DIE SPRACHE DER WAHRSCHEINLICHKEITEN Es

KAPITEL 1
DIE SPRACHE DER WAHRSCHEINLICHKEITEN
Es ist die Aufgabe der ersten drei Kapitel, eine vollständige Beschreibung
des grundlegenden Tripels (Ω, A, P) und seiner Eigenschaften zu geben, das
heutzutage von allen Wahrscheinlichkeitstheoretikern als erste Annäherung
an den Begriff der Wahrscheinlichkeit akzeptiert wird. Zunächst gilt es, die
Ereignisse zu beschreiben, die mit Erscheinungen verknüpft werden, bei denen der Zufall eine Rolle spielt. Dies ist das Thema des ersten Kapitels.
Diese Ereignisse begegnen uns als Teilmengen der ersten Komponente Ω
dieses Tripels. Um eine praktische Handhabung der Ereignisse zu erreichen, werden wir im folgenden Kapitel eine ausgezeichnete Familie A von
Ereignissen einführen, die präzisen algebraischen Regeln genügt. Im dritten
Kapitel schliesslich werden wir die dritte Komponente P (das Wahrscheinlichkeitsmass) studieren, das uns erlaubt, eine Gewichtung der zur Familie A
gehörigen Ereignisse vorzunehmen.
1. Ein Beispiel. — Wir stellen uns eine Erdölgesellschaft vor, die über
eine gewisse Anzahl von Schiffen verfügt und die bestrebt ist, eine genaue
Studie über die Ankunftszeiten ihrer Tanker an deren Bestimmungshäfen zu
machen. Wegen der Zufälligkeiten der Seefahrt können die Ankunftszeiten
dieser Tanker nicht auf die Stunde genau vorhergesagt werden. Um diese
Ankunftszeiten untersuchen zu können, muss die Gesellschaft a priori eine
Klasse von Ereignissen in Betracht ziehen, die diesen Ankunftszeiten zugeordnet ist, wie zum Beispiel: keine Ankunft am Freitag zwischen 8 Uhr und
10 Uhr oder die Tanker no 1 und no 2 kommen am 8. Januar an oder
o
Tanker n 2 hat einen Schaden auf hoher See . Sie wird auch eine Familie
von noch präziser beschriebenen Ereignissen — auch Stichproben genannt —
betrachten müssen, wie etwa: Tanker no 2 kommt am Freitag, den 8. Januar, um 9 Uhr an . Bezeichnet ω diese Stichprobe, so tritt das Ereignis A:
keine Ankunft am Freitag zwischen 8 Uhr und 10 Uhr bei der Stichprobe
ω nicht ein, wogegen das Ereignis B: mindestens einer der Tanker no 1 und
no 2 kommt am 8. Januar an bei ω eintritt.
Um dieses Phänomen der Ankunftszeiten studieren zu können, wird man
also eine Basismenge Ω einführen und sie mit der Menge der Paare (n, t)
identifizieren, wobei n die Nummer eines Tankers der Gesellschaft und t den
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KAPITEL 1: DIE SPRACHE DER WAHRSCHEINLICHKEITEN
Ankunftszeitpunkt des Tankers im Hafen bezeichnet. Die obige Stichprobe ω
ist also durch das Element (2, (8, 9)) gegeben, wobei (8, 9) den 8. Januar, 9
Uhr bezeichnet. Das Ereignis B ist also mit der Menge aller Elemente (n, t)
zu identifizieren, bei denen n = 1 oder 2 ist, sowie (8, 0) ≤ t ≤ (8, 24).
Man sieht an diesem Beispiel, dass die Zugehörigkeit ω ∈ B äquivalent
ist mit der Aussage B tritt bei der Stichprobe ω ein . Die Sprache der
Zugehörigkeit ist die Sprache der Mengenlehre, die Sprache des Eintretens von
Ereignissen gehört zur Sprache der Wahrscheinlichkeitstheorie. Die hier eben
beschriebene Äquivalenz erlaubt es, jederzeit zwischen beiden Ausdrucksformen zu wechseln. Dies wird in den folgenden Paragraphen noch näher ausgeführt werden.
2. Das fundamentale Tripel. — Im obigen Beispiel war es einfach,
die Basismenge Ω explizit anzugeben. In den meisten Fällen wird man sich
allerdings damit begnügen, die Existenz einer solchen Menge zu unterstellen.
Diese ist Teil des Tripels (Ω, A, P), das die folgenden Eigenschaften hat:
a) Ω ist eine nichtleere Menge, genannt Basismenge; ihre Elemente ω
werden als Stichproben bezeichnet. Die Menge Ω enthält alle möglichen
Resultate eines Zufallsexperiments.
b) A ist eine Familie von Teilmengen von Ω, genannt Ereignisse; ein
Ereignis ist eine Aussage über ein Zufallsexperiment, die zutreffen kann
oder auch nicht. Ist ω eine Stichprobe und A ein Ereignis, so sagt man
genau dann, dass das Ereignis A bei der Stichprobe ω eintritt, wenn ω
zu A gehört.
