Teil I Werkstoffe der Elektrotechnik

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Teil I
Werkstoffe der Elektrotechnik
Inhaltsverzeichnis
I
Erstelldatum: 12. Februar 2015
Werkstoffe der Elektrotechnik
1
1 Aufbau der Materie
1.1 Quanten und Wellen . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Schrödingergleichung . . . . . . . . . . . .
1.1.2 1-dimensinaler Potentialtopf . . . . . . . .
1.1.3 3-dimensionaler Potentialtopf . . . . . . .
1.1.4 Sonstiges . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Wasserstoffatom . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Aufbau des Periodensystems . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Quantenzahlen . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2 Pauli-Prinzip . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.3 Hundsche Regeln . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Bindungstypen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.1 Ionische Bindung . . . . . . . . . . . . . .
1.4.2 Kovalente Bindung . . . . . . . . . . . . .
1.4.3 Metallische Bindung . . . . . . . . . . . .
1.5 Aggregatzustände der Materie . . . . . . . . . . .
1.5.1 Gase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6 Kristallstrukturen . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6.1 Primitiv kubisch (sc) . . . . . . . . . . . .
1.6.2 Kubisch raumzentriert (bcc) . . . . . . . .
1.6.3 Kubisch flächenzentriert (fcc) . . . . . . .
1.7 Metalle und Legierungen . . . . . . . . . . . . . .
1.7.1 Mischkristallbildung durch Leerstellendiffusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
2
3
3
3
3
3
3
3
3
3
4
4
2 Mechanische Eigenschaften der Festkörper
4
3 Thermische Eigenschaften der Festkörper
3.1 Spezifische Wärme . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Thermische Ausdehnung . . . . . . . . . . .
3.3 Wärmeleitung . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Freies Elektronengas / spezifische Wärme
Elektronen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.1 Wiedemann-Franzsches Gesetz . . .
4
4
4
4
. . .
. . .
. . .
der
. . .
. . .
4
5
5
5
5 Elektrische Eigenschaften der Metalle
5.1 Thermoelektrische Effekte . . . . . . . . . . . . .
5.1.1 Peltier-Effekt . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.2 Supraleitung . . . . . . . . . . . . . . . .
5
6
6
6
6 Halbleiter
6.1 Leitungsband . . . . . . . . . . . . . .
6.2 Valenzband . . . . . . . . . . . . . . .
6.3 Diffusion . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.4 Ausgleich der Minoritätsladungsträger
6.5 Ladungstransporteigenschaften . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
6
6
6
7
7
7
7 Dielektrische Eigenschaften von Festkörpern
7.1 Polarisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.1.1 Elektronische Polarisation . . . . . . .
7.1.2 Ionische Polarisation . . . . . . . . . .
7.1.3 Orientierungspolarisation . . . . . . .
7.2 Dielektrizitätskonstante . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
7
7
7
7
8
8
.
.
.
.
.
8
8
8
8
8
9
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
8 Magnetische Eigenschaften von Festkörpern
8.1 Elementare magnetische Dipolmomente . . .
8.2 Diamagnetismus . . . . . . . . . . . . . . . .
8.3 Paramagnetismus . . . . . . . . . . . . . . . .
8.4 Ferromagnetismus . . . . . . . . . . . . . . .
8.5 Leitungselektronen . . . . . . . . . . . . . . .
9 Physikalische Konstanten
Keine Garantie auf Vollständigkeit und Richtigkeit!
.
.
.
.
.
Aufbau der Materie
1.1
Quanten und Wellen
Wellenlänge: λ =
9
c
h
h
= =
f
p
mv
hc
λ
~ω
h
Impuls: p = mv = ~k =
=
c
λ
2π
Wellenzahl: k =
λ
ω
~k
vT eilchen
Phasengeschwindigkeit: vP h = =
=
k
2m
2
~k
p
∂ω
=
=
Gruppengeschwindigkeit: vgr =
∂k
m
m
2 2
~ k
Dispersionsrelation: E = ω~ =
2m
Energie: E = mc2 = ~ω = hf =
1.1.1
Schrödingergleichung
Herleitung:
Ausgehend von der Dispersionsrelation:
ωc
kc
s− j ∂
∂t
sj∇
Allgemeine Schrödingergleichung:
−j~
4 Ladungstransport in Festkörpern
.
.
.
.
.
