𝑟∥ =
•
𝑛𝑡 cos 𝜃𝑒 − 𝑛𝑒 cos 𝜃𝑡
𝑛𝑡 cos 𝜃𝑒 + 𝑛𝑒 cos 𝜃𝑡
Reflexion von s-polarisierten el.magn. Wellen, d.h. der elektrische Feldvektor steht
senkrecht auf der Einfallsebene
Dann gilt
𝑟⊥ =
𝑛𝑒 cos 𝜃𝑒 − 𝑛𝑡 cos 𝜃𝑡
𝑛𝑒 cos 𝜃𝑒 + 𝑛𝑡 cos 𝜃𝑡
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W.Wurth
Skript zum zweiten Teil der Vorlesung Physik II SS2013 (nur zum persönlichen Gebrauch)
27
W.Wurth
Reflexionsgrad für Licht, das auf eine Luft/Glas-Grenzfläche
auftrifft (blau senkrecht zur Einfallsebene polarisiert; magenta
parallel zur Einfallsebene polarisiert) als Funktion des
Einfallswinkels.
Es zeigt sich, dass 𝑅∥ für bestimmte Einfallswinkel gleich Null wird und damit die reflektierte
Welle vollständig linear polarisiert ist
Diesen Winkel nennt man den Brewster-Winkel 𝜃𝐵 . Für den Brewster-Winkel 𝜃𝐵 gilt, dass der
Winkel zwischen dem gebrochenen und dem reflektierten Strahl 90° beträgt. Daraus folgt
tan 𝜃𝐵 =
𝑛𝑡
𝑛𝑒
Man kann das so erklären, dass die einfallende Welle im Medium schwingende Dipole anregt,
die in Richtung des el. Feldvektors der einfallenden Welle schwingen. Bei paralleler
Polarisation tritt bei einem Winkel von 90° zwischen dem gebrochenen Strahl im Medium und
dem reflektierten Strahl der Fall ein, dass die Schwingungsrichtung der angeregten Dipole
genau der Ausbreitungsrichtung des reflektierten Strahls entsprechen würde. Die
Abstrahlungscharakteristik Hertz’scher Dipole ist aber gerade so, dass in diese Richtung keine
elektromagnetische Welle emittiert wird.
9.3 Geometrische Optik
Bei der geometrischen Optik werden die Welleneigenschaften von Licht (el.magn. Wellen)
nicht berücksichtigt. Daher ist die Anwendung beschränkt auf Probleme, bei denen die
relevanten Dimensionen von Objekten sehr viel größer als die Wellenlänge sind.
Die Ausbreitung des Lichts wird in Form von Strahlen betrachtet. Die Grundgesetze der
geometrischen Optik sind die geradlinige Ausbreitung von Licht in homogene Medien, das
Reflexionsgesetz und das Brechungsgesetz. Einen „Lichtstrahl“ kann man erzeugen, in dem
man die Wellenfronten, die von einer sehr kleinen, praktisch punktförmigen Lichtquelle
ausgehen, durch eine kleine Öffnung begrenzt. Ein „Lichtstrahl“ kann dann mit der Richtung
Skript zum zweiten Teil der Vorlesung Physik II SS2013 (nur zum persönlichen Gebrauch)
28
W.Wurth
9.3.1
des Poynting-Vektors, d.h. des Energieflusses, bzw. bei homogenen Medien mit der Richtung
des Wellenvektors 𝑘�⃗ gleichgesetzt werden.
Das Fermat’sche Prinzip
Die Ausbreitung des Lichts in Medien mit kontinuierlich veränderlichem Brechungsindex,
lässt sich mit Hilfe des Fermat’schen Prinzips beschreiben.
Das Fermat’sche Prinzip besagt, dass die Lichtausbreitung so erfolgt, dass der optische Weg
– das Produkt aus Brechungsindex und zurückgelegter Strecke – der zurückgelegt wird,
einen Extremwert einnimmt.
Sehr häufig ist dieser Extremwert der kürzeste optische Weg. So ist es auch ursprünglich von
Fermat (~1650) postuliert worden.
(Das Fermat’sche Prinzip lässt sich aus den Welleneigenschaften von Licht ableiten (bzw.
eigentlich sogar aus der Quantenelektrodynamik ) und hängt damit zusammen, dass man für
die Feldstärke an einem Beobachtungspunkte alle Pfade phasenrichtig aufsummieren muss.
Dabei zeigt sich, dass die Pfade am meisten beitragen, bei denen bei einer kleinen Änderung
des Pfades nur kleine Änderungen der Phase auftreten, da sich die Amplituden der Felder
dann konstruktiv überlagern und die Intensitäten (das Quadrat der Amplituden) maximal
werden (sehr schön beschrieben in den Feynman-Lectures bzw. in Feynman’s Buch über
Quantenelektrodynamik:“QED: Die seltsame Theorie des Lichts und der Materie“).
Aus dem Fermat’schen Prinzip folgt auch die Umkehrbarkeit des Strahlengangs (außer wenn
man es mit Prozessen zu tun hat, bei denen die Zeitumkehrinvarianz gebrochen ist (z.B. bei
magnetooptischen Effekten wie dem Faraday-Effekt).
Mit dem Fermat’schen Prinzip lassen sich auch das Reflexionsgesetz und das
Brechungsgesetz (s. Übung) ableiten.
9.3.2
Optische Abbildung
Eine Abbildung bildet im Idealfall einen Punkt im Ortsraum in einen Punkt im Bildraum ab.
Außerdem fordert man, dass eine Gerade in eine Gerade abgebildet wird und dass die
Abbildung maßstabsgetreu ist. Man kann zeigen, dass dies streng nur für Spiegelungen an
ebenen Spiegeln gilt (trivialer Fall). Für alle nichttrivialen Abbildungen gibt es
Abbildungsfehler, die dazu führen, dass ein Punkt in ein ausgedehntes Objekt (Scheibe)
abgebildet wird.
Für Lichtbündel mit sehr kleinen Öffnungswinkeln, kann man sehr gute Näherungen an
perfekte Abbildungen erreichen. Diesen Fall, bei dem die Strahlen nur in kleinen Winkeln 𝜃
von einem Zentralstrahl abweichen und für den gilt tan 𝜃 ≅ sin 𝜃 ≅ 𝜃 nennt man auch
paraxiale oder gauß‘sche Optik.
Je nachdem, ob sich das abbildende Instrument zwischen Bildpunkt und Betrachter befindet
oder nicht, spricht man von einer virtuellen oder einer reellen Abbildung.
Skript zum zweiten Teil der Vorlesung Physik II SS2013 (nur zum persönlichen Gebrauch)
29
W.Wurth
Abbildung mit gekrümmten Spiegeln
Kugelspiegel
Abbildung eines Punktes G auf der optischen Achse (Gegenstandsweite 𝑔) in einen Punkt B
(Bildweite 𝑏) mit einem Spiegel (Krümmungsradius 𝑟, Mittelpunkt M).
Mit Hilfe des Reflexionsgesetzes erhält man
𝜃 = 𝛽−𝛼 =𝛼−𝛾
Für kleine Winkel 𝛼, 𝛽, 𝛾 (paraxialer Fall) gilt außerdem
tan 𝛾 ≅ 𝛾 ≅
tan 𝛼 ≅ 𝛼 ≅
tan 𝛽 ≅ 𝛽 ≅
ℎ
𝑔
ℎ
𝑟
ℎ
𝑏
Eingesetzt in die Winkelbeziehungen nach dem Reflexionsgesetz erhält man eine Abbildung
in der die Höhe h nicht mehr vorkommt, d.h. Strahlen, die unter unterschiedlichen Winkeln
von G auf den Spiegel auftreffen, werden alle auf den Punkt B abgebildet.
