Studiengang: PT/LOT/PVHT Semester

Studiengang:
PT/LOT/PVHT
Analysis II
Semester: SS 11
Serie 2
Thema: Differentialrechnung von Funktionen mehrerer Veränderlicher
1. Aufgabe
Bestimmen Sie die partiellen Ableitungen 1. Ordnung folgender Funktionen
2
a) f (x, y) = ln x2 + y 2
b) f (x, y) = x x−y
c) z(t, ϕ) = sin(at + ϕ)
d) z(x, y) = y x + xy
2. Aufgabe
Bestimmen Sie die Gleichung der Tangentialebene an die durch z = f (x, y) gegebene
Fläche im Punkt P0 und geben Sie die lineare Approximation der entsprechenden Funktion
an.
√
1p
a) z = x2 + y 2 mit P0 = (x0 ; y0 ; z0 ) b) z =
4 − (x2 + y 2 ) mit P0 = (1; 2; z0 )
2
3. Aufgabe
Bestimmen Sie die Richtung α (in der x-y-Ebene gemessen zur positiven x-Achse) in welcher die durch z = x3 − x2 y + 2(x − y) gegebene Fläche im Punkt P (0, 0) am stärksten
ansteigt. Wie groß ist der Anstieg tan ϕ der Fläche in dieser Richtung?
4. Aufgabe
Berechnen Sie das vollständige Differential von:
p
x
b) z = ln y + x2 + y 2
a) z =
x+y
5. Aufgabe
Bei der Vermessung eines ebenen dreieckigen Geländes erhielt man a = (84, 3 ± 0, 1)m
und b = (73, 2 ± 0, 2)m für zwei Seiten und 48, 60 ± 0, 20 für die Winkel zwischen a und b.
Gesucht ist die dritte Seite c. Welcher prozentuale Fehler tritt auf?
6. Aufgabe:
Seien y = ϕ (x) eine differenzierbare Funktionen. Wir betrachten die zusammengesetzte
Funktion
z = f (x, t) = ϕ (x − vt)
Zeigen Sie, dass folgende Beziehung gilt:
v2
∂2f
∂2f
=
∂x2
∂t2
7. Aufgabe
Gegeben sei eine beliebige differenzierbare Funktion z = f (x, y). Wir betrachten die zusammengesetze Funktion z = f (r cos ϕ, r sin ϕ)
(Übergang zu Polarkoordinaten).
∂z
∂z
a) Berechnen Sie:
und
∂r
∂ϕ
∂z
∂z
b) Stellen Sie
und
in Abhängigkeit von den Polarkoordinaten r, ϕ dar.
∂x
∂y
1
8. Aufgabe
Ermitteln Sie mit Hilfe der (verallgemeinerten) Kettenregel die Ableitung
dz
,
dt
wobei z = 3x2 + 6xy + 4y 2 mit x = sin2 t, y = cos2 t ist
9. Aufgabe
Mit Hilfe der Taylorschen Formel approximiere man die durch z = f (x, y) gegebene Fläche
an der Stelle P (x0 , y0 ) durch eine Fläche 2. Ordnung.
a) z = y ln (y − 3x) ,
P (0; 1)
b) z = cos x · cos y
P(0; 0)
10. Aufgabe
Bestimmen Sie die Extremwerte der folgenden Funktion
z = 3xy 2 + 4x3 − 3y 2 − 12x2 + 1
11. Aufgabe
Bestimmen Sie die Extremwerte der Funktion z = 2x2 − 6y 3 + 12xy + 30
(x, y) ∈ R2
12. Aufgabe
Einer Ellipse mit den Halbachsen a und b ist ein achsenparalleles Rechteck so einzuschreiben, dass die Rechtecksfläche möglichst groß wird.
Lösungen:
1)
y
1
fy = −
x2
x
d) zx = y x ln y + xy−1 y zy = y x−1 x + xy ln x
x
y
fy = 2 2
x2 + y 2
x + y2
c) zt = a cos(at + ϕ) zϕ = cos(at + ϕ)
a) fx = 2
b) fx = 1 +
2) a) z = 2x0 x + 2y0 y − x20 + y02 b) z = − 12 x −
4) a) dz =
ydx−xdy
(x+y)2
b) dz = √
1
x2 +y 2
y+
√xdx
√
2
2 y
x2 +y 2
+2
+ dy
5) c = (65, 5 ± 0, 4)m, ∆c
c ≤ 0, 61%
7) a) zr = zx cos (ϕ) + zy sin (ϕ) zϕ = −r sin (ϕ) zx + r cos (ϕ) zy
1
1
b) zx = (r cos (ϕ) zr − sin (ϕ) zϕ ) zy = (r sin (ϕ) zr + cos (ϕ) zϕ )
r
r
√
3) α = − π4 , tan ϕ = 2 2
8)
9)
dz
= −4 sin t cos3 t
dt
9
1
a) z = −3x + (y − 1) − x2 + (y − 1)2
2
2
b) z = 1 −
2
1 2
x + y2
2
10) extremwertverdächtige Stellen sind: (1,2) ; (1,-2); (0,0); (2,0)- Maximum in (0,0), Minimum
in (2,0))
11) extremwertverdächtige Stellen sind: (0,0);(6,-2) — lok.Minimum in (6,-2), Sattelpunkt in
(0,0)
√
√
12) x = a2 2, y = 2b 2, Amax = 2ab
3