1
~2
∂
−
−
−
−
Ψ(→
r , t) = − ∗ ∆Ψ(→
r , t) + V (→
r , t)Ψ(→
r , t)
∂t
2m
Zeitunabhängige Schrödingergleichung:
−
−
Durch den Separationsansatz Ψ(→
r , t) = Ψ(→
r )Φ(t) lässt
sich die Zeitabhängigkeit abtrennen:
−
1.1.2
~2
−
−
−
−
∆Ψ(→
r ) + V (→
r )Ψ(→
r ) = EΨ(→
r)
2m∗
1-dimensinaler Potentialtopf
Ansatz für DGL:
Ψ(x) = Aejkx + Be−jkx
bzw.
Ψ(x) = Asin(kx) + Bcos(kx)
Für den jeweiligen Bereich mit dem Potential V gilt:
p
2m∗ (E − V )
k=
~
Im Falle von unendlich hohen Barrieren und der Breite a
gilt:
r
nπ 2
Ψn (x) =
sin
x
a
a
~2 π 2 2
~2 2
E=
n =
k
∗
2
2m a
2m∗
nπ
mit k =
a
1
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Randbedingungen:
Für die Wellenfunktion Ψ(x) gelten folgende Randbedingungen:
• Ψ(x) ist stetig (ohne Sprung)
• Ψ(x) ist differenzierbar
R∞
R∞ ∗
•
|Ψ(x)|2 dx =
Ψ (x)Ψ(x)dx = 1
−∞
1.1.3
−∞
3-dimensionaler Potentialtopf
=
ˆ Orientierung der Orbitale
m = −l, −l + 1, ..., l − 1, l (=L)
b
Spinquantenzahl:
s = ± 12
Entartungsgrad:
Anzahl der Kombinationen der Quantenzahlen mit gleicher
Energie.
⇒ 2n2
Die Lösung erfolgt wie beim 1-dimensionalen Potentialtopf
durch den Separationsansatz
Hauptquantenzahl
Nebenquantenzahl
Magnetische Quantenzahl
Ψ(x, y, z) = Ψ(x)Ψ(y)Ψ(z)
-3 -2 -1 0 1 2 3
Im Falle eines Würfels mit Kantenlänge a und unendlich
hohen Barrieren gilt:
r
nπ mπ lπ
8
sin
Ψnml (x, y, z) =
x
sin
y
sin
z
a3
a
a
a
2 2
~ π
E=
(n2 + m2 + l2 )
2m∗ a2
~2
E=
(k 2 + ky2 + kz2 )
2m∗ x
1.1.4
K 1s
2s
L
2p
3s
M 3p
3d
4s
4p
N
4d
4f
5s
5p
O
5d
5f
6s
P 6p
6d
Q 7s
Sonstiges
Teilchenstromdichte:
j = (Ψ∗ Ψ)vgr = (Ψ∗ Ψ)
Reflexionskoeffizient: jjR0
Transmissionskoeffizient:
1.2
~k
m0
jT
j0
Wasserstoffatom
a: Bohrscher Atomradius, RH : Rydbergkonstante
λ: emittierte bzw. absorbierte Wellenlänge
Für die Energieniveaus eines H-Atoms gilt:
2
m 0 e4
1
~2
1
=−
En = −
2
2m0 na
2(4π0 ~) n2
| {z }
mit 2 Zuständen besetzbarer Platz
2,18·10−18 J
λ=
1.3
1
1
RH n2 −
1 ;
m2
n, m ∈ N
Aufbau des Periodensystems
Erstelldatum: 12. Februar 2015
1.3.2
Pauli-Prinzip
Alle Elektronen unterscheiden sich in mindestens einer
Quantenzahl.
→ siehe Skript S. 24
1.3.3
1.3.1
Quantenzahlen
Hauptquantenzahl:
=
ˆ Energieeigenwerte
n = 1, 2, ... (=K,
ˆ L, ...-Schale)
Hundsche Regeln
1 ) Schale wird so aufgefüllt, dass
X 1
|S| = si mit s = ±
2
maximal wird.
Nebenquantenzahl:
=
ˆ Orbitalgestalt
l = 0, ..., n − 1 (=s,
ˆ p, d, f -Zustände)
Magnetische Quantenzahl:
Keine Garantie auf Vollständigkeit und Richtigkeit!
2 ) Quantenzahl |L| maximal.
3)
• Schale weniger als halbvoll
- Bahndrehimpuls und Spin antiparallel
- Gesamtdrehimpuls |J| = ||L| − |S||
2
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• Schale mehr als halbvoll
M : Molare Masse, u: Atomare Masseneinheit
- Bahndrehimpuls und Spin parallel
- Gesamtdrehimpuls |J| = |L| + |S|
Volle Schalen liefern keinen Beitrag zu S, L und J!
