Netzwerke und Schaltungen II 1 Grundlagen der
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Kompl. Drehzeiger u = ûe j(ωt+ϕu ) = û∠(ωt + ϕu ) 2.1 Kennwerte von Sinusgrössen Kompl. Festzeiger U = allgemeine Funktion: x = x̂ sin(ωt + ϕx ) Cosinussatz rs 2 = r1 2 + r2 2 + 2r1 r2 cos(α1 − α2 ) Netzwerke und Schaltungen II Ue jϕu = U∠ϕU Periodendauer T = Impedanz Z = R + jX = ze jϕ = (z∠ϕ) Christian Schluchter, [email protected] 26. August 2007 Y = G + jB = ye r = re jα = r∠α = r(cos α + j sin α) √ Betrag r = |r| = a2 + b2 = 1 T ω 2π = jϕ = (y∠ϕ) 2 Sinusgrössen u(t) = û sin(ωt + ϕU ) Scheitelfaktor ξ = Formfaktor F = I |ī| a | cos α| = û U = = U |ū| = π √ 2 2 Linearer Mittelwert ī = Kehrwert 1 1 z = 1 z a b = arccos · e−jα a r = arcsin 1 T b r ϕ > 0: Spannung eilt Strom voraus ϕ < 0: Strom eilt Spannung voraus 1 T RT RT ! û û U = √ e jϕU = √ ∠ϕU = URe + jUIm 2 2 ! î î I = √ e jϕI = √ ∠ϕI = IRe + jIIm 2 2 idt 0 |i|dt Drehzeiger √ √ u = U 2e jωt = u 2e jϕU e jωt 0 momentane Spannung s Winkel α = arctan 2 2.2 Mittelwerte ϕ = ϕU − ϕI b sin α Festzeiger √ = Gleichrichtwert |ī| = Effektivwert einer Fourierreihe qP ∞ 2 Xeff = ν=0 Xeff,ν √ 2 2 aν +bν √ Xeff,ν = 2.3 Zeigerdarstellung 2π T î I i(t) = î sin(ωt + ϕI ) √î 3 2 Kreisfrequenz ω = 2π f = Admittanz 1 Grundlagen der komplexen Rechnung Frequenz f = 2π ω = ∆-Grössen Effektivwert I = = sin-Grössen 1 T √î 2 RT 0 i2 dt √ u(t) = Im(u) = U 2 sin(ωt + ϕU ) |{z} û 3 Grundzweipole Ohmscher Widerstand Induktivität Kapazität u = Ri di u = L dt u = u(t0 ) + Zeigerdiagramm Grundgesetz Komplexer Leitwert i = Ru R = UI G = UI Wirkleistung P(t) = ui = i2 R = Blindleistung 0 Komplexer Widerstand i = i(t0 ) + Wirkwiderstand R = Blindwiderstand X = i= u(τ)dτ = jBL = 1 R u2 R = ûî sin2 ωt û î −j ωL = U cos ϕ I = Z cos ϕ Ub I = U sin ϕ I = Z sin ϕ −j ωC U2 XL Q = UI = erzeugt >0 Wirkfaktor λ = cos ϕ = Blindfaktor sin ϕ = Q S P S für Sinus: Q = Im S S2 = P2 + Q2 = X Z = Φ= ~x dA ~ S R 3.2 Kapazität [Φ] = Tm2 = Vs = Wb für homogenes Feld, senkrecht auf A: Φ = BA Aa C= IC UC jω = IC UC ω da ϕ = −90◦ G Y Θ= R ~ x dA ~= S H ~ ~l Hd [Θ] = A ~ auf einem Geschlossenen Weg ~l (Feldstärke H integriert) Feldstärke H auf Weglänge l überall gleich: Θ = IN = Hl magnetischer Leitwert −B Y U2 Z [S] = VA für Sinus S = U · I∗ 2. Wirkleistung P = UI cos ϕ = S cos ϕ [P] = W RT P = T1 0 u(τ)i(τ)dτ L= ~x magnetische Feldstärke H magnetische Induktion oder Flussdichte ~ x = µx H ~x B UL IL jω = UL IL ω da ϕ = 90◦ magnetischer Spulenfluss ψ = NΦ A 1. Scheinleistung S = UI = I2 Z = 2 relative Permeabilität µr vom Werkstoff abhängig Durchflutung = nichtlineare Induktivität, ferromagnetische Kreise dL di d(L i) di + i di1 dt uL = dt1 = L1 dt A 3.3 Induktivität für Sinus: P = Re S µVs Induktionskonstante µ0 = 1.256µT m A = 0.4π Am = 4π nH cm Ladung Q = CU P R Z = I2 XC < 0 magnetischer (Windungs-)Fluss Q = U2 XC 3. Blindleistung Q = UI sin ϕ = S sin ϕ [Q] = var Blindspannung Ub = U sin ϕ Phasenwinkel ϕ = arctan i(τ)dτ 0 Kapazität C = Wirkspannung Uw = U cos ϕ = R 1 t C t0 C du dt jBC = jωC 0 Zusammenhang Uw I dQ dt jXC = Q = UI = I2 XL = verbraucht = U I 1 L t0 jXL = jωL 3.1 Allgemeiner passiver Sinuszweipol Scheinwiderstand Z = Rt [B] = T (Tesla) Permeabilität µx = µ0 µr Λ= 1 Rm = µA l Ohmsches Gesetz des magnetischen Kreises Φ = ΛΘ = Induktionsgesetz Induktivität Θ Rm t uq = N dΦ dt L = N Φi t = NΛ Ψi t = N2 Λ = 3.3.1 Analogie Magnetischer / elektrischer Kreis Stromfluss i Spannung u Leitwert G Ohmscher Widerstand R magnetischer Fluss Φ Durchflutung Θ magn. Leitwert Λ magn. Widerstand Rm 3.3.2 Erzeugung von Sinusquellenspannung magnetischer (Windungsfluss-)Fluss φ = −Φ̂ cos ωt N2 Rm Quellenspannung Uq = N dφ(t) dt = ωNΦ̂ sin ωt = Ûq sin ωt 4.2 Ring-Lufttransformator 4.2.2 Ziel: Ersatzschaltbild I1 = U1 Ztot → I1 = = U1 ω U1 1 1 + 1 jωLA jωLB · ( L1 + A A = U1 jω · ( L1 + A ! U1 1 LB ) = ω·LA · 1 LB ) A1 A1 −A2 ⇒ LB = LA ( A1 − 1) 2 4 Magnetische Kopplung Leerlauf primärseitig 4 Grössen zu bestimmen 3 lin. abh. Gleichungen → 1 Grösse frei wählbar 4.1 idealer Übertrager Variante 1, LC = 0 P1 = P2 ü = Z2 = ü2 ⇒ ü = N: Windungszahl µ: Permeabilität A: Querschnittsfläche R: Radius N1 U1 I2 = = N2 U2 I1 Z1 µ·A 2πR L = N2 · Z0L = ZL · ü2 q LA +LB L2 Variante 2, ü = 1 h Luft: µ = µ0 = π · 4 · 10−7 Eisen: µ = µ0 + µr N A2 Bsp: Lehrlauf sekundärseitig i 4.2.1 Gleichungen LL sekundärseitig: = ˆ = ˆ LL primärseitig: U1 (komplex ω·L1 U1 A2 U2,L = ü A 1 U I2,L = ω·L2 (komplex 2 I1,L = KS sekundärseitig: U1,L = U2 · ü A1 I1,K = I1,L · A −A KS primärseitig: I2,K = I2,L · Kopplungsfaktoren k12 = k21 = Φ21 Φ22 = U1l U2 · = U1 jωL1 ) : U2 jωL2 ) L1 : Primärseitige Induktivität L2 : Sekundärseitige Induktivität ⇒ LA = L1 Kurzschluss sekundärseitig Kurzschluss sekundärseitig 2 1 A1 A1 −A2 U2l U1 · 1 ü 1 ü Streufaktoren σ1 = 1 − k12 Gesamtstreufaktor σ = 3 Φ12 Φ11 : I1l I1k I1 = σ2 = 1 − k21 = 1 − k12 k21 Trafo: I1,K = U1 ωLA · A1 A1 −A2 U1 ! U1 Ztot = jωL1 · A1 A1 −A2 √ ⇒ M = ± . . . → Rechnerisch beide Lsgn OK, M < 0 nicht einfach realisierbar. 