Zusammenfassung Diskrete Mathematik

Diskrete Mathematik
Eine Zusammenfassung der Vorlesung Diskrete Mathematik von
Jun.-Prof. Dr. Martin Rubey, gehalten im Sommersemester 2009 an der
Leibniz Universität Hannover
Autor: Markus Schepke
[email protected]
Stand: 26. Oktober 2010
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung
1.1 Was ist diskrete Mathematik? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Elementare Kombinatorik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1
1
2 Formale Potenzreihen und die Symbolische Methode
2.1 Formale Potenzreihen . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Zusammensetzungen formaler Potenzreihen . . . . .
2.3 Differenzieren formaler Potenzreihen . . . . . . . .
2.4 Die symbolische Methode für bezeichnete Objekte .
.
.
.
.
2
2
3
3
3
3 Abzählung unter Gruppenwirkung
3.1 Isomorphietypen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Pólya-Redfield-Theorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Gleichheit von Spezies, Moleküle und Atome . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
4
6
6
4 Diskrete Mathematik mit Linearer Algebra
4.1 Kombinatorik von Determinanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Elemente der Graphentheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Der Zyklen- und Cozyklenraum eines Graphen . . . . . . . . . . . . . . . .
7
7
8
9
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
5 Diskrete Mathematik mit Graphentheorie
5.1 Flüsse und Schnitte . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Nirgends verschwindende Flüsse . . . . . . . . .
5.3 Knotenfärbungen und Dualität ebener Graphen
5.4 Charakterisierung ebener Graphen . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
10
10
11
11
13
6 Ordnungstheorie
6.1 Teilweise geordnete Mengen .
6.2 Verbände . . . . . . . . . . .
6.3 Struktur von Verbänden . . .
6.4 Das Prinzip von Inklusion und
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
13
13
14
14
15
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
Exklusion
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Literatur
17
Index
19
1
1 Einleitung
1.1 Was ist diskrete Mathematik?
Die diskrete Mathematik untersucht diskrete Strukturen, d. h. meistens eine Folge von
endlichen Mengen. Dabei geht es sowohl um qualitative, als auch um quantitative Eigenschaften.
Satz 1.1 (Vierfarbensatz) Vier Farben reichen aus, um jede beliebige Landkarte so zu
färben, dass benachbarte Länder verschieden eingefärbt sind.
Satz 1.2 (Satz von Kuratowski) Ein Graph lässt sich genau dann in der Ebene zeichnen (ohne Kantenüberschneidungen), wenn er sich nicht durch Löschen von Kanten bzw.
Knoten oder durch Kontrahieren von Kanten auf K3,3 oder K5 reduzieren lässt.
Definition Ein Graph ist ein Paar G = (V, E) von Knoten und Kanten, wobei eine
Kante e = (u, v) ein Paar von Knoten ist. Ein Graph heißt ungerichtet, wenn mit (u, v)
immer auch (v, u) eine Kante ist.
1.2 Elementare Kombinatorik
Kombinatorische Formeln
• Anzahl k-Tupel aus [n]: nk
• Anzahl geordneter k-Tupel mit verschiedenen Elementen aus [n]: n(n − 1) · · · (n −
k + 1) = n!
k!
• Anzahl Permutationen von [n]: n!
• Anzahl Teilmengen von [n] mit k Elementen:
n
k
• Anzahl Kompositionen von k in n Summanden größer 0:
k−1
n−1
• Anzahl Zerlegungen von k in n Summanden größergleich 0:
n+k−1
k
• Anzahl r-Tupel
disjunkter Teilmengen von [n] mit k1 , . . . , kr Elementen, Vereinigung
n
n!
[n]: k1 ,...,kr := k1 !···k
(Multinomialkoeffizient)
r!
Markus Schepke
2
2
Formale Potenzreihen und die Symbolische Methode
2 Formale Potenzreihen und die Symbolische Methode
2.1 Formale Potenzreihen
Definition Eine formale Potenzreihe ist eine Folge (an )n∈N von komplexen Zahlen
(oder Elementen eines Integritätsbereiches) mit den Operationen:
(an ) + (bn ) := (an + bn )
(an )n · (bn )n := (cn )n
mit cn :=
n
X
ak bn−k
k=0
P
n
Notationen: ManPschreibt
Potenzreihe (an )n∈N ,
Pn kurz f (z)n = n≥0 an z für die formale
d. h.P
f (z)g(z) = n≥0 k=0 ak bn−k z . Für den Koeffizient von z n schreibt man [z n ]f (z) :=
[z n ] n≥0 an z n := an .
Satz 2.1 Die Menge der formalen Potenzreihen C[[z]] ist eine kommutative Algebra mit
Einselement 1 := (1, 0, 0, 0, . . .).
Lemma 2.2 Mit z := (0, 1, 0, 0, . . .) gilt:
z n = (0, . . . , 0, |{z}
1 , 0, . . .).
n-te Stelle
P
Satz 2.3 Die formale Potenzreihe f (z) = n≥0 fn z n ∈ C[[z]] hat genau dann ein multiplikativ Inverses f −1 (z), wenn f0 = [z 0 ]f (z) 6= 0 gilt.
Symbolische Methode Für n ∈ N sei
Die erzeugende Funktion zu
P Fn eine Menge.
n
F ist die formale Potenzreihe F (z) := n≥0 #Fn z .
Proposition 2.4 Seien F, G erzeugende Funktionen. Dann ist F (z)+G(z) die erzeugende
Funktion für (F +G)n = {0 : 0 ∈ Fn oder 0 ∈ Gn } und F (z)G(z) die erzeugende Funktion
für (F G)n = {(f, g) : f ∈ Fk und g ∈ Gn−k }.
