Einführung in Quantitative Methoden

Wahrscheinlichkeitsrechnung
Einführung in Quantitative Methoden
Pantelis Christodoulides & Karin Waldherr
13. April 2011
Christodoulides / Waldherr
Einführung in Quantitative Methoden- 6.VO
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Wahrscheinlichkeitsrechnung
Grundbegriffe
Rechnen mit Ereignissen
Statistische Wahrscheinlichkeit
Axiome und Regeln der Wahrscheinlichkeitsrechnung
Verteilungsfunktion für Diskrete ZV
Ziele
I
Statistischer Wahrscheinlichkeitsbegriff geht zurück auf 17.
Jahrhundert: Wirksamkeit von ’Zufallsgesetzen’ bei
Glücksspielen.
I
Erkennen von Regelmäßigkeiten bei Vorgängen, deren
Ergebnisse vom Zufall abhängen.
I
Hinderer (1980): ’Statistischer Wahrscheinlichkeitsbegriff
dient der Beschreibung von beobachteten Häufigkeiten bei
beliebig oft wiederholbaren Vorgängen, deren Ausgang nicht
vorhersehbar ist.’
I
Zentraler Begriff: Zufallsexperiment
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Grundbegriffe
Rechnen mit Ereignissen
Statistische Wahrscheinlichkeit
Axiome und Regeln der Wahrscheinlichkeitsrechnung
Verteilungsfunktion für Diskrete ZV
Zufallsexperiment
I
(Im Prinzip) Beliebig oft wiederholbarer Vorgang, der nach
bestimmter Vorschrift ausgeführt wird, wobei das Ergebnis
vom Zufall abhängt, d.h. der Ausgang kann nicht eindeutig
im voraus bestimmt werden.
I
Folge von gleichartigen, voneinander unabhängigen Versuchen
möglich.
I
Entweder Folge voneinander unabhängiger Versuche mit
einem Objekt oder jeweils einmaliger Versuche mit
”gleichartigen” (unabhängigen) Objekten.
Beispiel 1: Ein Würfel wird wiederholte Male geworfen und es
wird beobachtet, wie oft jede Zahl kommt.
Beispiel 2: Parteipräferenz bei weiblichen Jugendlichen
zwischen 16 und 18 Jahren.
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Grundbegriffe
Rechnen mit Ereignissen
Statistische Wahrscheinlichkeit
Axiome und Regeln der Wahrscheinlichkeitsrechnung
Verteilungsfunktion für Diskrete ZV
I
Die möglichen Ergebnisse des Zufallsexperimentes heißen
Elementarereignisse ω
I
Die Menge aller möglichen Ergebnisse eines
Zufallsexperimentes bezeichnet man als Ereignisraum Ω.
I
Beispiel: ’Einmaliges Würfeln’: Elementarereignisse sind {1},
{2}, {3}, {4}, {5}, {6}. Ereignisraum Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
I
Ereignis A: Zusammengefasste Elementarereignisse, z.B. alle
geraden Augenzahlen beim Würfeln. Es gilt: ω ∈ A, A ⊂ Ω
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Grundbegriffe
Rechnen mit Ereignissen
Statistische Wahrscheinlichkeit
Axiome und Regeln der Wahrscheinlichkeitsrechnung
Verteilungsfunktion für Diskrete ZV
I
Sicheres Ereignis: Jenes Ereignis, welches unter gegebenen
Bedingungen immer eintritt (entspricht Ω).
I
Unmögliches Ereignis: Jenes Ereignis, welches unter
gegebenen Bedingungen nie eintritt (ω ∈
/ Ω).
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Grundbegriffe
Rechnen mit Ereignissen
Statistische Wahrscheinlichkeit
Axiome und Regeln der Wahrscheinlichkeitsrechnung
Verteilungsfunktion für Diskrete ZV
Einander ausschließende Ereignisse
Zwei Ereignisse A und B heissen einander ausschließend, wenn sie
niemals gemeinsam auftreten (sie haben kein Elementarereignis
gemeinsam).
