Ubungen zur Quantenmechanik

Übungen zur Quantenmechanik
Theoretische Physik III
Blatt 4
SS 2017
A. Alvermann & H. Fehske
Abgabe: Dienstag, 02.05.17 vor der Vorlesung
Aufgabe 10
Gebundene Zustände im endlichen Potentialtopf
Betrachtet werden noch einmal die gebundenen
Zustände (E < 0) für das in der Vorlesung behandelte
eindimensionale Kastenpotential
(
0
für |x| > a,
V (x) =
−V0 für |x| < a,
V(x)
x
V0
mit V0 > 0 und a > 0. Mit Amplituden A, B, Ci , C̄i
(I)
und κ2 := −2mE/~2 , q 2 := 2m(E + V0 )/~2 ergaben
sich die Lösungen gerader und ungerader Parität als


κx
κx


in (I)
C1 e
C̄1 e
ϕ(x) = A cos(qx) in (II)
oder ϕ(x) = B sin(qx)




C̄2 e−κx
C2 e−κx
in (III)
2a
(II)
in (I)
in (II)
in (III)
(III)
.
(a) Geben Sie die Gesamtzahl möglicher gebundener Zustände in Abhängigkeit von V0 an.
(i) Zählen Sie hierzu die Lösungen der transzendenten Gleichungen ab, die sich aus
den Anschlußbedingungen ergaben.
(ii) Für eine näherungsweise Abzählung bietet es sich an, die Energieniveaus des unendlich tiefen Potentialtopfes zu verwenden, und aus deren Abständen eine Abschätzung
für die Anzahl der möglichen Zustände zu treffen.
(iii) Zeigen Sie, daß im Grenzfall eines sehr tiefen Topfes diese beiden Werte übereinstimmen.
(b) Wie viele gebundene Zustände gibt es im Grenzfall V0 → ∞, a → 0, aV0 = konstant?
Aufgabe 11
Gebundene Zustände im Doppeltopf-Potential
Betrachten Sie das Doppeltopf-Potential
V(x)


∞
V (x) = 0


V0
für
|x| > b + L,
für b < |x| < b + L,
für
|x| < b,
mit V0 > 0, L > 0 und b > 0.
V0
L
(I)
b
b
(II) (III)
L
x
(IV)
Wir suchen die Lösungen der Schrödinger-Gleichung für dieses Potential.
(a) Geben Sie, in Analogie zum endlichen Potentialtopf in Aufgabe 10, einen geeigneten
Ansatz für das Problem an. Nutzen Sie hierbei die Symmetrie des Problems aus.
(b) Stellen Sie die Bestimmungsgleichungen für die Energieeigenwerte auf.
Hinweis: Je nach Energie und Symmetrie sind (bis zu) 4 Fälle zu unterscheiden.
Aufgabe 12
Quantenreflektion
Ein quantenmechanisches Teilchen der Masse m trifft
von rechts mit der Energie E > 0 auf eine Wand, die
näherungsweise über den in der Abbildung angegebenen
Potentialverlauf beschrieben wird.
a) Betrachten Sie senkrechten Einfall und berechnen Sie mit Hilfe einer eindimensionalen, zeitunabhängigen Schrödinger Gleichung den Reflektionskoeffizienten |R|2 . Was ergibt sich im Grenzfall
E → 0?
b) Diskutieren Sie das Ergebnis im Lichte dessen was
Sie für diesen Fall klassisch erwarten würden.
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Wand (V=unendlich)
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1010 E
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