Vorlesungsmanuskript "sphöarische Trigonometrie"

TU Dresden
Institut fur Planetare Geodasie
Vorlesungsmanuskript "Spharische Trigonometrie"
fur die Studiengange Geodasie und Kartographie
(Umfang: 1 Semesterwochenstunde)
zusammengestellt von S. Wachter auf der Grundlage von: K.-G. Steinert: "Spharische Trigonometrie". Kleine naturwissenschaftliche Bibliothek. Reihe Mathematik, Band 8, Teubner Verlagsgesellschaft, Leipzig, 1977.
Dresden, im Oktober 1998
1
Inhaltsverzeichnis
1 Wiederholungen und Erganzungen aus der Goniometrie und
der ebenen Trigonometrie
3
1.1 Winkelmae . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Das Gradma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2 Das Bogenma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.3 Das Zeitma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Die Winkelfunktionen und ihre Periodizitat . . . . . . . . . . . .
1.3 Additionstheoreme, Winkelverdopplung und Verwandlungsformeln
1.4 Grundformeln zur Berechnung ebener Dreiecke . . . . . . . . . .
3
3
4
5
5
9
10
2 Spharische Trigonometrie
11
3 Anwendungen der spharischen Trigonometrie
27
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
Kreise und Winkel auf der Kugel . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Das spharische Dreieck und sein Polardreieck . . . . . . . . . . . 13
Grundformeln zur Berechnung spharischer Dreiecke . . . . . . . . 15
Abgeleitete Formeln zur Berechnung spharischer Dreiecke . . . . 18
Berechnung allgemeiner und spezieller spharischer Dreiecke . . . 19
2.5.1 Die sechs Grundaufgaben zur Berechnung allgemeiner spharischer Dreiecke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.5.2 Rechtwinklige und rechtseitige spharische Dreiecke . . . . 21
2.6 Mehrdeutige Losungen bei der Berechnung spharischer Dreiecke . 22
2.7 Der spharische Exze und die Flache des spharischen Dreiecks . . 24
2.8 Dierentialformeln fur das spharische Dreieck . . . . . . . . . . . 26
3.1 Berechnungen auf der Erdkugel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.1.1 Spharische Koordinaten eines Punktes auf der Erdoberache 27
3.1.2 Der Satz von Legendre - kleine spharische Dreiecke . . . . 28
3.1.3 Die Loxodrome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.2 Anwendungen aus der spharischen Astronomie . . . . . . . . . . 32
3.2.1 Das Horizontalkoordinatensystem . . . . . . . . . . . . . . 32
3.2.2 Die A quatorkoordinatensysteme . . . . . . . . . . . . . . 34
3.2.3 Das nautische Dreieck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.2.4 Koordinatentransformation mit Drehmatrix . . . . . . . . 37
3.2.5 Einige Bemerkungen zu Zeitsystemen . . . . . . . . . . . 39
3.2.6 Auf- und Untergangsberechnungen - Berechnung der Dammerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.2.7 Berechnung von Sonnenuhren . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2
Vorbemerkungen und Literaturempfehlung
Die spharische Trigonometrie beschaftigt sich mit Berechnungen auf der Kugel und gehort zu den Disziplinen der elementaren Mathematik. Bedeutung
kommt ihr bei der Ausbildung von Geodaten und Kartographen zu, da diese
Studierenden eine besondere Beziehung zu unserer Erde (hier als Kugel betrachtet) und auch zu den Vorgangen am Himmel haben sollten. Es wird gezeigt, wie
sich mit relativ einfachen Rechnungen viele interessante Probleme auf der Erdoberache oder an der Himmelskugel klaren lassen. Um das ohnehin schon sehr
gestrate Manuskript nicht zusatzlich zu belasten, wird an vielen Stellen auf eine ebenfalls vom Institut zusammengestellte Formelsammlung verwiesen. Durch
praktische Rechnung und Losung angewandter Aufgaben in den U bungen wird
der gebotene Sto vertieft und gefestigt. Nachdem die Probleme erkannt und
Losungswege gefunden wurden, sollte man sich auch bemuhen, Sicherheit in der
Zahlenrechnung zu erlangen.
Fur Interessierte kann folgende Vertiefungsliteratur angegeben werden:
K.-G. Steinert: Spharische Trigonometrie. Kleine naturwissenschaftliche Bibliothek. Reihe Mathematik, Band 8, Teubner Verlagsgesellschaft, Leipzig, 1977
R. Sigl: Ebene und spharische Trigonometrie. Akademische Verlagsgesellschaft
Frankfurt am Main,1969 und Wichmann Verlag, Karlsruhe, 1977
H. Dorrie: Ebene und spharische Trigonometrie. Verlag von R. Oldenburg, Munchen,
1950
In vielen Lehrbuchern der Mathematik gibt es kurze Darstellungen der spharischen Trigonometrie, ebenso in vielfaltigen Formelsammlungen.
1 Wiederholungen und Erganzungen aus der
Goniometrie und der ebenen Trigonometrie
1.1 Winkelmae
1.1.1 Das Gradma
Wird ein Kreis durch Radien in 360 gleiche Teile geteilt, so ist der Richtungsunterschied zweier benachbarter Radien die Maeinheit 1 Grad = 1Æ. Fur die
Unterteilung dieser Einheit gilt 1Æ = 600 = 360000.
Ein rechter Winkel (1/4 Vollkreis) = 90Æ. Auch die dezimale Schreibweise
ist moglich, z.B. 10Æ1502700 = 10; 2575Æ.
Auf der Erdoberache wird deniert: 10 = 1 sm (Seemeile). Bei Annahme
eines mittleren Erdradius von 6371 km ergibt sich eine Seemeile zu 1; 853 km.
3
Bei Einteilung des Kreises in 400 gleiche Teile erhalt der Richtungsunterschied zweier benachbarter
Radien die Bezeichnung 1 Neugrad oder 1 Gon (Zeichen gon oder g ). 1 Gon wirdcc in 100 Neuminuten (Zeichen c), eine Neuminute in
100 Neusekunden (Zeichen ) unterteilt:
1g = 100c = 10000cc:
Ein rechter Winkel (1/4 Vollkreis) = 100 gon. U blich ist auch die Bezeichnung
1 gon = 1000 mgon(Milligon)
oder auch
10g11c12cc = 10; 1112g:
Auf der Erdoberache entspricht 0:01 gon= 1c einer Entfernung von 1 km.
Umrechnungen:
1Æ = 1; 11111 gon;
1g = 0; 9Æ = 540 = 324000:
1.1.2 Das Bogenma
Die Lange eines Kreisbogenstuckes b ist eine Funktion des dazugehorigen Zentriwinkels und des Radius R des Kreises.
Als Bogenma eines Winkels wird die Lange des Kreisbogens b
bezeichnet, der zum Winkel gehort, wenn der Radius des Kreises gleich 1 ist:
b = arc :
Aus der Verhaltnisgleichung
Æ
arc ergeben sich folgende Umrechnungen
bzw.
= 360
2
Æ
180Æ ;
Æ = arc arc = Æ 180
Æ
4
oder
g = arc bzw.
200g ;
arc = g 200g :
Der Quotient 180Æ/ entspricht der Maeinheit 1 Radiant (1 rad):
1 rad = 57Æ1704500 = 63; 6620 gon;
1 rad = 20626500:
Fur diesen Winkel ist die Bogenlange gleich dem Radius des Kreises.
1.1.3 Das Zeitma
In der Geodasie, besonders aber in der Astronomie, kommt es oft vor, da Winkel
im Zeitma angegeben werden. Der Zusammenhang wird durch die Rotation der
Erde um ihre Achse hergestellt. In 24 Stunden dreht sich die Erde einmal um
ihre Achse
24h =^ 360Æ;
1h =^ 15Æ; 1 min =^ 150; 1 s =^ 1500;
1Æ =^ 4 min; 10 =^ 4 s; 100 =^ 0; 067 s:
1.2 Die Winkelfunktionen und ihre Periodizitat
In einem rechtwinkligen Dreieck
sind die beiden Winkel eindeutig durch die Seitenverhaltnisse
deniert. Diese Seitenverhaltnisse bezeichnet man als trigonometrische Funktion
a
sin = Gegenkathete
Hypothenuse = c ;
Ankathete b
Kosinus : cos =
Hypothenuse = c ;
entsprechend sin = b=c und cos = a=c.
Praktische Erfordernisse ergeben weitere von diesen zwei Grunddenitionen
abgeleitete Formeln:
Gegenkathete = a = sin ; tan = b = sin Tangens : tan =
Ankathete b cos a cos Sinus :
5
und im folgenden nur fur den Winkel aufgeschriebene Formen:
1 ;
Kotangens : cot =
tan 1
Kosecans : cosec =
sin ;
1
Sekans : sec =
cos :
Aus
a2 b2 a2 + b2
+ =
= 1 mit a2 + b2 = c2 (Satz des Pythagoras)
c2
ergibt sich:
c2
c2
sin2 + cos2 = 1:
Mit Hilfe dieser Zusammenhange lat sich jede trigonometrische Funktion
durch die anderen ausdrucken:
sin =
p
sin cos {
p
1 cos2 cos = 1 sin2 {
p
1cos cos2 sin
p
tan =
2
1 sin p
1 sin2 p cos cot =
sin 2
1 cos tan cot p tan p 1
p 1
p cot {
cot1 tan1 {
1 + tan2 1 + cot2 1 + tan2 1 + cot2 Die Vorzeichen der Wurzeln werden durch die folgenden Betrachtungen festgelegt.
