Nr. 5 Trägheitsmoment , Direktionsmoment Teil A

KFUG, Inst. f. Experimentalphysik,
Laborübungen aus Experimentalphysik I
Nr. 5 Trägheitsmoment , Direktionsmoment
Teil A
Das Trägheitsmoment von Körpern und das Direktionsmoment von Torsionsdrähten ist
mithilfe eines Drehpendels zu bestimmen.
Frei schwingende
Scheibe
Torsionsdraht
Fixierte Scheibe
1.
Notwendiges Basiswissen
Grundlagen der Schwingungslehre:
Freie Schwingung, freie gedämpfte Schwingung, Unterschied zw. linearer Schwingung und
Drehschwingung.
Aufstellen der Schwingungsdifferentialgleichung für harmonische Schwingungen und
Lösung derselben.
Kenntnis der Begriffe: Schwingungsdauer, Frequenz, Kreisfrequenz, Eigenfrequenz,
Kennfrequenz, Trägheitsmoment, Hook´sches Gesetz, Torsion, Steiner´scher Satz.
2.
Aufgabenstellung
a) Das Direktionsmoment des Torsionsdrahtes und das Trägheitsmoment der Drehscheibe
sind aus der Schwingungsdauer des Drehpendels mithilfe zusätzlicher definierter
Trägheitsmomente zu bestimmen.
b) Die Hauptträgheitsmomente eines Stahlquaders sind mithilfe des Drehpendels zu
bestimmen.
c) Verifiziere den Satz von Steiner
Vorgangsweise
ad a) Durch Anstoßen der Drehscheibe wird diese in Schwingung gebracht. Diese
Schwingung kann mithilfe des Speicheroszilloskopes dargestellt und in den
Computer zum Ausdrucken übertragen werden. Vorher ist in der Ruhestellung durch
Betätigung der Reset Taste der D/A Wandler zurückzustellen. Die
Schwingungsdauer tP kann direkt am Oszilloskop und/oder am entsprechend
kalibrierten Ausdruck bestimmt werden. Nun werden zusätzliche Gewichte an der
Drehscheibe befestigt, deren Erhöhung des Gesamtträgheitsmomentes bekannt sind.
Die nun geänderte Schwingungsdauer tP' ist in gleicher Weise zu bestimmen. Unter
Vernachlässigung der Dämpfung (man sollte hier mit möglichst ungedämpften
P. Knoll. Trägheitsmoment, Direktionsmoment
1
KFUG, Inst. f. Experimentalphysik,
ad b)
ad c)
Laborübungen aus Experimentalphysik I
Schwingungen arbeiten) kann durch Auftragen von (tP'/2π)2 gegen die
verschiedenen zusätzlichen Trägheitsmomente I´ (dabei ist auch jene Schwingung
ohne zusätzlichem Trägheitsmoment mit I´ = 0 gemeint) durch einen linearen Fit
Direktionsmoment und Trägheitsmoment der Drehscheibe gleichzeitig bestimmt
werden.
Beim Quader liegen die Hauptträgheitsmomente bezüglich der Hauptachsen
(Drehachsen höchster Symmetrie) des Quaders. Durch Montage des Quaders an der
Drehachse des Drehpendels mit einer seiner Hauptachsen, kann die Erhöhung des
Trägheitsmomentes aus der Schwingungsdauer bei bekanntem Direktionsmoment
bestimmt werden. Durch Abzug des Trägheitsmomentes der Drehscheibe (Addition
der Trägheitsmomente bei gleicher Drehachse) kann das Hauptträgheitsmoment
bestimmt werden. In gleicher Weise kann auch jedes unbekannte Trägheitsmoment
bezüglich der gewählten Drehachse bestimmt werden.
Ein Körper (z.B. Kreisscheibe) mit bekanntem Trägheitsmoment bezüglich seines
Mittelpunktes wird im Abstand a von der Drehachse der Drehscheibe auf dieser
direkt montiert. Das Gesamtträgheitsmoment ergibt sich aus dem Steiner´schen Satz
und kann über die Periodendauer der Drehschwingung und der Kenntnis des
Direktionsmomentes des Torsionsdrahtes verifiziert werden.
3.
ad a)
Zur Auswertung notwendige Zusammenhänge
ad b)
