LINEARE ALGEBRA I

21 Vorlesungen über
LINEARE ALGEBRA I
Jens Jordan
Universität Würzburg, Sommersemester 2014
Inhaltsverzeichnis
Kapitel 1. Präliminarien
1. Lineare Gleichungssysteme
2. Äquivalenzrelationen
3. Algebraische Strukturen
4
4
6
7
Kapitel 2. Vektorräume
1. Vektorräume, Unterräume und affine Unterräume
2. Lineare Unabhängigkeit
3. Basis
4. Dimension
5. Geometrische Struktur von Lösungemengen linearer
Gleichungssysteme
12
Kapitel 3. Lineare Abbildungen und Darstellungsmatrizen
1. Lineare Abbildungen
2. Injektivität, Surjektivität und Bijektivität
3. Darstellungsmatrizen
13
13
14
15
Kapitel 4. Km×n
1. Addition, skalare Multiplikation und Matrixprodukt
2. Algebraische Strukturen in Km×n I: Vektorräume und Ringe
3. Algebraische Strukturen in Kn×n II: Gruppen
4. Elementarmatrizen
16
16
18
19
20
Kapitel 5. Basisinvariante Eigenschaften linearer Abbildungen
1. Ähnlichkeit und Äquivalenz
2. Rang
3. Determinanten (Teil I): Produktformel
4. Determinanten (Teil II): Berechnung von Determinanten
5. Eigenwerte
21
21
22
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24
25
Kapitel 6.
26
Übersichten
8
8
9
10
11
KAPITEL 1
Präliminarien
1. Lineare Gleichungssysteme
Definition 1.1. Es seien n, m ∈ N und K ein Körper.
(i) Kn ist das n-fache kartesische Produkt von K, also die Menge der n-Tupel
(x1 , . . . , xn ) mit x1 , . . . , xn ∈ K. Wir schreiben


x1


x =  ... 
statt
(x1 , . . . , xn ).
xn
(ii) Ein lineares Gleichungssystem (LFS) über K mit n Unbekannten x1 , . . . , xn und m Gleichungen ist eine Menge aus m Gleichungen der
Form:
a1,1 x1 + . . . + a1,n xn = b1
..
..
..
..
..
..
.. .
.
.
.
.
.
.
.
am,1 x1 + . . . + am,n xn = bm
Hierbei sind alle ai,j (die sogenannten Koeffizienten des Gleichungssystems) mit i = 1, . . . , m und j = 1, . . . , n und alle bi , i = 1, . . . , m aus K.
(iii) Wir schreiben auch Ax = b
(Matrixschreibweise). Hierbei ist