Konvergenz für Folgen formaler Potenzreihen Seien Fi (z) formale Potenzreihen. Eine
Folge formaler Potenzreihen (F1 (z), F2 (z), . . .) heißt konvergent, wenn es für jedes n ∈ N
einen Index kn , sodass [z n ]Fk (z) für alle k > kn konstant ist.
Satz 2.5
X
Fn (z) konvergent
⇐⇒
n≥0
Diskrete Mathematik
deg(Fn (z)) −→ ∞.
2.2
Zusammensetzungen formaler Potenzreihen
3
2.2 Zusammensetzungen formaler Potenzreihen
P
P
Definition Seien F (z) = n≥0 fn z n und G(z) = n≥0 gn z n ∈ C[[z]] formale Potenzreihen mit g0 = [z 0 ]G(z) = G(0) = 0. Dann ist die Komposition definiert durch:
!
n
X
X
X
X
(F ◦ G)(z) :=
fn G(z)n = f0 +
zn
fk
gν1 · · · gνk .
n≥0
Satz 2.6
n≥1
ν1 +...+νk =n
k=1
(i ) Die Komposition ◦ ist assoziativ: ((F ◦ G) ◦ H)(z) = (F ◦ (G ◦ H))(z).
(ii ) Eine formale Potenzreihe F ∈ C[[z]], die kein Polynom ist, hat genau dann ein
Kompositionsinverses G, das kein Polynom ist, wenn [z 0 ]F (z) = 0 und [z 1 ]F (z) 6= 0
gilt. In diesem Fall ist G eindeutig bestimmt. Notation: F (−1) := G.
2.3 Differenzieren formaler Potenzreihen
P
Definition Die formale Ableitung einer formalen Potenzreihe F = n≥0 an z n ∈ C[[z]]
ist definiert als:
!
X
X
X
DF := D
an z n :=
nan z n−1 =
(n + 1)an+1 z n .
n≥0
n≥1
n≥0
Satz 2.7 Für formale Potenzreihen F, G ∈ C[[z]] gilt:
(i ) D(F + G) = DF + DG,
(ii ) D(F G) = (DF )G + F (DG),
(DF )G−F (DG)
F
(iii ) D G
=
,
G2
(iv ) D(F ◦ G) = ((DF ) ◦ G)DG.
Satz 2.8 Sei F ∈ C[[z]] eine formale Potenzreihe. Dann gilt:
Dn F (z)
[z ]F (z) = [z ]
.
n!
n
0
2.4 Die symbolische Methode für bezeichnete Objekte
Definition Eine Spezies ist eine Regel F , die jeder endlichen Menge U (von Bezeichnern) eine endliche Menge F [U ] zuordnet. Zu jeder Spezies F gehört eine exponentiell
erzeugende Funktion
X
zn
F (z) :=
#F [{1, . . . , n}]
n!
n≥0
mit den Verknüpfungen:
(i ) (F + G)[U ] := F [U ] ∪˙ G[U ] mit (F + G)(z) = F (z) + G(z),
S
(ii ) (F · G)[U ] :=
F [R] × G[S] mit (F · G)(z) = F (z) · G(z),
R∪S=U
Markus Schepke
4
3
S
(iii ) (F ◦ G)[U ] :=
Abzählung unter Gruppenwirkung
F [π] × G[U1 ] × . . . × G[Uk ] mit (F ◦ G)(z) = F (G(z)), wobei
k∈N
π={U1 ,...,Uk }
G[∅] = ∅.
Bausteine für Spezies
Spezies
Erzeugende Funktion
(
{U }, U = ∅
1[U ] :=
1(z) = 1
∅,
sonst
(
{U }, #U = 1
Z[U ] :=
Z(z) = z
∅,
sonst
(
{U }, #U = k
k
Ek [U ] :=
Ek (z) = zk!
∅,
sonst
E[U ] := {U }
E(z) = ez
C[U ] := {Zykel}
C(z) = − log(1 − z)
Satz 2.9
#(F ◦ G)[1, . . . , n] = n![z n ](F ◦ G)(z)
Definition P
Eine formale Laurentreihe ist eine Folge (an )n≥N ∈Z von komplexen Zahlen
mit F (z) := n≥N an z n .
Satz 2.10 Die Menge der formalen Laurentreihen C((z)) bilden einen Körper.
Satz 2.11 Sei F (z) ∈ C[[0]] eine formale Potenzreihe mit [z 0 ]F (z) = 0 und [z 1 ]F (z) 6= 0.
Dann gilt:
k k
[z n ] F (−1) (z) = [z −k ](F (z))−n .
n
Definition Die Ableitung einer Spezies ist durch
F 0 [U ] := F [U ∪ {∗}]
definiert, wobei ∗ ∈
/ U gilt.
Proposition 2.12
#F 0 [{1, . . . , n}] = n![z n ]F 0 (z)
3 Abzählung unter Gruppenwirkung
3.1 Isomorphietypen
Definition Zwei bezeichnete Strukturen s, t ∈ F [U ] heißen isomorph, wenn es eine
Bijektion σ : U → U gibt, sodass F [σ](s) = t gilt. Die Restklassen bezüglich Isomorphie
Diskrete Mathematik
3.1
Isomorphietypen
5
heißen Isomorphietypen oder unbezeichnete Strukturen. Zu jeder Spezies F gehört
eine gewöhnliche erzeugende Funktion
X
Fe(z) =
(#Isomorphietypen in F [{1, . . . , n}])z n .
n≥0
e
e =
e
Beispiele: 1(z)
= 1, Z(z)
= z, E(z)
1
,
1−z
e =
L(z)
1
,
1−z
e =
C(z)
z
.