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Grundbegriffe
Rechnen mit Ereignissen
Statistische Wahrscheinlichkeit
Axiome und Regeln der Wahrscheinlichkeitsrechnung
Verteilungsfunktion für Diskrete ZV
Zusammengesetzte Ereignisse A ∧ B (Durchschnitt - ’und’)
Unter dem Ereignis A ∧ B versteht man jene Ereignisse aus Ω, die
sowohl zu A als auch zu B gehören (d.h. sowohl A als auch B
treten ein, ω ∈ A ∩ B).
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Grundbegriffe
Rechnen mit Ereignissen
Statistische Wahrscheinlichkeit
Axiome und Regeln der Wahrscheinlichkeitsrechnung
Verteilungsfunktion für Diskrete ZV
Zusammengesetzte Ereignisse A ∨ B (Vereinigung - ’oder’)
Unter dem Ereignis A ∨ B versteht man jene Ereignisse aus Ω, die
entweder zu A, oder zu B, oder zu beiden gehören (d.h.
mindestens eines der Ereignisse A oder B tritt ein, ω ∈ A ∪ B).
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Grundbegriffe
Rechnen mit Ereignissen
Statistische Wahrscheinlichkeit
Axiome und Regeln der Wahrscheinlichkeitsrechnung
Verteilungsfunktion für Diskrete ZV
A\B
Unter dem Ereignis A\B versteht man jene Ereignisse aus Ω, die
zu A gehören, aber nicht gleichzeitig zu B.
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Statistische Wahrscheinlichkeit
Axiome und Regeln der Wahrscheinlichkeitsrechnung
Verteilungsfunktion für Diskrete ZV
Komplementäres Ereignis
Komplementärereignis A: Jenes Ereignis, welches genau dann
eintritt, wenn A nicht eintritt (Ω\A).
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Statistische Wahrscheinlichkeit
Axiome und Regeln der Wahrscheinlichkeitsrechnung
Verteilungsfunktion für Diskrete ZV
Komplementärereignis zu A ∧ B (A ∧ B)
Unter dem komplementären Ereignis A ∧ B versteht man jene
Ereignisse aus Ω, die nicht zu A ∧ B gehören.
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I
I
I
Grundbegriffe
Rechnen mit Ereignissen
Statistische Wahrscheinlichkeit
Axiome und Regeln der Wahrscheinlichkeitsrechnung
Verteilungsfunktion für Diskrete ZV
Würde man (theoretisch) unendlich oft eine faire Münze
werfen, könnte man beobachten, dass sich mit wachsender
Anzahl n der Münzwürfe die relativen Häufigkeiten der beiden
Elementarereignisse {Kopf} und {Zahl} stabilisieren, und zwar
bei 0.5. D.h. die relativen Häufigkeiten streben einem
Grenzwert zu = empirisches Gesetz der großen Zahlen.
Die n Münzwürfe sind eine Zufallsstichprobe vom Umfang n
aus der (unendlich großen) Population aller möglichen
Münzwürfe. Aufgrund dieser Zufallsstichprobe können wir auf
die Gegebenheiten in der Population schließen indem wir das
Grenzverhalten der relativen Häufigkeiten der möglichen
Ergebnisse betrachten.
Allgemein wird der Wert, bei dem sich die relativen
Häufigkeiten von Ereignissen stabilisieren, als statistische
Wahrscheinlichkeit (Chance) ihres Auftretens betrachtet.
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Grundbegriffe
Rechnen mit Ereignissen
Statistische Wahrscheinlichkeit
Axiome und Regeln der Wahrscheinlichkeitsrechnung
Verteilungsfunktion für Diskrete ZV
Definition der statistischen Wahrscheinlichkeit
Die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten eines Ereignisses A, P(A),
ist jener Wert, bei dem sich die relative Häufigkeit rn (A) bei
n → ∞ Versuchen unter gleichen Bedingungen stabilisiert.
