( )ω ( )ω - Universität Greifswald

UNIVERSITÄT GREIFSWALD
Mathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultät
INSTITUT FÜR BIOCHEMIE
Arbeitskreis Biophysikalische Chemie
Prof. Dr. Walter Langel
04.04.16
Teilchen im Kasten und Grundlagen
1
Die zeitabhängige Schrödingergleichung ohne Potenzial ist gegeben als

a)
 ²  ²

 i
;
2m x²
t
Zeigen Sie, dass die beiden Wellenfunktion der ebenen Wellen
  k ,    exp ikx  it 
  k ,    exp  ikx  it 
die Gleichung lösen können, und stellen Sie fest, was für eine Bedingung für k und ω dabei gelten
muss.
(Setzen Sie die Wellenfunktionen jeweils in die linke und rechte Seite ein und setzen Sie dann beide
Seiten gleich).
b)
 

i x auf die beiden Wellenfunktionen an und berechnen Sie
Wenden Sie den Impulsoperator
den Eigenwert. Was ist also physikalisch der Unterschied zwischen den beiden Wellenfunktionen ψ +
und ψ-?
c)
Was bedeutet dann die Summe der beiden Wellen.
d)
Was folgt aus der Heisenbergschen Unschärferelation für den Ort des Elektrons, wenn der Impuls
genau bestimmt ist?
e)
Für die Normierung einer Wellenfunktion, z.B.   , muss das Integral
p̂ x 


*

    dx

berechnet werden. Setzen Sie
 k,   also normieren?
sich 
f)
  k,   ein und stellen Sie fest, welchen Wert das Integral hat. Lässt
Fügen Sie ein konstantes Potenzial V(x)=E0 in die oben gegebene zeitabhängige Schrödingergleichung ein. Wie verändert sich die Bedingung für k und ω aus Frage a mit E0?
g)
Berechnen Sie k in Å-1 für ein freies Elektron mit einer Energie von E=100 eV:
²  k 2
   E
2m
und k‘ für dasselbe Elektron in einem Festkörper mit derselben Frequenz ω, aber einem konstanten
 ²  k2
 E  E0
Potenzial E0=-10 eV: 2m
h)
n
Berechnen Sie den „Brechungsindex“
körper.
k
k
1
für die Materiewelle des Elektrons in diesem Fest-
1-dimensionaler Kasten
Potenzial für ein Elektron in einem Kasten mit unendlich hohen Wänden.
2
a)
Zeichnen Sie qualitativ in die Abbildung eine realistischere Kurve für das Potential ein, das ein
Elektron durch die Atomkerne einer Alkenkette (C6..) erfährt.
b)
Nennen Sie je eine Eigenschaft von realen Elektronenzuständen, die durch das Model "Elektron im
Kasten" richtig bzw. falsch wiedergegeben wird.
3
Die Energien des obersten besetzten (HOMO) und untersten unbesetzten (LUMO) Orbitals für ein
Molekül mit n konjugierten Doppelbindungen berechnen sich nach:
h 2  n + 2 
2
EHOMO =
;
8mL 2
h 2  n + 3 
2
ELUMO =
mit
8mL 2
L = 2  n + 5   1,4 A
a)
Warum werden n+2 Orbitale für den Grundzustand einbezogen, nicht nur n?
b)
Entnehmen Sie der Skizze n für das gezeichnete Molekül und berechnen Sie die beiden Energien in
J!
c)
Berechnen Sie die Anregungsenergie in J, in cm -1 und die entsprechende Wellenlänge für die
Absorption eines Quants in Å!
2
4
Die Energien des obersten besetzten (HOMO) und untersten unbesetzten
den
skizzierten
Cyan-Farbstoffkation
mit
n=2
konjugierten
Doppelbindungen berechnen sich nach:
(LUMO) Orbitals für
h 2  n + 2 
;
8me  L2
2
E HOMO =
E LUMO
h 2  n + 3
=
8me  L2
2
L = 2  n  1,4 + 3,25A
hc
E 0  E LUMO  E HOMO 
mit

