Experimentalphysik II (H.-C. Schulz

Experimentalphysik II (Schulz-Coulon)
Robin Heinemann
26. Oktober 2017
Inhaltsverzeichnis
11 Elektrostatik
11.1 Elektrische Ladung . . . . . . . . . . . . . .
11.2 Mikroskopische Deutung . . . . . . . . . . .
11.3 Coulombsches Gesetz . . . . . . . . . . . . .
11.4 elektrisches Feld . . . . . . . . . . . . . . . .
11.5 Elektrischer Fluss . . . . . . . . . . . . . . .
11.6 Elektrische Felder innerhalb von Leitern . . .
11.7 Differentielle Form des Gaußschen Gesetzes .
11.8 Elektrisches Potential . . . . . . . . . . . . .
11.9 Grundgleichungen der Elektrostatik . . . . .
11.10 Elektrische Felder geladener Felder . . . . . .
11.11 Elektrischer Dipol . . . . . . . . . . . . . . .
11.12 Kapazität und Kondensator . . . . . . . . . .
11.13 Kondensator als Energiespeicher . . . . . . .
11.14 Dielektrika - Elektrostatik in Materie . . . .
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12 Elektrische Gleichströme
12.1 Strom und Stromdichte . . . . . . . . . . . . .
12.2 Elektrischer Widerstand und Ohmsches Gesetz
12.3 Elektrische Leistung . . . . . . . . . . . . . . .
12.4 Stromkreise - Kirchhoffsche Regeln . . . . . .
12.5 Strom und Spannungsquellen . . . . . . . . . .
12.6 Strom und Spannungsmessung . . . . . . . . .
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13 Magnetostatik
13.1 Magnetfelder und bewegte Ladungen
13.2 Grundgleichungen der Magnetostatik
13.3 Zwei Anwendungsbeispiele . . . . . .
13.4 Biot-Savart-Gesetz . . . . . . . . . . .
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14 Materie im Magnetfeld
14.1 Magnetisierung und magnetische Erregung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.2 Dia-, Para- und Ferromagnetismus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.3 Feldgleichungen in Materie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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15 Induktion und elektromagnetische Wechselfelder
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11 Elektrostatik
15.1
15.2
15.3
15.4
Magnetische Induktion . . . . .
Generatoren . . . . . . . . . . .
Induktivität und Selbstinduktion
Verschiebungsstrom . . . . . . .
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16 Schaltvorgänge, Wechselstrom und Schwingkreise
16.1 Induktivität im Stromkreis (LR-Glied) . . . . . .
16.2 Kapazität im Stromkreis (RC-Glied) . . . . . . .
16.3 R, L, C im Wechselstromkreis . . . . . . . . . .
16.4 Komplexe Darstellung . . . . . . . . . . . . . . .
16.5 RLC-Schwingkreis . . . . . . . . . . . . . . . .
16.6 Transformator . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.7 Elektrische und magnetische Feldenergie . . . .
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17 Elektromagnetische Welle
17.1 Mechanische Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17.2 Wellengleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17.3 Wellenpakete, Phasen- und Gruppengeschwindigkeit
17.4 Elektromagnetische Wellengleichung . . . . . . . . .
17.5 Struktur elektromagnetischer Wellen . . . . . . . . .
17.6 Energietransport elektromagnetischer Welle . . . . .
17.7 Erzeugung elektromagnetischer Wellen . . . . . . .
17.8 Elektromagnetisches Spektrum . . . . . . . . . . . .
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18 Natur des Lichts und Wellenoptik
18.1 Beugung und Interferenz . . . . . . .
18.2 Reflexion und Brechung . . . . . . . .
18.3 Fermatsches Prinzip . . . . . . . . . .
18.4 Polarisation und Fresnelsche Formeln
18.5 Dispersion und Prismenwirkung . . .
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19 Optische Abbildungen
19.1 Dünne Linsen, Linsengleichung . . . . .
19.2 Einfache Anwendung des Linsegesetzes
19.3 Dicke Linsen . . . . . . . . . . . . . . .
19.4 Linsenfehler . . . . . . . . . . . . . . .
19.5 Optische Instrumente . . . . . . . . . .
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20 Spezielle Relativitätstheorie
11 Elektrostatik
11.1 Elektrische Ladung
• Neue Kraft
• anziehend oder abstoßend
• Konzept der elektrischen Ladung
Experimentelle Erkenntnisse:
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11 Elektrostatik
3
• Erzeugung von Ladungen durch Reibung
• Ladungen gleicher Vorzeichen: Abstoßung
• Ladungen ungleicher Vorzeichen: Anziehung
• Ladung kann transportiert werden
• Elektrische Kräfte sind Fernkräfte
• Ladungen sind erhalten
Definition 11.1 Influenz Ladungstrennung durch die (Fern) Wirkung elektrischer Kräfte nennt man Influenz
oder elektrostatische Induktion.
11.2 Mikroskopische Deutung
Elektron: negativ
Proton: positiv
Atome elektrische neutral
• Z: Anzahl Protonen / Elektronen
• N: Anzahl Neutronen
• A: Anzahl Neutronen + Protonen
Leiter und Nichtleiter: Unterschiedliche Verfügbarkeit von Ladungsträgern
11.3 Coulombsches Gesetz
Experimentelles Resultat:
⃗ C = K q1 q2 r̂12
F
2
r12
Definition 11.2
⃗C =
F
1 q1 q2
2 r̂12
4πε0 r12
mit ε0 = 8.854 16 × 10−12 C N−1 m−2
Vergleich: Coulomb vs. Gravitation
⃗ G = −G m1 m2 r̂12
F
2
r12
⃗ C = K q1 q2 r̂12
F
2
r12
FC
= 227 × 1039
FG
11 Elektrostatik
4
11.4 elektrisches Feld
Definition 11.3 (Elektrisches Feld)
⃗
⃗ r) = F C (⃗r) = 1 Q r̂
E(⃗
q
4πε0 r2
⃗ (⃗r) = q E(⃗
⃗ r)
F
Das elektrische Feld hängt nur von der Ladung Q ab, aber nicht von der Testladung q. Es gilt damit:
⃗ (⃗r) = q E(⃗
⃗ r)
F
Bedeutung das elektrischen Feldes:
Coulomb-Gesetz beschreibt Fernwirkung.
Aber: Wodurch wird diese Wirkung übertragen?
Geschieht die Übertragung instantan? (nein!)
Feldwirkungstheorie: Elektrische Kraftübertragung über Ausbreitung des elektrischen Feldes, das mit der Probeladung
q. Elektrostatik: Fernwirkung- und Feldwirkungstheorie äquivalent.
Elektrodynamik: Feldbegriff essentiell.
Feld einer allgemeinen Ladungsverteilung:
Wichtig: Es gilt das Superpositionsprinzips. Es gilt
dQ = ρ(⃗r)dV
( )
⃗ R
⃗ =
E
1
4πε0
Für diskrete Ladungen:
⃗ =
E
∫
⃗ − ⃗r
R
3 ρ(⃗r)dV
⃗
R − ⃗r
1 ∑ qi
r̂
4πε0
ri2
i
Die Anwesenheit von Ladungen verändern den Raum. Es entsteht in Vektorfeld, dessen Stärke und Richtung in
⃗
jedem Raumpunkt die normierte Kraft Fq auf eine Probeladung angibt.
Eigenschaften der Feldlinien
⃗ -Feld zeigt tangential zu den Feldlinien
1. Das E
2. Feldlinien zeigen weg von positiven Ladungen
3. Feldliniendichte entspricht Stärke des Feldes.
11.5 Elektrischer Fluss
Definition 11.4 (Elektrischer Fluss ϕE ) Maß für die Anzahl der Feldlinien, die Fläche A durchstoßen.