6
Am Einheitskreis lassen sich die
Werte und Vorzeichen der einzelnen Funktionen ablesen
sin = aP;
cos = bP;
und es werden folgende Vorzeichen erhalten:
Quadrant
Winkelfunktion I II III IV
sin cos tan cot + +
+
+
+
+
+
+
Die Darstellung der Funktionswerte in Abhangigkeit vom Winkel ergibt folgende
Kurven:
7
An diesen Kurven ist zu sehen, da sich die Funktionen von beliebigen Winkeln leicht auf den ersten Quadranten zuruckfuhren lassen.
z.B. II Quadrant:
sin(90Æ + ) = + cos ;
sin(180Æ ) = + sin ;
III Quadrant:
sin(180Æ + ) = sin ;
sin(270Æ ) = cos ;
IV Quadrant:
sin(270Æ + ) = cos ;
sin(360Æ ) = sin :
Im ersten Quadrant gilt auerdem:
sin = cos(90Æ ) und cos = sin(90Æ ):
Ein Winkel (90Æ ) wird als Komplementwinkel,
ein Winkel (180Æ )
Æ
als Supplementwinkel und ein Winkel (360 ) als Implementwinkel zu bezeichnet.
In einem gleichseitigen Dreieck (Seitenlange = 1) oder rechtwinklig gleichschenkligen Dreieck (Schenkellange = 1) lassen sich leicht Werte der trigonometrischen Funktionen fur die speziellen Werte 30Æ; 45Æ und 60Æ ermitteln.
Winkel
Funktion 0Æ = 0 30Æ = =6 45Æ = =4 60Æ = =3 90Æ = =2
sin 0
cos 1
tan 0
cot 1
1 p2
2
1 p2
2
1
2
1 p3
2
p1
3
p
3
8
1
1p
2 3
1
2
p
3
1
1
p1
0
3
1
0
Die Berechnung der trigonometrischen Funktionswerte fur beliebige Winkel
erfolgt uber Potenzreihen, z.B
3
5
7
sin x = x x3! + x5! x7! + ::: (x im Bogenma):
Fur den Praktiker stehen die Werte schon im einfachsten Taschenrechner
meist mit genugender Genauigkeit zur Verfugung, in EDV-Programmen mit
beliebiger Genauigkeit.
1.3 Additionstheoreme, Winkelverdopplung und Verwandlungsformeln
Mit Hilfe der Additionstheoreme lassen sich trigonometrische Funktionen von
Winkelsummen oder -dierenzen in Ausdrucke verwandeln, die nur die Einzelwinkel enthalten.
Aus nebenstehender Figur lat
sich ablesen:
sin(+) = sin cos +cos sin ;
cos(+) = cos cos sin sin :
Weitere Formen s. Formelsammlung Teil A.1.
Beziehungen zwischen den Winkelfunktionen des einfachen und des doppelten Winkels erhalt man, indem in den Additionstheoremen = gesetzt wird:
sin2 = 2 sin cos ;
cos2 = cos2 sin2 = cos2 (1 cos2 ) = 2 cos2 1 = 1 2 sin2 :
Mit den Verwandlungsformeln werden die Summen oder Dierenzen der trigonometrischen Funktionen zweier Winkel in Produkte von Funktionen der halben Summe bzw. Dierenz dieser Winkel verwandelt.
Durch Addition bzw. Subtraktion der beiden Additionstheoreme
sin( + ) = sin cos + cos sin ;
sin( ) = sin cos cos sin ;
ergibt sich:
sin( + ) + sin( ) = 2 sin cos 9
und
sin( + ) sin( ) = 2 cos sin :
Nachdem gesetzt wird:
+ = x;
= y;
folgt:
x+y
=
2
und
x y:
=
2
Und es werden die Verwandlungsformeln erhalten:
sin x + sin y = 2 sin x +2 y cos x 2 y ;
sin x sin y = 2 cos x +2 y sin x 2 y
(Formelsammlung A.2.)
1.4 Grundformeln zur Berechnung ebener Dreiecke
Man zeichnet ein beliebiges Dreieck mit der Hohe hc (Lot von C
auf c), die c in p und q unterteilt.
Leicht lat sich ablesen
hc = b sin hc = a sin Nach dem Gleichsetzen erhalt man den ebenen Sinussatz
b sin = a sin oder
a = b = c (Formelsammlung B:1:)
sin sin sin 2
Setzt man a = h2c + q2 (Satz des Pythagoras),
a2 = h2c + (c p)2 = h2c + c2 2cp + p2;
so erhalt man mit h2c + p2 = b2 und p = b cos den ebenen Kosinussatz:
a2 = b2 + c2 2 b c cos (Formelsammlung B:2:):
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Mit Sinussatz und Kosinussatz lassen sich alle Stucke im ebenen Dreieck
berechnen, wenn 3 Stucke gegeben sind. Mindestens eines von den 3 Stucken
mu eine Seite sein.
Auf die Tangentenformeln (Formelsammlung B.3.) sei an dieser Stelle hingewiesen.
2 Spharische Trigonometrie
Die spharische Trigonometrie beschaftigt sich mit der Berechnung von Dreiecken
auf der Kugeloberache. Die Seiten der Dreiecke konnen dabei keine geraden
Linien sein, da die Kugeloberache eine gekrummte Flache ist. Die Seiten werden
durch den Winkel zwischen den Kugelradien nach den Eckpunkten der Dreiecke
ausgedruckt. Die Winkel der Dreiecke werden durch die Tangenten an die Seiten
in den Eckpunkten der Dreiecke gebildet.
2.1 Kreise und Winkel auf der Kugel
Wird eine Kugel von einer Ebene geschnitten, so ist die Schnittlinie an der
Kugeloberache stets ein Kreis.
a) Ist der Abstand der Schnittebene
vom Kugelmittelpunkt gleich 0, d.h.
der Kugelmittelpunkt liegt in der
Schnittebene, so ist die Schnittlinie
ein Grokreis. Der Radius des Grokreises ist gleich dem Kugelradius R.
b) Ist der Abstand der Schnittebene
vom Kugelmittelpunkt groer als 0
aber kleiner als R, so ist die Schnittlinie ein Kleinkreis mit dem Radius
r (r < R).
c) Ist der Abstand der Schnittebene vom Kugelmittelpunkt gleich
dem Kugelradius R, so wird die
Schnittebene zur Tangentialebene,
die Schnittlinie wird zum Tangentialpunkt.
Die im Mittelpunkt auf einer Kreisebene K mit dem Radius r senkrecht
stehende Gerade trit die Kugeloberache in den Polen P (Nahpol) und P0
(Fernpol).
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Die Absta0 nde des Kreises K von
P bzw. P konnen auf zwei Arten
deniert werden:
a) direkte Abstande x und y von
den Polen,
b) spharische Abstande und 0
von den Polen. Aus den Abbildungen kann abgelesen werden:
x = p ; daraus x2 = 2Rp; x = p2Rp bzw: y = p2Rq:
sin 2 = 2R
x
Fur die auf der Kugeloberache gemessenen kurzesten Abstande des Kreises
K von den Polen sind die Zentriwinkel und 0 Mazahlen:
p2R p r p
x
sin 2 = 2R = 2R = 2R ;
bzw.
rq
0
sin 2 = 2R :
Aus den letzten beiden Bildern ist der Radius des Kleinkreises direkt ablesbar:
r = R cos ';
r = R sin :
Der Grokreis (geodatische Linie) ist die kurzeste Verbindung zwischen zwei
Punkten auf der Kugeloberache.
Fur die Lange eines Grokreisbogens AB ergibt sich:
dB = R arc = (=180Æ) R Æ;
A
wobei der Winkel zwischen den Radien nach A und B im Zentrum der Kugel
sein soll.
Fur die Lange des Kleinkreisbogens AB gilt:
dB = r arc ;
A
wobei jetzt der Winkel ist, den die Kleinkreisradien nach A und B in der
Schnittebene des Kleinkreises einschlieen.
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Der Nachweis dafur, da der
Grokreisbogen zwischen A und
B kurzer ist als alle denkbaren Kleinkreisbogen, ist leicht zu
fuhren, indem man die Kleinkreisebene ABO' und die Grokreisebene ABO in der gleichen
Ebene zeichnet.
Auf der Erdkugel sind die Meridiane und der A quator Grokreise, die zum
A quator parallelen Breitenkreise sind Kleinkreise.
Zwei beliebige Kugelgrokreise, deren Ebenen nicht zusammenfallen, teilen
die ganze Kugel in vier Kugelzweiecke.
a1; a2 = Grokreise;
=Schnittpunkte der Grokreise, diese liegen auf einem Kugeldurchmesser,
Æ = Schnittwinkel:
Je zwei der vier Kugelzweiecke
sind gleich gro.
A; A0
Fur die Flache eines Kugelzweiecks mit den Winkeln Æ lat sich folgende
Verhaltnisgleichung aufstellen:
Flache Kugelzweieck = FZ = Æ :
Flache Kugel
FK 2
Mit
FK = 4R2
folgt:
FZ = 2Æ wenn R = 1;
Æ
bzw. FZ = (2Æ )=180 , wenn Æ in Grad gegeben ist.
