Gliederung der Vorlesung I Auswertung des Tests vom 22.11.04

Gliederung der Vorlesung I
1. Einführung
1.1 Physikalische Einheiten
1.2 Meteorologische Elemente
1.3 Der Feldbegriff in der Meteorologie
1.4 Vektoren-Operationen und Ableitungen
1.5 Die meteorologischen Grundgleichungen
1.6 Skalenbetrachtungsweise
2. Meteorologische Elemente
2.1 Luftdruck und Luftdichte
2.1.1 Zusammensetzung der Luft
2.1.2 Gasgleichung für ideale Gase
2.1.3 Dalton'sches Gesetz
2.1.4 Barometrische Höhenformel
2.1.5 Druckmessung
Auswertung des Tests vom 22.11.04
1. Vorlesung
1. Übung
1.
Wie groß ist die Dichte bei p=800 hPa und T = -3°C? RL 300 J kg-1 K-1
2.
Skizziere des Druckverlaufs mit der Höhe für die homogene, isotherme und
polytrope Atmosphäre
3.
Wie ändert sich die die Form des Druckprofils, wenn die Atmosphäre wärmer
ist?
4.
Welche Möglichkeiten zur Druckmessung gibt es?
5.
Wie lautet die hydrostatische Grundgleichung?
6.
Was ist da Geopotential und die geopotentielle Höhe?
7.
Ist die Schwerebeschleunigung g am Äquator höher als am Pol?
2. Vorlesung
3. Vorlesung
4. Vorlesung
2.2 Windgeschwindigkeit
2.2.1 Definition
2.2.2 Windmessung
2.2.3 Änderung von Größen mit den Feldkoordinaten
2.2.4 Transport von spezifischen Eigenschaften
2.2.5 Die Begriffe Haushalt und Advektion
5. Vorlesung
insgesamt 27 Bögen,
richtige Antworten:
2.3 Temperatur
2.3.1 Definition der Temperatur (Hauptsätze der Thermodynamik)
2.3.2 Adiabatische Zustandsänderungen
2.3.3 Haushalt und Flussdichten "fühlbarer Wärme"
2.3.4 Temperaturmessung
15. November 2004
1
Auswertung des Tests vom 22.11.04
1.
Wie groß ist die Dichte bei p=800 hPa und T = -3°C? RL 300 J kg-1 K-1
ρ =
p
80000
[ N ][ kg ][ K ]
=
= 0 . 98 kg m
R LT
300 ⋅ 270 [ m 2 ][ J ][ K ]
Skizziere des Druckverlaufs mit der Höhe für die homogene, isotherme und
polytrope Atmosphäre
3.
Wie ändert sich die die Form des Druckprofils, wenn die Atmosphäre wärmer
ist?
4.
Welche Möglichkeiten zur Druckmessung gibt es?
Flüssigkeitsbarometer, Dosenbarometer, Hypsometer
5.
Wie lautet die hydrostatische Grundgleichung?
6.
Was ist da Geopotential und die geopotentielle Höhe?
7.
-1
[m2 s-2=J kg ]
dp = − g ( φ , z ) ρ ( z ) dz
Z=
φ(z)
g0
=
1 z
∫ g dz
g0 0
Ist die Schwerebeschleunigung g am Äquator höher als am Pol?
nein, geringer
15. November 2004
15. November 2004
2
Definition des Windvektors
Dominanz des Horizontalwinds
ƒ
Windmessung
Windfahne, Beaufort-Skala,
Schalenkreuz und Flügelradanemometer,
Hitzdrahtanemometer, Staudruckrohr,
Schallausbreitung, Ballonverfolgung,
Wolkenverfolgung
ƒ
Totales Differential
der meteorologischen Feldgröße
ε(x,,y,z,t)
dε =
r
u = v sin λ
r
v = v cos λ
r
r u  r
vh =   = i u + j v
v
 
ƒ
[ gpm]
3
19
18
19
19
2
11
21
Lerninhalte der 5. Vorlesung
−3
2.