I ges = I + I ´
ad c)
I ges = I + I ´+ M ´a 2
Dr
I + I´
ω=
− γ 2 , t P ´≈ 2 π
Dr
I
2
t ´
1
1
,  P  ≈
I+
I´
Dr
Dr
 2π 
P. Knoll. Trägheitsmoment, Direktionsmoment
2
KFUG, Inst. f. Experimentalphysik,
Laborübungen aus Experimentalphysik I
Nr. 5 Trägheitsmoment , Direktionsmoment
4.
4.1.
Teil B
Beschreibung des Geräts
Geräteliste
1.
Drehpendel mit eingebautem Drehwinkelsensoren (Lichtschranken) (1,2 in der Abbildung).
2.
Steuergerät mit D/A Wandler und Ausgang für das Oszilloskop (3 in der Abbildung).
3.
Speicheroszilloskop Hameg HM 205-2 mit IEEE Computerschnittstelle (5 in der Abbildung).
4.
BNC-Kabel (1 St).
5.
PC mit IEEE Schnittstelle mit Oszilloskop verbunden, zur Datenerfassung, Auswertung und
Darstellung (Ausdruck).
In einem Rahmengestell (a) befinden sich 2 in vertikaler Achse gelagerte Aluminiumscheiben
(b,c). Die untere Scheibe (b) ist fixiert. Die obere Scheibe (c) ist mit dem Torsionsdraht (e) an
die fixierte Scheibe mechanisch gekoppelt. Seitlich im Rahmen befindet sich jeweils ein
Drehwinkelsensor (g), von denen nur der der oberen Scheibe (c) gebraucht wird. Der Versuch
wird ohne Wirbelstrombremse (h) durchgeführt. Werkzeug für Umbauten und zusätzliche
Gewichte für die Drehscheibe befinden sich in der Ablage (i).
2
1
5
h
g
a
c
4
f
e
3
6
d
g
b
P. Knoll. Trägheitsmoment, Direktionsmoment
i
3
KFUG, Inst. f. Experimentalphysik,
Laborübungen aus Experimentalphysik I
4.2. Detailbeschreibungen
Drehwinkelsensoren: Jede der Scheiben enthält an ihrem Umfang eine Verzahnung mit 180
Zähnen (und ebenso vielen Lücken). Dreht sich die Scheibe, liefert eine
drehrichtungserkennende Lichtschranke entsprechende Impulse, die in einem Zähler hinaufbzw. hinuntergezählt werden. Der Zählerstand wird mittels D/A-Wandler in ein
winkelproportionales, analoges Spannungssignal umgewandelt (+/-12V pro +/-180 Grad).
Mittels der Taste „Clear“ am Bediengerät kann der Zähler bei jeder beliebigen Drehstellung
auf null gesetzt werden, sinnvollerweise erfolgt dies in der Ruhelage des Pendels um
Sättigungseffekte zu vermeiden. (systematischer Fehler?).
Das Analogsignal steht am Ausgang „B“ des Steuergerätes für die frei schwingende Scheibe
zur Verfügung und kann zwecks Beobachtung und Registrierung einem Oszilloskop zugeführt
werden (siehe linkes Bild).
Zusätzliche Gewichte: In der Werkzeugablage sind zusätzliche Gewichte vorhanden, welche
mit dem beiliegenden Imbusschlüssel und den Senkkopfschrauben an der Drehscheibe
montiert werden können. Dabei entspricht die Form des monierten Zusatzgewichtes (1 oder 2)
einem Hohlzylindersegment, wodurch aus der bestimmten Masse und den bestimmten
Abständen von der Drehachse (Radien) das zusätzliche Trägheitsmoment berechnet werden
kann. Weitere Gewichte können ebenfalls mit den Senkkopfschrauben montiert werden; das
wirkende Trägheitsmoment ist mithilfe des Steiner´schen Satzes zu ermitteln. Körper mit
unbekanntem Trägheitsmoment können auch direkt auf der Drehachse montiert werden.
5.
Besondere Hinweise zum Umgang mit dem Gerät, Sicherheitshinweise
Vor Beginn der Arbeit ist das Gerät entsprechend der Abbildung auf- bzw. umzubauen:
Abbau nicht benötigter Teile, Einbau des richtigen Torsionsdrahtes.
Auf möglichst reibungsfreie Drehbarkeit der Scheibe ist zu achten. Axiale Kräfte rufen