2.2 Das spharische Dreieck und sein Polardreieck
Drei nicht zusammenfallende Ebenen, die alle den Kugelmittelpunkt enthalten,
schneiden die Oberache der Kugel in 3 Grokreisen. Diese 3 Grokreise teilen
die Kugeloberache in 8 Dreiecke.
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Als Grunddreieck wollen wir das
Dreieck ABC mit den Winkeln
; ; bezeichnen.
Die Seiten des Dreiecks - die
Bogen AB, BC, CA werden im
Winkelma angegeben und entsprechen den Winkeln zwischen
zwei Radien nach den Eckpunkten (a, b, c).
Das Gegendreieck A0 ; B0; C0
stimmt in den Seiten und Winkeln mit dem Grunddreieck uberein.
Desweiteren sind im Bild 3 Scheiteldreiecke AB0 C0, BA0C0 und CA0 B0 zu
erkennen. Diese haben mit dem Grunddreieck einen Winkel und mit dem Gegendreieck eine Seite gemeinsam.
Die 3 Nebendreiecke ABC0, ACB0 und BCA0 haben mit dem Grunddreieck
eine Seite und mit dem Gegendreieck einen Winkel gemeinsam.
Wir betrachten das spharische Dreieck ABC, dessen Seiten a; b; c sich aus
den drei Grundkreisebenen ergeben. Die zugehorigen Pole werden mit A ; B ; C
bezeichnet.
Die Grokreisverbindungen zwischen den Polen A , B , C lassen
das sogenannte Polardreieck entstehen. Es sind jeweils die Pole
zu benutzen, die dem Grunddreieck am nachsten stehen (links
von der Pfeilrichtung).
Zwischen den Seiten und Winkeln des Grunddreiecks und denen des Polardreiecks bestehen
folgende Beziehungen:
Wird z.B. c in A um ( ) gedreht, so wandert C nach B um den Winkel
a. Es gilt: a = und entsprechend b = , c = .
Wird andererseits c in A um gedreht, wandert C nach B um den
Winkel a. Es gilt a = und entsprechend b = ; c = .
Die Seiten eines Polardreiecks sind gleich den Supplementen der Winkel des
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Grunddreiecks. Die Winkel des Polardreiecks sind gleich den Supplementen der
Seiten des Grunddreieckes.
Da jedes spharische Dreieck das Polardreieck seines Polardreiecks ist, gilt
der Satz auch umgekehrt.
A hnlich wie beim ebenen Dreieck gibt es auch beim spharischen Dreieck eine
Reihe von Sonderfallen, die in der folgenden Tabelle zusammengestellt sind:
Bezeichnung des
spharischen Dreiecks
1. gleichschenkliges Dreieck
2. gleichseitiges Dreieck
3. rechtwinkliges Dreieck
4. rechtseitiges Dreieck
5. rechtwinklig-gleichschenkliges
Dreieck
6. rechtseitig-gleichschenkliges
Dreieck
7. doppelrechtwinkliggleichschenkliges oder
doppelrechtseitiggleichschenkliges Dreieck
8. rechtwinklig-gleichseitiges
oder rechtseitig-gleichseitiges Dreieck (Kugeloktant)
Seiten
Winkel
a = b; c
a=b=c
a, b, c
a, b, c = =2
a = b; c
a = b; c = =2
a, b = c = =2
= ; ==
; ; = =2
; ; = ; = =2
a = b = c = =2
= = = =2
= ; ; = = =2
Bemerkenswert in dieser Tabelle sind die Falle 7 und 8. Hier ist zu sehen,
da die Winkelsumme im spharischen Dreieck groer als werden kann.
Bisher sind nur spharische Dreiecke betrachtet worden, deren Seiten und
Winkel 180Æ waren. Das soll auch im folgenden so sein. Solche Dreiecke werden
als Eulersche Dreiecke bezeichnet.
2.3 Grundformeln zur Berechnung spharischer Dreiecke
Von O aus werden 3 Strahlen gezogen, die die Winkel a, b, c einschlieen.
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Legt man ebenfalls um O eine
Kugel mit dem Radius 1, so entsteht ein Dreikant, welches an
der Kugeloberache das spharische Dreieck ABC aufspannt.
Nach Erganzung des Dreikantes durch einige Hilfslinien kann
leicht der sparische Sinussatz gefunden werden.
Vom Punkt C wird das Lot auf die Ebene OAB bis Z gefallt. Ebenfalls von
C werden die Lote auf die Kanten OA bis P und OB bis Q gefallt. Schlielich
wird Z mit P und Q verbunden.
Es gilt:
OQ = cosa; CQ = sina; OP = cosb; CP = sinb;
im Dreieck CPZ gilt
CZ = CZ ; daraus CZ = sin sin b;
sin = CP
sin b
im Dreieck CQZ gilt:
CZ = CZ ; daraus CZ = sin sin a:
sin = CQ
sina
Nach Gleichsetzen der beiden Ausdrucke fur CZ wird der Sinussatz der
spharischen Trigonometrie erhalten:
sin = sin (FormelsammlungC:1:):
sin a sin b
Die weiteren Formen werden durch zyklische Vertauschung erhalten.
Fur nachfolgende Betrachtungen kann auerdem am Dreikant abgelesen werden:
im Dreieck PCZ gilt:
PZ = PZ ;
cos = PC
sin b
PZ = cos sin b;
im Dreieck QCZ gilt:
QZ = QZ ;
cos = QC
sin a
QZ = cos sin a:
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Nach Abwicklung des Dreikantes
in die Ebene und Erganzung 0durch
weitere Hilfslinien PF, QF , ZG
und ZG0 lassen sich weitere Beziehungen herstellen:
OQ = OF + FQ = OF + GZ;
OQ = cosa;
OF = cosb cosc (Dreieck OFP);
GZ = PZ sinc = cos sin b sin c
(Dreieck GZP);
Also:
cosa = cosb cosc+sinb sin c cos ;
ebenso
OP = OF0 + PF0 = OF0 + G0 Z;
cosb = cosa cosc + sin a sinc cos :
Diese Ergebnisse sind 2 Formen des spharischen Seitenkosinussatzes (Formelsammlung C.2.). Die 3. Gleichung wird durch zyklische Vertauschung erhalten.
Desweiteren kann aus der Figur abgelesen werden
GF = Z Q = PF PG;
sin a cos = cosb sin c sin b cosc cos :
Diese Gleichung ist eine Form der Funfstuckebeziehungen oder des Sinus - Kosinussatzes. Weitere funf Formen werden durch zyklische Vertauschung erhalten
(Formelsammlung C.4., erster Teil).
Lost man eine Funfstuckebeziehung nach dem cos-Produkt auf, so erhalt
man eine Form des Kotangentensatzes:
sin c sin a cos :
cosc cos = cosb
sinb
sinb
Mit
sina sin sin b = sin folgt:
cosc cos = cot b sinc sin cot (Formelsammlung C:5:):
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Der Kotangentensatz stellt eine Beziehung zwischen vier aufeinanderfolgenden Stucken im spharischen Dreieck her.
Weitere Grundformeln zur Berechnung spharischer Dreiecke werden durch
Anwendung bisher bekannter Formeln auf das Polardreieck erhalten.
Die Anwendung des Seitenkosinussatzes auf das Polardreieck liefert den Winkelkosinussatz:
cosa = cos b cosc + sin b sinc cos ;
cos( ) = cos( ) cos( ) + sin( ) sin( ) cos( a);
cos = cos cos sin sin cosa;
cos = cos cos + sin sin cosa
(Formelsammlung C.3.).
Der Winkelkosinussatz ist der polare Seitenkosinussatz. Die Anwendung der
Funfstuckebeziehungen auf das Polardreieck liefert 6 weitere Formen (Formelsammlung C.4., zweiter Teil).
Sinussatz und Kotangentensatz sind zu sich selbst polar, sie liefern keine
neuen Formeln bei Anwendung auf das Polardreieck.
2.4 Abgeleitete Formeln zur Berechnung spharischer Dreiecke
Die abgeleiteten Formeln waren fruher sehr zweckmaig bei logarithmischen
Rechnungen, da hier statt Summen und Dierenzen von Winkelfunktionen nur
Produkte auftreten. Aber auch gegenwartig werden die abgeleiteten Formeln
noch vorteilhaft benutzt.
Ausgehend vom Seitenkosinussatz
cosa = cosb cosc + sin b sin c cos ;
cosc ;
cos = cosasin bcosb
sinc
wird auf beiden Seiten +1 addiert
cosc + sin b sinc ;
1 + cos = cosasin bcosb
sinc
sin b sinc
cosa
(cosb
cosc
sin b sin c) = cosa cos(b + c) :
1 + cos =
sin b sin c
sin b sin c
Unter Anwendung der Verwandlungsformel (Formelsammlung A.2.)
cosx cosy = 2 sin x +2 y sin x 2 y
auf den Zahler der rechten Seite (mit x = a; y = b + c) wird erhalten:
2 sin a + b2 + c sin a b2 c 2 sin a + 2b + c sin b + 2c a
1 + cos =
=
;
sinb sin c
sin b sinc
18
da
Mit
und
ergibt sich:
sin b + 2c a = sin a b2 c :
1 + cos = 2 cos2 2 (FormelsammlungA:1:)
s = (a + 2b + c)
s sin(s a) ;
2 cos2 2 = 2 sinsin
r b sin c
s sin(s a) :
cos 2 = sinsin
b sinc
Diese Formel wird als Halbwinkelformel bezeichnet. Werden beide Seiten der
Ausgangsgleichung von 1 subtrahiert, wird ein Ausdruck fur sin =2 erhalten.
