Reelle Funktionen 6a - Karl-Franzens

Reelle Funktionen 6a
Schuljahr 2015/16
Andreas Kucher
[email protected]
Institute for Mathematics and Scientific Computing
Karl-Franzens-Universität Graz
Graz, November 23, 2015
Reelle Funktionen 6a
Andreas Kucher
Wiederholung: Funktionen
I
Seien D, Y nichtleere Mengen.
Eine Funktion f : D → Y
ordnet jedem Element x ∈ D (genau) ein Element y = f (x) ∈ Y
zu.
I
D nennen wir Defintionsbereich.
I
Y nennen wir Wertevorrat (Wertebereich, Bildbereich).
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Andreas Kucher
Ein Beispiel
I
D = { Sasha, Pooja, Visnja, Ljuba }
I
Y = { Markus, Daniel, Leonid, Stefan, Roderich }
Die Funktion Damenwahl : D → Y
weist jeder Dame aus dem
Definitionsbereich einen Herren aus dem Wertebereich zu. Z.B.:
x ∈D
Ljuba
Sasha
Visnja
Pooja
I
Jede Dame bekommt genau! einen Mann
I
I
I
Damenwahl(x) ∈ Y
Leonid
Markus
Daniel
Stefan
Keine der Damen kann leer ausgehen. (Definitionsbereich!)
Es kann nicht sein, dass eine Dame mehr als einen Mann
bekommt.
Roderich bekommt keine Dame. (Kann passieren im Wertebereich!)
Reelle Funktionen 6a
Andreas Kucher
Wiederholung: Funktionen
Reelle Funktionen 6a
Andreas Kucher
Wiederholung: Reelle Funktionen
I
Eine reelle Funktion ist eine Funktion mit
I
I
I
Der Definitionsbereich D ist Teilmenge der rellen Zahlen (also
D ⊂ R)
Der Wertebereich Y ist eine Teilmenge der rellen Zahlen (also
Y ⊂ R).
Mit D ⊂ R, Y ⊂ R nennen wir
f:D→Y
reelle Funktion.
I
Beispiele:
I
I
I
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(Affin) lineare Funktion: y = f (x) = 2x + 3.
Quadratische Funktion: y = f (x) = −3x 2 + 4x − 5.
...
Andreas Kucher
Wiederholung: Reelle Funktionen
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Beispiel: Gebrochen–rationale Funktion
Abbildung : f : R\{2, 3} → R mit y = f (x) =
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(x−1)3
x 2 −5x+6 .
Andreas Kucher
Motivation: Monotonie von reellen Funktionen
Sei f : D → R eine reelle Funktion und M ⊂ D eine Teilmenge.
I
Wir können uns ansehen, wie sich f eingeschränkt auf M
verhält.
I
Schreibweise: f|M .
Beispiel: y = f (x) = −x 2 + 3x + 4
(a) f auf R
Reelle Funktionen 6a
(b) M = [2, 3] und f|[2,3] .
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Monotonie von reellen Funktionen
Sei f : D → R eine reelle Funktion und M ⊂ D eine Teilmenge. f heißt
I
monoton steigend in M, wenn
für alle x1 , x2 ∈ M gilt:
x1 ≤x2 ⇒ f (x1 )≤f (x2 ).
I
streng monoton steigend in M, wenn
für alle x1 , x2 ∈ M gilt: x1 <x2 ⇒ f (x1 )<f (x2 ).
Vorsicht: Aus streng monoton steigend folgt monoton steigend
Reelle Funktionen 6a
Andreas Kucher
Etwas Mathematik
Proposition
Die Funktion
f :=
R
x
→
7
→
R
3x + 4
ist streng monoton steigend.
Beweis f ist per Definition streng monoton steigend, wenn
(∀x1 , x2 ∈ R) : x1 < x2 =⇒ f (x1 ) < f (x2 ) .
