Mensch, Natur und Umwelt

Mensch, Natur
und Umwelt
Primzahlen
Eigensinnige Atome der Mathematik
Arbeitsblatt 2 - Lösung
Freunde, Zwillinge und Vermutungen
Aufgabe 1: Primzahlen sind geheimnisvoll. Zum Beispiel lassen sich mit ihrer Hilfe
"befreundete Zahlen" finden. Dazu muss man eine Zahl in Faktoren zerlegen (36 ist
beispielsweise durch 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12 und 18 teilbar). Zerlege die Zahl 220 in Faktoren und
zähle diese zusammen. Zerlege nun die Summe, die du erhalten hast, ebenfalls in Faktoren
und zähle auch sie zusammen. Nun hast du zwei befreundete Zahlen gefunden - warum?
Hat auch 36 einen solchen Freund?
Die Faktoren von 220 sind:
1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 und 110
Die Summe dieser Zahlen ist: 284
Die Faktoren von 284 sind:
1, 2, 4, 71 und 142
Deren Summe ist:
220
Wegen dieses Zusammenhangs nennt man 220 und 284 "befreundet"
Die Summe aller Faktoren von 36 (siehe Frage) ist: 55
55 lässt sich nur durch 1, 5 und 11 teilen - und deren Summe ist: nicht 36 sondern 17 (Primzahl)
Daher hat 36 keinen Zahlenfreund.
Aufgabe 2: In der Sendung hast du die Riemannsche Vermutung kennengelernt. Der
Mathematiker Christian Goldbach hat Mitte des 18. Jahrhunderts eine weitere Vermutung
aufgestellt, die bis heute nicht bewiesen ist: Jede gerade Zahl, die größer ist als 2, ist die
Summe von zwei Primzahlen - behauptet Goldbach.
Finde die Primzahl-Summanden der folgenden Zahlen.
4=
8=
12 =
22 =
36 =
54 =
116 =
2+2
3+5
5+7
11 + 11
17 + 19
17 + 37
19 + 97
Aufgabe 3: Primzahlzwillinge sind Primzahlen, deren Differenz 2 beträgt, zum Beispiel 3 und
5. Finde weitere Primzahlzwillinge. Wie viele davon gibt es wohl?
11 und 13; 17 und 19; 29 und 31; 41 und 43; 59 und 61; 71 und 73; 101 und
103 … Es wird vermutet, dass es unendlich viele Primzahlzwillinge gibt.
Bewiesen ist das aber, wie vieles in Sachen Primzahlen, bisher nicht.