d Φ = g dz Φ = ∫0z g dz ≈ g z
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
y (Nord)
u
v
r
j λ
∂ε
∂ε
∂ε
∂ε
dt +
dx +
dy +
dz
∂t
∂x
∂y
∂z
r
v
r
i
x (Ost)
15. November 2004
4
1
2.2.3 Änderung von Größen mit
den Feldkoordinaten
ƒ
Division durch dt ergibt die schon bekannte Berechnung der totalen oder
individuellen zeitliche Ableitung
ƒ
dε ∂ε ∂ε dx ∂ε dy ∂ε dz
=
+
+
+
dt ∂t ∂x dt ∂y dt ∂z dt
Gegeben sei ein meteorologisches Feld ε
r
r
ε = T , p, v , ρ ,... = ε (r , t ) = ε ( x p , y p , z p , t )
=
ƒ
Wind verfrachtet Luftvolumen (Advektion) und dabei kann es zu
Änderungen dieser meteorologischer Größen kommen.
ƒ
Wir unterscheiden die totale oder individuelle Änderung dε/dt, die man
messen würde, befände sich das Messgerät im sich mit dem Wind
bewegenden Volumen (Lagrange-Änderung), und die lokale oder
partielle Änderung ∂ε/∂t, bei der man die jeweilig anderen Feldkoordinaten
(hier die Raumkoordinaten) konstant hält (Euler-Änderung, vgl. auch I.4).
ƒ
ƒ
Ganz allgemein lässt sich eine beliebige infinitesimale Änderung einer
Eigenschaft ε durch das totale Differential beschreiben:
dε =
∂ε
∂ε
∂ε
∂ε
dt +
dx +
dy +
dz
∂t
∂x
∂y
∂z
15. November 2004
5
2.2.4 Transporte spezifischer
Eigenschaften (Flüsse)
ƒ
In der Atmosphäre finden durch die Luftbewegung ständig Transporte
von Eigenschaften (z.B. Masse, Wasserdampf, Wärme) statt.
ƒ
Diese Transporte finden i. a. auf allen Skalen statt, d.h.
- die kleinsten Wirbel transportieren kleine Volumina
bis hinunter zum einzelnen Molekül
- großskalige Druckgradienten transportieren
auch ein paar Kubikkilometer Luft
ƒ
ƒ
Wir unterscheiden dann:
( )
dε ∂ε r r
=
+ v ⋅∇ ε
dt ∂t
( )
r r
∂ε
dε
=0
→
= v ⋅∇ ε
∂t
dt
r r
dε
∂ε
=0
→
= − v ⋅∇ ε
konservativ
dt
∂t
r
r
dε ∂ε
=
advektionsfrei v = 0 ∨ ∇ε = 0 →
dt ∂t
stationär
( )
Die Begriffe „advektionsfrei“ und auch „konservativ“ machen eigentlich
nur Sinn bei Eigenschaften ε, die tatsächlich transportiert werden
können, wie Wasserdampf und mit Einschränkungen Temperatur. 15. November 2004
6
Definitionen
Legt man sich auf eine Skala (einschließlich der Zeit) fest,
auf der man die meteorologischen Elemente betrachtet, so
unterscheidet man dann skalige Transporte, wenn sie z.B. durch
Messungen der mittleren Größen auf dieser Skala (Mittelung z.B. über
1 km³, 10 Minuten) bestimmt werden können und subskalige
Transporte, die auf kleineren Skalen stattfinden.
Wir benötigen zur adäquaten Behandlung dieser Problematik die
Definition der folgenden Begriffe:
- massenspezifische (=spezifische) Größen
- Flüsse und Flussdichten von Eigenschaften
15. November 2004
( )
∂ε ∂ε
∂ε
∂ε
∂ε r r
v+
w=
+ u+
+ v ⋅∇ ε
∂t ∂x
∂y
∂z
∂t
7
ƒ
(massen-)spezifische Eigenschaften χ:
auf Masseneinheit (kg) bezogene Größen)
z.B: χα = m³/kg = V/m = 1/ρ = α spezifisches Volumen
χe = J/kg = e
spezifische Energie
χs = kg/kg
spez. Masse (Massenmischungsverh.)