Abbildungsgleichung für Kugelspiegel
𝑟
2
1 1 2 1
+ = =
𝑔 𝑏 𝑟 𝑓
𝑓 = bezeichnet man als die Brennweite. Im Abstand 𝑓 werden Strahlen gebündelt für die
die Gegenstandsweite 𝑔 = ∞ ist.
Skript zum zweiten Teil der Vorlesung Physik II SS2013 (nur zum persönlichen Gebrauch)
30
W.Wurth
Wenn wir die Abbildung eines beliebigen Gegenstands konstruieren wollen, können wir dies
mit Hilfe dreier ausgezeichneter Strahlen tun, die von einem Punkt G des Gegenstands
ausgehen und sich in dem dazugehörigen Bildpunkt B treffen:
•
•
•
Strahl parallel zur optischen Achse („aus dem Unendlichen“) verläuft nach Reflexion
am Spiegel durch den Brennpunkt
Strahl, der vor der Reflexion durch den Brennpunkt geht, verläuft nach der Reflexion
parallel zur optischen Achse
Strahl, der den Spiegel im Schnittpunkt mit der optischen Achse trifft, wird an der
optischen Achse gespiegelt
Ein sphärischer Spiegel bildet achsenferne Strahlen, die parallel zur optischen Achse laufen,
nicht in denselben Punkt ab wie achsennahe. Diesen Abbildungsfehler (sphärische Aberration)
kann man vermeiden, wenn man einen Parabolspiegel verwendet.
Abbildung durch brechende Kugelflächen
Wir betrachten die Abbildung an einer Kugelfläche zwischen zwei homogenen Medien mit den
Brechungsindizes 𝑛1 und 𝑛2 . Für kleine Einfallswinkel gilt für das Brechungsgesetz:
𝑛1 sin 𝜃𝑒 = 𝑛2 sin 𝜃𝑡 → 𝑛1 𝜃𝑒 = 𝑛2 𝜃𝑡
Dies gilt nur dann, wenn die Winkel klein sind und gleichzeitig der Krümmungsradius 𝑟 der
Kugelfläche viel größer ist, als der Abstand der Strahlen zur optischen Achse.
Man erhält dann folgende Winkelbeziehungen:
Skript zum zweiten Teil der Vorlesung Physik II SS2013 (nur zum persönlichen Gebrauch)
31
W.Wurth
𝜃𝑒 = 𝛾 + 𝛼 und 𝜃𝑡 = 𝛼 − 𝛽
Das ergibt mit dem vereinfachten Brechungsgesetz die Gleichung
ℎ ℎ
ℎ ℎ
𝑛1 𝜃𝑒 = 𝑛1 � + � = 𝑛2 � − � = 𝑛2 𝜃𝑡
𝑔 𝑟
𝑟 𝑏
Daraus folgt die Abbildungsgleichung für brechende Kugelflächen
𝑛1 𝑛2 𝑛2 − 𝑛1
+
=
𝑔
𝑏
𝑟
Daraus ergeben sich zwei unterschiedlichen Brennweiten, abhängig davon ob parallele
Strahlen von links oder rechts auf die Kugelfläche auftreffen
bildseitige Brennweite
gegenstandseitige Brennweite
𝑔 → ∞; 𝑏 = 𝑓𝐵 =
𝑛2 ∙ 𝑟
𝑛2 − 𝑛1
𝑏 → ∞; 𝑔 = 𝑓𝐺 =
𝑛1 ∙ 𝑟
𝑛2 − 𝑛1
Mit dieser Abbildungsgleichung lassen sich Abbildungen mit beliebigen Kombinationen von
brechenden Kugelflächen behandeln. Man muss dann nur den jeweiligen Bildpunkt als
Gegenstandspunkt für die nächste Abbildung betrachten.
Wichtig ist dabei die Vorzeichenkonventionen zu berücksichtigen (S brechende Kugelfläche):
Variable
𝑔
𝑓𝐺
𝑏
𝑓𝐵
𝑟
>0
G links von S
FG links von S
B rechts von S
FB rechts von S
M rechts von S
<0
G rechts von S
FG rechts von S
B links von S
FB links von S
M links von S
Für die Konstruktion von Abbildungen kann man wieder ausgezeichnete Strahlen verwenden:
•
•
Strahl, der vor Durchgang durch die brechende Fläche parallel zur optischen Achse
verläuft, geht durch den bildseitigen Brennpunkt FB
Strahl, der vor Durchgang durch die brechende Fläche durch den gegenstandsseitigen
Brennpunkt FG verläuft, wird auf der Bildseite zu einem Strahl parallel zur optischen
Achse
Skript zum zweiten Teil der Vorlesung Physik II SS2013 (nur zum persönlichen Gebrauch)
32
W.Wurth
Abbildung mit einer dünnen Linse
Für einen kleinen Abstand d zwischen zwei brechenden Flächen (eine dünne Linse), erhält
man einen einfachen Zusammenhang für die Abbildungsgleichung.
𝑛1 𝑛3 𝑛2 − 𝑛1 𝑛3 − 𝑛2
+
=
+
𝑔
𝑏
𝑟1
𝑟2
Wenn die Linse sich an Luft befindet (𝑛1 = 𝑛3 = 1) ergibt sich daraus die
Linsenmacherformel
1 1
1 1
1
+ = (𝑛 − 1) � − � =
𝑔 𝑏
𝑟1 𝑟2
𝑓
Für die Konstruktion einer Abbildung kann man bei einer dünnen Linse einen weiteren Strahl
verwenden
•
9.3.3
Ein Strahl, der durch den Mittelpunkt der Linse läuft, wird nicht abgelenkt
Die Matrizenmethode
Eine besonders elegante Methode zur Berechnung von Abbildungen mit beliebigen optischen
Systemen in der paraxialen Optik ist die Matrizenmethode. Dabei beschreibt man die
paraxialen (Licht-)strahlen an einem gewissen Punkt auf der optischen Achse durch den
Abstand zur Achse 𝑥 und den Winkel zur optischen Achse 𝛼, d.h die Strahlen werden durch
einen Vektor mit zwei Komponenten charakterisiert, bei dem auch noch der Brechungsindex
𝑛1 an dem Ort berücksichtigt werden kann:
𝑛 𝛼
𝑆⃗ = � 1 �
𝑥
Bewegt sich der Strahl durch das Medium (Brechungsindex 𝑛1 ) mit der Dicke 𝑑 (Translation)
erhält man die neuen Komponenten des Vektors
𝑛1 𝛼
𝑆⃗′ = �
�
𝑥+𝑑∙𝛼
⃖⃗ darstellen
Diesen Übergang kann man durch eine Translationsmatrix 𝑻
Skript zum zweiten Teil der Vorlesung Physik II SS2013 (nur zum persönlichen Gebrauch)
33
W.Wurth
1
⃡ ∙ 𝑆⃗ = �𝑑
𝑆⃗′ = 𝑇
�𝑛1
0
𝑛 𝛼
∙� 1 �
1�
𝑥
Für Abbildungen mit Linsen benötigt man jetzt noch den Fall der Brechung an einer
Kugelfläche. Hier erhält man
⃗′
⃡ ∙ 𝑆⃗ = �
𝑆 =𝐵
1
0
−(𝑛2 − 𝑛1 )�
𝑟
1
�⃗
Das Nebendiagonalelement der Brechungsmatrix ⃖𝑩
𝐷=
𝑛 𝛼
� ∙ � 1 � = �𝑛2 𝛼′�
𝑥
𝑥
(𝑛2 − 𝑛1 )�
𝑟
bezeichnet man als Brechkraft 𝑫. Die Brechkraft hat die Einheit 1 Dioptrie = 1m-1
Die Abbildung eines Punktes 𝑥 auf der Gegenstandsseite im Abstand 𝑔 in einen Bildpunkt 𝑥′
im Abstand 𝑏 lässt sich dann beschreiben durch:
𝑛 𝛼′
⃡′ ∙ 𝐵
⃡∙𝑇
⃡ �𝑛1 𝛼 � = 𝑀
⃖�⃗ ∙ 𝑆⃗
𝑆⃗′ = � 2 � = 𝑇
𝑥
𝑥′
1
⃖�⃗ = �𝑏
𝑀
�𝑛2
𝑀
= � 11
𝑀21
0
1
∙�
1� 0
1
−𝐷
� ∙ �𝑔
�
1
𝑛1
𝐷𝑔
⎛
𝑀12
𝑛1
�=⎜
𝑏𝐷𝑔 𝑔
𝑀22
𝑏
−
+
𝑛1 𝑛2 𝑛1
𝑛
⎝ 2
1−
0
1�
−𝐷
⎞
𝐷𝑏⎟
1−
𝑛2
⎠
Für eine eindeutige Abbildung darf 𝑥′ nicht vom Winkel 𝛼 abhängen. Da
�
𝑀
𝑛2 𝛼′
� = � 11
𝑀
𝑥′
21
𝑀 𝑛 𝛼 + 𝑀12 𝑥
𝑀12 𝑛1 𝛼
� = � 11 1
��
�
𝑥
𝑀22
𝑀21 𝑛1 𝛼 + 𝑀22 𝑥
⃖�⃗ eines abbildenden Systems bedeutet das, dass das
Für die Transformationsmatrix 𝑀
Nebendiagonalelement 𝑀21 = 0 sein muss
→
𝑔
𝑏𝐷𝑔
𝑏
+
=
;
𝑛2 𝑛1 𝑛1 𝑛2
→
∙
𝑛1 𝑛2
𝑏𝑔
(𝑛2 − 𝑛1 )
𝑛1 𝑛2
+
=𝐷=
𝑟
𝑔
𝑏
Das entspricht der Abbildungsgleichung für die brechende Kugelfläche.