A := (ai,j )
i = 1, . . . , m
j = 1, . . . , n

:= 
a1,1
..
.
am,1
. . . a1,n
.. 
..
.
. 
. . . am,n


b1
 .. 
die Koeffizientenmatrix des Gleichungssystems und b =  . . In Rechbm
nungen wird meist die alternative Schreibweise (A|b) benutzt.
(iv) Zu K, m ∈ N und n ∈ N heißt
Km×n := {A = (ai,j )
i = 1, . . . , m
j = 1, . . . , n
| ai,j ∈ K}
die Menge der m × n-Matrizen.
(v) Die Lösungsmenge von Ax = b ist die Menge L(A,b) := {x ∈ Kn | Ax = b}.
Definition 1.2 (Elementare Zeilenumformungen). Gegeben sei ein lineares
Gleichungssystem Ax = b mit A ∈ Km×n und b ∈ Km , d.h.
a1,1 x1
..
.
am,1 x1
+ ...
..
.
+ ...
+
a1,n xn
..
.
+ am,n xn
=
b1
..
.
= bm
(mit ai,j ∈ K, für i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , n und bi ∈ K für i = 1, . . . , m). Die
folgenden Umformungen nennt man elementare Zeilenumformungen.
1) Das Vertauschen der i-ten mit der j-ten Gleichung, für 1 ≤ i < j ≤ m.
2) Die Multiplikation einer der Gleichungen mit einer Zahl λ ∈ K \ {0}.
3) Die Addition des Vielfachen einer Gleichung mit einer anderen.
Satz 1.3. Es seien Ax = b und Ãx = b̃ jeweils zwei reelle Gleichungssysteme.
Geht Ãx = b̃ aus Ax = b durch endlich viele elementare Zeilenumformungen
hervor, so sind die Lösungsmengen beider Systeme indentisch.
2. Äquivalenzrelationen
Definition 1.4. Eine Relation auf M ist eine Teilmenge R ⊂ M × M . Wir
schreiben x ∼ y falls (x, y) ∈ R.
Definition 1.5. Eine Relation auf M heißt
a) reflexiv, falls für jedes x ∈ M gilt: x ∼ x
b) symmetrisch, falls x ∼ y auch y ∼ x impliziert.
c) transitiv, falls x ∼ y und y ∼ z auch x ∼ z impliziert.
Ist eine Relation reflexiv, symmetrisch und transitiv, so nennt man sie Äquivalenzrelation. Wir lesen x ∼ y als x ist äquivalent zu y bezüglich R“.
”
Definition 1.6. Auf M sei eine Äquivalenzrelation erklärt. Zu x ∈ M heißt
die Menge
Kl(x) := {y ∈ M | x ∼ y}.
Äquivalenzklasse von x.
Satz 1.7. Für jede Äquivalenzrelation auf einer Menge M und jedes x, y ∈ M
gilt:
(a) x ∈ Kl(x)
(b) x ∼ y ⇔ Kl(x) = Kl(y)
(c) Kl(x) 6= Kl(y) ⇔ Kl(x) ∩ Kl(y) = ∅.
Definition 1.8. Sei R eine Äquivalenzrelation auf der Menge M . Der Quotient M/R von M bezüglich R ist definiert als die Menge der Äquivalenzklassen von R, also
M/R := {Kl(x) | x ∈ M }.
3. Algebraische Strukturen
Definition 1.9 (Gruppe). Eine Gruppe (G, ·) ist eine Menge versehen mit einer
Verknüpfung ◦ : G × G → G, so dass gilt
(i) Es gibt ein Neutrales Element, also ein Element e ∈ G mit der Eigenschaft e ◦ g = g für alle g ∈ G.
(ii) Für jedes g ∈ G gibt es ein h ∈ G mit g ◦ h = e (Inverses Element).
(iii) Für alle g, h, k ∈ G gilt (g ◦ h) ◦ k = g ◦ (h ◦ k) (Assoziativität)
Gilt zusätzlich f ◦ g = g ◦ f für alle g, f ∈ G so nennt man G eine abelsche
Gruppe.
Satz 1.10. Für jede Gruppe gilt:
a) Für alle f, g ∈ G ist (g ◦ f )−1 = f −1 ◦ g −1 .
b) Ist g ◦ h = e, so ist auch h ◦ g = e.
c) Das Einselement e ist eindeutig.
Definition 1.11 (Untergruppe). Es sei G eine Gruppe bezüglich einer verknüpfung ◦. Eine Teilmenge U ⊂ G nennt man Untergruppe von G, falls U
bezüglich ◦ wieder eine Gruppe ist.
Satz 1.12. Eine Teilmenge U einer Gruppe G ist genau dann eine Untergruppe,
wenn gilt
(i) Für alle u, v ∈ U ist u ◦ v ∈ U .
(ii) Für jedes u ∈ U ist u−1 ∈ U .
Definition 1.13 (Ring). Eine Menge R, versehen mit zwei Abbildungen + :
R × R → R und · : R × R → R heißt Ring, falls folgende Eigenschaften erfüllt
sind:
1) Gruppenstruktur bezüglich +: R ist bezüglich + eine abelsche
Gruppe.
2) (i) Existenz eines neutralen Elementes zur Multiplikation:
Es gibt ein e ∈ R, so dass für alle x ∈ R gilt: ex = xe = x
(ii) Assoziativität der Multiplikation: Für alle x, y, z ∈ R gilt
(xy)z = x(yz).
3) Distributivität: Für alle a, b, c gilt
a(b + c) = ab + ac
und
(a + b)c = ac + bc.
Falls für alle x, y ∈ R zusätzlich xy = yx gilt, so nennt man R einen kommutativen Ring.
Definition 1.14 (Körper). Eine Menge K versehen mit einer Addition + :