Ausgehend vom Winkelkosinussatz werden Halbseitenformeln abgeleitet.
Halbwinkel- und Halbseitenformeln sind unter dem Begri "Halbstucksrelationen" zusammengefat (Formelsammlung C.6.).
Die Tangentenformeln (Formelsammlung C.7.) gehen direkt aus den Halbstucksrelationen hervor :
sin tan 2 = cos 2 :
2
Die Delambreschen Formelpaare (Formelsammlung C.8.) werden erhalten durch
Einsetzen der Halbstucksrelationen in die Additionstheoreme, z.B.:
cos( +2 ) = cos( 2 + 2 ) = cos 2 cos 2 sin 2 sin 2 :
Durch Division zweier Delambreschen Formeln ergeben sich die Neperschen Analogien (Nepersche Tangentenformeln) (Formelsammlung C.9.).
Somit stehen zur Auosung des spharischen Dreiecks bisher 69 Formeln zur
Verfugung.
2.5 Berechnung allgemeiner und spezieller spharischer Dreiecke
2.5.1 Die sechs Grundaufgaben zur Berechnung allgemeiner spharischer Dreiecke
Wenn in einem allgemeinen spharischen Dreieck drei Stucke gegeben sind, ist
seine Berechnung moglich.
Sechs Grundaufgaben mit den im folgenden jeweils gegebenen drei Stucken
sind zu unterscheiden:
19
1. drei Seiten (a, b, c);
2. drei Winkel (; ; );
3. zwei Seiten und der von ihnen eingeschlossene Winkel (a; b; ; b; c; ; c; a; );
4. eine Seite und die beiden anliegenden Winkel (a; ; ; b; ; ; c; ; );
5. zwei Seiten und der der einen gegenuberliegende Winkel
(a; b; ; b; c; ; c; a; ) oder (a; b; ; b; c; ; c; a; );
6. zwei Winkel und die dem einen gegenuberliegende Seite
(; ; a; ; ; b; ; ; c) oder (; ; b; ; ; c; ; ; a).
Jede dieser sechs Grundaufgaben kann man mit dem System der Grundformeln der spharischen Trigonometrie (Abschnitt 2.3.) oder mit dem System der
abgeleiteten Formeln (Abschnitt 2.4.) bzw. unter Verwendung von Formeln aus
beiden Systemen losen. Eine Zusammenstellung von Losungsvorschlagen fur die
unter 1. bis 6. jeweils an erster Stelle genannte Kombination von gegebenen drei
Stucken ist in der Formelsammlung unter C.10. gegeben. Besondere Beachtung
verdienen hier die Falle 5 und 6. In beiden Fallen mu immer zuerst mit dem Sinussatz gerechnet werden. Der Sinussatz liefert aber im Bereich von 0 bis zwei
Losungen, so da eine zweideutige Losung fur das spharische Dreieck vorliegen
kann.
In nebenstehendem Fall 5 sind a,
b und gegeben. Die Moglichkeit der Zweideutigkeit ist gezeigt.
Nur eine Losung wird es geben, wenn a > b. Die Entscheidung uber den richtigen Winkel
kommt erst in der weiteren
Rechnung.
In allen anderen Fallen sollte man die Rechnungen mit dem Sinussatz vermeiden, da andere trigonometrische Funktionen (cos; tan) zur Verfugung stehen,
die sich mittels des Vorzeichens eindeutig den Quadranten zuordnen lassen.
Die fehlenden Ausdrucke in einigen Formeln unter C.10. sollten selbstandig
erganzt werden.
20
2.5.2 Rechtwinklige und rechtseitige spharische Dreiecke
Rechtwinklige spharische Dreiecke haben mindestens einen
rechten Winkel. Ist = 90Æ, so
sind a und b die Katheten, und c
ist die Hypothenuse.
Da die trigonometrischen Funktionen fur den Winkel 90Æ die speziellen Funktionswerte sin90Æ = 1; cos90Æ = 0 besitzen gilt:
sin = sin a :
Sinussatz:
sin sin c
Mit sin = 1 folgt:
sin = sina
sin c :
Seitenkosinussatz:
cosc = cosa cosb + sin a sinb cos :
Mit cos = 0 folgt:
cosc = cosa cosb:
Kotangentensatz:
cosb cos = sin b cot c sin cot :
Mit cot = 0 folgt:
cos = tanb
tanc
oder
cosb cos = sin b cot a sin cot ;
mit cos = 0 und sin = 1 folgt:
tan = tana
sinb ;
usw.
Die Verallgemeinerung der Ergebnisse kann in der Neperschen Regel zusammengefat werden:
Die Stucke eines rechtwinkligen Dreieckes werden fortlaufend
gleichmaig auf einen Kreis (Neperscher Ring) geschrieben. Der
rechte Winkel wird dabei ausgelassen und die Katheten durch
die Komplemente ersetzt.
21
Jetzt gilt die Regel: Der Kosinus eines Stuckes im Neperschen Ring ist gleich
dem Produkt der Kotangens der beiden anliegenden Stucke oder gleich dem Produkt der Sinus der beiden nichtanliegenden StuÆ cke (Formelsammmlung C.11.).
Folgende Beziehungen sind im Fall ( = 90 ) ablesbar:
sin a = sin sin c = tanb cot ;
sin b = sin sin c = tana cot ;
cos = sin cosa = tan b cot c;
cosc = cosa cosb = cot cot ;
cos = sin cosb = tan a cotc:
Sind beispielsweise und c gegeben, und es besteht die Aufgabe, , a und
b jeweils nur mit den gegebenen Stucken zu berechnen, dann sind die folgenden
Beziehungen zu benutzen:
cosc = cot cot daraus cot = cosc tan ;
cos = tan a cotc daraus tan a = cos tan c
und
sinb = sin sin c:
Diese Nepersche Regel gilt auch
fur das rechtseitige Dreieck, nur
wird hier auf dem Neperschen
Ring die rechte Seite ausgelassen
und zusatzlich der der rechten
Seite gegenuberliegende Winkel
durch den Supplementwinkel ersetzt (Formelsammlung C.11).
2.6 Mehrdeutige Losungen bei der Berechnung spharischer Dreiecke
In den Fallen 5 und 6 zur Berechnung allgemeiner spharischer Dreiecke konnen
sich Mehrdeutigkeiten ergeben. Es sollen deshalb hier einige Regeln angegeben
werden, mit deren Hilfe auch bei Rechnung mit dem Sinussatz richtige Losungen
gefunden werden konnen.
In Abschnitt 2.2. wurde schon gezeigt, da die Winkelsumme im spharischen
Dreieck groer als 180Æ werden kann. Im folgenden wirdÆ gezeigt, da die Winkelsumme im spharischen Dreieck immer groer als 180 ist.
Im Winkelkosinussatz
cos = cos cos + sin sin cosc
22
wird gesetzt
dann gilt:
= 180Æ Æ;
cos = cos Æ cos + sin Æ sin cosc
(cosc kann Werte zwischen 1 und +1 annehmen).
Setzt man cosc = +1, also c = 0, dann wird die rechte Seite gewi zu gro,
und es gilt:
cos < cos Æ cos + sin Æ sin ;
cos < cos(Æ );
> Æ ;
> 180Æ ;
also
+ + > 180Æ:
Der U berschu der Winkelsumme im spharischen Dreieck wird als der spharische Exze " bezeichnet. Im folgenden Abschnitt wird dazu mehr gesagt. Oftmals
hilft diese Winkelsummenbedingung, Mehrdeutigkeiten zu beseitigen.
Ohne weitere Beweise sollen noch einige Regeln angegeben werden, mit denen
Losungen beurteilt werden konnen:
Die Summe zweier Winkel im spharischen Dreieck ist kleiner als der um
vergroerte dritte Winkel ( + < + ).
Jede Seite im spharischen Dreieck ist groer als die Dierenz der beiden
anderen (a > b c).
Jede Summe zweier Seiten im spharischen Dreieck ist groer als die dritte
(a + b > c).
Der Umfang eines spharischen Dreieckes ist kleiner als 360Æ
(360Æ > a + b + c):
Im spharischen Dreieck liegt dem groeren von zwei Winkeln die groere
Seite gegenuber. Umgekehrt liegt der groeren Seite der groere Winkel
gegenuber (wenn b < a dann < ).
Eine Erweiterung dieser Aussage fuhrt (ohne Ableitung) zur Halbsummenregel:
Die halbe Summe zweier Winkel im spharischen Dreieck und die halbe
Summe der diesen Winkeln gegenuberliegenden Seiten ist jeweils entweder
ein stumpfer, ein rechter oder ein spitzer Winkel.
23
Es sind bei der Losung der Grundaufgaben 5 und 6 jeweils 2 Falle zu unterscheiden.
Grundaufgabe 5.
1. Fall
a+b > ) + > ;
2
2
2 2
(geometrisch eindeutig);
<
2 )> 2
>
2 ) < 2 oder > 2 (geometrisch zweideutig):
2. Fall
a + b < ) + < ;
2
2
2
2
<
)
< oder >
2
2
2 (geometrisch zweideutig);
>
(geometrisch eindeutig):
2 )< 2
Entsprechendes gilt fur die Grundaufgabe 6, wobei die Seiten durch die Winkel und die Winkel durch die Seiten zu ersetzen sind.