Für geschlossene Oberflächen:
Qinnen = 0 =⇒ ϕE = 0
Qinnen > 0 =⇒ ϕE > 0
Qinnen < 0 =⇒ ϕE < 0
Mathematisch:
11 Elektrostatik
5
• Homogenes Feld, ⊥ zur Oberfläche =⇒ ϕE = EA
⃗ ⃗A = E⃗
⃗ nA
• Homogenes elektrisches Feld EA′ = EA cos θ = E
Verallgemeinerung:
⃗ i ⃗ni ∆Ai
∆ϕi = E
∑
⃗ i ⃗ni ∆A
ϕE = lim
E
∆Ai →0
∫
⃗ ⃗A
ϕA =
Ed
Ladung einer Kugel:
(Definition von Elektrischem Fluss)
∫
ϕA =
⃗ ⃗A
Ed
∫
1 Q
⃗
=
dD
4πε0 R2
1 Q
4πR2
=
4πε0 R2
Q
=
ε0
Definition 11.5 (Gauß’sches Gesetz (1. Maxwell-Gleichung))
I
⃗ ⃗A = Qinnen
Ed
ε0
Das Gauß’sche Gesetz ist allgemeingültig, da:
I
I
⃗
⃗
⃗ ⃗A = 0
Ed A −
Ed
A2
IA1
I
⃗
⃗
Ed A =
A2
A1
⃗ ⃗A = Qinnen
Ed
ε0
Zusammen mit Superpositionsprinzip und homogener Fläche erhält man die Allgemeingültigkeit des Gauß’schen
Gesetz.
Herleitung des Coulombschen Gesetz mit Gauß’schen Gesetz:
I
⃗ ⃗A = Q
Ed
ε0
I
Q
E d ⃗A =
ε0
Q
E4πR2 =
ε0
Q 1
E(R) =
4πε0 R2
Beispiel 11.6 (Unendlich langer Draht) Ladungsdichte: λ = Q/L
( )
⃗ R
⃗ = E(R)
⃗
E
11 Elektrostatik
6
⃗ ∥ d ⃗A
• Mantelfläche:e E
⃗ ⊥ dD
⃗
• Deckel: E
I
∫
⃗ ⃗A =
ϕE =
Ed
∫
⃗ ⃗A +
Ed
Mantel
∫
⃗ ⃗A = E
Ed
Deckel
|
{z
}
dA = E2πRL =
Mantel
V
ε0
=0
E=
Q
L
=
2πRε0
λ 1
2πε0 R
Beispiel 11.7 (Unendlich ausgedehnte Flächenladung) Flächenladungsdichte: σ = Q/A
Symmetrie:
⃗ konstant für festen Abstand.
E
⃗ ∥ ⃗A
E
∫
I
∫
⃗ ⃗A = EA1 + EA2 = 2EA
⃗ ⃗A =
⃗ ⃗A +
Ed
ϕE =
Ed
Ed
Deckel
Mantel
{z
}
|
0
Q
σ
ϕE = 2EA =
=⇒ E =
ε0
2ε0
Beispiel 11.8 (Plattenkondensator)
⃗ = σ
E
2ε0
11.6 Elektrische Felder innerhalb von Leitern
Innerhalb eines Leiters verschwindet das elektrostatische Feld.
Bei einem geladenem, isolierten Leiter sitzen alle Ladungen auf der Oberfläche.
Dazu betrachte Oberfläche, die gerade kleiner als der Leiter ist, dort ist das Elektrische Feld gleich Null, also
folgt:
I
⃗ ⃗A = 0 = Qinnen =⇒ Qinnen = 0
Ed
ε0
Leiter mit Hohlraum:
I
⃗ ⃗A = 0 =⇒ Q = 0
Ed
O
11.7 Differentielle Form des Gaußschen Gesetzes
I
∫
⃗
div EdV
⃗ ⃗A =
Ed
A
V
⃗ = ∂x Ex + ∂y Ey + ∂z Ez
div E
Zur Divergenz:
⃗ =∇
⃗ · E,
⃗ ∇
⃗ = (∂x , ∂y , ∂z ) in Anschauung:
Schreibweise: div E
ϕE = EO ∆A − Ei ∆A
= ∆Ex ∆A
∆Ex
=
∆x∆A = ∂x Ex ∆V
| {z }
∆x
„div“
11 Elektrostatik
7
∫
I
⃗
div EdV
=
V
⃗ ⃗A = Q = 1
Ed
ε0
ε0
∫
ρdV
V
Differentielle Form des Gauß Gesetz, 1. Maxwell Gleichung:
⃗ = ρ
div E
ε0
ρ: Ladungsdichte.
11.8 Elektrisches Potential
Coulombkraft ist konservativ da radialsymmetrisch.
∫
W = Epot (2) − Epot (1) = −
2
⃗ C d⃗s
F
1
⃗ C = − grad Epot
F
∫ +r
∫
1
Qq
⃗
Epot (⃗r) = −
F C d⃗r = −
dr
4πε0
r2
∞
1 Qq
=
4πε0 r
Definition 11.9 (Coulombpotential)
φ(⃗r) =
Epot (⃗r)
1 Q
=
, φ(∞) = 0
q
4πε0 r
∫
∆φ = φ(⃗r2 )lφ⃗r1 = −
I
⃗ s
Ed⃗
⃗ s=0
Ed⃗
⃗ r) = − grad φ(⃗r)
E(⃗
Allgemeine Ladungsverteilung:
( )
⃗ =
φ R
1
4πε0
∫
ρ(⃗r)
dV
⃗
R − ⃗r
Definition 11.10 (Elektrische Spannung)
∫
U12 = φ2 − φ1 = ∆φ21 = −
2
⃗ s
Ed⃗
1
11.9 Grundgleichungen der Elektrostatik
Integralform:
I
⃗ ⃗A = Q
Ed
ε0
I
⃗ s=0
Ed⃗
(Theorie: Qq/r)
11 Elektrostatik
8
Differentialform:
⃗ =
div E
ρ
ε0
I
Stokes-scher Satz:
⃗ =0
rot E
∫
⃗ ⃗A
rot Ed
Ed⃗s =
C
A
Zur Rotation:
Schreibweise:
⃗ =∇
⃗ × E,
⃗ ∇
⃗ = (∂x , ∂y , ∂z )
rot E
⃗ = (∂y Ez − ∂z Ey , ∂z Ex − ∂x Ez , ∂x Ey − ∂y Ex )
rot E
Anschauung:
I
⃗Ad⃗s = ∆E2 ∆z − ∆Ex ∆x
C
∆Ez
∆Ex
∆x∆z −
∆z∆x
∆x
∆z
= (∂x Ez − ∂z Ex ) ∆A
|
{z
}
=
rot
Mathematik:
(
)
⃗ = − rot(grad φ) = − ∇
⃗ × ∇φ
⃗
rot E
=0
(
)
⃗ = − div(grad φ) = − ∇
⃗ · ∇φ
⃗
⃗ 2 φ = −∆φ
div E
= −∇
( 2
)
∂ φ ∂2φ ∂2φ
ρ
=−
+
+ 2 =
2
2
∂x
∂y
∂z
ε0
Definition 11.11 (Poissongleichung)
∆φ = −
φ
ε0
Zentrale Gleichung der Elektrostatik
Definition 11.12 (Laplacegleichung)
∆φ = 0
Eckstein der mathematischen Physik [PTP3]
Realisierung eines Feldes der Form
φ = ax2 + by 2 + cz 2
∆φ = 2a + 2b + 2c > 0
2a + 2b + 2c ist immer > 0 =⇒ solches Feld nicht möglich.
a, b, c > 0
11 Elektrostatik
9
11.10 Elektrische Felder geladener Felder
„Einfach“: Berechnung für bekannte Ladungsverteilung.