χi = kg(m/s)/kg
spez. Impuls (Geschwindigkeit)
ƒ
Fluss – Eigenschaft, die pro Zeiteinheit durch eine Querschnittsfläche
transportiert wird
z.B. J/s
Energiefluss
kg/s
Massenfluss
kg(m/s)/s
Impulsfluss
ƒ
Flussdichte – Transport einer Eigenschaft pro Zeiteinheit und pro Einheitsfläche
z.B. J/(m²s)
Energieflussdichte
kg/(m²s)
Massenflussdichte
kg(m/s)/(m²s) =kg/(ms²)
Impulsflussdichte (Druck)
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8
2
Turbulenz und Reynolds Mittelung
Zusammenhang – spezifische
Eigenschaften und Flussdichten
Massenflussdichte =
kg/(m²s) = kg/m³ x m/s
- Bestimmung mittlerer Flüsse -
ε
ε
ε'
= ρv
Flussdichte einer Eigenschaft =
spezifische Eigenschaft x Massenflussdichte
= χ ρv
Energieflussdichte
=
spezifische Energie x Massenflussdichte [J/(m²s)]
Wasserdampfflussdichte
spezifische Feuchte x Massenflussdichte [kg/(m²s)]
Impulsflussdichte
spezifischer Impuls x Massenflussdichte [kg(m/s)/(m²s)]
ε = ε +ε'
t, x
a + b = a + b,
Rechenregeln:
a' = 0,
ab' = 0
Anwendung auf Flussdichten:
= χe ρ v
= qρv
=ρ v2
15. November 2004
Annahme:
ρ = ρ + ρ' ≅ ρ
Boussinesq-Approximation
ρvχ ≅ ρ (v + v' )( χ + χ ' ))
= ρ (v χ + vχ ' + v ' χ + v' χ ')
Transport durch mittlere Strömung
= ρ (v χ + v' χ ') = ρ v χ + ρ v' χ '
Transport durch turbulente Strömung
9
15. November 2004
10
2.2.5 Advektionsterm und Haushaltsgleichung
Besonderheit vertikaler Transport
in Bodennähe
- weitere Interpretation des „Advektionsterms“ -
( )
dχ ∂χ r r
=
+ v ⋅∇ χ
∂t
dt
In Bodennähe sollte die mittlere Vertikalgeschwindigkeit verschwinden
(Massenerhaltung). Vertikaltransporte können dann nur noch turbulent
erfolgen
Mittelung des Advektionsterms
(vr ⋅ ∇)χ = vr ⋅ ∇χ + vr′ ⋅ ∇χ ′
r
r
r
r r
r r
r r
= v ⋅ ∇ χ + ∇(v ′χ ′) − χ ′∇ ⋅ v ′
123
ρwχ ≅ ρ w' χ ' da w = 0
bei Dichtekonstanz
(Massenerhaltung)
=0
Beispiel: vertikaler Wasserdampftransport =
Verdunstung
E ≡ ρwq ≅ ρ w' q ' mit q =
ρw
Haushaltsgleichung für χ an einem festen Ort
ρ l spezifische Feuchte
15. November 2004
11
r r
r r
∂χ
dχ
≅ − v ⋅ ∇ χ − ∇(v ′χ ′) +
1
424
3 123
∂
t
dt
{
{
"Advektion"
Divergenz der
mittlere
lokale
Änderung
mit dem
mittleren
Wind
turbulenten
Flussdichten
Quelle
für χ
15. November 2004
12
3
Gliederung der Vorlesung I
Was ist Temperatur?
