primzahlen - lehrer.uni

Wir untersuchen mathematische
Fragestellungen mit MatheAss
Vorbemerkung: Nach Start des Programms MatheAss den Erläuterungen auf dem Bildschirm folgen.
Gegebenenfalls wird die Bedienung des Programms vom Lehrer am Projektor erklärt. Wer sich
Arbeiten am Computer und mit Textverarbeitungsprogrammen auskennt, kann die Ergebnisse von
MatheAss mit „Kopieren“ in die Zwischenablage übertragen und von dort aus ins
Textverarbeitungsprogramm (MS WORD) einfügen. Auf diese Weise kann ein Protokoll der heutigen
Unterrichtsstunde erstellt und am Ende ausgedruckt werden. Natürlich können die Ergebnisse auch per
Hand aufgeschrieben werden.
1.) Primzahlen, Primzahlzwillinge und Primzahldrillinge
Schreibe zunächst noch einmal auf, was man unter einer Primzahl versteht:
Im Unterricht haben wir Primzahlen z. B. mit dem Sieb des Erathostenes gefunden.
MatheAss findet Primzahlen sehr schnell, man muss nur die Anfangszahl und die Endzahl des
Bereichs eingeben, in dem gesucht werden soll
a) Zunächst einmal wollen wir unser Ergebnis von früher überprüfen: Welche Primzahlen gibt es
zwischen 1 und 200?
Gib diesen Bereich in MatheAss ein und notiere das Ergebnis. (Entweder in WORD oder ins Heft
schreiben)
b) Unter den kleinen natürlichen Zahlen gibt es viele Primzahlen, unter den größeren Zahlen sind die
Primzahlen „dünner gesät“. Wir wollen dies überprüfen, indem wir jeweils gleich lange Abschnitte auf
dem Zahlenstrahl untersuchen. Trage die Ergebnisse in die folgende Tabelle ein.
Wie viele Primzahlen gibt es zwischen:
1 und 100
20001 und 20100
49901 und 50000
1001 und 1100
25001 und 25100
25001 und 25100
5001 und 5100
30001 und 30100
30001 und 30100
10001 und 10100
40001 und 40100
40001 und 40100
15001 und 15100
50001 und 50100
1000001 und 1000100
Welches ist die größte Primzahl, die MatheAss
finden kann?
Schon vor über 2000 Jahren hat der griechische Mathematiker EUKLID nachgewiesen, dass es bei den
Primzahlen nach oben keine Grenze gibt, zu jeder gegebenen Primzahl kann man immer eine noch
größere finden. Wer mehr dazu wissen will, soll im Mathematikbuch nachlesen.
c) Wenn zwei aufeinanderfolgende ungerade Zahlen Primzahlen sind, spricht man von
Primzahlzwillingen. MatheAss kann auch Primzahlzwillinge finden.
Welche Primzahlzwillinge gibt es zwischen 1 und 200?
Schreibe die Antwort in Dein Heft oder in die WORD-Datei.
Ohne Primzahlen keine Primzahlzwillinge. D. h. wenn man zu immer größeren Primzahlen übergeht,
gibt es natürlich auch immer weniger Primzahlzwillinge.
Gibt es zwischen 49901 und 50000 noch Primzahlzwillinge? MatheAss überprüft diese Frage ganz
schnell!
Ergebnis:
Die Mathematiker vermuten, dass es auch bei den Primzahlzwillingen nach oben keine Grenze.
Beweisen konnte dies aber noch niemand!
d) Primzahldrillinge
Schaue Dir noch einmal Punkt c) an. Wie könnte demnach eine Definition für einen Primzahldrilling
lauten?
MatheAss ist zwar nicht direkt für die Suche nach Primzahldrillingen eingerichtet, vielleicht finden wir
aber bei der normalen Primzahlsuche mit etwas Glück einen Primzahldrilling?
So langsam drängt sich ein Verdacht auf:
Woran könnte das liegen?
Wir betrachten einige Primzahlzwillinge:
Schreibe jeweils die nächstfolgende ungerade Zahl dazu
5, 7
11, 13
Was können wir ablesen?
17, 19
29, 31
Die Mathematiker verwenden den Begriff Primzahldrilling trotzdem.
Die Definition lautet:
Warum ist die Suche nach solchen Primzahldrillingen nicht von Anfang an chancenlos?
Suche nun Primzahldrillingen, die mit dieser Definition übereinstimmen.
2.) Die Goldbachsche Vermutung
Vor etwa 200 Jahren äußerte Christian Goldbach die folgende Vermutung: Jede gerade Zahl, die
größer als 2 ist, kann als Summe von zwei Primzahlen geschrieben werden.
Beispiel: 10 = 3 + 7
Es ist bisher noch nicht bewiesen worden, dass diese Vermutung immer gilt!
Denke Dir selbst gerade Zahlen aus und schreibe sie als Summe von zwei Primzahlen. Primzahlen
kannst Du wieder mit MatheAss finden!