vergrößerte Lagerreibung hervor, daher darf der Torsionsdraht nicht gespannt sein (vom
Betreuer überprüfen lassen)!
Vorsicht! Beim Hantieren mit den Torsionsdrähten besteht Verletzungsgefahr!
P. Knoll. Trägheitsmoment, Direktionsmoment
4
KFUG, Inst. f. Experimentalphysik,
Laborübungen aus Experimentalphysik I
Nr. 5 Trägheitsmoment, Direktionsmoment
6.
•
•
•
•
7.
•
•
•
•
•
•
•
•
8.
Teil C
Literatur
W. Demtröder, Experimentalphysik I, Kapitel 10.
Berkeley Physik Kurs 3, Schwingungen und Wellen, Kapitel 3
Eichler/Kronfeld/Sahm, Das neue physikalische Praktikum, Kapitel 7
W. Walcher, Praktikum der Physik, Kapitel 7.
Kontrollfragen
Wie kann das Trägheitsmoment eines Körpers experimentell ermittelt werden?
Wie kann das Trägheitsmoment eines Körpers berechnet werden?
Wie lautet der Ansatz der Differentialgleichung für die freie Drehschwingung?
Wie könnte man das Experiment unter Berücksichtigung der Dämpfung auswerten?
Unter welchen Bedingungen können Trägheitsmomente von Körpern einfach addiert
werden?
Wann muss der Steiner´sche Satz angewendet werden?
Was sind die Hauptträgheitsmomente eines Körpers und wie können sie bestimmt
werden?
Welche Einheiten haben Trägheitsmoment und Direktionsmoment?
Grundlagen
8.1 Mechanik rotierender starrer Körper
r
r
Wir gehen von dem Gesetz F = M&x& aus, welches aus den Newton'schen Axiomen gewonnen
r
r
wurde. Für mehrere Massepunkte lässt es sich erweitern zu: ∑ Fi − M&x&i = 0 . Rotationen sind
i
nun dadurch charakterisiert, dass dabei alle Punkte auf einer Geraden, der Drehachse,
unverändert bleiben. Wir wählen nun einen Punkt auf der Drehachse als Bezugspunkt und
r
betrachten für alle i Massepunkte den Ortsvektor ri bezüglich dieses Bezugspunktes. Wir
r
erweitern die letzte Gleichung indem wir mit den Vektoren ri von links das Vektorprodukt
r
r
r
r r r
r
r r r r
bilden und erhalten:
r × F − M &x& = 0 = r × F − r × M &x& = r × F − r × p& . Dabei
∑
i
(
i
i
i
i
)
∑
i
i
i
i
i
i
∑
i
i
i
i
i
r r r
r r r
wird die Größe Ti = ri × Fi das Drehmoment und li = ri × pi der Drehimpuls des i-ten
Massepunktes genannt. Damit haben wir bereits eine Formulierung des Newton'schen
r&
r
Gesetzes für Rotationen gefunden: ∑ Ti = ∑ li . Weiters ist es zweckmäßig bei Rotationen
i
i
anstelle der Ortskoordinate eine Winkelkoordinate einzuführen, welche entsprechend des
Drehsinnes (Rechtssystem) ebenfalls ein Vektor ist. Für eine infinitesimale Verschiebung
r r
r
r
gilt: dx = dϕ × r + dr . Für Winkelgeschwindigkeit und Winkelbeschleunigung des i-ten
r r
r r r r r r
r r r r r
r r
Massepunktes erhält man: vi = x& i = ϕ& i × ri + r&i = ω i × ri + r&i und bi = &x&i = ω& i × ri + ω i × r&i + &r&i .
Damit kann man auf reine Winkelgrößen transformieren und erhält für den Drehimpuls:
r r r r
r
r r r
r r tr
li = ri × pi = ri × M i vi = M i ri × ω i × ri + M i ri × r&i = I iω i + 0 . Dabei wurde aus dem etwas
P. Knoll. Trägheitsmoment, Direktionsmoment
5
KFUG, Inst. f. Experimentalphysik,
Laborübungen aus Experimentalphysik I
komplizierten Ausdruck mit dem doppelten Kreuzprodukt der Vektor der
Winkelgeschwindigkeit herausgezogen, wofür ein Tensor 2. Stufe eingeführt werden musste.
Dieser Tensor wird Trägheitsmoment genannt und kann durch komponentenweisen
Vergleich bestimmt werden:
 ri 2,y + ri 2,z

