Übungen zur Physik III

Übungen zur Physik III
Blatt 8
—
WS 09/10
Ausgabe: 26.11.2009
Prof. Dr. Th. Mannel, Dr. W. Walkowiak,
H. Czirr, S. Faller, M. Pontz
—
Abgabe: Donnerstag, 03.12.2009
Aufgabe 1: (Inverse Probleme)
Für ein Potential V .x/ wurde als Lösung die Wellenfunktion
( q
1
15
2
2
a
x
8 jxj < a
5
.x/ D 4 a
0
8 jxj > a
bestimmt.
a) Berechnen Sie die Energie E und das Potential V .x/, wenn hV i D 0 gelten soll. Skizzieren Sie das Potential V .x/ und und tragen Sie in die Skizze die Energie E ein.
(3 Punkte)
b) Es sei nun V .0/ D 0 oder E D 0 bekannt. Berechnen Sie für den ersten Fall E und V .x/
und für den zweiten Fall V .x/.
(1.5 Punkte)
Betrachten Sie abschließend ein Teilchen der Masse m, das
durch die Wellenfunktion
.r; #; '/ D A e
˛r
e
r
.r /
ˇr
r
;
V .r /
mit A; ˛; ˇ 2 C und ˛ < ˇ beschrieben wird. Die Wellenfunktion und der prinzipielle Verlauf des Potentials V .r/
sind in der nebenstehenden Skizze abgebildet.
c) Bestimmen Sie die Drehimpulsquantenzahlen des Teilchens, den Energieeigenwert des
Zustands und berechnen Sie V .r/.
(3.5 Punkte)
i
h
2 .˛ 2 e ˛r ˇ 2 e ˇr /
Zwischenergebnis: V .r/ D E C „ 2m.e
˛r e ˇr /
Aufgabe 2: (Kugelflächenfunktionen und Parität)
Für die Kugelflächenfunktionen gilt
s
r
2` C 1 .` m/Š m
Y`m .#; '/ D
P .cos #/ e im'
4
.` C m/Š `
mit den Legendre-Polynomen
P`m .cos #/ D
. 1/m
.1
2` `Š
cos2 #/m=2
d `Cm
.cos2 #
d.cos #/`Cm
1/` :
In einem Zentralpotential wird die Parität durch die Drehimpulsquantenzahl ` bestimmt, ist PO
der Paritätsoperator, dann gilt PO Y`m D . 1/`Y`m .
a) Bestimmen Sie die Paritätstransformation für Kugelkoordinaten .r; #; '/.
(2 Punkte)
b) Berechnen Sie die Kugelflächenfunktionen Y00 , Y10 , Y11 und Y20 und bestimmen Sie
explizit die Parität für diese Funktionen.
(4 Punkte)
Aufgabe 3 (Wasserstoffatom)
Das Wasserstoffatom wird beschrieben durch die Wellenfunktion
s
2 .n ` 1/Š ` 2`C1
x Ln ` 1 .x/e
n`m .r; #; '/ D Rn` .r/Y`m .#; '/ D 2
n
a03 .n C `/Š
x
2
Y`m .#; '/
mit den Laguerre-Polynomen
Ln2`C1
` 1 .x/ D
nX
` 1
n
kD0
nC`
` 1
!
. 1/k k
x ;
k
kŠ
xD
2r
na0
und a0 ist der Bohrsche Radius. Das Wasserstoffatom befinde sich im Grundzustand.
a) Berechnen Sie den Erwartungswert hr n i. Geben Sie die Erwartungswerte für n D 1; 1; 2
explizit an.
(3 Punkte)
In Kugelkoordinaten gilt für den Laplace-Operator
4D
2 @
@2
C
2
@r
r @r
O2
L
:
„2 r 2
b) Bestimmen Sie den Erwartungswert hpO 2 i. Nutzen Sie
Z
0
1
dx x n e
˛x
D
nŠ
˛ nC1
(2 Punkte)
.˛ > 0; n 2 N/ :
In der Quantenmechanik ist das Dipolmatrixelement zwischen zwei Zuständen mit den Wellenfunktionen 1 und 2 definiert durch
Z
E
D D d 3 r 1 e rE 2 :
E 1s2s für
c) Berechnen Sie das Dipolmatrixelement D
für 1 D 100 und 2 D 210 .