K. Saito, K. Ikegami, et al., J. Appl. Phys. 68 1968 (1990)
a
Kennzeichnen Sie in der Skizze des Moleküls die drei eingezeichneten Elektronenpaare, die durch
das Teilchen-im Kasten Modell erfasst werden und ergänzen Sie das nicht eingezeichnete, aber in
der Formel für EHOMO berücksichtigte vierte Elektronenpaar.
b
Berechnen Sie die Kastenlänge L nach der empirischen Formel und vergleichen Sie sie mit der
Größe aus der Originalarbeit Was bedeuten die Parameter 1,4 Å und 3,25 Å bei dem Teilchen-imKasten Modell für diesen Cyanfarbstoff.
c
Berechnen Sie die Energien des HOMO- und LUMO Zustände und die Übergangsenergie E0 in eV
und die Wellenlänge 0 des Übergangs in nm.
d
Unter bestimmten Bedingungen lagern sich zwei Moleküle zu einem Dimer zusammen. Der HOMOLUMO-Übergang ist dann in zwei mit 600 und mit 485 nm Wellenlänge aufgespalten (DavydovAufspaltung). Rechnen Sie die Energien E1 und E2 dieser Übergänge und bestimmen Sie die
Verschiebung ΔE als Mittelwert der beiden Verschiebungen gegenüber dem Übergang im Monomer,
E  E1
d.h. E  2
.
2
Der Hamiltonoperator des Systems lässt sich als Matrix in der Form
0
0
0 
 E HOMO


E HOMO
0
0 
 0
Hˆ  
0
0
E LUMO
 E 


 0
0
 E
E LUMO 

e
schreiben. Bestimmen Sie, welche der Vektoren
 1   1   1   0   0   0  1
             
 0   1    1  0   0   0  1
 0 ,  0 ,  0 ,  1 ,  1 ,  1 , 1
             
 0   0   0   0   1    1 1
             
Eigenvektoren sind, und welche Eigenwerte sie ggf. haben. Welche Zustände werden durch die
Eigenvektoren also jeweils repräsentiert.
3
5
Die Schrödingergleichung aus Aufgabe 4 lässt sich auch näherungsweise lösen durch die Parabel
 '  x  ( L  x)
ψ' = 0
für 0 < x < L;
für x  0 oder x  L
lösen.
 '
2
30  x  x  

   lautet.
L  L  L  
a)
Zeigen Sie, dass die (normierte) Wellenfunktion im Kasten
b)
ˆ  ' für 0 < x < L und zeigen Sie, dass diese Wellenfunktion keine Eigenfunktion
Berechnen Sie H
des Hamiltonoperators ist.
Berechnen Sie den Erwartungswert der Näherungslösung ψ’.
Vergleichen Sie das Ergebnis mit der exakten Lösung für den Grundzustand,
c)
2 π 2
und berechnen Sie die Differenz in eV für die angegebenen Zahlenwerte.
me 2L2
d)
Woraus folgt, dass ψ’ nicht der exakte Grundzustand sein kann?
6
Das Potenzial aus Aufgabe 4 wird um einen weiteren Kasten derselben Breite erweitert. Dieser ist
von dem ersten Kasten durch ein Potenzialbarriere der Hohe Vb und der Breite d = 0,8 Å getrennt.
∞L
d
L
∞
Vb
0
a)
b)
Wie müssen die Eigenfunktionen
Vb unendlich groß ist.
L
ψ 2n
L+d
2L+d
und Eigenwerte En für den zweiten Kasten allein lauten, wenn
Welcher Effekt ist prinzipiell zu erwarten, wenn Vb > E1 ist? Ist ein Elektron im Grundzustand mit
dieser Energie E1 im linken Kasten auf Dauer „gefangen“, wenn es (i) klassisch, (ii)
quantenmechanisch betrachtet wird?
4
c)
Schätzen Sie die Transmission der Barriere nach der Formel mit V b = 6 eV ab (Rechnen Sie Vb - E1
in J um). Ohne Ergebnis von Aufgabe 7a) verwenden Sie Vb - E1 = 4 eV:
1
1/ 2
T = exp 2  β  d; β =  2m e  Vb  E 1 