K × K → K und einer Multiplikation · : K × K → K heißt Körper, wenn K
ein kommutativer Ring ist und zusätzlich gilt:
Für jedes x ∈ K \ {0} gibt es ein x̃ ∈ K \ {0}, so dass xx̃ = 1 ist.
hierbei sei mit 0 das neutrale Element der Addition und mit 1 das neutrale
Element der Multiplikation bezeichnet.
KAPITEL 2
Vektorräume
1. Vektorräume, Unterräume und affine Unterräume
Definition 2.1 (Vektorraum). Es sei K ein Körper. Eine Menge V mit zwei
Verknüpfungen + : V × V → V und · : K × V → V heißt ein Vektorraum über
K (oder K-Vektorraum), wenn folgendes gilt:
1) V ist bezüglich + eine abelsche Gruppe.
2) Für alle λ, µ ∈ K und alle v ∈ V gilt λ(µv) = (λµ)v.
3) Für alle λ, µ ∈ K und alle v, w ∈ V gelten die Distributivgesetze
(λ + µ)v = λv + µv und λ(v + w) = λv + λw.
4) Für alle v ∈ V gilt 1 · v = v.
Definition 2.2 (Unterraum). Sei V ein Vektorraum über den Körper K. Eine
Teilmenge U mit der Eigenschaft, dass + eingeschränkt auf U × U und · eingeschränkt auf K × U ein Vektorraum ist, nennt man Untervektorraum von
V . Äquivalent dazu ist, U ist ein Untervektorraum von V , genau dann wenn
gilt:
(i) 0 ∈ U
(ii) Sind x, y ∈ U dann ist auch x + y ∈ U .
(iii) Ist x ∈ U und λ ∈ K so ist λx ∈ U
Definition 2.3 (Summe und direkte Summe von Unterräumen). Seien U und
W Unterräume eines Vektorraumes V . Die Menge
U + W := {x + y | x ∈ U, y ∈ W }
heißt Summe der Unterräume U und W . Gilt zusätzlich U ∩ W = {0}, so heißt
die Summe direkte Summe der Unterräume U und W . In diesem Fall schreibt
man U ⊕ W statt U + W .
8
2. Lineare Unabhängigkeit
Definition 2.4 (Linear abhängig/ linear unabhängig). Es sei V ein Vektorraum
und M eine Teilmenge von V . M heißt linear unabhängig, falls für jedes k ∈ N
P
und alle λ1 , . . . , λk ∈ K die Gleichung kj=1 λj vj = 0 impliziert, dass λj = 0
für alle j = 1, . . . , k ist. Anderenfalls nennt man die Menge M linear abhängig.
Definition 2.5 (Lineare Hülle). Es sei M eine Teilmenge eines Vektorraumes
V . Die Menge
( k
)
X
span(M ) :=
λi vi | k ∈ N, λi ∈ K
i=1
heißt lineare Hülle von M .
Satz 2.6. Es seien U und W Unterräume eines Vektorraumes V . Dann sind
U + W und U ∩ W auch Unterräume von V .
Satz 2.7. Ist M eine Teilmengen eines Vektorraumes V . Dann ist span(M ) ist
ein Unterraum von V .
3. Basis
Definition 2.8 (Basis). Es sei V ein Vektorraum und B ⊂ V eine Teilmenge
von V . Die Menge B heißt Basis von V wenn gilt:
(i) B erzeugt V , d.h. für jedes v ∈ V gibt es ein k ∈ N, λ1 , . . . , λk ∈ K
und b1 , . . . , bk ∈ B so dass
v=
k
X
λj bj .
j=1
(ii) B ist linear unabhängig.
Eine geordnete Basis ist ein Tupel (b1 , . . . , bn ) für das {b1 , . . . , bn } eine Basis
ist.
Satz 2.9. Ist B eine geordnete Basis von V dann ist die Darstellung eines
Vektors v ∈ V als Linearkombination aus Basiselementen eindeutig.
Satz 2.10 (Steinitzscher Austauschsatz). Es sei V ein Vektorraum und B =
{b1 , . . . , bn } eine Basis von V . Weiter sei S = {s1 , . . . , sm } eine Menge linear
unabhängiger Vektoren. Dann gibt es eine Teilmenge B̃ ⊂ B so dass B̃ ∪ S eine
Basis von V ist.
4. Dimension
Satz 2.11. Es sei B = {b1 , . . . , bn } eine Basis eines Vektorraumes V . Dann
gilt:
a) Jede Basis von V hat genau n Elemente.
b) Jede linear unabhängige Teilmenge hat höchstens n Elemente.
c) Jede linear unabhängige Teilmenge mit n Elementen ist eine Basis.
Definition 2.12 (Dimension). Ist V ein Vektorraum und B eine Basis von V .
(i) Die Mächtigkeit von B heißt Dimension von V . Wir schreiben
dim(V ) = |B|.
(ii) Ist |B| endlich so nennen wir V einen endlich dimensionalen Vektorraum.
(iii) Hat V keine endliche Basis, so nennen wir V einen unendlich dimensionalen Vektorraum.
Satz 2.13 (Dimensionssatz für Unterräume). Es seien U und W endlich dimensionale Unterräume eines Vektoraumes V . Es gilt:
dim(U ) + dim(W ) = dim(U + W ) + dim(U ∩ W ).
5. Geometrische Struktur von Lösungemengen linearer
Gleichungssysteme
Definition 2.14 (Affiner Teilraum). Sei V ein Vektorraum über dem Körper