Q
P
O
N
M
L
K
1.4
1.4.1
Erstelldatum: 12. Februar 2015
7s
6s
5s
4s
3s
2s
1s
7p
6p
5p
4p
3p
2p
6d
5d
4d
3d
5f
4f
s
p
d
f
pV
nA R
J
= nmol R = nA kB =
; [nmol R] =
(ideales Gas)
T
NA
K
kg
M = Ar · 10−3
; [Ar ] = 1
mol
m
nA
=
nmol =
NA
M
R = NA kB
1
p = N mv 2 = N kB T
3
nA
nmol NA
ρNA
p
N=
=
=
=
V
V
M
kB T
NM
n A Ar u
m
ρ=
=
=
NA
V
V
f
1
Ekin = mv 2 = kB T
2
2
mit f : Anzahl der Freiheitsgrade (= 3 für einatomige Gase)
Bindungstypen
Ionische Bindung
=
ˆ Bindung durch Elektronenaustausch
Voraussetzung:
1.6
Kristallstrukturen
KZ: Koordinationszahl (Zahl der nächsten Nachbarn)
nEZ : Anzahl der Atome pro Einheitszelle (EZ)
r: Atomradius
• Unterschiedliche, leicht zu ionisierende Atome
• Differenz der Elektronegativität i.d.R. ∆E > 1, 7
Die Ionisierung läuft prinzipiell in 3 Schritten ab:
a0
a0
1 ) Ionisierung des Kations (Energiezufuhr)
a0
2 ) Ionisierung des Anions (Energieabgabe)
3 ) Molekülbildung (Energieabgabe)
Die elektrische Bindungsenergie, die bei der Molekülbildung
frei wird, berechnet sich wie folgt:
Zr0
−
Eel =
∞
q1 q2
q1 q2
dr =
4π0 r2
4π0 r0
wobei r0 der Abstand ist und q1 , q2 die Ladungen der Ionen
darstellen.
Kovalente Bindung
a0
sc
bcc
fcc
nEZ 43 πr3
Volumen (Atome)
4nEZ πr3
=
=
Volumen (EZ)
VEZ
3a30
Achtung:
Für die Berechnung von nEZ müssen Atome, die von angrenzenden Zellen auch verwendet werden, dementsprechend gewichtet werden!
Primitiv kubisch (sc)
(=simple cubic)
nEZ = 1
1
r = a0
2
KZ = 6
1
P = π ≈ 0, 52
6
Voraussetzung:
• Differenz der Elektronegativität i.d.R. ∆E < 1, 7
Metallische Bindung
= Sonderfall der kovalenten Bindung, bei der die Valenzelektronen nicht lokalisiert sind.
a0
a0
P =
=
ˆ Bindung durch gemeinsame Elektronen
1.4.3
a0
a0
Packungsdichte:
1.6.1
1.4.2
a0
1.6.2
Kubisch raumzentriert (bcc)
(=body centered cubic)
1.5
1.5.1
Aggregatzustände der Materie
Gase
p: Druck, V : Volumen, T : Temperatur, ρ: Dichte
nA : Anzahl Atome, kB : Boltzmannkonstante
nmol : Stoffmenge, R: Gaskonstante, N : Teilchendichte
NA : Avogadro-Konstante, Ar : Relative Atommasse
Keine Garantie auf Vollständigkeit und Richtigkeit!
nEZ = 2
√
r=
3
a0
4
KZ = 8
√
P =
3
π ≈ 0, 68
8
3
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1.6.3
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nA : Anzahl der Atome, kB : Boltzmannkonstante, m: Masse
M : Molare Masse, R: Gaskonstante, TF : Fermi-Temperatur
EF : Fermi-Energie
Kubisch flächenzentriert (fcc)
(=face centered cubic)
nEZ = 4
√
∂U
3Rm
= cm = 3nA kB =
; [C] =