In den einfacheren Fällen kann man als Familie A die Menge P(Ω) aller
Teilmengen, die Potenzmenge von Ω, wählen (diese Notation wird im folgenden ständig benutzt werden). In dieser Situation kann also jede Teilmenge
von Ω als Ereignis angesehen werden. Speziell ist also jede ein-elementige
Menge, also jede Menge der Form {ω}, wobei ω ein Element von Ω ist, ein
Ereignis, genannt Elementarereignis. Beim weiteren Ausbau der Theorie wird
man dafür sorgen, dass die Menge A der Ereignisse geeignete algebraische
Eigenschaften hat, genauer, dass sie eine σ-Algebra über Ω ist. Dann kann
es vorkommen, dass nicht für alle Elemente ω ∈ Ω die ein-elementige Menge
{ω} zu A gehört, also ein Ereignis ist. Der Begriff Elementarereignis sollte
deshalb vermieden werden.
c) P ist eine Gewichtsfunktion auf der Familie A der Ereignisse. In dem
Rahmen, in dem wir uns bewegen, wird P ein Wahrscheinlichkeitmass
auf A sein. Der Wert P(A) heisst dann die Wahrscheinlichkeit von A.
Das eben vorgeschlagene Modell erlaubt es, die meisten Begriffe der (elementaren) Mengenlehre in wahrscheinlichkeitstheoretischer Sprache zu formulieren. Speziell erscheinen die logischen Operationen auf Ereignissen als
3. UNENDLICHE FOLGEN VON EREIGNISSEN
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mengentheoretische Operationen auf den Teilmengen einer Menge. Gelegentlich werden die Sprache der Mengenlehre und die der Wahrscheinlichkeiten nebeneinander benützt, wobei die folgenden Begriffe häufig verwendet werden:
1) Die leere Menge ∅ wird, als Ereignis betrachtet, als unmögliches Ereignis
angesprochen; es tritt bei keiner Stichprobe ein.
2) Die volle Menge Ω ist ebenfalls ein Ereignis und wird als sicheres
Ereignis bezeichnet; es tritt bei jeder Stichprobe ein.
3) Seien A und B zwei Ereignisse. Man sagt, dass das Ereignis A das
Ereignis B impliziert, wenn B bei jeder Stichprobe eintritt, bei der
auch A eintritt; anders gesagt, wenn A ⊂ B ist.
4) Zwei Ereignisse A und B sind äquivalent, wenn B durch A impliziert
wird und ebenso A durch B impliziert wird; anders gesagt, wenn A = B
gilt.
5) Die Konjunktion zweier Ereignisse A und B ist das Ereignis, das bei
genau denjenigen Stichproben eintritt, bei denen sowohl A als auch B
gleichzeitig eintreten; dies ist also der Durchschnitt A ∩ B.
6) Die Vereinigung zweier Ereignisse A und B ist das Ereignis, das bei
genau denjenigen Stichproben eintritt, bei denen mindestens eines der
Ereignisse A, B eintritt; dies ist also A ∪ B.
7) Das entgegengesetzte Ereignis zu einem Ereignis A ist dasjenige Ereignis, das bei genau denjenigen Stichproben eintritt, bei denen A nicht
eintritt. Dies ist also das Komplement von A, bezeichnet durch Ac
(= Ω \ A).
8) Zwei Ereignisse A und B sind unverträglich (oder disjunkt), wenn
ihre Konjunktion das unmögliche Ereignis ist; anders gesagt, wenn
A ∩ B = ∅.
Bezeichnungen. — Wenn Ereignisse A und B unverträglich sind, so bezeichne
A + B (anstelle von A ∪ B) ihreVereinigung. Entsprechend schreibt
man
i Ai für die Vereinigung von Ereignissen Ai , die paarweise unverträglich sind. Anstelle von A ∩ B wird oft auch die Schreibweise AB
verwendet.
Die Differenz zwischen zwei Ereignissen A und B (in dieser Reihenfolge),
geschrieben A \ B, ist das Ereignis A ∩ B c . Falls A ⊃ B, so spricht man auch
von der echten Differenz A \ B. Eine Folge von Ereignissen An wird mit (An )
(n ≥ 1) oder einfach mit (An ) bezeichnet. Falls es sich um eine endliche Folge
handelt, schreibt man beispielsweise auch (Ai ) (i = 1, 2, . . . , n).