„Schwierig“: Berechnung in Anwesenheit von Leitern.
Für statische Felder gilt:
⃗ =0
im Leiter E
⃗ =0
im Hohlraum q = 0, E
Oberfläche eines Leiters:
⃗ ∥ ⃗A
1. E
⃗ =
2. E
σ
ε0
dϕE = ⃗Ad ⃗A = EdA
dQ
=
dε0
dQ 1
σ
E=
=
dA ε0
ε0
|{z}
σ
3. φ = const. an Leiteroberfläche.
Berechnung von Verteilungen von Ladungen schwierig. Hier nur qualitatives Verständnis.
Kugelladung (Radius R):
Innen: E = 0, φ = const.
Außen: E = 1/(4πε0 )Q/r2
( )
⃗ R
⃗ = σ
E
ε0
( ) ⃗φ(R)
⃗ R
⃗ =
E
R
φ = const. =⇒ Erzeugung hoher Felder für kleine R
Beispiel 11.13 (Zwei Kugeln (verbunden)) verbunden =⇒ φ = φ1 = φ2 =⇒ Q1 /R1 = Q2 /R2
R1 > R2
=⇒ Q1 > Q2
σ1 < σ2
E1 < E2
kleiner Krümmungsradius =⇒ größeres Feld, größere Flächenladungsdichte.
Merke: Scharfe Kanten beziehungsweise kleiner Krümmungsradius bedeutet hohes E-Feld
Beispiel 11.14 (Halbraumleiter mit Ladung)
11 Elektrostatik
10
11.11 Elektrischer Dipol
Beispiel 11.15 (Dipol)

φ(⃗r) =

1 
q
−q 
+
4πε0 ⃗r − 1 ⃗d ⃗r + 1 ⃗d
2
2
⃗pr̂
4πε0 r2
⃗p = q⃗d
⃗ = y grad φ
E
φ(⃗r) =
E(⃗r) =
3(⃗p⃗r)⃗r − r2⃗p
r5
Merke: Elektrischer Dipol, r ≫ d
φ(⃗r) ∼
Multipolentwicklung:
(Elektrisches Dipolfeld (ohne Beweis))
1
r2
E(⃗r) ∼
1
r3
a0 a1 a2
+ 2 + 3 + ...
r
r
r
Q
1
a0 =
a1 =
· ⃗pr̂
4πε0
4πε0
∫
⃗p = ρ(⃗r)⃗rdQ
φ(⃗r) =
Elektrischer Dipol im homogenem Feld:
Drehmoment:
⃗ = ⃗d × F
⃗ = q · ⃗d × 1 F
⃗ = ⃗p × E
⃗
M
q
Kräftepaar! =⇒ Ausrichtung im Feld. Potentielle Energie: Drehung eines Dipols im homogenen Feld, das heißt
Arbeit wird frei oder wird geleistet. Wähle: Epot = 0 für r = 90◦
⃗ ⃗s = −⃗p E
⃗
Epot = − F
Dipol im inhomogenen Feld: das heißt an den beiden Enden des Dipols wirken unterschiedliche Kräfte. =⇒
Drehmoment + resultierende Kraft. Es gilt:
⃗
⃗ = q⃗d d E = ⃗p∇ E
⃗
F
d⃗r
Fx = ⃗p grad Ex
Fy = ⃗p grad Ey
Fx = ⃗p grad Ez
11.12 Kapazität und Kondensator
Leiter können Ladungen speichern (zum Beispiel: Leidener Flasche, Kondensator, Metallkugel).
Kondensator = Ladungsspeicher (Ladungen werden im Kondensator „kondensiert“, das heißt zusammengedrängt)
11 Elektrostatik
11
Frage: Was ist die Ladungsspeicherfähigkeit oder Kapazität eines Leiters? Dafür betrachte Kugelkondensator.
Gespeicherte Ladungsmenge auf einzelner Metallkugel:
∫ R
⃗ r = 1 Q → Q = 4πε0 RU
∆φ = −
Ed⃗
4πε0 R
∞
(∆φ = U ). Das heißt gespeicherte Ladung ist proportional zur angelegten Spannung U (Allgemein: φ(Q) ∼ Q,
Superpositionsprinzip). Definiere Ladungsspeicherfähigkeit „pro Volt“
Definition 11.16 (Kapazität)
C=
Q
U
Q = CU
[C] = 1 C V−1 = 1 F
Die Kapazität einer Leiteranordnung hängt von der Geometrie (und vom Material) ab. Kapazität eines Kugelkondensators:
C4πε0 R (hier: freistehende Kugel). Einheit Farad ist sehr groß, da 1 C sehr groß ist.
Beispiel 11.17 Kapazität einer Kugel mit R = 1 cm → C ≈ 1 × 10−12 F = 1 pF
Kapazität der Erde mit R = 7 × 108 cm → C ≈ 7 × 10−4 F = 700 µF
Trotzdem heute: Superkondensatoren mit Kapazitäten bis zu 1 × 104 F
Referenzpotential φ = 0 muss aber nicht im Unendlichen liegen. Allgemeiner Kondensator: Zwei Leiter mit
Ladungen +Q und −Q (Realisierung durch Erdung) =⇒ Erhöhung der Kapazität durch Influenz.
Beispiel 11.18 (Kugelkondensator) (siehe Übungen)
Beispiel 11.19 (Plattenkondensator)
E=
σ
Q
=
ε0
Aε0
∫
x2
⃗ s
Ed⃗
=⇒ U = φ(x2 ) − φ(x1 ) = −
x1
∫ x2
Q
= −E
ds = −
d
ε0 A
x1
Q
ε0 A
=⇒ C =
=
U
d
• A: Fläche der Leiterplatte
• d: Leiterplattenabstand
Kondensatorschaltungen:
Parallelschaltung:
• Gleiche Spannung an allen Ci
• Verschiedene Werte Ci
Es gilt:
Q = Q1 + Q2 + · · · + Qn
Q
Q1 Q1
Qn
=
+
+ ··· +
U
U
U
U
=⇒ C = C1 + C2 + · · · + Cn
11 Elektrostatik
12
=⇒ Gesamtkapazität parallelgeschalteter Kondensatoren
Cges =
n
∑
Ci
i=1
Reihenschaltung: Es gilt
U = U1 + U2 + · · · + Un
Q
Q
Q
Q
+
+ ··· +
=
C
C1 C2
Cn
1
1
1
1
=
+
+ ··· +
=⇒
C
C1 C2
Cn
=⇒ Gesamtkapazität von in Reihe geschalteter Kondensatoren:
∑ 1
1
=
Cges
Ci
n
i=1
Kehrwert der Gesamtkapazität ergibt sich als Summe der Kehrwerte der Einzelkapazitäten
11.13 Kondensator als Energiespeicher
Energiedichte des elektrischen Feldes. Aufgeladener Kondensator = Energiespeicher. Frage: Wie viel Energie
ist gespeichert? Hierzu betrachten wir einen Plattenkondensator: Ladungstransport von Platte A zu Platte B
erfordert Arbeit
Q
=⇒ dW = U dQ = dQ
C
∫
∫
Q
1
1 Q2
1
WC =
dQ =
QdQ =
= CU 2
C
C
2 C
2
=⇒ Im Plattenkondensator gespeicherte Energie:
1
EC = CU 2
2
gilt allgemein für in Kondensator gespeicherte Energie! (Herleitung unabhängig von Geometrie). Für Plattenkondensator
gilt weiter:
1
1 ε0 A 2 1
U2
1
EC = CU 2 =
U = ε0 (Ad) 2 = ε0 V E 2
2
2 d
2
d
2
Änderung des Blickwinkels: Energie im elektrischen Feld gespeichert =⇒ Energiedichte ωe = Ec /V
1
=⇒ ωe = ε0 E 2
2
Gilt allgemein für alle elektrischen Felder im Vakuum.