∂T
M
C
1 ∆U
cm
3nA kB
3R
c=
=
=
=
=
;
m
m ∆T
M
m
M
6RT
T
= 3R 1 + 2
cm = |{z}
3R +
;
TF
TF
| {z }
Atome
C=
2
r=
a0
4
KZ = 12
√
2
π ≈ 0, 74
P =
6
J
g
; [Ar ] =
K
mol
J
[c] =
kgK
J
[cm ] =
molK
Elektronen
1.7
Metalle und Legierungen
1.7.1
Mischkristallbildung durch Leerstellendiffusion
S: Teilchenstromdichte, D: Diffusionskoeffizient
N : Teilchenkonzentration, xD : Mittlere Eindringtiefe
EA : Aktivierungsenergie für Leerstellendiffusion
∂N
S = −D
∂x
E
cm2
− A
D = D0 e kB T ;
[D] =
s
√
xD = Dt
2
Mechanische
Festkörper
Eigenschaften
U = 3N kB T
3.2
der
β ≈ 3α
1
α∼
TS
3.3
K = − ∆V =
V
(Grüneisen-Regel)
Wärmeleitung
Q: Wärmemenge, A: Querschnitt, W : Wärmestromdichte
I: Wärmestrom (=
b Leistung), λ: Wärmeleitfähigkeit
∆Q
:
Transportierte
Wärmemenge, G: Wärmeleitwert
A
vx : Geschwindigkeit in x-Richtung, n: Teilchendichte
∇T =
abstoßend
Für Ionen gilt: n = 1
dV
dr
p
∆l: Längenausdehnung, ∆V : Volumenausdehnung
α: Längenausdehnungskoeffizient, TS : Schmelztemperatur
β: Volumenausdehnungskoeffizient
∆V = βV0 ∆T ≈ 3αV0 ∆T
V (r): Wechselwirkungsenergie, p: Druck
K: Kompressionsmodul; F (r): Kraft (im Gleichgewicht)
ν: Poissonsche Zahl
α
β
V (r) = − n +
; n<m
r}
rm
| {z
|{z}
F (r) = −
Thermische Ausdehnung
∆l = αl0 ∆T
ρ: Dichte, : Dehnung, σ: Mech. Spannung (= Druck)
E: Elastizitätsmodul, V : Volumen, P : Packungsdichte
r: Atomradius, a0 : Gitterkonstante, mA : Atommasse
nEZ : Anzahl der Atome pro Einheitszelle
α: Längenausdehnungskoeffizient
mA P
kg
mA nEZ
ρ= 4 3 =
; [ρ] = 3
3
a
m
πr
0
3
∆l
= α∆T
=
l
N
F
σ=
= E = α∆T E; [σ] = 2
A
m
1 dF N
E=−
; [E] = 2
r0 dr r=r0
m
anziehend
Elektronen-Anteil kann für hohe T vernachlässigt werden!
J
cm = 3R = 24, 9
für hohe Temperaturen
molK
T 3 ∼ C, c, cm für niedrige Temperaturen
EF
TF =
kB
R = k B NA
E
3(1 − 2ν)
Im Normalfall gilt: ν = 0, 3 ⇒ K ≈ 0, 8E
Ta (t) − Tb (t)
x
⇒ bl−→ al
l
∆Q
= −λ∇T ∆t
A
Q = CT ; [Q] = J
I = Q̇ = −λA∇T = G∆T = Ca Ṫa = −Cb Ṫb
K
W
A
; [λ] =
G = λ ; [G] =
l
W
Km
Q̇
∆Q
W =
=
= nvx c∆T
A
A∆t
lx : Freie Weglänge zwischen zwei Streuprozessen
CP h : Wärmekapazität der Phononen pro Volumeneinheit
ν: Schallgeschwindigkeit, τ : Streuzeit
dT
lx
dx
l = vτ
1 p
1
W
λ = lC v 2 = CP h νl; [λ] =
3
3
Km
Differentialgleichungen sind mit folgendem Ansatz zu lösen:
∆T = −
3
3.1
Thermische
Festkörper
Eigenschaften
Spezifische Wärme
C: Wärmekapazität, c: Spezifische Wärmekapazität
cm : Molwärme, U : Innere Energie T : Temperatur
Keine Garantie auf Vollständigkeit und Richtigkeit!