1−z
Proposition 3.1 Seien F und G Spezies. Dann gilt:
e
(i ) (F^
+ G)(z) = Fe(z) + G(z),
e
(ii ) (F]
· G)(z) = Fe(z) · G(z).
e
^
Achtung: (F
◦ G)(z) 6= Fe(G(z))!
Definition Die Zykelindikatorreihe einer Spezies F ist
ZF (p1 , p2 , p3, . . .) :=
X 1 X
# Fix F [σ]pσ1 1 pσ2 2 pσ3 3 · · · ,
n!
n≥0
σ∈S
n
wobei Fix F [σ] die Menge der Fixpunkte der Permutation F [σ] und (σ1 , σ2 , σ3 , . . .) der
Zykeltyp von σ ∈ Sn ist.
Beispiele: Z1 (p1 , p2 , . . .) = 1, ZZ (p1 , p2 , . . .) = p1 , ZE (p1 , p2 , . . .) = ep1 +p2 /2+p3 /3+... .
Definition Eine Gruppe G wirkt auf einer Menge M mittels ∗ : G × M → M durch
σ ∗ (γ ∗ f ) = (σγ) ∗ f
und
id ∗f = f
für σ, γ ∈ G, f ∈ M . Notation: σ ∗ f := ∗(σ, f ). Mit
Gf := Stabf := {σ ∈ G : σ ∗ f = f }
bezeichnet man den Stabilisator (oder die Stabilisatorgruppe) von f und mit
G(f ) := Orbf := {σ ∗ f : σ ∈ G}
die Bahn von f . Damit ist
M/G := {{σ ∗ f : σ ∈ G} : f ∈ M } = {G(f ) : f ∈ M }
die Menge der Bahnen von M unter G und Fixσ M die Menge der Fixpunkte von M unter
σ ∈ G.
Lemma 3.2 (Cauchy-Frobenius, „Burnside“) Sei G eine Gruppe, die auf der Menge M
wirkt. Dann gilt:
1 X
# Fixσ M = #M/G,
#G σ∈G
Markus Schepke
6
3
Abzählung unter Gruppenwirkung
d. h. die durchschnittliche Anzahl von Fixpunkten ist die Anzahl der Bahnen.
Proposition 3.3 Sei F eine Spezies. Dann:
(i ) ZF (z, 0, 0, . . .) = F (z),
(ii ) ZF (z, z 2 , z 3 , . . .) = Fe(z).
Proposition 3.4 Seien F und G Spezies. Dann:
(i ) ZF +G = ZF + ZG ,
(ii ) ZF ·G = ZF · ZG ,
(iii ) ZF ◦G = ZF ◦ ZG , d. h. ZF (p1 , p2 , . . .) ◦ ZG (p1 , p2 , . . .) = ZF (ZG (p1 , p2 , p3 , . . .),
ZG (p2 , p4 , p6 , . . .), ZG (p3 , p6 , p9 , . . .), . . .) (plethystisch).
Korollar 3.5 Für Spezies F und G gilt:
e
e 2 ), G(x
e 3 ), . . .).
^
F
◦ G(x) = ZF (G(x),
G(x
3.2 Pólya-Redfield-Theorie
Satz 3.6 (Satz von Pólya-Redfield) Sei G eine Permutationsgruppe, die auf einer
Menge M wirkt. Dann wirkt G auch auf der Menge der Färbungen von M , die
mit Φ := {f : M → N} bezeichnet wird, durch σ ∗ f (m) := f (σ ∗ m).
P
#{m:f (m)=1} #{m:f (m)=2}
Sei FG (x1 , x2 , . . .) :=
x1
x2
· · · („store enumerator“) und
f
∈Φ/G
P
σ1 σ2
1
PG (p1 , p2 , . . .) := #G σ∈G p1 p2 · · · („Zykelindikatorpolynom der Gruppe G“). Dann gilt:
FG (x1 , x2 , . . .) = PG (x1 + x2 + . . . , x21 + x22 + . . . , x31 + x32 + . . . , . . .).
Proposition 3.7
ZF (p1 , p2 , . . .) =
X
X
P(Sn )t (p1 , p2 , . . .)
n≥0 t∈F [n]/Sn
Weitere Operationen für Spezies
Zeigen (Pointing) F • := Z · F 0 , d. h. ein Bezeichner wird ausgewählt.
P zn
P
P zn
n
gn n! =
fn gn zn! , d. h. es wir eine F Cartesisches Produkt F × G =
fn n! Struktur und eine G-Struktur mit derselben Menge gebildet.
Funktorielle Komposition F
G[V ] := F [G[U ]], d. h. es wird die Menge der GStrukturen als Bezeichner genommen.
3.3 Gleichheit von Spezies, Moleküle und Atome
Definition Zwei Spezies F und G sind isomorph, wenn ???
Diskrete Mathematik
7
Eine Spezies heißt molekular, wenn es nur einen einzigen Isomorphietyp gibt.
Proposition 3.8 Sind F und G molekular, so auch F · G und F ◦ G.
Proposition 3.9 Eine Spezies F =
6 0 ist genau dann molekular, wenn für jede Summe
F = P + G gilt, dass P = 0 oder G = 0 ist.
Proposition 3.10 Jede Spezies lässt sich eindeutig als Summe von molekularen Teilspezies darstellen. Zwei Spezies sind genau dann gleich, wenn diese molekulare Zerlegungen
gleich sind.
Definition Eine molekulare Spezies heißt atomar, wenn sie sich nicht als Produkt darstellen lässt.
Satz 3.11 (Dissemmetriesatz) Sei T die Spezies der Triangulierungen mit ausgewählter
Kante, T 4 die Spezies der Triangulierungen mit ausgewähltem Dreieck und T 4 die Spezies
der Triangulierungen mit ausgewähltem Dreieck und ausgewählter Kante. Dann gilt:
T + T 4 = T + T 4.