1. Einführung
ƒ Thermodynamik – Makro-Sicht, Masse+Volumen
2. Meteorologische Elemente
2.1 Luftdruck und Luftdichte
2.2 Windgeschwindigkeit
Zustandsgröße der Luft, die
- den Wärmeenergieinhalt beschreibt,
- deren Gradient die Richtung des Wärmetransports bestimmt
2.3 Temperatur
2.3.1 Definition der Temperatur (Hauptsätze der Thermodynamik)
– Hauptsätze der Thermodynamik
– Systeme und Zustandsgrößen
– Thermodynamische Potentiale
– Spezifische Wärme
2.3.2 Adiabatische Zustandsänderungen
– Potentielle Temperatur
2.3.3 Haushalt und Flussdichten "fühlbarer Wärme"
2.3.4 Temperaturmessung
2.3.5 Globale Temperaturverteilung
15. November 2004
Ausdehnung von Stoffen mit zunehmender
Temperatur → Gesetz von Gay-Lussac
V = V0 (1 + α (T − T0 ))
ƒ Statistische Physik – Mikro-Sicht, Moleküle
- Temperatur ist proportional zur mittleren kinetischen Energie
der Moleküle (~v²); beim absoluten Nullpunkt gibt es keine Bewegung der
Moleküle mehr
- Zeigt die Grenzen der Thermodynamik auf (Temperatur verliert ihren
Sinn, wenn einzelne Moleküle betrachtet werden
13
Molekulare Sichtweise
15. November 2004
14
2.3.1 Definition der Temperatur
0. Hauptsatz der Thermodynamik
Die Temperatur kennzeichnet den Wärmezustand eines
thermodynamischen Systems. Sind zwei Systeme
miteinander in Kontakt, so ändert sich ihre Temperatur nur
dann nicht, wenn diese gleich sind.
ƒ Die Moleküle eines Fluids (gasförmig oder flüssig) befinden sich in einem
konstantem Zustand der Bewegung.
ƒ Die gemittelte Bewegung aller Moleküle in einem Fluid-element stellt die
makroskopische Geschwindigkeit des Elements v dar.
ƒ Die in der zufälligen Bewegung angesiedelt (innere) Energie u wird durch die
absolute Temperatur T des Fluids charakterisiert.
ƒ Die potentielle Energie wird von den Anziehungskräften zwischen den
Gasmolekülen verursacht. Beim idealen Gas sind diese Kräfte definitionsgemäß
zu vernachlässigen, weil es keine Wechselwirkung zwischen den Gasteilchen
gibt. Innere Energie ist daher nur kinetische Energie!
15. November 2004 15
Temperatur ist eine Zustandsgröße eines
thermodynamischen Systems
Ein thermodynamisches System (z.B. 1 m3 Luft) läßt sich durch
eine Anzahl von charakteristischen Größen beschreiben. Wenn
der Zustand z.B. durch T und V eindeutig festgelegt ist müssen
alle anderen Variablen Funktionen dieser Größe sein
Im thermodynamischen Gleichgewicht
ändert sich die Temperatur nicht
(siehe z.B. Meßfühler)
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16
4
Zustandsgrößen (mathematisch)
Typen thermodynamischer Systeme
Es sei der thermodynamische Zustand
durch k Zustandsgrößen eindeutig
bestimmt. Eine weitere Größe T ist dann
ebenfalls eine Zustandsgröße,
wenn gilt:
offen:
Massen- und
Energieaustausch
geschlossen:
nur
Energieaustausch
abgeschlossen:
keinerlei
Austausch
V
d.h. wenn bei einem beliebigen geschlossenen Weg
des Systems im durch die k Zustandsgrößen aufgespannten
Zustandsraum T wieder den gleichen Wert annimmt.
17
15. November 2004
Zustandsgrößen (mathematisch, a)
 ∂T

∂T
∂T
dT =
dp +
dV =  ∂p
 ∂T
∂p
∂V

 ∂V
15. November 2004
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Zustandsgrößen (mathematisch, b)
p
Beispiel: T = f(p,V)
T(p,V)
entlang
geschlossenem
Weg
Gleichgewichtszustand
p(t)=const, T(t)=const, …alle Zustandsgrößen sind zeitlich konstant
Alternativ ist die Feststellung, dass T
genau dann eine Zustandsgröße ist,
wenn sie sich als totales Differenzial
der Zustandsgrößen darstellen lässt,
die ein thermodynamisches System
vollständig beschreiben.
p
∑ ∆T = ∫ dT = 0
Thermodynamische Zustandsgrößen
p, T, m, n, Energie, …i.a. nicht unabhängig (Gasgleichung)
Teilgleichgewichtszustand
z.B. T(t)=const ↔ thermisches Gleichgewicht
Beispiel ideales Gas (k=2):
T = T(p,V) = pV/(nR)
Die beiden Definitionen für eine Zustandsgröße
→
dp
ds
∫ dT ≡ 0
und
r
r
dT ≡ ∇T ⋅ ds
sind äquivalent:
dV

  dp  r
 ⋅   = ∇T ⋅ dsr
  dV 


V
r
r
dT
=
∇
∫
∫ T ⋅ ds
r
r r
≡
∇
×
∇
T
⋅
d
f
=0
{ ∫F 1
424
3
Integralsatz
( )
von Stokes
Der Weg s, bzw. der Nabla-Operator ∇ beziehen sich hier auf den Weg, bzw.
den Gradienten im Zustandsraum.