der
T (0, t) = De−Et + F
4
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3.4
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Freies Elektronengas / spezifische Wärme der
Elektronen
D(E): Zustandsdichte, f (E, T ): Fermiverteilung
n: Elektronendichte, EF : Fermienergie
D(k) ∼ k
1 dZ
=
V dE
2m
~2
~2 k 2
2m
~k
vGr =
m
~2
m∗ = d2 E(k)
32
e
E−EF
kB T
−
E−EF
kB T
(Boltzmann-Näherung)
Z∞
D(E)f (T, E)dE
0
Für T = 0K gilt:
ZEF
D(E)dE =
0
2m
~2
Elektrische Eigenschaften der Metalle
n: Teilchendichte, τ : Streuzeit, σ: el. Leitfähigkeit
→
−
j : Stromdichte, µ: Ladungsträgerbeweglichkeit
R: Widerstand, A: Fläche, l: Länge
α: Temperaturkoeffizient, ρ: Spezifischer Widerstand
32
3
2
1
~2
2
E
(3π 2 n) 3
⇔
E
=
F
F
2
3π
2m
Die Anzahl der anregbaren Elektronen berechnet sich
wie folgt:
3kB T
n
EF
Nel : Anzahl der Leitungselektronen pro Atom, ρ: Dichte
NA : Avogadrokonstante, MAt : Molare Masse eines Atoms
Nel ρNA
MAt
Elektronendichte des m-ten Quantisierungsniveaus:
Z∞
nmQe =
Die Leitfähigkeit von Metallen nimmt für hohe Frequenzen,
vergleichbar mit einem Tiefpass erster Ordnung, ab:
σ0
(Wirkleitfähigkeit)
σ(ω) =
1 + ω2 τ 2
1
τ : Streuwahrscheinlichkeit
1
τi : Streuung an Fremdatomen
1
τP h : Streuung durch Gitterschwingungen
1
1
1
=
+
τ
τP h
τi
3
τi ∼
τP h ∼
T2
n
1
3
T2
l: freie Weglänge, ρ: spez. Widerstand
vF : Fermigeschwindigkeit
l = vF τ
r
2EF
vF =
m0
1
ρ = ; [ρ] = Ωm
σ
ρ = ρP h + ρi (Mattiessen’sche Regel)
ρP h ∼ T 5
D(E)f (T, E)dE
(für tiefe Temperaturen)
ρP h ist temperaturabhängig (≈ 0 für tiefe Temperaturen).
ρi ist temperaturunabhängig.
EmQe +EL
3.4.1
S
m
eτ
cm2
;
[µ]
=
m∗
Vs
l
ρl
=
R=
A
σA
ρ = ρ20◦ C [1 + α(T − 20◦ C)]
Diese Beziehung ist sehr nützlich bei Metallen, da EF hier
kaum von der Temperatur abhängig ist.
n=
[σ] =
µ=
Die Fermiverteilung gibt an, mit welcher Wahrscheinlichkeit ein Zustand der Energie E bei der Temperatur T von
einem Teilchen besetzt ist.
n=
5
e2 τ
en∆px
n;
=
m∗ Ex
m∗
→
−
→
−
j = σE
+1
E−E
− k TF
f (E, T )dE = −kB T · ln 1 + e B
f (E, T ) ≈ e
dk2
σ=−
1
f (E, T ) =
n=
vGr : Geschwindigkeit, m∗ : effektive Masse
E(k): Energie von freien Elektronen
E(k) =
Die Zustandsdichte D(E) gibt an, wieviele mögliche
Zustände bei einer gegebenen Energie besetzt werden
können.
Z
Ladungstransport in Festkörpern
2
1 √
E
2π 2
s3 √
1
D(E) ≈ 1, 0622 · 1056 3
E; [D] =
3 eV
6
cm
2
kg m
3n
D(EF ) =
2EF
EF = kB TF
D(E) =
4
Erstelldatum: 12. Februar 2015
Wiedemann-Franzsches Gesetz
Für kleine Konzentrationen gilt außerdem:
λ: Wärmeleitfähigkeit, σ: el. Leitfähigkeit
L: Lorentzzahl
λel
=
σT
2
π 2 kB
3e2
= L mit L = 2, 44 · 10−8
ρi ∼ Mischungsverhältnis
2
V
K2
Keine Garantie auf Vollständigkeit und Richtigkeit!
Dies bedeutet, dass ρi bei doppelter Konzentration an
Fremdatomen in etwa doppelt so groß wird.
5
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5.1
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Thermoelektrische Effekte
Ex : el. Feld, S: Seebeckkoeffizient, ∆U : Thermospannung
Dn : Diffusionskoeffizient
dT
Ex = S
dx
e d
S=−
(Dn n);
σ dT
∆U = S∆T
[S] =
µV
K
NL∗ , NV∗ : effektive Zustandsdichte, ML : Anzahl der
äquivalenten Leitungsbandminima in der Brillouinzone
Wenn ein Element beim Dotieren (je nach Einbau)
sowohl als Donator, als auch als Akzeptor wirken kann, so
spricht man von einem amphoteren Charakter.
6.1
Leitungsband
fn (E, T ) = f (E, T )
Z∞
n=
DL (E)f (E, T )dE
Dn = vx lx = vx2 τ
5.1.1
Erstelldatum: 12. Februar 2015
Peltier-Effekt
EL
W : Wärmestromdichte, j: Stromdichte, Π: Peltierkonstante
3
(2m∗n ) 2 p
E − EL ; E > EL
2π 2 ~3
3
∗
mn kB T 2
(ML ist meist 1)
NL∗ = 2ML
2π~2
DL (E) = ML
W = Πj = ST j
Π = ST
Wel = (ΠA − ΠB )j
(A → B)
Kühlung erfolgt an der Stelle, an der gilt: Wel < 0.