Skript zum zweiten Teil der Vorlesung Physik II SS2013 (nur zum persönlichen Gebrauch)
34
W.Wurth
Aus dem Diagonalelement 𝑀22 erhält man den Abbildungsmaßstab, d.h. das Verhältnis
da gilt
𝑥′
𝑥
,
𝑥 ′ = 𝑀22 ∙ 𝑥
⃖�⃗ = 𝑀22 ∙ 𝑀11 = 1, da die einzelnen Determinanten der TranslationsEs gilt außerdem det 𝑀
bzw. Brechungsmatrizen gleich 1 sind und 𝑀12 = −𝐷
⃖�⃗ für ein abbildendes System lässt sich also immer in der Form
Die Transformationsmatrix 𝑀
⃖�⃗ = �
𝑀
𝑀11
0
−𝐷
1 �
𝑀11
schreiben, d.h. man kann ein beliebiges optisches System durch ein einzelnes brechendes
Objekt (Kugelfläche oder dünne Linse) realisieren.
Anwendung
Für die Brechung an einer Linse (Brechungsindex 𝑛2 = 𝑛), die sich an Luft befindet
(𝑛1 = 𝑛3 = 1) mit zwei brechenden Kugelflächen (Brechkraft 𝐷1bzw. 𝐷2) im Abstand 𝑑 kann
⃡𝐿 einfach mit der Matrixmethode berechnen
man die Brechungsmatrix 𝐵
⃡𝐿 = �1
𝐵
0
1
−𝐷2
� �𝑑
�𝑛
1
⃡𝐿 = 𝐵
⃡2 ∙ 𝑇
⃡∙𝐵
⃡1
𝐵
𝐷2 𝑑
1−
0 1 −𝐷1
𝑛
��
�=�
𝑑
1 0
1
𝑛
𝐷1 𝐷2 𝑑
𝑛 �
𝐷1 𝑑
1−
𝑛
−(𝐷1 + 𝐷2 ) +
Durch Vergleich erhält man damit die Brechkraft einer Linse mit Dicke d an Luft
𝐷 = −(𝐷1 + 𝐷2 ) +
𝐷1 𝐷2 𝑑
𝑛
Wenn die Dicke der Linse 𝑑 → 0 geht erhält man für die Brechungsmatrix einer dünnen Linse
mit der Brechkraft
⃡ = �1 −(𝐷1 + 𝐷2 )�
𝐵
0
1
𝐷 = 𝐷1 + 𝐷2
Mit dem Matrizenformalismus hat man eine einfache Methode um den Strahlengang in
komplexen optischen Systemen zu berechnen (der Formalismus lässt sich auch auf Probleme
in der Elektronen- oder Ionenoptik anwenden).
Matrixanalyse von Spiegeln
Skript zum zweiten Teil der Vorlesung Physik II SS2013 (nur zum persönlichen Gebrauch)
35
W.Wurth
Für die Reflexion an einem sphärischen Spiegel mit Radius 𝑟 erhält man den Zusammenhang
𝑆⃗′ = �𝑛𝛼′� = �−1
𝑥
0
⃡
Mit der Reflexionsmatrix 𝑅
−2𝑛
𝑛𝛼
⃡ ∙ 𝑆⃗
𝑟 �� 𝑥 � = 𝑅
1
⃡ = �−1
𝑅
0
−2𝑛
𝑟 �
1
⃖�⃗
Für die Abbildung an Luft gilt dann für die Transformationsmatrix 𝑀
⃡𝑏 ∙ 𝑅
⃡∙𝑇
⃡𝑔 = �1
⃖�⃗ = 𝑇
𝑀
𝑏
−2
1
0 −1
��
��
𝑟
𝑔
1
0
1
2𝑔
−1 −
0
𝑟
�=�
1
2𝑏𝑔
−𝑏 + 𝑔 −
𝑟
Wenn wir wieder 𝑀21 = 0 setzen, erhalten wir die Abbildungsgleichung
−2
𝑟 �
2𝑏
1−
𝑟
1
1 1
− =−
𝑓
𝑔 𝑏
(Mit Einsetzen der richtigen Vorzeichen für b und f erhält man die Gleichung von oben)
9.3.4
Abbildungsfehler
Wie schon angemerkt, sind optische Abbildungen nicht perfekt. Man unterscheidet zwischen
verschiedenen Abbildungsfehlern
•
chromatische Aberration
chromatische Aberration tritt auf, da die Brechungsindizes von der Wellenlänge bzw.
Frequenz der Strahlung abhängen (𝑛(𝜔) bzw. 𝑛(𝜆))
Am Beispiel der Brennweite einer dünnen Linse
1
1 1
(𝑛(𝜆) − 1) � − � =
𝑓(𝜆)
𝑟1 𝑟2
erkennt man, dass damit 𝑓und die Abbildungsgleichung von der Wellenlänge („der
Farbe“) der Strahlung abhängt.