P(A) = lim rn (A)
n→∞
Wichtig! Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses gibt an, mit
welcher relativen Häufigkeit das Ereignis eintritt, wenn man den
Versuch theoretisch unendlich oft wiederholen würde. Sie sagt
jedoch nichts darüber aus, wie häufig das Ereignis bei einer kleinen
Anzahl von Versuchen, z.B. n = 20, auftritt.
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Rechnen mit Ereignissen
Statistische Wahrscheinlichkeit
Axiome und Regeln der Wahrscheinlichkeitsrechnung
Verteilungsfunktion für Diskrete ZV
Laplace-Wahrscheinlichkeit
Bei Zufallsexperimenten, bei denen nur endlich viele,
gleichwahrscheinliche Ergebnisse möglich sind, ergibt sich für ein
beliebiges Ereignis A die Wahrscheinlichkeit
P(A) =
Anzahl der für A ’günstigen’ Ereignisse
Anzahl der ω in A
=
Anzahl der ω in Ω
Anzahl der möglichen Ereignisse
Beispiele: P(K ) bei Münzwürfen =
P(1) beim Würfeln =
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1
6
1
2
= limn→∞ rn (K )
= limn→∞ rn (1)
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Statistische Wahrscheinlichkeit
Axiome und Regeln der Wahrscheinlichkeitsrechnung
Verteilungsfunktion für Diskrete ZV
Beispiele
I
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei fünfmaligem
Würfeln nur Zahlen größer als ’3’ vorkommen?
I
In der Sendung ’Millionenshow’ müssen zu Beginn 10
TeilnehmerInnen eine Auswahlfrage beantworten, bei der
jeweils 4 Objekte den Buchstaben A bis D zuzuordnen sind.
Sei die Frage z.B. ’Ordnen Sie folgende Seen nach ihrer
Größe, beginnend beim kleinsten: 1) Titicacasee, 2)
Chiemsee, 3) Michigansee, 4) Bodensee. Wie groß ist die
Wahrscheinlichkeit durch reines Raten die richtige Reihenfolge
zu finden?
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Rechnen mit Ereignissen
Statistische Wahrscheinlichkeit
Axiome und Regeln der Wahrscheinlichkeitsrechnung
Verteilungsfunktion für Diskrete ZV
Axiome der Wahrscheinlichkeitsrechnung nach Kolmogoroff
Wahrscheinlichkeiten lassen sich durch drei Eigenschaften, die auch
für relative Häufigkeiten gelten, und aus denen sich alle
Rechenregeln für Wahrscheinlichkeiten ableiten lassen,
charakterisieren:
1. Für die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses gilt stets:
0 ≤ P(A) ≤ 1.
2. Die Wahrscheinlichkeit eines sicheren Ereignisses beträgt
P(Ω) = 1.
3. Additionsregel der Wahrscheinlichkeit: Die Wahrscheinlichkeit,
dass eines von k einander ausschließenden Ereignissen auftritt,
ist die Summe der einzelnen Wahrscheinlichkeiten
P(A1 ), P(A2 ), . . . , P(Ak ).
P(A1 ∨ A2 ∨ . . . ∨ Ak ) = P(A1 ) + P(A2 ) + . . . + P(Ak )
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Statistische Wahrscheinlichkeit
Axiome und Regeln der Wahrscheinlichkeitsrechnung
Verteilungsfunktion für Diskrete ZV
Rechenregeln
I
Die Wahrscheinlichkeit des unmöglichen Ereignisses B beträgt
P(B) = 0.
Wenn B ein unmögliches Ereignis ist, kann es nie eintreten →
rn (B) = 0 → P(B) = 0.
Achtung: Aus P(B) = 0 folgt aber nicht, dass B ein
unmögliches Ereignis ist. Das bedeutet nur, dass der
Grenzwert der relativen Häufigkeit für n → ∞ Null ist, woraus
aber nicht folgt, dass B nie eintreten kann! (Analoges gilt für
P(A) = 1).
