Komplexe Zahlen - Rechenregeln

Technische Universität Dresden
Fakultät Maschinenwesen / IFKM
Professur für Dynamik und Mechanismentechnik
Dr. C. Wadewitz
Komplexe Zahlen - Rechenregeln
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Rechenregeln – Komplexe Zahlen
A = x A + iy A = rAeiϕ
A
A = x A − iy A = rAe − iϕ
A
e iϕ = cos ϕ + i sin ϕ
A = xA + y A
e − iϕ = cos ϕ − i sin ϕ
e =i
2
2
2
i π2
-----------------------------------------------Komplexes Produkt (Drehstreckung)
AB = ( x A + i y A )( x B + i y B ) = A B e i (α + β )
AB = BA
kommutativ
( A + B ) C = AC + BC
( AB ) C = A (BC )
A B = (a b ) e i (α − β )
distributiv
assoziativ
a= A , b= B
-----------------------------------------------Inneres Produkt (Skalarprodukt, Punktprodukt)
( A, B ) = 12 (AB + A B ) = x A x B + y A y B =
A B cos(α − β )
( A, B ) = (B, A)
( A + B, C ) = ( A, C ) + (B, C )
(( A, B ), C ) ≠ ( A, (B, C ))
-----------------------------------------------Äußeres Produkt (Vektorprodukt, Kreuzprodukt)
[A, B ] = 2i (AB − A B ) = x A y B − y A x B =
alternierend
[A, B] = −[B, A]
[A + B, C ] = [A, C ] + [B, C ]
[ [A, B], C ] ≠ [A, [B, C ] ]
A B sin(β − α )
-----------------------------------------------Weitere Rechenregeln
(1, A) = Re A
[1, A] = Im A
( A, A) = AA = x A 2 + y A 2 =
( A, B ) + i [A, B ] = A B
A
2
( Ai, B ) = [A, B ]
[A, Bi ] = ( A, B )
2 [A, B ] (C , D ) = [AC , BD ] + [AD, BC ]
2 [A, B ] ( A, B ) = [AA, BB ] + [AB, AB ] = [A 2 , B 2 ]
_,_
=
(_,_ )
und
[_,_ ]
A, Bc = Ac, B = c A, B
AC , BC = ACC , B = CC A, B
A, BC = AC , B
A, Bi = − Ai, B
Ae iϕ , Be iϕ = A, B Drehregel
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Zwanglauf und Getriebefreiheitsgrad
Der Getriebefreiheitsgrad F gibt die Anzahl der Antriebsparameter eines Getriebes an, damit
alle Getriebeglieder eindeutige Bewegungen ausführen. Die meisten Getriebe haben den
Getriebefreiheitsgrad F = 1 .
Lehrsatz: Ein Getriebe ist zwangläufig, wenn der Stellung des Antriebsgliedes bzw. der
Antriebsglieder die Stellungen der übrigen Getriebeglieder eindeutig zugeordnet
sind.
e
Allgemeine Zwanglaufgleichung
F = b(n − 1) − ∑ (b − f ) − ∑ f id
g =1
Im Raum mit b = 6 und f ≤ 5 Freiheiten folgt:
e
F = 6 (n − 1) − ∑ (6 − f ) − ∑ f id
g =1
Ebene Getriebe
In der Ebene mit b = 3 und f ≤ 2 Freiheiten folgt :
F = 3(n − 1) − ∑ (3 − f )
e
g =1
Ebene Getriebe, die nur Dreh- und Schubgelenke mit dem Gelenkfreiheitsgrad f = 1
aufweisen, werden mit dem Zwanglaufkriterium nach GRÜBLER bewertet:
F = 3(n − 1) − 2e .
Ebene Getriebe, die Dreh- und Schubgelenke mit dem Gelenkfreiheitsgrad f = 1 und
Kurvengelenke mit f = 2 aufweisen, werden mit dem Zwanglaufkriterium nach ALT
bewertet:
F = 3(n − 1) − 2e1 − e2 .
e1 - Anzahl der Gelenke mit f = 1 ( Drehgelenke, Schubgelenke )
e2 - Anzahl der Gelenke mit f = 2 ( Kurvengelenke )
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Mechanismentechnik
Umdruckblatt 1
Übertragungswinkel nach ALT
Der Übertragungswinkel
µ tritt im Gelenkpunkt zwischen Übertragungsglied und
angetriebenem Glied auf. Er ist stets der spitze Winkel zwischen absoluter und relativer
Bewegungsrichtung dieses Gelenkpunktes.
ta
0° ≤ µ ≤ 90°
B
α
µ
Übertragungsglied
µ + α = 90°
µ
3
tr
nr
4
µ = 0°
→
B0
keine Bewegung möglich
angetriebenes Glied
1
na
µ = 90°
→
optimale Bewegungsübertragung
Koppelgetriebe :
µ min ≥ 40° als grober Richtwert
Kurvengetriebe :
µ min ≥ 50° als grober Richtwert
Der minimale Übertragungswinkel
µ min tritt beim Viergelenkgetriebe in einer der
Gestelllagen (Decklage oder Strecklage von Gestell 1 und Antriebsglied 2) auf.