•
Monochromatische Aberrationen
Ursache für diese Abbildungsfehler ist, dass die Näherung kleiner Winkel ihre
Gültigkeit verliert. Wenn man z.B. die Taylor-Entwicklung von sin 𝛼 in der Nähe von
𝛼 = 0 betrachtet
𝛼3
sin 𝛼 = 𝛼 −
+⋯
3!
bedeutet dies, dass die lineare Näherung (Näherung 1. Ordnung) nicht ausreichend
Skript zum zweiten Teil der Vorlesung Physik II SS2013 (nur zum persönlichen Gebrauch)
36
W.Wurth
ist und Terme höherer Ordnung (3. Ordnung) wichtig werden.
o
sphärische Aberration
wie am Beispiel des Kugelspiegel diskutiert folgen achsenferne Strahlen nicht
der gleichen (paraxialen) Abbildungsgleichung wie achsennahe Strahlen. Das
gilt auch für brechende Kugelflächen. Die resultierenden Abweichungen
nennt man sphärische Aberrationen.
o
weitere Aberrationen treten auf, wenn Bündel unter einem großen Winkel
zur optischen Achse eine Linse durchlaufen. Zu diesen Linsenfehlern gehören
Koma (Lichtbündel mit großem Öffnungswinkel führen zu verzerrten
Abbildungen z.B. werden kreisförmige Objekte elliptisch verzerrt)und
Astigmatismus (parallele Lichtbündel, die unter einem großen Winkel zur
optischen Achse auf eine Linse fallen, führen zu vertikalen und horizontalen
Strichfoci, deren Abstand zur Linse verschieden ist). Andere Linsenfehler sind
Bildfeldwölbungen, bei denen verschiedene Bereiche eines Bilds in
unterschiedlichen Abständen zur Linse erscheinen (kissen- und
tonnenförmige) Verzerrungen.
9.4 Welleneigenschaften von Licht
Wenn Licht mit Objekten wechselwirkt, bei denen die Dimensionen in die Nähe der
Größenordnung der Wellenlänge kommen, muss man berücksichtigen, dass es sich bei Licht
um eine elektromagnetische Welle handelt. Das gilt z.B. auch, wenn die Objekte zwar viel
größer als die Wellenlänge sind, man sich aber mit Phänomenen beschäftigt, die bei der
Wechselwirkung von Licht mit dem Rand des Objekts auftreten. Ein weiterer Fall, bei dem die
Welleneigenschaften sehr wichtig sind, ist die Überlagerung von Lichtquellen.
Die beiden wichtigsten Konsequenzen der Welleneigenschaften von Licht sind Interferenz und
Beugung.
9.4.1
Interferenz
Interferenz tritt auf, wenn sich zwei oder mehr elektromagnetische Wellen an einem Punkt
überlagern.
Für elektromagnetische Wellen gilt das Superpositionsprinzip, d.h. die Amplitude der Welle
an einem Ort ergibt sich aus der Summe der Amplituden von allen Wellen, die sich an diesem
Punkt treffen
𝐸�⃗ = 𝐸�⃗1 + 𝐸�⃗2 + ⋯
Skript zum zweiten Teil der Vorlesung Physik II SS2013 (nur zum persönlichen Gebrauch)
37
W.Wurth
Einfachstes Beispiel ist die Überlagerung zweier Punktquellen auf einem Schirm. Wir
betrachten zwei linear polarisierte monochromatische Quellen, die dieselbe Frequenz
abstrahlen. Der Abstand der beiden Quellen 𝑑 sei groß gegen die Wellenlänge 𝜆 und der
Beobachtungspunkt P sei weit genug von den Quellen entfernt, so dass wir die Wellen als
ebene Wellen betrachten können
𝐸�⃗1 (𝑟⃗, 𝑡) = 𝐸�⃗01 cos�𝜔𝑡 − 𝑘�⃗1 𝑟⃗ + 𝜑1 �
𝐸�⃗2 (𝑟⃗, 𝑡) = 𝐸�⃗02 cos�𝜔𝑡 − 𝑘�⃗2 𝑟⃗ + 𝜑2 �
Auf einem Schirm (oder mit den üblichen Sensoren (Photodiode, Film, CCD-Chip, Auge)
messen wir die Intensität. Die Intensität ergibt sich als
𝐼 ∝ ⟨𝐸�⃗ 2 ⟩ = ⟨�𝐸�⃗1 + 𝐸�⃗2 ��𝐸�⃗1 + 𝐸�⃗2 �⟩ = ⟨𝐸�⃗12 + 𝐸�⃗22 + 2𝐸�⃗1 𝐸�⃗2 ⟩ = 𝐼1 + 𝐼2 + 𝐼12
da wir über eine Schwingungsperiode 𝑇 mitteln, weil die Frequenz 𝜔 ≈ 1014 Hz ist und wir
deshalb einzelne Schwingungen im Allgemeinen nicht auflösen können. (Im letzten Schritt
ignorieren wir die Konstanten, da wir uns oft nur für relative Änderungen interessieren).
Den Ausdruck
bezeichnet man als Interferenzterm.
𝐼12 = 2⟨𝐸�⃗1 𝐸�⃗2 ⟩
In dem speziellen Fall von zwei Punktquellen ergibt sich dafür
𝐸�⃗1 𝐸�⃗2 = 𝐸�⃗01 𝐸�⃗02 cos�𝜔𝑡 − 𝑘�⃗1 𝑟⃗ + 𝜑1 � ∙ cos�𝜔𝑡 − 𝑘�⃗1 𝑟⃗ + 𝜑1 �
mit cos(𝛼 − 𝛽) = cos 𝛼 cos 𝛽 + sin 𝛼 sin 𝛽 und 𝛼 = 𝜔𝑡 bzw. 𝛽1,2 = 𝑘�⃗1,2 𝑟⃗ − 𝜑1,2 erhält man
⟨𝐸�⃗1 𝐸�⃗2 ⟩ = 𝐸�⃗01 𝐸�⃗02 ⟨cos2 𝜔𝑡 cos�𝑘�⃗1 𝑟⃗ − 𝜑1 � cos�𝑘�⃗2 𝑟⃗ − 𝜑2 �
+ sin2 𝜔𝑡 sin�𝑘�⃗1 𝑟⃗ − 𝜑1 � sin�𝑘�⃗2 𝑟⃗ − 𝜑2 �
+ cos 𝜔𝑡 sin 𝜔𝑡 cos�𝑘�⃗1 𝑟⃗ − 𝜑1 � sin�𝑘�⃗2 𝑟⃗ − 𝜑2 � + cos 𝜔𝑡 sin 𝜔𝑡 cos�𝑘�⃗2 𝑟⃗
− 𝜑2 � sin�𝑘�⃗1 𝑟⃗ − 𝜑1 �⟩
da ⟨cos 𝜔𝑡 sin 𝜔𝑡⟩ = 0 und ⟨cos2 𝜔𝑡⟩ = ⟨sin2 𝜔𝑡⟩ = 1/2
𝐼12 = 2⟨𝐸�⃗1 𝐸�⃗2 ⟩ = 𝐸�⃗01 𝐸�⃗02 cos�𝑘�⃗1 𝑟⃗ − 𝜑1 − 𝑘�⃗2 𝑟⃗ + 𝜑2 � = 𝐸�⃗01 𝐸�⃗02 cos 𝛿
mit der Phasendifferenz
𝛿 = 𝑘�⃗1 𝑟⃗ − 𝜑1 − 𝑘�⃗2 𝑟⃗ + 𝜑2
𝜑2 − 𝜑1 ist die anfängliche Phasendifferenz der beiden Quellen und 𝑘�⃗1 𝑟⃗ − 𝑘�⃗2 𝑟⃗ die Differenz
der beiden Wege von den Quellen zum Punkt P in Einheiten der Wellenlänge
Skript zum zweiten Teil der Vorlesung Physik II SS2013 (nur zum persönlichen Gebrauch)
38
W.Wurth
Wenn 𝐸�⃗01 und 𝐸�⃗02 senkrecht aufeinander stehen, ist 𝐼12 = 0, d.h. es gibt keine Interferenz.
