Derivate und Bewertung_171008_Total

Derivate und Bewertung
Dr. Daniel Sommer
Universität Hohenheim
Wintersemester 2008/2009
In diesem Modul wird diskutiert
Modul I
Einführung
• warum diese Vorlesung für Sie sinnvoll
sein kann,
• warum ich Lust habe, diese Vorlesung
nochmals zu halten,
• welche Inhalte Sie in dieser Vorlesung
erwarten,
• was ich von Ihnen in dieser Vorlesung
erwarte,
• wie die Vorlesung organisiert ist.
© Dr. Daniel Sommer
2
… warum diese Vorlesung für Sie
sinnvoll sein kann
Quelle: BIS
Eine moderne
Ökonomie ohne
Derivate ist
undenkbar!
Die meisten
Derivate
werden OTC
gehandelt.
© Dr. Daniel Sommer
3
… warum diese Vorlesung für Sie
sinnvoll sein kann
Zum OTCVolumen
kommt das
Volumen
börsengehandelter Derivate
hinzu.
Börsen sind
besonders
stark im Optionshandel.
© Dr. Daniel Sommer
4
… warum diese Vorlesung für Sie
sinnvoll sein kann
Erfahrene Berater (m/w) Advisory Financial Services
Eine Fülle von
interessanten
Jobs wartet auf
Sie
Financial Risk Management
(- Kredit-, Markt-Risikomanagement,
Operational-, Liquiditäts-Risikomanagement, Risikoberichtserstattung,
Economic Capital Management,
Limitsysteme , Risiko-Strategie,
-Organisation, -Prozesse, Risikomessmethodik,
Derivatebewertung, IT-Unterstützung
Accounting Advisory Services
(- IFRS-Conversions, Quality Close, - Budget,
Forecasting & Financial
Modelling, Accounting Support)
Consultant Investment Banking
Exotic Interest Rate Derivatives developer/analyst
© Dr. Daniel Sommer
5
… warum diese Vorlesung für Sie
sinnvoll sein kann
Referent/in Risikomanagement
Risikomanager/in Strategische Risikosteuerung
Eine Fülle von
interessanten
Jobs wartet auf
Sie
Leading Austria House is looking for credit Quants/
Front Office
Mitarbeiter/in Derivatives Settlement
Risk Analyst
Senior Quantitative Analyst - Derivatives
© Dr. Daniel Sommer
6
… warum ich Lust habe, diese Vorlesung
zu halten
• mein Wunsch, Sie an meiner Erfahrung teilhaben zu lassen:
• 1996 Promotion in Bonn im Bereich Zinsstrukturmodelle
• 1996 – 1998 Tätigkeit im Handelsbereich einer deutschen
Großbank
• 1998 bis heute Mitglied der Financial Risk Management Group
bei KPMG, seit 2003 als Partner zuständig für Risk Methodology
• die Dynamik auf dem Gebiet der Derivate – sowohl in der Praxis als
auch in der Wissenschaft,
• der unmittelbare Awendungsbezug der Theorie,
• meine Erfahrungen aus Vorstellungsgesprächen und bei der Arbeit
mit Berufsanfängern,
• meine ständige Suche nach neuen Talenten für unsere Firma.
© Dr. Daniel Sommer
7
… welche Inhalte Sie erwarten
In diesem Modul wird diskutiert
Modul II
Arbitrage und
nicht-optionale
Zinsderivate
• was man unter Derivaten versteht,
• welche ökonomischen Prinzipien der
Bewertung von Derivaten zugrunde liegen,
• was man unter Zero-Coupon Bonds,
FRAs, Swaps und Futures versteht und
wie man sie bewertet,
• was eine Zinskurve ist, welche verschiedenen Darstellungen der Zinskurve es gibt
und wie man sie ineinander überführt,
• welche Zinsrisikomaße es gibt und wie
man sie einsetzt.
© Dr. Daniel Sommer
8
… welche Inhalte Sie erwarten
In diesem Modul wird diskutiert
Modul III
Aktienoptionen
• was man unter Aktienoptionen versteht,
• was man aus statischen Portfoliostrategien
über die Bewertung von Optionen lernen
kann,
• wie man die Konzepte der Duplikation und
der No-Arbitrage auf dynamische Wertpapiermärkte übertragen kann,
• wie man ein dynamisches Bewertungsmodell für Optionen konstruiert und darin
Optionen bewertet,
• was man unter Zustandspreisen versteht
und wie man damit Derivate bewertet.
© Dr. Daniel Sommer
9
… welche Inhalte Sie erwarten
In diesem Modul wird diskutiert
Modul IV
Besondere
Bewertungsalgorithmen:
Exotische
Optionen und
Dividenden
© Dr. Daniel Sommer
• wie man einen Überblick über die Welt der
exotischen Optionen gewinnen kann,
• ob und wie man einige exotische Optionen
in den bisher diskutierten Modellen bewerten kann,
• welche besonderen Charakteristika bestimmte exotische Optionen aufweisen und
welche Konsequenzen dies für das
Hedging hat,
• wie man Dividenden in das bisherige
Bewertungsmodell einbauen kann.
10
… welche Inhalte Sie erwarten
In diesem Modul wird diskutiert
Modul V
Währungsderivate
• was man unter Zinsparität versteht,
• was Zins-Währungsswaps sind, wie man
sie bewertet und welche Rolle dabei BasisSwaps spielen,
• was Währungsoptionen sind und wie man
sie bewertet,
• was Implizite Volatilitäten und Smiles sind.
© Dr. Daniel Sommer
11
… welche Inhalte Sie erwarten
In diesem Modul wird diskutiert
Modul VI
Ausblick
• warum Sie in dieser Vorlesung zwar
hoffentlich viel gelernt haben, aber
dennoch der Satz gilt:
„Ich weiß, daß ich nichts weiß.“
© Dr. Daniel Sommer
12
… was ich von Ihnen in dieser Vorlesung
erwarte
• Begeisterung für Derivate und Finanzmärkte,
• Freude am Knobeln
• die Bereitschaft, über die Vorlesungsstunden hinaus intensiv am Stoff
zu arbeiten,
• den unbedingten Willen, sich durchzubeißen,
• Grundlagenkenntnisse in linearer Algebra und Analysis (im
wesentlichen Abiturniveau).
© Dr. Daniel Sommer
13
… wie die Vorlesung organisiert ist
• geplante Vorlesungstermine:
Monat
Datum
Oktober
17.10.; 31.10.
November
21.11.; 28.11.
Dezember
12.12.
Januar
9.1.; 23.1.
Februar
6.2.
• Nach jeder Vorlesung besteht bis 18:00 Uhr Gelegenheit für Fragen.
• Die Vorlesung wird begleitet von Felix Prothmann
([email protected])
• Die Folien zur Vorlesung werden nach jeder Vorlesung über den
Lehrstuhl von Prof. Dr. Burghof per e-mail zur Verfügung gestellt.
© Dr. Daniel Sommer
14
In diesem Modul wird diskutiert
Modul II
Arbitrage und
nicht-optionale
Zinsderivate
• was man unter Derivaten versteht,
• welche ökonomischen Prinzipien der
Bewertung von Derivaten zugrunde liegen,
• was man unter Zero-Coupon Bonds,
FRAs, Swaps und Futures versteht und
wie man sie bewertet,
• was eine Zinskurve ist, welche
verschiednen Darstellungen der Zinskurve
es gibt und wie man sie ineinander
überführt,
• welche Zinsrisikomaße es gibt und wie
man sie einsetzt.
© Dr. Daniel Sommer
15
… was man unter einem Derivat versteht
Definition
gemäß IAS 39
Quelle: IASCF
© Dr. Daniel Sommer
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… ökonomische Prinzipien der BewerBewertung von Derivaten
No-Arbitrage
und
Duplizierung:
Ein Rätsel!
© Dr. Daniel Sommer
Herr Professor P trifft seinen Studenten S an der Bushaltestelle. Da
der Bus nicht kommt, macht S einen
Vorschlag: „Herr Professor, lassen
Sie uns folgendes Spiel spielen: Sie
stellen mir eine Frage. Wenn ich sie
nicht beantworten kann, zahle ich
Ihnen 1€. Dann stelle ich Ihnen eine
Frage. Wenn Sie diese nicht beantworten können, zahlen Sie mir 1€.“
„Nein,“ sagt P, „das ist nicht fair. Ich
bin Professor, Sie Student. Wenn
ich einen Fehler mache, zahle ich
Ihnen 1,20€.“ Als der Bus kommt,
hat P kein Geld mehr, um eine
Fahrkarte zu kaufen. Wieso?
17
… ökonomische Prinzipien der BewerBewertung von Derivaten
Definition: Zero-Coupon Bond
t0
No-Arbitrage
und
Duplizierung:
Eine einfache
Anwendung
© Dr. Daniel Sommer
B(t0 , t1 )
B(ti , t j )
t1
t2
Preis zum Zeitpunkt t0 eines Euro
ausgezahlt zum Zeitpunkt t1
Preis zum Zeitpunkt ti eines Euro
ausgezahlt zum Zeitpunkt tj
Ein Zero-Coupon Bond mit Laufzeit von ti bis
tj ist ein Finanzinstrument, das bei seiner
Fälligkeit zum Zeitpunkt tj genau eine Währungseinheit zahlt. Weitere Zahlungen während der Laufzeit finden nicht statt.
18
… ökonomische Prinzipien der BewerBewertung von Derivaten
Problemstellung
t0
No-Arbitrage
und
Duplizierung:
Eine einfache
Anwendung
© Dr. Daniel Sommer
t1
t2
Zum Zeitpunkt t0 seien die Preise B(t0 , t• )
aller Zero-Coupon Bonds bekannt.
Ein Unternehmen U weiß zum Zeitpunkt t0,
daß es zum Zeitpunkt t1 eine Zahlung Z
erwarten kann, die es bis zum Zeitpunkt t2
anlegen kann. Auf welchen Betrag wird Z bis
t2 angewachsen sein, wenn sich U in t0 verpflichtet, Z zum Zeitpunkt t1 zu einem bereits
in t0 festgelegten Zinssatz anzulegen?
19
… ökonomische Prinzipien der BewerBewertung von Derivaten
Zwei Portfolien in t0
t0
No-Arbitrage
und
Duplizierung:
Eine einfache
Anwendung
© Dr. Daniel Sommer
t1
t2
P1: Kauf eines Zero-Coupon Bonds zum
Zeitpunkt t0 mit Fälligkeit t2 mit einem
Nominalvlumen von Z × B (t 0 , t1 ) / B (t 0 , t 2 )
Kreditaufnahme i.H.v. Z × B (t0 , t1 ) mit
Laufzeit von t0 bis t1.
P2: Zum Zeitpunkt t0 Abschluß eines
Vertrages, in t1 den dann fälligen Betrag
in einen Zero-Coupon Bond mit Laufzeit
von t1 bis t2 zu einem in t0 festgelegten
Preis von F (t0 ; t1 , t 2 ) zu investieren.
20
… ökonomische Prinzipien der BewerBewertung von Derivaten
Analyse in t1
t0
No-Arbitrage
und
Duplizierung:
Eine einfache
Anwendung
© Dr. Daniel Sommer
t1
t2
Die Anfangsinvestition in P1 und P2 zum
Zeitpunkt t0 ist gleich und beträgt Null.
Zum Zeitpunkt t1erfolgt in P1 die Rückzahlung des Kredites aus der eingehenden
Zahlung Z.
In P2 wird Z zu dem zuvor festgelegten Preis
F (t0 ; t1, t2 ) in einen Zero-Coupon Bond
mit Fälligkeit t2 angelegt.
Es erfolgt keine zusätzliche Ein- oder
Auszahlung aus dem Portfolio.
Konsequenz: P1 und P2 müssen zum Zeitpunkt t2 den gleichen Wert haben.
21
… ökonomische Prinzipien der BewerBewertung von Derivaten
Definition: Terminpreis eines
Zero-Coupon Bonds
t0
No-Arbitrage
und
Duplizierung:
Eine einfache
Anwendung
Damit gilt:
t1
t2
B ( t 0 , t1 )
Z
= Z×
F ( t 0 ; t1 , t 2 )
B (t 0 , t 2 )
B(t0 , t2 )
⇔ F (t0 ; t1, t2 ) =
B(t0 , t1 )
F (t0 ; t1, t2 ) wird als Terminpreis zum
Zeitpunkt t0 des Zero-Coupon Bonds mit
Laufzeit t1 bis t2 bezeichnet.
Die Zahlung Z wird auf den Wert
anwachsen.
© Dr. Daniel Sommer
Z
F ( t0 ; t1 ,t 2 )
22
… ökonomische Prinzipien der BewerBewertung von Derivaten
Definition: Terminpreis eines
Zero-Coupon Bonds
t0
No-Arbitrage
und
Duplizierung:
Eine einfache
Anwendung
t1
t2
Mit der gleichen Argumentation wie
zuvor gilt allgemein:
F (ti ; tm , tn ) :=
B(ti , tn )
, wobei ti ≤ t m ≤ t n
B(ti , tm )
F (ti ; tm , tn ) wird als Terminpreis zum
Zeitpunkt ti des Zero-Coupon Bonds mit
Laufzeit tm bis tn bezeichnet.
© Dr. Daniel Sommer
23
… was man unter FRAs versteht
Definition: Continuously
Compounded Zinssätze
Der Continuously Compounded ZeroCoupon Bond Zinssatz ist definiert durch:
Zusammenhang
zwischen
(Termin-) Preisen
und
(Termin-) Zinsen
y(ti , t j ) := −
ln B(ti , t j )
t j − ti
, wobei i ≤ j
Der Continuously Compounded ZeroCoupon Bond Termin-Zinssatz ist definiert
durch:
ln F (ti ; tm , tn )
f (ti ; tm , tn ) := −
tn − tm
ln B(ti , tn ) − ln B(ti , tm )
=−
tn − tm
© Dr. Daniel Sommer
24
… was man unter FRAs versteht
Infinitesimale Terminzinssätze
Im Grenzwert ergibt sich für tn gegen tm:
Zusammenhang
zwischen
(Termin-) Preisen
und
(Termin-) Zinsen
ln F (ti ; tm , tn )
f (ti ; tm ) := − lim
tn →tm
tn − tm
ln B(ti , tn ) − ln B(ti , tm )
= − lim
tn →tm
tn − tm
=−
∂ ln B(ti , tm )
∂tm
und außerdem:
1
y( ti ,t j ) =
t j − ti
© Dr. Daniel Sommer
∫
tj
ti
f ( ti ; s )ds
25
… was man unter FRAs versteht
Definition: Unterjährige Annually
Compounded Zinssätze
Zusammenhang
zwischen
(Termin-) Preisen
und
(Termin-) Zinsen
Der unterjährige Annually Compounded ZeroCoupon Bond Zinssatz bei Tageszählkonvention k ist definiert durch:
1
:= B(ti , t j )
1 + z(ti , t j ) × ∆(ti , t j ; k )
Analog ist der entsprechende Terminzinssatz definiert durch:
1
:= F (ti ; tm , tn )
1 + zf (ti ; tm , tn ) × ∆(tm , tn ; k )
© Dr. Daniel Sommer
26
… was man unter FRAs versteht
Quelle: ISDA
ISDA Market
Conventions
Quelle: Trema
Quelle: Trema
© Dr. Daniel Sommer
27
… was man unter FRAs versteht
Forward rate agreement (FRA)
A contract between two parties to fix the forward rate of
interest on a notional loan, for an agreed period of time
starting on a specified future date.
FRA: Definition
und Beispiel
© Dr. Daniel Sommer
Assume that firm A needs to borrow $1 million in three
months time for a term of six months and wishes to protect
itself against a rise in interest rates. It can buy an FRA from
firm B at an agreed rate of, say, 10%. If, at the end of the
three months, market interest rates have risen to 12%, B
will pay A an amount based on the 2% difference applied to
the principal of $1 million for a period of six months.
Conversely, if interest rates drop to 9%, A will pay to B an
amount based on the 1% difference. Settlement is usually
made at the beginning of the forward period, rather than at
the end, therefore the amount paid is discounted
accordingly.
28
… was man unter FRAs versteht
PART 1
To Be Used on the Agreement Date
F.R.A. CONTRACT AGREEMENT DATE
CONFIRMATION NOTICE
TO:FROM:We are pleased to confirm the following Forward Rate Agreement ('F.R.A.') made between
ourselves as per FRABBA Recommended Terms and Conditions dated 1985. (Direct/Broker )
CONTRACT CURRENCY & AMOUNT
FIXING DATE
FRA Geschäftsbestätigung:
Teil 1 Geschäftsabschluß
SETTLEMENT DATE MATURITY DATE
CONTRACT PERIOD (DAYS)
CONTRACT RATE % per annum on an actual over 360/365
days basis (as applicable)
SELLER'S NAME
BUYER'S NAME
NON-STANDARD TERMS & CONDITIONS (IF ANY)
Any payment to be made to us under the F.R.A. hereby confirmed should be credited to our
Account Number at
PLEASE ADVISE BY TELEX, OR CABLE US IMMEDIATELY, SHOULD THE
PARTICULARS OF THIS CONFIRMATION NOT BE IN ACCORDANCE WITH YOUR
UNDERSTANDING.
Either:- Or:SIGNED TESTED TELEX CONFO
FOR AND ON BEHALF OF
……………………………………………………………………
© Dr. Daniel Sommer
29
… was man unter FRAs versteht
Quelle: Reuters
FRA
Quotierungen
© Dr. Daniel Sommer
30
… was man unter FRAs versteht
P A R T II
T o B e U s e d o n t h e S e t t le m e n t D a t e
F .R .A . C O N T R A C T A G R E E M E N T D A T E
C O N F IR M A T IO N N O T IC E - S E T T L E M E N T
T O :FR O M :
FRA Geschäftsbestätigung:
Teil 2 Settlement
W e r e fe r t o t h e fo llo w in g F o r w a r d R a t e A g r e e m e n t ( 'F .R .A .') m a d e b e t w e e n o u r s e lv e s
a s p e r F R A B B A R e c o m m e n d e d T e r m s a n d C o n d it io n s d a t e d 1 9 8 5 . ( D ir e c t /B r o k e r
………)
CONTRACT CURRENCY & AM OUNT
F IX IN G D A T E
S E T T L E M E N T D A T E M A T U R IT Y D A T E
C O N T R A C T P E R IO D (D A Y S )
C O N T R A C T R A T E … … … … … ..% p e r a n n u m o n a n a c t u a l o v e r 3 6 0 /3 6 5
d a y s b a s is ( a s a p p lic a b le )
S E L L E R 'S N A M E ..
B U Y E R 'S N A M E … … … … … … … … … … … … … … ..
N O N -S T A N D A R D T E R M S & C O N D IT IO N S (IF A N Y )
SETTL EM EN T R A TE % per annum
S E T T L E M E N T S U M ( $ /£ e t c .)
S E T T L E M E N T IN S T R U C T IO N S :W E PA Y TH E SETTL EM ENT SU M O N TH E SETTL EM EN T D A TE TO YO U R
ACCOUNT NO AT
W E R E C E IV E T H E S E T T L E M E N T S U M O N T H E S E T T L E M E N T D A T E A T O U R
ACCOUNT NO AT
© Dr. Daniel Sommer
31
… was man unter FRAs versteht
4. Settlement (for contract periods in excess of one year see Section E)
4.1 Wherever two parties enter into a F.R.A. the Buyer will agree to pay to the
Seller on the Settlement Date (if the Contract Rate exceeds the BBA Interest
Settlement Rate), and the Seller will agree to pay to the Buyer on the Settlement
Date (if the BBA Interest Settlement Rate exceeds the Contract Rate) an amount
calculated in accordance with the following formula:
(a) when L is higher than R
FRA Berechnung
der Zahlung am
Settlement Date
Seller of
money
( L − R) × D × A
( B ×100 ) + ( L × D)
or (b) when R is higher than L
Buyer of
money
(R − L) × D× A
(B×100) + (L× D)
where L = BBA Interest Settlement Rate (expressed as a number and not
a percentage, e.g. 10.11625 and not 10.11625%)
R = Contract Rate (expressed as a number and not a percentage)
D = Days in Contract Period
A = Contract Amount
B = 360 except where the Contract Currency is Pounds Sterling (or any other currency
where the contract rate is calculated on 365 days according to market custom) when 'B'
= 365.
© Dr. Daniel Sommer
32
… was man unter FRAs versteht
Sichtweise: Absicherung gegen steigende
Zinsen in der Zukunft
Aus Sicht des „protection sellers“
(Sicherungsgebers):
Bewertung eines
FRA während der
Laufzeit
( zf (t0 ; t m , t n ) − R) × D × A
× B(t0 , t m )
( B ×100) + ( zf (t0 ; t m , t n ) × D)
Aus Sicht des „protection buyers“
(Sicherungsnehmers):
( R − zf (t0 ; t m , t n )) × D × A
× B(t0 , t m )
( B ×100) + ( zf (t0 ; t m , t n ) × D)
© Dr. Daniel Sommer
33
… was man Swaps versteht
An interest rate swap is a contract
• between two or more parties
• to pay each other interest streams
calculated on different bases,
• on a notional principal,
• for an agreed term.
Swap: Definition
und Beispiel
Typically (in a “coupon” or “plain vanilla”
swap), one party pays a fixed rate of
interest in exchange for a floating rate.
Receiver Swap: Betrachtung des
Swaps aus Sicht desjenigen, der die
fixed rate erhält.
Payer Swap: Betrachtung des Swaps
aus Sicht desjenigen, der die fixed rate
zahlt.
© Dr. Daniel Sommer
34
… was man unter Swaps versteht
Swap Geschäftsbestätigung
(Teil 1)
© Dr. Daniel Sommer
35
… was man unter Swaps versteht
Swap Geschäftsbestätigung
(Teil 2)
© Dr. Daniel Sommer
36
… was man unter Swaps versteht
Swap Geschäftsbestätigung
(Teil 3)
© Dr. Daniel Sommer
37
… was man unter Swaps versteht
Swap Geschäftsbestätigung
(Teil 4)
© Dr. Daniel Sommer
38
… was man unter Swaps versteht
Quelle: Reuters
Quelle: Reuters
Swap
Quotierungen
© Dr. Daniel Sommer
39
… was man unter Swaps versteht
Quelle: ISDA
Bond
Basis
ISDA Market
Conventions
© Dr. Daniel Sommer
40
… was man unter Swaps versteht
Quelle: Trema
ISDA Market
Conventions
© Dr. Daniel Sommer
41
… was man unter Swaps versteht
Zahlungstermine des Float-Legs
s1
a
Bewertung eines
Swaps während
der Laufzeit:
Fixed-Leg
t0
Abschlußdatum
b
Bewertungsdatum
s2
s3
t1
s4
t2
Zahlungstermine des
Fixed-Legs
Der Wert des Fixed-Legs ist gegeben
durch:
PV fix :=
∑
I
i =1
sw(a, t I ) × ∆(ti −1 , ti ; k sw ) × B(b, ti )
wobei sw ( a , t I ) den Swapsatz zum Abschlußdatum des Swaps mit Laufzeit bis tI
bezeichnet.
© Dr. Daniel Sommer
42
… was man unter Swaps versteht
Bewertung eines
Swaps während
der Laufzeit:
Float-Leg
Idee zur Bewertung des Float-Legs: Durch
den Abschluß einer Serie von FRAs kann
sichergestellt werden, daß alle Zahlungen
des Float-Legs an den noch nicht gefixten
Terminen den Termin-Zinssätzen zum Zeitpunkt b für diese Termine entsprechen.
Der Abschluß des FRAs ist kostenlos.
Damit ergibt sich für den Wert des FloatLegs:
PVfloat := z( t0 ,t1 )× ∆( t0 ,t1; k fl )× B( b,t1 )
+
∑
J
j =1
zf ( b;t j ,t j +1 )× ∆( t j ,t j +1; k fl )× B( b,t j +1 )

B( b,t J ) 