5.1.2 Stern-Dreieck-Umformung ⇒ L1 − M; L2 − M 5.2 Leistungsoptimierung 5.1.4 Siebschaltungen Tiefpassfilter Hochpassfilter Bandpass 5.2.1 Blindstromkompensation 1. Anpassungsbedingung Xa = −Xi 5 Sinusstromnetzwerke 2. Anpassungsbedingung Ra = Ri allgemeine Anpassungsbedingung Za = Z∗i 5.1 Berechnungsmethoden PZa ,max = 5.1.1 Ortskurven Z1 = Z12 Z31 Z12 +Z23 +Z31 Z12 = Z1 + Z2 + Bsp. Ia = UqE = ZCiE +Ra Ra UqE − j ω(C 1+C ) 1 2 UqE 2 1 Uq 1 Ia 2 = 2 2Ri 2 2Gi 5.1.3 Duale Schaltungen Duale Zuordnung für alle Frequenzen ZQ = ZD 2 ZL 5.1.5 Äquivalente Schaltungen Leistungsanpassung in schmalem Frequenzbereich bedingt äquivalente Schaltungen nur für eine Frequenz völlig gleiches Verhalten, weil für diese Frequenz ihr Scheinwiderstand und Phasenwinkel übereinstimmen Anpassung für Ri , Ra unbedingt äquivalente Schaltungen Frequenzgang völlig gleich Dualitätskonstante ZD 2 = Zi Za Widerstände ZQ und ZL verhalten sich widerstandsreziprok Frequenzverhalten ist invers Umwandlung Längsinduktivität LL in Querkapazität CQ : LL CQ = RD 2 Umwandlung Längskapazität CL in Querinduktivität LQ : L Q = RD 2 CL Beim Vertauschen von Induktivität L und Kapazität C gilt L RD 2 = C 4 2 = 5.2.2 Resonanztransformation Wenn ZStern und ZDreieck untereinander gleichgross sind, gilt ZDreieck = 3ZStern reziprokwert: 1 Ia Z1 Z2 Z3 Pgesamt unbedingte Äuivalenzbedingung Za = Zb unbedingte Äquivalenz nur für folgende Schaltungen: a) Ri > Ra Es müssen mindestens 3 Elemente vorhanden sein. b) Ra > Ri zu a) Z1b = Z1a + Z2a Z2b = Z Z1b Z1a 2a Z3b = Z3a Z1b Z2a 2 zu b) Z1a = Z2a = Z1b Z2b Z1b +Z2b Z Z1a Z1b 2b Z3a = Z3b Z1a Z2b 2 5.3 Schwingkreise a) ! Ri = R0a = ˆ = + 1 Ra +jX2 = = Ra R2a +X22 ⇒ X2 = ± Ra (Ri − Ra ) 1 Ri 1 jX1 <: 1 Ri =: 0= ! 1 ! 1 Ri = R0a 1 jX1 − Resonanz: + 1 jX1 bei ungedämpftem Schwingkreis: ωρ = ω0 5.3.1 Serieschwingkreis Ra −jX2 R2a +X22 Y = G + jB | {z } B=0 p jX2 R2a +X22 ⇒ X1 = Gesamtimpedanz ϕ = ϕu − ϕi Z = R für ω = ω0 (= ωρ ) −Ra ·Ri X2 5.3.2 Parallelschwingkreis b) X2 = ±Ra q Ri Ra −Ri X1 = −Ra ·Ri X2 Anwendung i) i) ! + 2 X ⇒ jX2 = jωLi → X1 ⇒ 1 jX1 = − j ωC - 2 X ⇒ + → X1 ⇒ ⇒ Li ! i ! 