2
𝐸
kann man die gesamte Intensität für
Für 𝐸�⃗01 ∥ 𝐸�⃗02 ist 𝐼12 = 𝐸01 𝐸02 cos 𝛿. Mit 𝐼1,2 = 01,2
2
diesen Fall schreiben als
es ergeben sich zwei Extremfälle
o
o
𝐼 = 𝐼1 + 𝐼2 + 2�𝐼1 𝐼2 cos 𝛿
konstruktive Interferenz 𝐼 = 𝐼1 + 𝐼2 + 2�𝐼1 𝐼2
für 𝛿 = 0, ±2𝜋, ±4𝜋, ⋯
destruktive Interferenz 𝐼 = 𝐼1 + 𝐼2 − 2�𝐼1 𝐼2
für 𝛿 = ±𝜋, ±3𝜋, ⋯
Wenn die Intensitäten der beiden Quellen am Ort P gleich sind, führt der zweite Fall zu
völliger Auslöschung.
Beispiele für Interferenzerscheinungen, bei denen zwei Quellen interferieren, wobei die zwei
Quellen durch Teilung der Wellenfronten aus einer Quelle entstehen:
Young’scher Doppelspalt:
Das klassische Experiment, bei dem zwei Quellen zur Interferenz gebracht werden, ist das
Young’sche Doppelspaltexperiment. Dabei werden zwei lange Spalte mit einer weit
entfernten Quelle so beleuchtet, dass die auf die Spalte auftreffende Wellenfront eben ist.
Auf dem ebenfalls (im Vergleich zum Abstand der Spalte) weit entfernten Schirm beobachtet
man dann ein regelmäßiges Interferenzmuster, wie man es von der Interferenz zweier
Young’scher Doppelspalt nach Giancoli,
Physik, Pearson
gleicher Quellen erwarten würde.
Skript zum zweiten Teil der Vorlesung Physik II SS2013 (nur zum persönlichen Gebrauch)
39
W.Wurth
Weglängenunterschied
Für den Weglängenunterschied, d.h. für die Differenz der beiden Wege vom jeweiligen Spalt
zu einem Beobachtungspunkt am weit entfernten Schirm, erhält man (Annahme:
Kugelwellen, die am Ort der beiden Spalte entstehen, Abstand 𝑠 zum Schirm sehr viel größer
als der Abstand 𝑑 der beiden Spalte)
2𝜋
2𝜋
(𝑟1 − 𝑟2 ) ≅
𝑘𝑟1 − 𝑘𝑟2 =
𝑑 sin 𝜃
𝜆
𝜆
Die Bedingung für konstruktive Interferenz ist dann
𝑑 sin 𝜃 = 𝜆(0, ±1, ±2, ⋯ )
Fresnel’sches Biprisma:
Abbildung aus Repetitorium
Experimentalphysik Otten (Springer)
Eine andere Möglichkeit zwei (virtuelle) Quellen zu erzeugen, die zu einem regelmäßigen
Interferenzbild führen, ist das Fresnel’sche Biprisma. Hier werden durch Brechung von dem
Skript zum zweiten Teil der Vorlesung Physik II SS2013 (nur zum persönlichen Gebrauch)
40
W.Wurth
einfallenden Licht einer Quelle an einem symmetrischen Prisma unter kleinen Einfallswinkeln
zwei virtuelle Quellen auf einem Schirm zur Interferenz gebracht.
Fresnel’scher Doppelspiegel:
Abbildung aus Gerthsen (Springer)
Weiteres Beispiel ist der Fresnel’sche Doppelspiegel. Hier werden durch die Reflexion der
Quelle L an zwei leicht gegeneinander verkippten Spiegel ebenfalls zwei virtuelle Quellen A
und B erzeugt, deren Überlagerung auf dem Schirm ein Interferenzbild erzeugt.
9.4.2
Zeitliche und räumliche Kohärenz
Eine wesentliche Bedingung für das Auftreten von Interferenz ist die Kohärenz der Quellen,
das bedeutet zwischen den Quellen muss eine feste Phasenbeziehung bestehen.
Man unterscheidet zwischen zeitlicher und räumlicher Kohärenz einer Quelle.
Zeitliche Kohärenz
Die zeitliche Kohärenz beschreibt man durch die zeitliche Kohärenzlänge
𝑙𝑐 = 𝑐 ∙ 𝑡𝑐
mit der Kohärenzzeit 𝑡𝑐 . Die Kohärenzzeit hängt dabei von der Monochromatizität der Quelle
ab, d.h. von der spektralen Breite ∆𝜈. Es gilt der Zusammenhang
∆𝜈 ∙ 𝑡𝑐 ≅ 1
Skript zum zweiten Teil der Vorlesung Physik II SS2013 (nur zum persönlichen Gebrauch)
41
W.Wurth
Der Zusammenhang resultiert aus der Tatsache, dass eine Lichtquelle mit einer endlichen
spektralen Breite ∆𝜈 über eine Fouriertransformation vom Frequenzraum in den Zeitraum
mit einem phasenstabilen Puls endlicher Länge ∆𝑡 korreliert ist. Das bedeutet, dass
unterschiedliche Quellen mit unterschiedlichen Frequenzen (Wellenlängen) nur für eine
bestimmte Zeit eine feste Phasenbeziehung aufweisen können, wobei die Zeit davon
abhängt, wie sehr sich die Frequenzen (Wellenlängen) unterscheiden.
Für weißes Licht, das von einer Glühlampe emittiert wird, würde sich ∆𝜈 ≅ 4 ∙ 1014 Hz
ergeben. Daraus folgt eine Kohärenzzeit von wenigen fs. Thermische Strahler, die auf der
Emission von Licht zwischen zwei Energieniveaus eines Atoms beruhen (z.B. NaDampflampe), haben Kohärenzzeiten von 𝑡𝑐 ≅ 10−8 𝑠. Schmalbandige Laser können
Kohärenzzeiten von Sekunden und mehr haben.
Aus der Kohärenzzeit lässt sich dann die Kohärenzlänge bestimmen. Man erhält
1
𝜆
𝜆2
𝑙𝑐 = 𝑐 ∙ 𝑡𝑐 = 𝜆 ∙ 𝜈 ∙
=𝜆
=
∆𝜈
∆𝜆 ∆𝜆
Schema eines Michelson-Interferometers
(Giancoli, Physik, Pearson)
Zeitliche Kohärenz kann man mit einem Interferometer (z.B. Michelson, Mach-Zehnder)
untersuchen. Durch Verwendung eines beweglichen Spiegels kann die Laufzeit in den beiden
Armen des Spektrometers relativ zueinander verändert werden. Bei zeitlichen Überlapp der
von der Quelle kommenden Lichtstrahlen innerhalb der Kohärenzzeit der Quelle beobachtet
man auf dem Detektor Interferenz.
Eine einfache Überlegung zur Kohärenzlänge folgt aus dem Vergleich zweier Quellen mit
Wellenlängen 𝜆 und 𝜆 + ∆𝜆, die zu einem bestimmten Zeitpunkt phasengleich sind und der
Betrachtung, wie lange es dauert, bis die Phasen sich gerade um 𝜋 bzw. 𝜆/2 unterscheiden.
Für diese Zeitspanne, die Kohärenzzeit 𝑡𝑐 , erhält man mit
𝜆
𝑛 ∙ 𝜆 + = 𝑛 ∙ (𝜆 + ∆𝜆)
2
𝑡
wobei 𝑛 = 𝑇𝑐 = 𝑡𝑐 ∙ 𝜈 die Zahl der Wellenzüge angibt, bis dieser Zeitpunkt erreicht ist.