t
I i = M i  − ri , x ri , y
−r r
 i,x i ,z
− ri , x ri , y
r +r
− ri , y ri , z
2
i,x
2
i ,z
− ri , x ri ,z 

− ri , y ri , z  .
ri 2,x + ri 2,y 
Dieser Tensor des Trägheitsmomentes ist symmetrisch und ein wichtiges Hilfsmittel bei der
Beschreibung von Drehbewegungen. Wir betrachten nun wiederum die eigentliche
Bewegungsgleichung und transformieren den Term mit der Drehimpulsänderung ebenfalls
r& r
r r r
r r t r t& r
r r
auf Winkelgrößen: l = r × M &x& = r × M ω& × r + r × M ω × r& = I ω& + I ω . Damit erhalten
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
wir bereits die Bewegungsgleichung ausgedrückt in Winkelgrößen:
(
) (
)
r r&
r t r t& r
r t r t& r
r r r r
0 = ∑ ri × Fi − ri × p& i = ∑  Ti − li  = ∑ Ti − I iω& i − I ω i = ∑ Ti − I iϕ&&i − I ϕ& i .
 i
i
i 
i
Wichtig ist zu betonen, dass bis jetzt nur mathematische Umformungen
auf
Winkeländerungen durchgeführt wurden, und daher auch in dieser Form beliebige
Bewegungen beschrieben werden können. Dabei ist die Wahl des Bezugspunktes auf der
Drehachse nicht unbedingt notwendig. Von Vorteil ist diese Art der Beschreibung allerdings
bei reinen Rotationen, da dann alle Massepunkte die gleiche Winkelgeschwindigkeit
besitzen. Wählt man dann den Bezugspunkt auf der Drehachse und betrachtet Drehungen um
den Schwerpunkt, dann werden die Gleichungen besonders einfach und auch der Tensor des
Trägheitsmomentes wird während dieser reinen Rotation eine recht einfach zu berechnende
konstante Größe. Interpretieren wir die Änderung des Drehimpulses ebenfalls als
Drehmoment, so erhält man noch folgende Gleichung:
r
∑T
= 0.
j
j
Diese letzten beiden Gleichungen stellen die Newton'schen Axiome in Winkelgrößen dar.
Damit lässt sich jedes mechanische Problem genauso in Winkelgrößen lösen. Für reine
Rotationen, wo alle Massepunkte die gleiche Winkelgeschwindigkeit besitzen, vereinfachen
sie sich zu:
(
)
r tr
r r t r tr r tr
0 = ∑ Ti − I iϕ&&i = ∑ Ti − ϕ&&∑ I i = T − I ϕ&& = T − I ω& = 0 .
i
i
i
Dabei kann bezogen auf eine Achse ein Gesamtträgheitsmoment des Körpers angegeben
werden, welches konstant ist.
8.2 Trägheitsmomente einfacher Körper
Bei der Beschreibung von Bewegungen mit Hilfe von Winkelgrößen spielt das
Trägheitsmoment eine entscheidende Hilfe. Als Tensor 2. Stufe kann er durch geeignete
Wahl der Achsen auf reine Diagonalform gebracht werden (Hauptachsenform). Dies ist bei
P. Knoll. Trägheitsmoment, Direktionsmoment
6
KFUG, Inst. f. Experimentalphysik,
Laborübungen aus Experimentalphysik I
einfachen Körpern für Achsen durch den Massenschwerpunkt, welche gleichzeitig
Symmetriehauptachsen sind, der Fall. Dann berechnen sich die 3 Trägheitsmomente ganz
einfach als die Summe über alle Massenpunkte multipliziert mit dem Quadrat des kürzesten
Abstandes zu der jeweiligen Drehachse. Aus diesen Hauptträgheitsmomenten IH einfacher
Körper lassen sich dann die Trägheitsmomente beliebiger Körper bezüglich beliebiger
Achsen IB mithilfe folgender Gesetzmäßigkeiten ermitteln:
(1) Transformation von Hauptachsen auf beliebige Achsen durch den Schwerpunkt mit
tt t
t
Hilfe einer orthogonalen Transformation: I B = OI H O −1 .
(2) Berechnung des Trägheitsmomentes Ia für Achsen außerhalb des Schwerpunktes aus
dem Trägheitsmoment I bezüglich des Schwerpunktes mit Hilfe des Satzes von Steiner.
Ist a der Abstand des Schwerpunktes von der Drehachse und M die Gesamtmasse des
Körpers so ist I a = I + Ma 2 .
(3) Zusammensetzung der Trägheitsmomente komplizierter Körper aus einfachen Körpern
mithilfe der Addition von Trägheitsmomenten bezüglich der gleichen Drehachse.
8.2.1 Kugel
Wir gehen von einer homogenen Kugel aus mit konstanter Dichte innerhalb des Kugelradius
R. Am zweckmäßigsten werden Kugelkoordinaten r, ϕ, ϑ verwendet, welche durch
x=rcosϕsinϑ, y=rsinϕsinϑ und z=rcosϑ definiert sind. Das infinitesimale Volumselement dV
lautet dann in Kugelkoordinaten: dV=r2sinϑdrdϕdϑ. Die Masse der Kugel ergibt sich zu:
R 2π π
M = ∫ ρdV = ∫
0
V
r3
∫0 ∫0 ρr sin ϑdrdϕdϑ = ρ 3
R
2
4πR 3
= ρV .
2 ⋅ 2π = ρ
3
3
(− cosϑ ) π0 ϕ 02π = ρ R
0
3
Das Trägheitsmoment bezüglich einer Achse durch den Mittelpunkt (Schwerpunkt) kann
leicht mit Hilfe des Abstandsquadrates a2 eines infinitesimalen Massepunktes von der
Drehachse berechnet werden. Wir wählen die Drehachse in z-Richtung und erhalten:
I zz = ∫ ρa dV = ∫ ρ (r sin ϑ ) dV = ∫
V
=ρ
5
R
5
R
R 2π π
2
2
V
0
π
1
r5
2π
ρ
ϑ
ϕ
ϑ
ρ
sin
r
drd
d
=
− cosϑ + cos3 ϑ ϕ 0 =
∫0 ∫0
5 0
3
0
4
3
2
8πR
2 2 4πR 3 2 2

