Mathematischer Brückenkurs – WS 2017/2018 - staff.uni

Tag 3
Mathematischer Brückenkurs – WS 2017/2018
Dr. Anton Malevich
Aufgabe 3.1
a) Ergänzen Sie das Pascalsche Dreieck bis n = 10.
b) Berechnen Sie (klammern Sie aus): (a + 1)8 , (a − 1)9 , (a − b)10 .
Aufgabe 3.2
7
12
12
13
50
28
a) Berechnen Sie:
,
,
,
,
,
.
1
0
7
5
48
4
b) Aus 16 Karten (je 4 Buben, Damen, Könige und Asse) werden 8 gezogen. Bestimmen
Sie die Wahrscheinlichkeit, dass darunter
(i) genau 1 Ass,
(ii) kein Ass,
(iii) genau ein Bube, eine Dame, ein König und ein Ass,
(iv) mindestens 2 Asse sind.
Aufgabe 3.3 Berechnen Sie (wählen Sie passende a, b im binomischen Lehrsatz):
8 X
8
,
a)
k
8 X
8 k
c)
2 ,
k
8 X
8
b)
(−1)k ,
k
8 X
8
d)
,
k
e)
k=0
k=0
k=0
k=0
n X
n
f)
k=0
k
n X
n
k=0
k
,
(−1)k .
Aufgabe 3.4 Berechnen Sie die Summe
a)
6
X
2
k ,
k=0
4
X
3
k ,
3 X
j=1
k=−4
7
X
(2k + 4),
1
j+
,
j
k=3
1
X
(j 2 − 1),
j=−1
b) 1 + 2 + . . . + 2016,
c) positiven ganzen Zahlen mit 3 Ziffern,
d) ungeraden Zahlen zwischen 1000 und 2000,
e) positiven ganzen Zahlen von je maximal 3 Ziffern, die auf 2 oder 7 enden.
f)
70
X
(7k − 2),
k=10
Besprechung am 27.9.
14
X
(5k + 3),
k=0
22
X
(100k + 10).
k=−2
S. 1/2
Mathematischer Brückenkurs (Tag 3)
S. 2/2
Aufgabe 3.5 Berechnen Sie die Summe
1 1 1
f) 4 + 2 + 1 + + + + . . ., (unendlich)
2 4 8
a) 2 + 4 + 8 + . . . + 256,
b) 1 +
1 1
1
+ + ... +
,
2 4
256
g) 1 +
2 4
+ + . . .,
3 9
h) 1 −
9
81
729
+
−
+ . . .,
10 100 1000
i) 7 +
7
7
+
+ . . ..
10 100
c) 2 + 6 + 18 + 54 + . . . + 1458,
64
2 4
+ + ... +
,
3 9
729
3
9
3
e)
+
+ ... +
,
10 100
10 000 000
d)
Aufgabe 3.6 Finden Sie den unkürzbaren Bruch für die periodische Zahl:
0,9; 0,12; 0,0012; 10,3; 0,2; 10,9; 0,123; 0,10; 3,091.
Aufgabe 3.7 Berechnen Sie lim an für:
n→∞
n+1
,
n
2n
,
b) an =
n + 12
n3 + 3n2
,
3n4 + 4
√
2n + n
√
,
e) an =
n− n
n2 − 1
c) an = 2
,
n +1
n+
f) an =
n−
a) an =
d) an =
1
n
2,
n
g) an =
n3 − 1
,
n3 + n2
√
4n2 + 5n + n n
h) an =
,
3n2 − 2n − 1
n2 + 1
i) an = √
.
n n2 + 1
Aufgabe 3.8 Berechnen Sie die folgenden Grenzwerte:
23n − 1
,
n→∞ 23n − 32n
n!
,
n→∞ 3n
g) lim
nn
,
n→∞ n!
h) lim (n2 + 3n − 7)
a) lim
b) lim
c) lim
n→∞
nn
nn + n!
n→∞
,
n3 − 3n
,
n→∞ n3 + 3n
i) lim
n2 + 2 n
,
n→∞ n2 − 2n
j) lim
2n − 2−n
,
n→∞ 2n − 1
k) lim
2n+1 + 1
,
n→∞ 2n + 1
l) lim
d) lim
e) lim
f) lim
n−1
1
,
2
2n2
,
n→∞ n + 2−n
n2 + n!
,
n→∞ 3n − n!
n! + 3n9 − 7
.
n→∞ nn + 3n9 + 7