4 Diskrete Mathematik mit Linearer Algebra
4.1 Kombinatorik von Determinanten
Definition Das Paar (i, j) ∈ [n]×[n] heißt Inversion von Sn , wenn i < j und σ(i) > σ(j)
gilt. Die Anzahl der Inversionen von σ oder auch Länge von σ ist inv σ. Damit definieren
wir das Vorzeichen einer Permutation: sgn σ := (−1)inv σ . Ferner seien:
I(n, k) := #{σ ∈ Sn : σ hat k Inversionen},
P
P
In (q) := k≥0 I(n, k)q k = σ∈Sn q inv σ ,
[n]q :=
1−q n
,
1−q
[n]q ! := [n]q · [n − 1]q · · · [1]q ,
n
k q
:=
[n]q !
.
[k]q ![n−k]q !
Sei A = (aij ) eine n × n-Matrix. Die Determinante von A ist definiert durch:
det A :=
X
σ∈Sn
sgn σ
n
Y
aiσ(i) .
i=1
Proposition 4.1
In (q) = [n]q !
Satz 4.2 Jede Permutation σ ∈ Sn lässt sich als Produkt von inv σ vielen Transpositionen
der Form (i i + 1) darstellen, jedoch nicht weniger. Allerdings ist diese Darstellung nicht
eindeutig.
Markus Schepke
8
4
Diskrete Mathematik mit Linearer Algebra
Definition Der Major-Index einer Permutation σ ist definiert durch:
X
maj σ :=
i.
i∈{1,...,n}
σ(i)>σ(i+1)
Satz 4.3
X
q inv σ tmaj σ =
σ∈Sn
X
q maj σ tinv σ
σ∈Sn
Satz 4.4 (Satz von Binet-Cauchy) Seien A und B zwei m × n-Matrizen mit m ≤ n.
Dann gilt:
X
det(A · B > ) =
det(AK ) det(BK ),
K⊆[n]
|K|=m
wobei MK aus M durch Einschränkung auf die Spalten in K entsteht.
4.2 Elemente der Graphentheorie
Definition Ein gerichteter Graph (oder Digraph) ist ein Paar G = (V, E), wobei V
eine Menge von Knoten (vertices) und E ⊆ V × V eine Menge von Bögen (arcs) ist. Ein
Bogen (u, u) ∈ E heißt Schlinge (loop). Ein Graph heißt ungerichtet, wenn mit (u, v) ∈
E auch (v, u) ∈ E gilt; das Paar ((u, v), (v, u)) heißt dann Kante (edge). Eine Kante (u, v)
heißt inzident zu u und v. Ist D = (V, E) ein Digraph, so ist der zugrundeliegende
e der Graph mit allen zugehörigen Kanten. Dann nennt man D eine
Graph G = (V, E)
Orientierung. Ein Teilgraph H ⊆ G = (V, E) ist ein Graph H = (V 0 , E 0 ) mit V 0 ⊆ V
und E 0 ⊆ E. Ein Teilgraph H = (V 0 , E 0 ) heißt (auf-)spannend, wenn V = V 0 gilt.
Matrizen zu (Di-)Graphen Die Adjazenzmatrix A(G) = (au,v )u,v∈V ist die |V | × |V |Matrix mit au,v := #Bögen von u nach v. Die Inzidenzmatrix B(G) = (bv,e )v∈V,e∈E ist
die |V | × |E|-Matrix mit


−1, e = (v, ∗),
bv,e = +1, e = (∗, v),


0,
sonst.
Die Gradmatrix ∆(G) = (du,v )u,v∈V ist die |V | × |V |-Diagonalmatrix mit dv,v :=
(Ausgangsgrad von v) = (#Bögen e = (v, ∗)). Die Laplacematrix L ist definiert durch
L(G) := ∆(G) − A(G).
Proposition 4.5
(i ) Ist G ein ungerichteter Graph, so ist L(G) symmetrisch.
(ii ) L(G) hat (auch für Digraphen) nicht vollen Rang, d. h. det(L(G)) = 0.
(iii ) Ist G ein ungerichteter Graph und D eine Orientierung von G, so gilt L(G) =
B(D)> B(D).
Proposition 4.6 Ein Baum hat einen Knoten mehr als Kanten.
Lemma 4.7 Bezeichne MV die Matrix, die durch Streichen der Zeilen von v ∈ V entsteht.
Diskrete Mathematik
4.3
Der Zyklen- und Cozyklenraum eines Graphen
9
(i ) Ist G eine Orientierung eines Graphen mit |V | = |E| + 1 und G kein Baum, so gilt
für alle v ∈ V : det(B(G)V ) = 0.
(ii ) Ist G wie oben, aber ein Baum, so gilt für alle v ∈ V : det(B(G)V ) = ±1.
Satz 4.8 (Matrix-Baum-Theorem, ungewichtete Version) Sei G ein ungerichteter
Graph und v ∈ V . Dann gilt:
det(L(G)V \v ) = #spannende Bäume in G.
Definition Ein gewichteter (Di-)Graph ist ein Digraph zusammen mit einer Funktion
w : E → R, wobei R ein Ring ist.
Satz 4.9 (Matrix-Baum-Theorem, gewichtete Version) Sei G ein gewichteter (Di)Graph und v ∈ V . Dann gilt:
det(L(G)V \v ) = gew. Summe aller spann. Eingangsbäume in G mit Wurzel v.
Definition Sei D ein (gewichteter) Digraph. Ein orientierter Weg von a nach e ist ein
Teilgraph der Form a → . . . → e. Zwei orientierte Wege heißen überschneidend, wenn
sie einen Knoten gemeinsam haben.