π
ρ
2
⋅
2
=
=
= R M
R ρ
−


3
5
5
3
5

5
Daraus lassen sich auch die Trägheitsmomente komplizierterer kugelförmiger Körper
berechnen. Die Hohlkugel, welche nur Masse zwischen den Radien R1 < R2 aufweist ergibt
sich zu:
I 1, 2
(
)
8π R2 − R1
= I 2 − I1 = ρ
,
15
5
5
ganz analog zur Masse:
M 1, 2 = M 2 − M 1 =
(
)
4π
3
3
R2 − R1 .
3
P. Knoll. Trägheitsmoment, Direktionsmoment
7
KFUG, Inst. f. Experimentalphysik,
Laborübungen aus Experimentalphysik I
8.2.2 Hohlzylindersegment
Für die Beschreibung eines Zylinders werden zweckmäßigerweise Zylinderkoordinaten r, ϕ
und z verwendet. Ein infinitesimales Volumselement ergibt sich dann zu: dV=rdrdϕdz. Wir
wollen ein Zylindersegment betrachten, dass zwischen den Radien R1 < R2 und zwischen den
Winkeln α1 und α2 über die Dicke d homogen mit der Dichte ρ ausgefüllt ist. Die Masse des
Hohlzylindersegmentes ergibt sich zu:
R2 α 2 d
r2
M = ∫ ∫ ∫ ρrdrdϕdz = ρ
2
R1 α1 0
R2
α2
d
ϕα z0 =
1
R1
(
)
dρ
2
2
R2 − R1 (α 2 − α1 ) .
2
Für das Trägheitsmoment bezüglich der z-Achse erhält man:
R2 α 2 d
r4
I zz = ∫ ∫ ∫ r ρrdrdϕdz = ρ
4
R1 α1 0
R2
(
d
1
R1
)
(
2
)
dρ
4
4
R2 − R1 (α 2 − α1 ) =
4
R2 + R1 dρ
R + R1
2
2
R2 − R1 (α 2 − α1 ) = M 2
2
2
2
2
=
α2
ϕα z0 =
2
2
2
8.3 Beispiel: Rotierender Massepunkt
Als einfaches Beispiel betrachten wir einen mit konstanter Winkelgeschwindigkeit ω im
festen Abstand r zur Drehachse rotierenden Punkt mit der Masse M. Zunächst behandeln wir
das Problem im herkömmlichen kartesischen Koordinatensystem und den darauf
formulierten Newton'schen Gesetzen. Die rotierende Bewegung soll in der x-y-Ebene
stattfinden und wir erhalten für Ortsvektor, Geschwindigkeit und Beschleunigung:
 − rω 2 cos ωt 
 r cos ωt 
 − rω sin ωt 
r