Wegen der Definition von f mit f (x) = 3x + 4 ist dies äquivalent zu
(∀x1 , x2 ∈ R) : x1 < x2 =⇒ 3x1 + 4 < 3x2 + 4 .
Seien x1 , x2 ∈ R beliebig. Dann gilt:
x1 < x2 ⇐⇒ 3x1 < 3x2 ⇐⇒ 3x1 + 4 < 3x2 + 4 .
Also ist f streng monoton steigend.
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Monotonie von reellen Funktionen
Sei f : D → R eine reelle Funktion und M ⊂ D eine Teilmenge. f heißt
I
monoton fallend in M, wenn
für alle x1 , x2 ∈ M gilt:
x1 ≤x2 ⇒ f (x1 )≥f (x2 ).
I
streng monoton fallend in M, wenn
für alle x1 , x2 ∈ M gilt: x1 <x2 ⇒ f (x1 )>f (x2 ).
Vorsicht: Aus streng monoton fallend folgt monoton fallend
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Andreas Kucher
Monotonie – Arbeiten mit Intervallen
Reelle Funktionen 6a
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Monotonie – Arbeiten mit Intervallen
3.02b)
I
[a, b]: Weder (streng) monoton steigend noch fallend.
I
[b, c]: Monoton fallend.
I
[c, d]: Streng monoton fallend (somit auch monoton fallend).
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Extremstellen
Sei f : D → R eine reelle Funktion und M ⊂ D. Eine Stelle p ∈ M heißt
I
Maximumsstelle von f in M, wenn f (x)≤f (p) für alle x ∈ M.
I
Miminmumstelle von f in M, wenn f (x)≥f (p) für alle x ∈ M.
Eine Stelle p ∈ M heißt Extremstelle von f in M
wenn sie Maximum– oder Minimumstelle von f in M ist.
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Lokale Extremstellen
Sei f : D → R eine reelle Funktion und M ⊂ D. Eine Stelle p ∈ M heißt
I
lokale Maximumsstelle von f in M, wenn es eine Umgebung U(p)
gibt, sodass p Maximumstelle von f in U(p) ist.
I
lokale Minimumsstelle von f in M, wenn es eine Umgebung U(p)
gibt, sodass p Minimumstelle von f in U(p) ist.
Eine Stelle p ∈ M heißt
lokale Extremstelle von f in M wenn sie lokale Maximum– oder
Minimumstelle von f in M ist.
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Lokale Extremstellen
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Potenzfunktionen
Definition
Eine relle Funktion f : D → R mit f (x) = c · x r mit c, r ∈ R nennt man
Potenzfunktion.
I
D hängt von r ab. Zum Beispiel
I f : R → R mit f (x) = 3 · x 2 .
1
I g : R+ → R mit f (x) = 3 · x 2 =
2
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3
2
·
√
x.
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Potenzfunktionen
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Potenzfunktionen mit Exponenten r ∈ Z+ , a = 1
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Potenzfunktionen mit Exponenten r ∈ Z− , a = 1
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Potenzfunktionen mit Exponenten r ∈ Z+ , a = 1
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Potenzfunktionen mit Exponenten r ∈ Q\Z, a = 1
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Potenzfunktionen erkennen
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Andreas Kucher
Wiederholung: Quadratische Funktionen
Eine Funktion
f:R→R
heißt quadratische Funktion, wenn es a, b, c ∈ R mit a 6= 0 gibt, sodass
f (x) = a · x 2 + b · x + c .
Der Graph einer quadratischen Funktion ist eine Parabel. Die
Koeffizienten a, b, c bestimmen die Form und Lage der Parabel. Beispiele:
f (x) = x 2 + 0x + 0
(a) g (x) = 6x 2 + 20x + 4
Reelle Funktionen 6a
(b) h(x) = 6 − 0.22 − 5x − 10
Andreas Kucher
Wiederholung: Quadratische Funktionen
Nullstellen:
f (x) = 0 ⇐⇒ ax 2 + bx + c = 0 .