2.7 Der spharische Exze und die Flache des spharischen
Dreiecks
Im vorigen Abschnitt wurde der spharische Exze " als U berschu der Winkelsumme uber 180Æ deniert.
Da in Eulerschen Dreiecken die Winkelsumme maximal 3 betragen darf,
gilt:
"max = 2 :
Ein solches Dreieck ist zu einer Halbkugel mit der Flache I = 2R2 (bzw.
I = 2 fur die Einheitskugel) entartet. Da die drei Winkel gestreckt sind, verschwinden die Ecken. Oensichtlich ist mit dem maximalen Exze auch die maximal mogliche Flache eines spharischen Dreieckes uberhaupt verbunden. Ein
anderes spharisches Dreieck, dessen Oberache
I = 21 R2
betragt (das zugehorige Dreikant konnte der Kugeloktant sein), besitzt die Winkel
=== :
2
Der spharische Exze ist in diesem Fall
"= :
2
24
Aus dem Vergleich der Flachen und der Exzesse dieser beiden Dreiecke ist
ersichtlich, da beide Groen miteinander zusammenhangen.
Im folgenden soll dieser Zusammenhang untersucht werden.
Die Seiten des spharischen Dreiecks ABC wurden zu vollen Grokreisen
erganzt.
Jetzt zerfallt die Oberache der
Halbkugel in 4 spharische Dreiecke, deren Flachen mit Fi bezeichnet werden
O = F1 + F2 + F3 + F4;
2
mit
F1 = ABC;
F2 = AB0C0;
F3 = AB0 C;
F4 = ABC0 :
Je zwei der genannten spharischen Dreiecke bilden zusammen ein spharisches
Zweieck, welches jeweils das Grunddreieck ABC enthalt:
O Æ ;
FAA = F1 + F2 = 360
Æ
O
FBB = F1 + F3 = 360Æ Æ ;
O Æ:
FCC = F1 + F4 = 360
Æ
Die Summation dieser drei Gleichungen ergibt:
+ + )
3F1 + F2 + F3 + F4 = O (360
Æ
und mit F1 + F2 + F3 + F4 = O=2 folgt:
+ + ) ;
2F1 + O2 = O( 360
Æ
720 F1 = O ( + + ) 180Æ O;
+ 180Æ) = O " ; (F1 = I):
I = O( + 720
720
Die Proportionalitatskonstante zwischen dem Flacheninhalt I eines spharischen Dreiecks und seinem Exze ist der 720te Teil der Kugeloberache O.
0
0
0
25
Mit O = 4R2 wird erhalten
2
I = 4R4 " = R2 "
und bei R = 1 folgt
I = arc " (Vgl: Formelsammlung C:12:)
Hier sind auch weitere Formeln zur Berechnung von " unter Einbeziehung der
Seiten des spharischen Dreieckes angegeben.
2.8 Dierentialformeln fur das spharische Dreieck
Bei den Anwendungen der spharischen Trigonometrie ergeben sich oft Situationen, in denen zu berechnen ist, wie sich kleine A nderungen oder Fehler der
gegebenen Stucke auf die trigonometrisch berechneten Groen auswirken.
Naturlich kann man die gesuchten Stucke mit veranderten Ausgangswerten
noch einmal nach den gleichen Formeln wie bei der ersten Rechnung bestimmen.
Einfacher gestaltet sich die Rechnung aber unter Verwendung einer Dierentialformel.
Die Herleitung einer Dierentialformel (ohne weitere mathematische Betrachtungen) besteht in der partiellen Dierentiation der Ausgangsgleichungen
nach allen Veranderlichen und Summation der mit den Veranderungsgroen multiplizierten Dierentiale.
Ableitung der Dierentialformel fur den Kosinussatz
cosa cosb cosc sin b sin c cos = 0;
es mu gelten:
F(a; b; c; ) = 0 = F(a + a; b + b; c + c; + ):
Bildung der partiellen Dierentialquotienten
ÆF
ÆF
=
sina
;
= + sinb cosc cosb sinc cos ;
Æa
Æb
ÆF
ÆF
=
cosb
sin
c
sin
b
cosc
cos
;
= sin b sin c sin ;
Æc
Æ
und mit
ÆF
a + ÆÆFb b + ÆÆFc c + ÆÆF = 0
Æa
wird erhalten:
sinaa + (sin b cosc cosb sinc cos )b
+ (cos b sinc sinb cosc cos )c
+ sin b sin c sin = 0:
26
Mit den Funfstuckebeziehungen
sin b cosc cosb sin c cos = sina cos ;
cosb sin c sin b cosc cos = sina cos ;
und dem Sinussatz
sinb sin = sin a sin ;
und abschlieender Division der Gesamtgleichung durch sin a wird die endgultige
Dierentialformel fur den Seitenkosinussatz erhalten:
a + cos b + cos c + sin c sin = 0:
Dieser Ausdruck kann nach einer beliebigen gesuchten Veranderung aufgelost werden.
Die Dierentialformel fur den Sinussatz (ohne Herleitung) lautet:
cot aa + cot cotbb cot = 0:
3 Anwendungen der spharischen Trigonometrie
3.1 Berechnungen auf der Erdkugel
3.1.1 Spharische Koordinaten eines Punktes auf der Erdoberache
Fur die vorliegenden Betrachtungen wird die Erde als Kugel angesehen
(R = 6371km).
Die spharischen Koordinaten auf der Erdkugel werden als geographische Koordinaten bezeichnet.
Die Grundebene dieses Koordinatensystems ist der A quator (Grokreis).
Alle durch die Pole des Grundkreises (Nord- und Sudpol) laufenden und
senkrecht auf dem A quator stehenden Grokreise heien Meridiane. Der Schnittpunkt des Meridians von Greenwich mit der Grundebene ist nach internationaler
U bereinkunft der Nullpunkt des Koordinatensystems.
Alle zum A quator parallelen Kreise in Richtung der Pole (Kleinkreise) werden als Breiten- oder Parallelkreise bezeichnet.
Die spharischen Koordinaten eines Oberachenpunktes sind die geographischen Koordinaten Lange und Breite '. Die geographische Lange eines Ortes
ist der Winkel zwischen der Meridianebene von Greenwich und der Ortsmeridianebene.
27
Dieser Winkel entspricht dem
Grokreisbogen, den die beiden
Meridiane auf dem A quator begrenzen. Die geographische Breite ' eines Ortes ist der spharische Abstand des Ortes vom
A quator, gemessen im Meridian.
Die geographische Lange wird
vom Greenwicher Meridian von
0Æ bis 180Æ in ostlicher bzw. westlicher Richtung gezahlt. Die geographische Breite ' zahlt man
vom A quator von 0Æ bis 90Æ jeweils als nordliche oder sudliche
Breite.
Sind die Koordinaten (; ') von zwei Punkten auf der Erdoberache gegeben, lat sich mit einem Erdpol ein spharisches Dreieck bilden. Das Dreieck
enthalt die beiden Seiten (90Æ '1 ) und (90Æ '2 ) als Teile der Meridiane
und den Grokreisbogen zwischen P1 und P2. Der Winkel am Pol entspricht
der Langendierenz 2 1 . Die Winkel in P1 und P2 sind die sogenannten
Kurswinkel oder deren Supplemente. Kurswinkel werden wie Azimute in der
Geodasie von Nord uber Ost, Sud, West gezahlt.
Sind mit '1; '2 ; 1 und 2 drei Stucke (2 Seiten und der eingeschlossene
Winkel: Grundaufgabe 3) im Dreieck gegeben, so lassen sich die fehlenden Stucke
problemlos berechnen. Die Grokreisentfernung s wird erhalten
coss = cos(90Æ '1) cos(90Æ '2 ) + sin(90Æ '1) sin(90Æ '2 ) cos(2 1 );
coss = sin '1 sin '2 + cos '1 cos '2 cos;
(P1 und P2 haben hier beide ostliche Lange und nordliche Breite.)
3.1.2 Der Satz von Legendre - kleine spharische Dreiecke
Kleine spharische Dreiecke, deren Seiten < 1Æ sind, werden als Legendresche
Dreiecke bezeichnet. Ein Dreieck in der Ebene, dessen Seiten genauso lang sind
wie die Seiten des kleinen Kugeldreiecks bezeichnet man als das dazugehorige
Plandreieck.
Nach Legendre lat sich ein kleines spharisches Dreieck als ebenes Dreieck
berechnen, wenn die Seiten im metrischen Ma eingefuhrt und die spharischen
Winkel um je "=3 vermindert werden.
Es soll sein
28
spharisches Dreieck: Winkel: ; ; ; Seiten: a, b, c (in Grad bzw. Bo-
genma);
Plandreieck: Winkel: 0 ; 0 ; 0; Seiten: a0 ; b0 ; c0 , im linearen Ma, z.B. km.
Behauptung:
" 0
" 0
"
0 = 3; = 3; = 3:
Beweis:
sin = sin ;
sin c
sina
sin sin a = sin sinc;
0
0
sin sin aR = sin sin Rc
mit a = a0=R; c = c0 =R (a und c im Bogenma, a0; c0; R in km).