𝑐
𝜆
= 𝑡𝑐 𝜈∆𝜆 = 𝑡𝑐 ∆𝜆
𝜆
2
Skript zum zweiten Teil der Vorlesung Physik II SS2013 (nur zum persönlichen Gebrauch)
42
W.Wurth
→ 𝑙𝑐 = 𝑐𝑡𝑐 =
𝜆2
2∆𝜆
Räumliche Kohärenz
Die räumliche Kohärenz hängt mit der Ausdehnung einer Quelle zusammen. Wenn Licht, das
von unterschiedlichen Orten der Lichtquelle kommt, aufgrund der dadurch hervorgerufenen
Weglängenunterschiede unterschiedliche Interferenzmuster erzeugt, kann dadurch die
Interferenzerscheinung zerstört werden.
Das lässt sich am Young’schen Doppelspalt illustrieren und messen
Wenn sich die optischen Wege vom Rand einer ausgedehnten Quelle (Breite 𝑏) zu den zwei
Spalten um mehr als 𝜆/2 unterscheiden (d.h. einen Phasenunterschied von 𝜋 haben)
verschwindet die Interferenz. Daraus folgt
𝑏𝑑 𝜆
∆𝑔 ≅
≤
2𝑧 2
mit dem Öffnungswinkel 𝛼 der Quelle ergibt das
𝑏𝛼 ≤ 𝜆
d.h. das Produkt aus Quellgröße und Öffnungswinkel sollte kleiner als die Wellenlänge sein.
Das Quadrat dieser Größe, d.h. das Produkt aus Quellfläche und Raumwinkel des
Strahlungskegels einer Lichtquelle, nennt man Emittanz
𝜀 = 𝑏2𝛼 2
Die Emittanz beschreibt das Volumen im Phasenraum (Ort und Impuls), das die Quelle
einnimmt. Sie ist in einem linearen optischen System eine Erhaltungsgröße (Liouville’scher
Skript zum zweiten Teil der Vorlesung Physik II SS2013 (nur zum persönlichen Gebrauch)
43
W.Wurth
Satz) und kann daher z.B. durch Fokussierung nicht verändert werden (Reduzierung der
Spotgröße bedeutet gleichzeitige Vergrößerung des Raumwinkels).
9.4.3
Beugung
Das zweite Phänomen, das sich nur mit den Welleneigenschaften von Licht erklären lässt, ist
Beugung an Objekten von der Größenordnung der Wellenlänge bzw. am Rand von Objekten.
Dabei beobachtet man bei Bestrahlung mit monochromatischem Licht z.B. im geometrischen
Schattenbereich Maxima und Minima der Intensität, deren Auftreten sich nicht mit
geometrischer Optik erklären lässt.
Das Huygens’sche Prinzip
Qualitativ lassen sich Beugungsphänomene mit Hilfe des Huygens’schen Prinzip erklären. Das
Huygens’sche Prinzip besagt, dass jeder Punkt einer Wellenfront als Ausgangspunkt einer
sekundären Elementarwelle angesehen werden kann. In einem optisch homogenen Medium
sind diese Elementarwellen Kugelwellen. Damit kann man die Beugung qualitativ auf die
Interferenz vieler Quellen zurückführen.
Man unterscheidet je nach den experimentellen Bedingungen zwischen Fresnel’scher Beugung
oder Nahfeldbeugung und Fraunhofer Beugung oder Fernfeldbeugung.
Fraunhofer Beugung bedeutet, dass sowohl der Abstand des beugenden Objekts von der
Quelle sehr groß sein muss, d.h. dass wir für die eintreffenden Wellenfronten ebene Wellen
annehmen können, als auch, dass der Abstand zum Beobachtungspunkt sehr groß sein muss,
so dass auch dort ebene Wellenfronten angenommen werden können.
Spezielle Fälle Fraunhofer’scher Beugung
Beugung an einem langen Spalt
Qualitativ erhalten wir mit Hilfe des Huygens‘schen Prinzips auf einem Schirm, dann eine
Beugungsminimum, wenn Elementarwellen, die an unterschiedlichen Punkten im Bereich des
Skript zum zweiten Teil der Vorlesung Physik II SS2013 (nur zum persönlichen Gebrauch)
44
W.Wurth
Spalts entstehen paarweise destruktiv interferieren, d.h. wenn man anschaulich den Spalt ein
zwei Hälften teilt, die sich gegenseitig auslöschen.
Die Bedingungen für Beugungsminima lauten dann
𝜆
𝑑
𝑠𝑖𝑛𝜃 = 𝑛
2
2
Um die Maxima zu bestimmen, muss man die Intensitätsverteilung genau berechnen. Beugung
lässt sich mathematisch mit der Fresnel-Kirchhoffschen Theorie beschreiben (siehe z.B. Zinth
oder Hecht). Dies sei hier nur kurz prinzipiell skizziert. Die Feldstärke 𝑈𝑃 (𝑅�⃗ ) am
Beobachtungspunkt 𝑃 mit den Koordinaten 𝑅�⃗ = (𝑥, 𝑦, 𝑧) erhält man durch Integration über
das Quellgebiet Ω (z.B. den Spalt), in dem man für jeden Quellpunkt (𝜉, 𝜂) eine elementare
Kugelwelle annimmt
𝑈𝑃 �𝑅�⃗ � ∝ � 𝑈0 (𝜉, 𝜂)
Ω
𝑒𝑥𝑝(𝑖𝑘𝑟)
𝑑𝜉𝑑𝜂
𝑟
Für einen langen Spalt im Grenzfall der Fraunhofer Beugung erhält man dann (siehe z.B. Zinth)
für die Intensität
𝜋𝑑 sin 𝜃 2
�
sin �
𝐼𝑆𝑝𝑎𝑙𝑡 (sin θ)
𝜆
=�
�
𝜋𝑑 sin 𝜃
𝐼𝑆𝑝𝑎𝑙𝑡 (0)
𝜆
Intensitätsverteilung als Funktion des Orts auf einem Schirm bei Beugung
an einem Einfachspalt
Skript zum zweiten Teil der Vorlesung Physik II SS2013 (nur zum persönlichen Gebrauch)
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W.Wurth
Beugung an einer Rechteckblende
Bei einem Spalt endlicher Höhe ℎ und Breite 𝑏 erhalten wir ein zweidimensionales
Beugungsgitter (schematische Intensitätsverteilung s. Abb.)
ℎ
2
𝑏
2
𝐼(𝐴, 𝐵) sin2 𝐴 sin2 𝐵
=
𝐼0
𝐴2
𝐵2
mit 𝐴 = 𝑘 sin 𝜙 und 𝐵 = 𝑘 sin 𝜃. Dabei sind 𝜙, 𝜃 die Winkel zwischen der optischen Achse
und dem Auftreffpunkt in den zueinander senkrechten Richtungen auf dem Schirm.
Beugung an einer Kreisblende
Hier findet man für die Intensität als Funktion des Beugungswinkels 𝜃 für eine Kreisförmige
Blende mit dem Durchmesser D
𝐼∝�
𝑘𝐷 sin 𝜃
𝐽1 � 2 �
𝑘𝐷 sin 𝜃
2
�
2
wobei 𝐽1 die Besselfunktion erster Gattung der Ordnung 1 ist.
Intensitätsverteilung bei Beugung an einer Kreisblende
Skript zum zweiten Teil der Vorlesung Physik II SS2013 (nur zum persönlichen Gebrauch)
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W.Wurth
Für die Position der Minima gilt
sin 𝜃𝑚𝑖𝑛 ≅ 1.22
𝜆
𝜆
, 2.23 , ⋯
𝐷
𝐷
Das mittlere scheibenförmige Maximum (s. Abb.) nennt man auch Airy-Scheibe.