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Statistische Wahrscheinlichkeit
Axiome und Regeln der Wahrscheinlichkeitsrechnung
Verteilungsfunktion für Diskrete ZV
Rechenregeln
I
P(A) + P(A) = 1, P(A) = 1 − P(A)
A tritt immer dann ein, wenn A nicht eintritt →
rn (A) + rn (A) = 1
Beispiel: Münzwurf: P(K ) + P(Z ) = 0.5 + 0.5 = 1
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Statistische Wahrscheinlichkeit
Axiome und Regeln der Wahrscheinlichkeitsrechnung
Verteilungsfunktion für Diskrete ZV
Rechenregeln
I
P(A ∨ B) = P(A) + P(B) − P(A ∧ B)
Addiert man P(A) und P(B) geht P(A ∧ B) zwei Mal in die
Summe ein → ein Mal wieder abziehen
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Statistische Wahrscheinlichkeit
Axiome und Regeln der Wahrscheinlichkeitsrechnung
Verteilungsfunktion für Diskrete ZV
Beispiele
I
52 Spielkarten, 4 Farben je 13 Karten: P(Herz ∨ Dame) = ?
P(Herz) =
13
,
52
P(Dame) =
4
,
52
P(Herz ∧ Dame) =
1
52
P(Herz ∨ Dame) = 0.25 + 0.08 − 0.02 = 0.31
I
Wahrscheinlichkeit, dass bei einem Münzwurf das Ergebnis
’Zahl’ ist:
P(Z ) = 1 − P(K ) = 0.5
I
Wahrscheinlichkeit, dass bei einem Münzwurf das Ergebnis
’Zahl’ oder ’Kopf’ ist:
P(Z ∨ K ) = P(Z ) + P(K ) = 1
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Statistische Wahrscheinlichkeit
Axiome und Regeln der Wahrscheinlichkeitsrechnung
Verteilungsfunktion für Diskrete ZV
Beispiele
I
Ein Kraftwerk besitzt für den Fall eines Maschinenausfalles
zwei Sicherheitssysteme. System A wird im Falle eines
Maschinenausfalles mit einer Wahrscheinlichkeit von 95%
aktiviert, System B mit einer Wahrscheinlichkeit von 91%.
Mit 86.45%iger Wahrscheinlichkeit reagieren beide Systeme
gleichzeitig. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei
einem Maschinenausfall zumindest eines der beiden Systeme
aktiviert wird?
P(A) = 0.95, P(B) = 0.91, P(A ∧ B) = 0.8645
P(A∨B) = P(A)+P(B)−P(A∧B) = 0.95+0.91−0.8645 = 0.9955
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Statistische Wahrscheinlichkeit
Axiome und Regeln der Wahrscheinlichkeitsrechnung
Verteilungsfunktion für Diskrete ZV
Bedingte Wahrscheinlichkeit
Unter der bedingten Wahrscheinlichkeit P(A|B) (sprich: A unter
der Bedingung B) versteht man die Wahrscheinlichkeit von Ereignis
A unter der Bedingung, dass Ereignis B bereits eingetreten ist.
D.h. das Eintreten von B beeinflusst die Wahrscheinlichkeit von A.
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Rechnen mit Ereignissen
Statistische Wahrscheinlichkeit
Axiome und Regeln der Wahrscheinlichkeitsrechnung
Verteilungsfunktion für Diskrete ZV
Beispiel
100 KlientInnen, die vor einiger Zeit auf einer Warteliste für eine
Psychotherapie standen, werden nach ihrem subjektiven
Gesundheitszustand befragt. Einige dieser KlientInnen haben in der
Zwischenzeit einen Therapieplatz bekommen, andere noch nicht.