K. Eine Menge A ⊂ V heißt affiner Teilraum von V , falls es ein x ∈ V und
einen Unterraum U ⊂ V gibt, so dass
A = x + U := {x + u | u ∈ U }.
Die Dimension eines affinen Teilraums A = x + U wird als dim(U ) definiert.
Bemerkung: (Satz 2.14,5) Es seien U und W Unterräume eines Vektorraumes V und x, y ∈ V . a) Ist x+U ist ein Unterraum, genau dann wenn x ∈ U .
b) x + U = y + U genau dann wenn x − y ∈ U
c) x + U = y + W impliziert U = W .
Satz 2.15 (Geometrsiche Struktur von Lösungsmengen linearer Gleichungssysteme). Es sei A ∈ Km×n und b ∈ Km . Weiter sei LA,b die Lösungsmenge des
linearen Gleichungssystems Ax = b.
a) Ist b = 0 so ist LA,b ein Unterraum von Kn .
b) Ist b 6= 0 so ist LA,b entweder leer oder ein affiner Teilraum von Kn .
Genauer: Für jedes x0 ∈ Kn mit Ax0 = b gilt
LA,b = x0 + LA,0 .
Bemerkung: Im Beweis sieht man: Ist A ∈ Km×n , x, y ∈ Kn und λ ∈ K,
so gilt A(x + y) = Ax + Ay und A(λx) = λAx.
KAPITEL 3
Lineare Abbildungen und Darstellungsmatrizen
1. Lineare Abbildungen
Definition 3.1 (Lineare Abbildungen). Seien V und W zwei Vektorräume über
den selben Körper K. Eine Abbildung f : V → W heißt lineare Abbildung
falls für alle x, y ∈ V und alle λ ∈ K gilt:
(i)
(ii)
f (x + y) = f (x) + f (y),
f (λx) = λf (x).
Eine lineare Abbildung f : V → W nennt man auch Homomorphismus. Ist
W = V so nennet man f : V → V einen Endomorphismus. Ist f : V → W
bijektiv so nennt man f einen Isomorphismus.
Satz 3.2. Seien V und W Vektorräume über K, A ein Unterraum von V und
B ein Unterraum von W . Weiter sei f : V → W eine lineare Abbildung. Dann
gilt:
a) f (0) = 0
b) Das Bild von A unter f ist ein Unterraum von W .
c) Das Urbild von B unter f ist ein Unterraum von V .
Satz 3.3. Es seien f : V → W und g : W → U lineare Abbildungen.
a) Die Abbildung g ◦ f : V → U ist linear
b) Ist f bijektiv, so ist f −1 linear.
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2. Injektivität, Surjektivität und Bijektivität
Definition 3.4 (Kern und Bild). Es sei f : V → W eine lineare Abbildung.
a) Die Menge f (V ) heißt Bild von f (Bezeichnung: Bild(f )).
b) Die Dimension von f (V ) heißt Rang von f (Bezeichnung: Rang(f )).
c) Das Urbild von {0} unter f heißt Kern von f (Bezeichnung:
Kern(f )).
Satz 3.5. Es sei f : V → W eine lineare Abbildung.
a) f ist injektiv, genau dann wenn Kern(f ) = {0}.
b) Ist dim(W ) < ∞, so ist f surjektiv, genau dann wenn Rang(f ) =
dim W .
Satz 3.6 (Rangsatz). Es seien V und W Vektorräume über K. V sei ein endlich
dimensionaler Vektorraum. Weiter sei f : V → W eine lineare Abbildung. Dann
gilt:
dim(V ) = dim(Kern(f )) + Rang(f ).
Korollar 3.7. Es seien V und W endlichdimensionale Vektorräume mit
dim(V ) = dim(W ) und f : V → W eine lineare Abbildung. Dann ist f entweder injektiv und surjektiv oder weder injektiv noch surjektiv.
3. Darstellungsmatrizen
Definition 3.8 (Koordinatenabbildung). Sei V ein endlich dimensionaler Vektorraum über K und B = (b1 , . . . , bn ) eine geordnete Basis von V . Die Abbildung
ΦB : V → Kn , x 7→ (x1 , . . . , xn )> mit x =
n
X
xi bi
i=1
heißt Koordinatenabbildung von V bezüglich B.
Satz 3.9. Die Koordinatenabbildung φB eines endlich dimensionalen Vektorraumes V zur Basis B ist wohldefiniert, linear und bijektiv.
Satz 3.10. Zu jeder linearen Abbildung f : Kn → Km gibt es eine eindeutige
Matrix A ∈ Km×n mit f (x) = Ax für jedes x ∈ Kn .
Definition 3.11 (Darstellungsmatrix). Seien V und W endlich dimensionale
Vektorräume über den selben Körper K, B1 eine geordnete Basis zu V und B2
eine geordnete Basis zu W . Weiter sei f : V → W eine lineare Abbildung.
Mit ΦB1 und ΦB2 werden die entsprechenden Koordinatenabbildungen bezeichnet. Die eindeutige Matrix A welche jedem x ∈ Kn (mit n = dim(V ))
den Wert Ax = ΦB2 ◦ f ◦ Φ−1
B1 (x) zuordnet heißt Darstellungsmatrix von f
bezüglich B1 und B2 .
KAPITEL 4
Km×n
1. Addition, skalare Multiplikation und Matrixprodukt
Definition 4.1. Es sei K ein Körper und