Unter Verwendung der Sinusreihe sin x = x x3=3! kann bei Abbruch nach
dem zweiten Glied geschrieben werden:
0 a03
c0 c03 ):
sin ( aR 6R
3 ) = sin ( R
6R3
Nach Multiplikation mit R und Ausklammern von a0 bzw. c0 wird erhalten
02
02
a0 (sin a 6Rsin2 ) = c0 (sin c 6Rsin2 ):
Desweiteren kann gesetzt
werden:
a0 sin 0 = hb = c0 sin 0 ;
a0 = b0 cos 0 + c0 cos 0
und
c0 = a0 cos 0 + b0 cos 0:
0
Diese Beziehungen
sind
leicht aus dem ebenen Dreieck mit den Seiten a0; b0; c0
0
0
0
und den Winkeln ; ; ablesbar.
Jetzt gilt, wenn in den Gliedern 2. Ordnung sin = sin 0 und sin = sin 0
gesetzt wird:
hb (b0 cos 0 + c0 cos 0 )] = c0 [sin hb (a0 cos 0 + b0 cos 0 )]
a0 [ sin 6R
2
6R2
0
0
29
und anders geschrieben
0
0
0
00
0
a0 c0 hb cos 0
0 (sin hb b cos ) a c hb cos ;
a0 (sin hb b6Rcos
)
=
c
2
2
2
2
6R
6R
6R
0 0
0 0
) = c0 (sin hb b6Rcos
):
a0 (sin hb b6Rcos
2
2
In den Gliedern 2. Ordnung kann geschrieben werden
cos 0 = cos bzw: cos 0 = cos :
Auerdem kann in diesen Gliedern 2. Ordnung die Flache I = (hb b0)=2 in die
Formel " = I=R2 eingesetzt werden:
h0 b0
"= b 2;
2R
also
a0 (sin 3" cos ) = c0 (sin 3" cos );
a0 sin( 3" ) = c0 sin( 3" );
da
sin( 3" ) = sin cos 3" cos sin 3" = sin 3" cos mit
cos 3" = 1 und sin 3" = 3" :
Mit der Behauptung,
"
"
0
0 = 3 und = 3
ergibt sich
a0 sin 0 = c0 sin 0
als Sinussatz der ebenen Trigonometrie.
Damit ist nachgewiesen, da die Winkel des Plandreiecks um "=3 kleiner
sind als die Winkel des Legendreschen Dreiecks.
0
0
0
0
0
0
0
3.1.3 Die Loxodrome
Die Loxodrome ist eine Kurve, die alle Meridiane unter gleichem Winkel schneidet. Auf ihr kann man unter konstantem Kurswinkel von P1 nach P2 gelangen.
Bei einer Fahrt auf der Orthodrome andert sich dagegen der Kurswinkel laufend.
30
Praktisch ist es ublich, die orthodromische Distanz in mehrere Loxodromenstucke aufzuteilen.
Sonderfalle der Loxodromen sind die Meridiane und der A quator (diese sind
gleichzeitig Orthodromen) und die Breitenkreise (Kurswinkel 90Æ).
Betrachtet wird ein dierentielles Stuck dl zwischen zwei Punkten A und B
auf einer Loxodromen. A hat die Koordinaten ' und und B die Koordinaten
' + ' und + .
Ein Parallelkreis durch A und
ein Meridian durch B schneiden sich in C. Dieses Dreieck ist
kein spharisches Dreieck, weil es
nur einen Grokreisbogen (BC)
enthalt.
Wenn ' und genugend klein gehalten werden, kann es als ebenes Dreieck angesehen werden und es gilt:
uck R cos ' d
tan = Parallelkreisbogenst
Meridianbogenstuck = R d'
und weiter
d = tancos'd' ;
und nach Integration
'
'
2 1 = tan [ln tan( 2 + ) ln tan( 1 + )];
2 4
2 4
= tan (q2 q1) = tan q
(q = isometrische Breite; q2 = ln tan( '22 + 4 ); q1 = ln tan( '21 + 4 )):
Der Kurswinkel der Loxodromen ist dann:
tan = q ( im Bogenma):
Auerdem kann an der Figur abgelesen werden:
cos = Rdd'l ;
Rd' ;
dl = cos
31
und nach Integration wird die Lange l der Loxodromen erhalten:
R ('2 '1 ) ('2 '1 im Bogenma):
l =
cos Diese Formel gibt fur den Parallelkreis einen unbestimmten Ausdruck, deshalb gilt hier:
l = p = R cos ' :
3.2 Anwendungen aus der spharischen Astronomie
Wie auf der Erdkugel, so werden auch an der Himmelskugel Punkte durch zwei
Winkelangaben eindeutig festgelegt. Die Himmelskugel ist eine gedachte Kugel
mit dem Radius R = 1, deren Mittelpunkt im Beobachtungsort B auf der Erdkugel oder genauer im Erdmittelpunkt O liegt. Auf diese Himmelskugel werden
alle Gestirne von O aus projiziert.
3.2.1 Das Horizontalkoordinatensystem
Das einfachste spharische Koordinatensystem der Himmelskugel hat als Grundkreis den Horizont, der als Tangentialebene an die Erdkugel im Beobachtungsort
B zu denken ist.
Die Tangentialebene steht in B
senkrecht zur Lotrichtung und
schneidet die Himmelskugel in einem Grokreis, dem scheinbaren
Horizont. Der wahre Horizont
entsteht durch Parallelverschiebung der Tangentialebene in den
Erdmittelpunkt O. Die Richtungen nach Fixsternen fallen von
B und von O aus wegen ihrer
groen Entfernungen zusammen.
Lediglich fur die Korper unseres Sonnensystems ist die tagliche Parallaxe,
wie man den Richtungsunterschied nach einem Himmelskorper von B und O aus
nennt, mebar.
Es bedeuten
n
Z: Zenit
Pole zum Grundkreis
des wahren Horizontes.
Z': Nadir
32
Vertikalkreis
Grokreis von Z durch das
Gestirn nach Z', steht senkrecht
auf dem Horizont.
Meridian:
Vertikalkreis durch die
Himmelspole und Z, schneidet
den
Horizont im Nordpunkt N und
im Sudpunkt S.
oder Vertikal:
Als Himmelspole seien hier die Schnittpunkte der verlangerten Rotationsachse der Erde mit der Himmelskugel angenommen.
I. Vertikal = Vertikal in Ost- West-Richtung.
Als Gestirnskoordinaten werden deniert:
a = Azimut, gemessen im Horizont als Bogen von Nord (N) uber Ost,
Sud (S), West von 0Æ bis 360Æ
oder als Winkel in Z im gleichen Sinn vom Nordmeridian bis zum Gestirnsvertikal;
z = Zenitdistanz, gemessen als Bogen vom Zenit im Gestirnsvertikal bis
zum Gestirn von 0Æ bis 180Æ
oder als Winkel im Kugelmittelpunkt zwischen der Zenitrichtung und der
Richtung zum Gestirn;
h = Hohenwinkel = 90Æ z.
Alle Punkte mit gleicher Zenitdistanz z bzw. gleichem Hohenwinkel h liegen auf
einem Almukantarat oder Hohenkreis.
Das Horizontsystem hat den wesentlichen Vorteil, da seine Koordinaten
Azimut und Zenitdistanz mit Instrumenten gemessen werden konnen, deren
Hauptachse durch geeignete Meelemente (Libelle, mechanische Neigungskompensation) unmittelbar an die Lotrichtung angeschlossen werden konnen.
Wahrend das Azimut nur relativ erhalten wird, da der Nordpunkt in der
Natur nicht markiert ist, ist die Messung der Zenitdistanz bzw. des Hohenwinkels wegen des direkten Anschlusses an die Lotrichtung absolut moglich. Die
erreichbaren Genauigkeiten bei der Messung der Koordinaten des Horizontsystems liegen fur eine einzelne Messung mit den genauesten Instrumenten (Prazisionstheodolit) bei wenigen Zehntel Bogensekunden.
Der Nachteil des Horizontsystems ist, da durch die tagliche Drehung der
Erde bzw. durch die scheinbare tagliche Drehung der Himmelskugel Azimut und
33
Zenitdistanz sich in jedem Augenblick andern. Das bedeutet, da alle Messungen dieser Koordinaten nur dann verwertbar sind, wenn zugleich die genauen
Mezeitpunkte festgehalten werden.
Auerdem ist bei Angaben von a und z unbedingt anzumerken, fur welchen
Erdort ('; ) diese Werte Gultigkeit haben, da die Lotrichtung als Nullpunkt der
z-Zahlung und als Denition des Meridians fur die a- Zahlung dient. Andererseits
kann die Messung von a und z zur Bestimmung von ' und benutzt werden,
wie bald noch gezeigt wird.

3.2.2 Die Aquatorkoordinatensysteme
Da es eine Aufgabe der spharischen Astronomie ist, die Position von Fixsternen
in einem unveranderlichen Koordinatensystem zu denieren, ist es notwendig,
zu einer anderen Grundebene uberzugehen, gegenuber der die relative Position
der Sterne nicht von der taglichen Drehung der Erde und auch nicht vom Erdort
abhangt.
Eine solche Grundebene ist diejenige, die senkrecht auf der Rotationsachse
der Erde steht und durch den Erdmittelpunkt geht. Es ist die Ebene des Erdaquators, die vergroert bis zum Schnitt mit der Himmelkugel an dieser den Himmelsaquator ausschneidet.