3. Unendliche Folgen von Ereignissen
3.1. Grenzwerte von Ereignisfolgen. — Es sei (An ) eine Folge
∞ von
Ereignissen. In der Mengenlehre ist die Vereinigung n An (auch n=1 An
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KAPITEL 1: DIE SPRACHE DER WAHRSCHEINLICHKEITEN
geschrieben) der Folge (An ) die Menge aller ω ∈ Ω, die die Eigenschaft
haben es gibt (mindestens) ein n mit ω ∈ An . In der Sprache der
Wahrscheinlichkeitstheorie
wird, gemäss obiger Übersetzung, das Ereignis
mindestens eines der Ereignisse A
A
beschrieben
durch
n tritt ein .
n n
Analog bezeichnet n An das Ereignis alle Ereignisse An treten ein .
ist, d.h. wenn An ⊂ An+1 für alle n gilt,
Wenn die Folge (An ) aufsteigend
dann wird die Vereinigung n A
n der Folge (An ) auch als Limes der Folge
bezeichnet. Man schreibt dann n An = limn An , oder auch An ↑ limn An .
ist, wenn also An ⊃ An+1 für
Wenn entsprechend die Folge (An ) absteigend
alle n gilt, dann wird der Durchschnitt
n An der Folge ebenfalls als Limes
der Folge bezeichnet. Man schreibt n An = limn An und An ↓ limn An .
Wenn eine Folge (An ) entweder aufsteigend oder absteigend ist, so wird
sie auch als monoton bezeichnet.
3.2. Limes inferior und Limes superior. — Ist eine Folge (An ) von
Ereignissen gegeben, so kann man immer den Limes inferior und den Limes
superior dieser Folge definieren. Der Limes inferior der Folge (An ) wird
notiert als lim inf n An und ist definiert als die Menge derjenigen Elemente ω
von Ω, die zu fast allen An gehören, d.h. die bis auf endlich viele Indices n
zu all diesen Mengen gehören.
Analog ist der Limes superior, notiert als lim supn An , die Menge derjenigen Elemente ω von Ω, die für unendlich viele Indices n zu An gehören.
Limes inferior und Limes superior lassen sich folgendermassen durch
Vereinigung und Durchschnitt ausdrücken:
Satz 3.2.1. — Sei (An ) eine Folge von Teilmengen einer Menge Ω. Dann
gilt
lim inf n An =
∞
∞ Am ;
lim supn An =
n=1 m=n
∞
∞ Am ;
n=1 m=n
lim inf n An ⊂ lim supn An .
Beweis. — Die Aussage, dass ein Element ω zu allen An , mit höchstens
endlich vielen Ausnahmen, gehört, bedeutet nichts anderes,
als dass es von
einem bestimmten Index n an zum Durchschnitt Bn = m≥n Am gehört. Es
existiert also eine ganze Zahl n derart, dass ω ∈ Bn gilt, und damit ist die
erste Gleichheit bewiesen.
Die Aussage, dass ein Element ω zu unendlich vielen der Mengen An
gehört, bedeutet nichts anderes als dass dieses Element, wie weit man auch in
der Folge
der Indices geht, also bis zum Index n etwa, immer zur Vereinigung
Cn = m≥n Am gehört. Folglich gehört ω zum Durchschnitt der Folge (Cn ),
und damit ist auch die zweite Gleichheit gezeigt.
3. UNENDLICHE FOLGEN VON EREIGNISSEN
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Die behauptete Inklusion ist banal, denn wenn ω zu lim inf n An gehört, so
gehört es zu allen An von einem bestimmten Index n an, also zu unendlich
vielen Ereignissen Am mit m ≥ n.
Wir schreiben A∗ = lim inf n An und A∗ = lim supn An . Folgende
Beziehungen sind ohne weiteres zu verifizieren:
(3.2.1)
(A∗ )c = lim supn An c
und
(A∗ )c = lim inf n An c .
Definition. — Falls lim inf n An = lim supn An gilt, so sagt man, dass die
Folge (An ) einen Limes besitzt und man schreibt
(3.2.2)
limn An = lim inf n An = lim supn An .
Man sagt in dieser Situation auch, dass die Folge (An ) gegen A = limn An
strebt oder gegen A konvergiert.
Satz 3.2.2. — Falls die Folge (An ) monoton ist, sind die Bedingungen
(3.2.2) erfüllt.
∞
Beweis. — Ist (An ) aufsteigend, gilt also m=n Am = An , so ist
∞
∞
∞
= lim inf n An = n=1 An = limn An . Die Gleichheit m=n Am
m=1 Am gilt
∞
∞
A
=
andererseits
für
jedes
n
≥
1
und
daher
ist
lim
sup
n n
n=1
m=1 Am =
∞
m=n Am = limn An .
Aus der Gültigkeit der Aussage für aufsteigende Folgen folgt mittels der
Beziehungen (3.2.1) auch die Gültigkeit für absteigende Folgen.