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r
df
F
r
ds
=0
15. November 2004
20
5
Zustandsgrößen (mathematisch, c)
Zustandsgrößen im pV-Diagramm
p
r
k
∂
∂
= ∂
∂x
∂y
∂z
∂T
∂T
∂T
∂x
∂y
∂z
r
i
( )
r r
∇ × ∇T = 0
r  ∂ ∂T ∂ ∂T 
+
= i 
−
y ∂z ∂z ∂y 
1∂4
4
42444
3
=0
r
=0
r
j
ƒ Der thermodynamische Zustand eines Gases
läßt sich durch einen Punkt im pV oder
pα-Diagramm angeben.
(α,p)
ƒ Zustandsänderungen können durch Kurven
in diesem Diagramm dargestellt werden
V [m3] oder α [m3/kg]
r ∂ ∂T ∂ ∂T  r  ∂ ∂T ∂ ∂T 

j
−
−
+ k
z ∂4
x 24
∂x4
∂z3  ∂x ∂y ∂y ∂x 
1∂4
144
42444
3
=0
=0
p
ƒ besonders bedeutsam sind isobare,
isochore, isotherme und adiabatische
Zustandsänderungen
p
A
p α = RT
(α,p)
gestaffelte Ableitungen nach unabhängigen Parametern
können vertauscht werden, Satz von Schwarz
B
α
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Arbeit ist keine Zustandsgröße
- p und V (bzw. α) sind Zustandsgrößen -
∫ δA = ∫ pdV
p
p (V − V ) + p (V − V )
∫ pdV = 1
4243 14243
2
2
1
1
1
= ( p2 − p1 )∆V ≠ 0
1
2
2
1
p2
4
p1
2
∫
in umgekehrter Richtung wird am System
Arbeit geleistet!
3
V1
Auf dem angegebenen Weg leistet das
System Arbeit,
pdV > 0
V2 V
Arbeit hängt vom Weg ab!
Achtung: Wir benutzen hier δ, wenn wir
andeuten wollen, dass es sich nicht um ein
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vollständiges Differential handelt.
α
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Hauptsätze der Thermodynamik
ƒ 0-ter Hauptsatz
Definition der Temperatur
ƒ 1-ter Hauptsatz
Wärmeenergieerhaltung,
Wärmekraftmaschinen, Entropie
ƒ 2-ter Hauptsatz
Zunahme der Entropie
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24
6
Ausdehnungsarbeit eines Gases
Ausdehnungsarbeit eines Gases
V → V + ∆V
V → V + ∆V
p ∆V = (Kraft/Fläche) x Volumen = Kraft x Weg = Arbeit
Dehnt sich ein Luftvolumen aus und verschiebt dabei
angrenzende Luftvolumina,
so leistet die Luft Arbeit an der Umgebung.
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(Kraft/Fläche) x Volumen = Kraft x Weg
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Quelle der Ausdehnungsarbeit
Bei fester Wand ändern auftreffende Luftmoleküle nur ihre
Richtung; ihre kinetische Energie bleibt konstant und damit
auch die Temperatur im Volumen.
Bewegt sich die Wand z.B. durch den Druck der
Luftmoleküle nach rechts, so haben die reflektierten
Luftmoleküle eine geringere kinetische Energie; da die
Temperatur proportional zur mittleren kinetischen Energie
eines Luftmoleküls ist, nimmt die Temperatur im Volumen
ab.
Ausdehnung eines Gases gegen einen äußeren Druck
führt zur Abnahme der Temperatur des Gases.
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27
7