Babinet’sche Prinzip
Für Beugungsphänomene gilt das Babinet’sche Prinzip. Danach sind die Beugungsmuster von
Öffnungen und dazu komplementären Hindernissen identisch (Beispiel: kreisförmiges Loch
bzw. Kreisscheibe).
Beugung am Doppelspalt
Für einen Young’schen Doppelspalt (Abstand der Spalte a, Breite der Spalte b) beobachtet man
eine Überlagerung des Interferenzmusters, das man für die Interferenz zweier Quellen
erwarten würde, mit dem Beugungsmuster eines einzelnen Spalts
mit 𝛽 = sin 𝜃
𝑏 2
�
sin
�𝑘
∙
𝛽
∙
𝐼𝐷𝑆 (𝛽)
𝑎
2 �
= cos2 �𝑘 ∙ 𝛽 ∙ � ∙ �
𝑏
𝐼𝐷𝑆(0)
2
𝑘∙𝛽∙2
Das entspricht der Beugung am Einfachspalt + einer Modulation durch die cos-Funktion
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Beugung als Fouriertransformation
Der Feldverlauf des Beugungsbilds entspricht der Fouriertransformation (vom Ortsraum in den
k-Raum) der Öffnungsfunktion des Objekts
Fraunhofer’sche Beugung, senkrechter Lichteinfall
+∞
𝑈𝑃 (𝛼, 𝛽) ∝ � Ω(𝜉, 𝜂)𝑒𝑥𝑝(−𝑖𝑘𝛼𝜉 − 𝑖𝑘𝛽𝜂)𝑑𝜉𝑑𝜂
−∞
𝛼, 𝛽 sind die sogenannten Richtungskosinusse, d.h. jeweils der Kosinus des Winkels zwischen
𝑘�⃗, dem Wellenvektor (Ausbreitungsrichtung), und den jeweiligen Raumachsen, d.h. 𝑘𝑥 = �𝑘�⃗ �𝛼
und 𝑘𝑦 = �𝑘�⃗ �𝛽. Das ist die zweidimensionale Fouriertransformation der Öffnungsfunktion
Ω(𝜉, 𝜂) vom Ortsraum in den k-Raum (Impulsraum).
kurzer Einschub
Eigenschaften von Fouriertransformationen
Die Fouriertransformation einer Faltung 𝐴 ⊗ 𝐵 zweier Funktionen 𝐴, 𝐵 ist gleich dem Produkt
der Fouriertransformierten der einzelnen Funktionen
𝐹𝑇(𝐴 ⊗ 𝐵) = 𝐹𝑇(𝐴) ∙ 𝐹𝑇(𝐵)
Faltung ist eine Operation, bei der aus zwei Funktionen 𝐴, 𝐵 eine Funktion nach folgender
Regel entsteht:
∞
(𝐴 ⊗ 𝐵)(𝑥) = � 𝐴(𝑥′)𝐵(𝑥 − 𝑥 ′ )𝑑𝑥′
−∞
Anwendung auf den Doppelspalt:
Öffnungsfunktion für den Doppelspalt (zwei Rechteckfunktionen Ω𝐸𝑆 (𝜂)):
mit
𝑎
𝑎
Ω𝐷𝑆 (𝜂) = Ω𝐸𝑆 �𝜂 − � + Ω𝐸𝑆 �𝜂 + �
2
2
𝑏
𝑏
𝑎
B(𝜂) = Ω𝐸𝑆 �𝜂 + � = �1 für − 2 <η< 2
2
0 sonst
lässt sich als Faltung einer Rechteckfunktion (Einzelspalt) mit zwei Deltafunktionen
(Doppelspalt mit infinitesimaler Öffnung ≜ zwei Punktquellen) schreiben
mit
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erhält man für die Faltung
𝑎
𝑎
Ω𝛿 (𝜂) = 𝛿 �𝜂 − � + 𝛿(𝜂 + )
2
2
∞
𝑎
𝑎
𝑎
𝑎
(Ω𝐸𝑆 ⊗ Ω𝛿 )(𝜂) = � �𝛿 �𝑥 ′ − � + 𝛿 �𝑥 ′ + �� 𝐵(𝜂 − 𝑥 ′ )𝑑𝑥 ′ = 𝐵 �𝜂 − � + 𝐵 �𝜂 + �
2
2
2
2
−∞
= Ω𝐷𝑆 (𝜂)
d.h. die Öffnungsfunktion des Doppelspalts lässt sich als Faltung des Einzelspalts mit zwei
Deltafunktionen am Ort der beiden Spalte darstellen. Allgemein gilt für beliebige identische
Vielfachobjekte, dass sie sich als Faltung der Objektfunktion mit n Deltafunktionen (n Zahl der
Objekte) darstellen lassen.
Daraus folgt, dass sich der Feldverlauf des Beugungsbild des Vielfachobjekts (Doppelspalt) (die
Fouriertransformierte der Öffnungsfunktion) aus dem Produkt der Fouriertransformierten
eines Einzelobjekts (Einzelspalt) (Beugungsbild des Einzelspalts) mit der Fouriertransformierten
der Deltafunktionen für die Position der Einzelobjekte (Interferenz zweier Punktquellen) ergibt
(siehe oben). Auch dieser Zusammenhang gilt allgemein für Vielfachobjekte.
Rücktransformation und Phasenproblem
Aus der Betrachtung für den Feldverlauf des Beugungsbilds folgt, dass man eine unbekannte
Objektfunktion im Prinzip durch Fourierrücktransformation des Feldverlaufs des Beugungsbilds
erhält. Leider wird im Allgemeinen nicht der Feldverlauf sondern die Intensität (Quadrat der
Feldverteilung) gemessen. Dabei geht die Phaseninformation verloren. Die Rekonstruktion
erfordert daher spezielle Techniken (z.B. „Oversampling“ und „iterative phase retrival“) um ein
Objekt zu rekonstruieren.
Eine andere Möglichkeit ist die Holografie. Hier wird die Phaseninformation dadurch erhalten,
dass man das Beugungsbild des Objekts auf dem Detektor mit einer Referenzwelle (z.B.
Kugelwelle von einer Punktquelle, die zur Beleuchtung des Objekts verwendet wird)
interferieren lässt. Das Interferenzmuster enthält dann die Phaseninformation des Feldverlauf
des Beugungsbilds.
Beugung am Gitter
Ein Gitter ist eine periodische Anordnung von Einzelobjekten (1dim oder 2dim oder 3dim)
Beispiel: eindim. Gitter aus unendlich langen sehr schmalen Einzelspalten („Strichgitter“)
N Spalte mit einem konstanten Abstand a
Intensitätsverteilung beim Strichgitter ohne Berücksichtigung der Einzelspalte –senkrechter
Einfall
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𝑎
sin2 �𝑁𝑘 2 sin 𝜃�
𝐼𝐺𝑖𝑡𝑡𝑒𝑟 (sin 𝜃)
=
𝑎
𝐼𝐺𝑖𝑡𝑡𝑒𝑟 (0)
N 2 sin2 �𝑘 sin 𝜃�
2
Lage der Hauptmaxima (für beliebige Einfallswinkel 𝜃0 ) - Gittergleichung
mit 𝑛 = 0,1,2, ⋯
𝑎(sin 𝜃 − sin 𝜃0 ) = ±𝑛𝜆
Gangunterschied für benachbarte Spalte = Beugungsordnung x Wellenlänge
Nullstellen
mit 𝑚 = 1,2, ⋯ 𝑁 − 1
𝑎(sin 𝜃 − sin 𝜃0 ) = ±
𝑚
𝜆 ± 𝑛𝜆
𝑁
zwischen den Hauptmaxima liegen 𝑁 − 1 Nullstellen der Intensität
Lage der Nebenmaxima
mit 𝑚 = 1,2, ⋯ 𝑁 − 2
𝑎(sin 𝜃 − sin 𝜃0 ) ≅ ±
2𝑚 + 1
𝜆 ± 𝑛𝜆
2𝑁
Intensität der Nebenmaxima ist stark reduziert (Faktor ∝
Hauptmaxima)
1
𝑁2
in der Mitte zwischen den
Wichtig für die Anwendung von Gittern als spektrale Filter ist die spektrale Breite ∆𝜆 der
Hauptmaxima, da sie direkt mit dem Auflösungsvermögen eines Gitterspektrometers 𝜆�∆𝜆
zusammenhängt, das die Möglichkeit beschreibt zwei Wellenlängen 𝜆 und 𝜆 + ∆𝜆 mit einem
Gitterspektrometer zu trennen. Nach dem Rayleigh-Kriterium ist das gerade noch möglich,
wenn ein Hauptmaximum für die Wellenlänge 𝜆 + ∆𝜆 auf ein benachbartes Minimum
(Nullstelle) der Intensitätsverteilung für die Wellenlänge 𝜆 fällt.