a1,1 . . . a1,n





..
..  a ∈ K , i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , n}
Km×n := A =  ...
.
.  i,j




am,1 . . . am,n
die Menge der m × n Matrizen über K.
a) Auf Km×n wir eine Addition und eine skalare Multiplikation durch

 



a1,1 . . . a1,n
b1,1 . . . b1,n
a1,1 + b1,1 . . . a1,n + b1,n
 ..

..
.. + ..
..
..  := 
..
..
..
 .


.
.   .
.
. 
.
.
.
am,1 . . . am,n
bm,1 . . . bm,n
am,1 + bm,1 . . . am,n + bm,n
bzw.




a1,1 . . . a1,n
λa1,1 . . . λa1,n


..
..  := 
..
..
..
λ ·  ...


.
. 
.
.
.
am,1 . . . am,n
λam,1 . . . λam,n
definiert.
b) Ist


a1,1 . . . a1,n

..
..  ∈ Km×n
A =  ...
.
. 
am,1 . . . am,n
so nennet man


a1,1 . . . am,1

..
..  ∈ Kn×m
A> :=  ...
.
. 
a1,n . . . am,n
die Transponierte von A.
c) Es sei A ∈ Km×n und B ∈ Kn×r so ist das Produkt von A mit B die
Matrix AB ∈ Km×r definiert durch


c1,1 . . . c1,r
n

..
..  mit c := X a b .
AB =  ...
i,j
i,k k,j
.
. 
k=1
cm,1 . . . cm,r
16
Satz 4.2. Es seien V, W, H endlich dimensionale Vektorräume über einem
Körper K und f : V → W und g : W → H lineare Abbildungen. Es sei BV eine
geordnete Basis von V , BW eine geordnete Basis von W und BH eine geordnete
Basis von H. Weiter sei Mf die Dartsellungsmatrix von f (bezüglich der Basen
BV und BW ) und Mg die Darstellungsmatrix der Abbildung g (bezüglich der
Basen BW und BH ).
a) Für die Darstellungsmatrix der Abbildung g ◦ f : V → H (bezüglich
der Basen BV und BH ) gilt
Mg◦f = Mg Mf .
b) Insbesondere gilt für Matrizen A ∈ Km×n und B ∈ Kn×r und den
entsprechenden linearen Abbildungen fA : Kn → K m , x 7→ Ax und
fB : Kr → Kn , x 7→ Bx
fA ◦ fB = fAB : Kr → Km , x 7→ ABx
Bemerkung: Für A ∈ Km×n und B ∈ Kn×k gilt (AB)> = B > A> .
2. Algebraische Strukturen in Km×n I: Vektorräume und Ringe
Satz 4.3.
a) Sind V und W K-Vektorräume so ist die Menge
L(V, W ) := {f : V → W | f linear}
bezüglich der Addition f + g : x 7→ f (x) + g(x) (für f, g ∈ L(V, W ))
und der skalaren Multiplikation λf : x 7→ λf (x) (für λ ∈ K und
f ∈ L(V, W ) ein Vektorraum.
b) Km×n ist bezüglich der Matrix-Addition und skalaren Multiplikation
ein Vektorraum der Dimension mn.
Satz 4.4.
a) Ist V eine K-Vektorraum, so ist die Menge
L(V, V ) := {f : V → V | f linear}
bezüglich der Addition f + g : x 7→ f (x) + g(x) (für f, g ∈ L(V, W ))
und der Multiplikation f ◦ g : x 7→ f ◦ g(x) (für f, g ∈ L(V, W )) ein
Ring.
b) Die Menge Kn×n ist bezüglich der üblichen Addition in Kn×n und der
Matrixmultiplikation ein Ring.
3. Algebraische Strukturen in Kn×n II: Gruppen
Definition 4.5 (Invertierbare Matrizen). Eine quadratische Matrix A ∈ Kn×n
heißt invertierbar, falls es eine Matrix B ∈ Kn×n gibt, so dass AB = E gilt. Ist
A invertierbar, so schreiben wir A−1 statt B. A−1 heißt auch Inverse von A.
Die Menge der invertierbare Kn×n Matrizen wird mit
GLn (K) := {A ∈ Kn×n | A invertierbar}
bezeichnet.
Satz 4.6.
a) Es sei V ein Vektorraum über K. Die Menge
GL(V ) := {f : V → V | f bijektiv und linear}
ist eine Gruppe bezüglich Komposition.
b) Für jeden Körper K und jedes n ∈ N ist GLn (K) eine Gruppe bezüglich
Matrixmultiplikation. Ist n ≥ 2, so ist die Gruppe GLn (K) nicht
abelsch.
Satz 4.7. Es gilt
(i) Für A, B ∈ GLn (K) gilt (AB)−1 = B −1 A−1 .
(ii) Für A, B ∈ GLn (K) gilt: Ist AB = E so ist auch BA = E.
iii) Ist A ∈ GLn (K) so ist auch A> ∈ GLn (K) und es gilt (A> )−1 =
(A−1 )> .
Satz 4.8 (Charakterisierung der Elemente aus GLn (K)). Ist A ∈ Kn×n , so ist
äquivalent:
(i)
(ii)
(iii)
(IV)
A ∈ GLn (K)
Die Abbildung f : Kn → Kn , x 7→ Ax Ist bijektiv.
Die Spaltenvektoren von A bilden eine Basis.
Die Zeilenvektoren von A bilden eine Basis.
4. Elementarmatrizen
Definition 4.9 (Elementarmatrizen). Im folgenden seien e1 , . . . , en die Einheitsvektoren im Kn
1) Die Matrix Pi,j ∈ Kn×n mit i, j ∈ {1, . . . , n}, i 6= j sei definiert durch
die Spalten