1
D 100 und
2
E 1s2p
D 200 und D
(3 Punkte)
Lösungsvorschlag
1. a) Umformung der zeitunabhängigen Schrödingergleichung nach dem Potential V .x/ ergibt
„2 d 2 .x/
C V .x/ .x/ D E .x/ ) V .x/ D E C
2m dx 2
1 „2 d 2 .x/
(8.1)
.x/ 2m dx 2
Mit
1
.x/ D
4
)
r
15 2
a
a5
x2
r
15
1
0
x )
.x/ D
2
a5
1
00
.x/ D
2
r
15
a5
folgt
„2
1
V .x/ D E C
q
2 m 1 15 2
.a
4 a5
) V .x/ D E C
x2 /
„2
m.x 2
a2 /
1
2
r
15
a5
8 jxj < a :
Aus der Bedingung hV i D 0 wird E berechnet:
Z a
hV i D
dx .x/ V .x/ .x/
Z aa
„2
.x/
D
dx
.x/E .x/ C .x/
m.x 2 a2 /
a
Z a
Z a
„2 15
.a2 x 2 /2
DE
dx
.x/ .x/
dx
2 2
m 16a5 a
.a
x /
„ a
ƒ‚
…
1
2 Z a
15„2
1 3 a
15„
2
2
2
dx .a
x /DE
x
xa
DE
16ma5 a
16ma5
3
a
15„2 4a3
1 3
1 3
15„2
a
1C
a DE
1
DE
16ma5
3
3
16ma5 3
) ED
und damit 8 jxj < a
5„2
;
4ma2
„2
„2
5„2
4a2
C
D
V .x/ D
5C 2
4ma2
m.x 2 a2 /
4ma2
.x
a2/
„2 5x 2 5a2 C 4a2
„2
5x 2 a2
D
D
;
4ma2
.x 2 C a2 /
4ma2 x 2 a2
(8.2)
V .x/ D
(
„2
4ma2
1
5x 2 a2
x 2 a2
8 jxj < a
8 jxj > a
V .x/
5„2
4ma2
„2
4ma2
x
a
a
b) Man wertet V .x/ aus Teilaufgabe a für die beiden Fälle aus. Mit V .0/ D 0 folgt
(8.2)
V .0/ D 0 D E C
„2
„2
E
D
;
)
ma2
ma2
und damit
„2
„2
a2
„2 x 2 a 2 C a 2
„2
C
D
1
C
D
V .x/ D
ma2
m.x 2 a2 /
ma2
x 2 a2
ma2 x 2 a2
„2 x 2
) V .x/ D
8 jxj < a :
ma2 .x 2 a2 /
Für E D 0 folgt aus (8.2) sofort
V .x/ D
„2
m.x 2
c) Die Wellenfunktion
a2/
8 jxj < a :
O2
ist nur von r abhängig, damit folgt für L
O 2 .#; '/ .r/ D 0 D `.` C 1/„2 .r/ ) ` D 0 ;
L
Oz
und für L
O z .'/ .r/ D 0 D m„ .r/ ) m D 0 :
L
Der Energieeigenwert folgt aus der Radialgleichung (Lehrbuch), mit
u` D r .r/ ! u0 D A.e
˛r
e
ˇr
/;
folgt
1 „2 00
„2 00
u0 C V .r/u0 D Eu0 ) V .r/ D E C
u
2m
u0 2m 0
) V .r/ D E C
„2 .˛ 2 e
2m.e
˛r
ˇ 2 e ˇr /
:
e ˇr /
˛r
Der Skizze entnimmt man für den Potentialverlauf, dass für r ! 1, das Potential gegen
Null geht,
„2 .˛ 2 e ˛r ˇ 2 e ˇr /
lim V .r/ D 0 D lim E C
r !1
r !1
2m.e ˛r e ˇr /
„2
˛ 2
e ˛r C ˛ 2 e ˇr
˛ 2
e ˛r ˇ 2 e ˇr C ˛ 2 .e ˛r e ˇr / DEC
lim
2m r !1
e ˛r e ˇr
2
2
ˇr
2
2
.˛
ˇ /e
C ˛ .e ˛r e ˇr /
„
lim
DEC
2m r !1
e ˛r e ˇr
2 2
2
„ ˛
„
e ˇr .˛ 2 ˇ 2 /
„2 ˛ 2
DEC
C
lim
;
D
E
C
ˇr
r !1 e ˛r
2m
2m „
e
2m
ƒ‚
…
D 0 ; für ˇ > ˛
damit ist
V .r/ D
„2 e ˇr .˛ 2 ˇ 2 /
:
2m e ˛r e ˇr
Bemerkung
Für r ! 0 erhält man mit e x ' 1 C x C : : : ,
V .r/ „2 e ˇr .˛ 2 ˇ 2 /
„2 e
D
2m 1 ˛r 1 C ˇr
2m
ˇr
.˛ ˇ/.˛ C ˇ/
D
.ˇ ˛/r
„2 .˛ C ˇ/e
2mr
ˇr
;
es handelt sich um ein abgeschirmtes Coulombpotential, d.h. für kleine r hat es die Form eines
Coulombpotential, geht jedoch für große r schneller gegen Null als das Coulombpotential.