7
Wenn man jeweils nur die beiden untersten Niveaus mit n = 1 für die beiden Kästen 1 und 2 aus
a)
Aufgabe 6 berücksichtigt (Wellenfunktionen ψ11 und ψ21), lässt sich der Hamiltonoperator Ĥ' für
dieses System aus zwei Kästen als 2 x 2 Matrix schreiben:
 
  ψ11  Ĥψ11dx
0
Ĥ '   
 ψ   Ĥψ dx
11
  21
0

 Ĥψ 21dx 

0



0 ψ 21  Ĥ 21dx 

ψ

11
Die Schrödingergleichung lautet dann
a
a
Ĥ'    = E   
b
 
 b  mit den Wellenfunktionen ψ gesamt = a  ψ11 + b  ψ 21
Bestimmen Sie die vier Matrixelemente von Ĥ' ohne Berechnung von Integralen nur aus den
Bedingungen
(1)
Ĥ  ψ11 = E1  ψ11; Ĥ  ψ21 = E1  ψ21;

(2)
ψ
0

*
11
 ψ11dx =  ψ  ψ 21dx = 1;
*
21
0

ψ
0

*
11
 ψ 21dx =  ψ *21  ψ11dx = 0
0
b)
Wie nennt man Bedingungen der Form (2) für Wellenfunktionen?
c)
Zeigen Sie, dass alle angegebenen Vektoren 1-4 Eigenvektoren der folgenden Matrix Ĥ' sind
und bestimmen Sie die Eigenwerte 1 -4. Skizzieren Sie die vier Wellenfunktionen ψgesamt,1-4, die zu
diesen Vektoren v1-v4 gehören, in der obigen Zeichnung für das Zweikasten-Potenzial.
 E1 0 
1 
0
1
1 
;  1 =  ;  2 =  ;  3 =    4 =  
Ĥ' = 
0
1 
1
  1
 0 E1 
d)
Wenn die Barriere zwischen den beiden Kästen nicht unendlich hoch ist, nimmt der
 E E 

Ĥ' '   1
E E1 

Hamiltonoperator aus a die Form an:
Welche von den vier Vektoren 1-4 sind auch Eigenvektoren der Matrix Ĥ' ' mit ΔE < 0? Bestimmen
Sie die Eigenwerte und zeichnen Sie die Niveaus für E = -0,1  E1 in das Energieniveausschema
aus Aufgabe 7b ein.
(Ähnliche Aufspaltungen werden zwischen elektronischen Niveaus in Dimeren beobachtet und dort
als Davidov-Aufspaltung bezeichnet [P.O.J.Scherer, S.F.Fischer, Theoretical Molecular Biophysics,
Springer, 20120, S. 270]).
8
Gegeben sei ein Potenzial für ein Teilchen im Kasten mit L=4 Å und den (reellen) Eigenfunktionen
2
x

ψ1n =
 sin π  n   falls 0 < x < L; ψ1n = 0 falls x  0 oder x  L
L
L

a
Zeigen Sie, dass diese Wellenfunktionen Eigenfunktionen des Hamiltonoperators Ĥ sind und
berechnen Sie seine untersten beiden Energieeigenwerte E1,2 in eV.
 2 d2
Ĥ = 
+ V x ; V x  = 0 für 0 < x < L; V x  =  für x  0 oder x  L
2m e dx 2
b
Skizzieren Sie ein Energieniveaudiagramm für diese beiden Niveaus
5
9 a) Harmonische Schwingung im Vergleich zum Kastenpotential:
Bestimmen Sie die Kraftkonstante mit der ein Proton an ein ruhendes Sauerstoffatom gebunden ist
und eine Schwingung mit
b)
~0  3500 cm 1 ausführt.
Zeichnen Sie das Potential für
~  15000 cm 1 auf und zeichnen Sie die Niveaus v=0, 1, 2 ein.
c)
Bestimmen Sie die Breite des Potentialtopfes bei v=1.
d)
Vergleich des harmonischen Potentials mit Teilchen im Kasten-Potential:
a) Die Länge L des Kastens sei gerade gleich der Topfbreite bei v=1 (ohne Lösung von 1c) 0,4 Å).
Zeichnen Sie das Kastenpotenzial in das Bild der harmonischen Schwingung von Aufgabe 1 so ein,
dass die Nullpunkte und Mittelpunkte von beiden Potentialen übereinstimmen
ψ1n =
e)
2
x