11.14 Dielektrika - Elektrostatik in Materie
Beobachtung: Einbringen eines Isolators (Dielektrikum) in einen Kondensator hat großen Einfluss auf die Kapazität.
Die Spannung sinkt =⇒ Kapazität steigt
Definition 11.20 (Permittivität)
CDiel = εr CV akuum = εr C0
auch Dielektrizitätskonstante, relative Dielektrizitätszahl, relative Permittivitätszahl.
11 Elektrostatik
13
Beispiel 11.21 (Plattenkondensator)
A
d
CV ak · UV ak = CDiel UDiel
UDiel
EDiel
1
Cvak
=⇒
=
=
=
CDiel
Uvak
Evak
εr
1
EDiel = Evak
εr
das heißt das Feld im Kondensator mit Dielektrikum reduziert.
CDiel = εr ε0
Mikroskopische Beschreibung:
Isolator: Es gibt keine freien, beweglichen Ladungsträger. Aber Polarisation, das heißt Ausrichtung von Dipolen.
Kondensator
A
C 0 = ε0
d
A
CDiel. = εr ε0
d
1
EDiel. = EVakuum
εr
1
= E0
εr
Q0
A
Qp
σp =
A
σ0 σp
1
1 σ0
= E0 − Ep =
−
= (σ0 − σp ) =
ε0
e0
ε0
εr ε0
)
(
1
=⇒ σp = σ0 1 −
εr
=⇒ σ0 = σf rei = εr σtot
σ0 =
EDiel
=⇒ Q0 = Qf rei = εr Qtot
Polarisation mit Dipolmoment ⃗pi = qi ⃗di , [P ] = C m−2
Definition 11.22
∑
⃗ = 1
P
⃗pi
V
⃗ wächst mit stärkerer Ausrichtung des Dipols an. Und es gilt
P
Q d
σp Ad
⃗ p
=
= σp
P =
V
V
=⇒ Makroskopische Polarisation = Oberflächenladungsdichte auf Dielektrikum.
)
(
)
(
1
1
= ε0 Evak 1 −
P = σp = σ0 1 −
εr
εr
= (εr − 1)ε0 EDiel.
⃗ = χε0 E
⃗ Diel.
P
χ = εr − 1
12 Elektrische Gleichströme
14
Definition 11.23 (Dielektrische Verschiebung)
⃗ = ε0 E
⃗ Diel. + P
⃗
D
⃗ vak = ε0 εr E
⃗ Diel.
= ε0 E
Vakuum:
⃗ Diel = E
⃗ vak
E
Dielektrikum
⃗ = ε0 E
⃗ vak
D
⃗ vak
⃗ Diel = 1 E
E
εr
Allgemein:
∥
⃗ vak
⃗ = ε0 E
D
∥
⊥
⊥
Evak = EDiel , Evak
= εr EDiel
∥
Dvak =
1 ∥
⊥
D
, D⊥ = DDiel
εr Diel vak
⃗ vak = ρinnen
div E
ε0
⃗
=⇒ div D = ρf rei
=⇒ 1. Maxwell Gleichung in Materie
I
⃗ = ρf rei
div D
⃗ = ρf rei
div E
ε0 εr
Elektrische Feldenergie im Dielektrikum
⃗ ⃗A = Qf rei
Dd
I
⃗ ⃗A = Qf rei
Dd
ε0 εr
1
1 Q2
1 1 Q2
We = Cn2 =
=
2
2 C
2 εr C 0
1
⃗2 = 1E
⃗D
⃗
=⇒ ωC = εr ε0 E
2
2
⃗ wächst die Energiedichte mit εr . Zur Energie des Feldes E
⃗ wird Polarisationsenergie der
Für gleiches Feld E
Dipole addiert.
12 Elektrische Gleichströme
12.1 Strom und Stromdichte
Definition 12.1 (Elektrischer Strom)
I=
dQ
dt
[I] = C s−1 = A
I
dQ
⃗ =
j =
A
Adt
⃗j = ρ⃗v = nqe ⃗v D
∫
I=
. . . ρ = ÷⃗j = 0
∫
⃗jdA = dQ = ρ̇dV
dt
12 Elektrische Gleichströme
15
12.2 Elektrischer Widerstand und Ohmsches Gesetz
Ladungsfluss entsteht aufgrund einer Potentialdifferenz beziehungsweise eines elektrischen Feldes.
U = φb − φa = E∆l
Spannungsänderung
• =⇒ Änderung Elektrisches Feld
• =⇒ Änderung der Ladungsträgergeschwindigkeit
• =⇒ Änderung von Stromdichte und Strom
Definition 12.2 (Differentieller Widerstand)
ϑ=
dU
dI
S=
dI
dU
[S] = A V−1 = S
Definition 12.3 (Differentielle Leitfähigkeit)
[ϑ] = V A−1 =
Beobachtung: Elektrischer Leiter: ϑ = const.
U
El
El
=
⇐⇒ I =
I
I
R
I
l
j=
=
E = σE = ηqe vD
A
RA
R=
Satz 12.4 (Ohmsches Gesetz)
U = RI
⃗ = ηE ⃗v D
⃗j = σ E
mit
l
l
=S
RA
A
1
ρ=
σ
(spezifische Leitfähigkeit)
σ=
=R
A
l
(spezifischer Widerstand)
⃗ gelten.
Für ohmschen Leiter muss ⃗v D ∼ E
Drude Modell
Bewegung von Elektronen in Leitern. Thermische Bewegung: vth ≈ 1 × 106 − 1 × 107 m s−1 . Bewegung wird
gestört durch Stöße mit Gitteratomen. Mittlere Zeit zwischen zwei Wechselwirkungen:
τ=
T
=⇒ λ = τ vm
N
12 Elektrische Gleichströme
16
T : Messzeit, N : Anzahl der Stöße. Einschalten eines E-Feldes: Beschleunigung der Elektronen entgegen der
⃗
Richtung des elektrischen Feldes E
⃗
⃗
⃗A = F = q E
m
m
⃗
qE
=⇒ ⃗v D (t) = ⃗v th +
t
m
⃗
qE
q
⃗
⃗v D = ⟨⃗v th ⟩ +
⟨t⟩ = mτ = µ E
⃗
| {z } m
E
=0
Also gilt für einen ohmschen Leiter:
⃗
⃗v D = µ E
mit µ: Elektronenbeweglichkeit
µ=
q
m, [µ] = m2 V−1 s
τ
Mit
⃗
⃗j = nqe ⃗v D = nqe µ E
σ = ne µ =
nqe2 τ
m
Beispiel 12.5 (Kupferdraht)
A = 1 mm2 , I = 1 A, j =
I
=⇒ vD = 10 × 10−4 m s−1
A
Jedes Atom trägt 1 Elektron bei.
Ohmscher Leiter: ϑ = const.
dϑ
< 0 NTC, Heißleiter
dI
dϑ
> 0 PTC, Kaltleiter
dI
12.3 Elektrische Leistung
Strom I fließt durch Widerstand beziehungsweise Verbraucher, gewonnene kinetische Energie der Elektronen
wird durch Stöße in Wärme umgewandelt.
W = QU = U It
Definition 12.6 (Leistung)
P = UI
[P ] = W = J s−1 = A V−1
Für ohmschen Leiter:
U2
R
Anwendungsbeispiel: Hochspannungsleitung. Transport von elektrischer Energie: Verluste durch Wärmeerzeugung
in Überlandleitung. Ziel: Minimierung von Leistungsverlusten. Kraftwerk: F = U I
Überlandleitung:
P = RI 2 ⇐⇒ P =
12 Elektrische Gleichströme
17
• Spannungsabfall: UL = RL I
• Verlustleistung: PL = UL I = RL I 2 = UL2 /R
das heißt Spannungsabfall beziehungsweise Verlustleistung klein falls I klein und U groß! =⇒ Hochspannungsleitung.