Bivariate Häufigkeitstabelle: Häufigkeiten von bereits in
Behandlung befindlichen und noch wartenden KlientInnen
bezüglich subjektiv gesund und nicht gesund.
gesund
nicht gesund
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bereits Therapie
25
15
40
noch keine Therapie
25
35
60
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50
50
100
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gesund
nicht gesund
bereits Therapie
25
15
40
Grundbegriffe
Rechnen mit Ereignissen
Statistische Wahrscheinlichkeit
Axiome und Regeln der Wahrscheinlichkeitsrechnung
Verteilungsfunktion für Diskrete ZV
noch keine Therapie
25
35
60
50
50
100
40
50
= 0.4, r (G ) =
= 0.5
100
100
r (G ∧ T )
25
r (G |T ) =
=
= 0.625
r (T )
40
r (T ) =
⇒ eine geschätzte Wahrscheinlichkeit
P(G |T ) =
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P(G ∧ T )
= 0.625
P(T )
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Statistische Wahrscheinlichkeit
Axiome und Regeln der Wahrscheinlichkeitsrechnung
Verteilungsfunktion für Diskrete ZV
Multiplikationssatz der Wahrscheinlichkeit
Durch Umformen der bedingten Wahrscheinlichkeit ergibt sich
P(G ∧ T ) = P(G |T )P(T )
bzw .
P(G ∧ T ) = P(T |G )P(G )
Aus den bedingten Wahrscheinlichkeiten kann man die
Wahrscheinlichkeit des Durchschnittsereignisses ausrechnen.
Beispiel: Mit einer Wahrscheinlichkeit von 1% rollt einem
Autofahrer in einer Wohngegend ein Ball vor das Auto. Die
Wahrscheinlichkeit dafür, dass unmittelbar hinter dem Ball ein
Kind nachgelaufen kommt, beträgt p = 0.99. Wie groß ist die
Wahrscheinlichkeit, dass ein Ball auf die Straße rollt und ein Kind
hinterherläuft?
P(B ∧ K ) = P(K |B)P(B) = 0.99 · 0.01 = 0.0099
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Statistische Wahrscheinlichkeit
Axiome und Regeln der Wahrscheinlichkeitsrechnung
Verteilungsfunktion für Diskrete ZV
Stochastische Unabhängigkeit von Ereignissen
Zwei Ereignisse sind stochastisch unabhängig, wenn das Eintreten
des einen Ereignisses keinen Einfluss auf das Eintreten des anderen
Ereignisses hat
⇒
P(A|B) = P(A) und P(B|A) = P(B)
Daraus folgt weiters:
P(A|B) =
P(A ∧ B)
= P(A) ⇒ P(A ∧ B) = P(A)P(B)
P(B)
Zwei Ereignisse sind voneinander unabhängig, wenn die
Wahrscheinlichkeit für das gemeinsame Auftreten dem Produkt
ihrer Einzelwahrscheinlichkeiten entspricht = Multiplikationssatz
für unabhängige Ereignisse.
Außerdem gilt: P(A|B) = P(A) = 1 − P(A)
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Grundbegriffe
Rechnen mit Ereignissen
Statistische Wahrscheinlichkeit
Axiome und Regeln der Wahrscheinlichkeitsrechnung
Verteilungsfunktion für Diskrete ZV
Beispiel
Beim Ziehen mit Zurücklegen sind die einzelnen
Wahrscheinlichkeiten gleich und die Ziehungen stochastisch
unabhängig.
Beim Ziehen ohne Zurücklegen ändern sich mit jeder Ziehung die
Anteile der ’günstigen’ ωi , und daher auch die
Wahrscheinlichkeiten. Die Ziehungen sind daher stochastisch
abhängig.