Für ` ¤ 0 ist das Potential V .r/ gegeben durch
V .r/ D E
„2 1 d 2 un` .r/
„2 `.` C 1/
C
;
2mr 2
2m un` dr 2
r 0 :
2. a) Es gilt für die Paritätstransformation
PO
rE 7 ! rE0 D rE ;
und damit in Kugelkoordinaten
8̂
0
1
0
1
sin # cos '
sin # cos '
<r
PO
0
rE D r @ sin # sin ' A 7 ! rE D r @ sin # sin ' A mit #
:̂
cos #
cos #
'
2 Œ0; 1Œ
2 Œ0;  :
2 Œ0; 2
PO
Für die Transformation cos # 7 ! cos #
folgt aus dem Verlauf der CosinusFunktion im erlaubten Bereich Œ0; ,
cos. #/ D cos #. Für die Sinusfunktion gilt sin # D sin. #/.
cos #
cos.
sin. C '/
cos ' D
cos. C '/ :
#
Für den Winkel ' gilt im erlaubten Bereich
Œ0; 2
sin ' D
#
#
#/ D
cos #
und
sin.
Damit lautet die Paritätstransformation in
Kugelkoordinaten
PO
.r; #; '/ 7 ! .r; #/ D sin #
#
#
#
#; ' C / :
b) Für ` D m D 0 erhält man die Kugelflächenfunktion
r
r
0 C 1 0Š 0
P .cos #/ e 0
Y00 .#; '/ D
4
0Š 0
1
P00 ;
Dp
4
sin '
C'
'
2
sin. C '/ D
sin '
mit
P00 .cos '/ D 1 :
Für ` D 1 und m D 0 ist
r
2C1 0
Y10 .#; '/ D
P1 .cos #/e 0
4
r
3
D
P 0 .cos #/ ;
4 1
cos '
'
mit
P10 .cos '/ D
. 1/0 d
.cos2 #
21 1Š d cos #
1/ D cos # :
Für ` D 1 und m D 1 gilt
r
r
r
2 C 1 0Š 1
3
P1 .cos #/e i' D
P 1 .cos #/e i' ;
Y11 .#; '/ D
4
2Š
8 1
C'
2
cos. C '/ D
cos '
mit
1p
d2
2#
.cos2 #
1
cos
21 1Š
d.cos #/2
sin # d
D
2 cos # D sin # :
2 d cos #
P11 .cos #/ D
1/
Für ` D 2 und m D 0,
r
r
r
4 C 1 2Š 0
5
P2 .cos #/e 0 D
P 0 .cos #/
Y20 .#; '/ D
4
2Š
4 2
mit
1
d2
.cos2 # 1/2
22 2Š d.cos #/2
1 d
1 d
D
2.cos2 # 1/2 cos # D
.cos3 #
8 d cos #
2 d cos #
1
D .3 cos2 # 1/ :
2
P20 .cos #/ D
cos #/
Damit sind die ersten vier Kugelflächenfunktionen
`
m
0
0
1
1
Y`m
0
1
-
q
q
p1
4
3
cos #
4
3
8
sin #e i'
`
m
2
0
2
1
2
2
q
Y`m
5
q16
15
q8
.3 cos2 #
1/
sin # cos #e i'
15
32
sin2 #e 2i'
Mit der Paritätstransformation in Kugelkoordinaten aus Teilaufgabe a folgt
1
Y00 D p
4
r
3
Y10 D
cos #
4
Y11 D
Y20 D
r
r
3
sin #e i'
8
5
.3 cos2 #
16
1
PO
7 ! .Y00 /0 D p
Y00 ;
4
r
r
3
3
PO
0
cos. #/ D
cos #
7 ! .Y10 / D
4
4
Y10 ;
r
3
PO
sin. #/e i.'C/
7 ! .Y11 /0 D
8
r
3
D
sin #e i' e i
r 8
3
sin #e i' Y11 ;
D
r 8
O
5 ˚
P
1/ 7 ! .Y20 /0 D
3Œcos. #/2 1
r 16
5
.3 cos2 # 1/ Y20 :
D
16
Aus der Eigenwertgleichung PO Y`m D . 1/`Y`m folgt
PO Y00 D Y00 ;
PO Y10 D Y10 ;
PO Y11 D Y11 ;
PO Y20 D Y20 :
3. a) Das Wasserstoffatom befindet sich im Grundzustand, d.h. n D 1, ` D 0. Damit folgt für
das Laguerre-Polynom
!
