MC-Aufgaben: Serie 1

D-MAVT D-MATL
Prof. Dr. Paul Biran
Analysis I
HS 2014
MC-Aufgaben: Serie 1
Die letzten Aufgaben sind Multiple-Choice-Aufgaben (MC-Aufgaben), die online gelöst werden. Sie erhalten dazu einen Link per E-Mail. Bitte schicken Sie
Ihre Lösungen zu den MC-Fragen bis Freitag, 3.10.2014 um 15.00 Uhr ab.
Bemerkung: Bei einigen MC-Aufgaben sind mehrere Antworten richtig. Eine
MC-Aufgabe ist dann korrekt gelöst und wird mit einem Punkt bewertet, wenn
Sie genau die richtigen Antworten angeben. Andernfalls wird sie mit Null bewertet. – Falls Sie die Lösung nicht wissen, raten Sie nicht. So erhalten wir eine
gute Rückmeldung über allfällige Unklarheiten. Viel Erfolg!
1
1.
Fritz ist ein rätselhafter Bücherwurm. Von seinen Aussagen ist nur eine richtig:
(i) “Ich habe mehr als zwei Bücher.”
(ii) “Ich habe weniger als zwei Bücher.”
(iii) “Ich habe mindestens ein Buch.”
Was ist dann noch zulässig?
√
(a)
Fritz hat keine Bücher.
Richtig. Gibt es noch andere Möglichkeiten?
(b)
Fritz hat genau ein Buch.
Dann wären Aussage (b) und (c) beide wahr.
√
(c)
Fritz hat genau zwei Bücher.
Richtig. Gibt es noch andere Möglichkeiten?
(d)
Fritz hat genau drei Bücher.
Dann wären Aussage (a) und (c) beide wahr.
(e)
Keine der anderen Antworten ist richtig.
Doch.
Sei n die Anzahl der Bücher, die Fritz hat. Dies ist eine ganze Zahl ≥ 0. Die
fraglichen Aussagen bedeuten dann folgendes:
(i) ⇔ n > 2, (ii) ⇔ n < 2, (iii) ⇔ n ≥ 1.
• Ist (i) richtig und (ii) und (iii) falsch, so gilt n > 2 ∧ n ≥ 2 ∧ n < 1, was
unmöglich ist.
• Ist (ii) richtig und (i) und (iii) falsch, so gilt n ≤ 2∧n < 2∧n < 1 ⇔ n = 0.
• Ist (iii) richtig und (i) und (ii) falsch, so gilt n ≤ 2∧n ≥ 2∧n ≥ 1 ⇔ n = 2.
Insgesamt folgt: Fritz hat entweder kein Buch oder genau 2 Bücher.
2
2.
√
Die Ungleichung ||x − 1| − 1| < 2 für reelle Zahlen x ist äquivalent zu ...
(a)
x<4
(b)
|x| < 4
(c)
0<x<2
(d)
−2 < x < 4
(e)
−3 < x < 3
Es gilt
||x − 1| − 1| < 2 ⇔ −2 < |x − 1| − 1 < 2 ⇔ −1 < |x − 1| < 3.
Da der Betrag sowieso ≥ 0 ist, ist letzteres äquivalent zu
|x − 1| < 3 ⇔ −3 < x − 1 < 3 ⇔ −2 < x < 4.
Also lautet die richtige Antwort (d).
3.
√
Gegeben sei die Folge an =
n
n+1
, n = 1, 2, 3, . . .. Welche der folgenden Aussagen sind falsch?
(a)
Die Folge ist monoton wachsend.
(b)
Die Folge ist beschränkt.
(c)
Die Folge ist eine Nullfolge.
(d)
Die Folge ist konvergent.
(e)
Der Limes der Folge ist 1.
Für alle n ≥ 1 gilt
an+1
n2 + 2n + 1
(n + 1)(n + 1)
=
> 1.
=
an
n(n + 2)
n2 + 2n
Da alle Folgenglieder positiv sind, folgt an+1 > an , d.h. die Folge ist monoton
wachsend. Weiter gilt
lim an = lim
n→∞
n→∞
n
1
= lim
n + 1 n→∞ 1 +
1
n
= 1.
Somit ist beschränkt und konvergiert gegen 1. Also lautet die richtige Antwort
(c) und nur (c).
3
4.
Welche der folgenden Aussagen sind richtig?
(a)
Eine divergente Folge ist nicht beschränkt.
Falsch. Z.B. ist {(−1)n }n∈N beschränkt und divergent.
(b)
Jede beschränkte Folge ist konvergent.
Falsch. Z.B. ist {(−1)n }n∈N beschränkt und divergent.
√
(c)
Jede konvergente Folge ist beschränkt.
Richtig. Dies folgt direkt aus der Definition der Konvergenz.
√
(d)
Eine nicht beschränkte Folge divergiert.
Richtig. Das ist die Kontraposition der vorhergehenden Aussage. Sie folgt
direkt aus der Definition der Konvergenz.
Sei (xn )n∈N eine reelle Zahlenfolge. Wenn diese konvergiert, so existiert ein x ∈ R
mit limn→∞ xn = x. Insbesondere gibt es ein N ∈ N so, dass für alle n ≥ N gilt
|xn − x| < 1. Sei L das Maximum aller Beträge |xn − x| für n < N , dann gilt
|xn | = |(xn − x) + x| ≤ |xn − x| + |x|,
was für n < N durch L + |x| beschränkt ist, und für n ≥ N ist dies durch
1 + |x| beschränkt. Insbesondere ist also (xn )n∈N beschränkt. Dies gilt also für
jede reelle Zahlenfolge, welche konvergiert.
5.
Der Grenzwert
lim
n→∞
2n3 − 1
10n3 + n + 21
ist gleich ...
√
(a)
1
5.
(b)
0.
(c)
∞.
(d)
1
32 .
(e)
1
− 21
.
Es gilt:
2 − n13
2n3 − 1
=
lim
n→∞ 10n3 + n + 21
n→∞ 10 + 12 +
n
lim
21
n3
.
Da die Summanden n13 , n12 , n213 jeweils eine Nullfolge bilden, wird der Grenzwert
2
des Quotienten nach den Rechenregeln für Grenzwerte zu 10
= 15 .
4