 sin  π  n  
L
L


falls
0 < x < L; ψ1n = 0
falls
x  0 oder
xL
Zeigen Sie, dass diese Wellenfunktionen Eigenfunktionen des Hamiltonoperators Ĥ sind und berechnen Sie seine untersten drei Termwerte ~TiK (n  1,2,3) in cm-1.
Ĥ = 
f)
g)
 2 d2
+ V x ; V x  = 0
2m H dx 2
für
0 < x < L;
V x  = 
für
x0
oder
xL
Zeichnen Sie die drei Werte aus b) für n=1, 2, 3 in das Diagramm ein.
~
Wie groß ist die Differenz  zwischen den Termwerten der untersten beiden Niveaus n=1 und 2 im
Vergleich zu dem angegebenen Termwert von 3500 cm -1 beim harmonischen Potenzial?
h)
Verändern sich Kastenlängen und Kraftkonstanten, wenn man von protonierten zu deuterierten Stoffen
(mD=2*mH) übergeht? Um welchen Faktor verändern sich also die Energien und Termwerte jeweils
beim harmonischen und beim Kastenpotenzial beim Übergang von H zu D („Isotopeneffekt“)?
10 Teilchen im Kasten-Modell für die Dissoziation von Ethan ohne und mit potentieller
elektrostatischer Energie
a)
Skizzieren Sie die Wellenfunktionen ψ1 und ψ2 für n=1 und n=2 in einem Potentialkasten der Länge
L=3,3 Å (keine Rechnung). Wenn dies ein Längsschnitt durch ein Ethanmolekül sein soll, wo liegen
etwa die C- und die H-Atome?
b)
Wenn die beiden Wellenfunktionen aus a) die C-C-σ-Bindung symbolisieren sollen, welche entspricht
dann eher der geschlossenen, welche der geöffneten Bindung?
c)
Berechnen Sie die beiden Energien T 1 und T2 für ψ1 und ψ2 und die daraus resultierende
Dissoziationsenergie und vergleichen Sie mit dem Literaturwert (350 kJ/mol). Berücksichtigen Sie
jeweils zwei Elektronen im oberen und unteren Zustand!
6
d)
Welche Energieform wird beim Teilchen im Kasten-Modell mit V=0 ausschließlich berücksichtigt?
e)
Zeichnen Sie jetzt an den Stellen L/4 und 3L/4 in dem Kastenpotential je eine Ladung mit Z=1,
die jeweils eine CH3+-Gruppen darstellen soll.
Sind die Elektronen laut obiger Skizze in der undissoziierten oder dissoziierten σ- Bindung näher an
den „CH3+“?
f)
Wie lautet jetzt mit diesen beiden „CH3+-Gruppen“ der komplette Operator der potentiellen
(Coulomb-)Energie (eindimensional, nur in x-Richtung), der auf die beiden σ-Elektronen wirkt?
g)
L
Wie heißen allgemein Ausdrücke der Form Vi

 i Vˆ  i dx
*
0
L

in der Quantenmechanik und wie
 i*
 i dx
0
heißen Wellenfunktionen, für die gilt
L

?
 i*  i
dx  1
0
h)
Berechnen Sie für die beiden Wellenfunktionen 1 und 2 jeweils den Ausdruck
Vi 
 2 Z e2  Na
4   0
L
 L  *  i

 i*  i
  i
dx  
dx
x  3L / 4 
0
 0 x  L / 4
Woher kommt der Faktor 2 in der Formel?
Anleitung zur Rechnung: Berechnen Sie nur einmal den Ausdruck vor der eckigen Klammer genau
(etwa -3000 kJ*Å/mol) und verwenden Sie die unter geeigneten Voraussetzungen berechneten
bestimmten Integrale
L