r
r
x =  r sin ωt  , v =  rω cos ωt  und b =  − rω 2 sin ωt  .


 0 


0
0






Aus den Newton'schen Axiomen folgt ein Kraftvektor, welcher für die Beschleunigung
verantwortlich sein muss:
 − rω 2 cos ωt 
F 
r


r  x
F =  Fy  = Mb = M  − rω 2 sin ωt  .


F 
0
 z


Diese Kraft ist auf die Drehachse gerichtet und wird von der starren Verbindung des
Massepunktes zur Drehachse aufgenommen. Sie wird Zentripedalkraft genannt. Der Betrag
r
der Kraft ist F = F = Mrω 2 . Die entsprechend gegengesetzte Kraft ist die Trägheitskraft
und weist vom Drehmittelpunkt weg, ist gleich groß und ist die allgemein bekannte
Fliehkraft. Diese auftretenden Kräfte, die nicht a priori vorgegeben wurden und erst
zwanghaft entstanden sind um einen bestimmten Bewegungsvorgang (Rotation) zu
ermöglichen, werden Zwangskräfte genannt. Eine weitere Zwangskraft, die Corioliskraft,
tritt bei diesem einfachen Problem nicht auf, weil der Abstand zur Drehachse konstant ist.
Wichtig ist anzumerken, dass der Ortsvektor zwar den augenblicklichen Ort des
Massepunktes beschreibt, aber sein Betrag nicht dem zurückgelegten Weg entspricht. Diesen
P. Knoll. Trägheitsmoment, Direktionsmoment
8
KFUG, Inst. f. Experimentalphysik,
Laborübungen aus Experimentalphysik I
erhalten wir als Integration über den Betrag der Geschwindigkeit:
t
s (t ) = ∫
0
t
r
v (t ) dt = ∫
0
t
r ω sin ωt + r ω cos ωt dt = ∫ rωdt = rωt .
2
2
2
2
2
2
0
Die Integrationskonstante wurde hier mit Null angenommen (abhängig von den
Randbedingungen).
In gleicher Weise lässt sich dieses Problem mit Hilfe der vorhin abgeleiteten Gesetze für
Winkeländerungen
beschreiben.
Der
Massepunkt
rotiert
mit
konstanter
Winkelgeschwindigkeit und man erhält:
I
T 
r  x  t v  xx
T =  T y  = I ω& =  I xy
I
T 
 z
 xz
I xy
I yy
I yz
I xz  0 


I yz  0  .
I zz  ω& = 0 
Demnach handelt es sich um eine drehmomentfreie gleichförmige Rotation in Analogie zur
kräftefreien gleichförmigen linearen Bewegung. Hier sieht man bereits den Vorteil der
Verwendung der Gleichungen in Winkelgrößen, da die Beschreibung wesentlich einfacher
ist. Allerdings nur solange, als man nur in dem Verhalten der makroskopischen
Drehbewegungen interessiert ist. Zwangskräfte, wie z.B. die Fliehkraft sind hier nicht
explizit ersichtlich. Etwas tieferen Einblick erhält man noch, wenn nun die einzelnen
Drehgrößen wie Drehmomente, Drehimpulse und Trägheitsmomente auch tatsächlich
ausgerechnet werden. In unserem Fall der einfachen Rotation in einer Ebene sind nur die zKomponenten von Bedeutung. Wir berechnen:
 − rω 2 cos ωt 
0