In der Sprache der Wahrscheinlichkeitsrechnung, wenn man also die Mengen der Folge An als Ereignisse anspricht, ist lim inf n An dasjenige Ereignis, bei dem alle Ereignisse An von einer bestimmten Stelle n an eintreten. Analog ist lim supn An dasjenige Ereignis, bei dem unendlich viele
der Ereignisse An eintreten. Besonders dieses letzte Ereignis wird in der
Wahrscheinlichkeitsrechnung häufig betrachtet, speziell in der Theorie der
sogenannten rekurrenten Ereignisse. In englischsprachigen Texten wird oft
{An , i.o.} geschrieben ( i.o. bedeutet infinitely often , d.h. unendlich
oft).
3.3. Indikatorfunktion eines Ereignisses. — Eine sehr häufig gebrauchte
Funktion ist die Indikatorfunktion IA eines Ereignisses A. Diese Abbildung
von Ω in die zwei-elementige Menge {0, 1} wird definiert durch
IA (ω) =
1, falls ω ∈ A;
0, falls ω ∈
/ A.
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KAPITEL 1: DIE SPRACHE DER WAHRSCHEINLICHKEITEN
ERGÄNZUNGEN UND ÜBUNGEN
1. — Es seien A, B, C drei Ereignisse. In Abhängigkeit von A, B,
C sind die folgenden Ereignisse mittels mengentheoretischer Operationen
auszudrücken:
a) Nur A tritt ein;
b) A und C treten ein, nicht aber B;
c) alle drei Ereignisse treten ein;
d) mindestens eines der Ereignisse tritt ein;
e) mindestens zwei der Ereignisse treten ein;
f) höchstens eines der Ereignisse tritt ein;
g) keines der Ereignisse tritt ein;
h) genau zwei der Ereignisse treten ein;
i) nicht mehr als zwei der Ereignisse treten ein.
2. — Es bezeichne Ω die Menge aller verheirateten Paare einer gewissen
Stadt. Man betrachte folgende Ereignisse:
A: der Mann ist älter als vierzig Jahre ;
B: die Frau ist jünger als der Mann ;
C: die Frau ist älter als vierzig Jahre .
a) Man interpretiere in Abhängigkeit von A, B, C das Ereignis der Mann
ist älter als vierzig Jahre, nicht aber seine Frau .
b) Man beschreibe umgangssprachlich die Ereignisse A∩B∩C c , A\(A∩B),
A ∩ B c ∩ C, A ∪ B.
c) Man verifiziere A ∩ C c ⊂ B.
3. — Für eine Folge (Ai ) (i = 1, 2, . . . ) von Ereignissen zeige man
∞
Ai =
i=1
∞ An \
n=1
n−1
Ai ,
i=0
wobei A0 = ∅ gesetzt wird. Dies bedeutet, dass sich jede Vereinigung auch
als Vereinigung disjunkter Mengen schreiben lässt.
4. — Es seien A und B zwei Ereignisse sowie (An ) eine Folge von
Ereignissen, wobei An = A oder B, je nachdem, ob n gerade oder ungerade
ist. Man zeige
lim inf n An = A ∩ B
und
lim supn An = A ∪ B.
5. — Im Folgenden bezeichnen A, B (mit oder ohne Indices) jeweils
Ereignisse. Man verifiziere folgende Aussagen über die Indikatorfunktionen:
ERGÄNZUNGEN UND ÜBUNGEN
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a) IΩ ≡ 1; I∅ ≡ 0;
b) IA (ω) ≤ IB (ω) für alle ω in Ω gilt genau dann, wenn A ⊂ B;
c) IA∩B = IA IB ; IA∪B = IA + IB − IA∩B ;
d) IAc = 1 − IA ; IA\B = IA (1 − IB ).
e) Es seien A∗ = lim inf n An und A∗ = lim supn An . Dann gilt
IA∗ = lim inf n IAn
und
IA∗ = lim supn IAn .
6. — Es seien E, F , G drei Ereignisse, aus denen man zwei weitere
Ereignisse A und B konstruiert mittels
A = E ∪ F ∩ G,
B =E∪ F ∩G .
a) Eines der beiden Ereignisse A, B, impliziert das andere; welches?
b) Man finde eine notwendige und hinreichende Bedingung für E und G
derart, dass A = B gilt.
7. — Sind zwei Ereignisse A, B gegeben, so bezeichne A B dasjenige
Ereignis, bei dem genau eines der Ereignisse A, B realisiert wird; dieses
Ereignis wird als symmetrische Differenz der Ereignisse A und B bezeichnet.
Gegeben seien drei Ereignisse A, B, C in Ω.
a) Man zeige: (A B) ∪ (A B c ) = Ω.
b) Man finde eine notwendige und hinreichende Bedingung dafür, dass
(A B) ∩ (A C) = A (B ∪ C).
gilt.
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