Mathematik mit Schwerpunkt Stochastik

Mathematische Fakultät
Mathematik mit Schwerpunkt
Stochastik
Studieninhalte und Perspektiven
Informationstage, März 2006
M. Stadlbauer, IMS
Stochastik
„Die Lehre von den Gesetzen des Zufalls“
Wahrscheinlichkeitstheorie
„Beschreibung zufälliger Vorgänge“
Statistik
„Schlußfolgerungen anhand von Beobachtungen“
Maß- und Integrationstheorie
„Welche Ereignisse lassen sich messen“
Ein Beispiel
Seien X1, X2, . . . Xn die Ergebnisse von n-maligem
Würfeln. Computersimulation von 100 Würfen:
X1 = 2,
X2 = 3,
X3 = 4 . . . X100 = 6
Aus den Beobachtungen lassen sich nun noch zwei
3
4
4
2
2
2
2
3
1
Werte 2berechnen
5
1
2
3
6
2
2
2
2
5
1
4
5
4
2
3
n
3 1!
2
5
31 3
1
4
6
Mn =6 4 X
3 i =2 (X
6 1 +6X2 5+ X63
4 n i=1
4
6
3n 3
4
4
5
2
3
6
3
5
3
3
1
4 Im 1Beispiel:
1
3 M2100 =
5 3.53
3
6
6
6
3
3
1
4
4
5
6
4 n1
3
4
5
4
5
3
1
5
4
1
2
+ 3· · · +1
6
6
4
4
4
6
4
4
2
6
Xn )
1
1 !
X = √ (X + X + X + · · · + X )
Z = √
Seien X
X11,, X
X22,, .. .. .. X
Xnn die
die Ergebnisse
Ergebnisse von
von n-maligem
n-maligem
Seien
Würfeln. Computersimulation
Computersimulation von
von 100
100 Würfen:
Würfen:
Würfeln.
Aus den
Daten
lassen
sich
2
Werte
SeienXX11=
, X2,22, . .X
. X=
die
Ergebnisse
n-maligem
nn 3,
X33 =
= 44 .. .. ..von
X100
= 66
100 =
X11 = 2, X22 =
3, X
X
Würfeln. Computersimulation von 100 Würfen:
berechnen
Aus den
den Beobachtungen
Beobachtungen lassen
lassen sich
sich nun
nun noch
noch zwei
zwei
Aus
X22 = 3, X33 = 4 . . . X100
11 = 2,
100 = 6
WerteXberechnen
berechnen
Werte
Aus den Beobachtungen lassen sich nun noch zwei
n
n
!
Werte berechnen
!
1
1
1
1
Xii =
= (X
Mnn =
=
(X11 +
+X
X22 +
+X
X33 +
+ ·· ·· ·· +
+X
Xnn))
X
M
n
n
n i=1
n
i=1
n
n
1
1!
Xii = (X
Mnn = Im Beispiel:
11 +=X3.53
22 + X33 + · · · + Xnn)
M
100
Im
Beispiel:
M
=
3.53
n i=1
n 100
i=1
n
!
Im11 Beispiel:
M11100
!
100 = 3.53
√
√
Xii =
= √ (X
(X11 +
+X
X22 +
+X
X33 +
+ ·· ·· ·· +
+X
Xnn))
√n
X
n
n i=1
n
i=1
n
n
1
1 !
√
√
X
=
(X
+ X22 + X33 + · · · + Xnn)
1135.3
ImnBeispiel:
Beispiel:ii Z
Z100
=
100
Im
=
35.3
n
i=1
i=1
n
Znn =
=
Z
Znn =
Im Beispiel: Z100
100 = 35.3
Diese Werte sind zufällig!