= B( b,t1 )×  z( t0 ,t1 )× ∆( t0 ,t1; k fl ) +1−
B( b,t1 ) 

für b=t0
© Dr. Daniel Sommer
= 1− B( b,t J ) = 1− B( b,t I )
43
… was man unter Swaps versteht
Zu jedem Zeitpunkt der Laufzeit eines
Swaps gilt:
PVrec−swap = PVfixed − PVfloat = −PVpay−swap
Bestimmung des
Swapsatzes zu
Beginn der Laufzeit
Zu Beginn der Laufzeit eines Swaps gilt:
PVrec−swap = 0 = −PVpay−swap
Damit ist der Swapsatz definiert durch:
PVfloat = PVfixed
⇔ 1− B(a, t I ) = sw(a, t I ) ×
⇔ sw(a, t I ) =
i =1
∆(ti −1, ti ; ksw) × B(a, ti )
1− B(a, t I )
∑
I
i =1
© Dr. Daniel Sommer
∑
I
∆(ti −1, ti ; ksw) × B(a, ti )
44
… was man unter Swaps versteht
Umstellen der Bestimmungsgleichung für
den Swapsatz ergibt:
1 = B(a, t I ) + sw(a, t I ) ×
Der Zusammenhang zwischen
Swaps und
Coupon Bonds
∑
I
i =1
∆(ti−1, ti ; ksw ) × B(a, ti )
Die rechte Seite der Gleichung hat die
Struktur der Bewertungsgleichung für einen
Coupon Bond, wobei der Coupon c gleich
dem Swapsatz sw ist.
PVBond = B(a, t I ) + c ×
∑
I
i =1
∆(ti −1, ti ; ksw) × B(a, ti )
Damit kann der Swapsatz als Par-Coupon
für einen Bond interpretiert werden, der die
gleiche Kreditqualität wie ein Swap hat.
© Dr. Daniel Sommer
45
… was man unter Futures versteht
Eine Portfoliostrategie:
Vorüberlegungen:
Terminpreise für
Coupon Bonds
und
Terminswapsätze
• Kaufe zum Zeitpunkt t0 einen Coupon
Bond mit Coupon c und Laufzeit bis tI und
Coupon-Zahlungsterminen ti, i=1... I
• Finanziere den Kauf durch einen Kredit in
Höhe von PVBond
• Verkaufe den Bond auf Termin zum
Zeitpunkt tF < tI zum Preis von FPVBond
• Investiere alle zwischen t0 und tF anfallenden Couponzahlungen zu den in t0 für
den jeweiligen Zahlungstermin gültigen
Terminzinsen mit Fälligkeit tF
• Tilge den Kredit zum Zeitpunkt tF
© Dr. Daniel Sommer
46
… was man unter Futures versteht
Analyse:
Vorüberlegungen:
Terminpreise für
Coupon Bonds
und
Terminswapsätze
© Dr. Daniel Sommer
• Der Wert des Portfolios zum Zeitpunkt t0
beträgt Null.
• In der Zeit zwischen t0 und tF werden
keine zusätzlichen Beträge in das Portfolio investiert, noch werden Beträge aus
dem Portfolio entnommen. D.h., die
Portfoliostrategie ist selbstfinanzierend.
Konsequenz:
• Der Wert des Portfolios zum Zeitpunkt tF
muß ebenfalls Null betragen. Anderenfalls
ergäbe sich eine Arbitragemöglichkeit.
47
… was man unter Futures versteht
Vorüberlegungen:
Terminpreise für
Coupon Bonds
und
Terminswapsätze
Damit läßt sich der Terminpreis des Coupon Bonds aus folgender Gleichung bestimmen:
J B(t0 , ti )
0 = FPVBond(t0 ; t F , t I ; c) + c ×
× ∆(ti −1, ti ; k)
i =1 B(t , t )
0 F
∑
PVBond(t0 , t I ; c)
B(t0 , t F )
Dabei ist t1 < tJ < tF. Und tJ ist der letzte Coupon Zahlungstermin vor dem Zeitpunkt des
Terminverkaufs des Bonds, tF.
Nach Umformung folgt:
−
FPVBond(t0 ; t F , t I ; c) =
B(t0 , t I )
B(t0 , t F )
+ c×
© Dr. Daniel Sommer
B(t0 , ti )
× ∆(ti−1, ti ; k)
i = J +1 B(t , t )
0 F
∑
I
48
… was man unter Futures versteht
Vorüberlegungen:
Terminpreise für
Coupon Bonds
und
Terminswapsätze
Analog zu den vorangegangenen Überlegungen ergibt sich der Terminswapsatz als
Par-Coupon Satz für den Termin Coupon
Bond.
1 = FPVBond (t0 ; t F , t I ; fsw(t0 ; t F , t I ))
=
B(t0 , t I )
B(t0 , t F )
+ fsw(t0 ; t F , t I ) ×
⇔ fsw(t0 ; t F , t I ) =
B(t0 , ti )
× ∆(ti −1 , ti ; k )
i = J +1 B(t , t )
0 F
∑
I
B(t0 , t F ) − B(t0 , t I )
∑
I
i = J +1
© Dr. Daniel Sommer
B(t0 , ti ) × ∆(ti −1 , ti ; k )
49
… was man unter Futures versteht
Finanz-Terminkontrakte (engl.: Forwards)
und Finanz-Futures sind insofern gleich, als
sie den (Ver-)Kauf eines Finanzinstruments
zu einem Termin in der Zukunft zu einem
heute festgelegten Preis erlauben. Jedoch
gibt 2.3
es (p.
einige
TABLE
41) wichtige Unterschiede:
Unterschiede
zwischen
Terminkontrakten und Futures
FORWARDS
FUTURES
Private contract between 2 parties
Exchange traded
Non-standard contract
Standard contract
Usually 1 specified delivery date
Settled at end of contract
Delivery or final cash
settlement usually occurs
Some credit risk
Range of delivery dates
Settled daily
Contract usually closed out
prior to maturity
Virtually no credit risk
Quelle: Options, Futures, and Other Derivatives, 6th Edition, John C. Hull 2005
© Dr. Daniel Sommer
50
… was man unter Futures versteht
• Bei Abschluß eines Futures-Kontraktes
stellt der Kontraktpartner dem Clearinghaus der Terminbörse eine Initial-Margin
in Form von Cash oder Wertpapieren
erstklassiger Bonität. Die Margin wird auf
das Margin-Konto gebucht.
Daily Settlement
und Margins
• Alle Preisveränderungen des Futures
werden über das Margin-Konto abgerechnet.
• Sinkt das Guthaben auf dem MarginKonto unter einen bestimmten Betrag,
erfolgt ein Margin-Call. Der Kontraktpartner muß dann Variation-Margin
stellen.
© Dr. Daniel Sommer
51
… was man unter Futures versteht
Behauptung:
Gleichheit von
Termin- und
Futures-Preis bei
deterministischen Zinsen
© Dr. Daniel Sommer
Unter Vernachlässigung des Kontrahentenausfallrisikos sind bei deterministischer Zinsentwicklung Termin- und Futures-Preise für
denselben zugrunde liegenden Coupon
Bond und für denselben Liefertermin in der
Zukunft zum Zeitpunkt des Vertragsabschlusses und während der gesamten
Vertragslaufzeit gleich.
52
… was man unter Futures versteht
Begründung:
Gleichheit von
Termin- und
Futures-Preis bei
deterministischen Zinsen
• Bei deterministischer Zinsentwicklung sind
der Termin-Preis FPVBond(t; t F , t I ; c) und der
Futures-Preis FuPVBond(t; t F , t I ; c) für einen
Coupon Bond konstant in t. Wäre dies
nicht so, könnten zu unterschiedlichen,
aber bereits heute sicher bekannten Zeitpunkten kostenlos gegenläufige Positionen
in den Verträgen eingegangen und so sichere Gewinne erzielt werden (Arbitragemöglichkeit!).
• Am Ende der Laufzeit sind die Auszahlungsprofile von Termin- und FuturesVerträgen identisch.
• Damit müssen beide Preise identisch sein,
sonst Arbitragemöglichkeiten!.
© Dr. Daniel Sommer
53
… was man unter Futures versteht
Achtung:
Bei stochastischen Zinsen fallen Forwardund Futurespreise auseinander!
Begründung:
Abweichung von
Termin- und
Futures-Preis bei
stochastischen
Zinsen
• Der Inhaber einer Long-Position im
Futures muß bei steigenden Zinsen
Ausgleichszahlungen leisten, d.h. er muß
Kredit zu ungünstigen Konditionen
aufnehmen. Bei fallenden Zinsen erhält er
Ausgleichszahlungen, kann diese aber nur
zu ungünstigen (weil niedrigeren) Zinsen
anlegen.
• Damit muß der Futurespreis unter dem
Forwardpreis liegen.
© Dr. Daniel Sommer
54
… was man unter Futures versteht
Contract Specifications
Version 08 Jul 2005
Beispiel: BundFutures
© Dr. Daniel Sommer
Contract Standard
Notional long-term debt instrument issued by
the Federal Republic of Germany with a six
percent coupon.
Contract Value
EUR Fixed Income Futures: EUR 100,000
Settlement
. A delivery obligation arising out of a short
position in a Bund Futures contract may only
be fulfilled by the delivery of certain debt
securities issued by the Federal Republic of
Germany with a remaining term on the
Delivery Day of 8.5 to 10.5 years.
Such debt securities have a minimum issue
amount of EUR 5 billion.
55
… was man unter Futures versteht
Beispiel: BundFutures
© Dr. Daniel Sommer
Price Quotation and Minimum Price Change
The Price Quotation is in percent of the par
value. The Minimum Price Change is 0.01% or
EUR 10.
Delivery Day
The tenth calendar day of the respective
quarterly month, if this day is an exchange
trading day; otherwise, the following exchange
trading day.
. Contract Month
The three successive quarterly months of the
March, June, September and December cycle.
Notification
Clearing members with open short positions on
the Last Trading Day of the maturing delivery
month must notify Eurex which debt
instruments they will deliver. Such notification
must be given by the end of the Post-Trading
Full Period (20:00 CET).
56
… was man unter Futures versteht
Beispiel: BundFutures
© Dr. Daniel Sommer
Last Trading Day
Two exchange trading days prior to the
Delivery Day of the relevant delivery month.
Trading in the maturing delivery month ceases
at 12:30 CET.
Daily Settlement Price
The closing price determined within the closing
auction;
if no price can be determined in the closing
. auction or if the price so determined does not
reasonably reflect the prevailing market
conditions, the daily settlement price will be the
volume-weighted average price of the last five
trades of the day, provided that these are not
older than 15 minutes; or, if more than five
trades have occurred during the final minute of
trading, the volume-weighted average price of
all trades that occurred during that period……
57
… was man unter Futures versteht
Daily Settlement Price
…… If such a price cannot be determined, or if
the price so determined does not reasonably
reflect the prevailing market conditions, Eurex
will establish the official settlement price.
Beispiel: BundFutures
© Dr. Daniel Sommer
Final Settlement Price
. The volume-weighted average price of the last
ten trades of the day, provided that these are
not older than 30 minutes; or, if more than ten
trades have occurred during the final minute of
trading, the volume-weighted average price of
all trades that occurred during that period. The
Final Settlement Price is determined at 12:30
CET on the Last Trading Day.
58
… was man unter Futures versteht
Deliverable Bonds
Expiry month Dec 2005
Deliverable
Bond ISIN
DE0001135259
DE0001135267
DE0001135283
Beispiel: BundFutures
Coupon Rate
(%)
4.25
3.75
3.25
Maturity
Date
04.07.2014
04.01.2015
04.07.2015
Conversion
Factor
0.885160
0.846069
0.803899
Ergebnis für den Inhaber einer Verkaufsposition im Bundfutures bei Final Settlement:
.
 FuPVBond _ i × ConversionfactorBond_i 

 × EUR 100.000
 − PVBond _ i − Stückzinsen Bond _ i



(
)
Lieferoption:
Der Inhaber der Verkaufsposition liefert die
Anleihe aus der obigen Liste, die sein Ergebnis
bei Lieferung maximiert. Diese Anleihe heißt
Cheapest to Deliver (CTD).
© Dr. Daniel Sommer
59
… was man unter Futures versteht
Zusammenhang
zwischen theoretischem FuturesPreis und dem
börsenquotierten
Futures-Preis
Problemstellung:
Durch den Conversion-Factor wird keine
exakte Barwert-Bewertung der einem Futures zugrundeliegenden Anleihe auf Basis
der jeweils akuellen Zinskurve erreicht. Außerdem enthält der börsenquotierte Futures-Preis keine aufgelaufenen Stückzinsen.
Damit entspricht der börsenquotierte Fu. tures-Preis nicht dem oben abgeleiteten
theoretischen Futures Preis. Der Zusammenhang ist gegeben durch:
FuPVCTD ;exch =
© Dr. Daniel Sommer
FuPVCTD − Stückzinse n CTD
Conversion factorCTD
60
… was man unter Futures versteht
Begriffsdefinition
• Open Interest:
das Gesamtvolumen der offenen
Positionen, d.h., entweder Summe aller
Kauf- oder Verkaufspositionen
Volume und
Open Interest
• Volume:
. Handelsumsatz in einer Handelsperiode
Fragen
• Wie verändert sich das Open Interest bei
Abschluß eines neuen Kontraktes?
• Kann das Handelsvolumen in einer
Periode größer sein als das Open Iterest
in dieser Periode?
© Dr. Daniel Sommer
61
… was man unter Futures versteht
Beispiel Bund-Futures
Volume und
Open Interest
© Dr. Daniel Sommer
.
62
… was eine Zinskurve ist
Die „Zinskurve“ oder „Yield-Curve“ ist eine
Funktion, die einem bestimmten Beobachtungszeitpunkt s und einer Fälligkeit bzw.
Endzeitpunkt t einen Zinssatz ir(s,t) zuordnet:
ℜ+ ×ℜ+ → ℜ
Darstellungen
© Dr. Daniel Sommer
s , t → ir (s , t ) ; s ≤ t
.
Interpretationen:
• Swapkurve: ir(s,t)= sw(s,t) bezeichnet
den Swapsatz beobachtet zum Zeitpunkt
s für einen Swap mit Endzeitpunkt in t.
• Zero-Yield-Curve: ir(s,t)= y(s,t)
bezeichnet die cont. compounded
Rendite eines Zero Coupon Bonds mit
Fälligkeit t beobachtet zum Zeitpunkt s.
63
… was eine Zinskurve ist
Die Zero Coupon Bond Curve ist eine
Funktion, die einem bestimmten Beobachtungszeitpunkt s und einer Fälligkeit t den
Preis eines Zero Coupon Bonds B(s,t)
zuordnet:
Darstellungen
© Dr. Daniel Sommer
.
ℜ+ ×ℜ+ → ℜ+
s , t → B (s , t ) ; s ≤ t
64
… was eine Zinskurve ist
Eine „Termin-Zinskurve“ oder ForwardCurve ist eine Funktion, die einem bestimmten Beobachtungszeitpunkt s, einem
Termin t und einer Fälligkeit u einen
Termin-Zinssatz F(s;t,u) zuordnet:
ℜ+ ×ℜ+ ×ℜ+ → ℜ
Darstellungen
© Dr. Daniel Sommer
s , t , u → f (s , t , u ) ; s ≤ t ≤ u
.
Interpretationen:
• 1-Tages-Terminzinskurve: f(s;t,t+1Tag)
bezeichnet die cont. compounded TerminRendite einer Null-Coupon Anleihe,
beobachtet zum Zeitpnkt s, erworben zum
Termin t, fällig in t+1 Tag.
• Alternativ könnten auch Fälligkeiten von
t+1Monat, t+1 Jahr etc. betrachtet werden.
65
… was eine Zinskurve ist
31-Dec-03
Trade date
IRS Structure
CCY code
Swap RIC mid
Swap RIC end
Real time update
Days to swap
Calendar
Source Mode: HIST
Quote: MID
Date
Marktdaten Input
TR_USD_AM3L
USD
AM3L
berechnete
Preise von
Rate Structure (DF) RM:YC IM:CUBD ZCTYPE:DF
AdMode (DF) RET:A32
Zero Coupon Bonds
LBOTH CLDR:USA ACC:MMA0 ARND:NO CCM:MMA0
CFADJ:YES CRND:NO DMC:MODIFIED
EMC:SAMEDAY IC:S1 PDELAY:0
REFDATE:MATURITY RP:1 RT:BULLET XD:NO
LPAID LTYPE:FIXED FRQ:Y LRECEIVED
LTYPE:FLOAT SPREAD:0 FRQ:Q
FRQ:500S
2
USA
Input to Adfin zero curve
Period
Zinskurven: ein
reales
Beipsiel
© Dr. Daniel Sommer
ON
TN
SW
2W
3W
1M
2M
3M
4M
5M
6M
7M
8M
9M
10M
11M
1Y
2Y
3Y
4Y
5Y
6Y
7Y
8Y
9Y
10Y
12Y
15Y
20Y
25Y
30Y
Adfin DF
Instrument
Type
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
Input
quote
1.09%
1.03%
1.04%
1.02%
#VALUE!
1.06%
1.08%
1.11%
1.13%
1.14%
1.16%
#VALUE!
#VALUE!
1.26%
#VALUE!
#VALUE!
1.40%
2.15%
2.77%
3.26%
3.65%
3.92%
4.14%
4.34%
4.50%
4.64%
4.85%
5.08%
5.29%
5.36%
5.36%
Used
Start Date
Instrument
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
31-Dec-03
2-Jan-04
5-Jan-04
5-Jan-04
5-Jan-04
5-Jan-04
5-Jan-04
5-Jan-04
5-Jan-04
5-Jan-04
5-Jan-04
5-Jan-04
5-Jan-04
5-Jan-04
5-Jan-04
5-Jan-04
5-Jan-04
5-Jan-04
5-Jan-04
5-Jan-04
5-Jan-04
5-Jan-04
5-Jan-04
5-Jan-04
5-Jan-04
5-Jan-04
5-Jan-04
5-Jan-04
5-Jan-04
5-Jan-04
5-Jan-04
Adfin zero curve
Maturity
Date
Coupon
Rate
Market
2-Jan-04
5-Jan-04
12-Jan-04
20-Jan-04
26-Jan-04
5-Feb-04
5-Mar-04
5-Apr-04
5-May-04
7-Jun-04
6-Jul-04
5-Aug-04
7-Sep-04
5-Oct-04
5-Nov-04
6-Dec-04
5-Jan-05
2Y
3Y
4Y
5Y
6Y
7Y
8Y
9Y
10Y
12Y
15Y
20Y
25Y
30Y
0%
0%
0%
0%
0%
0%
0%
0%
0%
0%
0%
0%
0%
0%
0%
0%
0%
0%
0%
0%
0%
0%
0%
0%
0%
0%
0%
0%
0%
0%
0%
1.09%
1.03%
1.04%
1.02%
#VALUE!
1.06%
1.08%
1.11%
1.13%
1.14%
1.16%
#VALUE!
#VALUE!
1.26%
#VALUE!
#VALUE!
1.40%
2.15%
2.77%
3.26%
3.65%
3.92%
4.14%
4.34%
4.50%
4.64%
4.85%
5.08%
5.29%
5.36%
5.36%
Instrument
Structure
USD
USD
USD
USD
USD
USD
USD
USD
USD
USD
USD
USD
USD
USD
USD
USD
USD
TR_USD_AM3L
TR_USD_AM3L
TR_USD_AM3L
TR_USD_AM3L
TR_USD_AM3L
TR_USD_AM3L
TR_USD_AM3L
TR_USD_AM3L
TR_USD_AM3L
TR_USD_AM3L
TR_USD_AM3L
TR_USD_AM3L
TR_USD_AM3L
TR_USD_AM3L
Date
31-Dec-03
02-Jan-04
05-Jan-04
12-Jan-04
20-Jan-04
05-Feb-04
05-Mar-04
05-Apr-04
05-May-04
07-Jun-04
06-Jul-04
05-Oct-04
05-Jan-05
05-Jan-06
05-Jan-07
07-Jan-08
05-Jan-09
05-Jan-10
05-Jan-11
05-Jan-12
07-Jan-13
06-Jan-14
05-Jan-16
07-Jan-19
05-Jan-24
05-Jan-29
05-Jan-34
00-Jan-00
00-Jan-00
00-Jan-00
00-Jan-00
Adfin DF
1.0000000
0.9999397
0.9998539
0.9996518
0.9994291
0.9989421
0.9980574
0.9970563
0.9960708
0.9950016
0.9939927
0.9903564
0.9858224
0.9575313
0.9195203
0.8760250
0.8305589
0.7870275
0.7435841
0.7007156
0.6590150
0.6193538
0.5470944
0.4503519
0.3273636
0.2437969
0.1871611
0.0000000
0.0000000
0.0000000
0.0000000
66
… was eine Zinskurve ist
Zielsetzung: Leite aus den beobachtbaren
nicht-optionalen Zinsinstrumenten am
Markt eine Yield-, Zero-Coupon-Bond oder
Forwad-Curve so ab, daß:
Bootstrapping
und Zinskurveninterpolation:
Einführung
© Dr. Daniel Sommer
• alle beobachtbaren Zinsinstrumente, die
in die Konstruktion der Kurve eingeflos. sen sind auf Basis der Kurve korrekt bewertet werden
• andere nicht-optionale Zinsinstrumente
mit Zahlungen zu beliebigen Zeitpunkten
auf Basis der Kurve bewertet werden
können.
67
… was eine Zinskurve ist
Bootstrapping
und Zinskurveninterpolation:
Einführung
© Dr. Daniel Sommer
Ansätze: Eine eindeutige Vorgehensweise
zur Konstruktion hat sich in der Praxis bisher nicht herausgebildet. Wir betrachten
drei Varianten und diskutieren ihre Vor- und
Nachteile:
1. Bootstrapping von Zero Coupon Bond
Preisen aus Geldmarkt, FRAs und Swapsätzen; danach lineare Interpolation der
. daraus berechneten continuously compounded (cc) Zero Coupon Bond Zissätze
2. wie zuvor, jedoch lineare Interpolation von
1-Tages cc Zero Coupn Bond Terminzinssätzen
3. Lineare Interpolation der Geldmarkt und
Swapsätze und Bootstrapping von Zero
Coupon Bondpreisen für alle Fälligkeiten
aus dieser Kurve.
68
… was eine Zinskurve ist
Beobachtete Marktzinssätze in t0 :
Geldmarktsätze: ON, TN, SW, 2W-4W, 2M-12M
FRAs: 2X14, 3X15, 6X18, 9X21, 12X24
Swapsätze:3Y-30Y
Bootstrapping
und Zinskurveninterpolation:
Ansatz 1
Bootstrapping der Gelmarktsätze:
1
.
1 + z(t0 , t j ) × ∆(t0 , t j ; k )
= B(t0 , t j )
Bootstrapping der FRAs:
1
× B(t0 , tm ) = B(t0 , tn )
1+ zf (t0;tm, tn ) × ∆(tm, tn ; k)
© Dr. Daniel Sommer
69
… was eine Zinskurve ist
Bootstrapping der Swapsätze:
nehme an, alle Zero Coupon Bond Preise bis
B(t0,tn) seien bereits ermittelt worden:
Bootstrapping
und Zinskurveninterpolation:
Ansatz 1
1− sw(t0 , tn+1) ×
∑
n
i =1
∆(ti−1, ti ; ksw) × B(t0 , ti )
1+ ∆(tn , tn+1; ksw) × sw(t0 , tn+1)
= B(t0 , tn+1)
.
Interpolation:
Gegeben seinen die Stützstellen B(t0,tn) und
B(t0,tn+k), gesucht sei B(t0,tn+i) mit tn < tn+i < tn+k
und k auf 1-Tages-Basis:
y (t 0 , t n +i ) = y (t 0 , t n + k ) ×
t n +i − t n
t
−t
+ y (t 0 , t n ) × n + k n +i
tn+ k − tn
tn+ k − tn
B (t 0 , t n + i ) = exp(− y (t 0 , t n +i ) × (t n +i − t 0 ))
© Dr. Daniel Sommer
70
… was eine Zinskurve ist
Bootstrapping
und Zinskurveninterpolation:
Ansatz 1
© Dr. Daniel Sommer
Anmerkung:
Falls zwischen zwei beobachteten Swapsätzen
mehrere Jahre liegen, kombiniere lineare
Interpolation der Zero Coupon Bond Zinssätze
und Bootstrapping des nächsten bekannten
Swaps
zur impliziten Bestimmung der Steigung
.
der Kurve der Zero Coupon Bond Zinskurve.
Verfahren analog zur Vorgehensweise bei der
Interpolation von 1-Tages-Terminzinssätzen,
wie auf Folien 75 und 76 dargestellt.
71
… was eine Zinskurve ist
Bootstrapping
und Zinskurveninterpolation:
Ansatz 2
Ausgangssituation:
gegeben seien alle Zero Coupon Bond Preise
B(t0,t.), soweit sie mittels Bootstrapping wie in
Ansatz 1 aus den beobachteten Zinssätzen ermittelt werden konnten.
Startpunkt der Interpolation:
.
Startpunkt
der Interpolation ist der cc Zero
Coupon Bond Zins, der aus dem aus dem ONZinssatz ermittelten Zero Coupon Bond B(t0,t1)
ermittelt wurde:
f (t0 ; t0 , t1 ) = −
© Dr. Daniel Sommer
ln B(t0 , t1 )
= y(t0 , t1 )
t1 − t0
72
… was eine Zinskurve ist
Bootstrapping
und Zinskurveninterpolation:
Ansatz 2
Idee für die weitere Interpolation:
nutze den Zusammenhang zwischen cc Zero
Coupon Bond Zinssätzen und Terminzinssätzen in stetiger Zeit und übertrage diesen auf ein
Diskretisierung von 1 Tag:
Formel in stetiger Zeit:
.
tj
1
y(t0 , t j ) =
t j − t0
∫
t0
f (t0 ; s)ds
Übertragung auf 1-Tages-Diskretisierung:
1
y(t0 , tn ) =
n
© Dr. Daniel Sommer
∑
n
i =1
f (t0 ; ti −1, ti )
73
… was eine Zinskurve ist
Bootstrapping
und Zinskurveninterpolation:
Ansatz 2
© Dr. Daniel Sommer
Annahmen für die weitere Interpolation:
Gegeben seien aus früheren Interpolationsschritten f(t0;tn-1,tn), sowie aus dem Bootstrapping die Zero Coupon Bonds B(t0,tn) und
B(t0,tn+k), k gemessen in Tagen. Weiterhin bestehe folgender linearer Zusammenhang:
.
f (t0 ; tn+(i −1) , tn+i ) = f (t0 ; tn−1, tn ) + a ×
i
; 1≤ i ≤ k
k
74
… was eine Zinskurve ist
Bootstrapping
und Zinskurveninterpolation:
Ansatz 2
© Dr. Daniel Sommer
Bestimmung von a:
Gemäß Folie 73 gewährleistet folgende Bestimmungsgleichung für a die Verträglichkeit der interpolierten Terminzinssätze und der aus den
Marktdaten abgeleiteten Zero Coupon Bond
Preise:
.
B(t0 , tn+k ) = B(t0 , tn )
1
× exp
k
i 