Beispiel
µ1 = 49° = µmin
µ2 = 89°
4
3
ϕ
2
1
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1
Mechanismentechnik
Umdruckblatt 2
Polygonmethode
Die Polygonmethode ist ein graphisches Verfahren zur Ermittlung von Momentanpolen.
Insbesondere bei höhergliedrigen Getrieben besteht eine bessere Übersicht hinsichtlich der
Reihenfolge der zu ermittelnden Pole.
Vorgehensweise
1)
2)
3)
4)
Bezeichnung aller Getriebeglieder im Lageplan (Gestell 1, Antrieb 2 usw. bis Glied n).
Zeichnen des Polygons als n-Eck mit den n Getriebegliednummern.
Kennzeichnen der sofort erkennbaren Momentanpole (Strukturpole bzw. Gelenke)
durch Verbinden der jeweils 2 entsprechenden Polygonpunkte.
Ermitteln und Markieren weiterer Momentanpole der Polkonfiguration durch
entsprechende Verbindungslinien im Polygon.
Nach dem Theorem von ARONHOLD/KENNEDY (Satz von den 3 Momentanpolen) ergibt
sich ein gesuchter Momentanpol im Schnittpunkt zweier Polgeraden.
Diese Polgeraden können im Lageplan gezeichnet werden, wenn im Polygon über der
dem gesuchten Momentanpol entsprechenden Verbindungslinie bereits zwei "Dreiecke"
existieren.
z.B. Momentanpol 13 : Dreieck 1 2 3 mit den Seiten 12 – 23 – 13
Dreieck 1 4 3 mit den Seiten 14 – 34 – 13
Beispiele
Lageplan
23
1
2
4
2
24
Polygon
34
3
1
12
4
14
13
12 - 23
14 - 34
24
12 - 14
23 - 34
3
13
Polygon
Lageplan
13
35
5
36
6
23
2
3
6
15
4
2
24
1
13
56
34
3
1
12 - 23
14 - 34
12
1
24
12 - 14
23 - 34
14
1
15
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16 - 56
13 - 35
4
5
16
36
13 - 16
35 - 56
usw.
Mechanismentechnik
Umdruckblatt 3
Polstreckenverfahren
Das Polstreckenverfahren ist ein graphoanalytisches Verfahren zur Ermittlung von
Übersetzungsverhältnissen.
Das
Übersetzungsverhältnis
wird
als
Quotient
zweier
Winkelgeschwindigkeiten definiert und lässt sich als Verhältnis zweier Polstrecken darstellen.
Polbahn 4
4
ω41
ω21
C(2)
2
C(4) 24
r12
12
14
1
1
r14
Polbahn 2
Die relative Bewegung der Glieder 2 und 4 ist durch das Abrollen der zu diesen Gliedern
gehörigen Polbahnen bestimmt. Im Momentanpol 24 liegen die Punkte C (2 ) und C (4 ) der
Glieder 2 und 4.
Die Betrachtung der Relativbewegung der Ebenen 1, 2 und 4 führt zu folgenden Beziehungen.
Prinzip der zyklischen Vertauschung
1
2
C
vC 21 + vC 14 + vC 42 = 0
→
vC 21 = vC 41 + vC 24
4
Da C (2 ) und C (4 ) im Pol 24 liegen, ist vC 24 = 0 und vC 21 = vC 41 .
vC 21 = ω 21 ⋅ r12
mit
r12 = 12 − 24
vC 41 = ω 41 ⋅ r14
mit
r14 = 14 − 24
ω 21 ⋅
12 − 24
14 − 24
= ω 41 ⋅
M
M
ω 41 12 − 24 r12
=
=
ω 21 14 − 24 r14
→
i41−21 =
gleichgerichtet
→
positive Übersetzung
entgegengesetzt gerichtet
→
negative Übersetzung
Die Polstrecken sind gerichtete Strecken.
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Mechanismentechnik
Umdruckblatt 4
Drehschubstrecke
Die Drehschubstrecke nach HAIN entspricht einer Polstrecke und ist stets positiv. Als einfache
Drehschubstrecke stellt sie den Zusammenhang bei der Relativbewegung dreier Ebenen dar,
wobei eine Ebene eine Translationsbewegung ausführt. Damit existiert ein formelmäßiger
Zusammenhang zwischen einer Geschwindigkeit v und einer Winkelgeschwindigkeit
ω.