 r cos ωt 


r v r 



2
0
T = r × F =  r sin ωt  × M  − rω sin ωt  = M 

2 2
2 2




 0 
0
 − r ω cos ωt sin ωt + r ω sin ωt cos ωt = 0 




,
 ry2 + rz2

t
I = M  − rx ry
 −r r
x z

− rx ry
rx2 + rz2
− ry rz

r 2 sin 2 ωt
− r 2 sin ωt cos ωt 0 
− rx rz 



0 .
r 2 cos 2 ωt
− ry rz  = M  − r 2 sin ωt cos ωt

rx2 + ry2 
0
0
r 2 

Der Trägheitstensor besteht nur aus der zz-Komponente als zeitlich stabile Größe, während
die anderen Komponenten nur zeitweise auftreten und für den Bewegungsvorgang im Mittel
nicht maßgebend sind. Das Trägheitsmoment eines einzelnen Massepunktes ist daher Mr2,
wobei r den Normalabstand zur Drehachse bedeutet. Die Kreisfrequenz hat nur eine zKomponente, da nur der Winkel des Massepunktes in der x-y-Ebene sich ändert:
 0 


ω =  0  , mit ϕ = ωt + ϕ 0 .
 ω = ϕ& 


r
Die weiteren Größen ergeben sich zu:
P. Knoll. Trägheitsmoment, Direktionsmoment
9
KFUG, Inst. f. Experimentalphysik,
Laborübungen aus Experimentalphysik I
 r cos ωt 
 − rω sin ωt 
 0 
r r r r




 tr
r 
l = r × p = r × Mv =  r sin ωt  × M  rω cos ωt  = M  0  = I ω .
 0 


 r 2ω 
0






Zur Vereinfachung ist in nachstehender Tabelle nochmals die Analogie zwischen den
einzelnen Größen angegeben:
lineare Bewegung
r
x , Ort
r r
v = x& , Geschwindigkeit
r r
b = &x& , Beschleunigung
r
F , Kraft
M , Masse
Rotation
ϕ , Winkel
r r
ω = ϕ& ,
r
Winkelgeschwindigkeit
r
ϕ&& , Winkelbeschleunigung
r
T , Drehmoment
r r r
T =r×F
t
r r r tr
I , Trägheitsmoment
Mr × ω × r = I ω
 ry2 + rz2 − rx ry
− rx rz 


2
2
M  − rx ry rx + rz
− ry rz 
 −r r
− ry rz rx2 + ry2 
x z

r
p , Impuls
bzw. in einfachen Systemen
2
wo I diagonal: I αα = M rα
r
l , Drehimpuls
r r
r
F = Mb = p&
r r& t& r t r
T = l = I ω + I ω&
r
F
∑ i =0
r
T
∑ i =0
i
Zusammenhang
r r
r
r
dx = dϕ × r + dr
r r r r
v = ω × r + r& ,
r r r r r r
b = ω& × r + ω × r& + &r&
r r r r
r
l = r × p = r × Mv =
r r tr
r
= r × Mω × r = I ω
i
8.4 einfache Drehschwingung
Eine einfache praktische Realisierung einer harmonischen Schwingung kann durch eine
Drehschwingung einer Metallscheibe verwirklicht werden. Die periodische veränderliche
Größe ist der Drehwinkel ϕ der Metallscheibe um eine vorgegebene Achse. Dies ist
möglich, wenn auf den Körper ein Drehmoment T wirkt, das eine Funktion des Drehwinkels
ist. Der Wert des Winkels ϕ, bei dem T gleich null wird, heißt in Analogie zur linearen
Schwingung Ruhelage. Das Drehmoment ist jeweils so gerichtet, dass der Körper gegen die
Ruhelage hin beschleunigt wird. Für die Winkelbeschleunigung gilt dann
ϕ&& =
T
I
worin I das Trägheitsmoment des Körpers in Bezug auf die Drehachse ist.
P. Knoll. Trägheitsmoment, Direktionsmoment
10
KFUG, Inst. f. Experimentalphysik,
Laborübungen aus Experimentalphysik I
Wird eine Masse über einen Torsionsdraht um einen Winkel verdreht, so besteht ein
Zusammenhangs zwischen Drehwinkel und Drehmoment in Analogie zum Hook´schen
Gesetz:
T = − D rϕ .
Der Proportionalitätsfaktor Dr heißt das Direktionsmoment. Dieser lineare Zusammenhang
zwischen Winkel und Drehmoment ist häufig eine gute Näherung der wirklichen
Verhältnisse, da jede beliebige Auslenkung um die Ruhelage in eine Potenzreihe entwickelt
und für genügend kleine Winkel nach dem ersten Glied abgebrochen werden kann. Wird das
rücktreibende Drehmoment durch Verdrillung eines Drahtes der Länge l und des Radiuses r
bewirkt, so gilt für das Direktionsmoment:
Dr =
πr 4 G
2l
.
Dabei ist G der Torsionsmodul, welcher durch das Material des Drahtes bestimmt wird.
Die Bewegungsgleichung erhalten wir wiederum aus dem Newton´schen Axiom, dass die
Summe aller Kräfte verschwinden muss:
Iϕ&& + TR + DRϕ = 0 = Iϕ&& + g ϕ& + Drϕ .
Dabei wurde noch zusätzlich ein Drehmoment der Reibung
Winkelgeschwindigkeit hinzugefügt. Nach Division durch I erhält man:
proportional
zur
ϕ&& + 2 γ ϕ& + ω 02 ϕ = 0
mit:
D
g
= 2 γ und r = ω 02 .
I
I
γ heißt die Dämpfungskonstante des schwingenden Systems. Die Lösung erhält man durch
den Ansatz: ϕ (t ) = Ae iωt . Die Eigenfrequenz ergibt sich dabei als komplexe Zahl mit
ω = iγ ± ω 0 2 − γ 2 .
ϕ (t ) = Re Ae −γt e it
Die
(
allgemeine
Lösung
lautet
daher:
)
 = Re Ae −γt e iω0 (γ ) t . Durch die Dämpfung wird daher einerseits die