Verfügbare Leistung: PV = P − PL
12.4 Stromkreise - Kirchhoffsche Regeln
Haushalt, elektrische Schaltungen, . . . Im Allgemeinen Netzwerke vieler Leiter, Spannungsquellen und Verbraucher.
Zur Berechnung von Strömen und Spannungen:
Kirchhoffsche Regeln:
∑
1. Knotenregel: An jedem Knoten gilt Ik = 0 (Ladungserhaltung, folgt aus Kontinuitätsgleichung)
∑
2. Maschenregel: Für jede Masche gilt: Uk = 0 (Zirkulationsgesetz)
Für ohmsche Widerstände ergibt sich damit:
Reihenschaltung:
R=
n
∑
Ri
i=1
Parallelschaltung:
∑ 1
1
=
R
Ri
n
i=1
12.5 Strom und Spannungsquellen
Spannungsquelle mit Innenwiderstand Ri :
Ukl = U0 − IRi
Ra
= U0
Ra + Ri
=⇒ Ideale Spannungsquelle:
Ri ≈ 0
I≈
U0
Ra
Stromquelle: Versorgung mit konstantem Strom. =⇒ hoher Innenwiderstand (Ri → ∞, Ri ≫ Ra )
I=
U0
U0
=
= const.
Ri + Ra
Ri
Technische Realisierung?
Prinzip: Ladungstrennung durch Energiezufuhr =⇒ Potentialdifferenz, leitende Verbindung =⇒ Stromfluss.
Anwendung finden:
• elektrodynamische Generatoren, magnetische Induktion
• Batterien und Akkumulatoren, Ladungstrennung durch chemische Reaktionen
• Solarzellen, Ladungstrennung durch Lichtenergie
• Thermische Stromquellen, Ladungstrennung durch Temperaturabhängigkeit von Kontaktpotentialen.
13 Magnetostatik
18
Galvanische Elemente =⇒ Galvani-Spannung: ∆φC =⇒ Volta-Element
Minuspol: Zn → Zn++ + 2e−
Pluspol: 2H + + 2e− → H2
Zn + H2 SO4 → H2 + ZnSO4
Daniel-Element: Diaphragma, dass nur SO4 durchlässt verhindert Vergiftung.
Thermische Stromquellen. Bei Kontakt zweier Metalle ergibt sich Potentialdifferenz =⇒ Kontaktspannung.
Ursache: Unterschiedliche Austrittsarbeit für freie Elektronen. Austrittsarbeit und Kontaktspannung hängen
von Temperatur ab.
• Thermoelement
• Peltierkühlung (Umkehrung)
12.6 Strom und Spannungsmessung
Ziel: Strom- und Spannungsmessung ohne Beeinflussung des zu messendes Systems.
Strommessung: Amperemeter in Reihe mit Verbraucher, Amperemeter - Ri ≈ 0 um zusätzlichen Spannungsabfall
aus Messgerät zu minimieren.
Spannungsmessung: Voltmeter parallel zum Verbraucher geschaltet. Voltmeter - Ri → ∞, um Stromfluss durch
Voltmeter zu minimieren.
Messinstrumente:
• Galvanometer
• Digitalvoltmeter (mit Operationsverstärker) (Messbereichserweiterung durch Parallel- und Serienschaltung
von Widerständen)
13 Magnetostatik
Neue Kraft zwischen elektisch neutralen Materialien. (später: Vereinheitlichung von Elektrizität und Magnetismus
=⇒ Elektromagnetismus) Beobachtungen:
• Zwei Pole: Nord- und Südpol
• Gleichnamige Pole stoßen sich ab, ungleichnamige ziehen sich an
• Pole lassen sich nicht trennen, keine magnetische Ladungen, keine Monopole
• Magnete richten sich auf der Erde im Nord-Süd-Richtung aus
Traditionell: Definiton der magnetischen Feldstärke p in Analogie zur elektricschen Ladung Q. (Realisierung:
langer Stabmagnet)
⃗ = 1 p1 p2 r̂
=⇒ F
4πµ0 r2
mit µ0 = 4π · 1 × 10−7 V s A−1 m
⃗
⃗ = lim F
H
p2 →0 p2
• [p] = V s = Wb
• [H] = A m−1
⃗
⃗ = µ0 H
Hieraus folg die historsche Bezeichnung von H als „Magnetfeld“ oder „magnetische Feldstärke“. Aber B
wichtigere Größe, eigentliches Äquivalent zum E-Feld
13 Magnetostatik
19
Traditionell
H = magnetische Feldstärke
B = magnetische Induktion oder magnetische Flussdichte
Modern
H = magnetische Erregung
B = Magnetfeld oder magnetische Flussdichte
Ebenfalls: In Analogie zum elektrischen Feld: Magnetischer Kraftfluss
∫
⃗ ⃗A
ϕm =
Bd
• [B] = V s m−2 = T
• [ϕm] = V s = Wb
13.1 Magnetfelder und bewegte Ladungen
Beobachtungen:
1. Ein Strom durch einen Leiter erzeugt ein Magnetfeld um denselben (Oerstedt, 1777 - 1851)
2. Auf bewegten Ladungen wird in einem Magnetfeld eine Kraft ausgeübt. Offenbar: Streuwirkung beeinflußt
Kraftrichtung. (Ampere, 1775-1836)
Experiment:
1. B ∼ I/r
(
)
⃗
⃗
2. F ∼ I ⃗e × B
Konvention:
µ0 I
2πr
(
)
⃗
⃗
F = I ⃗l × B
B=
⃗l: Streurichtung.
mit ⃗I = ⃗jA:
(Lorentzkraft)
(
)
(
)
⃗ = lA ⃗j × B
⃗ = lAnq ⃗v × B
⃗
F
Kraft auf einen einzelnen Ladungsträger:
(
)
⃗ = q ⃗v × B
⃗
F
(
)
⃗ =q E
⃗ + ⃗v × B
F
(Lorentzkraft (ohne E-Feld))
(Lorentzkraft (allgmeine Form))
⃗ ⊥ B.
⃗ Bewegungsgleichung:
Beispiel 13.1 (Freie Ladung im homogenen B-Feld) Freie Ladung im homogenen B-Feld mit R
(
)
⃗
m⃗a = ⃗r × B
Da Kraft senkrecht auf Bewegungsrichtung steht folgt eine Kreisbewegung! Also:
v2
q
a = azp = vω =
= vB
r
w
q
ω= B
w
(Zyklotronfrequenz)
13 Magnetostatik
20
Beispiel 13.2 (Leiterschleife im homogenen B-Feld) Kräftepaar bewirkt Drehmoment
(
)
(
)
⃗ = ⃗d × F
⃗ = ⃗d × I ⃗l × B
⃗ = I ⃗A × B
⃗
M
Definition 13.3 (Magnetischer Moment)
⃗µ := I ⃗A = IA⃗n
⃗ = ⃗µ × B
⃗
M
Elektrischer Dipol
⃗ = ⃗p × E
⃗
M
Magnetischer Dipol
⃗ = ⃗µ × B
⃗
M
Durch Vergleich mit elektrischen Dipol: Offenpor erzeugt ein Kreisstrom einen magnetischen Dipol.
Beispiel 13.4 (Hall-Effekt) Ablenkung bewegter Ladungsträger im Festkörper beziehungsweise in Leitern durch
ein externes Magentfeld. Erlaubt Magnetfeldmessung.
Beobachtung: Aufbau eines elektrischen Querfeldes in einem stromdurchflossenen Leiter in einem Magnetfeld.