Simulation von M100 und Z100 (100 mal)
M100
Z100
3.53
3.20
3.62
3.56
3.67
3.58
3.39
3.57
3.23
3.51
3.54
3.52
3.71
3.49
3.40
3.38
3.23
3.63
3.70
3.29
3.77
3.56
3.51
3.20
3.43
3.49
3.53
3.51
3.06
3.51
3.73
3.41
3.70
3.52
3.68
3.35
3.63
3.61
3.19
3.80
3.38
3.15
3.43
3.41
3.63
3.65
3.53
3.66
3.36
3.82
3.81
3.56
3.65
3.49
3.73
3.51
3.82
3.65
3.25
3.43
3.29
3.41
3.52
3.40
3.75
3.76
3.48
3.41
3.71
3.70
3.24
3.54
3.49
3.62
3.55
3.53
3.37
3.41
3.49
3.46
3.35
3.66
3.43
3.78
3.34
3.44
3.75
3.63
3.41
3.47
3.52
3.45
3.44
3.46
3.39
3.68
3.86
3.51
3.33
3.35
35.3
32.0
36.2
35.6
36.7
35.8
33.9
35.7
32.3
35.1
35.4
35.2
37.1
34.9
34.0
33.8
32.3
36.3
37.0
32.9
37.7
35.6
35.1
32.0
34.3
34.9
35.3
35.1
30.6
35.1
37.3
34.1
37.0
35.2
36.8
33.5
36.3
36.1
31.9
38.0
33.8
31.5
34.3
34.1
36.3
36.5
35.3
36.6
33.6
38.2
38.1
35.6
36.5
34.9
37.3
35.1
38.2
36.5
32.5
34.3
32.9
34.1
35.2
34.0
37.5
37.6
34.8
34.1
37.1
37.0
32.4
35.4
34.9
36.2
35.5
35.3
33.7
34.1
34.9
34.6
33.5
36.6
34.3
37.8
33.4
34.4
37.5
36.3
34.1
34.7
35.2
34.5
34.4
34.6
33.9
36.8
38.6
35.1
33.3
33.5
Histogramm von M100
Histogramm von Z100
Theoretische Resultate aus der W-Theorie
Starkes Gesetz der großen Zahl
n→∞
Mn −→ µ
√
Zn − nµ n→∞
−→ Standardnormalverteilung
σ
√
n→∞
Zentraler
Grenzwertsatz
M
−→
µ
Im Beispiel: µn = 3.5, σ = 2.5.
√
√
nµ n→∞
Zn − M
n→∞
Z30 n− −→
30µµ
Z30
H
−→
Standardnormalverteilung
=
σ
σ
√
√ σ
Zn − nµ
Im Beispiel:
µ =n→∞
3.5, σ = 2.5.
−→
Z30 Standardnormalverteilung
σ
=
0.948986
√σ
√
Z30µ−= 3.5,
30µσ = H 2.5.Z30
Im Beispiel:
= Z30
Wahrscheinlichkeit(−1.65
< σ < 1.65) ≈ 10%
σ
√
σ
Forschungsgebiete am Institut für
Mathematische Stochastik
Spieltheorie
Grenzwertsätze
Stochastische
Prozesse
Analysis auf
Fraktalen
Dynamische
Systeme
Versicherungsmathematik
Stochastische
Analysis
& Anwendungen
Mathematische
Statistik
Finanzmathematik
Angewandte
Statistik
Statistik
stochastischer
Prozesse
Ein Beispiel aktueller Forschung
In welchem
Sinne
entsprechen
sich der
unendlich oft
wiederholte
Münzwurf und
das folgende
Bild?
D. Heicklen, C. Hoffmann. Rational maps are d-adic Bernoulli. Annals of Mathematics, 156
(2002), 103-114
Perspektiven - Promotion
Förderung unter anderem durch:
Graduiertenkolleg
„Gruppen und Geometrie“
Graduiertenkolleg
„Identifikation in mathematischen Modellen“
Interdisziplinärer Promotionstudiengang
„Applied Statistics and Empirical Methods“
des Zentrums für Statistik
Perspektiven - Beruf
Öffentlicher Dienst
Behörden, Ministerien
Bildung
Schulen, Hochschulen,
Fort - und Weiterbildung
Forschung & Entwicklung
in Industrie & Technik
Pharma- und Medizintechnik
Autoindustrie
Verkehrsplanung
Raumfahrt
Kryptographie
Bild- & Informationsverarbeitung
Wissenschaft
Banken &
Finanzdienstleistungen
Versicherungen
Unternehmen
Management, Organisation
Datenverarbeitung &
Systemadministration
Die Einstellungschancen sind nach wie vor gut bis sehr12gut
Weitere Informationen
Mathematische Fakultät der
Universität Göttingen
Bunsenstraße 3-5
37083 Göttingen
www.math.uni-goettingen.de
Wir wünschen Ihnen alles Gute für
die Zukunft und vor allem
viel Spaß mit der Mathematik!