Satz 4.10 (Hauptsatz über Familien nichtüberschneidender Wege) Sei D ein gewichteter Digraph ohne orientierte Kreise. Seien a1 , . . . , an (Anfangsknoten) und e1 , . . . , en
(Endknoten) Knoten in D. Alle Paare von orientierten Wegen von ai nach ek und aj
nach el mit i < j und k > l seien überschneidend. Sei w(P )P
das Gewicht des Weges
P (also Produkt der Bogengewichte in P ). Sei P(ai → ej ) := P :ai →ej w(P ). Dann ist
det(P(ai → ej )i,j∈{1,...,n} ) die Summe der Gewichte aller nichtüberschneidenden Familien
von Wegen von ai nach ei .
4.3 Der Zyklen- und Cozyklenraum eines Graphen
~ eine Orientierung, H ein Teilgraph von G und H
~ eine
Definition Sei G ein Graph, G
Orientierung. Damit definieren wir:


e∈
/ H,
0,
~ und G
~ gleiche Orient.,
δH~ : E(G) → {0, ±1}, δH~ (e) := +1, e hat in H


~ und G
~ versch. Orient.
−1, e hat in H
Der Zyklenraum C von G ist der Vektorraum, der durch die Funktion δC~ erzeugt wird,
~ ein orientierter Kreis in G ist.1 Ein Kozyklus ist eine minimale Menge von
wobei C
Kanten, deren Entfernung die Anzahl der Zusammenhangskomponenten erhöht. Seien V1
und V2 die Knotenmengen, zu denen der Kozyklus C ∗ inzident ist, sodass keine Kante
~ ∗ die Orientierung von C ∗ , sodass alle Bögen von
beide Knoten in V1 oder V2 hat. Sei C
1
Welcher Körper? Alle Kreise?
Markus Schepke
10
5
Diskrete Mathematik mit Graphentheorie
V1 nach V2 gehen. Der Kozyklenraum C ∗ ist der Raum, der durch die Funktionen δC~ ∗
aufgespannt wird.
Satz 4.11 (i ) dim(C(G))
=
|E(G)| − |V (G)| + c(G),
#Zusammenhangskomponenten von G ist.
wobei
c(G)
=
(ii ) dim(C(G)∗ ) = |V (G)| − c(G). Die Zeilen einer beliebigen Inzidenzmatrix erzeugen
C(G)∗ .
P
(iii ) C(G) ist orthogonal auf C(G)∗ bzgl. hδF~ , δH~ i := e∈G δF~ (e)δH~ (e).
5 Diskrete Mathematik mit Graphentheorie
5.1 Flüsse und Schnitte
Definition Sei D ein Digraph. Eine Quelle q ist ein Knoten mit Eingangsgrad 0, eine
Senke s ist ein Knoten mit Ausgangsgrad 0. Sei D mit einer Funktion c : E → R+
gewichtet, dann heißt c(e) die Kapazität des Bogens e. Ein Schnitt (cut) ist eine Teilmenge S der Knotenmenge, die q, aber nicht s enthält. Die Kapazität des Schnittes ist die
Summe der Kapazitäten der Bögen von S nach
P (flow ) ist eine Funktion
P V \ S. Ein Fluss
+
f : E → R mit 0 ≤ f (e) ≤ c(e) ∀ e ∈ E und e=(∗,v) f (e) = e=(v,∗) f (e) ∀ v ∈ V \{q, s}.
P
Der Wert eines Flusses ist |f | = e=(q,∗) f (e). Ein augmentierender Pfad ist ein Weg
von q nach s, bei dem für Bögen, die in der richtigen Richtung durchlaufen werden,
f (e) > 0 gilt.
Lemma 5.1 Sei S ein Schnitt (also q ∈ S ⊆ V ) und f ein Fluss. Sei
X
X
f (S) :=
f (e) −
f (e).
u∈S,v ∈S
/
e=(u,v)
u∈S,v∈S
/
e=(u,v)
Dann gilt: f (S) = |f |.
Lemma 5.2 Sei f ein Fluss. Dann sind äquivalent:
(i ) |f | ist maximal.
(ii ) f lässt keinen augmentierenden Pfad von q nach s zu.
(iii ) |f | = c(S) für einen Schnitt S.
Satz 5.3 (max flow – min cut) Der maximale Wert eines Flusses ist die minimale Größe eines Schnittes.
Satz 5.4 (Heiratssatz) Sei F eine Menge von Frauen und M eine Menge von Männern
mit |F | = |M |. Jede Frau hat einige Männer, die sich heiraten würde. Für alle F 0 ⊆ F
gilt, dass die Anzahl der möglichen Partner von F 0 genau dann größer oder gleich der
Anzahl von F 0 ist, wenn es eine perfekte Paarung (matching) von F und M gibt, welche
die Wünsche der Frauen berücksichtigt.
Diskrete Mathematik
5.2
Nirgends verschwindende Flüsse
11
5.2 Nirgends verschwindende Flüsse
Definition Sei D eine Orientierung eines Graphen und H eine (additive) abelsche Gruppe. Ein H-wertiger Fluss in D ist eine Funktion f : E → H mit
X
X
f (e) =
f (e) ∀ v ∈ V.
e=(∗,v)
e=(v,∗)
Ein H-wertiger Fluss verschwindet nirgends, wenn f (e) 6= 0 für alle e ∈ E gilt.
Satz 5.5 (Tutte, 1954) Sei H eine endliche abelsche Gruppe. Für jeden Graphen G gibt
es ein Polynom ϕG (das Flusspolynom), sodass die Anzahl der H-wertigen nirgends
verschwindenden Flüsse gleich ϕG (|H| − 1) ist. Sofern e keine Schleife ist, erfüllt dieses
Polynom folgende Identität:
ϕG (z) = ϕG/e (z) − ϕG\e (z).