Ursache: Lorentzkraft. Es gilt:
Fel = Fmag
UH
q
= qvB
b
I
=
B
nbd
⃗
mit ⃗v ⊥ B
I = jA = jbd = nqvbd
1 I
I
B = RH B
UH =
nq d
d
mit RH = (nq)−1 , Hallkonstante, n = Ladungsdichte, q = Ladung.
Anwendungen:
• Messungen von Dichte und Vorzeichen der bewegten Ladungsträger in Materialien (zum Beispiel Leiter
/ Halbleiter)
• Messung magnetischer Felder
I
r
µ0 I
B(r) =
µ0
2π r
(
)
⃗ r) = µ0 I ˆl × r̂
B(⃗
2π r
B∼
= 4π1 × 10−7 V s A−1 m
(
)
⃗ 21 = µ0 I1 ˆl1 × r̂21
B
2πr2
(
)
⃗ 21 = I2 ⃗l × B
⃗ 21
F
⃗r21 =
µ0 I1 I2
r̂21
2πr21
13 Magnetostatik
21
13.2 Grundgleichungen der Magnetostatik
„Wir wissen“: Magnetfeldlinien immer geschlossen
I
⃗ ⃗A = 0
Bd
=⇒
(Quellenfreiheit des Magnetfeldes)
⃗ =0
div B
(2. Maxwellsches Gesetz)
Zirkulation des B-Feldes:
Elektrostatik:
∫
I
⃗ s = U,
Ed⃗
⃗ s=0
Ed⃗
B-Feld: (Kreis senkrecht um B-Feldlinie)
I
I
⃗ s=B
Bd⃗
=
ds
µ0 I
2πr = µ0 I
2πr
Anderer Weg (größerer Kreis)
I
∫
∫
1
⃗ s=
Bd⃗
⃗ s+
Bd⃗
4
3
⃗ s
Bd⃗
2
µ0 I
µ0 I
f2 2πr1 +
f2 2πr2
2πr1
2πr2
= µ0 I(f1 + f2 ) = µ0 I
I
∑
⃗ s = µ0
Bd⃗
Ik
=
k
⃗ = µ0⃗j
rot B
=⇒ Grundgleichungen der Magnetostatik:
I
⃗ ⃗A = 0
Bd
I
⃗ s = µ0 Iinnen
Bd⃗
A
C
⃗ =0
div B
⃗ = µ⃗j
rot B
13.3 Zwei Anwendungsbeispiele
Beispiel 13.5 (Magnetfeld stromdurchflossener Leiter) Querschnitt: A = πR2
j=
I
I
πR2
⃗ s = B(r)2πr
Bd⃗
µ0 I
2πr
1
µ0 I
=⇒ B(r) = µ0 jr =
r
2
2πR2
r ≥ R : B(r)2πr = µ0 I =⇒ B(r) =
r > R : B(r)2πr = µ0 jπr2
13 Magnetostatik
22
Beispiel 13.6 (Magnetfeld einer langen Spule) N : Anzahl der Windungen, L: Länge, n = N/L Weg C:
I
⃗ s = B12 l′ − B34 l′ =! 0 =⇒ B12 = B34
Bd⃗
Weg C’:
I
⃗ s = Bl′ = µ0 N JI
Bd⃗
=⇒ B =
µ0 N ′ L
= µ0 nI
l′
Bspule=µ0 nI
13.4 Biot-Savart-Gesetz
Vergleich Elektro- und Magnetostatik
E-Feld einer Linienladung
E(r) =
1 λ
2πε0 r
B(r) =
µ0 I
2π r
B-Feld eines geraden Leiters
Nutze Analogie!
1 ρ(⃗r − ⃗r′ ) ′
dV
4πε0 |⃗r − ⃗r′ |3
∫
1
ρ(⃗r − ⃗r′ ) ′
⃗
E(⃗r) =
dV
4πε0
|⃗r − ⃗r′ |3
⃗ r) =
d E(⃗
Ersetzen ρ → ⃗j, ε0 → 1/µ0 , ρ(⃗r − ⃗r′ ) → ⃗j × (⃗r − ⃗r′ ) =⇒ Biot-Savart-Gesetz
µ0 ⃗j(⃗r) × (⃗r − ⃗r′ ) ′
dV
4π
|⃗r − ⃗r′ |3
∫ ⃗
µ0
j(⃗r) × (⃗r − ⃗r′ ) ′
⃗
B(⃗r) =
dV
4π
|⃗r − ⃗r′ |3
⃗ r) =
d B(⃗
µ0 d⃗s′ × (⃗r − ⃗r′ )
4π |⃗r − ⃗r′ |3
∫
µ0
d⃗s′ × (⃗r − ⃗r′ )
B(⃗r) =
4π
|⃗r − ⃗r′ |3
⃗ r) =
d B(⃗
14 Materie im Magnetfeld
23
Beispiel 13.7 (Leiterschleife) Symmetrie: B⊥ = 0, Bx = 0, By = 0
dBz = dB sin α
R
= dB
|⃗r − ⃗r′ |
µ0 I ds′
R
µ0 I
R
=
=
ds′
4π |⃗r − ⃗r′ |2 |⃗r − ⃗r′ |
4π (z 2 + R2 ) 32
∫
∫
µ0 I
R
Bz = dBz =
ds′
4π (z 2 + R2 ) 32
µ0 R 2
=
3
2(z 2 + R2 ) 2
In der Mitte des Rings: z = 0
Bz =
µ0 I
2R
Bz =
µ0 IR2
2z 3
Weit weg: z ≫ R
Allgemeine Lösung für r ≫ R
(
)
µ0
⃗µ⃗r
1
B(⃗r) =
3 5 ⃗r − 3 ⃗µ
4π
r
r
Vergleich mit Elektrischem Dipol (r ≫ d):
)
(
1
1
⃗p⃗r
E(⃗r) =
3 5 ⃗r − 3 ⃗p
4πε0
r
r
14 Materie im Magnetfeld
14.1 Magnetisierung und magnetische Erregung
Beobachtung: Beeinflussung des B-Feldes durch Materie. Ein Eisenkern der Länge l hat auf einer Querschnittsfläche
A (Normalenvektor ⃗n) viele Kreiströme (magnetische Dipole) Ii mit Fläche Ai . Auf der Oberfläche des Eisenkern
gibt es also einen Strom Im : molekularer Strom. Für ein infinitesimales Stück es Eisenkerns dl erhält man:
dl
l
Im
= µ0
l
Ii = Im
Bmag
Definition 14.1 (Magnetisierung)
∑
⃗ = 1
M
⃗µi
V
i
mit µ := Ii Ai ⃗n. (Erinnerung Spule: B = µ0 (N I)/l)
14 Materie im Magnetfeld
24
∫
∑
1 Im
⃗ = 1
=⇒ M
Ai Ii ⃗n = Ai ⃗n dl
V
V
l
i
1 Im ∑
=
Ai ⃗nl
V l
i
Im
⃗n
=
l
Magnetfeld rein aufgrund der Magnetisierung:
⃗
⃗ mag = µ0 M
B
Jetzt: Eisenkern mit Draht
⃗ =B
⃗ 0 + µ0 M
⃗
=⇒ B
⃗ 0 : Magnetfeld aufgrund äußerer Ströme
B
I
I
I
⃗
⃗ d⃗s
B 0 d⃗s + µ0
M
C
C
I
⃗ d⃗s
= µ 0 N I + µ0
M
⃗ s=
Bd⃗
C
C
I (
)
= µ0 If rei + µ0 Im
⃗ − µ0 M
⃗ d⃗s = µ0 If rei
B
Definition 14.2 (Magnetische Erregung)
⃗ = 1 B
⃗ −M
⃗
H
µ0
I
⃗ s = If rei
Hd⃗
)
(
⃗ = µ0 H
⃗ +M
⃗
B
⃗ = ⃗j f rei
rot H
(2. Maxwellsches Gesetz, Amperesches Durchflutungsgesetz)
⃗ = ⃗j geb , rot B
⃗ = µ0⃗j ges
Auch: rot M
14.2 Dia-, Para- und Ferromagnetismus
Experimentelle Beobachtung:
Definition 14.3
⃗ = χm H
⃗
M
⃗ . Gilt nicht immer!, χm : magnetische Suszeptibilität.