Daraus folgt
𝜆� = 𝑛𝑁
∆𝜆
d.h. das theoretische Auflösungsvermögen ist proportional zur Anzahl der (beleuchteten)
Gitterstriche und zur Beugungsordnung.
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Auflösungsvermögen eines optischen Systems nach Abbe
Bildentstehung durch Beugung
Die Abbildung eines beleuchten Objekts durch Linse(n) kann man sich durch eine Sequenz von
Fouriertransformationen aus der Objektebene in die Brennebene und zurück aus der
Brennebene in die Bildebene vorstellen.
Nach Abbe lässt sich ein (periodisches) Objekt dann auflösen, wenn die 0.te und die 1.
Beugungsordnung vom Objektiv erfasst wird. Daraus folgt bei senkrechter Beleuchtung für den
Fall, dass vor dem Objektiv der Brechungsindex 𝑛 ist, für das Auflösungsvermögen eines
Mikroskops
𝑑≥
9.4.4
Brechung in nicht isotropen Medien
𝜆
𝑛 sin 𝜃
�⃗ = 𝜀0 𝐸�⃗
Wenn die Antwort eines Mediums auf ein von außen angelegtes Feld 𝐷
richtungsabhängig ist, wird die Dielektrizitätskonstante 𝜀𝑟 eines Mediums zu einem Tensor 𝜀⃡𝑟 .
Das außen angelegte Feld und das Feld im Inneren sind dann nicht mehr parallel zueinander
�⃗ = 𝜀0 𝜀⃡𝑟 𝐸�⃗.
𝐷
Der Brechungsindex des Mediums hängt dann von der Polarisation der einfallenden Strahlung
mit Bezug auf die ausgezeichneten Achsen des Mediums ab. Ein charakteristisches Beispiel für
Effekte, die man dann beobachtet, ist das Auftreten von zwei Bildern, wenn man ein Objekt
durch einen doppelbrechenden Kristall betrachtet.
Doppelbrechung in optisch einachsigen Kristallen
In Kristallen, die Doppelbrechung zeigen (z.B. Kalkspat) , gibt es häufig eine ausgezeichnete
Achse (die sogenannte optische Achse) bezüglich der man für Licht, das parallel bzw. senkrecht
zu dieser Achse polarisiert ist, zwei verschiedene Brechungsindizes beobachtet.
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Der Dielektrizitätstensor 𝜀⃡𝑟 hat für diese optisch einachsigen Kristalle (opt. Achse sei die zRichtung) zwei Elemente in der Hauptdiagonalen
𝜀𝑥 = 𝜀𝑦 = 𝜀⊥ und 𝜀𝑧 = 𝜀∥
Breitet sich in so einem Kristall Licht entlang der optischen Achse (z-Richtung) aus (d.h. mit
einer beliebigen Polarisation in der x-y-Ebene (also senkrecht zur optischen Achse), so gilt für
den Brechungsindex
𝑛𝑜 = �𝜀⊥
Das bezeichnet man als den ordentlichen Strahl.
Für unpolarisiertes Licht, das sich entlang der x-Achse ausbreitet, erhält man zwei
Brechungsindices für die Anteile, die senkrecht 𝑛𝑜 = √𝜀⊥ bzw. parallel 𝑛𝑎𝑜 = �𝜀∥
(außerordentlicher Strahl) zur optischen Achse polarisiert sind
Für Ausbreitung (Wellenvektor 𝑘�⃗) unter einem Winkel 𝜃 zur optischen Achse folgt für die
Brechungsindices für den ordentlichen (polarisiert in der Ebene senkrecht zur optischen Achse
und senkrecht zur Einfallsrichtung) bzw. außerordentlichen Strahl (polarisiert senkrecht zum
ordentlichen Strahl in der Ebene, die durch 𝑘�⃗ und die optische Achse gegeben ist)
1
𝑛𝑜 = √𝜀⊥ und
=
(𝑛𝑎𝑜 )2
cos2 𝜃
𝜀⊥
+
sin2 𝜃
𝜀∥
Da beim ordentlichen Strahl keine Winkelabhängigkeit des Brechungsindex auftritt, verhält
sich dieser Strahl wie bei der Brechung in einem optisch isotropen homogenen Medium und
folgt dem Snellius’schen Brechungsgesetz.
Der außerordentliche Strahl zeigt ein anderes Verhalten. Hier hängt der Brechungsindex von
der Ausbreitungsrichtung bezüglich der optischen Achse des Kristalls ab und damit gilt das
einfache Brechungsgesetz nicht. Im Allgemeinen führt das zu einem komplexen Verhalten bei
der Brechung, das sich nicht einfach analytisch lösen lässt. Für einfache Geometrien (z.B.
senkrechter Einfall) kann man die Strahlausbreitung mit Hilfe der an der Grenzfläche
angeregten Huygens’schen Elementarwellen konstruieren (s. z.B. Zinth). Während die
Elementarwellen für den ordentlichen Strahl wie gewohnt Kugelwellen sind, sind die
Elementarwellen, die zum außerordentlichen Strahl führen, Wellen, bei denen die Fronten
gleicher Phase aufgrund der unterschiedlichen Phasengeschwindigkeiten in den zueinander
senkrechten Richtungen (𝑐�
bzw. 𝑐�
) ellipsenförmig sind.
√𝜀⊥
�𝜀∥
Wesentliche Merkmale der Doppelbrechung:
•
Licht wird von einem doppelbrechenden Kristall in zwei Strahlen aufgespalten. Die
relativen Intensitäten sind durch die Polarisation des Lichts und die Orientierung des
Kristalls gegeben.
Skript zum zweiten Teil der Vorlesung Physik II SS2013 (nur zum persönlichen Gebrauch)
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W.Wurth
•
•
der ordentliche Strahl folgt dem Brechungsgesetz. Sein Poynting-Vektor 𝑆⃗ liegt parallel
zum Wellenvektor 𝑘�⃗
der außerordentliche Strahl folgt nicht dem Brechungsgesetz. Strahlrichtung und
Poynting-Vektor sind im Allgemeinen nicht parallel zueinander
Weitere Effekte, die mit Feld-induzierten Tensoreigenschaften von 𝜀 zusammenhängen, sind
Änderungen der Polarisation von Licht durch elektrische oder magnetische Felder. Besonders
bekannte Effekte sind der elektrische oder magnetische Kerr-Effekt und der magnetische
Faraday-Effekt.
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