 f (t0 ; tn−1, tn ) + a × 
i =1 
k 
∑
k
75
… was eine Zinskurve ist
Beobachtete Marktzinssätze in t0 :
Geldmarktsätze: ON, TN, SW, 2W-4W, 2M-12M
Swapsätze:2Y-30Y
Bootstrapping
und Zinskurveninterpolation:
Interpolation der Geldmarktsätze :
t −t
t
−t
z (t 0 , t n + i ) = z (t 0 , t n + k ) × n + i n + z (t 0 , t n ) × n + k n + i
tn+ k − tn
tn+k − tn
.
Ansatz 3
Interpolation der Swapsätze :
Betrachte den 12M Geldmarktsatz als ersten
Swapsatz.
sw(t 0 , t n + i ) = sw(t 0 , t n + k ) ×
© Dr. Daniel Sommer
t − tn
t
−t
+ sw(t 0 , t n ) × n + k n +i
tn+k − tn
t n+ k − t n
76
… was eine Zinskurve ist
Bootstrapping der Gelmarktsätze:
Bootstrapping
und Zinskurveninterpolation:
1
= B(t0 , t j )
1 + z(t0 , t j ) × ∆(t0 , t j ; k )
Bootstrapping der Swapsätze:
.
nehme
an: alle Zero Coupon Bond Preise bis
B(t0,tn) seien bereits ermittelt worden:
Ansatz 3
1− sw(t0 , tn+1) ×
∑
n
i =1
∆(ti−1, ti ; ksw) × B(t0 , ti )
1+ ∆(tn , tn+1; ksw) × sw(t0 , tn+1)
© Dr. Daniel Sommer
= B(t0 , tn+1)
77
… was eine Zinskurve ist
Beachte beim Bootstrapping der Swapsätze:
• Im Gegensatz zu Ansatz 1, wo der Abstand
zwischen tn und tn+1 1 oder mehrere Jahre
betragen hat, beträgt er hier exakt 1 Tag.
Bootstrapping
und Zinskurveninterpolation:
Ansatz 3
• Das Bootstrapping liefert ein anderes
Ergebnis, je nach dem ob man die verkürzte
.
Periode des Swaps an den Anfang oder an
das Ende der Swaplaufzeit setzt.
• Die für die Interpolation verwendeten Swapsätze müssen die gleiche Zahlungsfrequenz
(Compounding Frequency) z.B. jährlich, halbjährlich, vierteljährlich besitzen.
© Dr. Daniel Sommer
78
… was eine Zinskurve ist
Flache Zinskurve
LZ
CC Zero Zinsen
Zero Bonds
Swaps
1
2,5000%
97,5310%
2,5315%
2
2,5000%
95,1229%
2,5315%
3
2,5000%
92,7743%
2,5315%
4
5
2,5000%
2,5000%
90,4837% 88,2497%
2,5315%
2,5315%
6
2,5000%
86,0708%
2,5315%
Interpolation Zero Zinsen
0,03
.
Zinssätze
Bootstrapping und
Zinskurveninterpolation:
ON
2,5000%
99,9932%
2,5001%
Interpol ZY
1dfwdrate
Swapsätze
0,025
Beispiele
0,02
0
1
2
3
4
5
6
Jahre
© Dr. Daniel Sommer
79
… was eine Zinskurve ist
Flache Zinskurve
LZ
CC Zero Zinsen
Zero Bonds
Swaps
1
2,5000%
97,5310%
2,5315%
2
2,5000%
95,1229%
2,5315%
3
2,5000%
92,7743%
2,5315%
4
5
2,5000%
2,5000%
90,4837% 88,2497%
2,5315%
2,5315%
6
2,5000%
86,0708%
2,5315%
Zinskurven bei Interpolation 1-Tages-Terminzinsen
0,03
.
Zinssätze
Bootstrapping und
Zinskurveninterpolation:
ON
2,5000%
99,9932%
2,5001%
1dfwdrate
Swapsätze
ZY
0,025
Beispiele
0,02
0
1
2
3
4
5
6
Jahre
© Dr. Daniel Sommer
80
… was eine Zinskurve ist
Flache Zinskurve
LZ
CC Zero Zinsen
Zero Bonds
Swaps
Beispiele
1
2,5000%
97,5310%
2,5315%
2
2,5000%
95,1229%
2,5315%
3
2,5000%
92,7743%
2,5315%
4
5
2,5000%
2,5000%
90,4837% 88,2497%
2,5315%
2,5315%
6
2,5000%
86,0708%
2,5315%
Interpolation Swapsätze
0,04
.
Zinssätze
Bootstrapping und
Zinskurveninterpolation:
ON
2,5000%
99,9932%
2,5001%
0,035
1dfwdrate
Swapsätze
ZY
0,03
0,025
0,02
0
1
2
3
4
5
6
Jahre
© Dr. Daniel Sommer
81
… was eine Zinskurve ist
Linear ansteigende Zinskurve ab Jahr 3
LZ
CC Zero Zinsen
Zero Bonds
Swaps
Beispiele
1
2,5000%
97,5310%
2,5315%
2
2,5000%
95,1229%
2,5315%
3
2,6000%
92,4964%
2,6314%
4
2,7000%
89,7628%
2,7306%
5
2,8000%
86,9358%
2,8287%
6
2,9000%
84,0297%
2,9256%
Interpolation Zero Zinsen
0,04
.
Zinssätze
Bootstrapping und
Zinskurveninterpolation:
ON
2,5000%
99,9932%
2,5001%
0,035
Interpol ZY
1dfwdrate
Swapsätze
0,03
0,025
0,02
0
1
2
3
4
5
6
Jahre
© Dr. Daniel Sommer
82
… was eine Zinskurve ist
Linear ansteigende Zinskurve ab Jahr 3
LZ
CC Zero Zinsen
Zero Bonds
Swaps
Beispiele
1
2,5000%
97,5310%
2,5315%
2
2,5000%
95,1229%
2,5315%
3
2,6000%
92,4964%
2,6314%
4
2,7000%
89,7628%
2,7306%
5
2,8000%
86,9358%
2,8287%
6
2,9000%
84,0297%
2,9256%
Zinskurven bei Interpolation 1-Tages-Terminzinsen
0,04
.
Zinssätze
Bootstrapping und
Zinskurveninterpolation:
ON
2,5000%
99,9932%
2,5001%
0,035
1dfwdrate
Swapsätze
ZY
0,03
0,025
0,02
0
1
2
3
4
5
6
Jahre
© Dr. Daniel Sommer
83
… was eine Zinskurve ist
Linear ansteigende Zinskurve ab Jahr 3
LZ
CC Zero Zinsen
Zero Bonds
Swaps
Beispiele
1
2,5000%
97,5310%
2,5315%
2
2,5000%
95,1229%
2,5315%
3
2,6000%
92,4964%
2,6314%
4
2,7000%
89,7628%
2,7306%
5
2,8000%
86,9358%
2,8287%
6
2,9000%
84,0297%
2,9256%
Interpolation Swapsätze
0,04
.
0,035
Zinssätze
Bootstrapping und
Zinskurveninterpolation:
ON
2,5000%
99,9932%
2,5001%
0,03
1dfwdrate
Swapsätze
ZY
0,025
0,02
0
1
2
3
4
5
6
Jahre
© Dr. Daniel Sommer
84
… was eine Zinskurve ist
Zinskurve mit Maximum bei 3 und 4 Jahren
LZ
CC Zero Zinsen
Zero Bonds
Swaps
1
2,5500%
97,4822%
2,5828%
2
2,6000%
94,9329%
2,6334%
3
2,6500%
92,3578%
2,6836%
4
2,6500%
89,9425%
2,6840%
5
2,6000%
87,8095%
2,6356%
6
2,5500%
85,8130%
2,5873%
Interpolation Zero Zinsen
0,03
.
Zinssätze
Bootstrapping und
Zinskurveninterpolation:
ON
2,5000%
99,9932%
2,5001%
Interpol ZY
1dfwdrate
Swapsätze
0,025
Beispiele
0,02
0
1
2
3
4
5
6
Jahre
© Dr. Daniel Sommer
85
… was eine Zinskurve ist
Zinskurve mit Maximum bei 3 und 4 Jahren
LZ
CC Zero Zinsen
Zero Bonds
Swaps
1
2,5500%
97,4822%
2,5828%
2
2,6000%
94,9329%
2,6334%
3
2,6500%
92,3578%
2,6836%
4
2,6500%
89,9425%
2,6840%
5
2,6000%
87,8095%
2,6356%
6
2,5500%
85,8130%
2,5873%
Zinskurven bei Interpolation 1-Tages-Terminzinsen
0,03
.
Zinssätze
Bootstrapping und
Zinskurveninterpolation:
ON
2,5000%
99,9932%
2,5001%
1dfwdrate
Swapsätze
ZY
0,025
Beispiele
0,02
0
1
2
3
4
5
6
Jahre
© Dr. Daniel Sommer
86
… was eine Zinskurve ist
Zinskurve mit Maximum bei 3 und 4 Jahren
LZ
CC Zero Zinsen
Zero Bonds
Swaps
1
2,5500%
97,4822%
2,5828%
2
2,6000%
94,9329%
2,6334%
3
2,6500%
92,3578%
2,6836%
4
2,6500%
89,9425%
2,6840%
5
2,6000%
87,8095%
2,6356%
6
2,5500%
85,8130%
2,5873%
Interpolation Swapsätze
0,03
.
Zinssätze
Bootstrapping und
Zinskurveninterpolation:
ON
2,5000%
99,9932%
2,5001%
1dfwdrate
Swapsätze
ZY
0,025
Beispiele
0,02
0
1
2
3
4
5
6
Jahre
© Dr. Daniel Sommer
87
… welche Zinsrisikomaße es gibt
Ausgangspunkt Bewertungsgleichung
Coupon Bond:
PVBond = B(t 0 , t I ) + c ×
∑
I
i =1
∆(ti −1 , ti ; k Bond ) × B(t 0 , ti )
= e ( − y (t0 ,t I )×(t I −t0 )) + c ×
Definition
Duration und
Convexity
∑
I
i =1
∆ i × e ( − y (t0 ,ti )×(ti −t0 ))
Taylorentwicklung nach y bis zur zweiten
.
Ableitung
ergibt:
∆PVBond
PVBond
 (t − t ) × B(t , t ) + c × I ∆ × (t − t ) × B(t , t ) 
 I 0
i
0 I
0
0 i 
i =1 i

 × ∆y
≈−
PVBond
∑
 (t − t ) 2 × B(t , t ) + c × I ∆ × (t − t ) 2 × B(t , t ) 
i
0 I
0
0 i 
i =1 i
1  I 0
 × (∆y ) 2
+ ×
2
PVBond
∑
1
= − Duration × ∆y + × Convexity × (∆y) 2
2
© Dr. Daniel Sommer
88
… welche Zinsrisikomaße es gibt
Ausgangspunkt Bewertungsgleichung
Coupon Bond:
PVBond = B(t 0 , t I ) + c ×
Definition
modified Duration
.
∑
I
i =1
∆(ti −1 , ti ; k Bond ) × B(t 0 , ti )



1
1
=
×
+ c×
 zt1 × (t1 − t 0 )    zt  M (t0 ,t I )
1 +
  1 + I 

 
m
m 

 
∑
I
i =1
∆i
 z ti 
1 + 

m 

M ( t 0 ,t i )








Taylorentwicklung nach z bis zur ersten
Ableitung ergibt nach exzessiver Rechnerei:
……
© Dr. Daniel Sommer
89
… welche Zinsrisikomaße es gibt
∆PVBond
PVBond
.





 M (t , t ) m
(t1 − t 0 )
1
1
0 I

≈−
×
+
×
+ c×
M (t 0 ,t I ) +1

(
)
z
×
t
−
t
m
PV


t1
1
0 
z
Bond


1 +
 
 1 + t I 

 
m

m 

 




I ∆ i × M (t 0 , t i ) m
  × ∆z
M (t0 ,ti ) +1 
i =1

 z ti 
1 + 




m



∑




zt• ≡ z

 M (t 0 , t I )
(t − t )
1
1
1
= −
× 1 0 +
×
+ c×
M ( t 0 ,t I )
z  PVBond × m  
 z × (t1 − t 0 )   m

z

1 +

1 + 
 1 + 
m
 m

 
 m


t1 =t 0
 M (t 0 , t I )
1
1
=
×
×
+ c×
M ( t 0 ,t I )
z  PVBond × m  

z

1 + 
1 + 

m


 m
1
=
× Duration × ∆z = modified Duration × ∆z
z

1 + 
 m


I
∆ i × M (t0 , ti )  
× ∆z
M ( t ,t )  
i =1
z  0 i 

1 + 

 m

∑


I
∆ i × M (t 0 , ti ) 
× ∆z
M ( t 0 ,ti ) 
i =1
z



1 + 

 m

∑
© Dr. Daniel Sommer
90
… welche Zinsrisikomaße es gibt
Beachte:
Kommentare
(modified) Duration und
Convexity
Bei der Darstellung mit cc Zinssätzen
gilt die Approximationsformel für die Änderung des Bondpreises bei Änderung der
Zinssätze unter wesentlich schwächeren
Annahmen als bei der Darstellung mit periodischer Zinseszinsrechung:
.
• Es mußte nicht unterstellt werden, daß
die Ausgangszinskurve flach ist.
• Es mußte keine Annahme über die
Länge der Teilperioden getroffen werden.
Insbesondere bleibt die Formel auch bei
ungerader erster Periode gültig.
© Dr. Daniel Sommer
91
… welche Zinsrisikomaße es gibt
Aber:
Kommentare
(modified) Duration und
Convexity
Alle Darstellungen von Wertveränderungen von Anleihen bei Ändeurng der zugrundeliegenden Zinsen mit Hilfe von
Duration und Convexity unterstellen eine
parallele Verschiebung der Zinskurve.
.Daher ist es in der Praxis üblich, die möglichen Wertveränderungen von Zinsrisikopositionen bei Änderung der zugrundeliegenden Zinssätze für verschiedene Laufzeitbänder (Buckets) getrennt anzugeben.
Man spricht von PVBP (present value of a
basis point) oder PV01 pro bucket.
© Dr. Daniel Sommer
92
… welche Zinsrisikomaße es gibt
Problemstellung:
Hedging mit
Duration und
Convexity
Gegeben seien zwei Bonds, Bond1(c1,T1)
und Bond2(c2,T2), mit unterschiedlichen
Coupons und Fälligkeiten. Bond2 soll
durch Bond1 gehedged werden. D.h. es
soll gerade eine solche Position in Bond1
eingegangen werden, daß die Wertverän.
derungen in dieser Position die Wertveränderungen in der Position in Bond2 gerade
ausgleichen.
Welche Position in Bond1 muß eingegangen werden?
© Dr. Daniel Sommer
93
… welche Zinsrisikomaße es gibt
Hedgeratio auf Durationbasis:
∆PVBond1 × N Bond1 = − Duration Bond1 × PVBond1 × N Bond1 × ∆y
!
=− Duration Bond 2 × PVBond 2 × N Bond 2 × ∆y
⇔ N Bond1 =
Hedging mit
Duration
und
Convexity
.
Duration Bond 2 × PVBond 2 × N Bond 2
Duration Bond1 × PVBond1
Hedgeratio auf Duration- und
Convexitybasis:
1


∆PVBond1 × N Bond1 =  − Duration Bond1 × ∆y + × Convexity Bond1 × (∆y ) 2  × PVBond1 × N Bond1
2