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Statistische Wahrscheinlichkeit
Axiome und Regeln der Wahrscheinlichkeitsrechnung
Verteilungsfunktion für Diskrete ZV
Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit
Gegeben sind k einander ausschließende Ereignisse Ai ,
i = 1, . . . , k, die zusammen den Ereignisraum Ω ergeben. Wenn
ein Ereignis B immer gleichzeitig mit einem von den Ai auftritt,
schließen sich die Ereignisse (B ∧ A1 ), (B ∧ A2 ), . . . (B ∧ Ak )
ebenfalls gegenseitig aus, und nach der Additionsregel erhält man
P(B) =
k
X
P(B ∧ Ai )
i=1
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I
Grundbegriffe
Rechnen mit Ereignissen
Statistische Wahrscheinlichkeit
Axiome und Regeln der Wahrscheinlichkeitsrechnung
Verteilungsfunktion für Diskrete ZV
Ersetzt man P(B ∧ Ai ) mit der Formel der bedingten
Wahrscheinlichkeit
P(B) =
k
X
P(Ai )P(B|Ai )
i=1
= Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit
I
Aus der Kenntnis von Wahrscheinlichkeiten von Teilen eines
Ereignisses kann man die Wahrscheinlichkeit des gesamten
Ereignisses ausrechnen
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Statistische Wahrscheinlichkeit
Axiome und Regeln der Wahrscheinlichkeitsrechnung
Verteilungsfunktion für Diskrete ZV
Erfundenes Demonstrationsbeispiel
Angenommen das Symptom ’absichtliches Erbrechen’ tritt bei
verschiedenen Diagnosen nach DSM-IV mit folgenden
Wahrscheinlichkeiten auf: p=0.95 bei Bulimia Nervosa (BN),
p=0.40 bei Anorexia Nervosa (AN), p=0.75 bei nicht näher
bezeichneten Essstörungen (EDNOS), p=0.80 bei Fütterstörung
(F), sowie mit insgesamt p=0.05 bei allen restlichen
Störungsbildern zusammen. Die Häufigkeiten der Diagnosen seien:
BN = 3%, AN = 1%, EDNOS = 3%, Fütterstörung = 1%,
restliche Störungsbilder = 92%. Wie groß ist die
Wahrscheinlichkeit für das Symptom Erbrechen insgesamt?
(Anmerkung: Die Zahlen sind erfunden. Es wird hier angenommen,
dass nur jeweils eine Diagnose gestellt werden kann, d.h. dass sich
die Diagnosen wechselseitig ausschließen.)
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Statistische Wahrscheinlichkeit
Axiome und Regeln der Wahrscheinlichkeitsrechnung
Verteilungsfunktion für Diskrete ZV
Wahrscheinlichkeitsrechnung
Fortsetzung Beispiel
Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit:
P(E ) =
k
X
P(Di )P(E |Di )
i=1
P(E |BN) = 0.95, P(BN) = 0.03,
P(E |AN) = 0.40, P(AN) = 0.01,
P(E |EDNOS) = 0.75, P(EDNOS) = 0.03,
P(E |F ) = 0.80, P(F ) = 0.01,
P(E |Andere) = 0.05, P(Andere) = 0.92
⇒ P(E ) = 0.109
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Statistische Wahrscheinlichkeit
Axiome und Regeln der Wahrscheinlichkeitsrechnung
Verteilungsfunktion für Diskrete ZV
Theorem von Bayes
Verknüpft bedingte Wahrscheinlichkeiten P(A|B) und P(B|A)
unter Verwendung des Satzes von der totalen Wahrscheinlichkeit.
Gegeben sind k einander ausschließende Ereignisse Ai ,
i = 1, . . . , k, die zusammen den Ereignisraum Ω ergeben. Weiters
ein beliebiges Ereignis B.
P(Aj |B) =
P(Aj ∧ B)
P(B)
vgl. S. 25: P(Ai ∧ B) = P(Ai |B)P(B) = P(B|Ai )P(Ai )
vgl. S. 29
P(Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit):
P(B) = ki=1 P(Ai )P(B|Ai )
P(B|Aj )P(Aj )
⇒ P(Aj |B) = Pk
i=1 P(B|Ai )P(Ai )
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Axiome und Regeln der Wahrscheinlichkeitsrechnung
Verteilungsfunktion für Diskrete ZV
Demonstrationsbeispiel (Zahlen erfunden)
Ein HIV-Test zeigt bei 99% der Infizierten die Infektion an. In 2%
der Fälle ist er jedoch falsch positiv. Die Häufigkeit der Infizierten
in der betrachteten Population sei 1%. Wenn eine beliebige Person
aus dieser Population den Test macht und ein positives Ergebnis
erhält, wie groß ist dann die Wahrscheinlichkeit, dass sie
tatsächlich HIV-positiv ist?