Bei einem Halbleiter ist dies die Stelle, an der der Strom
vom n-dotierten zum p-dotierten Halbleiter fließt.
n = NL∗ e
⇒ EL − EF = kB T · ln
6.2
π1 > π2
(π1 - π2)j
EL −EF
kB T
1
π1j
−
NL∗
(Boltzmann-Näherung)
n
Valenzband
fp (E, T ) = 1 − f (E, T )
ZEV
(π1 - π2)j
DV (E)[1 − f (E, T )]dE
p=
−∞
π2j
3
U
(2m∗p ) 2 p
EV − E;
2π 2 ~3
∗
3
mp kB T 2
NV∗ = 2
2π~2
2
DV (E) =
j
5.1.2
Supraleitung
HC (T ): kritische Feldstärke, IC : Kritischer Strom
r: Radius des Leiters, TC : kritische Temperatur
ΛL : Londonsche Eindringtiefe, µ0 : absolute Permeabilität
"
2 #
T
A
HC (T ) = HC,0K 1 −
; [H] =
TC
m
IC = 2πrHC
s
r
λL
m
ΛL =
=
µ0
µ0 ns e2
m
λL =
ns e2
6
p = NV∗ e
EF −EV
kB T
⇒ EF − EV = kB T · ln
NV∗
(Boltzmann-Näherung)
p
ni : intr. Elektronendichte, pi : intr. Löcherdichte
+
NA− : Akzeptoren-Dichte, ND
: Donatoren-Dichte
m∗e : effektive Elektronenmasse, EF : Fermienergie
31
13
m∗e = m∗k · m∗⊥ 2
= m∗el · m∗et 2
23
3
3
m∗p = m∗h = m∗hl 2 + m∗hh 2
Eg
p
−
ni = pi = NL∗ NV∗ e 2kB T
p
3
T 2 ∼ NL∗ NV∗
Halbleiter
3
Leitungsband
T 2 ∼ NL∗ , NV∗
EL
EV + EL
kB T
EF =
+
ln
2
2
Fermienergie bei n-Dotierung
Eg
−
E < EV
EF
Fermienergie im undotierten Fall
np = ni pi = n2i = p2i
Fermienergie bei p-Dotierung
EV
Valenzband
fi (E, T ): Besetzungswahrscheinlichkeit, p: Löcherdichte
n: Elektronendichte, Di (E): Zustandsdichte
Keine Garantie auf Vollständigkeit und Richtigkeit!
n+
NA−
=p+
NV∗
NL∗
(im thermodyn. Gleichgewicht)
+
ND
Im Falle einer vollständigen Ionisation gilt:
bei n-Dotierung
+
+
NA− = 0; p << ND
⇒ n ≈ ND
bei p-Dotierung
+
ND
= 0; n << NA− ⇒ p ≈ NA−
6
Formelsammlung Werkstoffe der Elektrotechnik
6.3
www.ei-studium.de
X : Suszeptibilität
Diffusion
→
−
→
−
−
P = N→
p = N 0 α E a ;
Ln,p : Diffusionslänge, τ : Streuzeit, e: Elementarladung
µn,p : Beweglichkeit, Dn,p : Diffusionskonstante
m∗p : effektive Lochmasse, LD : Debye-Länge, : Permittivität
ND : Donatoren-Dichte, n: Elektronendichte
Ln,p
LD
Dn,p
6.4
Erstelldatum: 12. Februar 2015
[P ] =
As
m2
r = 1 + X
αN
r − 1
=
(Claudius-Mosotti-Gleichung)
3
r + 2
3 + 2αN
αN
⇒ r =
=1+
αN
3 − αN
1−
3
|{z}
r
p
kB T µn,p τn,p
= Dn,p τn,p =
e
r
kB T ; ND = n
=
e 2 ND
kB T µn,p
=
e
Lorentz-Feld
3(r − 1)
⇒N =
α(r + 2)
X
αN =
αi Ni (für Moleküle)
Ausgleich der Minoritätsladungsträger
∀i
→ S. 129
Das Lorentz-Feld kann oftmals vernachlässigt werden.
R: Rekombinationsrate, r: Rekombinationsrate
GL : optische Generation, GT : thermische Generation
7.1.1
Elektronenhülle verschiebt sich aufgrund eines anliegenden
elektrischen Feldes.
→ induziertes Dipolmoment.
Diese Art der Polarisation tritt immer auf und ist temperaturunabhängig.
dp
dn
=
= GL + GT − R = GL + n2i r − npr
dt
dt
GT = n2i r
R = npr
dn !