!
1


= − Duration Bond 2 × ∆y + × Convexity Bond 2 × (∆y ) 2  × PVBond 2 × N Bond 2
2


1


 − Duration Bond 2 + × Convexity Bond 2 × ∆y  × PVBond 2 × N Bond 2
2

⇔ N Bond1 = 
1


 − Duration Bond1 + × Convexity Bond1 × ∆y  × PVBond1
2


© Dr. Daniel Sommer
94
… welche Zinsrisikomaße es gibt
Hedging von Bonds mit Swaps:
Hedging mit
Duration und
Convexity:
Anwendungen
Berechne Duration und Convexity des
Bonds und des Swaps und wende obige
Gleichungen für die Hedgeratio an.
Approximativ genügt es bei langlaufenden
Swaps, das Fixed Leg des Swaps dargestellt als Coupon Bond zu betrachten.
.
Hedging von Bonds mit Futures:
Berechne Duration und Convexity der
Terminpreise des Bonds und des
vermutlichen CTDs, letzterer multipliziert
mit dem Conversion Faktor, und wende
obige Gleichungen für die Hedgeratio an.
© Dr. Daniel Sommer
95
… welche Zinsrisikomaße es gibt
Hedging mit
Duration und
Convexity:
Anwendungen
© Dr. Daniel Sommer
Anmerkungen:
Die oben dargestellten Hedges sind aus
verschiedenen Gründen nicht perfekt, d.h.
nicht völlig risikofrei:
• Swap- und Bondzinsen entwickeln sich
nicht immer parallel. D.h. der Spread
zwischen Swaps und Bonds kann
schwanken.
.• Der CTD im Futures kann sich während
der Laufzeit ändern.
• Der Futurespreis entspricht in der Realität (richtigerweise) nicht dem Forwardpreis. Der Unterschied zwischen beiden
ist zufallsabhängig.
• Die Hedgeratios gelten nur lokal. Bei
jeder marginalen Zinsänderung müßte
der Hedge dynamisch angepaßt werden.
96
In diesem Modul wird diskutiert
• was man unter Aktienoptionen versteht,
Modul III
Aktienoptionen
• was man aus statischen Portfoliostrategien
über die Bewertung von Optionen lernen
kann,
• was man unter Zustandspreisen versteht
und wie man damit Derivate bewertet,
• wie man die Konzepte der Duplikation und
der No-Arbitrage auf dynamische Wertpapiermärkte übertragen kann,
• wie man ein dynamisches Bewertungsmodell für Optionen konstruiert und darin
Optionen bewertet.
© Dr. Daniel Sommer
97
… was man unter Aktienoptionen verversteht
Definition Call:
Europäischer vs.
Amerikanischer
Call
© Dr. Daniel Sommer
Europäischer Call:
Ein Europäischer Call auf eine Aktie einer bestimmten Gattung ist ein Finanzinstrument, das
seinem Käufer das Recht gibt, eine Aktie dieser Gattung zu einem festen Termin in der
Zukunft zu einem zum Kaufzeitpunkt der
Option festgelegten Strikepreis zu erwerben.
.
Amerikanischer Call:
Im Gegensatz zum Europäischen Call kann der
Käufer beim Amerikanischen Call nicht nur
zum Fälligkeitszeitpunkt, sondern jederzeit
zwischen Erwerbszeitpunkt und Fälligkeitszeitpunkt des Calls entscheiden, ob er die Aktie
zum festgelegten Preis erwerben möchte oder
nicht.
98
… was man unter Aktienoptionen verversteht
Definition Put:
Europäischer vs.
Amerikanischer
Put
© Dr. Daniel Sommer
Europäischer Put:
Ein Europäischer Put auf eine Aktie einer bestimmten Gattung ist ein Finanzinstrument, das
seinem Käufer das Recht gibt, eine Aktie dieser Gattung zu einem festen Termin in der
Zukunft zu einem zum Kaufzeitpunkt der
Option festgelegten Strikepreis zu verkaufen.
.
Amerikanischer Put:
Im Gegensatz zum Europäischen Put kann der
Käufer beim Amerikanischen Put nicht nur
zum Fälligkeitszeitpunkt, sondern jederzeit
zwischen Erwerbszeitpunkt und Fälligkeitszeitpunkt des Puts entscheiden, ob er die Aktie
zum festgelegten Preis verkaufen möchte oder
nicht.
99
… was man unter Aktienoptionen verversteht
Payoff
Payoff
K
K
Payoffprofile zum
Ausübungszeitpunkt
ST
Long Call
.
ST
Short Call
K:= Strikepreis
ST:= Aktienkurs bei Ausübung
Payoff
Payoff
K
K
Long Put
© Dr. Daniel Sommer
ST
ST
Short Put
100
… was man unter Aktienoptionen verversteht
Long Call
Payoff
in-the-money
out-of-the-money
Moneyness
.
K
FS(t;T)
at-themoney
Beachte:
Die korrekte Bestimmung der Moneyness
bezieht sich auf die Lage des Terminpreises der Aktie relativ zum Strikepreis der
Option.
© Dr. Daniel Sommer
101
… was man unter Aktienoptionen verversteht
S t := Aktienkurs zum Zeitpunkt t
Dt := Dividende zahlbar zum Zeitpunkt t
~
D( s, t ) := Schätzung der Dividende in s zahlbar in t
Ss −
D × B ( s, t i )
i|ti ≤t ti
FS (s; t ) :=
;
B ( s, t )
Terminpreis der Aktie in s fällig in t
∑
Notation
K ::=
= Strikepreis
C(S,K,T, E) :=
.
Europäisch
er Call auf 1 Aktie S mit Strikepreis K und FälligkeitT
C(S,K,T, A) :=
Amerikanischer Call auf 1 Aktie S mit Strikepreis K und FälligkeitT
P(S,K,T, E) :=
Europäischer Put auf 1 Aktie S mit Strikepreis K und FälligkeitT
P(S,K,T, A) :=
Amerikanischer Put auf 1 Aktie S mit Strikepreis K und FälligkeitT
PVC(t; S,K,T, E) := Preis in t eines Europäischen Calls auf
1 Aktie S mit Strikepreis K und FälligkeitT
© Dr. Daniel Sommer
102
… was man aus statischen PortfoliostraPortfoliostrategien lernen kann
Call
St ≥ PVC(t; K , T , A) ≥ PVC(t; K , T , E ) ≥ 0
P1: 1 Aktie; P2: C(K,T,A); P3: C(K,T,E)
Preisober- und
Untergrenzen für
Calls
PVC (t ; K , T , E ) ≥ S t − Dt D × B(t , t D ) − K × B(t , T )
P1: 1 Aktie
. P2: C(K,T,E) + Dt × B(t , t D ) + K × B(t , T )
D
PVC (t ; K , T , A) ≥ S t − K
Zahlung bei (vorzeitiger) Ausübung
K1 ≥ K 2 ⇒ PVC (t ; K1 , T , E / A) ≤ PVC (t ; K 2 , T , E / A)
P1: C(K1,T,E/A); P2: C(K2,T,E/A)
© Dr. Daniel Sommer
103
… was man aus statischen PortfoliostraPortfoliostrategien lernen kann
Call
D• = 0; T1 ≥ T2 ⇒ PVC (t ; K , T1 , E ) ≥ PVC (t ; K , T2 , E ); ∀t ≤ T2
denn:
PVC ( T 2 ; K , T1 , E ) ≥ max( S T 2 − K × B ( T 2 , T1 ); 0 )
≥ max( S T 2 − K ; 0 )
Konsequenzen
der Dividendenlosigkeit
= PVC ( T 2 ; K , T 2 , E )
Außerdem:
.
D• = 0 ⇒ PVC (t ; K , T , A) > S t − K ; ∀t < T
denn:
PVC ( t ; K , T , A ) ≥ PVC ( t ; K , T , E )
≥ max( S t − K × B ( t , T ); 0 )
> max( S t − K ; 0 )
Also:
D• = 0 ⇒ PVC (t ; K , T , A) = PVC (t ; K , T , E ); ∀t < T
© Dr. Daniel Sommer
104
… was man aus statischen PortfoliostraPortfoliostrategien lernen kann
Put
K ≥ PVP(t ; K , T , A) ≥ PVP(t; K , T , E ) ≥ 0
P1: K; P2: P(K,T,A); P3: P(K,T,E)
PVP(t ; K , T , E ) ≥ − S t + Dt D × B(t , t D ) + K × B(t , T )
Preisober- und
Untergrenzen für
Puts
.
P1: 1 Aktie + P(K,T,E)
P2: Dt D × B(t , t D ) + K × B(t , T )
PVP(t ; K , T , A) ≥ K − S t
Zahlung bei (vorzeitiger) Ausübung
K1 ≥ K 2 ⇒ PVP(t ; K1 , T , E / A) ≥ PVP(t ; K 2 , T , E / A)
P1: P(K1,T,E/A); P2: P(K2,T,E/A)
© Dr. Daniel Sommer
105
… was man aus statischen PortfoliostraPortfoliostrategien lernen kann
Put
D • = 0 ; T 1 ≥ T 2 folgt nicht
PVP ( t ; K , T 1 , E ) ≥ PVP ( t ; K , T 2 , E ); ∀ t ≤ T 2
Außerdem:
Fehlende
Konsequenzen
der Dividendenlosigkeit
PVP ( t ; K , T , A ) ≥ max( K − S t ; 0 )
> max( K × B ( t , T ) − S t ; 0 ); t < T
.
Damit kann es auch bei dividendenlosen Aktien zu vorzeitigen Ausübungen von Puts
kommen.
Also:
PVP(t; K , T , A) ≥ PVP(t ; K , T , E ); ∀t < T
© Dr. Daniel Sommer
106
… was man aus statischen PortfoliostraPortfoliostrategien lernen kann
Europäische Optionen
PVP (t ; K , T , E ) = PVC (t ; K , T , E )
+ K × B (t , T ) + Dt d × B (t , t d ) − S t
Put-Call-Parität
© Dr. Daniel Sommer
.
Kauf: P(K,T,E)
Verkauf: C(K,T,E)
Kauf: Aktie S
Kreditaufnahme: K X B(t,T)
Kreditaufnahme: D X B(t,td)
107
… was man aus statischen PortfoliostraPortfoliostrategien lernen kann
Amerikanische Optionen
PVC (t ; K , T , A) + K × B (t , T ) − S t ≤
PVP (t ; K , T , A) ≤
PVC (t ; K , T , A) + K + Dt d × B (t , t d ) − S t
Put-Call-Parität
© Dr. Daniel Sommer
Nachweis 1. Ungleichung:
Nehme an, die Ungleichung sei nicht erfüllt
und betrachte folgende Portfolien:
. Verkauf: C(K,T,A),
P1:
Kreditaufnahme: K X B(t,T)
P2: Kauf: Aktie S und P(K,T,A)
Nachweis 2. Ungleichung:
Nehme an, die Ungleichung sei nicht erfüllt
und betrachte folgende Portfolien:
P1: Verkauf: P(K,T,A) und Aktie S
P2: Kauf: C(K,T,A); Anlage Dtd in Bond
B(t,td), Kassenhaltung i.H.v. K
108
… was man aus statischen PortfoliostraPortfoliostrategien lernen kann
Europäische Optionen
Box
Payoff
K2-K1
Box-Spreads:
Zusammenhang
zwischen Optionen und Geldmarkt
K1
K2
ST
.Kauf: C(K ,T,E); Verkauf: P(K ,T,E)
1
1
Kauf: P(K2,T,E); Verkauf: C(K2,T,E)
Der Preis dieser Optionsposition zum
Zeitpunkt t beträgt:
( K 2 − K 1 ) × B (t , T )
Damit ist diese Position – je nach Laufzeit
der Optionen äquivalent zu einer Anlage am
Geld- oder Kapitalmarkt.
© Dr. Daniel Sommer
109
… was man aus statischen PortfoliostraPortfoliostrategien lernen kann
Europäische Optionen
Payoff
ButterflySpreads:
Konvexität von
Optionspreisen
K1
K2
K3
ST
.
Kauf: C(K1,T,E); Kauf: C(K3,T,E)
Verkauf: 2xC(K2,T,E)
Es gilt:
1
( K1 + K 3 ) ⇒
2
PVC (t ; K 1 , T , E ) + PVC (t ; K 3 , T , E ) − 2 × PVC (t ; K 2 , T , E ) > 0
K2 =
© Dr. Daniel Sommer
110
… was man aus statischen PortfoliostraPortfoliostrategien lernen kann
Europäische Optionen
Das vorige Ergebnis läßt sich auf beliebige
Konvexkombinationen von Strikepreisen
übertragen. Es gilt:
ButterflySpreads:
Konvexität von
Optionspreisen
λ ∈ (0,1); K 2 = (λ K 1 + (1 − λ ) K 3 ) ⇒
λ PVC (t ; K 1 , T , E ) + (1 − λ ) PVC (t ; K 3 , T , E ) − PVC (t ; K 2 , T , E ) > 0
Payoff bei gegebenem Zustand der Welt in T
.
Position
λ ( S T − K1 ) λ ( S T − K1 ) λ ( S T − K1 )
λ C ( K1 )
0
(1 − λ )C ( K 3 )
0
0
0
(1 − λ )( ST − K 3 )
−C ( K 2 )
0
0
ST − K 2
ST − K 2
0
>0
λST + (1 − λ ) K 3
0
Summe
Payoff
© Dr. Daniel Sommer
S T < K1 K1 ≤ S T < K 2 K 2 ≤ S T < K 3 K 3 < S T
− ST > 0
111
… was man unter Zustandspreisen
versteht
Europäische Optionen
1
∆
ButterflySpreads:
Zusammenhang
mit Zustandspreisen
Flächeninhalt 1€!
Payoff
K1 = K2 − ∆ K2
K3 = K2 + ∆
.
Kauf: 1/( )² C(K1,T,E); Kauf: 1/(
Verkauf: 2/( )²xC(K2,T,E)
ST
)² C(K3,T,E)
Es gilt für den Wert dieses Portfolios:
1  PVC (t ; K 2 + ∆ ) − PVC (t ; K 2 ) PVC (t ; K 2 ) − PVC (t ; K 2 − ∆ ) 
−

=
∆→0 ∆ 
∆
∆

lim
∂ 2 PVC (t ; K 2 )
∂K 22
© Dr. Daniel Sommer
112
… was man unter Zustandspreisen
versteht
Intuitive Bewertungsregel:
Derivatebewertung mit Zustandspreisen
Wert = Summe über Menge x Einzelpreis
Anwendung auf Derivate, deren Auszahlung nur
von ST abhängt:
Angenommen, die Auszahlung eines Derivates zum
Zeitpunkt T hängt ausschließlich von dem Kurs ab,
den die zugrundeliegende Aktie zum Zeitpunkt T annimmt, dann läßt sich der Wert dieses Derivates heute.bestimmen, wenn alle Zustandspreise für das Eintreten der jeweiligen Aktienkurse heute bekannt sind.
Diese sind bekannt, wenn die Preise aller Europäischen Call Optionen mit allen positiven reellwertigen
Strikes bekannt sind. Es gilt:
2
∞
PVD(t; T ) =
© Dr. Daniel Sommer
∫
0
D(T ; K )
∂ PVC(t; K , T , E )
∂K
2
dK
113
… was man unter Zustandspreisen
versteht
Speziell gilt für D(T ; K ) ≡ 1:
B (t , T ) =
⇔
1=
Derivatebewertung als Erwartungswert
∫
∞
0
∞
∫1×
0
∂ 2 PVC ( t ; K , T , E )
∂K
2
1
∂ 2 PVC ( t ; K , T , E )
×
dK
2
B (t , T )
∂
K
1 4 4 4 442 4 4 4 4 4
3
T
Q
.
Damit ist der Integrand in der zweiten Gleichung
eine Dichte, die wir mit QT bezeichnen wollen, und
wir können die Bewertungsformel der vorangegangenen Folie als Erwartungswert bezüglich dieser
Dichte schreiben:
PVD(t; T ) = B(t , T ) × Ε
© Dr. Daniel Sommer
dK
QT
[D(T ; S )]
114
… was man unter Zustandspreisen
versteht
Beachte:
Die Darstellung des Preises eines Derivates als
Erwartungswert hat nichts damit zu tun, daß die
Wirtschaftssubjekte tatsächlich das Eintreten eines
bestimmten Aktienkurses mit der Wahrscheinlichkeit QT erwarten.
Derivatebewertung als Erwartungswert
Es ist lediglich eine formale Schreibweise für die
Regel
Wert = Summe über Menge x Einzelpreis,
.
wobei die Einzelpreise die aus den Optionspreisen
abgeleiteten Zustandspreise sind.
Die tatsächlichen Erwartungen der Wirtschaftssubjekte sind zusammen mit ihren Präferenzen und ihrer je individuellen Vermögenslage in den unterschiedlichen Zuständen der Welt in die Optionspreise eingeflossen.
© Dr. Daniel Sommer
115
… was man unter Zustandspreisen
versteht
Problemstellung:
Die Kenntnis aller Optionspreise impliziert die
Kenntnis aller Zustandspreise.
Mit Hilfe der Zustandspreise lassen sich alle anderen
Derivate, deren Auszahlung zum Zeitpunkt T nur von
dem in T realisierten Aktienkurs abhängt, bewerten.
Derivatebewertung als Erwartungswert
Angenommen, die Optionspreise sind unbekannt.
Wohl
aber ist der Kurs der zugrundeliegenden Aktie
.
zu jedem beliebigen Zeitpunkt während der
Optionslaufzeit beobachtbar, und es können zu jedem
beliebigen Zeitpunkt Aktien gekauft und verkauft
sowie „Geld“ aufgenommen oder angelegt werden.
Ist es unter diesen Voraussetzungen möglich,
wiederum die Zustandspreise und damit dann die
Optionspreise selbst zu bestimmen?
© Dr. Daniel Sommer
116
… wie man NoNo-Arbitrage und Duplikation
in dynamischen Märkten nutzt
Problemstellung 1:
Wie lassen sich in dem unten angegebenen
dynamischen Marktmodell Zustandspreise für
das Eintreten der Zustände ω1 bzw. ω2 aus den
Preisen der Aktie und des Zero Coupon Bonds
berechnen?
Zwei-PeriodenModell
p1 = 0,2
.
PVADt0(ω1)=?
PVADt0(ω2)=?
St0=100
B(t0,t1)=1/1,1
p 2 = 0,8
t0
© Dr. Daniel Sommer
PVADt1(ω1;ω1)=1
PVADt1(ω2;ω1)=0
St1(ω1)=90
B(t1,t1)=1
PVADt1(ω1;ω2)=0
PVADt1(ω2;ω2)=1
St1(ω2)=120
B(t1,t1)=1
t1
117
… wie man NoNo-Arbitrage und Duplikation
in dynamischen Märkten nutzt
Lösungsidee zu Problemstellung 1:
Betrachte folgendes duplizierendes Portfolio für
AD(ω1;.):
(
)
θ 1 ( t1 ) := θ S1 ( t1 ); θ B1 ( t1 ) mit
θ S1 ( t1 ) × S t1 (ω 1 ) + θ B1 ( t1 ) = 1
Zwei-PeriodenModell
∧ θ S1 ( t1 ) × S t1 (ω 2 ) + θ B1 ( t1 ) = 0
.
und folgendes duplizierendes Portfolio für
AD(ω2;.):
(
)
θ 2 ( t1 ) := θ S2 ( t1 ); θ B2 ( t1 ) mit
θ S2 ( t1 ) × S t1 (ω 1 ) + θ B2 ( t1 ) = 0
∧ θ S2 ( t1 ) × S t1 ( ω 2 ) + θ B2 ( t 1 ) = 1
© Dr. Daniel Sommer
118
… wie man NoNo-Arbitrage und Duplikation
in dynamischen Märkten nutzt
Lösungsidee zu Problemstellung 1:
Aufgrund der Duplikationseigenschaft der
beiden Portfolien für AD(ω1;.) bzw. AD(ω2;.)
muß zur Erfüllung der No-Arbitrage-Bedingung
gelten:
θ S1 (t1 ) × S t0 + θ B1 (t1 ) × B (t 0 ; t1 ) = PVAD t 0 (ω1 )
Zwei-PeriodenModell
θ S2 (t1 ) × S t0 + θ B2 (t1 ) × B (t 0 ; t1 ) = PVAD t 0 (ω 2 )
.
Oder in Zahlen:

θ 1 ( t 1 ) :=  −

1

 1

; 4  ; θ 2 ( t 1 ) := 
;− 3 
30 
 30

PVAD t 0 (ω1 ) =
© Dr. Daniel Sommer
10
20
; PVAD t0 (ω 2 ) =
33
33
119
… wie man NoNo-Arbitrage und Duplikation
in dynamischen Märkten nutzt
Interpretation zu Problemstellung 1:
Zwei-PeriodenModell
Definition: Die Verträge AD(ω1;.) und AD(ω2;.)
heißen Arrow-Debreu-Securities. Allgemein
versteht man unter Arrow-Debreu-Securities
Wertpapiere, die genau in einem Zustand der
Welt eine Konsumeinheit auszahlen.
Beobachtung 1: Die Preise der Arrow-DebreuSecurities PVADt0(ω1) und PVADt0(ω2) sind
.
dementsprechend Zustandspreise.
Beobachtung 2: In einem arbitragefreien
Zwei-Perioden-Modell muß daher gelten:
PVADt0 (•) > 0;
PVADt0 (ω1 ) + PVADt0 (ω 2 ) = B(t 0 ; t1 )
(
⇔ PVADt0 (ω1 ) + PVADt0 (ω 2 )
) B(t1; t ) = 1
0
© Dr. Daniel Sommer
1
120
… wie man NoNo-Arbitrage und Duplikation
in dynamischen Märkten nutzt
Interpretation zu Problemstellung 1:
Beobachtung 3: Aus Beobachtung 2 folgt, daß
durch die Arrow-Debreu-Preise in folgendem
Sinne ein Wahrscheinlichkeitsmaß gegeben ist:


1
1

Q :=  q1 = PVADt0 (ω1 ) ×
; q 2 = PVADt0 (ω 2 ) ×

B
t
t
B
t
t
(
;
)
(
;
)
0 1
0 1 

Zwei-PeriodenModell
Beobachtung 4: Damit gilt in einem arbitragefreien Zwei-Perioden-Modell folgende allgemei.
ne Bewertungsgleichung für Derivate, die vom
Aktienkurspfad abhängen:
PVD(t0 ; t1 ) = B(t0 ; t1 ) × Ε
Qt1
[D(t1;ω• )]
Beobachtung 5: Die physischen Wahrscheinlichkeiten p spielen bei der Bewertung von Derivaten im Zwei-Perioden-Modell keine Rolle. Dies
ist eine Konsequenz der Duplikation.
© Dr. Daniel Sommer
121
… wie man NoNo-Arbitrage und Duplikation
in dynamischen Märkten nutzt
Problemstellung 2:
Anwendung der in Problemstellung 1 angewandten Methode zur Bestimmung der ADPreise führt zu folgendem Ergebnis. Worin besteht der Fehler in diesem Marktmodell?
Zwei-PeriodenModell
p1 = 0,2
.
PVADt0(ω1)=0
PVADt0(ω2)=10/11
St0=100
B(t0,t1)=1/1,1
p 2 = 0,8
t0
© Dr. Daniel Sommer
PVADt1(ω1;ω1)=1
PVADt1(ω2;ω1)=0
St1(ω1)=90
B(t1,t1)=1
PVADt1(ω1;ω2)=0
PVADt1(ω2;ω2)=1
St1(ω2)=110
B(t1,t1)=1
t1
122
… wie man NoNo-Arbitrage und Duplikation
in dynamischen Märkten nutzt
Zwei-PeriodenModell
© Dr. Daniel Sommer
Lösungsidee zu Problemstellung 2:
Beobachtung 1: Die Tatsache, daß AD(ω1;.) =
0 ist, zeigt, daß es möglich ist, aus Aktien und
Zero-Coupon Bonds ein Portfolio zu konstruieren, das heute Wert Null hat, aber in der Zukunft in einem Zustand der Welt eine strikt positive und im anderen Zustand der Welt eine
nicht-negative Auszahlung impliziert. Dieses
Portfolio
ist also wie eine Lotterie, bei der man
.
nie verliert, manchmal gewinnt und für die Teilnahme nichts bezahlen muß. Dies ist eine
Arbitragemöglichkeit.
Beobachtung 2: Grund für die Existenz dieser
Arbitragemöglichkeit ist die Tatsache, daß der
Zero-Coupon Bond die Aktie dominiert, d.h.
die prozentuale Wertsteigerung des Bonds
immer mindestens so groß ist wie die der Aktie.
123
… wie man NoNo-Arbitrage und Duplikation
in dynamischen Märkten nutzt
Interpretation zu Problemstellung 2:
Zwei-PeriodenModell
Beobachtung: Das aus den AD-Preisen
abgeleitete Wahrscheinlichkeitsmaß ist im
Gegensatz zu dem physischen W-Maß in
Zustand ω2 konzentriert. Es belegt Zustand ω1
der Welt mit Wahrscheinlichkeit Null, den das
physische W-Maß mit positiver Wahrscheinlichkeit belegt:
.
Q := (q1 = 0; q 2 = 1)
Wäre der Aktienkurs in ω2 noch geringer gewesen, wäre q1sogar negativ geworden.
Beobachtung: Sind alle AD-Preise strikt positiv, so ist das Zwei-Perioden-Modell arbitragefrei.
© Dr. Daniel Sommer
124
… wie man NoNo-Arbitrage und Duplikation
in dynamischen Märkten nutzt
Problemstellung 3:
Wie lauten die AD-Preise in diesem Modell? Ist
das Modell arbeitragefrei?
Zwei-PeriodenModell
St1(ω1)=80
B(t1,t1)=1
p 2 = 0,2
St1(ω2)=90
B(t1,t1)=1
p 2 = 0,7
St1(ω3)=120
B(t1,t1)=1
.
St0=100
B(t0,t1)=1/1,1
t0
© Dr. Daniel Sommer
p1 = 0,1
t1
125
… wie man NoNo-Arbitrage und Duplikation
in dynamischen Märkten nutzt
Lösungsidee zu Problemstellung 3:
Wir stellen uns vor, es würde neben der Aktie
und dem Bond noch AD(ω1) gehandelt. Wir
ermitteln duplizierende Portfolien für AD(ω2)
und AD(ω3) und parametrisieren das Preissystem im Preis von AD(ω1):
(
)
2
θ 2 ( t1 ) := θ S2 ( t1 ); θ B2 ( t1 ); θ AD
( ω 1 ) ( t1 ) mit
Zwei-PeriodenModell
.
2
θ S2 ( t1 ) × S t1 (ω 1 ) + θ B2 ( t1 ) + θ AD
( ω 1 ) ( t1 ) = 0
∧ θ S2 ( t1 ) × S t1 (ω 2 ) + θ B2 ( t1 ) = 1
∧ θ S2 ( t1 ) ×
S t1 ( ω 3 )
+ θ B2
( t1 ) = 0
(
AD(ω2)
)
3
θ 3 ( t1 ) := θ S3 ( t1 ); θ B3 ( t1 ); θ AD
( ω 1 ) ( t1 ) mit
3
θ S3 ( t1 ) × S t1 (ω 1 ) + θ B3 ( t1 ) + θ AD
( ω 1 ) ( t1 ) = 0
∧ θ S3 ( t1 ) × S t1 (ω 2 ) + θ B3 ( t1 ) = 0
∧ θ S3 ( t1 ) ×
© Dr. Daniel Sommer
S t1 ( ω 3 )
+ θ B3
( t1 ) = 1
AD(ω3)
126
… wie man NoNo-Arbitrage und Duplikation
in dynamischen Märkten nutzt
Lösungsidee zu Problemstellung 3:
Aufgrund der Duplikationseigenschaft der
beiden Portfolien für AD(ω2;.) bzw. AD(ω3;.)
muß zur Erfüllung der No-Arbitrage-Bedingung
gelten:
2
θ S2 (t1 ) × S t0 + θ B2 (t1 ) × B (t 0 ; t1 ) + θ AD
(ω1 ) (t1 ) × PVAD t 0 (ω1 ) > 0
Zwei-PeriodenModell
3
θ S3 (t1 ) × S t 0 + θ B3 (t1 ) × B (t 0 ; t1 ) + θ AD
(ω1 ) (t1 ) × PVAD t 0 (ω1 ) > 0
.
Oder in Zahlen:

θ 2 ( t 1 ) :=  −

1
4
1
 1
; 4 ; −  ; θ 3 ( t 1 ) := 
; − 3; 
30
3
3
 30
0 < PVAD t0 (ω1 ) <
© Dr. Daniel Sommer
5
22
127
… wie man NoNo-Arbitrage und Duplikation
in dynamischen Märkten nutzt
Interpretation zu Problemstellung 3:
Zwei-PeriodenModell
Beobachtung 1: Die auf der vorangegangenen
Folie abgeleiteten Ungleichungen zeigen, daß
es in diesem Marktmodell möglich ist, strikt positive AD-Preise für alle AD-Securities abzuleiten. Daraus folgt, daß es sich bei dem aus den
Preisen der AD-Securities abgeleiteten Maß Q
um ein strikt positives W-Maß handelt. Damit
. das Marktmodell arbitragefrei.
ist
Beobachtung 2: Es gibt kein Portfolio aus
Aktie und Bond, mit dem die AD-Securities
exakt dupliziert werden können. Der Markt aus
Aktie und Bond heißt deshalb unvollständig.
Ein Markt heißt vollständig, wenn alle ADSecurities durch Portfolien aus gehandelten
Wertpapieren dupliziert werden können.
© Dr. Daniel Sommer
128
… wie man NoNo-Arbitrage und Duplikation
in dynamischen Märkten nutzt
Interpretation zu Problemstellung 3:
Beobachtung 3: Wegen der Unvollständigkeit
des Marktes in den gehandelten Wertpapieren,
sind ihre Preise nicht eindeutig bestimmt. Dennoch sind die Preise nicht beliebig. Es ließen sich
vielmehr nicht-triviale Wertgrenzen angeben,
innerhalb derer die entsprechenden Preise liegen
müssen.
Zwei-PeriodenModell
. Es gibt zahlreiche Vorschläge, wie man aus den
möglichen Preissystemen für AD-Securities bzw.
aus den daraus abgeleiteten W-Maßen eines zur
Bewertung von Derivaten auswählen kann. Eine
Idee besteht darin, das abgeleitete W-Maß so zu
wählen, daß es sich in gewissem Sinne möglichst
wenig vom physischen Maß unterscheidet.
Merke: Bei unvollständigen Märkten ist die Bewertung von Derivaten im allgemeinen nicht
unabhängig vom physischen W-Maß!
© Dr. Daniel Sommer
129
… wie man NoNo-Arbitrage und Duplikation
in dynamischen Märkten nutzt
Problemstellung:
Ist der Wertpapiermarkt vollständig? Ist er arbitragefrei? Wie lassen sich in diesem Modell AD-Securities definieren? Wie lassen sich deren Preise
zu den Zeitpunkten t1 und t0 bestimmen?
Mehr-PeriodenModell
St1(ω1,2)=90
B(t1,t2)=1/1,1
.S
t0=100
St2(ω2)=105
B(t2,t2)=1
B(t0,t2)=(1/1,1)²
St1(ω3,4)=120
B(t1,t2)=1/1,1
t0
© Dr. Daniel Sommer
St2(ω1)=80
B(t2,t2)=1
t1
St2(ω3)=100
B(t2,t2)=1
St2(ω4)=140
B(t2,t2)=1
t2
130
… wie man NoNo-Arbitrage und Duplikation
in dynamischen Märkten nutzt
Terminologie und Interpretation:
ω: repräsentiert eine vollständige Historie der
Welt. In unserem Fall besteht eine solche Historie typischerweise aus einer Abfolge von Preisen
gehandelter Wertpapiere.
Ω: repräsentiert die Menge aller denkbaren Historien der Welt.
Mehr-PeriodenModell
stochastischer Prozeß: eine Abbildung wie folgt:
ℜ. + × Ω → ℜ n
(t , ω ) → S ( t , ω ) = (S 1 ( t , ω ); S 2 ( t , ω ); K ; S n ( t , ω ) )
z.B. der Aktienkursprozeß, bei dem jedem Zeitpunkt und jeder Historie der Welt genau ein Aktienkurs zugeordnet wird.
S(.,ω):
ω): Pfad eines stochastischen Prozesses, d.h.
z.B. der Verlauf des DAX über einen gewissen
Zeitraum
© Dr. Daniel Sommer
131
… wie man NoNo-Arbitrage und Duplikation
in dynamischen Märkten nutzt
Terminologie und Interpretation:
F: Sigma-Algebra, eine Menge von Teilmengen,
die Ereignisse heißen, mit folgenden Eigenschaften:
1. Ω ∈ F
2. A ∈ F → A c ∈ F
Mehr-PeriodenModell
3. ( Ai )i∈I ∈ F → A1 ∩ A2 L ∩ An ∩ An +1 L ∈ F
repräsentiert das unterscheidbare Wissen. Z.B.
kann man F={Ω, Φ} so interpretieren, daß man nur
.
unterscheiden
kann, ob Aktienkurse grundsätzlich
beobachtbar sind oder nicht.
Zufallsvariable:: eine Abbildung mit folgenden
Eigenschaften:
Ω → ℜn
(
)
ω → ( X i ( ω ) )i = 1K n und X i− 1 i = 1K n ∈ F
Man sagt, X ist F-meßbar, d.h. das, was man grundsätzlich wissen kann, reicht aus, um die unterschiedlichen Werte von X zu beobachten.
© Dr. Daniel Sommer
132
… wie man NoNo-Arbitrage und Duplikation
in dynamischen Märkten nutzt
Terminologie und Interpretation:
Beispiel zur Zufallsvariablen:: Jemand sitzt in
einem hermetisch abgeschlossenen dunklen
Raum. X kann die Werte annehmen „Sonne
scheint“; „Sonne scheint nicht“. X ist für diese Person keine Zufallsvariable.
(Ft )t∈T
Mehr-PeriodenModell
: Filtration, Folge von Sigma-Algebren mit
folgender Eigenschaft:
.
t1 < t 2 → Ft1 ⊂ Ft 2
Das Konzept der Filtration bedeutet, daß das
potentielle Wissen um die Historie der Welt mit der
Zeit stets zu- und nie abnimmt. Anders ausgedrückt: die Historie der Welt enthüllt sich im Zeitablauf und kann beliebig gespeichert werden.
© Dr. Daniel Sommer
133
… wie man NoNo-Arbitrage und Duplikation
in dynamischen Märkten nutzt
Terminologie und Interpretation:
Adaptierter stochastischer Prozeß:: Ein
stochastischer Prozeß S heißt adaptiert an eine
Filtration (Ft) wenn gilt
S − 1 ( t ,• ) ∈ Ft ∀ t ∈ T
Mehr-PeriodenModell
D.h., der stochastische Prozeß ist zu jedem Zeitpunkt meßbar, oder das potentielle Wissen reicht zu
jedem Zeitpunkt aus, um die Werte des stochasti.schen Prozesses zu beobachten.
Vorhersehbarer stochastischer Prozeß:: Ein
stochastischer Prozeß θ heißt vorhersehbar bezüglich einer Filtration (Ft) wenn gilt
θ − 1 (t + 1,• ) ∈ Ft ∀ t ∈ T
D.h., das Wissen um die Historie der Welt bis zum
heutigen Tag reicht bereits aus, um den Wert des
stochastischen Prozesses in der Folgeperiode zu
kennen.
© Dr. Daniel Sommer
134
… wie man NoNo-Arbitrage und Duplikation
in dynamischen Märkten nutzt
Beispiel:
Aktienkurspfad
St1(ω1,2)=90
B(t1,t2)=1/1,1
St0=100
B(t0,t2)=(1/1,1)²
Mehr-PeriodenModell
St1(ω3,4)=120
B(t1,t2)=1/1,1
St2(ω1)=80
B(t2,t2)=1
St2(ω2)=105
B(t2,t2)=1
St2(ω3)=100
B(t2,t2)=1
St2(ω4)=140
B(t2,t2)=1
.
Ft0 = {Ω; φ }; Ft1 = {Ω; φ ; {ω1 , ω 2 }; {ω 3 , ω 4 }}; Ft 2 = P (ω i )
Mit P(ωi ) der Potenzmenge, d.h. der Menge aller Teilmengen
von Ω.
S und B sind adaptierte stochastische Prozesse, wobei B
sogar vorhersehbar ist, da B nicht von ω abhängt und
damit Ft0-meßbar ist.
Ein Zustand der Welt ist ein Pfad durch den Baum. Da
die Entwicklung der Bondpreise deterministisch ist, ist ein
solcher auch durch einen Aktienkurspfad gegeben.
© Dr. Daniel Sommer
135
… wie man NoNo-Arbitrage und Duplikation
in dynamischen Märkten nutzt
Terminologie und Interpretation:
Wertpapierpreisprozeß:: Eine Wertpapierpreisprozeß Π ist ein vektorwertiger, adaptierter stochastischer Prozeß. Die einzelnen Komponenten
des Vektors geben den jeweilige Preis des Wertpapiers an, der zu Beginn der Periode, bevor die
Portfolien umgeschichtet werden können, bekannt
gegeben wird. Beispiel:
Mehr-PeriodenModell
.
Π ( t ) = (S ( t ); B (t , T ) ) = (100 ;0 ,98 )
Portfoliowertprozeß:: Der Portfoliowertprozeß V
ist ein reellwertiger, adaptierter stochastischer
Prozeß, der wie folgt definiert ist:
V (t ) := θ ( t + 1) × Π T ( t )
© Dr. Daniel Sommer
136
… wie man NoNo-Arbitrage und Duplikation
in dynamischen Märkten nutzt
Terminologie und Interpretation:
selbstfinanzierende Portfoliostrategie:: Eine
Portfoliostrategie θ heißt selbstfinanzierend, wenn
für jeden Zeitpunkt t > t0gilt:
θ (t + 1) × Π T (t ) = θ ( t ) × Π T (t )
Mehr-PeriodenModell
D.h., durch die Umschichtung des Portfolios ist
dem Portfolio weder „Geld“ hinzugefügt, noch
entnommen worden.
.
Wertprozeß einer selbstfinanzierenden Portfoliostrategie:: Für eine selbstfinanzierende Portfoliostrategie läßt sich der Portfoliowertprozeß wie
folgt schreiben:
I
θ (t i ) × Π T (t i ) − Π T (t i −1 )
V (t I ) = θ (t1 ) × Π T (t 0 ) +
= θ (t1 ) × Π T
(
∑
(t ) + ∑ θ (t ) × ∆Π (t )
144424443
i =1
I
0
i =1
)
T
i
i
stochstisches Integral
© Dr. Daniel Sommer
137
… wie man NoNo-Arbitrage und Duplikation
in dynamischen Märkten nutzt
Terminologie und Interpretation:
Duplikation mittels selbstfinanzierender Portfoliostrategie:: Eine Derivat sei eine FtI -meßbare Zufallsvariable D(tI). Eine Portfoliostrategie θ heißt
selbstfinanzierend und das Derivat D duplizierend,
wenn gilt:
D (t I ) = θ (t1 ) × Π T (t 0 ) +
Mehr-PeriodenModell
∑
I
θ (t i ) × ∆Π T (t i )
i =1
.Arbitragemöglichkeit:: Eine Arbitragemöglichkeit
ist eine selbstfinanzierende Portfoliostrategie, für
die gilt:
I
V (t ) =
θ (t i ) × ∆Π T (ti ) ≥ 0
 I
i =1
V (t 0 ) ≤ 0 ∧ 
mit einer strikten U ngleichung für mindestens ein ω
∑
oder
V (t 0 ) < 0 ∧ V (t I ) = V (t 0 ) +
© Dr. Daniel Sommer
∑
I
θ (t i ) × ∆Π T (t i ) ≥ 0
i =1
138
… wie man NoNo-Arbitrage und Duplikation
in dynamischen Märkten nutzt
Lösungsidee:
St1(ω1,2)=90
B(t1,t2)=1/1,1
St0=100
B(t0,t2)=(1/1,1)²
Mehr-PeriodenModell
© Dr. Daniel Sommer
St1(ω3,4)=120
B(t1,t2)=1/1,1
.
St2(ω1)=80
B(t2,t2)=1
St2(ω2)=105
B(t2,t2)=1
St2(ω3)=100
B(t2,t2)=1
St2(ω4)=140
B(t2,t2)=1
Definition AD-Security: Wertpapier, das in genau einem der 4 Zustände der Welt, ω1 … ω4, eine
Auszahlung von einer Konsumeinheit liefert.
Bewertung AD-Security: Konstruiere für jede
AD-Security eine selbstfinanzierende, duplizierende Portfoliostrategie aus Aktie und Bond.
Marktvollständigkeit: Wenn für jede AD-Security
eine selbstfinanzierende, duplizierende PF-Strategie existiert, ist das Marktmodell vollsändig.
139
… wie man NoNo-Arbitrage und Duplikation
in dynamischen Märkten nutzt
Lösungsidee:
St1(ω1,2)=90
B(t1,t2)=1/1,1
St0=100
B(t0,t2)=(1/1,1)²
Mehr-PeriodenModell
St1(ω3,4)=120
B(t1,t2)=1/1,1
.
St2(ω1)=80
B(t2,t2)=1
St2(ω2)=105
B(t2,t2)=1
St2(ω3)=100
B(t2,t2)=1
St2(ω4)=140
B(t2,t2)=1
Beispiel zur Bewertung AD-Security: Für den roten
Zustand der Welt, ω1, sind folgende Gleichungssysteme zu lösen:
S
 80 1  θ t 2 (ω1, 2 )   1 

 × B
=  


105
1
θ
ω
(
)

  t 2 1, 2   0 
S
 90 10 11  θ t1   90 × θ tS2 (ω1, 2 ) + 10 11× θ tB2 (ω1, 2 ) 


 × B = 




0
120 10 11 θ t1  

© Dr. Daniel Sommer
140
… wie man NoNo-Arbitrage und Duplikation
in dynamischen Märkten nutzt
Lösungsidee:
St1(ω1,2)=90
B(t1,t2)=1/1,1
St0=100
B(t0,t2)=(1/1,1)²
Mehr-PeriodenModell
St1(ω3,4)=120
B(t1,t2)=1/1,1
.
St2(ω1)=80
B(t2,t2)=1
St2(ω2)=105
B(t2,t2)=1
St2(ω3)=100
B(t2,t2)=1
St2(ω4)=140
B(t2,t2)=1
Beispiel zur Bewertung AD-Security: Für den roten
Zustand der Welt, ω1, ergibt sich damit der aus der
selbstfinanzierenden Duplizierungsstrategie abgeleitete Wert der zugehörigen AD-Security zu:
 θ tS 
PVADt0 (ω1 ) = (100 100 121)×  B1 
θ t 
 1
© Dr. Daniel Sommer
141
… wie man NoNo-Arbitrage und Duplikation
in dynamischen Märkten nutzt
Zusammenhang zwischen AD-Preisen und
Arbitragefreiheit bei vollständigem Markt:
Mehr-PeriodenModell
Zusammenhang 1: Ergibt sich aus der selbstfinanzierenden Duplizierungsstrategie für mindestens eine ADSecurity ein Wert kleiner oder gleich Null, so ist das
Marktmodell nicht arbitragefrei. Gleiche Aussage: Existiert keine Arbitragemöglichkeit, so sind die aus den
.
jeweiligen
sebstfinanzierenden Duplizierungsstrategien
abgeleiteten Werte der AD-Securities alle strikt positiv.
Beleg: Die selbstfinanzierenden Duplizierungsstrategien für diejenigen AD.Securities, die zu Werten kleiner
oder gleich Null führen, sind bereits Arbitragemöglichkeiten.
© Dr. Daniel Sommer
142
… wie man NoNo-Arbitrage und Duplikation
in dynamischen Märkten nutzt
Zusammenhang zwischen AD-Preisen und
Arbitragefreiheit bei vollständigem Markt:
Mehr-PeriodenModell
Zusammenhang 2: Gibt es keine Arbitragemöglichkeiten, so ist für jede AD-Security der aus selbstfinanzierenden Duplizierungsstrategien abgeleitete Wert
eindeutig. Gleiche Aussage: Gibt es mindestens eine
AD-Security, für die es unterschiedliche aus selbstfinanzierenden Duplizierungsstrategien abgeleitete
Werte
gibt, so gibt es Arbitragemöglichkeiten.
.
Beleg: Gehe die selbstfinanzierende Duplizierungsstrategie, die die höhere Anfangsinvestition erfordert
short und die mit der geringeren Anfangsinvestition
long. Dies ist ein Arbitragemöglichkeit, da der Wert
dieses Portfolios heute negativ ist, es aber ausschließlich zu nicht-negativen Auszahlungen in der Zukunft
kommt.
© Dr. Daniel Sommer
143
… wie man NoNo-Arbitrage und Duplikation
in dynamischen Märkten nutzt
Zusammenhang zwischen AD-Preisen und
Arbitragefreiheit bei vollständigem Markt:
Mehr-PeriodenModell
Zusammenhang 3: Sind die aus den jeweiligen sebstfinanzierenden Duplizierungsstrategien abgeleiteten Werte
der AD-Securities alle strikt positiv, so existiert keine Arbitragemöglichkeit. Gleiche Aussage: Existiert eine Arbitragemöglichkeit, so ist für mindestens eine der AD-Securities
der aus der jeweiligen sebstfinanzierenden Duplizierungsstrategie abgeleiteten Werte kleiner oder gleich Null.
.
Beleg: Jede nicht-negative Zahlung in der Zukunft läßt
sich eindeutig als Linearkombination von AD-Securities mit
positiven Koeffizienten schreiben. Da die Werte aller ADSecurities strikt positiv sind, hat jede strikt positive Zahlung
einen strikt positiven Wert, eine Zahlung von Null einen
Wert von Null. Damit ist die Existenz von
Arbitragemöglichkeiten ausgeschlossen.
© Dr. Daniel Sommer
144
… wie man NoNo-Arbitrage und Duplikation
in dynamischen Märkten nutzt
Zusammenhang zwischen AD-Preisen und
Wahrscheinlichkeitsmaßen:
Wir verallgemeinern die für die AD-Securities eingeführte Notation wie folgt:
Mehr-PeriodenModell :
Bewertung und
Erwartungswertbildung
PV 1(s, A; t , B ); s ≤ t , A ∈ Fs , B ∈ Ft
A: Zum Zeitpunkt s bekanntes Ereignis
B:.Zum Zeitpunkt t bekanntes Ereignis
PV1(s,A;t,B): Wert einer Zahlung von einer „Konsumeinheit“ zum Zeitpunkt t bei Eintritt von Ereignis B ermittelt zum Zeitpunkt s im Ereignis A.
Speziell:
PV 1(t 0 , Ω; t 2 , ω1 ) = PVADt0 (ω1 )
© Dr. Daniel Sommer
145
… wie man NoNo-Arbitrage und Duplikation
in dynamischen Märkten nutzt
Beispiele:
St1(ω1,2)=90
B(t1,t2)=1/1,1
Mehr-PeriodenModell :
Bewertung und
Erwartungswertbildung
St0=100
B(t0,t2)=(1/1,1)²
St1(ω3,4)=120
B(t1,t2)=1/1,1
.
A = {ω 1 , ω 2 }; B = {ω 3 , ω 4 }
St2(ω1)=80
B(t2,t2)=1
St2(ω2)=105
B(t2,t2)=1
St2(ω3)=100
B(t2,t2)=1
St2(ω4)=140
B(t2,t2)=1
PV 1(t1 , A ; t 2 , ω 3 ) = 0
PV 1(t 0 , ω 3 ; t 2 , ω 3 ) = nicht definiert
PV 1(t 0 , Ω ; t 2 , ω 1 ) =
8
121
2
PV 1(t1 , B ; t 2 , ω 3 ) =
11
© Dr. Daniel Sommer
146
… wie man NoNo-Arbitrage und Duplikation
in dynamischen Märkten nutzt
Martingal
St1(ω1,2)=90
B(t1,t2)=1/1,1
Mehr-PeriodenModell :
Bewertung und
Erwartungswertbildung
St0=100
B(t0,t2)=(1/1,1)²
St1(ω3,4)=120
B(t1,t2)=1/1,1
.
St2(ω1)=80
B(t2,t2)=1
St2(ω2)=105
B(t2,t2)=1
St2(ω3)=100
B(t2,t2)=1
St2(ω4)=140
B(t2,t2)=1
Wie zuvor gilt auch im Mehrperiodenmodell:
1
B (t 0 ; t 2 )
∑
4
i =1
PV 1(t 0 , Ω ; t 2 , ω i ) = 1
PVD ( t 0 ; t 2 ) = B (t 0 ; t 2 ) × Ε Q [D (t 2 ; ω • ) ]
Läßt sich der Preis des Derivates auch zum Zeitpunkt t1 auf den Ereignissen A und B als Erwartungswert der Endauszahlung darstellen?
© Dr. Daniel Sommer
147
… wie man NoNo-Arbitrage und Duplikation
in dynamischen Märkten nutzt
Martingal
MehrPeriodenModell :
PVD ( t1 , A ; t 2 ,ω • ) =
1
PV 1(t 0 , Ω ; t1 , A )
∑
2
i =1
PV 1(t 0 , Ω ; t 2 ,ω i )× D ( t 2 ; ω i )
speziell für D ( t 2 ; ω • ) ≡ 1
1
PV 1(t 0 , Ω ; t1 , A )
∑
2
i =1
PV 1(t 0 , Ω ; t 2 ,ω i ) = B ( t1 , A ; t 2 )
damit
Bewertung
und
Erwartungswertbildung
PV 1(t 0 , Ω ; t1 , A ) =
.
1
B ( t1 , A ; t 2 )
∑
2
i =1
PV 1(t 0 , Ω ; t 2 ,ω i )
damit
PVD ( t1 , A ; t 2 ,ω • ) = B ( t1 , A ; t 2 ) ×
= B ( t1 , A ; t 2 ) ×
∑
∑
PV 1(t 0 , Ω ; t 2 ,ω i )
2
i =1
2
i =1
∑
2
i =1
PV 1(t 0 , Ω ; t 2 ,ω i )
× D( t 2 ;ω i )
q( ω i | A ) × D ( t 2 ; ω i )
= B ( t1 , A ; t 2 ) × E Q [D ( t 2 ; ω • ) | A ]
ACHTUNG: Im Folgenden nutzen wir, daß Zinsen deterministisch sind.
© Dr. Daniel Sommer
148
… wie man NoNo-Arbitrage und Duplikation
in dynamischen Märkten nutzt
Martingal
Martingal: Ein an die Filtration F adaptierter
stochastischer Prozeß X heißt Martingal unter
dem Maß Q, wenn gilt:
Mehr-PeriodenModell :
Bewertung und
Erwartungswertbildung
[
]
X ti = E Q X t j | Fti ; i ≤ j
Beobachtung:
Unter dem aus den Preisen der
.
AD-Assets abgeleiteten Wahrscheinlichkeitsmaß
Q sind die Prozesse der Terminpreise aller
gehandelten Wertpapiere Martingale. Es gilt:
 D( t 2 ;ω• ) 
PVD( t1 , Ai ; t 2 ,ω• )
= EQ 
Ai 
B( t1 ; t 2 )
 B( t 2 ; t 2 ) 
∀Ai ∈ Ft1
oder allgemeiner
PVD( t j −1 , Ai ; t J ,ω• )
B( t j −1 ; t J )
© Dr. Daniel Sommer
 PVD( t j ,Ck ; t J ,ω• ) 
= EQ 
Ai 
B
(
t
;
t
)


j J
∀Ai ∈ Ft j−1 ; Ck ∈ Ft j
149
… wie man NoNo-Arbitrage und Duplikation
in dynamischen Märkten nutzt
Interpretation
Das aus den Preisen der AD-Securities abgeleitete Wahrscheinlichkeitsmaß Q ist das Martingalmaß für die Terminpreisprozesse aller gehandelten Wertpapiere. In einem vollständigen und
arbitragefreien Wertpapiermarktmodell ist dieses
Maß eindeutig, weil die aus duplizierenden und
selbstfinanzierenden Handelsstrategien abgeleiteten Preise aller AD-Securities eindeutig sind.
Mehr-PeriodenModell :
.
Bewertung und
Erwartungswertbildung
Unter dem Martigalmaß gilt: Die erwartete Rendite aller gehandelten Wertpapiere ist gleich und
entspricht in jeder Periode dem „risikofreien“
Periodenzinssatz:
e
© Dr. Daniel Sommer
(
rti −1 t j − t j −1
)
=


PVD ( t j ; ω • )
= EQ 
Ai 
B( t j −1 ; t J )
 PVD ( t j −1 , Ai ; t J ,ω • ) 
B( t j ; t J )
∀ Ai ∈ Ft j −1
150
… wie man ein Bewertungsmodell für
Optionen konstruiert
e µ∆t − d
p1 =
u−d
e − r∆t
Konstruktionsverfahren:
e r∆t − d
u−d
PVADt0(ω1)=
St0
− r∆t
B(t0,t1)= e
u − e µ∆ t
p2 =
u−d
.
2-PeriodenModell
PVADt1(ω1;ω1)=1
St1(ω1)=St0u
B(t1,t1)=1
PVADt1(ω1;ω2)=0
St1(ω2)= St0d
B(t1,t1)=1
Beobachtung 1: Unter dem physischen Wahrscheinlichkeitsmaß P ergibt sich für die erwartete Rendite
der Aktie:
St u
St d
µ∆t
p1 ×
0
S t0
+ p2 ×
0
S t0
=e
Da µ beliebig ist, gilt unter dem aus den Preisen
der AD-Securities abgeleiteten W-Maß Q:
q1 ×
© Dr. Daniel Sommer
S t0 u
S t0
+ q2 ×
St0 d
S t0
= e r∆t
151
… wie man ein Bewertungsmodell für
Optionen konstruiert
Wahl von u und d : Folgende Wahl von u und d erlaubt es, mit wachsender Genauigkeit eine vorgegebene Varianz der Aktienkursrendite σ2 im Modell
abzubilden:
σ ∆t
−σ ∆ t
Konstruktionsverfahren:
u =e
denn:
 p1u 2 + p 2 d 2 − [ p1u + (1 − p1 )d ]2
σ = lim 
∆ t → 0
∆t