0
L

0
i)
 1*  1
x  L/4
 2*  2
x  L/4
L
dx  
0
L
dx  
0
 1*  1
x  3L / 4
 2*  2
x  3L / 4
o
dx  1,734 A 1
o
1
dx  2,019 A
Berechnen Sie jetzt die korrigierte Dissoziationsenergie als
E diss  T2  V2  (T1  V1 ) und
vergleichen Sie wieder mit dem Literaturwert. Was hat die Coulombenergie bewirkt?
7
3-dimensionaler Kasten
Schätzen Sie die Energien der beiden untersten Elektronenzustände des Benzols und die
11 Übergangsenergie dazwischen mit Hilfe der Formel für ein "Elektron im Kasten" grob ab.
Die Seitenlänge des kubischen Kastens sei L= 0,5 nm.
a)
Warum ist nz immer gleich 2?
b)
Berechnen Sie die Übergangsenergie in diesem Modell in eV.
Setzen Sie für Zahl der Halbwellen in x,y,z-Richtung an:
nx
ny
nz
Energie
HOMO
2
1
2
LUMO
2
2
2
Übergangsenergie
----
Energie in eV
---
12 Das einfachste Modell für die Elektronenzustände eines Moleküls ist das Teilchen im Kasten.
a)
Das Ozon-Molekül ist gewinkelt mit einem O-O-O - Winkel von 117° und einer Bindungslänge von
1,28 Å. Der (vanderWaals)-Radius der kugelförmigen O-Atome sei 1,5 Å. Zeichnen Sie das Molekül
auf mm-Papier und ermitteln Sie die drei Seitenlängen L x, Ly, Lz eines rechtwinkligen Kastens, in den
es genau hineinpasst (x längste Seite, z senkrecht zur Molekülebene).
b)
Kann es in diesem Modell für das Ozon entartete Niveaus geben wie z.B. für Methan? Begründung!
c)
Das Teilchen-im-Kasten Modell liefert folgende untere 14 Orbitalenergien:
nx,ny,nz
1,1,1
2,1,1,
1,2,1
3,1,1
1,1,2
2,2,1
2,1,2
3,2,1
E / eV
8,37
?
16,75
19,59
20,90
20,96
25,11
27,97
nx,ny,nz
1,2,2
1,3,1
3,1,2
2,2,2
2,3,1
4,2,1
3,2,2
3,3,1
E / eV
?
30,71
32,12
33,48
34,91
37,78
40,50
41,93
Berechnen Sie die beiden fehlenden Energien!
d)
Wie viele Elektronen hat das Ozon-Molekül? Welche Orbitale sind also HOMO und LUMO, und wie
groß ist die Übergangsenergie dazwischen also in eV und in cm -1.
e)
Berechnen Sie die Übergangsenergie in eV des Hartley-Systems (mit Wellenlängen kleiner 300 nm),
das für die Schutzwirkung des Ozonmantels gegen UV-Strahlung der Sonne verantwortlich ist.
Kann der HOMO-LUMO-Übergang dafür verantwortlich sein? Suchen Sie ggf. ein unbesetztes Orbital
mit einer geeigneteren Energie oberhalb des HOMO!
f)
Skizzieren Sie die Aufenthaltswahrscheinlichkeit der Elektronen aus z-Richtung gesehen für HOMO
und LUMO Benutzen Sie dabei, dass die Wellenfunktionen in mehreren Dimensionen das Produkt
 ny 
 n