1
L10 .x/ D
x0 D 1 ;
0
und somit für die Wellenfunktion
100 .r/ D R10 .r/Y00 .#; '/ D 2a0
3=2
e
r=a0
Y00 .#; '/ :
Der Erwartungswert ist
Z
Z
Z 1
n
n
3
hr i D d r 100 r 100 D d˝
.r/Y00
.#; '/ r n R10 .r/Y00 .#; '/
r 2 dr R10
Z
Z 1 0
D d˝ Y00
.#; '/Y00 .#; '/
r 2 dr R10
.r/ r n R10 .r/
„
ƒ‚
… 0
Z
D1
4
.n C 2/Š
.n C 2/Š
d rr
e
D 3
D
2
a0 .2=a0/nC2C1
.n C 2/Š a0 n
:
) hr n i D
2
2
4
D 3
a0
Explizit für n D
1
1
;
D
r
a0
3
nC2
2r=a0
2
a0
3 a0 nC3
2
1; 1; 2,
hri D
3a0
2
und
hr 2 i D 3a02 :
b) Mit pO 2 D „2 4 und dem Laplace-Operator in Kugelkoordinaten erhält man für den
Erwartungswert
Z
Z
2
3
2
2
hpO i D d r 100 pO 100 D „
d 3 r R10
Y00
4R10 Y00
Z
2
Z 1
2 @
@
2
2
2
C
R10
d˝ jY00 j
r dr R10
D „
@r 2
r @r
0
Z
1 O2
3
2 d r jR10 j Y00 2 2 L Y00
„ r „ƒ‚…
D0
2
2 Z
r
r
2 @
@
4„
2
a0
C
e a0
r dr e
D
3
2
@r
r @r
a0
2r
4„2
r 2 2r
a0
D
dr
e
a02 a0
a03
4„2 1 1
„2
2
D
a
)
h
p
O
i
D
0
4 2
a03
a02
4„2
D
a03
Z
2Š
2 2 3
a0 . a0 /
2
a0 . a20 /2
!
E 1s2s gilt mit rE D r eEr ,
c) Für D
Z
Z
3
E
D1s2s D d r 100 eEr 200 D e d 3 r R10
Y00
r eEr R20 Y00
Z 1
Z
2
E 1s2s D 0E :
r 2 dr R10
r R20 ) D
d˝ eEr
D ejY00 j
„ ƒ‚ … 0
E
D0
E 1s2p gilt
Für D
E 1s2p D e
D
Z
3
d r
100
r eEr 210 D e
Z
d˝
Y00
Y10 eEr
Z
0
1
r 2 dr R10
rR21
p1
4
Aus Aufgabe 2 b entnimmt man für die Winkelfunktionen 00 D
q
3
cos #. Die Radialfunktion R21 ist
4
!
3
1 1
L30 .x/ D
D 1 ! R21 .r/ D p
xe
0
2 6a03
und mit R10 D p2 3 e
a0
E 1s2p
D
r=a0
aus Teilaufgabe a folgt
x
2
1
D p
re
2 6a05
p Z 1
Z 1
3
1
2
D e 2
r 2 dr r 2 e
d cos # cos # p
4 1
6a08 0
Z 1
3r
e
4Šea05 2 6
2
4
2a0
D p 4
dr r e
eEz
eEz D p 4
2 2a0 3 0
2 2a0 3
0
E 1s2s D 256a
) D
p eEz :
243 2
r
2a0
3r
2a0
eEz
und 10 D