2
.
2-PeriodenModell
; d =e
 e µ∆t (u + d ) − ud − e 2 µ∆t
= lim 
∆ t → 0
∆t

(
)








 e µ∆ t 2 + σ 2 ∆ t − 1 − e 2 µ∆ t
= lim 
∆ t → 0
∆t





 2 e µ∆ t − 1 − e 2 µ∆ t

= lim 
+ e µ∆ t σ 2 

∆ t → 0
∆t


© Dr. Daniel Sommer
152
… wie man ein Bewertungsmodell für
Optionen konstruiert
Beobachtung 2: Bei der gegebenen Wahl von u
und d ist das 2-Perioden-Modell arbitragefrei, solange die Zinsen nicht negativ sind und die Aktienkursentwicklung mit Unsicherheit behaftet, d.h., σ positiv ist.
Konstruktionsverfahren:
2-PeriodenModell
© Dr. Daniel Sommer
Beobachtung 3: Da µ in der vorangegangenen
Rechnung beliebig war, gilt auch unter dem aus
. Preisen der AD-Securities abgeleiteten Martinden
galmaß, daß das Modell bei der vorgegebenen
Wahl von u und d in der Lage ist, die vorgegebene
Varianz der Akienkursrendite für ∆t 0 mit beliebiger Genauigkeit zu treffen. D.h., der Wechsel
des W-Maßes ändert in diesem Modell die erwartete Rendite, nicht aber die Schwankung der
Rendite des Aktienkurses.
153
… wie man ein Bewertungsmodell für
Optionen konstruiert
Ein Mehr-Perioden-Modell erhält man durch
Aneinanderreihung von 2-Perioden-Modellen:
St1(ω1,2)=St0u
Konstruktionsverfahren:
B(t1,t2)=
Mehr-PeriodenModell
© Dr. Daniel Sommer
e − r∆t
St2(ω2)= St0ud= St2(ω3)
B(t2,t2)=1
St0
− r 2 ∆t
B(t0,t2)= e
.
St2(ω1)= St0uu
B(t2,t2)=1
St1(ω3,4)= St0d
B(t1,t2)=
e − r∆t
St2(ω4)= St0dd
B(t2,t2)=1
Beachte: Das Konzept, daß ein Pfad durch den
Baum einen Zustand der Welt repräsentiert, ist
auch hier nach wie vor gültig, auch wenn der
Aktienkurs zu einem Zeitpunkt nur von der Anzahl,
nicht aber von der Reihenfolge der up- und downmoves abhängt.
154
… wie man ein Bewertungsmodell für
Optionen konstruiert
Vorgehensweise: Die Bewertung erfolgt durch
rekursive Erwartungswertbildung über den Zahlungsstrom der Option unter dem Martingalmaß
und Diskontierung unter dem „risikofreien“ Zinssatz:
Bewertung
Europäischer
Optionen
St1(ω1,2)=St0u
.
St0
− r 2 ∆t
B(t0,t2)=e
B(t1,t2)= e − r∆t
St1(ω3,4)= St0d
− r∆t
B(t1,t2)= e
[
Ct0 (Ω) = B(t 0 ; t1 ) × E Q Ct1 Ft0
]
Ct2(ω1)= [St0uu-K]+
St2(ω1)= St0uu
B(t2,t2)=1
Ct2(ω2,3)= [St0-K]+
St2(ω2,3)= St0
B(t2,t2)=1
Ct2(ω4)= [St0dd-K]+
St2(ω4)= St0dd
B(t2,t2)=1
[ ]
[C F ]
Ct1 (ω1 , ω 2 ) = B (t1 ; t 2 ) × E Q Ct 2 Ft1
Ct1 (ω3 , ω 4 ) = B(t1 ; t 2 ) × E Q
© Dr. Daniel Sommer
t2
t1
155
… wie man ein Bewertungsmodell für
Optionen konstruiert
Vorgehensweise: Die Bewertung erfolgt durch
rekursive Erwartungswertbildung über den Zahlungsstrom der Option unter dem Martingalmaß
und Diskontierung unter dem „risikofreien“ Zinssatz:
Bewertung
Amerikanischer
Optionen
Ct2(ω1)= [K-St0uu]+
St2(ω1)= St0uu
B(t2,t2)=1
St1(ω1,2)=St0u
.
St0
− r 2 ∆t
B(t0,t2)=e
B(t1,t2)= e − r∆t
Ct2(ω2,3)= [K-St0]+
St2(ω2,3)= St0
B(t2,t2)=1
St1(ω3,4)= St0d
− r∆t
B(t1,t2)= e
[
[
]
Pt0 (Ω) = max B (t 0 ; t1 ) × E Q Pt1 Ft0 ; K − S t0
Ct2(ω4)= [K-St0dd]+
St2(ω4)= St0dd
B(t2,t2)=1
]
[
) = max [B ( t ; t
[
[P
]
]
F ]; K − S ]
Pt1 ( ω 1 ,ω 2 ) = max B ( t1 ; t 2 ) × E Q Pt 2 Ft1 ; K − S t1
Pt1 ( ω 3 ,ω 4
© Dr. Daniel Sommer
1
2
)× E Q
t2
t1
t1
156
… wie man ein Bewertungsmodell für
Optionen konstruiert
Vorgehensweise: Berechne die duplizierende,
selbstfinanzierende Portfoliostrategie für die
Option:
C (ω )
t1
1,2
St1(ω1,2)=St0u
B(t1,t2)= e − r∆t
Options-Delta
und OptionsHedgingstrategie
St0
− r 2 ∆t
B(t0,t2)=e
.
Ct1(ω3,4)
St1(ω3,4)= St0d
− r∆t
B(t1,t2)= e
θ tS1 =
C t1 ( ω 1 , 2 ) − C t 1 ( ω 3 , 4 )
S t1 ( ω 1 , 2 ) − S t1 ( ω 3 , 4 )
=
∆ C t1
∆ S t1
Interpretation: Der Aktienanteil an der duplizierenden, selbstfinanzierenden Portfoliostrategie entspricht der „Ableitung“ des Optionspreises nach
dem Aktienkurs.
© Dr. Daniel Sommer
157
… wie man ein Bewertungsmodell für
Optionen konstruiert
Idee: Berechne den Erwartungswert der diskontierten Zahlungsströme unter dem Martingalmaß
Su
6
5
Sdu
Sd
[
PVCt0 ( St0 ; K ,T ) = B( t 0 ,T ) × E [ST − K ]
= B( t 0 ,T ) ×
+
J ( T ,∆t )  J 
∑
j > a*


u
Sdu
4
Sd
2
5
− K
u
4
u
3
Sd
4
u
2
0
Sd
5
u
1
0
]
Sd
6
(
)
 × q j ( 1 − q ) J − j × u j d J − j S − K
j
− K
K
3
J ( T ,∆t )  J 
0
0
J ( T ,∆t )  J 
  × ( qu ) j (( 1 − q )d )J − j × e −r∆tJ − B( t0 ,T ) × K ×
  × q j ( 1 − q ) J − j
j >a
j > a*
j
 
 j
J ( T ,∆t )  J 
J ( T ,∆t )  J 
J− j
  × ( q∗ ) j 1 − q∗
  × q j ( 1 − q ) J − j
− B( t0 ,T ) × K ×
*
*
j >a
j
>
a
 j
 j
= S×
∑
= S×
∑
mit
2
− K
6
Sd
S
Die Bewertungsformel für Europäische Calls im
Binomialbaum
Su
∗
∑
*
(
)
∑
∗
u a d J −a S = K
© Dr. Daniel Sommer
158
… wie man ein Bewertungsmodell für
Optionen konstruiert
Idee: Betrachte im Binomialmodell die Situation
∆t 0, wobei die Varianz des Logarithmus des
Aktienkurses über einem beliebigen Zeitintervall
[0;t], d.h. σ²t, konstant gehalten wird.
PVCt (St ; K , T ) = B(t0 , T ) × E[[ST − K ]+ ]
0
Die Bewertungsformel für Europäische Calls im
Grenzwert für
stetige Zeit
J
(
)
−
B
(
t
,
T
)
×
K
×
∑
∑  j  × q (1 − q)
× (1 − B(a ; q , J (T , ∆t )))− B(t , T ) × K × (1 − B(a ; q, J (T , ∆t )))
J (T , ∆t )  J 
= St0 ×
= St0
j >a


*
∗
 × (q∗ ) j 1 − q∗
j
J (T , ∆t )
J− j
0
∗
j
J− j
j > a*
∗
0
Wegen des Zentralen Grenzwertsatzes
konvergieren binomialverteilte Zufallsvariablen in Verteilung gegen normalverteilte Zufallsvariabeln
St0
St 0




1
1
 ln
 ln
+ σ 2T 
− σ 2T 
 K × B(t0 , T ) 2

 K × B(t 0 , T ) 2

St0 × N
 − K × B(t0 , T ) × N

σ T
σ T












kumulierte
Binomialverteilung
an
der
Stelle
a
mit
ErfolgswahrB a; p, n :
scheinlichkeit p und n Versuchen
(
N(x) :
© Dr. Daniel Sommer
0
)
kumulierte Standardnomalverteilung an der Stelle x
159
… wie man ein Bewertungsmodell für
Optionen konstruiert
Delta: Marginale Änderung des Optionspreises bei
marginaler Erhöhung des Aktienkurses: bei Calls
positiv, bei Puts negativ.
Gamma: Marginale Änderung des Deltas bei marginaler Erhöhung des Aktienkurses: bei Calls und
Puts positiv.
Optionspreissensitivitäten:
Die „Griechen“
Vega: Marginale Änderung des Optionspreises bei
marginaler Erhöhung der Volatilität (d.h. Varianz
oder
Standardabweichung) der Aktienkursrendite:
.
bei Calls und Puts positiv.
Rho: Marginale Änderung des Optionspreises bei
marginaler Erhöhung des Zinssatzes: bei Calls
positiv, bei Puts negativ.
Theta: Marginale Änderung des Optionspreises bei
marginaler Reduzierung der Restlaufzeit: bei Calls
negativ, bei Puts i.d.R. negativ, aber ggf. positiv bei
ITM Puts.
© Dr. Daniel Sommer
160
… wie man ein Bewertungsmodell für
Optionen konstruiert
Portfolio-Preis
Portfolio-Vega
35
20
30
15
20
Vega
Preis
25
15
10
10
5
5
0
20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80
Aktienkurs
Aktienkurs
Portfolio-Delta
Portfolio-Theta
0,8
0
-1 20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80
0,6
-2
Theta
1
Delta
Die
Griechen
für
Standard
Calls
0
20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80
0,4
0,2
-3
-4
-5
0
20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80
-6
Aktienkurs
Aktienkurs
Portfolio-Gam m a
Portfolio-Rho
0,03
0,02
Rho
Gamma
0,025
0,015
0,01
0,005
0
© Dr. Daniel Sommer
35
30
25
20
15
10
5
0
20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80
20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80
Aktienkurs
Aktienkurs
161
… wie man ein Bewertungsmodell für
Optionen konstruiert
Portfolio-Preis
Portfolio-Vega
35
20
30
15
20
Vega
Preis
25
15
10
10
5
5
0
20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80
Aktienkurs
Aktienkurs
Portfolio-Delta
Portfolio-Theta
0
-0,2 20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80
2
1
Theta
-0,4
Delta
Die
Griechen
für
Standard
Puts
0
20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80
-0,6
-0,8
0
-1 20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80
-2
-3
-1
-4
-1,2
-5
Aktienkurs
Aktienkurs
Portfolio-Gam m a
Portfolio-Rho
0,03
0
20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80
-10
0,02
0,015
Rho
Gamma
0,025
0,01
0,005
-20
-30
0
20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80
Aktienkurs
© Dr. Daniel Sommer
-40
Aktienkurs
162
… wie man ein Bewertungsmodell für
Optionen konstruiert
Portfolio-Vega
35
6
30
4
25
2
20
Vega
Preis
Portfolio-Preis
15
10
5
-8
20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80
-10
Aktienkurs
Aktienkurs
Portfolio-Delta
Portfolio-Theta
1,2
15
10
0,8
Theta
Delta
1
0,6
0,4
0,2
20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80
0
Aktienkurs
Portfolio-Gam m a
Portfolio-Rho
0,2
Rho
0,1
0,05
0
-0,05 20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80
-0,1
Aktienkurs
20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80
-10
Aktienkurs
Gamma
5
-5
0
0,15
© Dr. Daniel Sommer
-4
-6
0
Die
Griechen
für Call
Spreads
(kurze
Laufzeit)
0
-2 20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80
4
3
2
1
0
-1 20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80
-2
-3
-4
Aktienkurs
163
… wie man ein Bewertungsmodell für
Optionen konstruiert
Portfolio-Preis
Portfolio-Ve ga
35
30
30
25
20
20
Vega
Preis
25
15
10
10
5
5
0
0
20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80
20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80
Aktienkurs
Aktienkurs
Portfolio-Delta
Portfolio-Theta
1,5
2
1
0
0
-0,5 20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80
Theta
0,5
Delta
Die
Griechen
für long
Straddles
15
-2
20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80
-4
-6
-1
-1,5
-8
Aktienkurs
Aktienkurs
0,1
30
0,08
20
0,06
10
0,04
0,02
0
-10 20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80
-20
0
20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80
Aktienkurs
© Dr. Daniel Sommer
Portfolio-Rho
Rho
Gamma
Portfolio-Gam m a
-30
Aktienkurs
164
… wie man ein Bewertungsmodell für
Optionen konstruiert
Portfolio-Preis
Portfolio-Vega
12
14
10
12
10
Vega
Preis
8
6
4
6
4
2
2
0
0
20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80
20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80
Aktienkurs
Aktienkurs
Portfolio-Delta
Portfolio-Theta
1
2
0
-2 20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80
0
-0,5
20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80
Theta
0,5
Delta
Die
Griechen
für long
Strangles
8
-4
-6
-1
-8
-1,5
-10
Aktienkurs
Aktienkurs
15
0,14
0,12
0,1
0,08
0,06
0,04
0,02
0
10
5
0
-5
20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80
Aktienkurs
© Dr. Daniel Sommer
Portfolio-Rho
Rho
Gamma
Portfolio-Gam m a
20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80
-10
Aktienkurs
165
… wie man ein Bewertungsmodell für
Optionen konstruiert
Portfolio-Preis
Portfolio-Vega
3
5
2
0
20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80
0
-1
-3
-10
-20
Aktienkurs
Aktienkurs
Portfolio-Delta
5
4
3
Theta
0,3
0,2
0,1
0
-0,1 20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80
-0,2
-0,3
-0,4
-0,5
Portfolio-Theta
2
1
0
-1 20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80
-2
Aktienkurs
Was ist
falsch?
Aktienkurs
Portfolio-Gamm a
Portfolio-Rho
0,08
10
5
0,04
0,02
Rho
Gamma
0,06
0
0
-5
20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80
-0,02 20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80
-10
-0,04
-0,06
-15
Aktienkurs
© Dr. Daniel Sommer
-5
-15
-2
Delta
Die
Griechen
für long
Butterflyspreads
20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80
Vega
Preis
1
Aktienkurs
166
… wie man ein Bewertungsmodell für
Optionen konstruiert
Portfolio-Vega
3
6
2,5
4
2
2
1,5
Vega
Preis
Portfolio-Preis
1
-4
0,5
-6
0
20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80
-8
Aktienkurs
Aktienkurs
Portfolio-Delta
Portfolio-Theta
0,2
2
0,15
1,5
1
Theta
0,1
Delta
Die
Griechen
für long
Butterflyspreads
0
-2 20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80
0,05
0
-0,05 20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80
0,5
0
-0,5 20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80
-1
-0,1
-1,5
Aktienkurs
Richtig!
Aktienkurs
0,02
0,015
0,01
0,005
0
-0,005 20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80
-0,01
-0,015
-0,02
Aktienkurs
© Dr. Daniel Sommer
Portfolio-Rho
4
2
Rho
Gamma
Portfolio-Gamm a
0
-2
20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80
-4
-6
Aktienkurs
167
… wie man ein Bewertungsmodell für
Optionen konstruiert
Portfolio-Vega
10
2
8
1
6
0
Vega
Preis
Portfolio-Preis
4
2
20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80
-2
0
-2
-1
-3
20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80
-4
Aktienkurs
Portfolio-Delta
Portfolio-Theta
1,5
150
1
100
0
-0,5 20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80
Theta
0,5
Delta
Welche
Position
hat der
Händler?
Aktienkurs
50
0
-50
-1
-1,5
-100
Aktienkurs
Aktienkurs
Portfolio-Gam m a
Portfolio-Rho
1,5
0,3
0,2
0,1
0,5
Rho
Gamma
1
0
-0,5
20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80
0
-0,1 20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80
-0,2
-0,3
-1
-0,4
Aktienkurs
© Dr. Daniel Sommer
20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80
Aktienkurs
168
… wie man ein Bewertungsmodell für
Optionen konstruiert
Portfolio-Vega
40
14
30
12
20
10
10
8
0
-10 20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80
Vega
Preis
Portfolio-Preis
-20
6
4
2
-30
0
-2 20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80
-40
Aktienkurs
Aktienkurs
Portfolio-Delta
0
-0,2 20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80
Theta
-0,4
Delta
Was ist
falsch?
Portfolio-Theta
-0,6
-0,8
-1
-1,2
-1,4
2
1
0
-1 20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80
-2
-3
-4
-5
-6
Aktienkurs
Aktienkurs
Portfolio-Gam m a
Portfolio-Rho
0,04
0
20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80
-10
0
-0,02 20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80
-0,04
-0,06
Rho
Gamma
0,02
-20
-30
-0,08
-0,1
-40
Aktienkurs
© Dr. Daniel Sommer
Aktienkurs
169
… wie man ein Bewertungsmodell für
Optionen konstruiert
Portfolio-Preis: Delta-neutral
Portfolio-Vega
1
14
12
10
0,6
Vega
Preis
0,8
0,4
0,2
8
6
4
2
0
-2 20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80
0
20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80
Aktienkurs
Portfolio-Delta: Delta-neutral
Portfolio-Theta: Delta-neutral
1
0
-1 20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80
0,8
-2
0,6
Theta
Delta
Wie man
den Fehler nutzen kann
Aktienkurs
0,4
0,2
-3
-4
-5
0
-6
20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80
-7
Aktienkurs
Aktienkurs
0,04
1
0,02
0,8
0
-0,02 20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80
-0,04
0,6
0,4
-0,06
0,2
-0,08
0
20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80
-0,1
Aktienkurs
© Dr. Daniel Sommer
Portfolio-Rho: Delta-neutral
Rho
Gamma
Portfolio-Gamm a
Aktienkurs
170
… wie man ein Bewertungsmodell für
Optionen konstruiert
Idee: Betrachte das Theta eines delta-neutralen
Portofolios
Das delta-neutrale Portfolio ist wie folgt zusammengesetzt:
ökonomische
Interpretation
Kauf des ursprünglichen Options-Portfolios PF und
Finanzierung auf Kredit für eine Laufzeit kleiner der
Laufzeit der Optionen
Kauf von Aktien in der Anzahl des negativen Deltas
von PF und Finanzierung auf Kredit für eine Laufzeit kleiner der Laufzeit der Optionen
Zusammensetzung und Wert des delta-neutalen
Portfolios:
PVPF ∆neutral t =
∂PVPF
× St
PVPF t
∂PVPF
∂
S
PVPF t −
× B (t , T ) −
× St +
× B (t , T ) = 0
B (t , T )
∂
S
B
(
t
,
T
)
1
424
3
123
14
4244
3
const .
© Dr. Daniel Sommer
const .
const .
171
… wie man ein Bewertungsmodell für
Optionen konstruiert
Das Thea des delta-neutralen Portfolios ergibt sich
zu:
∂PVPF∆neutralt
=
∂t
ökonomische
Interpretation


 ∂PVPF

t
∂
× St 
∂PVPFt
S4
 1

4∂2
3
× St
∂PVPFt
PVPFt
const.


∂
S
−r×
× B(t , T ) −
+r×
× B(t , T ) =
∂t
B(t , T )
∂
t
B
(
t
,
T
)
1442443
123
14
4244
3
const.
=0
const.
∂PVPFt
∂PVPFt


− r ×  PVPFt −
× St 
∂t
∂S


Arbitragefreiheit erfordert, daß gilt:
∂PVPF ∆ neutral t
=
∂t
∂PVPF t
∂ PVPF t
∂ 2 PFt