1 jX2 = − j ωC ! ii jX1 = jωLii ϕ = ϕu − ϕi Y = G für ω = ω0 (= ωρ ) ⇒ Ci Kennkreisfrequenz ω0 = ⇒ Cii √1 LC Bsp ⇒ Lii Kennfrequenz f0 = Bsp ⇒ in beiden Fällen Anpassung a) i) ω0 2π Kennwiderstand Z0 = ω0 · L = Güte Q = = q L C Z0 R Dämpfung δ = a) ii) 1 ω0 ·C Kennfrequenz f0 = √1 LC ω0 2π 1 Q Bandbreite bω = ω2 − ω1 = ω0 · δ b f = f2 − f1 = f0 · δ Grenzfrequenz f1 = f0 − f2 = f0 + Kennkreisfrequenz ω0 = bf 2 bf 2 Kennwiderstand Y0 = ω0 · C = 1 ω0 ·L TR-Tipp rückeinsetzten 5 jω substituieren und Blindwiderstand X = 0 C L Ges.: Resonanzfrequens fρ , Resonanzstrom Iρ 1 −jωC Güte Q = R X = ωL − Dämpfung δ = 1 Q Bsp. [U6-A1] bei ungedämpftem Schwing- q Z = jωL + 1 1 = jωL + 1R 2 2 + jωC +ω C Y0 G Bandbreite bω = ω2 − ω1 = ω0 · δ b f = f2 − f1 = f0 · δ Resonanz kreis: ωρ = ω0 = Grenzfrequenz f1 = f0 − f2 = f0 + bf 2 bf 2 → ωρ = 1. R2 ! ωC 1 +ω2 C2 =→ R2 q 1 LC − 21 2 R C ωρ ; (Resonanz: X = 0) ω0 = q 1 LC ωρ fρ = 2π U 2. Iρ = za ω=ωρ = Uq · ( R1 + ω2ρ C2 · R) 6 Zweitore (Vierpole) Zl = Kettenform: 6.1 Zweitorgleichungen ZL = ! U1 I1 A11 A21 = A12 A22 ! U2 I2 ! U1 I1 I2 =0 p = Z11 Z11 = Z22 ZK · Zl = . . . Beschaltetes Zweitor 6.4 Ersatzschaltungen Widerstandsform: ! U1 U2 Z11 Z21 = ! Z12 Z22 I1 I2 ! U1 U2 I2 =0 I1 U2 I2 =0 A11 = A21 = Z-Parameter Z11 = Z21 = U1 I1 U2 I1 I2 =0 Z12 = I2 =0 Z22 = U1 I2 U2 I2 Die formalen Umrechnungen zur Ersatzschaltung können zu Widerständen und Leitwerten führen, die sich nicht realisieren lassen. A-Parameter A12 = A22 = U1 I2 U2 =0 I1 I U2 =0 2 Serienschaltung I1 =0 I1 =0 U1 U2 U2 U1 = Z11 · I1 + Z12 · I2 = Z21 · I1 + Z22 · I2 = I 2 · ZL = U q − I 1 · Zi → 4 Gleichungen 4 Unbekannte T-Ersatzschaltung Π-Ersatzschaltung Z11 = ZI + ZII Z21 = Z12 = ZII Z22 = ZIII + ZII Y11 = YII + YI Y21 = Y12 = YII Y22 = YIII + YI TR ⇒ I1 = Uq · Leitwertform: I1 I2 U1 = ! = Y11 Y21 Y12 Y22 ! U1 U2 ⇒ Y21 = ! =A U2 I2 ! = A · A0 0 U2 0 I 2 I1 U1 U2 =0 I2 U1 U2 =0 Y12 = Y22 = I1 U2 U1 =0 I2 U2 U1 =0 Alle passiven Zweitore, das sind Zweitore, die keine Spannungs- oder Stromquellen enthalten, sind reziprok oder kopplungssymmetrisch (übertragungssymmetrisch). Hybridform: U1 I2 ! = H11 H21 H12 H22 ! I1 U2 ! Z11 = Z12 = Y22 = H-Parameter H11 = H21 = 6 U1 I1 U2 =0 I2 I1 U2 =0 H12 = H22 = U1 U2 I1 =0 I2 U2 I1 =0 −Z21 Ztot 6.2 Kopplungssymmetrische Zweitore Bsp.: Y-Parameter Y11 = ; U2 = U01 U1 I1 · U2 = Ztot = Z11 · (Z22 − ZL ) − Z12 · Z21 + (Z22 − ZL ) · Zi ! I2 = I01 Z22 −ZL I2 = Uq Ztot Z11 ·(Z22 −ZL )−Z12 ·Z21 Uq · Ztot −Z21 ·ZL Uq · Z tot U1 I1 U1 I2 I2 U2 I2 =0 = jωC + I1 =0 ⇒ U1 = −I2 · U1 =0 jωC+ ⇒ Y22 = 1 jωL+ ZK = U1 I1 U2 =0 L C j(ωL− 1 ) ωC = 1 Y22 ZI = ZIII YII = YIII 6.6 Wellenwiderstand Leerlaufimpedanz Zl1 = 1 jωC ⇒ I2 = 6.5 Widerstandssymmetrisches Zweitor 1 jωC U2 ⇒ Z12 = j · 1 ωC Z12 = Z21 6.3 Widerstandssymmetrische Zweitore für I2 = 0 Kurzschlussimpedanz Zk1 = Wellenwiderstand ZL = jωL· 1 jωC jωL+ 1 jωC U1 I1 p U1 I1 für U2 = 0 Zl Zk Wird der Wellenwiderstand an einem Zweitor angeschlossen, entspricht die Eingangsimpedanz des Zweitors genau diesem Wellenwiderstand. 7 Symetrisches Dreiphasensystem 7.2 Dreieckschaltung 8 Nichtsinusförmige Spannungen ak = ck + c−k bk = i(ck − c−k ) 8.1 Fourierzerlegung Approximation U12 R I1 = − I2 = . . . I3 = . . . U31 R = U1 R − U2 R − U3 R + f (t) ≈ a0 + U1 R 8.2 Komplexe Fourierreihe ∞ X aν cos(νωt) + ν=1 ∞ X bν sin(νωt) ν=1 cos(ωt) = 1 2 e jωt + e−jωt f (t) = ⇒ Kombination aus Stern und Dreieck möglich: −j 2π 3 Verwende ω = U2 = Ustr ∠ − 120◦ = Ustr · e ∞ X 1 2j e jωt − e−jωt cν · eν jωt 2π T −j 4π 3 U3 = Ustr ∠ − 240◦ = Ustr · e Koeffizienten U12 = U1 − U2 U23 = U2 − U3 U31 = U3 − U1 U12 = U23 = U31 = 3 P Ui = 0 sin(ωt) = ν=−∞ Berechnung der Koeffizienten U1 = Ustr reelle Koeffizienten Gleichanteil √ 3U1 = √ 3U2 = √ 1 a0 = T 3U3 f (t)dt = 1 cν = T ZT −jωνt f (t)·e 0 0 Zeigerdiagramm: i=1 ZT ”Fläche oberhalb 0-Linie” − ”Fläche unterhalb 0-Linie” T 1 (a + jb−ν ) 2 −ν a0 dt = 1 (aν + jbν ) 2 ν<0 ν=0 ν>0 Achtung bei c0 ! Gerader Anteil 7.1 Sternschaltung 2 aν = T ZT f (t) · cos(ν · ωt)dt Effektivwert r ∞ P xeff = x2eff,ν , ν=0 0 √ xeff,ν = a2ν +b2ν √ , 2 xeff,0 = a0 Nichtperiodische Signale Ungerader Anteil bν = 2 T periodisch: nicht periodisch: ZT f (t) · sin(ν · ωt)dt 0 Symetrisch: Potential M1 = Potential M2 I1 = 7 U1 R ; I2 = U2 R ; I3 = U3 R rein gerade: bν = 0 ∀ ν ; rein ungerade: aν = 0 ∀ ν Achtung Sollen Grössen für Oberschwingungen berechnet werden, darf nicht vergessen werden, dass diese eine höhere Frequenz haben! 8.3 Korrespondenzen 8.3.1 wichtige Stammfunktionen R cos(αx)dx = α1 sin(αx) R sin(αx)dx = − α1 cos(αx) R x cos(αx)dx = α12 cos(αx) + α1 x sin(αx) R x sin(αx)dx = α12 sin(αx) − α1 x cos(αx) 9 Laplace (-Transformation) Fourier: transiente Vorgänge (Einschwingvorgänge sind abgeschlossen) Laplace: (in) transiente Vorgänge, Spurnghafte Änderungen, Ein-/Ausschaltvorg. 