Die Pole des Himmelsaquators sind der Himmelsnordpol P und der Himmelssudpol P0.
Um im A quatorsystem Koordinaten festzulegen, wird ein Grokreis durch
die Pole und das Gestirn gelegt.
Auf diesem sogenannten Stundenkreis wird vom A quator aus
die Deklination Æ des Sternes von 0 bis 90Æ nach Norden und von 0 bis 90Æ nach
Suden gezahlt. Die zweite Koordinate, der Stundenwinkel t,
wird als Bogen in der A quatorebene beginnend vom Schnittpunkt des sudlichen Meridianbogens mit dem Himmelsaquator inÆ
Uhrzeigerrichtung von 0 bis 360
oder von 0 bis 24Æ gezahlt. Der
Stundenwinkel t stellt sich am
Pol als Schnittwinkel der Tangenten an Meridian und Stundenkreis dar.
34
Der Stundenwinkel eines Gestirns kann angesehen werden als die Zeit, die
seit der oberen Kulmination (Meridiandurchgang) dieses Gestirns vergangen
ist.
Da die Zahlung des Stundenwinkels t vom Meridian des Beobachtungsortes
abhangt, ist er wegen der taglichen Erddrehung proportional zur Zeit veranderlich, wahrend die Deklination Æ von der taglichen Erddrehung nicht beeinut
wird.
Den Durchgang eines Gestirns durch den Sudmeridian nennt man die obere Kulmination. Die untere Kulmination desselben Gestirns ndet 12 Stunden
spater beim Durchgang durch den Nordmeridian statt.
Die geographische Breite ' des Beobachtungsortes und die Deklination Æ des
Sternes bestimmen, ob die untere Kulmination uber oder unter dem Horizont
stattndet. Sterne, bei denen die untere Kulmination uber dem Horizont erfolgt,
werden als Zirkumpolarsterne bezeichnet.
Um auch in der Grundebene eine von der Erddrehung unabhangige Koordinate zu bekommen, verlegt man den Nullpunkt der Zahlung an den Sternhimmel, und zwar in den Punkt, in dem zu Fruhlingsanfang die Sonne steht,
in den Fruhlingspunkt (astronomisches Zeichen fur das Sternbild Widder).
Der Fruhlingspunkt ist der Schnittpunkt des Himmelsaquators mit der Ebene
der Erdbahn, der sogenannten Ekliptik. Diese neu eingefuhrte Koordinate wird
vom Fruhlingspunkt aus im Gegenuhrzeigersinn von 0h bis 24h gezahlt und heit
Rektaszension .
Alle Gestirne mit gleicher Deklination Æ liegen auf einem Parallelkreis, diejenigen mit gleichem Stundenwinkel t bzw. mit gleicher Rektaszension auf
einem Stundenkreis.
Die spharischen Gestirnskoordinaten und Æ sind unabhangig vom Erdort
und der Zeit (Erddrehung).
Es werden also zwei A quatorkoordinatensysteme unterschieden:
das aquatoriale System erster Art mit den Koordinaten Stundenwinkel t
und der Deklination Æ;
das aquatoriale System zweiter Art mit der Rektaszension und der Deklination Æ (auch als siderisches System oder Stellarsystem bezeichnet).
35
3.2.3 Das nautische Dreieck
Eine Kombination aus Horizontund A quatorsystem lat das nautische oder Polardreieck mit den
Ecken P, G, Z entstehen, dessen Seiten 90Æ Æ; 90Æ ' und z
die Winkel t, -a und q einschlieen. Der Winkel q am Gestirn G
wird als parallaktischerÆ Winkel
bezeichnet. Die Seite 90 ' ist
fur einen Beobachtungsort
konstant; die Seite 90Æ Æ fur einen
Stern. Die ubrigen Stucke des
nautischen Dreiecks andern sich
infolge der taglichen Drehung der
Erde.
Es sind zwei Falle im nautischen Dreieck zu unterscheiden:
G0 ostlich vom Meridian;
t > 180Æ, die Zenitdistanz z wird bei der scheinbaren taglichen Bewegung
kleiner;
Gw Gestirn westlich vom Meridian;
t < 180Æ, die Zenitdistanz wird bei der scheinbaren taglichen Bewegung
groer.
Ein Sonderfall des nautischen
Dreieckes tritt ein, wenn das Gestirn kulminiert, also wenn es im
Meridian steht. Dann ist
a = 180Æ; t = 0Æ; q = 0Æ
und es gilt:
z + Æ = ':
In dem hier gezeigten Fall kulminiert das Gestirn zwischen Zenit und A qua36
tor. Ebenso einfache Zusammenhange ergeben sich, wenn die Sternbahn zwischen Zenit und Himmelspol verlauft.
3.2.4 Koordinatentransformation mit Drehmatrix
Spharische Koordinaten lassen sich auch leicht durch rechtwinklige Koordinaten
ausdrucken.
Dazu wird ein rechtwinkliges
dreiachsiges Koordinatensystem
z.B. in das Horizontsystem gelegt. Der Ursprung des Koordinatensystems liegt im Kugelmittelpunkt O. Die positive x11Achse zeigt in der Horizontebene in die Westrichtung, die x12Achse nach Suden und die x13Achse zum Zenit.
Wird der Kugelradius gleich 1 gesetzt, kann der Vektor x1 durch die Komponenten x11; x12 und x13 ausgedruckt werden:
0 x 1 0 sin a sinz 1
11
x1 = @ x12 A = @ cosa sinz A ;
x13
cosz
cosz = x13;
tana = xx1211;
Zeigt im A quatorsystem 1. Art die positive x21-Achse in der A quatorebene nach
Westen, die x22-Achse nach Suden und die x23 -Achse zum Himmelspol (senkrecht auf der A quatorebene), kann geschrieben werden
0 x 1 0 sin t cos Æ 1
21
x2 = @ x22 A = @ cost cos Æ A ;
x23
sin Æ
sin Æ = x23;
tan t = xx2221 :
37
Im A quatorsystem 2. Art gilt:
x31 - liegt in der A quatorebene und zeigt zum Fruhlingspunkt;
x32 - steht in der A quatorebene senkrecht auf x31;
x33 - zeigt zum Himmelpol (= x23);
0 x 1 0 cos cos Æ 1
31
x3 = @ x32 A = @ sin cos Æ A ;
x33
sin Æ
sin Æ = x33;
cot = xx31 :
32
Dreht man das Horizontsystem um die O-W-Achse um den Winkel (90Æ
so geht das Horizontsystem in das A quatorsystem 1. Art uber.
'),
Die Koordinaten a und z lassen
sich mit Hilfe einer Rotationsoder Drehmatrix als Funktion
von t und Æ darstellen. Der Vektor x1 wird mit der Drehmatrix
D1(') multipiziert, und es wird
der Vektor x2 erhalten:
x2 = D1(')x1
mit
01 0
0 1
D1(') = @ 0 + sin ' + cos ' A :
0
cos ' + sin '
Damit gilt:
01 0
0
1
0 1 0 sina sinz 1
sina sinz
@ 0 + sin ' + cos ' A @ cosa sinz A = @ sin ' cos a sinz + cos ' cosz A
0 cos ' + sin '
cosz
' cosa sinz + sin ' cosz
0x 1
0 +sincost cos
1
Æ
21
= @ x22 A = @ cost cos Æ A :
x23
sin Æ
Es lassen sich folgende Gleichungen aufschreiben:
sin t cos Æ = sina sinz (Sinussatz);
38
cost cos Æ = cosz cos ' sin z sin ' cosa (Funfstuckebeziehung);
sin Æ = cosz sin ' + sinz cos ' cosa (Seitenkosinussatz):
Diese Zusammenhange (t bzw. Æ als Funktionen von a, z und ') lassen sich
auch nden, wenn man die allgemeinen Formeln der spharischen Trigonometrie
auf das nautische Dreieck anwendet.
3.2.5 Einige Bemerkungen zu Zeitsystemen
Da bis vor wenigen Jahrzehnten die burgerliche Zeit aus astronomischen Vorgangen abgeleitet wurde, sollen hier einige wenige Denitionen zu den bekanntesten
Zeitsystemen gegeben werden.
Man bezeichnet als wahre Sonnenzeit eines Ortes, auch wahre Ortszeit (WOZ)
genannt, diejenige Zeit, die seit der unteren Kulmination der wahren Sonne vergangen ist. Es gilt also
WOZ = t 12h;
wobei t der Stundenwinkel der wahren Sonne ist.
Da die Erde sich nach den Keplerschen Gesetzen auf einer Ellipsenbahn mit
einer Neigung von " = 23; 5Æ gegen die A quatorebene um die Sonne bewegt,
lauft die wahre Sonnenzeit nicht gleichformig ab. Fur die praktischen Zwecke
der Zeitrechnung wird eine ktive mittlere Sonne eingefuhrt, die die Ableitung
einer mittleren (Orts-) Sonnenzeit oder einfach mittleren Ortszeit erlaubt.
Die Dierenz zwischen wahrer und mittlerer Zeit - als Zeitgleichung bezeichnet - kann etwas mehr als 15 Minuten betragen.
Beide genannten Zeiten, wie auch die im folgenden behandelte Sternzeit sind
Ortszeiten, da sie vom Meridian des Beobachtungsortes abhangen.
Die Denition der Sternzeit SZ ist einfach. Es gilt:
SZ = t
wobei t der Stundenwinkel des Fruhlingspunktes ist.