− r ×  PVPF t −
× St  ∝ −
∂t
∂S
∂S t2


© Dr. Daniel Sommer
172
… wie man ein Bewertungsmodell für
Optionen konstruiert
Idee: Nutze Verstoß gegen die Put-Call-Parität
Portfolio-Preis
30
20
10
Preis
Wie man
den Fehler auch
nutzen
kann
40
0
-10 20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80
-20
-30
-40
Aktienkurs
© Dr. Daniel Sommer
173
Modul IV
In diesem Modul wird diskutiert
• wie man einen Überblick über die Welt der
exotischen Optionen gewinnen kann,
Besondere
Bewertungsalgorithmen:
• ob und wie man einige exotische Optionen
in den bisher diskutierten Modellen bewerten kann,
Exotische
Optionen und
Dividenden
• welche besonderen Charakteristika bestimmte exotische Optionen aufweisen und
welche Konsequenzen dies für das
Hedging hat,
• wie man Dividenden in das bisherige
Bewertungsmodell einbauen kann.
© Dr. Daniel Sommer
174
… wie man einen Überblick über exotiexotische Optionen gewinnen kann
DigitalOptionen
Cash-Or-Nothing
Asset-Or-Nothing
von expliziten Schranken abhängig
von Optimalitätskriterien abhängig
Versuch einer
Klassifizierung
Achtung:
Jede Klassifizierung ist unvollständig!
pfadabhängige Optionen
von Kursdurchschnitt abhängig
(Asian Options)
von Kursextrema abhängig
(Lookback Options)
exotische
Optionen
Forward-Start/ Cliquet/ Reverse
Cliquet/ Napoleon
Spread zwischen zwei Assets
korrelationsabhängige
Optionen
best/worst-of (Rainbow) Optionen
Outperformance Optionen
Quanto Optionen
pfad- und korrelationsabhängige Optionen
© Dr. Daniel Sommer
Outside-Barrier Optionen
Himalaya Optionen
175
… wie man einen Überblick über exotiexotische Optionen gewinnen kann
Barrier up/down-and-in/out
Continuous/Discrete Monitoring
von expliziten
Schranken
abhängig
Partial/Window/Double Barriers
Parisian Option
Range accruals: Hamster etc.
pfadabhängige
Optionen im
Detail
pfadabhängige
Optionen
von Optimalitätskriterien
abhängig
Simple/Complex Chooser
von Kursdurchschnitt
abhängig
Geom. /Arithm. Avg. Rate
von
Kursextrema
abhängig
max/min Rate
Option-on-Option (Compund)
Geom. /Arithm. Avg. Strike
max/min Strike
Forward-Start/(Reverse)Cliquet/Napoleon
© Dr. Daniel Sommer
176
… was man über Charakteristika und
Bewertung sagen kann
Payoff eines Cash-or-Nothing Call:
Payoff eines Cash-or-Nothing Put:
Europäische
Digitaloptionen
Payoff eines Asset-or-Nothing Call:
Payoff eines Asset-or-Nothing Put:
© Dr. Daniel Sommer
177
… was man über Chrakteristika und
Bewertung sagen kann
Cash-or-Nothing Call
Hedge-Portfolio für CON-Call in der Nähe
des Strikepreises K2 ist nicht beherrschbar,
Gamma geht gegen Unendlich, daher
Hedging und Bewertung in der Praxis über
Call-Spreads.
Europäische
Digitaloptionen
CallSpread
. Payoff
K2-K1
K1
ST
K2
CON-Call
Kauf: C(K1,T,E); Verkauf: C(K2,T,E)
© Dr. Daniel Sommer
178
… was man über Charakteristika und
Bewertung sagen kann
Payoff Up-and-In Barrier Call:
Su
6
Su
5
Sdu
Sdu
B
Sd
S
Europäische
Pfadabhängige
Optionen:
Barrier-Optionen
4
u
Sd
2
5
− K
u
4
− K
0
− K
0
K
Sd
3
u
3
Sd
4
u
2
0
Sd
5
u
1
0
Sd
6
0
0
Payoff Up-and-Out Barrier Call:
Su
6
S
0
0
5
Sdu
Sd
© Dr. Daniel Sommer
2
− K
6
B
2
u
4
Sd
2
u
4
K
Sd
3
u
3
Sd
4
u
2
0
Sd
5
u
1
0
Sd
6
0
0
179
… was man über Charakteristika und
Bewertung sagen kann
Bewertung von Barrier Optionen:
Die Bewertung von Out-Barrier-Optionen kann im Binomialbaum durch Rückwärtsinduktion erfolgen. Dabei
wird der Wert der Option jeweils bei Berühren der Barriere auf Null gesetzt.
Europäische
Pfadabhängige
Optionen:
Barrier-Optionen
Zur Bewertung von In-Barrier-Optionen kann man die
Tatsache nutzen, daß für sonst gleiche Optionstypen
In-Barrier-Option plus Out-Barrier-Option =
Standard-Option
ist.
Beachte aber folgende Probleme bei der Bewertung
von Barrier-Optionen im Baum:
Fehlbewertung und schlechte Konvergenzeigenschaften der Bewertung im Baum, falls die Barriere
nicht auf Knoten des Baumes fällt.
Fehlbewertung und schlechte Konvergenzeigenschaften, falls die Optionsdefinition eine kontinuierliche
Beobachtung der Barriere verlangt.
© Dr. Daniel Sommer
180
… was man über Charakteristika und
Bewertung sagen kann
Veranschaulichung der Fehlbewertung von Barrier
Optionen und der schlechten Konvergenzeigenschaften des Binomialmodells bei nicht auf den
Baumknoten liegenden Barrieren:
Europäische
Pfadabhängige
Optionen:
Barrier-Optionen
© Dr. Daniel Sommer
181
… was man über Charakteristika und
Bewertung sagen kann
Hedging von Barrier Optionen:
Europäische
Pfadabhängige
Optionen:
Barrier-Optionen
Aufgrund der Diskontinuität im Preis an der Barriere
sind Barrier-Optionen schwieriger zu hedgen als
Standard-Optionen (sehr hohes Gamma in der Nähe
der Barriere).
Besonders problematisch bei Up-and-Out Calls und
Down-and-Out Puts. Weniger bedeutsam bei Downand-Out/In Call oder Up-and-Out/In Put. (Warum?)
Praktische Abhilfe:
Verschiebung der Barriere und Überhedging der
Optionen (Wohin?)
Statisches Hedging
© Dr. Daniel Sommer
182
… was man über Charakteristika und
Bewertung sagen kann
Statisches Hedging von Barrier Optionen:
Methode von Derman, Egerer, Kani (1995)
Europäische
Pfadabhängige
Optionen:
Barrier-Optionen
© Dr. Daniel Sommer
183
… was man über Charakteristika und
Bewertung sagen kann
Partial-/Window-, Double-Barrier und Parisian
Options:
Partial-/Window-Barriers:
Europäische
Pfadabhängige
Optionen:
Barrier-Optionen
Die Barriere-Bedingung gilt nur für einen Teil der Laufzeit
der Option, der entweder am Anfang oder Ende der Laufzeit (Partial) oder in irgendeinem Fenster zwischen Beginn
und Ende der Laufzeit (Window) liegt.
Double-Barriers:
Es gibt eine obere und eine untere Schranke. Überqueren
oder Berühren einer der beiden Schranken genügt, um die
mit der Barriere verbundenen Konsequenzen (In/Out)
auszulösen.
© Dr. Daniel Sommer
184
… was man über Charakteristika und
Bewertung sagen kann
Partial-/Window-, Double-Barrier und Parisian
Options:
Parisians:
Europäische
Pfadabhängige
Optionen:
Barrier-Optionen
© Dr. Daniel Sommer
Es genügt nicht, die Barriere zu einem einzigen Zeitpunkt
zu berühren oder zu überqueren. Um die damit verbundenen Konsequenzen auszulösen, muß sich der Aktienkurs während eines vorher festgelegten Mindestzeitraums
laufend jenseits der Barriere aufhalten.
Die „Uhr“ beginnt jedesmal von vorne zu laufen, wenn die
Barriere überschritten wird, bis entweder der Fälligkeitstermin der Option erreicht ist oder sich der Kurs der Aktie
für ein Zeitintervall von mindestens der vorgeschriebenen
Länge dauerhaft jenseits der Barriere aufgehalten hat.
185
… was man über Charakteristika und
Bewertung sagen kann
Hamster, Hase, Boost:
Su
6
5
Sdu
S
Europäische
Pfadabhängige
Optionen: Range
Accrual Options
Sd
2
u
4
Sd
3
u
3
Sd
4
u
2
Sd
5
u
1
Sd
6
Hamster:
B
B
d
u
Am Ende der Laufzeit wird für jeden Handelstag der
Laufzeit, an dem der Aktienkurs innerhalb der Schranken
lag eine Geldeinheit gezahlt.
Hase:
Am Ende der Laufzeit wird für jeden Handelstag der
Laufzeit, an dem der Aktienkurs außerhalb der Schranken
lag eine Geldeinheit gezahlt.
Boost:
Nur wenn der Kurs während der gesamten Laufzeit
innerhalb der Schranken gelegen hat, erfolgt eine
Zahlung in vorher festgelegter Höhe.
© Dr. Daniel Sommer
186
… was man über Charakteristika und
Bewertung sagen kann
Vegaposition beim Hamster
Su
6
Vega
5
Sdu
S
Europäische
Pfadabhängige
Optionen: Range
Accrual Options
2
u
4
Sd
3
u
3
Sd
4
u
2
Sd
5
u
1
Sd
6
Su
6
Vegaposition beim Hasen
B
d
Vega
B
Sd
2
u
4
Sd
3
u
3
Sd
4
u
2
Sd
5
u
1
Sd
6
< 0
u
Vega
> 0
Vega
< 0
5
Sdu
S
© Dr. Daniel Sommer
Sd
> 0
B
d
Vega
B
> 0
u
Vega
< 0
187
… was man über Charakteristika und
Bewertung sagen kann
S
Put
vorteilhaft
Europäische
Pfadabhängige
Optionen:
Chooser
Optionen
Call
vorteilhaft
Payoff und Bewertung einer Chooser Option
Su
6
0
5
Sdu
Sd
2
u
4
Sd
3
u
3
Sd
4
u
2
Sd
5
u
1
Sd
6
K − Sd
4
u
2
Zeitpunkt der Entscheidung
zwischen Call und Put
Die Bewertung der Chooser Option kann per Rückwärtsinduktion erfolgen:
Man bewertet zunächst sowohl Put wie Call.
Am Entscheidungszeitpunkt läßt man in jedem Knoten die billigere der
beiden Optionen fallen und führt die Bewertung mit der jeweils
verbleibenden Option zu Ende.
© Dr. Daniel Sommer
188
… was man über Charakteristika und
Bewertung sagen kann
Complex und Simple Chooser Option
Complex Chooser:
Strike und Laufzeit von Put und Call sind unterschiedlich.
Europäische
Pfadabhängige
Optionen:
Chooser
Optionen
Simple Chooser:
Strike und Laufzeit von Put und Call sind gleich.
Bewertung von Simple Chooser Optionen am
und vor dem Auswahltermin
PVsimChooser = max[PVC (t ; K , T , E ); PVP (t ; K , T , E )]
= max[PVC (t ; K , T , E ); PVC (t ; K , T , E ) − S t + K × B (t , T )]
= PVC (t ; K , T , E ) + max[0; K × B(t , T ) − S t ]
→ PVC (0; K , T , E ) + PVP (0; K × B (t , T ), t , E )
© Dr. Daniel Sommer
189
… was man über Charakteristika und
Bewertung sagen kann
Europäische
Pfadabhängige
Optionen:
Compound
Optionen
S
Ausübung
unvorteilhaft
Ausübung
vorteilhaft
Payoff und Bewertung eines Call on Call
Su
6
5
Sdu
0
Sd
2
u
4
Sd
3
u
3
Sd
4
u
2
Sd
5
u
1
Sd
6
Sdu
5
− K
0
Zeitpunkt der Entscheidung
Zeitpunkt der Entscheidung
über Ausübung der 1. Option über Ausübung der 2. Option
Die Bewertung der Call on Call Option kann per Rückwärtsinduktion
erfolgen:
Man bewertet zunächst den 2. Call.
Am Entscheidungszeitpunkt setzt man in jedem Knoten, in dem der Strike
der ersten Option größer als der Wert der 2. Option ist, den Wert des Callon-Call auf Null und führt die Bewertung zu Ende.
Weitere Compound Optionen sind: Call-on-Put, Put-on-Put, Puton-Call
© Dr. Daniel Sommer
190
… was man über Charakteristika und
Bewertung sagen kann
Geometrisches Mittel
A g , d (t1 , t n ) := n
∏
n
i =1
S ti
 1 T

A g ,c (t , T ) := exp
ln (S t )dt 
T −t t

∫
Arithmetisches Mittel
Europäische
Pfadabhängige
Optionen:
Asiatische
Optionen
A a , d (t1 , t n ) :=
1
n
∑
n
i =1
S ti
A a ,c (t , T ) :=
1 T
S t dt
t
T −t
∫
Asians und Asian-Strikes
[
CAsian := max AT•,• − K ;0
[
]
[
PAsian := max K − AT•,• ;0
CAsianStrike := max ST − AT•,• ;0
]
]
[
PAsianStrike := max AT•,• − ST ;0
]
Für die Bewertung von Asiatischen Optionen unter Nutzung von geometrischen Mitteln lassen sich im Black-Scholes-Modell geschlossene
Formeln ableiten. Asiatische Optionen auf arithmetische Mittel kann
man im Binomialbaum nur unter Einführung einer weiteren Dimension für
den aufgelaufenen Mittelwert, durch Monte-Carlo-Simulation oder durch
andere numerische Verfahren bewerten. Ein geschlossene Formel
existiert im Black-Scholes-Modell nicht.
© Dr. Daniel Sommer
191
… was man über Charakteristika und
Bewertung sagen kann
Kursextrema
M (t , T ) := max Ss
s∈[t ,T ]
Europäische
Pfadabhängige
Optionen:
Lookback
Optionen
m(t , T ) := min Ss
s∈[t ,T ]
Lookbacks und Lookback-Strikes
CMLookback := max[M ( t ,T ) − K ;0]
PMLookback := max[K − M ( t ,T );0]
CmLookbackStrike := max[ST − m( t ,T );0]
PmLookbackStrike := max[M ( t ,T ) − ST ;0]
Für die Bewertung von Lookback Optionen existieren geschlossene
Formeln im Black-Scholes-Modell. Darüber hinaus können sie mit Hilfe der
Monte-Carlo Simulation bewertet werden.
Wichtig ist wie bei Barrier-Optionen die Häufigkeit der Kursbeobachtung
zur Ermittlung des Extremums entlang eines Aktienkurspfades.
© Dr. Daniel Sommer
192
… was man über Charakteristika und
Bewertung sagen kann
Forward-Start-Option
Europäische
Pfadabhängige
Optionen:
Forward-Starts
und Cliquets
Option wird zum Zeitpunkt t0 abgeschlossen, Laufzeit beginnt
aber erst zu einem Zeitpunkt t1>t0. Strike wird erst zum Zeitpunkt t1 als Prozentsatz des dann gültigen Aktienkurses St1
festgelegt.
Vorteil: Optionspreis ist unabhängig von der Aktienkursentwicklung und eventuellen Dividendenzahlungen zwsichen t0 und t1.
Nachteil: Die zum Zeitpunkt t1 gültige Volatilität muß heute
prognostiziert werden.
Cliquet-Option
Serie von relativ kurz laufenden Forward-Start-Optionen, die
jeweils ein bestimmtes Zeitintervall in der Zukunft abdecken.
© Dr. Daniel Sommer
193
… was man über Charakteristika und
Bewertung sagen kann
Zahlung in Periode i:
Europäische
Pfadabhängige
Optionen:
Napoleon
t1
Mit B=8% halbjährlich
ergibt sich in Periode
i=1 eine Zahlung von
7% und in Periode i=2
eine Zahlung von 0%.
t2
© Dr. Daniel Sommer
194
… was man über Charakteristika und
Bewertung sagen kann
Zahlung am Ende der Laufzeit:
Europäische
Pfadabhängige
Optionen:
Reverse Cliquet
© Dr. Daniel Sommer
Mit X=50% ergibt sich
am Ende der Laufzeit
eine Zahlung von
11,59% .
195
… was man über Charakteristika und
Bewertung sagen kann
Spread-Put-Option
[ (
)]
Spread-Call-Option
[(
)
max K − αST1 − ST2 ;0 max α S T1 − S T2 − K ;0
Rainbow-PutOptionen
Europäische
korrelationsabhängige Optionen
[
(
max [K − min (αS
)]
Rainbow-CallOptionen
[ (
);0] max[min(αS
]
]
)− K ;0]
)
max K − max αST1 ; ST2 ;0 max max αST1 ; ST2 − K ;0
1
T
; ST2
1
T
; ST2
Outperformance-Optionen
 S 1 S 2  
max T1 − T2 ;0
 St0 S t0  
 

© Dr. Daniel Sommer
[
]
max ST1 − K ;0 ×1
S1
S2 
 1T >α T2 
 St0
St0 
196
… was man über Charakteristika und
Bewertung sagen kann
Quanto-Optionen
Idee: Spekulation auf Aktien, die in fremden Währungen gehandelt werden, ohne daß man das
Wechselkursrisiko tragen möchte.
Europäische
korrelationsabhängige Optionen
Problem: Wert einer Option auf den Kauf einer IBMAktie in New York hängt nicht nur vom Kurs der
IBM-Aktie, sondern auch vom Wechselkurs ab.
Lösungsansatz: Unterstelle, daß der Kurs der IBMAktie in New York nicht den US-Dollar-Wert der
Aktie, sondern den EUR-Wert der Aktie darstellt
und zahle in EUR
max[S IBM − NY − EUR − K EUR ;0]
Beachte: Der EUR-Wert einer in New York gehandelten Standardoption auf IBM wäre:
e EUR × max[S IBM − NY − KUSD ;0]
USD
© Dr. Daniel Sommer
197
… was man über Charakteristika und
Bewertung sagen kann
Aktienkursmodell
Europäische
korrelationsabhängige Optionen: ein Bewertungsmodell


1

S t10 + ∆t = S t10 exp  r − σ 12 ∆t + σε 1 ∆t 
2



 

1
1

= S t10 1 +  r − σ 12 ∆t + σε 1 ∆t + σ 12 ({
ε 1 )2 ∆t + o(∆t )
 

2
2

=1


(
)
= S t10 1 + r∆t + σε 1 ∆t + o(∆t )
(
)


1

S t20 + ∆t = S t20 exp  r − σ 22 ∆t + σ 2  ε 1 ρ + ε 2 1 − ρ 2  ∆t 


2



(
)
(
)


= S t20 1 + r∆t + σ 2  ε 1 ρ + ε 2 1 − ρ 2  ∆t + σ 22ε 1ε 2 ρ 1 − ρ 2 ∆t + o(∆t )




i .i .d . 1;
q
εi ~ 
− 1; 1 − q
Frage: Welchen Wert hat q, in einem arbitragefreien
Modell, wenn q das aus den Preisen der AD-Assets
abgeleitete WS-Maß sein soll?
© Dr. Daniel Sommer
198
… was man über Charakteristika und
Bewertung sagen kann
Idee: Benutze Beobachtung, daß unter dem
aus den AD-Preisen abgeleiteten WS-Maß die
erwartete Rendite pro Zeiteinheit aller gehandelten Wertpapiere gleich r ist.
Definiere Aktienrendite R als:
Europäische
korrelationsabhängige Optionen: ein Bewertungsmodell
[ ]
R :=
r∆t + σ 1 E q [ε 1 ] ∆t + o(∆t )
E q R1
1
= lim
=r⇔q=
∆t →0
∆t → 0
∆t
∆t
2
lim
S ti0 + ∆t
S ti0
−1
[ ]
E q R2
=
∆t →0
∆t
r∆t + σ 22  E q [ε 1 ]ρ + E q [ε 2 ] 1 − ρ 2  ∆t + σ 22 E q [ε 1 ]E q [ε 2 ]ρ 1 − ρ 2 ∆t + o(∆t )


lim
∆t →0
∆t
1
=r⇔q=
2
lim
(
)
(
)
Ergebnis: Asymptotisch ist q gleich 0,5.
Übung: Zeige dies durch direkte Betrachtung
der Preise der AD-Assets.
© Dr. Daniel Sommer
199
… was man über Charakteristika und
Bewertung sagen kann
Beobachtung: Für q = 0,5 gilt
Europäische
korrelationsabhängige Optionen: ein Bewertungsmodell
[ ]
( ) ( [ ])
[ ]
( ) ( [ ])
2
2
E q  R1  − E q R 1


Var R
lim
=
= σ 12
∆t →0
∆t
∆t
2
2
E q  R2  − E q R2
q
2


Var R
lim
=
= σ 22
∆t →0
∆t
∆t
q
1
und außerdem
[ ]
Var [R ]× Var [R ]
E [R R ]− E [R ]E [R ]
= lim
Var [R ]× Var [R ]
= E [ε ]E [ε ] (1 − ρ ) + E [ε ]ρ = ρ
[
]
cov q R1 ; R 2
lim ρ R ; R = lim
∆t →0
1
2
q
1
∆t → 0
2
∆t → 0
q
q
q
1
1
q
1
q
q
q
2
2
1
q
2
2
2
q
2
1
Übung: Nachrechnen.
© Dr. Daniel Sommer
200
… was man über Charakteristika und
Bewertung sagen kann
Bewertungsgitter zum Zeitpunkt mx∆t mit m
geradzahlig:
ε2
n+2
Europäische
korrelationsabhängige Optionen: ein Bewertungsmodell
2
0
-2
-n-2
-n
-2
0
2
n
ε1
m
m
m

 
 1
 × 
 ×  
Q[− n; n + 2] = 
0
,
5
×
(
m
−
(
−
n
)
)
0
,
5
×
(
m
−
(
n
+
2
)
)

 
 4
Dabei ist 0,5x(m-j) die Anzahl der Fälle, in denen
εi = -1 war.
© Dr. Daniel Sommer
201
… was man über Charakteristika und
Bewertung sagen kann
Europäische
pfad- und
korrelationsabhängige Optionen: Outside
Barriers
© Dr. Daniel Sommer
Idee: Das Auszahlungsprofil entspricht dem von
Barrier-Optionen. Jedoch hängt die BarrierBedingung nicht von der Kursentwicklung der
Aktie ab, die die terminale Auszahlung
bestimmt, sondern von der Kursentwicklung
einer weiteren Aktie:
[
]
max ST1 − K ;0 ,
falls S t2 die Barrier - Bedingung erfüllt
für alle t ∈ [0;T ] bei Out - Optionen
für mindestens ein t ∈ [0;T ] bei In - Optionen
und stetigem Monitoring
202
… was man über Charakteristika und
Bewertung sagen kann
Performance
Payoff
Aktienkurse
Europäische
pfad- und
korrelationsabhängige Optionen: HimalayaOptionen
Zugrunde liegende Portfoliostrategie: Kaufe
Portfolio aus N Aktien. In jeder Periode verkaufe
die Aktie, die seit Erwerb des Portfolios die beste
Performance gezeigt hat. Die Performance des
Gesamtportfolios (ohne Berücksichtigung von
Zinseffekten) ist dann wie in folgendem Beispiel:
© Dr. Daniel Sommer
203
… was man über Charakteristika und
Bewertung sagen kann
Payoff-Varianten: Ursprüngliche Himalaya-Strategie hat unter Vernachlässigung von Zinseffekten
den Wert Null, da Payoff durch kostenfreie selbstfinanzierende Portfoliostrategie erzeugt werden kann.
Betrachte daher Varianten mit positivem Wert:
Europäische
pfad- und
korrelationsabhängige Optionen: HimalayaOptionen
Nur die L
besten Aktien
Mindestperiodenperformance von Null
Mindestgesamtperformance
von Null
Keine Berücksichtigung der Performance
der Vorperioden
Quelle: Risk 2002, Marcus Overhaus
© Dr. Daniel Sommer
204
… was man über Charakteristika und
Bewertung sagen kann
Europäische
pfad- und
korrelationsabhängige Optionen: HimalayaOptionen
Quelle: Risk 2002, Marcus Overhaus
© Dr. Daniel Sommer
205
… was man über Charakteristika und
Bewertung sagen kann
Europäische
pfad- und
korrelationsabhängige Optionen: HimalayaOptionen
Quelle: Risk 2002, Marcus Overhaus
© Dr. Daniel Sommer
206
… was man über Charakteristika und
Bewertung sagen kann
Europäische
pfad- und
korrelationsabhängige Optionen: HimalayaOptionen
Quelle: Risk 2002, Marcus Overhaus
© Dr. Daniel Sommer
207
… was man über Charakteristika und
Bewertung sagen kann
Europäische
pfad- und
korrelationsabhängige Optionen: HimalayaOptionen
Quelle: Risk 2002, Marcus Overhaus
© Dr. Daniel Sommer
208
… was man über Charakteristika und
Bewertung sagen kann
Europäische
pfad- und
korrelationsabhängige Optionen: HimalayaOptionen
Quelle: Risk 2002, Marcus Overhaus
Positive Korrelation bei OTM-Himalaya erhöht die Wahrscheinlichkeit eines
positiven Payoffs, wohingegen das Risiko einer Verschlechterung wegen des Floors
bei Null ohne Bedeutung ist. Umgekehrt erhöht eine negative Korrelation bei ITMHimalayas die Wahrscheinlichkeit von mindestens einem hohen positiven Payoff.
Das Risiko, daß der zweite Payoff vollständig ausfällt, ist gering, da beide Aktien tief
im Geld sind.
© Dr. Daniel Sommer
209
… was man über Charakteristika und
Bewertung sagen kann
Problemstellung: Geschlossene Formeln sind
nur noch in Aunahmefällen verfügbar. Große Anzahl von Aktien macht Baum- und Gitterverfahren im Hinblick auf Komplexität und Rechenzeit
prohibitiv teuer.
Europäische
pfad- und
korrelationsabhängige Optionen: Bewertung
Lösungsansatz: Monte Carlo Simulation
St
j
K
K

1 2
= S t exp  r − σ j (t K − t 0 ) + σ j
0
2


k =1
 ε 1,t k

 ε 2 ,t k
 M

 ε I ,t
 k
 0  t − t

    k k −1

i
.
i
.
d
.
 0 

0
~
N
;