Für die Bestimmung der Nullstellen ist also eine quadratische
Gleichung zu lösen.
Seien x1 , x2 die Nullstellen von f (x). Dann gilt wegen der
Symmetrieeigenschaft der Parabel
Der Scheitel S hat die Koordinaten
x1 + x2
x1 + x2
,f
.
S=
2
2
Möchte man auf die Berechnung der Nullstellen verzichten, so
kann man sich diese Formel merken:
−b
−b
S=
,f
.
2a
2a
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Wiederholung: Quadratische Funktionen
Wir kennen den Graphen einer quadratischen Funktion und möchten a, b, c
bestimmen, sodass f (x) = ax 2 + bx + c .
Vorgehensweise:
1. Wir bestimmen c indem wir f (0) betrachten:
f (0) = a · 02 + b · 0 + c = c .
2. Wir bestimmen zwei verschiedene Punkte auf der Parabel:
P1 (x1 , y1 )
und
P2 (x2 , y2 ) .
Es gilt, weil P1 , P2 auf der Parabeln liegen:
y1 = f (x1 ) = ax12 + bx1 + c,
y2 = f (x2 ) = ax22 + bx2 + c
.
Weil wir c schon kennen, erhalten wir ein lineares Gleichungssystem in
zwei Unbekanten a, b:
y1 − c = a x12 +b x1 ,
|{z}
|{z}
| {z }
bek.
bek.
bek.
x22
y2 − c = a
+b x2
|{z}
|{z}
| {z }
bek.
Reelle Funktionen 6a
bek
.
bek.
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Polynomfunktionen
Eine Funktion
p: R → R
heißt Polynomfunktion vom Grad n (kurz deg p = n), wenn es
n ∈ N\{0} und a0 , a1 , · · · , an ∈ R mit an 6= 0 gibt, sodass
p(x) = an x n + an−1 x n−1 + · · · + a2 x 2 + a1 x + a0
Beispiele
I
p1 (x) = 5x 3 + 0x 2 + 3x + 5 (deg p1 = 3).
I
p2 (x) = x 100 (deg p2 = 100).
I
p3 (x) = 3x + 4 (deg p3 = 1).
I
p4 (x) = −10 (deg p4 = 0).
I
p5 (x) = (x − 2)2 (warum?)
Vorsicht: f (x) = x 4 + x 3 + x −4 ist KEINE Polynomfunktion!
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Beispiele zu Polynomfunktionen
Polynomfunktion vom Grad 3: Meistens S–Kurve.
Polynomfunktion vom Grad 4: Meistens Doppel–S–Kurve.
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Andreas Kucher
Beispiele zu Polynomfunktionen
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Übung zu Polynomfunktionen
1) Skizziere den Graphen einer Polynomfunktion 3. Grades, die
an der Stelle 2 eine Nullstelle, an der Stelle −2 ein lokales
Minimum und an der Stelle 1 ein lokales Maximum hat!
2) Skizziere den Graphen einer Polynomfunktion 4. Grades, die
an den Stellen −4 und 5 eine Nullstelle, an der Stelle 3 ein
globales Minimum, an der Stelle 0 ein lokales Maximum und an
der Stelle −1 ein lokales Minimum hat hat!
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Polynomfunktionen – Zusatzinfo
Polynomfunktionen gehören zu den wichtigsten Funktionen
überhaupt:
I
Jede Funktion, deren Graphen man ohne den Bleistift
abzusetzen durchzeichnen kann, können beliebig genau durch
Polynomfunktionen angenähert werden.
(Satz von Weierstraß)
I
Sie werden zur Interpolation verwendet.
(Z.B. Lagrange–Interpolation, ...)
I
Sie sind allgegenwärtig bei 3D–Spielen.
(Z.B. Bezier–Splines, ...)
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Veränderung von Funktionsgraphen
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