Insbesondere hängt die Anzahl nur von der Gruppengröße ab.
Definition Ein k-Fluss ist ein Z-wertiger Fluss f mit 0 ≤ f (e) < k für alle e ∈ E. Eine
Brücke ist eine Kante, deren Entfernung die Anzahl der Zusammenhangskomponenten
erhöht.
Satz 5.6 (Tutte, 1950) Ein Graph hat genau dann eine Orientierung, die einen nirgends
verschindenden k-Fluss erlaubt, wenn der Graph einen nirgends verschwindenden Z/kZFluss erlaubt.
Satz 5.7 (Seymour, 1981) Jeder brückenlose Graph erlaubt einen nirgends verschwindenden 6-Fluss.
5.3 Knotenfärbungen und Dualität ebener Graphen
Definition Eine Knotenfärbung eines Graphen ist eine Belegung der Knoten mit Farben, sodass benachbarte (adjazente) Knoten verschiedene Farben haben.
Satz 5.8 Für jeden Graphen G gibt es ein Polynom χG (das chromatische Polynom),
sodass die Anzahl der Färbungen mit k Farben gleich χg (k) ist. Dieses Polynom erfüllt
folgende Identität:
χG (z) = χG/e (z) − χG\e (z).
Definition Ein Graph heißt planar („eben“), wenn man ihn in der Ebene ohne Kantenüberschneidungen zeichnen kann. Ist G = (V, E) planar, so hat der zu G duale Graph
G∗ = (V ∗ , E ∗ ) als Kantenmenge V ∗ die Menge der Länder (faces, Regionen) von G und
für jede Kante e ∈ E, die zwei Länder s und t begrenzt, gibt es eine Kante e∗ ∈ E ∗ , die
s und t verbindet.
Markus Schepke
12
5
Diskrete Mathematik mit Graphentheorie
Satz 5.9 (Whitney, 1932) Ist G planar und 3-fach zusammenhängend, d. h. man muss
drei Knoten entfernen, damit G in mehrere Komponenten zerfällt, dann ist die Einbettung
(im Wesentlichen) eindeutig.
Proposition 5.10 Sei G zusammenhängend und planar. In diesem Fall ist C genau dann
ein Kreis in G, wenn C ∗ = {c∗ : c ∈ C} ein Kozyklus in G∗ ist.
Lemma 5.11 Sei G zusammenhängend, planar und orientiert. Sei G∗ so orientiert, dass
die Orientierung von e∗ mit der im Uhrzeigersinn gedrehten Kante e übereinstimmt. In
diesem Fall ist g genau dann ein Fluss in G∗ , wenn für jeden Kreis C in G gilt:
X
X
f (e) =
f (e) mit f (e) := g(e∗ ).
e∈C
e im UZS gedreht
e∈C
e gegen UZS gedreht
Definition Ein normaler Spannbaum (Tiefensuchbaum) ist ein spannender Baum
mit Wurzel r, sodass für alle Kanten e = (u, v), die nicht im Baum sind, gilt: u liegt am
Weg von r nach v oder v liegt am Weg von r nach u.
Satz 5.12 Jeder Graph hat zu jeder beliebigen Wurzel r einen normalen Spannbaum.
Satz 5.13 (Tutte, 1954) Sei G zusammenhängend. Dann gilt χG (z) = z · ϕG∗ (z − 1),
d. h. zu jedem nirgends verschwindenden Z/kZ-Fluss gibt es k verschiedene k-Färbungen.
Satz 5.14 (Vierfarbensatz, vgl. Satz 1.1) Jeder ebene, schleifenlose Graph kann 4gefärbt werden.
Korollar 5.15 Jeder brückenlose, ebene Graph hat einen nirgends verschwindenden 4Fluss.
Definition Für einen Graphen G ist das Tutte-Polynom definiert durch:
(
xi y j ,
G besteht aus i Brücken und j Schleifen,
TG (x, y) :=
TG/e (x, y) + TG\e (x, y), e ist keine Schleife und keine Brücke.
Proposition 5.16
(i ) Ist G zusammenhägend und eben, so gilt: TG (x, y) = TG∗ (x, y).
(ii ) Ist G zusammenhängend, so gilt:
(a) TG (1, 1) = #spannende Bäume,
(b) TG (2, 1) = #spannende Wälder,
(c) TG (1, 2) = #zusammenhängende Teilgraphen,
(d ) TG (2, 2) = 2#Kanten und
(e) TG (2, 0) = #Orientierungen ohne orientierte Kreise.
(iii ) Für einen beliebigen Graphen G gilt:
(a) χG (z) = (−1)#Knoten+#Komponenten z #Komponenten TG (1 − z, 0) und
Diskrete Mathematik
5.4
Charakterisierung ebener Graphen
13
(b) ϕG (z) = (−1)#Knoten+#Komponenten+#Kanten TG (0, −z).
Satz 5.17 Sei Kn der vollständige Graph mit n Knoten. Dann ist die exponentiell erzeugende Funktion für das Tutte-Polynom gegeben durch:


!(x−1)(y−1)
n
n
X
z
1  X (n2 )
z
y (y − 1)−n
− 1 .
TKn (x, y) =
n!
x
−
1
n!
n≥0
n≥1
5.4 Charakterisierung ebener Graphen
Definition Eine Unterteilung eines Graphen G entsteht durch das Ersetzen von Kanten durch (unabhängige) Pfade, d. h. die Kanten werden durch weitere Knoten unterteilt.