14 ∞
vC21 = vC41 = vB = v41
24 = C
r41-21
23
r
ω21
1
3
12
34
B
4
1
v41
Für das gezeigte Getriebe lautet die Drehschubstrecke :
v41
r41−21 =
ω 21
= 12 − 24 =
r41−21
M
mit M als Zeichenmaßstab.
Herleitung
Im Pol 24 wird ein Punkt C angenommen, der sowohl zu Glied 2 als auch zu Glied 4
gehört. Die Relativgeschwindigkeit vC 24 ist gleich Null, nicht aber vC 21 und vC 41 .
vC 21 = ω 21 ⋅ 12 − 24
vC 41 = v41
Da ein Punkt, der zu zwei Ebenen gehört, die gleiche Geschwindigkeit besitzt, gilt :
vC 21 = vC 41 = vB = v41
Mit vC 21 = ω 21 ⋅ 12 − 24 folgt
→
vC 21 = v41 .
ω 21 ⋅ 12 − 24 = v41 bzw.
v41
ω 21
= 12 − 24
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Mechanismentechnik
Umdruckblatt 5
Winkelhebelprinzip
v
- Ermittlung über das Winkelhebelprinzip am zweipunktig gesteuerten Dreigelenkbogen
Geg.:
v A , vB , nA , nB
Ges.:
vC , nC
PAC
tC
nC
C
nA
vC
PBC
vB
A
vC
vB
B
vA
vA
*
nCB
nCA
nB
0
vA
vC
v-Plan
*
vCA
vC = v A + vCA
vB
vCB
v A + vCA = vB + vCB
vC = vB + vCB
Für den Fall v A = 0 oder v B = 0 liegt der einpunktig gesteuerte Dreigelenkbogen vor.
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Mechanismentechnik
Umdruckblatt 6
Normalbeschleunigung
Eine Möglichkeit zur graphischen Ermittlung der Normalbeschleunigung ist der wechselnde
Parallelenzug in seinen zwei Varianten. Der Vektor der Normalbeschleunigung zeigt stets
zum Drehpunkt. Punktfolge: S → V → T → Z
A
nA
Variante 1
ρA
vA
aAn
tA
Z
vA
T
V
beliebige Wahl des
Punktes S (S ∉ A0A)
A0
S
V
Variante 2
vA
T
A
ρA
Z
aAn
beliebige Wahl des
Punktes S (S ∉ A0A)
nA
S
A0
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Mechanismentechnik
Umdruckblatt 7
Bewegungsanalyse in komplexen Zahlen
Gegeben :
Viergelenkgetriebe mit Rast- und Gangsystem, Getriebeabmessungen
Gesucht :
Übertragungsgleichung, Übertragungsfunktionen
P13
y
y3
A
zum Gelenkpunkt B ,
B
l3
ϕ31
l2 e iϕ + l3 e iϕ = l1 + l4 e iψ ,
x3
31
und der Multiplikation der konjugiert
l4
l2
ϕ
Ausgehend von den beiden Vektorzügen
ϕ31
komplexen Größen
l3 e iϕ = l1 + l4 e iψ − l2 e iϕ
31
ψ
l1
B0
A0
x
l3 e − iϕ = l1 + l4 e − iψ − l2 e − iϕ
31
folgt die Übertragungsgleichung
F (ϕ ,ψ ) = 0 = l12 + l22 − l32 + l42 − 2l1l2 cos ϕ + 2l1l4 cosψ − 2l2 l4 cos(ϕ − ψ ) .
Vereinfacht lautet sie :
0 = A cosψ + B sin ψ + C
mit
A = 2l4 (l1 − l2 cos ϕ )
B = −2l2 l4 sin ϕ
C = l12 + l22 − l32 + l42 − 2l1l2 cos ϕ .