2
2
der eindimensionalen Wellenfunktionen ist, d.h.  xy 
 sin   x  x  
 sin  
 y ;
 Ly 
Lx
 Lx  L y


und betrachten Sie Nullstellen und Minima/Maxima dieser Funktionen. Hat das HOMO Maxima oder
Minima der Elektronendichte zwischen den O-Atomen, d.h. ist es eher bindend oder antibindend?
g)
Das HOMO lässt sich mit einer Energie von etwa 12 eV ionisieren (Ionisationsenergie). Skizzieren Sie
das Kastenpotenzial aus a in x-Richtung und zusätzlich ein realistischeres Potenzial, das Ionisation
berücksichtigen kann!
h)
Die Normalschwingungen des Ozon-Moleküls sind analog zu denen des Wassers. Skizzieren Sie
diese Schwingungen.
8
13
„Teilchen im Kasten“-Modell für die Elektronen im Wasser
An den Bindungen im H2O sind acht der zehn Elektronen beteiligt. Die Niveaus lassen sich durch das
Modell eines dreidimensionalen Kastens darstellen. Die Länge der OH-Bindung beträgt 0,96 Å, der HO-H-Winkel 105°, die Radien der O- und H-Atome werden mit 1,05 und 0,62 Å angenähert.
nx
ny
nz
E / eV
Orbital
1
1
1
20,8
2a1
2
1
1
?
1b2
1
2
1
?
3a1
1
1
2
46,4
1b1
3
1
1
60,4
4a1
2
2
1
57,8
2b2
4
1
1
95,0
3b2
Rechte Spalten: berechnete Daten für H2O von
Martin Chaplin, http://www.btinternet.com/~martin.chaplin/h2oorb.html
E ber/ eV
-37
-19
-15
-14
6
8
28
a) Berechnen Sie die beiden fehlenden Energiewerte aus den Angaben
b) Ordnen Sie HOMO und LUMO zu. Wie groß ist die Übergangsenergie zwischen beiden in eV und die
Wellenlänge für den Übergang. Vergleichen Sie diese mit dem Literaturwert von 8 eV.
[C. G. Elles, C. A. Rivera, Y. Zhang, P. A. Pieniazek and S. E. Bradforth, Electronic structure of liquid
water from polarization-dependent two-photon absorption spectroscopy, J. Chem. Phys. 130 (2009)
084501]
c) In welchem Wellenlängenbereich liegt dieser Übergang? Entspricht das Ergebnis von b der
allgemeinen Erfahrung?
d) Vergleichen Sie Teilchen-im-Kasten-Modell mit der zitierten Rechnung der Orbitale, indem Sie E aus
der Tabelle über E ber auftragen. Zeichnen Sie eine Gerade durch die Punkte und bestimmen Sie
Steigung und Abschnitt. Wenn das Modell stimmt, muss die Steigung 1 sein, und der Abschnitt ergibt
die Fermi-Energie.
e) Die x-Achse verläuft parallel zur Verbindungslinie der beiden H-Atome, die z-Achse senkrecht zur
Molekülebene. Skizzieren Sie das Molekül mit jedem der Orbitale unter Berücksichtigung der
Knotenebenen jeweils aus z- und x-Richtung gesehen.
f)
Wie lautet die explizit ausgeschrieben Wellenfunktion für den Zustand (1,2,1)?
14 Ein Wassermolekül sei in einem ansonsten leeren kubischen Käfig mit vollkommen starren
undurchdringlichen Wänden und einer Seitenlänge von 4,3 Å gefangen (z.B. Kristallwasser in Lactose
Monohydrat-Kristallen in grober Näherung).
a) Berechnen Sie den Durchmesser eines nahezu kugelförmigen Wassermoleküls aus dem Platzbedarf
in der Flüssigkeit.
b) Zeichnen Sie das Potenzial auf, das ein solches Wassermolekül sieht, das sich genau parallel zu
einer Käfigwand bewegt (Ohne Ergebnis von a d=3,7 Å).
c) Berechnen Sie die Energieniveaus für das Potenzial aus b in kJ/mol für n=1, 2.
d) Zeichnen Sie die Energieniveaus für alle Kombinationen n x, ny, nz ≤ 2 auf (Ohne Ergebnis von c
E0=0,5 kJ/mol. Kennzeichnen Sie entartete Niveaus.
e) Berechnen Sie die Energiedifferenzen zwischen allen Niveaus mit verschiedenen Energien, rechnen
Sie diese in Wellenzahlen um und vergleichen Sie mit den Literaturwerten von 136-238 cm-1.
f)
Die Wellenfunktionen für den eindimensionalen Kasten lauten
2
x