= 0 ⇔ stationärer Zustand
dt
6.5
→
−
R: Atomradius, | F 1 |: auslenkende Kraft, Z: Ordnungzahl
→
−
| F 2 |: Coulombkraft der inneren Kugelschale
x0 : Auslenkung der Elektronenhülle / des Kerns
e: Elementarladung
Ladungstransporteigenschaften
→
−
→
−
→
−
p = 0 α E a = 4π0 R3 E a
→
−
−
j : Gesamtstromdichte, →
v : Driftgeschwindigkeit
τ : Steuzeit, σ intrinsische Leitfähigkeit
n, p: Ladungsträgerdichten, µ: Ladungsträgerbeweglichkeit
→
−
→
−
−
−
j = σ E = −ne→
v n + pe→
vp
n
σ = µn en + µp ep = e2 τ ∗ ;
m
eτ
cm2
µ = ∗ ; [µ] =
m
Vs
→
−
Löcher
→
−
v = ±µ E (VZ: Elektronen )
[σ] =
S
m
7.1.2
Isolator: σ < 10−7
7
Dielektrische
Festkörpern
Ionische Polarisation
Positive und negative Ionen werden durch ein äußeres el.
Feld gegeneinander verschoben (bei Gitterstruktur).
→ Dipolmoment (temperaturunabhängig)
−
∆→
r : zusätzlicher Ionen-Abstand durch Verschiebung
→
−
→
−
q: Ladung, F R : Rückstellkraft, F el : elektrostatische Kraft
U : potentielle Energie
S
m
Halbleiter: σ ≈ 10−1 − 10−6
α = 4πR3 ; [α] = m3
→
−
→
−
| F 1 | = Ze| E a |
→
−
Z 2 e2 x0
| F 2| =
4π0 R3
Typische Werte:
Metalle: σ ≈ 106
Elektronische Polarisation
→
−
−
p = ∆→
rq
→
−
→
−
F R = − F el
S
m
S
m
Eigenschaften
∂U (r) =0
∂r r=r0
von
7.1 Polarisation
→
−
−
P : Polarisation, →
p : Dipolmoment, N : Teilchendichte
0 : el. Feldkonstante, α: Polarisierbarkeit des Atoms
→
−
E a : primäres äußeres el. Feld, r : relative Permittivität
Keine Garantie auf Vollständigkeit und Richtigkeit!
−→
∂U (r)
FR = −grad(U (r)) = −
∂r
FR (r0 ) = 0
∂FR FR (r0 + ∆r) = FR (r0 ) +
· ∆r + ...
∂r r=r0
= −qE ⇔ ∆r = −
qE
∂FR ∂r r=r0
7
Formelsammlung Werkstoffe der Elektrotechnik
7.1.3
www.ei-studium.de
8
Orientierungspolarisation
Permanente Dipole richten sich im äußeren elektrischen
Feld (teilweise) aus (temperaturabhängig).
→
−
−
Θ: Winkel zwischen E und →
p , T : Temperatur
W : Wahrscheinlichkeit, einen Dipol mit der Energie U bei
der Temperatur T zu finden.
kB : Boltzmannkonstante, U : Energie von Dipol
L(ν): Langevin-Funktion
von
M
A
J
=
; [H] = [M ] =
µ0 H
H
m
< 0 bzw. µr < 1 ⇒ Diamagnetismus
X m = µr − 1 =
Xm
X m >> 0 bzw. µr >> 1 ⇒ Ferromagnetismus
U (Θ)
BT
−k
8.1
→
−
W (Θ)cos(Θ)
1
p| E |
L(ν) = cos(Θ) =
= coth(ν) − mit ν =
ν
kB T
W (Θ)
ν >> 1 : coth(ν) → 1 ⇒ L(ν) = 1
1 ν
ν
ν << 1 : coth(ν) ≈ + ⇒ L(ν) =
ν
3
3
J(J + 1) + S(S + 1) − L(L + 1)
2J(J + 1)
1≤g≤2
g =1+
S=0→g=1
L=0→g=2
r : komplexe relative Permittivität, ω: Kreisfrequenz
τ : Relaxationszeit, σRest : Restleitfähigkeit
8.2
r = 0 − j00 = |r |e−jδ
stat − ∞
0 = ∞ +
1 + ω2 τ 2
stat − ∞
ωτ
00 =
1 + ω2 τ 2
stat = 0 (0) > ∞
→
−
m: magnetisches Moment, N : Atomdichte
r2 : Erwartungswert des effektiven Bahnradius
Z ∗ : effektive Kernladungszahl (Anzahl der Elektronen auf
der äußersten Schale abzüglich der Leitungselektronen)
∞ = (ω ≈ 2π · 1010 Hz)
00
(stat − ∞ )ωτ
= 2 2
0
ω τ ∞ + stat
= 0 00 ω
Diamagnetismus
= Auftreten eines zusätzlichen magnetischen Momentes
der Elektronenhülle von Atomen unter dem Einfluss eines
äußeren Magnetfeldes.