 ek falls k 6= i und k 6= j
sk =
e
falls k = i
 j
ei
falls k = j
2) Die Matrix Mi (λ) ∈ Kn×n mit i ∈ {1, . . . , n} und λ ∈ K \ {0} sei
definiert durch die Spalten
ek falls k 6= i
sk =
λek falls k = i
3) Die Matrix Gi,j (λ) ∈ Kn×n mit i, j ∈ {1, . . . , n} und λ ∈ K sei definiert durch die Spalten
ek
falls k 6= i
sk =
ek + λej falls k = i
Lemma 4.10.
a) Die Matrizen Pi,j , Mi (λ) und Gi,j (λ) sind invertierbar.
b) Es sei A ∈ Kn×m .
(i) Pi,j A ist diejenige Matrix welche entsteht, wenn man i-te und
j − te Zeile vertauscht.
(ii) Mi (λ)A ist diejenige Matrix welche entsteht wenn man i-te Zeile
mit λ multipliziert.
(iii) Gi,j (λ)A ist diejenige Matrix welche entsteht wenn man das λfache der i-te Zeile auf die j-te Zeile addiert.
c) Es sei A ∈ Km×n .
(i) APi,j ist diejenige Matrix welche entsteht, wenn man i-te und
j-te Spalte vertauscht.
(ii) AMi (λ) ist diejenige Matrix welche entsteht wenn man i-te Spalte
,mit λ multipliziert.
(iii) AGi,j (λ) ist diejenige Matrix welche entsteht wenn man λ-fache
der j-ten Spalte auf die i-te Spalte addiert.
Satz 4.11. Es sei S die Menge alle Matrizen der Form Pi,j , Mi (λ), Gi,j (λ) ∈
Kn×n (vergleiche Definition 4.9). Für jedes A ∈ GLn (K) gibt es Matrizen S1 , . . . , Sk ∈ S, so dass Sk Sk−1 . . . S1 A = E. Insbesondere gilt also
Sk Sk−1 . . . S1 = A−1 .
KAPITEL 5
Basisinvariante Eigenschaften linearer Abbildungen
1. Ähnlichkeit und Äquivalenz
Definition 5.1.
a) Zwei Matrizen A, B ∈ Kn×n heißen ähnlich wenn es
eine invertierbare Matrix S ∈ Kn×n mit AS = SB gibt.
b) Zwei Matrizen A, B ∈ Km×n heißen äquivalent wenn es eine invertierbare Matrizen S ∈ Kn×n und T ∈ Km×m mit AS = T B gibt.
Satz 5.2. Ähnlichkeit ist eine Äquivalenzrelation auf Kn×n . Äquivalenz ist eine
Äquivalenzrelation auf Km×n .
Satz 5.3. Es seien V und W endlichdimensionale Vektorräume über einem
Körper K.
a) Es sei f : V → V linear und B1 und B2 jeweils geordenete Basen
von V . MB1 sei die Darstellungsmatrix zu f bezüglich der Basis B1 .
B2 sei die Darstellungsmatrix zu f bezüglich der Basis B2 . Dann sind
MB1 und MB2 ähnlich.
b) Es sei f : V → W linear und B1 und B2 jeweils geordenete Basen
von V und C1 und C2 jeweils geordnete Basen von W . MB1 ,C1 sei die
Darstellungsmatrix zu f bezüglich der Basen B1 und C1 . MB2 ,C2 sei
die Darstellungsmatrix zu f bezüglich der Basen B2 und C2 . Dann
sind MB1 ,C1 und MB2 ,C2 äquivalent.
21
2. Rang
Definition 5.4 (Rang). Es sei A ∈ Km×n mit Spaltenvektoren s1 , . . . , sn ∈ Km .
Die Zahl
Rang(A) := dim(span(s1 , . . . , sn ))
heißt Rang von A.
Satz 5.5 (Lösbarkeit von m × n Gleichungssystemen). Das lineare Gleichungssystem Ax = b ist genau dann lösbar, wenn Rang(A) = Rang(A|b) gilt.