⃗ =B
⃗ = µ0 M
mit µ0 B
)
(
⃗ +M
⃗
⃗ = µ0 H
B
⃗ = µµ0 H
⃗
B
µ = µ r = χm + 1
Bisher: χn > 0. Gilt dies immer? =⇒ nein!
⃗
⃗ = µ 0 µr H
= µ0 (χm + 1) H
14 Materie im Magnetfeld
25
• χm > 0, µr > 1
Paramagnetismus
• χm < 0, µr < 1
Diamagnetismus
• χm ≫ 0, µr ≫ 1
Ferromagnetismus
• Dia: −1 × 10−6 ≤ χm ≤ −1 × 10−9
• Para: 1 × 10−6 ≤ χm ≤ 1 × 10−9
• Ferro: 1 × 102 ≤ χm ≤ 1 × 105
Paramegnetismus: Wolfram, Nickel
⃗ B⃗
⃗v
Epot = − M
⃗
= −⃗µ B
⃗ =M
⃗ grad BV
⃗
F
Diamagnetismus: Wismut Mikroskopische Beschreibung
χm < 0(µ < 1): Diamagnetismus. Induktion eines magnetischen Dipolmoments r = const.. Zwei Atome:
⃗µ′ = ⃗µ′1 + ⃗µ′2 ̸= ∅
Ursache: Lorentzkraft:
v1′ > v1
F2′ p > F2 p
v2′ < v2
F2′ p < F2 p
µ′1 > µ1
µ′1 < µ2
⃗ = µ0 µ H
⃗ = µ0 (1 + χm ) H
⃗
B
⃗ 0 → χm < 0
= (1 + χm ) B
=⇒ Alle Stoffe sind diamagnetisch. Aber Möglichkeit der Überlagerung mit Para- beziehungsweise Ferromagnetismus.
χm > 0: Paramagnetismus
Ausrichtung permanenter magnetischer Dipole mit außerem B-Feld. Vergleich:
• Elektrische Ausrichtung führt zur Abschwächung
• Magnetostatische Ausrichtung führt zur Verstärkung
Thermische Bewegung wirkt der Ausrichtung entgegen =⇒ Temperaturabhängigkeit der Magnetisierung:
(Curie-Gesetz)
⃗ s
⃗ = 1 µBext M
M
3 kB T
⃗ s : Sättigungsmagnetismus
M
χm ≫ 0 Ferromagnetismus
Paramagnetische Materie mit zusätzlicher Wechselwikung der magnetischen Dipole miteinander.
Weißsche Bezirke
⃗ =0
Ohne Magnetfeld: Statistische Ausrichtung M
⃗
Mit Magnetfeld: Ausrichtung der Bezirke entlang B
⃗ = µM
⃗ ≫H
⃗
χm ≫ 0, M ≫ 1 =⇒ M
Ferromagnet:
Beobachtung: Magnetisierung durch B-Feld ist abhängig von „Vorgeschichte“
14 Materie im Magnetfeld
26
• „Hinweg“: Koerzitiv Kraft
• „Rückweg“: Remanenz Kraft
Magnetisch hartes Eisen:
• große Remanenz
• große Koerzitiv
Magnetisch weiches Eisen:
• kleine Remanenz
• kleine Koerzitiv
Ferromagnetismus ist Temperaturabhäsgig
• geht oberhalb TC verloren
• TC - kritische Temperatur
Oberhalb von FC =⇒ Curie-Weiß Gesetz
χ(T ) =
C
T − TC
14.3 Feldgleichungen in Materie
⃗ = µ0 H
⃗
Vakuum: B
(
)
⃗ = µµ0 H
⃗ = µ0 H
⃗ +M
⃗ , allgemein: µ = µ(H).
Materie: B
Außerdem:
⃗ = 0 auch in Materie
⃗ = ⃗j f rei
div B
rot H
Verhalten an Grenzflächen
(1)
(1)
H∥
(1)
B⊥
=
(2)
H∥
=
(2)
B⊥
=⇒
=⇒
B∥
µ1
(2)
=
(1)
µ1 H⊥
B∥
µ2
(2)
= µ2 H⊥
=⇒ Maxwell-Gleichungen der Elektro- und Magnetostatik
⃗ =0
rot E
⃗ =ρ
div D
⃗ = ⃗j f rei
rot H
⃗ =0
div B
Anwendung: Toroidmagnet mit Luftspalt
Radius des Torus: R, Eisenkern =⇒ µ ≫ 1, N Windungen um Kern mit Strom I, Breite des Luftspaltes: d.
=⇒ Feld im Luftspalt: Ampersches Gesetz:
I
∫
∫
⃗
⃗
⃗ Luf t d⃗s
Hd⃗s = N I =
H F e d⃗s +
H
Eisen
Luf t
15 Induktion und elektromagnetische Wechselfelder
27
⃗ Fe = B
⃗ Luf t =⇒ µ H
⃗ Fe = H
⃗ Luf t
B
I
=⇒ N I =
⃗ s = HF e (2πR − d) + HLuf t d
Hd⃗
HLuf t
(2πR − d) + dHLuf t
µ
N Iµ
µN I
HLuf t =
≈
(µ − 1)d + 2πR
µd + 2πR
µ0 µN I
=⇒ B = µ0 HLuf t =
µd + 2πR
=
15 Induktion und elektromagnetische Wechselfelder
Bisher: stationäre, das heißt zeitunabhängige Felder
Jetzt:
• zeitabhängige B-Felder → magnetische Induktion
• zeitabhängige E-Felder → Verschiebungsstrom
15.1 Magnetische Induktion
Beobachtungen
• Bewegte Leiterschleife im Magnetfeld resultiert in Induktion und Spannugsstößen
• Vorzeichen abhängig von Bewegungsrichtung und Richtung des Magnetfelds
• Mehrere Windungen (beziehungsweise größere Fläche) → höhere Spannungen
• Drehung Leiterschleife → Wechselspannung
∫
∫
mit ϕm =
U (t)dt = ∆ϕm
Uind = −ϕ̇m
Ursache? =⇒ Lorentzkraft
⃗ ⃗A
Bd
beziehungsweise Uind = −N ϕ̇m
(
)
⃗ = q ⃗b × B
⃗
F
F
dUind = Eind dl = dl = vBdl
q
∫ 2
Uind =
Eind dl = vBl
1
I
∫ 2
∫ 1
Uind = Edl =
Edl +
Edl = vBl
1
2
15 Induktion und elektromagnetische Wechselfelder
28
Beliebige Schleife
Uind
ϕm
I (
)
⃗ d⃗l
=
⃗v × B
I
⃗ ind d⃗l
=
E
I (
)
⃗
=
d⃗l × ⃗v B
I (
)
⃗
=−
⃗v × d⃗l B
)
I (
I ⃗
d⃗s
dA ⃗
⃗
⃗
=−
× dl B = −
B
dt
dt
∫
d
⃗ ⃗A = −ϕ̇m
Bd
=−
dt
∫
⃗ ⃗A = Bls
=
Bd
⃗ = const.)
(Für B
ϕ̇m = Blṡ = Blv
⃗˙ Rein experimentelle Beobachtung
Neu: Induktion durch B.