Der Diamagnetismus ist temperaturunabhängig und tritt
immer auf, wird allerdings vom Para- und Ferromagnetismus überlagert.
r = (0) im statischen Fall
tan(δ) =
Elementare magnetische Dipolmomente
g: gyromagn. Verhältnis, S: Gesamtspin
J: Gesamtdrehimpuls, L: magnetische Quantenzahl
Dielektrizitätskonstante
σRest
Eigenschaften
X m > 0 bzw. µr > 1 ⇒ Paramagnetismus
→
−
→
−
−
U (Θ) = −→
p E = −p| E |cos(Θ)
7.2
Magnetische
Festkörpern
µr : relative Permeabilität, X : magnetische Suszeptibilität
→
−
J: magnetische Polarisation, H : magnetische Feldstärke
M : Magnetisierung
→
−
−
P = N→
p cos(Θ)
1
P ∼
T
W (Θ) = e
Erstelldatum: 12. Februar 2015
(Verlustfaktor)
m
Xdia
−
→
−
M
N→
m
N Z ∗ e2 r2 µ0
= →
− = →
− =−
6m0
H
H
Für das Maximum von tan(δ) gilt:
8.3
r
1 stat
τ=
ω
∞
stat − ∞
tan(δ)max = √
2 stat ∞
h
i
p
⇒ ∞ = stat 1 + 2tan(δ)2max − (1 + 2tan(δ)2max )2 − 1
Paramagnetismus
Ist temperaturabhängig und tritt bei Molekülen bzw.
Atomen mit magnetischem Dipolmoment auf, d.h. wenn
die Elektronenschalen nicht abgeschlossen sind.
µB : Bohrsches Magneton, kB : Boltzmannkonstante
Mpara : paramagn. Magnetisierung, C: Curie-Konstante
ε
εstat
N g 2 J(J + 1)µ2B µ0
3kB
C
=
T
m
= Xpara
H
C=
ε’
ε∞
Ausfall der
Orientierungspolarisation
m
Xpara
Ausfall der
Ionenpolarisation
ε’’
Mikrowellen
Infrarot
Mpara
Ausfall der
Elektronenpolarisation
UV
Keine Garantie auf Vollständigkeit und Richtigkeit!
8.4
ω
Ferromagnetismus
Ferromagnetismus tritt nur bis zur Curie-Temperatur auf
(danach Paramagnetismus).
8
Formelsammlung Werkstoffe der Elektrotechnik
www.ei-studium.de
Erstelldatum: 12. Februar 2015
Θ: Curie-Temperatur, T : Temperatur
Xm =
C
T −Θ
Oberhalb der Curie-Temperatur tragen folgende Dinge zur
magnetischen Suszeptibilität bei:
• Diamagnetismus der Atomhüllen
• Beitrag der Leitungselektronen (netto paramagnetisch)
• Paramagnetismus der Atomrümpfe
Der dominante Beitrag ist i.A. der Paramagnetismus.
8.5
Leitungselektronen
n: Elektronendichte, TF : Fermitemperatur
3nµ0 µ2B
2kB TF
1 m
= − Xpara
3
m
Xpara
=
m
Xdia
m
m
X m = Xpara
+ Xdia
=
9
nµ2B µ0
kB TF
Physikalische Konstanten
Atomare Masseneinheit
u = 1, 66 · 10−27 kg
Avogadro-Konstante
1
NA = 6, 022 · 1023 mol
Elektrische Feldkonstante
F
0 = 8, 85 · 10−12 m
Elektron Ruhemasse
me = 9, 109 · 10−31 kg
Elementarladung
e = 1, 602 · 10−19 C
Magnetische Feldkonstante
Vs
µ0 = 4π · 10−7 Am
Bohrsches Magneton
µB =
Plancksches Wirkungsquantum
h = 6, 626 · 10−34 Js
Rydberg-Konstante
1
R∞ = 1, 0974 · 107 m
Rydberg-Konstante
1
RH = 1, 0968 · 107 m
Boltzmannkonstante
J
kB = 1, 38 · 10−23 K
Gaskonstante
J
R = 8, 31 Kmol
e~
2m0
= 9, 27 · 10−24 Am2
Lizenz: CC BY-NC-SA 3.0
http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/de/
Keine Garantie auf Vollständigkeit und Richtigkeit!
9