Satz 5.6. Es seien V und W endlichdimensionale Vektorräume über einem
Körper K und f : V → W linear.
a) Der Rang einer Darstellungsmatrix MB,C von f (bezüglich einer Basis
B von V und C von W ) ist invariant (unabhähnig) von der Wahl der
Basen B bzw. C.
b) Es gilt Rang(f ) = Rang(MBC ).
Satz 5.7 (Eigenschaften des Ranges). Für eine Matrix A ∈ Km×n gilt:
a)
b)
c)
d)
Rang(A) = 0 genau dann wenn A = 0.
Rang(A) = Rang(A> ).
Rang(A) ≤ min{m, n}.
Ist T ∈ GLn (K), so gilt Rang(AT ) = Rang(A). Ist S ∈ GLm (K), so
gilt Rang(SA) = Rang(A).
e) Für B ∈ Kn×k gilt Rang(AB) ≤ min{Rang(A), Rang(B)}.
Satz 5.8 (Rang und Äquivalenz). Für eine Matrix A ∈ Km×n gilt:
a) Zu jeder Matrix A ∈ Km×n gibt es genau ein l ∈ {0, . . . , min{m, n}},
so dass A äquivalent zu
1 falls i = j ≤ l,
m×n
Fl ∈ K
definiert durch fi,j =
ist
0 sonst
Dabei gilt l = Rang(A).
b) A, B ∈ Km×n sind äquivalent genau dann wenn Rang(A) = Rang(B).
c) A ∈ Kn×n ist invertierbar, genau dann wenn Rang(A) = n.
3. Determinanten (Teil I): Produktformel
Definition 5.9 (Determinante). Sei A eine quadratische Matrix (d.h., A ∈
Kn×n ). Wir nenne die Matrix A(i, j) welche entsteht wenn man aus A die i-te
Zeile und die j-te Spalte herausstreicht die (i, j)-te Streichungsmatrix von A.
Die Determinante eine quadratischen Matrix wird nun rekursiv durch
a1,1
falls n = 1,
det(A) = Pn
i+1
ai,1 det(A(i, 1)) falls n > 1
i=1 (−1)
definiert.
Lemma 5.10. Es sei S ⊂ Kn×n die Menge der Elementarmatrizen Pi,j , Mi (λ),
Gi,j (λ). Für jedes A ∈ Kn×n und jedes S ∈ S gilt det(SA) = det(S) det(A) und
det(AS) = det(A) det(S).
Lemma 5.11. Für A ∈ Kn×n gilt det(A) = 0 genau dann wenn Rang(A) < n.
Satz 5.12. Für A, B ∈ Kn×n gilt det(AB) = det(A) det(B).
Satz 5.13. Für A ∈ Kn×n gilt det(A) = det(A> ).
4. Determinanten (Teil II): Berechnung von Determinanten
Lemma 5.14.
a) Ist T ∈ Kn×n invertierbar, so gilt det(T −1 ) =
−1
det(T ) .
b) Sind A, B ∈ Kn×n ähnlich, so gilt det(A) = det(B).
Definition 5.15. Es sei V ein endlichdimensionaler Vektorraum über einen
Körper K und f : V → V linear. Weiter sei B eine geordnete Basis von V
und MB die Darstellungsmatrix von f bezüglich V . Die Determinante von f ist
durch det(f ) := det(MB ) definiert.
Satz 5.16. Es sei K ein Körper mit 1 + 1 6= 0. Es gibt genau eine Funktion
∆ : Kn×n → K welche die drei Eigenschaften:
(i) ∆ ist multilinear, d.h. für jedes i ∈ {1, . . . , n} und für
a1 , . . . , ai−1 , ai+1 , an ∈ Kn ist die Abbildung Φ : Kn → Kn , x 7→
∆(a1 , . . . , ai−1 , x, ai+1 , . . . , an ) linear.
(ii) ∆ ist alternierend, d.h. für alle a1 , . . . , ai , . . . , aj , . . . , an ∈ Kn gilt
∆(a1 , . . . , ai , . . . , aj , . . . , an ) = −∆(a1 , . . . , aj , . . . , ai , . . . , an ).