Lemma 5.18 Sei G ein 3-fach zusammenhängender Graph mit |V (G)| > 4. Dann gibt es
eine Kante e, sodass G/e wieder 3-fach zusammenhängend ist.
Definition Ein Graph X ⊆ G ist ein Minor von G, wenn X aus G durch Löschen (G\e)
oder Kontrahieren (G/e) von Kanten entsteht.
Proposition 5.19
X als Minor.
(i ) Wenn G eine Unterteilung von X enthält, dann enthält G auch
(ii ) Hat X höchstens Knotengrad 3 und ist in G als Minor enthalten, so enthält G eine
Unterteilung von X.
Satz 5.20 Ein Graph G enthält genau dann K5 oder K3,3 als Minor, wenn G eine Unterteilung von K5 oder K3,3 enthält.
Satz 5.21 (Satz von Kuratowski, vgl. Satz 1.2) Ein Graph ist genau dann planar,
wenn er keinen Teilgraphen enthält, der durch Unterteilung von K5 oder K3,3 entstanden
ist.
Satz 5.22 (Graph-Minor-Theorem) Die Kuratowski-Menge (d. h. die Liste verbotener
Minoren) für jede Grapheneigenschaft, die abgeschlossen unter Minorbildung ist, ist endlich.
6 Ordnungstheorie
6.1 Teilweise geordnete Mengen
Definition Eine teilweise geordnete Menge (Poset) ist eine Menge P mit einer
Relation ≤, die reflexiv (x ≤ x), antisymmetrisch (x ≤ y, x ≤ y ⇒ x = y) und transitiv
Markus Schepke
14
6
Ordnungstheorie
(x ≤ y, y ≤ z ⇒ x ≤ z) ist. Zwei Elemente x und y heißen vergleichbar, wenn x ≤ y
oder y ≤ x gilt, sonst unvergleichbar. Ferner definiert man:
x < y :⇐⇒ x ≤ y und x 6= y,
x l y :⇐⇒ x < y und (x ≤ z ≤ y ⇒ z = x oder z = y).
Das Hassediagramm ist der Digraph mit Knotenmenge P , wobei (x, y) genau dann ein
Bogen ist, wenn xly gilt. Konvention: Alle Bögen werden von unten nach oben gezeichnet.
Zwei Posets (P, ≤P ) und (Q, ≤Q ) heißen isomorph, wenn es eine Bijektion ϕ : P → Q
mit x ≤P y ⇔ ϕ(x) ≤Q ϕ(y) gibt.
Definition Ist (P, ≤P ) ein Poset und Q ⊆ P mit x ≤Q y :⇔ x ≤P y, dann heißt
(Q, ≤Q ) induziertes Teilposet von P . Eine Kette (x1 , . . . , xn ) in P ist ein Teilposet,
das isomorph zu einer Kette ist. Eine Kette heißt saturiert, wenn x1 l . . . l xn gilt.
Wenn je zwei saturierte Ketten in P mit gleichen Anfangs- und Endpunkten dieselbe
Länge haben, dann sagt, dass P die Jordan-Dedekind-Eigenschaft hat. Ein Poset P
heißt graduiert, wenn alle maximalen Ketten dieselbe Länge haben. Ist P ein graduiertes
Poset, kann man die Rangfunktion ρ : P → N wie folgt definieren: Ist x minimal, dann
ist ρ(x) =
P0; ist x l y, dann ist ρ(x) = kρ(y) − 1. Die rangerzeugende Funktion ist
F (P ) := k≥0 (#Elemente mit Rang k)q .
Definition Ein Ordnungsideal ist eine Teilmenge von I ⊆ P mit x ∈ I, y ≤ x ⇒ y ∈ I.
Die Menge der Ordnungideale von P bzgl. Inklusion bildet einen Verband J(P ).
6.2 Verbände
Definition Ein Verband ist ein Poset, in dem je zwei Elemente x und y eine kleinste
obere Schranke x ∨ y (Supremum) und eine größte untere Schranke x ∧ y (Infimum)
haben.
Proposition 6.1 Die größte untere Schranke ∧ und die kleinste obere Schranke ∨ sind
assoziativ, kommutativ und idempotent (d. h. x ∧ x = x ∨ x = x). Es gelten die Absorptionsgesetze:
x ∧ (x ∨ y) = x,
x ∨ (x ∧ y) = x.
Ferner gilt:
x∨y =y
⇐⇒
x∧y =x
⇐⇒
x ≤ y.
Jeder Verband hat ein eindeutiges Minimum 0 und eine eindeutiges Maximum 1.
6.3 Struktur von Verbänden
Proposition 6.2 Hat ein endliches Poset P ein eindeutiges Maximum und je zwei Elemente x, y eine größte untere Schranke x ∧ y, dann ist P ein Verband.
Diskrete Mathematik
6.4
Das Prinzip von Inklusion und Exklusion
15
Definition Ein Verband ist distributiv, wenn x ∧ (y ∨ z) = (x ∧ y) ∨ (x ∧ z) und
x ∨ (y ∧ z) = (x ∨ y) ∧ (x ∨ z) gilt.
Sei L ein Verband. Ein Element a ∈ L \ {0} heißt supremumsirreduzibel, wenn gilt:
a=x∨y
=⇒
x = a oder y = a.
D. h. a lässt sich nicht als Supremum zweier echt kleinerer Element schreiben.
Satz 6.3 (Satz von Birkhoff) Sei L ein endlicher, distributiver Verband. Dann gibt
es ein (eindeutig bestimmtes) Poset P mit L ∼
= J(P ), nämlich: P := {a ∈ L :
a ist supremumsirreduzibel}.
Satz 6.4 Jeder endliche distributive Verband ist graduiert. Die Rangfunktion ist durch
r(x) = |ϕ(x)| gegeben.