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Statistische Wahrscheinlichkeit
Axiome und Regeln der Wahrscheinlichkeitsrechnung
Verteilungsfunktion für Diskrete ZV
Gegeben:
P(HIV ) = 0.01, P(+|HIV ) = 0.99, P(+|HIV ) = 0.02
Gesucht:
P(HIV |+) =
P(HIV ∧ +)
P(+)
P(+) = P(+|HIV )P(HIV ) + P(+|HIV )P(HIV ) =
= 0.99 · 0.01 + 0.02 · 0.99 = 0.0297
P(HIV |+) =
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P(HIV )P(+|HIV )
0.01 · 0.99
=
= 0.33
P(+)
0.0297
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Statistische Wahrscheinlichkeit
Axiome und Regeln der Wahrscheinlichkeitsrechnung
Verteilungsfunktion für Diskrete ZV
Definition Zufallsvariable (ZV)
I
Es seien ein Wahrscheinlichkeitsraum Ω und p(ω) für alle ω
gegeben
I
Eine mathematische Funktion X , welche jedem Ereignis ω
eine reelle Zahl X (ω) zuweist, heißt Zufallsvariable (ZV)
I
X ist eine Zufallsvariable (ZV), wenn die Werte von X reelle
Zahlen sind, die durch ein Zufallsexperiment bestimmt
werden, und wenn für die Ereignisse, die man damit
beschreiben kann, Wahrscheinlichkeiten angebbar sind
I
Der Wert, den die ZV bei der Durchführung des
Zufallsexperimentes annimmt, heißt Realisation von X , und
wird mit x bezeichnet
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Statistische Wahrscheinlichkeit
Axiome und Regeln der Wahrscheinlichkeitsrechnung
Verteilungsfunktion für Diskrete ZV
Definition ZV
I
Eine ZV wird als konstant bezeichnet, wenn sie nur einen
Wert annimmt, X (ω) = c für alle ω
I
Eine ZV wird als diskret bezeichnet, wenn sie nur endlich viele
oder abzählbar unendlich viele Werte annimmt (Würfelspiel)
I
Eine ZV wird als stetig bezeichnet, wenn sie eine Dichte (vgl.
Abschnitt Verteilungsfunktion) besitzt
I
Oft interessieren wir uns nicht nur für eine ZV, sondern gleich
für mehrere ZV X1 , · · · , Xn , einen Zufallsvektor
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Axiome und Regeln der Wahrscheinlichkeitsrechnung
Verteilungsfunktion für Diskrete ZV
Beispiele
I
Beispiel 1: Einmaliger Wurf mit einer Münze
Ω = {Kopf, Zahl}; dem Ergebnis ’Kopf’ wird der Wert 1
zugeordnet, dem Ergebnis ’Zahl’ der Wert 0
0 falls ω = Zahl
X (ω) =
1 falls ω = Kopf
I
Beispiel 2: Zweimaliger Wurf mit einer Münze
Y sei die Anzahl der Würfe mit Ergebnis ’Zahl’; ’Zahl’ = Z
und ’Kopf’ = K ; Ω = {ZZ , KK , ZK , KZ }

 0 falls ω = KK
1 falls ω = KZ oder ZK
Y (ω) =

2 falls ω = ZZ
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I
I
Grundbegriffe
Rechnen mit Ereignissen
Statistische Wahrscheinlichkeit
Axiome und Regeln der Wahrscheinlichkeitsrechnung
Verteilungsfunktion für Diskrete ZV
Eine diskrete ZV X lässt sich durch ihre
Wahrscheinlichkeitsfunktion beschreiben, welche angibt, mit
welcher Wahrscheinlichkeit die einzelnen Realisationen xi
auftreten
Es sei pi die Wahrscheinlichkeit des Auftretens des Wertes xi ;
dann ist