Aus dem Bild der A quatorsysteme erkennt man, da die Summe aus Stundenwinkel plus Rektaszension eines Sterns zu einem bestimmten Zeitpunkt den
Stundenwinkel des Fruhlingspunktes, also die Sternzeit, angibt:
SZ = t + :
Die durch Radiozeitzeichen bekanntgegebene Zeit wird heute nicht mehr direkt
aus der Erdrotation abgeleitet, da diese auer den genannten noch weitere Unregelmaigkeiten aufweist. Die amtliche Zeiteinheit, die sogenannte Atomsekunde
wird aus atomaren Vorgangen (1010 Schwingungen zwischen zwei hyperfeinen
Energieniveaus des Caesiumatoms) abgeleitet und fuhrt zur Atomzeit.
Die durch Radiosignale verbreitete koordinierte Weltzeit UTC (Universal
Time Coordinated) basiert auf der Atomzeit. Diese koordinierte Weltzeit wird,
39
wenn notig, durch Sekundensprunge zur Jahresmitte oder am Jahresende der
mittleren Sonnenzeit Greenwich angenahert.
Aus vielen Grunden bilden Kugelzweiecke mit einer Langendierenz von 15Æ
sogenannte Zeitzonen, deren Zeiten sich jeweils um ganze Stunden von der Weltzeit unterscheiden. Bestimmt wird dieser Unterschied durch den Mittelmeridian
dieser Zweiecke.
Z.B. Mitteleuropaische Zeit MEZ = UTC +1h. Der 15Æ Meridian ostlicher
LangeÆ ist hier der Mittelmeridian. Das Kugelzweieck wird von 7; 5Æ o.L. und
22; 5 o.L. begrenzt. In kleineren Landern legt man sich immer nur auf eine
Zeitzone fest.
3.2.6 Auf- und Untergangsberechnungen - Berechnung der Dammerung
Das nautische Dreieck fur den
Zeitpunkt des Auf- oder Unterganges eines Gestirns ergibt
sich als Sonderfall eines spharischen Dreieckes, da die Seite
z den Wert =2 annimmt. Es
liegt also ein rechtseitiges Dreieck vor, in dem fur einen gegebenen Beobachtungsort und fur
ein bestimmtes Gestirn die Seiten =2 ' und =2 Æ
bekannt sind.
Von Interesse sind nun der Zeitpunkt tAU und das Azimut aAU des Auf- oder
Unterganges eines Gestirns. Fur tAU ergibt sich nach der Neperschen Regel oder
aus dem Seitenkosinussatz:
cos z = sin ' sin Æ + cos ' cos Æ cost:
Mit cosz = 0 folgt:
costAU = tan ' tan Æ:
Das Ergebnis kann in allen vier Quadranten liegen, da fur das Aufgangsdreieck
und fur das Untergangsdreieck analoge Verhaltnisse vorliegen. Die Groe tAU
kann auch als halber Tagbogen des Gestirns bezeichnet werden, da sie die Zeit
40
vom Aufgang bis zur Kulmination bzw. von der Kulmination bis zum Untergang
des Gestirns darstellt.
Fur das Azimut gilt:
sin Æ :
cosaAU = cos
'
Æ
Ein Gestirn mit Æ = 0 wird unter einem Stundenwinkel von t = 6 Stunden
genau im Osten (a = 90Æ) auf- und im Westen (a = 270Æ) untergehen (Sonne zu
Fruhlings- bzw. Herbstanfang). Bei der Sonne bezeichnet man die Abweichungen
des Aufgangs- bzw. Untergangsazimut vom Ost-West-Vertikal als Morgen- bzw.
Abendweite.
In Wirklichkeit sind jedoch die Verhaltnisse etwas schwieriger als hier dargestellt. Man sieht einen Stern schon, ehe er uber dem Horizont erscheint, und
man sieht ihn noch, wenn er schon unter dem Horizont steht. Ursache fur diese
Umstande ist die atmospharische Refraktion, die auf der Brechung des Lichtes
in der Erdatmosphare beruht. Es mu fur Auf- und Untergangsrechnungen fur
die Gestirne der Wert z = 90Æ350 gesetzt werden.
Desweiteren mu bei Berechnungen mit der Sonne noch deren Radius beachtet werden. Die Koordinaten und Æ haben fur den Mittelpunkt der Sonne
Gultigkeit. Die Sonne geht aber fur uns auf oder unter, wenn der obere Rand
erscheint oder verschwindet. Ist dies der Fall, dann ist der Sonnenmittelpunkt
noch oder schon wieder um den Betrag des Radius unter dem Horizont.
Bei einem scheinbaren Sonnenradius von r = 160 sind deshalb
alle Auf- und
Untergangsberechnungen mit der Sonne (a und t) mit z = 90Æ350 +160 = 90Æ510
auszufuhren.
Ist z = 90Æ510, spricht man vom Beginn der Dammerung, der entsprechende
Stundenwinkel sei t.
Ist z = 96Æ300, spricht man vom Ende der burgerlichen Dammerung, der
Stundenwinkel der Sonne sei tb. Das menschliche Empnden besagt, da es
jetzt dunkel ist. z = 108Æ deniert das Ende der astronomischen Dammerung.
Der Stundenwinkel der Sonne sei ta. Jetzt kann mit der Langzeitbelichtung einer
Photoplatte begonnen werden. Es gilt:
Db = tb t ( Dauer der burgerlichen Dammerung),
Da = ta t ( Dauer der astronomischen Dammerung)
mit
510 sin ' sin Æ ;
cost = sin cos
' cos Æ
Æ300 sin ' sin Æ
sin
6
;
costb =
cos ' cos Æ
Æ sin ' sin Æ
:
costa = sin 18
cos ' cos Æ
41
3.2.7 Berechnung von Sonnenuhren
Die einzige Uhr, die die wahre Zeit anzeigt, ist die Sonnenuhr. Sonnenuhren werden heute fast ausschlielich als Schmuckelemente an Hausern, in Garten oder
Parks verwendet. Die Konstruktion, d.h. die Berechnung der Lage des Schattenstabes und der Zierblatteinteilung lat sich mit den Mitteln der spharischen
Trigonometrie durchfuhren.
Die Einteilung der Sonnenuhren in
a) Horizontaluhren,
b) A quatorialuhren,
c) Vertikaluhren
bezieht sich auf die Lage der Zierblattebenen im Horizont, parallel zum
A quator oder in einer Vertikalebene (Hauswand).
mit
a) Horizontaluhr mit senkrechtem Schattenstab = Gnomon.
Es ist leicht einzusehen, da gilt:
aS = a 180Æ
aS = Azimut des Schattens,
a = Azimut der Sonne.
a wird berechnet mit:
sin ' cos t :
cot( a) = cos ' tan Æsint
Diese Uhr ist sehr unpraktisch, da die Einteilung des Zierblattes im Lauf des
Jahres mit der Sonnendeklination veranderlich ist.
Zeigt bei einer Horizontaluhr der
Schattenstab dagegen zum Himmelspol, gestalten sich die Verhaltnisse bedeutend einfacher. In
dem rechtwinkligen spharischen
Dreieck NPS kann nach Neper
geschrieben werden:
tan aS = sin ' tan t:
Der Schatten des Stabes fallt immer in die jeweilige Stundenkreisebene. Die
Zierblatteinteilung ist fur jede Jahreszeit gultig, da sie unabhangig von der
Sonnendeklination ist.
42

b) Aquatorialuhr
mit zum Pol gerichtetem Schattenstab.
Diese Uhr hat die einfachste Konstruktion.
Die Zierblattebene ist meist als
Halbring ausgebildet.
Darauf sind die Stundenmarken
in Abstanden von 1=24tel des
Ringumfanges gleichmaig angeordnet.
c) Vertikaluhr mit zum Pol gerichtetem Schattenstab.
Die vertikale Sonnenuhr wird an einer Hauswand oder an einer sonstigen vertikalen ebenen Flache angebracht.
Im Gegensatz zur Horizontaluhr
gibt es eine unendliche Vielfalt
von Moglichkeiten fur eine Vertikaluhr, da die Zierblattebene in
beliebigem Azimut stehen kann.
In die Berechnung der Zierblatteinteilung geht als weiterer
Parameter noch das Azimut a
der Hauswand ein.
= Winkel zwischen der Senkrechten im Befestigungspunkt
des Schattenstabes und der Zifferblatteinteilung fur einen bestimmten Stundenwinkel.
Die Sonne ist im nebenstehenden Bild vor der Zeichenebene zu denken. Sie
bendet sich an der ostlichen Himmelshalbkugel.
Im spharischen Dreieck ZHP wird im Punkt H der Hilfswinkel eingefuhrt.
Jetzt lassen sich Sinussatz und Funfstuckebeziehungen anwenden:
sin sin = sint cos '
und
sin cos = cost sin a sin t cosa sin ':
43
Durch Division dieser beiden Gleichungen erhalt man:
'
tan = sin t cosasinsint'cos cost
sin a
und damit den gesuchten Winkel . Æ
Fur den Fall einer Suduhr (a = 90 , Hauswand steht genau in Ost-WestRichtung), ergibt sich sehr einfach:
tan S = tant cos ':
Den Berechnungen zu Vertikaluhren mu immer eine genugend genaue Bestimmung des Azimutes der Vertikalebene vorausgehen.
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