6.4 Das Prinzip von Inklusion und Exklusion
Markus Schepke
Literatur
[BZ04]
Beutelspacher, Albrecht und Marc Alexander Zschiegner: Diskrete Mathematik
für Einsteiger. Mit Anwendungen in Technik und Informatik. Vieweg, Wiesbaden, 2. Auflage, 2004.
[Die06] Diestel, Reinhard: Graphentheorie. Springer, Berlin, 3. Auflage, 2006.
[MN07] Matoušek, Jiří und Jaroslav Nešetřil: Diskrete Mathematik. Eine Entdeckungsreise. Springer, Berlin, 2. Auflage, 2007.
[Sta99a] Stanley, Richard P.: Enumerative combinatorics, Band 1. Cambridge University
Press, Cambridge, 1999.
[Sta99b] Stanley, Richard P.: Enumerative combinatorics, Band 2. Cambridge University
Press, Cambridge, 1999.
Index
Ableitung, 3
Spezies, 4
Adjazenzmatrix, 8
augmentierender Pfad, 10
Bahn, 5
Baum
normaler Spannbaum, 12
Tiefensuchbaum, 12
Birkhoff, Garrett
Satz von Birkhoff, 15
Bogen, 8
Brücke, 11
chromatisches Polynom, 11
Determinante, 7
Digraph, 8
Dissemmetriesatz, 7
distributiver Verband, 15
dualer Graph, 11
erzeugende Funktion, 2
exponentiell erzeugende Funktion, 3
gewöhnliche erzeugende Funktion, 5
exponentiell erzeugende Funktion, 3
Fixpunkt, 5
Fluss, 10
Brücke, 11
Flusspolynom, 11
H-wertiger Fluss, 11
k-Fluss, 11
nirgends verschwindender Fluss, 11
formale Ableitung, 3
formale Laurentreihe, 4
formale Potenzreihe, 2
Ableitung, 3
Komposition, 3
Konvergenz, 2
Laurentreihe, 4
Zykelindikatorreihe, 5
Funktion
rangerzeugende Funktion, 14
gerichteter Graph, 8
gewichteter Graph, 9
gewöhnliche erzeugende Funktion, 5
Gradmatrix, 8
graduiertes Poset, 14
Graph, 1
Adjazenzmatrix, 8
Bogen, 8
Digraph, 8
dualer Graph, 11
gerichteter Graph, 8
gewichteter Graph, 9
Gradmatrix, 8
Graph-Minor-Theorem, 13
Hassediagramm, 14
inzidente Kante, 8
Inzidenzmatrix, 8
Kante, 8
Knoten, 8
Knotenfärbung, 11
Laplacematrix, 8
Minor, 13
Orientierung, 8
planarer Graph, 11
Schlinge, 8
Teilgraph, 8
überschneidender Weg, 9
ungerichteter Graph, 1, 8
Unterteilung, 13
Gruppe
Wirkung, 5
H-wertiger Fluss, 11
Hassediagramm, 14
Heiratssatz, 10
induziertes Teilposet, 14
Infimum, 14
Inversion, 7
inzidente Kante, 8
Inzidenzmatrix, 8
Isomorphie, 14
Isomorphietypen, 5
Jordan-Dedekind-Eigenschaft, 14
k-Fluss, 11
Kante, 1, 8
Kette, 14
saturierte Kette, 14
Knoten, 1, 8
Knotenfärbung, 11
Kombinatorik, 1
Komposition, 3
Konvergenz, 2
Kozyklenraum, 10
Kuratowski, Kazimierz
Satz von Kuratowski, 1, 13
Laplacematrix, 8
Laurentreihe
formale Laurentreihe, 4
Major-Index, 8
Menge
Poset, 13
teilweise geordnete Menge, siehe Poset
Minor, 13
Multinomialkoeffizient, 1
nirgends verschwindender Fluss, 11
normaler Spannbaum, 12
Ordnungsideal, 14
orientierter Weg, 9
Orientierung, 8
Permutation
Zykeltyp, 5
planarer Graph, 11
Polynom
chromatisches Polynom, 11
Flusspolynom, 11
Tutte-Polynom, 12
Poset, 13
graduiertes Poset, 14
Hassediagramm, 14
induziertes Teilposet, 14
Isomorphie, 14
Jordan-Dedekind-Eigenschaft, 14
Kette, 14
Ordnungsideal, 14
rangerzeugende Funktion, 14
Rangfunktion, 14
saturierte Kette, 14
Verband, 14
vergleichbare Elemente, 14
Potenzreihe
formale Potenzreihe, 2
Quelle, 10
rangerzeugende Funktion, 14
Rangfunktion, 14
saturierte Kette, 14
Satz
Graph-Minor-Theorem, 13
Satz von Birkhoff, 15
Satz von Kuratowski, 1, 13
Vierfarbensatz, 1, 12
Schlinge, 8
Schnitt, 10
Senke, 10
Spezies, 3
Ableitung, 4
Stabilisator, 5
Supremum, 14
supremumsirreduzibeles Element, 15
symbolische Methode, 2
Teilgraph, 8
teilweise geordnete Menge, siehe Poset
Tiefensuchbaum, 12
Tutte-Polynom, 12
überschneidender Weg, 9
ungerichteter Graph, 1, 8
Unterteilung, 13
Verband, 14
distributiver Verband, 15
Infimum, 14
Supremum, 14
supremumsirreduzibeles Element, 15
vergleichbare Elemente, 14
Vierfarbensatz, 1, 12
Wirkung, 5
Bahn, 5
Stabilisator, 5
Zykelindikatorreihe, 5
Zykeltyp, 5
Zyklenraum, 9