 
M
 M  

 0 

0

  
I
∑∑
j
i =1

λ j ,i ε i ,tk 
0
L
t k − t k −1
0
0
O
L
0




M

M

t k − t k −1  
0
 λ1,1 L λ1,I 
 1 L ρ1,J 




T
M ; Λ×Λ =  M
O
M 
Λ :=  M O
λ

ρ

 J ,1 L λ J ,I 
 J ,1 L 1 
© Dr. Daniel Sommer
210
… wie man Dividenden in das BewerBewertugsmodell einbauen kann
Problemstellung: Viele exotische Optionen haben
Laufzeiten von mehreren Jahren z.T. mehr als 10
Jahren. Insbesondere bei langen Laufzeiten und bei
Amerikanischen Optionen müssen Dividenden im
Bewertungsmodell berücksichtig werden.
stetige versus
diskrete
Dividenden
Diskrete Dividenden: Die klassische Situation, daß
Aktien zu bestimmten Zeitpunkten ex Dividende
notieren und ein fester Betrag, unabhängig von der
absoluten Höhe des Aktienkurses an die Aktionäre
ausgezahlt wird. Der Kurs der Aktie sinkt im Augenblick
der ex Dividende-Notierung um den Betrag der
Dividende.
Stetige Dividenden: Im Aktienbereich nur in bezug
auf nicht-dividendengeschützte Indizes sinnvoll. Soll
die Tatsache approximieren, daß bei einem breit
gestreuten Index (z.B. S&P 500) und quartalsmäßiger
Zahlung praktisch immer eine der Aktien Dividenden
zahlt.
© Dr. Daniel Sommer
211
… wie man Dividenden in das BewerBewertugsmodell einbauen kann
stetige versus
diskrete
Dividenden
© Dr. Daniel Sommer
Dividendenschutz: Keine Notwendigkeit der
Berücksichtigung von Dividenden ergibt sich, wenn der
Index „dividendengeschützt“ ist. Dies wird z.B. beim
DAX 30 dadurch erreicht, daß die Dividenden wieder in
die dividendenzahlenden Aktien reinvestiert werden
und damit der Effekt der Dividendenzahlung für den
Indexstand eliminiert wird.
Bei bestimmten Optionen finden sich Dividendenschutzklauseln, die z.B. die Reduzierung des StrikePreises bei Zahlung von Dividenden vorsehen. Hier ist
die jeweilige Klausel zu prüfen und zu entscheiden, ob
auf eine Modellierung der Dividende verzichtet werden
kann.
212
… wie man Dividenden in das BewerBewertugsmodell einbauen kann
Diskrete Dividenden: Zerlege die Aktie in ein
Portfolio aus einem Zero-Coupon Bond in Höhe
des Barwertes der Dividende und den verbleibenden stochastischen Teil der Aktie. Damit ist der
Aktienkurs St zu einem beliebigen Zeitpunkt vor
Zahlung der Dividende D gegeben durch:
St = St∗ + D × B( t ,T )
Modellierung von
Dividenden
mit T als Zahlungszeitpunkt der Dividende
Alle bisher eingeführten Modelle können in
unveränderter Form für die Modellierung des
Kursprozesses von S* genutzt werden.
Achtung: Gegebenenfalls ist es erforderlich, die
Volatilität für S* höher als die Volatilität von S
anzusetzen. Die Beziehung ist approximativ
gegeben durch:
∗
σ =
© Dr. Daniel Sommer
(
)
σ S ∗ + D × B( t ,T )
S∗
213
… wie man Dividenden in das BewerBewertugsmodell einbauen kann
Modellierung von
Dividenden
Stetige Dividenden: Wirken wie eine laufend ausgeschüttete Verzinsung. Da der erwartete Ertrag
jedes gehandelten Wertpapiers unter dem aus den
Preisen AD-Assets abgeleiteten Martingalmaß
gleich dem „risikofreien“ Zinssatz sein muß, muß
die Zahlung stetiger Dividenden bei der
Modellierung der Wachstumsrate der Aktien
(Indizes) berücksichtigt werden Sei d die stetige Dividendenrate, dann ersetze in
allen Modellen die stetige risikolose Verzinsung r
durch den Ausdruck r-d.
Achtung: Die Diskontierung erfolgt nach wie vor
mit der Rate r.
© Dr. Daniel Sommer
214
Modul V
In diesem Modul wird diskutiert
• was man unter Zinsparität versteht,
• was Zins-Währungsswaps sind, wie man
sie bewertet und welche Rolle dabei BasisSwaps spielen,
Währungsderivate
• was Währungsoptionen sind und wie man
sie bewertet,
• was Implizite Volatilitäten und Smiles sind,
• welche Typen von Optionen auf ausländische Aktien es gibt und wie man sie bewertet.
© Dr. Daniel Sommer
215
… was man unter Zinsparität versteht
Direkte Quotierung: USD/JPY: 118,00/118,10
heißt: Bank kauft USD für 118 JPY für 1 USD und
verkauft USD für 118,10 JPY für 1 USD
Aus Sicht eines Japaners stellt diese Notierung
eine Preisnotierung dar. Die Dimension bei einer
Preisnotierung lautet:
Wechselkursquotierung
x Einheiten der inländischen Währung
1 Einheit der ausländischen Währung
In der Finanzmathematik wird überwiegen die
Preisnotierung verwendet. Den Wechselkurs in
Preisnotierung bezeichnet man mit e.
ACHTUNG: Die Euroquotierung erfolgt als Mengennotierung. Die Dimension dieser Notierung ist:
y Einheiten der ausländischen Währung
1 Einheit der inländischen Währung
© Dr. Daniel Sommer
216
… was man unter Zinsparität versteht
Direkte Quotierung: USD/JPY: 118,00/118,10
heißt: Bank kauft USD für 118 JPY für 1 USD und
verkauft USD für 118,10 JPY für 1 USD
Cross-Rates: USD/CHF: 1,20/1,2010
Wechselkursquotierung
Frage: Wie muß die Quotierung für CHF/JPY
lauten, wenn man beim Tausch über den USD
gehen muß?
Fall 1: Bank verkauft 1 CHF für x JPY heißt:
Bank verkauft 1 USD für 118,10 JPY und kauft 1
USD für 1,20 CHF, ergo Bank verkauft: 1 CHF für
118,10 /1,20 JPY
Fall 2: Bank kauft 1 CHF für y JPY heißt
Bank verkauft 1 USD für 1,2010 CHF und kauft 1
USD für 118 JPY, ergo Bank kauft: 1 CHF für
118/1,2010 JPY.
© Dr. Daniel Sommer
217
… was man unter Zinsparität versteht
Direkte Quotierung: USD/JPY: 118,00/118,10
heißt: Bank kauft USD für 118 JPY für 1 USD und
verkauft USD für 118,10 JPY für 1 USD
Fragen:
Ableitung
Zinsparität
Frage 1: Unternehmen leiht sich 118,10 JPY durch
Emission eines JPY-Bond mit Kurs BJPY(0,t) und
legt diesen Betrag in einem USD-Bond mit Kurs
BUSD(0,t) an. Bei Anlage im USD-Bond kann das
Unternehmen das den Betrag von 1 USD zum
Zeitpunkt t zu einem im Zeitpunkt 0 festgelegten
Wechselkurs wieder in JPY zurücktauschen. Wie
hoch muß dieser Wechselkurs USD/JPY0,t,B sein,
damit diese Transaktion einen Wert von Null hat?
Frage 2: Was ist, wenn das Unternehmen sich 1
USD leiht und eine Anlage in JPY tätigt?
© Dr. Daniel Sommer
218
… was man unter Zinsparität versteht
Überlegung zu Frage 1:
Ableitung
Zinsparität
Unternehmen kauft 1 USD für 118,10 JPY und legt
diesen in USD-Bond an. Zum Zeitpunkt t verfügt
das Unternehmen über 1/BUSD(0,t) USD, den es
zum Kurs USD/JPY0,t,B in JPY zurücktauscht.
Ergebnis: 1/BUSD(0,t)xUSD/JPY0,t,B JPY. Wert des
zurückzuzahlenden Bonds in JPY ist
118,10/BJPY(0,t). Transaktion hat Wert Null für:
USD/JPY0,t,B=118,10xBUSD(0,t)/BJPY(0,t).
Überlegung zu Frage 2:
Unternehmen erhält 118 JPY für 1 USD und verfügt
zum Zeitpunkt t über 118/(BJPY(0,t)xUSD/JPY0,t,G).
Wert des USD-Kredites beträgt 1/BUSD(0,t).
Transaktion hat Wert Null für:
USD/JPY0,t,G=118xBUSD(0,t)/BJPY(0,t)
© Dr. Daniel Sommer
219
… was man unter Zinsparität versteht
Quotierung FXForwards
© Dr. Daniel Sommer
220
… was man unter Zinsparität versteht
Konstruktion:
Ein FX-Swap ist der gleichzeitige Abschluß eines
FX-Forwards und einer entgegengesetzten FXSpot-Transaktion:
Kauf JPY Forward, Verkauf JPY Spot oder
Verkauf JPY Forward und Kauf JPY Spot
FX-Swaps
Verwendung:
• Überrollen von auslaufenden FX-Forwards auf
den nächsten Termin
• Spekulation auf die Zinsdifferenz zwischen
beiden Währungen ohne das Eingehen eines
Wechsekursrisikos
© Dr. Daniel Sommer
221
… was (Zins(Zins-)Währungsswaps und
Basis--Swaps sind
Basis
Währungsswap:
Tausch von Festzinszahlungen in einer Währung in
Festzinszahlungen in einer anderen Währung.
Währungs- und
Zins-Wähurngsswaps
Zins-Währungsswap:
Tausch von Festzinszahlungen in einer Währung in
variable Zinszahlungen in einer anderen Währung
Achtung:
Im Gegensatz zu „normalen“ Zinsswaps erfolgt bei
(Zins-)Währungsswaps zu Beginn und zum Ende
der Laufzeit ein Austausch der Nominalbeträge in
den jeweiligen Währungen.
© Dr. Daniel Sommer
222
… was (Zins(Zins-)Währungsswaps und
Basis--Swaps sind
Basis
Replikation eines Währungsswaps:
Abschluß eines Receiver-Zinsswaps in Währung A
mit Nominalbetrag NA
Abschluß eines Payer-Zinsswaps in Währung B mit
Nominaletrag NB
Währungs- und
Zins-Wähurngsswaps
Problem:
Elimination der Floating-Zahlungen
Abbildung des Austausches der Nominale
Lösung Basisswap:
Direkter Tausch von variablen Zinszahlungen in
Währung A in variable Zinszahlungen in Währung B
© Dr. Daniel Sommer
223
… was (Zins(Zins-)Währungsswaps und
Basis--Swaps sind
Basis
Replikation eines Zins-Währungsswaps:
Abschluß eines Receiver- oder Payer-Zinsswaps in
Währung A mit Nominalbetrag NA
Währungs- und
Zins-Wähurngsswaps
Problem:
Tausch der Floating-Zahlungen in Währung B
Abbildung des Austausches der Nominale
Lösung Basisswap:
Direkter Tausch von variablen Zinszahlungen in
Währung A in variable Zinszahlungen in Währung
B.
© Dr. Daniel Sommer
224
… was (Zins(Zins-)Währungsswaps und
Basis--Swaps sind
Basis
Quotierung
BasisSwaps
© Dr. Daniel Sommer
225
… was (Zins(Zins-)Währungsswaps und
Basis--Swaps sind
Basis
Ausgangslage:
Existenzberechtigung von
Basisswaps
In einem Markt ohne Transaktionskosten ist die
Aufnahme eines variabel verzinslichen Kredites in
einer Währung und die variabel verzinsliche Anlage
des Kapitals in einer anderen Währung eine
Transaktion mit Wert Null. Sichert man nun
zusätzlich mittels Zins- und FX-Termingeschäften
alle Zahlungen ab und rollt alle Zahlungen auf das
Ende der Laufzeit des Kredites und der Anlage, so
muß der Wert der Endzahlung wieder exakt Null
sein.
Konsequenz:
Der Basisswap-Spread müßte stets Null betragen.
Mit anderen Worten: Basisswap-Spreads können
nur innerhalb der durch die Geld-Brief-Spannen
beim Wechselkurs und bei den Terminzinssätzen
gegebenen Schranken existieren.
© Dr. Daniel Sommer
226
… was (Zins(Zins-)Währungsswaps und
Basis--Swaps sind
Basis
Methode 1:
Bewertung von
(Zins-) Währungsswaps
Berechne den Barwert jedes Legs des Swaps auf
Basis der aus den Swapsätzen und Terminzinssätzen der jeweiligen Währung generierten ZeroCoupon-Bond Kurve. Konvertiere einen der Barwerte mit Hilfe des aktuellen Spot-Wechselkurses
in die andere Währung und bilde die Differenz.
Fehler! Die in den FX-Forwards enthaltenen
Transaktionskosten werden nicht korrekt
abgebildet.
Methode 2:
Konvertiere jede Zahlung in einer der beiden
Währungen mit Hilfe der laufzeitadäquaten FXForwards in die andere Währung und berechne den
Barwert aller Zahlungen nur noch mit Hilfe der
Zero-Coupon-Kurve der Währung, in die die
Einzelzahlungen umgerechnet wurden. Korrekt!
© Dr. Daniel Sommer
227
… was (Zins(Zins-)Währungsswaps und
Basis--Swaps sind
Basis
Bewertungsunterschiede
© Dr. Daniel Sommer
228
… wie man Währungsoptionen bewertet
Idee zur Bestimmung der arbitragefreien
Modellierung des Wechselkurses:
Anpassung des
stochastischen
Modells
 et + ∆t × B f ( t0 + ∆t ,t0 + ∆t ) 
1
lim Et 0  0
− 1 =
∆t → 0 ∆
et 0 × B f ( t0 ,t0 + ∆t )


 

1
1

lim Et 0 exp  µ − σ 12 ∆t + σε ∆t  × exp rt f × ∆t
0
∆t → 0 ∆
2


 
{
} = r
!

t0
→ µ = rt 0 − rt f
0
Konsequenz:
Wechselkursoptionen können (unter Vernachlässigung der Transaktionskosten) behandelt werden
wie Optionen auf Aktien, die eine kontinuierliche
Dividende in Höhe des „ausländischen“ „risikofreien“ Zinssatzes bezahlen. Alle Erkenntnisse aus
Aktienoptionen übertragen sich entsprechend.
© Dr. Daniel Sommer
229
… wie man Währungsoptionen bewertet
Bisheriger Ansatz:
Bilde ein Bewertungsmodell, bestimme die Eingangsparmeter und berechne den Preis der Option.
Jetzt Umkehrung:
Implizite
Volatilitäten
Gegeben einen Optionspreis und alle direkt
beobachtbaren Eingangsparameter, bestimme den
letzten freien Parameter, nämlich die Volatilität, so,
daß der beobachtete Preis sich als Resultat aus
dem Modell ergibt.
Die so berechnete Volatilität heißt Implizite
Volatilität.
Die Höhe der Impliziten Volatilität hängt von der
Moneyness bzw. dem Delta der Option ab. Diese
Abhängigkeit bezeichnet man als Skew oder
Smile-Effect.
© Dr. Daniel Sommer
230
… wie man Währungsoptionen bewertet
ATM Implizite Volatilitäten USD/JPY:
Implizite
Volatilitäten
© Dr. Daniel Sommer
231
© Dr. Daniel Sommer
23aug2004
08sep2004
24sep2004
12oct2004
28oct2004
15nov2004
01dec2004
05aug2004
16jun2004
02jul2004
20jul2004
12feb2004
04mar2004
22mar2004
07apr2004
23apr2004
12m ay2004
31m ay2004
15sep2003
02oct2003
20oct2003
05nov2003
21nov2003
09dec2003
25dec2003
12jan2004
27jan2004
09jul2003
28jul2003
13aug2003
29aug2003
03jun2003
19jun2003
Implizite
Volatilitäten
[%]
… wie man Währungsoptionen bewertet
Volaspreads
Differenz Implizite Volatilitäten
USD/JPY +/- 0,25 Delta:
0,035
0,03
0,025
0,02
25P6M-25C6M
0,015
0,01
0,005
0
Date
232
… wie man Optionen auf ausländische
Aktien bewertet
Aktienkurs und Strike in Fremdwährung
[
eT × max STf − K f ;0
]
Aktienkurs in Fremdwährung, Strike in
inländischer Währung
[
max eT × STf − K d ;0
Optionstypen
]
Aktienkurs in inländischer Währung, Strike
in Fremdwährung
[
max STd − eT × K f ;0
]
Quantooptionen: fixierter Wechselkurs,
Strike in inländischer Währung
[
max e × STf − K d ;0
© Dr. Daniel Sommer
]
233
… wie man Optionen auf ausländische
Aktien bewertet
[
eT × max STf − K f ;0
]
Ein einfaches Duplizierungsargument:
Kaufe in t0 die Option mit Zahlungsprofil
Bewertung:
Aktienkurs und
Strike in Fremdwährung
[
max STf − K f ;0
]
Halte diese Option bis zur Fälligkeit T.
Konvertiere die zum Zeitpunkt T in Fremdwährung erhaltene Auszahlung zum in T gültigen
Wechselkurs eT in inländische Währung.
Diese Strategie erzeugt gewünschten Zahlungsstrom zum Zeitpunkt T.
Der Preis dieser Strategie zum Zeitpunkt t0
f
beträgt: et 0 × PVC ( t 0 ; K ,T , E )
PVC ( t 0 ; K f ,T , E ) kann mittels BS-Formel
bestimmt werden.
© Dr. Daniel Sommer
234
… wie man Optionen auf ausländische
Aktien bewertet
[
max eT × STf − K d ;0
Bewertung:
Aktienkurs in
Fremdwährung,
Strike in inländischer Währung
]
Problem:
Wie sieht ein arbitragefreies Modell aus für
et × S t f ?
Ansatz:
et × S t f ist ein Wertpapier in inländischer
Währung. Damit muß die erwartete Rendite
dieses Wertpapiers in einem arbitragefreien
Modell gleich dem risikolosen inländischen
d
Zinssatz rt sein.
© Dr. Daniel Sommer
235
… wie man Optionen auf ausländische
Aktien bewertet
Aktien-/ Wechselkursmodell
Bewertung:
Aktienkurs in
Fremdwährung,
Strike in
inländischer
Währung


1

St f + ∆t = St f exp r f − σ S2 − ρσ eσ S ∆t + σ S ε1 ∆t 
0
0
2



et
et
0
+ ∆t
0 + ∆t
(
)


1 
= et exp r d − r f − σ e2 ∆t + σ e  ε1ρ + ε 2 1 − ρ 2  ∆t 
0


2 


(
)
(
)
(
)


1

× St f + ∆t = et × St f exp r d − σ e2 + σ S2 + 2 ρσ eσ S ∆t +  ε1 (ρσ e + σ S ) + ε 2σ e 1 − ρ 2  ∆t 
0
0
0


2



d

1

= et × St f exp r d − σ e2 + σ S2 + 2 ρσ eσ S ∆t +
0
0
2


(σ
2
e
)

+ σ S2 + 2 ρσ eσ S ε 3 ∆t 



1 
= et × St f exp r d − Σ 2 ∆t + Σε 3 ∆t 
0
0
2 


i .i .d .
ε 1,2 ~ N (0;1); ε 3 ~ N (0;1); cov (ε 1 ; ε 3 ) =
σ S + ρσ e
Σ
; cov (ε 2 ; ε 3 ) =
(
σe 1− ρ2
Σ
)
Damit ist diese Option mit der BS-Formel
bewertbar.
© Dr. Daniel Sommer
236
… wie man Optionen auf ausländische
Aktien bewertet
Inländische und ausländische AD-Preise
Bewertung:
Aktienkurs in
Fremdwährung,
Strike in inländischer Währung
Beobachtung 1:
Das aus den inländischen AD-Preisen
abgeleitete WS-Maß für den Risikofaktor ε1 ist
N (0;1)
Beobachtung 2:
Das aus den ausländischen AD-Preisen abgeleitete WS-Maß für den Risikofaktor ε1 muß zur
Gewährleistung von Arbitragefreiheit lauten:
(
)
N ρσ e ∆t ;1
oder äquivalent unter dem ausländischen aus
den AD-Preisen abgeleiteten WS-Maß ist
ε1 − ρσ e ∆t ~ N (0;1)
© Dr. Daniel Sommer
237
… wie man Optionen auf ausländische
Aktien bewertet
[
max e × STf − K d ;0
Bewertung:
Quantooptionen
© Dr. Daniel Sommer
]
Betrachte den Wert von e × STf unter
Berücksichtigung der Dynamik der ausländischen Aktie unter dem aus den inländischen
AD-Preisen abgeleiteten WS-Maß:


1

e STf = e St f exp r f − σ S2 − ρσ eσ S T + σ S ε1 T 
0
2



Problem:
Was ist der Wert dieses Payoffs unter den
inländischen AD-Preisen zu einem beliebigen
Zeitpunkt t0 < t < T?
238
… wie man Optionen auf ausländische
Aktien bewertet
[
max e × STf − K d ;0
]
Lösung:
Berechne den Erwartungswert des Payoffs
unter dem aus den inländischen AD-Preisen
abgeleiteten WS-Maß:
Bewertung:
Quantooptionen
{
}
 f
 f 1 2
 

St = exp − r (T − t ) E e St exp r − σ S − ρσ eσ S T + σ S ε1 T  Ft 
0
2


 



1 
= exp r f − r d − ρσ eσ S T e St f exp r d − σ S2 t + σ S ε1 t 
2 
144444244444
30


f
d
{(
Qd
)}
= St f
0


1 
= St f exp r d − σ S2 t + σ S ε1 t 
0
2 


Damit ist diese Option mit der BS-Formel
bewertbar.
© Dr. Daniel Sommer
239
In diesem Modul wird diskutiert
Modul VI
Optionale
Zinsderivate
• was man unter Caps, Floors, Collars und
Swaptions versteht,
• was man aus statischen Portfolien aus
diesen Instrumenten über ihre Bewertung
lernen kann,
• wie man die Black-Formel für Caplets
herleiten kann,
• was ein Cap-Smile ist.
© Dr. Daniel Sommer
240
Modul VII
In diesem Modul wird diskutiert
Ausblick
• warum Sie in dieser Vorlesung zwar
hoffentlich viel gelernt haben, aber
dennoch der Satz gilt:
„Ich weiß, daß ich nichts weiß.“
© Dr. Daniel Sommer
241
… Ausblick
Vorlesung hat Grundlagen gelegt und wichtig Begriffe und Konzepte
dargestellt. Sie sind damit KEINE DERIVATE-EXPERTEN!
Wichtige Erweiterungen betreffen:
• Einführung in den zeitstetigen stochastischen Kalkül
• Vertiefung Implizite Volatilitäten, Smiles und stochastische Volas
• Vertiefung/Einführung in andere Assetklassen
Was fehlt
• optionale Zinsderivate und zugehörige Bewertungsmodelle,
insbesondere LIBOR-Market
• Kreditderivate
• Modellkalibrierung
• Verbesserte numerische Methoden (Bestimmung der Griechen,
American Monte-Carlo)
• Hedging in unvollständigen Märkten und mißspezifizierten Modellen
© Dr. Daniel Sommer
242
… Ausblick
In diesem Modul würde diskutiert
Vertiefung
Modul VI
Optionale
Zinsderivate
• wie man dynamische stochastische Modelle für Zinsderivate konstruieren kann,
• wie das Hull/White/Vasicek-Modell für
Zinsderivate aufgebaut ist und wie man es
mittels Vorwärtsinduktion kalibriert,
• wie man in diesem Modell BermudaSwaptions bewertet,
• welche Herausforderungen sich bei
anderen exotischen Zinsderivaten stellen
• u.v.a.m.
© Dr. Daniel Sommer
243
… Ausblick
In diesem Modul würde diskutiert
• was man unter CDS, TRS, CLN, FTD,
CDO und CDO² versteht,
Modul VIII
Kreditderivate
• was der Unterschied zwischen impliziten
und historischen Ausfallwahrscheinlichkeiten ist und wie man eine Credit-Curve
konstruieren kann,
• wie man diese zur Bewertung von CDSs
nutzen kann,
• welche Bedeutung die Ausfallkorrelation
bei der Bewertung bestimmter Kreditderivate besitzt
• wie man Ausfallkorrelation handeln kann
• u.v.a.m.
© Dr. Daniel Sommer
244
… Ausblick
In diesem Modul würde diskutiert
Modul N
Thema N
© Dr. Daniel Sommer
• ……………...
245
… Schlußwort
• Die Vorlesung hat mir Spaß gemacht. Sie hat auch mir geholfen,
manche Dinge noch einmal klarer zu sehen.
• Ich hoffe, Sie hatten ebensoviel Freude daran und werden auch Spaß
daran haben, den Stoff nachzuarbeiten.
• Ich wünsche Ihnen Viel Erfolg in der Klausur!
If you now feel Risk M anagement is your business
contact
Dr. Daniel Sommer
KPM G
+49 (69) 9587-2498
[email protected]
w w w .kpmg.de
© Dr. Daniel Sommer
Dr. Thomas Kaiser
KPM G
+49 (69) 9587-4114
[email protected]
w w w .kpmg.de
www.kpmg.de/careers
246