Unter Anwendung der Theoreme für sin ϕ und cos ϕ mit tan
B ± A2 + B 2 − C 2
ψ = 2 arctan
A−C
ϕ
2
folgt
Übertragungsfunktion 0. Ordnung
Die Übertragungsfunktionen 1. und 2. Ordnung lauten
ψ′ =
l2 l1 sin ϕ + l4 sin (ϕ − ψ )
⋅
l4 l1 sin ψ + l2 sin (ϕ − ψ )
ÜF 1. Ordnung
l l cos ϕ + (1 − ψ ′ ) l2 l4 cos(ϕ − ψ ) − ψ ′2 l1l4 cosψ
ψ ′′ = 1 2
l1l4 sin ψ + l2 l4 sin (ϕ − ψ )
2
ÜF 2. Ordnung
Die zeitabhängigen Bewegungsgrößen sind
ψ = ψ ′ϕ
Winkelgeschwindigkeit
ψ = ψ ′′ϕ 2 + ψ ′ϕ
Winkelbeschleunigung
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Umdruckblatt 8
Bewegungsanalyse der Schubkurbel
Gegeben :
Schubkurbelgetriebe mit Rastsystem, Getriebeabmessungen
Gesucht :
Schubweg s , Geschwindigkeit s und Beschleunigung s des Gleitsteins
A
l2
ϕ
a
ϑ
l3
y ,s
A0
B
s
B0∞
x ,a
Ansatzgleichung:
l 2 e iϕ + l 3 e i ϑ = a + i s
mit
s = s(ϕ ) , ϕ = ϕ (t )
Schubweg (Stellung des Gleitsteins im Koordinatensystem)
s1, 2 = l2 sin ϕ ± l32 − a 2 + l2 cos ϕ (2 a − l2 cos ϕ )
Geschwindigkeit
s′ =
l2 (s cos ϕ − a sin ϕ )
s − l2 sin ϕ
s = vB = s′ϕ
Beschleunigung
l2 (cos ϕ (2 s′ − a ) − s sin ϕ ) − s′2
s′′ =
s − l2 sin ϕ
s = aBt = s′ϕ + s′′ϕ 2
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Mechanismentechnik
Umdruckblatt 9
Leistungssatz mit Übersetzung (PSV)
Momentenbestimmung nach dem Prinzip der virtuellen Leistung
Gegeben : Lageplan einer Kurbelschwinge, ω 21 , M 41
Gesucht :
M 21
34
4
3
M41
23
M21
ω21
2
24
14
12
r12
1
1
r14
Ansatzgleichung
+
M 21ω 21 − M 41ω 41 = 0
M 21 = M 41
ω 41
ω 21
mit
ω 41
12 − 24 r12
= i41− 21 =
= =+ W
ω 21
14 − 24 r14
M 21 = + W ⋅ M 41
Hinweis: Die Vorzeichen in der Ansatzgleichung sind durch die Orientierung
der Momente bestimmt. Für den Fall, dass eine Kraft (z. B. F41 ) an
einem Getriebeglied angreift, so ist die Umrechnung in das Moment
(z. B. M 41 ) vorzunehmen. Die Lage des Momentanpols (z. B. P14 )
bestimmt die wirksame Hebellänge.
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Umdruckblatt 10
Leistungssatz mit Drehschubstrecke
Momentenbestimmung nach dem Prinzip der virtuellen Leistung
Gegeben : Lageplan einer Schubkurbel, ω 21 , F41
Gesucht :
M 21
F41(=F31)
34
4
1
3
(M31)
24
23
M21
ω21
2
r41-21
12
r12
ω31
1
r13
13
14∞
Ansatzgleichung
+
14∞
M 21ω 21 − (+ ) F41v41 = 0
M 21 = F41
v41
ω 21
mit
v41
ω 21
= r41− 21 = 12 − 24 = + W
M 21 = F41 ⋅ r41− 21
Hinweis: Die Vorzeichen in der Ansatzgleichung sind durch die Orientierung
der Momente bestimmt. Die Kraft F41 wird dabei als F31 betrachtet
und erzeugt damit ein Moment um den Pol P13 . Das eingeklammerte
Vorzeichen in der Ansatzgleichung resultiert aus dem momentan
positiven Übersetzungsverhältnis i31− 21 = r12 r13 .
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Mechanismentechnik
Umdruckblatt 11
Leistungssatz mit h - Strecken
Kräftebestimmung nach dem Prinzip der virtuellen Leistung
Gegeben : Lageplan einer Schubkurbel, v A , F41 = FB , Wirkungslinie F21 ,
¬
ω 21 = +1 rad s
Gesucht :
F21 = FA
F41=FB
B
4
1
F21=FA
hB
A
2
WL F21
v B¬
3
v A¬
hA
A0
1
B0∞
ω21
Ansatzgleichung
+
FA ⋅ hA − FB ⋅ hB = 0
FA = FB
hB
hA
Hinweis: Die Vorzeichen in der Ansatzgleichung sind durch die Orientierung
der Kraft um die Spitze der gedrehten Geschwindigkeit des jeweiligen
Kraftangriffspunktes
bestimmt.
Antriebsgeschwindigkeit
kann
Die
darstellende
beliebig
gewählt
Größe
der
werden.
Die
maßstabsunabhängige hi - Strecke ist der lotrechte Abstand der
Kraftwirkungslinie zur Spitze der gedrehten Geschwindigkeit.
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Umdruckblatt 12