f (xi ) = P(X = xi ) = pi
I
I
für alle i, pi ∈ [0, 1]
die Wahrscheinlichkeitsfunktion der ZV X
Wenn alle möglichen P
Ausprägungen von X berücksichtigt
wurden, muss gelten i pi = 1
Die Wahrscheinlichkeitsfunktion ist die Dichte der Verteilung
von X bezüglich des Zählmaßes auf der Menge der möglichen
Werte; ihre Werte pi werden daher auch als Zähldichte
bezeichnet
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Rechnen mit Ereignissen
Statistische Wahrscheinlichkeit
Axiome und Regeln der Wahrscheinlichkeitsrechnung
Verteilungsfunktion für Diskrete ZV
I
Beispiel: Zweimaliger Wurf mit einer Münze
Y sei die Anzahl der Würfe mit Ergebnis ’Zahl’; ’Zahl’ = Z
und ’Kopf’ = K ; Ω = {ZZ , KK , ZK , KZ }

 0 falls ω = KK
1 falls ω = KZ oder ZK
Y (ω) =

2 falls ω = ZZ
I
Wahrscheinlichkeitsfunktion P(Y )
yi 0
f (yi ) 14
I
I
1
2
1
2
1
4
Nur ’Wahrscheinlichkeitsmaße’ für die einzelnen Ausprägungen
Wahrscheinlichkeitsfunktion P(X ) = theoretische Verteilung
im Gegensatz zur empirischen Häufigkeitsverteilung
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Wahrscheinlichkeitsrechnung
Christodoulides / Waldherr
Grundbegriffe
Rechnen mit Ereignissen
Statistische Wahrscheinlichkeit
Axiome und Regeln der Wahrscheinlichkeitsrechnung
Verteilungsfunktion für Diskrete ZV
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Wahrscheinlichkeitsrechnung
I
Grundbegriffe
Rechnen mit Ereignissen
Statistische Wahrscheinlichkeit
Axiome und Regeln der Wahrscheinlichkeitsrechnung
Verteilungsfunktion für Diskrete ZV
Die Verteilungsfunktion oder kumulative
Wahrscheinlichkeitsfunktion einer diskreten ZV X ist definiert
für jede reelle Zahl x als
X
F (x) = P(X ≤ x) =
f (t)
t≤x
I
Summation bedeutet das Aufsummieren über alle t, die
kleiner oder gleich als x sind, und als Realisationen der ZV
auftreten können
I
F (x) ist die Wahrscheinlichkeit, dass X einen Wert ≤ x
annimmt
I
F (x) ist das Analogon zur empirischen kumulativen
Häufigkeitsfunktion
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Wahrscheinlichkeitsrechnung
I
Grundbegriffe
Rechnen mit Ereignissen
Statistische Wahrscheinlichkeit
Axiome und Regeln der Wahrscheinlichkeitsrechnung
Verteilungsfunktion für Diskrete ZV
Beispiel: Zweimaliger Wurf mit einer Münze; Treppenfunktion
mit Sprüngen
yi 0 1 2
f (yi ) 14 12 14
F (yi ) 14 34 1
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Grundbegriffe
Rechnen mit Ereignissen
Statistische Wahrscheinlichkeit
Axiome und Regeln der Wahrscheinlichkeitsrechnung
Verteilungsfunktion für Diskrete ZV
Wahrscheinlichkeitsrechnung
Eigenschaften der Verteilungsfunktion
I
Monotonie; folgt direkt aus der Form der Verteilungsfunktion
F (x1 ) ≤ F (x2 )
I
I
für x1 ≤ x2
Normierung im Intervall [0, 1]
F (x) → 0
für ’sehr kleines’ x
F (x) → 1
für ’sehr großes’ x
P(c < X ≤ b) = F (b) − F (c) für c < b
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