ψ1n =
 sin π  n   falls 0 < x < L; ψ1n = 0 falls x  0 oder x  L
L
L

Schreiben Sie die komplette Wellenfunktion für nx=1, ny=2, nz=1 und das L aus b auf.
g) Zeichnen Sie in die Skizze von b ein Potenzial für nicht vollständig starre, aber völlig
undurchdringliche Kastenwände ein.
Welchem in der Vorlesung behandelten Potenzial ähnelt das Ergebnis?
9
15 Spezifische Wärme eines Teilchens im Kasten.
a) Berechnen Sie die Energien der Niveaus aus Aufgabe 14 mit nx, ny, nz≤2.
Ohne Ergebnis von dort verwenden Sie Energien von 1,5; 3; 4,5; 6 kJ/mol
i
nx ny nz Ea,i / kJ/mol bi
bi
bi *Ea,i / J/mol
T=80 K
bi *Ea,i / J/mol
T=100 K
1
2
3
4
5
6
7
8
---
8
Z(T)   b i
---
i1
8
 b i  E a,i
---
---
---
---
i1
8
E(T)   b i  E a,i Z(T)
i1
b) Berechnen Sie die Boltzmannfaktoren, die Zustandssumme und die mittlere Energie bei 80 K und
100 K.
c) Berechnen Sie die spezifische Wärme cosz pro Mol Wasser bei 90 K aus den beiden Energien und
vergleichen Sie das Ergebnis mit dem klassischen Wert cv=3 R/2.
d) Warum ist der klassische Wert hier 3 R/2?
10
16 Harmonisches Potential im Vergleich zum Kastenpotential (I):
a) Das Wassermolekül sei jetzt in einem harmonischen Potential gefangen, das für alle Raumrichtungen
(x,y,z) gleich ist. Die Quantenenergie sei dieselbe wie die Übergangsenergie zwischen dem untersten
und ersten angeregten Zustand im Kastenpotential (s. Aufgabe 14d)). Bestimmen Sie die
Kraftkonstante, mit der das Molekül an seinen Käfig gebunden ist!
b) Zeichnen Sie das resultierende harmonische Potential in die Skizze für das Kastenpotential in
Aufgabe 14b ein!
x/Å
0 + 0,05
+ 0,1
+ 0,15
+ 0,2
V(x)
/
=4·V(0,05 Å)
=9·V(0,05 Å)
=16·V(0,05 Å)
kJ/mol
c) Die Wellenfunktionen des harmonischen Oszillators lauten in x,y,z Richtung:
1/ 4
 1 m  2 2 
 exp 
 x  ;
2





1/ 4
 1 m  2 2 
 exp 
 y  ;
2





1/ 4
 1 m  2 2 
 exp 
 z  ;
 2  

 m  2 

 ( x)  








 m  2 

 ( y )  








 m  2 

 ( z )  

     
Bilden Sie daraus die dreidimensionale Wellenfunktion Ψ(x,y,z) !
d) Verwenden Sie den Satz des Pythagoras in drei Dimensionen für den Abstand r vom Zentrum,
r 2  x 2  y 2  z 2 , und wandeln Sie Ψ(x,y,z) um in eine Wellenfunktion Ψ(r), die nur von r abhängt.
e) Schreiben Sie den Ausdruck für die Aufenthaltswahrscheinlichkeit auf.
Wie sieht eine Fläche
 (r )  const
im Raum aus? (Einfache geometrische Figur nennen, keine
Zeichnung).
f)
„Fühlen sich“ das Kastenpotential und das harmonische Potential jeweils eher wie eine Marmorplatte
oder wie eine Schaumstoffwand „an“?
11