Ubungen zur Vorlesung Logik für Informatiker

Institut für Informatik
der Universität München
Prof. M. Hofmann
Dipl.-Inf. Hermann Gruber
SS 2008
25.06.2008
Übungen zur Vorlesung
Logik für Informatiker
Blatt 10
Aufgabe H-32: Im folgenden wollen wir Paare von Termen, die gemeinsame
freie Variablen enthalten, mit geeigneten Termen instantiieren, so dass der linke
und der rechte Term gleich werden, z.B. für die Terme f (h(x)) und f (y) leistet
die Substitution [c/x][h(c)/y] das gewünschte.1 Manchmal ist eine Lösung nicht
ganz so leicht zu finden, es kann auch sein, dass gar keine geeignete Instantiierung existiert. Probieren Sie Ihr Glück für die folgenden Paare:
a) f (x, y) und f (h(y), c)
b) f (x, y) und g(y, x)
c) f (f (h(c), y), y) und f (z, x)
d) h(h(x)) und h(x)
Aufgabe H-33: Erinnern Sie sich an die folgenden altbekannten Weisheiten:
• Jeder Drache ist glücklich, wenn alle seine Kinder fliegen können.
• Grüne Drachen können fliegen
• Ein Drache ist grün, wenn er Kind mindestens eines grünen Drachens ist.
a) Formalisieren Sie die obigen Aussagen in der Prädikatenlogik.
b) Beweisen Sie mittels Resolution, dass aus den drei obigen Aussagen folgt,
dass alle grünen Drachen glücklich sind.
Hinweis: Um eine Implikation A ⇒ B als allgemeingültig zu beweisen,
genügt es natürlich, zu zeigen dass A ∧ ¬B unerfüllbar ist.
–bitte wenden–
1
hier und im Folgenden ist c ein Konstantensymbol.
Aufgabe H-34: Sei L eine prädikatenlogische Sprache mit einem einstelligen
Prädikatsymbol P , einem einstelligen Funktionssymbol f . Sei ψ die Aussage
“Für alle x gibt es ein n ∈ N, so dass das Ergebnis der n-fachen Ausführung
der Funktion f auf x die Eigenschaft P hat.”
Wir wollen wissen, ob sich diese Aussage äquivalent als prädikatenlogische Formel, oder zumindest Formelmenge, beschreiben lässt. Etwas formaler beschreiben wir ψ durch ihre Modelle:
A |= ψ gdw. für alle a ∈ |A| existiert n ∈ N mit fA (· · · fA (a) · · · ) ∈ PA .
|
{z
}
n-fach geschachtelt
Die Frage lautet: Gibt es eine prädikatenlogische Formelmenge Γ, so dass für
jede Struktur A gilt A |= Γ gdw. A |= ψ?
a) Wäre ψ unerfüllbar, so fiele die Angabe der Formelmenge Γ sehr leicht
(warum?). Nun, sei B die Struktur mit PB = {x | x = 0}, und fB (x) =
x − 1 für x ≥ 1 und fB (0) = 0. Begründen Sie kurz, dass B |= ψ gilt.
b) Wir führen nun eine frische Konstante c ein und definieren die unendliche
Menge prädikatenlogischer Formeln
Ξ = {¬P (c), ¬P (f (c)), ¬P (f (f (c))), ¬P (f (f (f (c))), . . .}.
Finden Sie für jede endliche Teilmenge E von Ξ jeweils eine Struktur, die
Modell für ψ und gleichzeitig Modell für alle Formeln in E ist.
Hinweis: Für eine endliche Teilmenge E von Ξ definieren wir t(E) als die
maximale Schachtelungstiefe von f -Funktionssymbolen in Formeln aus E.
c) Nehmen wir nun an, es gibt eine prädikatenlogische Formelmenge Γ, die
zu ψ äquivalent ist. Benutzen Sie den Kompaktheitssatz, um zu zeigen,
dass daraus folgt, dass Γ ∪ Ξ ein Modell besitzt.
d) Sei A eine Struktur für L ∪ {c}. Zeigen Sie, dass A |= ψ impliziert, dass
A |= Ξ nicht gilt. Was schliessen Sie daraus für unsere ursprüngliche
Frage?
Hinweis: Die Teilaufgaben sind im Prinzip unabhängig voneinander lösbar; die
Angabe einer früheren Teilaufgabe darf jederzeit zur Lösung von späteren Teilaufgaben verwendet werden.