(iii) ∆(E) = 1.
erfüllt, nähmlich die Funktion ∆ = det.
Satz 5.17 (Entwicklungsformel von Laplace). Es gilt
(i) Für jedes j = 1, . . . , n gilt
det(A) =
n
X
(−1)i+j ai,j det(A(i, j))
i=1
(Entwicklung nach der j-ten Spalte).
(ii) Für jedes i = 1, . . . , n gilt
det(A) =
n
X
(−1)i+j ai,j det(A(i, j))
j=1
(Entwicklung nach der i-ten Zeile).
Satz 5.18 (Cramersche Regel). Sei A ∈ Kn×n eine quadratische Matrix mit
Spalten s1 , . . . , sn ∈ Kn , b ∈ Kn und det(A) 6= 0. Für die eindeutige Lösung
x = (x1 , . . . , xn )> ∈ Kn gilt:
1
xk =
det(s1 , . . . , sk−1 , b, sk+1 , . . . , sn ).
det(A)
5. Eigenwerte
Definition 5.19 (Eigenwerte und Eigenvektor).
a) Es sei V ein Vektorraum über K und f : V → V linear. Gibt es ein λ ∈ K und ein
v ∈ V \ {0} mit f (v) = λv so heißt v Eigenvektor von f zum Eigenwert λ. Die Menge der Eigenwerte von f nennt man Spektrum von f .
(geschrieben: Spektrum(f )).
b) Ist A ∈ Kn×n so nennt man λ ∈ K einen Eigenwert von A und v ∈
Kn \ {0} einen Eigenvektor von Kn , falls Ax = λx gilt. Die Menge
der Eigenwerte von A nennt man Spektrum von A.
Satz 5.20. Es sei V ein Vektorraum über K, f : V → V linear, B eine geordnete Basis von V und AB die Darstellungsmatrix von f bezüglich B. Dann gilt
Spektrum(f ) = Spektrum(AB ).
Satz 5.21 (Lineare Unabhängigkeit von Eigenvektoren). Es sei V ein Vektorraum über K und f : V → V linear.
a) Hat k verschiedene Eigenwerte λ1 , . . . , λk mit Eigenvektoren
x1 , . . . , xk so ist die Menge {x1 , . . . , xk } linear unabhängig.
b) Besteht Spektrum(f ) aus n verschiedene Eigenwerte, so gibt es eine
Basis aus Eigenvektoren.
c) f hat höchstens n verschiedene Eigenwerte.
Satz 5.22. Es sei V ein Vektorraum über K und f : V → V linear. Es gilt
a) λ ∈ K ist ein Eigenwert von f , genau dann wenn Rang(f −λ idV ) < n.
b) f ist bijektiv, genau dann wenn 0 kein Eigenwert von f ist.
Korollar 5.23. Ist A ∈ Kn×n , so ist λ ein Eigenwert von A genau dann wenn
λ ein Eigenwert von A> ist.
KAPITEL 6
Übersichten
Satz 6.1. Es sei K ein Körper, A ∈ Kn×n und fA : Kn → Kn , x 7→ Ax. Die
folgenden Aussagen sind äquivalent:
a) Es existiert ein b ∈ Kn , so dass die Gleichung Ax = b genau eine
Lösung besitzt.
b) Für jedes b ∈ Kn hat die Gleichung Ax = b mindestens eine Lösung.
c) Rang(A) = n
d) det(A) 6= 0
e) 0 ∈
/ Spektrum(A)
f) Spaltenvektoren von A sind linear unabhängig
g) Zeilenvektoren von A sind linear unabhängig
h) A ∈ GLn (K)
i) fA ist bijektiv
j) fA ist surjektiv
k) fA ist injektiv
l) Kern(fA ) = {0}
Satz 6.2. Sind A ∈ Kn×n und B ∈ Kn×n ähnlich, so folgt:
a)
b)
c)
d)
Rang(A) = Rang(B)
det(A) = det(B)
Spur(A) = Spur(B)
Spekrum(A) = Spektrum(B)
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