Amplitude exponentiell abklingen, und andererseits die Schwingungsdauer zu:
tP =
2π
Dr
g2
− 2
I
4I
=
ω 0 2 −γ 2
2π
ω02 − γ 2
vergrößert.
Für kleine Dämpfungen kann man meist unter Vernachlässigung von γ die Periodendauer
interpretierten. Es gilt:
P. Knoll. Trägheitsmoment, Direktionsmoment
11
KFUG, Inst. f. Experimentalphysik,
tP ≈ 2 π
Laborübungen aus Experimentalphysik I
I
Dr
Mittels der angegebenen Beziehung kann das Direktionsmoment oder das Trägheitsmoment
bestimmt werden, wenn die Schwingungsdauer und die jeweils andere Größe bekannt sind.
Das Direktionsmoment kann im Prinzip auch direkt ermittelt werden, wenn zu einem
bekannten von außen angelegten Drehmoment die Winkelauslenkung gemessen wird. Häufig
ist dies aus messtechnischen Gründen nicht möglich. Auch die direkte Ermittlung des
Trägheitsmomentes ist bei beliebig geformten Körpern schwierig. Um beide Größen aus
reinen Messungen der Schwingungsdauer zu ermitteln, kann man das Trägheitsmoment I des
Körpers um einen definierten Wert I' verändern und die dadurch geänderte
Schwingungsdauer tP' bestimmen. Noch genauere Ergebnisse erhält man, wenn man das
Trägheitsmoment in mehreren Schritten um definierte Werte erhöht und dann durch
geeignete Auftragung von Periodendauer und zusätzlichem Trägheitsmoment mit Hilfe einer
Ausgleichsgeraden gleichzeitig unbekanntes ursprüngliches Trägheitsmoment und
Direktionsmoment bestimmt. Das Trägheitsmoment erhöht sich dabei mit Iges= I + I'. Daraus
ergibt sich eine geänderte Periodendauer:
t P ( I ´) = 2π
I + I'
.
Dr
Durch Quadrieren erhält man einen linearen Zusammenhang:
2
t P ( I ´) =
4π 2 I 4π 2 I '
+
.
Dr
Dr
Trägt man nun in einem Diagramm tP2(I´) als y-Wert und I´ als x-Wert auf, so kann man aus
der ermittelten Ausgleichsgeraden Dr und I bestimmen.
Ebenso kann man auch die Dämpfung der Schwingung berücksichtigen. Unter Verwendung
der Kreisfrequenz ω und der Dämpfungskonstanten γ erhält man:
1
I
I'
=
+
.
2
ω + γ I ´ Dr Dr
2
I´
9.
Experimentpate: P. Knoll
P. Knoll. Trägheitsmoment, Direktionsmoment
12