9.1 Definition 8.3.2 Fourierreihen 9.3.2 Korrespondenzen f (t) R F(s) s = σ + jω F(s) = ∞ f (t) · e−st dt 0 σ+jω R 1 F(s) · est ds 2πj f (t) = σ−jω 0 s= ˆ jω IL (s) = UL (s) Ls + IL0 (s) = UL (s) Ls + U0 sR2 9.3 Transformierung t>0 t<0 9.3.1 Regeln [V-298] (σ = 0) F1 (s) + F2 (s) c · F(s) f1 (t) + f2 (t) 9.2 Bauelemente im L-Bereich Induktivität: s · L (jωL mit σ = 0) 1 1 Kapasität: sC ( jωL mit σ = 0) Widerstand: R Faktoren vor Summe gelten auch für T-periodische Funktionen. 9.2.1 Ersatzschaltbilder mit Berücksichtigung der Anfangswerte 8.4 Fouriertransformation X( f ) = x(t) = R∞ −∞ R∞ X( f ) · e j2π f t d f −∞ 8 x(t) · e−j2π f t dt c · f (t) F(s) · e−t0 s f (t − t0 ) F(s + δ) f (t)e−δt s · F(s) − f (0+ ) (t0 > 0) (δ > 0) f 0 (t) (Foueriertransformation) (Foueriertransformation)−1 IC (s) IC (s) U0 UC (s) = + UC0 (s) = + Cs Cs s 1 · F(s) s Z 0 t f (τ)dτ + f (0) Fi |Fi (jω)| in dB ∠(Fi (jω)) K j · ωω E (=K ˆ · s) − j · ωωe = ˆ Ks j · ωω + 1 E (=TS ˆ + 1) [U10-A3] Bsp.: [U10-A1] 10 Bode-Diagramm Graphische Darstellung einer Funktion F(jω)=F(ω) ˆ a) Betrag b) Phase 1 j· ωω +1 E 1 = ˆ TS+1 10.1 Passglieder Bsp Zeichne das Bodediagramm der Übertragungsfunktion F(jω) = F(s) s=jω 0 3T 2 3T → → → 3T 2 3T ∞ u1 (t) = . . . u2 (t) = . . . u3 (t) = . . . ⇒ ue (t) = u1 (t) + u2 (t) + u3 (t) ⇒ Ue (s) = U1 (s) + U2 (s) + U3 (s) ua (t) = ua1 (t)δ(t) + ua2 (t)δ(t − 3T ) + u (t)δ(t − 3T) a3 2 F Betrag (in Dezibel) FdB = 20 · log10 ( [F] )dB ⇒ F = F1 · F2· F3 F F F ⇒ FdB = 20 · log [F1 ] + log [F2 ] + log [F3 ] 1 2 3 Achtung ωE angegeben in Tabelle fE = C = 100µT, ωE 2π R = 100Ω Übertragungsfunktionen (τ = RC bzw. τ = 1. F(s) bzw. F(jω) bestimmen 9.4 Rücktransformierung Faktorisieren Achtung Korrespondenzen gelten nur für t ≤ 0 → mit Einheitssprung multiplizieren! F so umformen, dass F aus Faktoren der Tabelle besteht: F = F1 · F2 · . . . Knickzüge zu Fi zeichnen und zu F addieren. 9 U F(jω) = U2 = 1 R 1 +R jωC ω 1 jωCR = 1+R jωC = j · ωE 1 + j ωω 1 E |{z} | {z 2} F1 1 = 102 1 ωE = ωE2 = RC s 1 F2 Hochpass F(s) = Tiefpass F(s) = jω jω+ τ1 1 1+jωτ ≈ jωτ ≈ 1 jωτ = −j ωτ L R) 11 Lösungsstrategien 11.1 Brückenschaltungen U2.3 1. Ersatzspannungsquelle für Klemmen a,b 2. Ersatzwerte ausrechnen für abgeglichenes Netzwerk mit Hilfe von U1 , U2 3. gesuchte Werte ausrechnen für Netzwerk mit neuem variablen Widerstand 11.2 Fourierreihe U8.1 1. gerade, ungerade? 2. algebraische Beschreibung der Grösse 3. beim Ausrechnen der Koeffizienten ω = einsetzen 10 2π T V-323 Frequenzverhalten von Übertragungsgliedern V-324