Satz 15.1 (Faradaysches Induktionsgesetz)
I
Uind =
mit ϕm =
∫
Eind d⃗s = −ϕ̇m
⃗ ⃗A
Bd
⃗ ̸= 0
Neue grundlegende Eigenschaft: Wichtig: rot E
I
∫
⃗ s = −ϕ̇m = − d
⃗ ⃗A
Ed⃗
Bd
dt O
C
∫
∫
∫
⃗˙ ⃗A
⃗ ⃗A = −
⃗ ⃗A = − d
Bd
Bd
=⇒
rot Ed
dt
O
O
O
Satz 15.2 (3. Maxwell-Gleichung)
I
∫
d
⃗
⃗ ⃗A
Ed⃗s = −
Bd
dt O
C
⃗˙
⃗ = −B
rot E
(Falls O beziehungsweise C konstant)
(E-Feld nicht mehr Wirbelfrei)
(Induktion nur in Verbindung mit der Lorenzkraft)
Satz 15.3 (Lenzsche-Regel) Die durch Induktion entstehende Spannungen, Ströme, Felder und Kräfte wirken
der die Induktion hervorrufenden Ursache stets entgegen.
15.2 Generatoren
∫
ϕm =
⃗ ⃗A = BA cos ωt
Bd
ϕ˙m = −Uind = ωBA sin ωt
15 Induktion und elektromagnetische Wechselfelder
29
15.3 Induktivität und Selbstinduktion
Betrachte stromdurchflossene Leiterschleife B ∼ I, ϕm ∼ I
Definition 15.4 (Induktivität)
ϕm = LI
L: Eigenschaft des felderzeugenden Leiters.
Induktivität einer Spule: N Windungen, l Länge, n = N/l, Querschnittsfläche A
B = µµ0 nI
ϕm = N BA = nlBA
ϕm = µµ0 n2 Al I
| {z }
L
=⇒ Uind = −ϕ˙m = −LI˙
Weitere Beispiele:
• Drahtschleife: L = µ0 R ln R/r
• Doppelleitung: L = µ0 l/π ln a/r
• Koaxialkabel: L = µ0 l/(2π) ln ra /ri
Außerdem: Zeitlich veränderlicher Stromfluß durch eine Leiteranordnug führt zu einer zeitlichen Veränderung
des erzeugten B-Feldes → Flußänderung → Spannungsindukiton.
Uind = −ϕ̇m = −LI˙
15.4 Verschiebungsstrom
Für zeitlich veränderliche B-Felder:
I
⃗ = 0 → rot E
⃗ = −B
⃗˙
rot E
I
∫
⃗
⃗
⃗˙ ⃗A
Ed⃗s = 0 →
Eds = − Bd
Jetzt: Betrachte Ampersches Durchflutungsgesetz
⃗ = µ0⃗j ⇐⇒
rot B
I
⃗ s = µ0 I
B}⃗
Betrachte Leiter durch Kondensator. Danng gilt:
I
⃗ s = B2πr = µ0 I → B = µ0 I
Bd⃗
2πr
Aber: Verschiebung des Integrationsweges zwischen die beiden Kondensatorplatten liefert:
I
⃗ s=0
Bd⃗
Dies erscheint unmöglich! B-Feld kann im Kondensator nicht abrupt verschwinden. Außerdem:
I
∫
⃗ s = µ0
⃗jd ⃗A
Bd⃗
C
A
(gilt für alle Flächen mit Randkurve C). Fläche A1 : Kreisfläche um Leiter, Fläche A2 : Fläche mit Kondensator
=⇒
15 Induktion und elektromagnetische Wechselfelder
30
• Fläche A1 : B = µ0 I/(2πr)
• Fläche A2 : B = 0
=⇒ offensichtlicher Widerspruch. =⇒ Etwas fehlt! Berücksichtigung des durch Kondensatoraufladung
erzeugten zeitlich sich ändernden elektrischen Feldes. Kontinuitätsgleichung:
I
⃗
⃗jd ⃗A = − dq
div j = −ρ̇ ⇐⇒
dt
Es gilt:
I
⃗ ⃗A = q/ε0 → dq = ε0 d
Ed
dt
dt
Konsistente Beschreibung falls:
H
∫
⃗ s = µ0
⃗ ⃗
• Fläche A1 : Bd⃗
A1 jd A
• Fläche A2 :
H
⃗ s = µ 0 ε0
Bd⃗
∫
A2
I
I
⃗ ⃗A = ε0
Ed
⃗
∂E
d ⃗A = ε0
∂t
I
⃗˙ ⃗A
Ed
∫
⃗˙ ⃗A = µ0
⃗ ⃗
Ed
A2 j v d A mit
⃗
⃗j v = ε0 ∂ E
∂t
„Verschiebungsstrom“
→ Erweiterung des Ampereschen Durchflutungsgesetzes:
Satz 15.5 (Ampere-Maxwell-Gesetz (4. Maxwell-Gleichung für Vakuum))
I
∫
∫ ⃗
∂E ⃗
⃗
⃗
⃗
Bd⃗s = µ0 jd A + µ0 ε0
dA
∂t
⃗
⃗
⃗ = µ0⃗j + µ0 ε0 ∂ E = µ0⃗j + 1 ∂ E
rot B
∂t
c2 ∂t
⃗˙ das heißt elektrische Wechselfelder erzeugen ein magnetisches
⃗ = 1/c2 E,
Bemerkung 15.6 Für j = 0 gilt: rot B
⃗˙ magnetische Wechselfelder ein eletrisches Wirbelfeld. →
⃗ = −B
Wirbelfeld, umgekehrt erzeugen wegen rot E
elektromagnetische Wellen (siehe unten)
Jetzt: Verschiebungsstrom in Matrie
I
⃗ s = µ0 Iges = µ0 IL + µ0 IM + µ0 Iv + µ0 IP
Bd⃗
• IL : Leitungsstrom (frei Ströme)
• IM : Molekularstrom
• IV : Verschiebungsstrom
• IP : Polarisationssrom (nur für nicht-stationäre E-Felder)
Molekulorstrom:
I
⃗ d⃗s = IM
M
)
I
I (
∫
1 ⃗
⃗ s=
⃗ d⃗s = IL + IV + IP = IL + ε0
⃗˙ ⃗A + IP
Hd⃗
B−M
Ed
µ0
A
∫
∫
˙⃗ ⃗
Ed A + ⃗j P d ⃗A
= IL + ε0
A
16 Schaltvorgänge, Wechselstrom und Schwingkreise
31
Polarisationsstrom: Ergibt sich aufgrund des Flusses gebundener Ladungen in Richtung des elektrischen Feldes
→ zeitlich veränderlicher Strom für zeitlich veränderliche E-Felder
⃗ = nd⃗p
⃗j P = nq⃗v = nq d⃗s , d⃗p = qd⃗s, d P
dt
⃗
⃗
⃗˙
⃗j P = n d⃗p = d P ⇐⇒ ⃗j P ⇐⇒ ∂ P = P
dt
dt
∂t
Damit
I
∫
⃗ s = I L + ε0
Hd⃗
⃗˙ ⃗A = IL +
Ed
∫
⃗˙ ⃗A
Dd
⃗ = ε0 E
⃗ +P
⃗
E
Satz 15.7 (Ampere-Maxwell-Gesetz in Matrie (4. Maxwellsche Gleichung))
I
∫
∫ ⃗
∂E ⃗
⃗
⃗
⃗
Hd⃗s =
dA
jd A +
∂t
⃗ = ⃗j + D
⃗˙
rot H
16 Schaltvorgänge, Wechselstrom und Schwingkreise
16.1 Induktivität im Stromkreis (LR-Glied)
Einschalten:
Uind = −LI˙
Außerdem gilt: (Kirchhoffsche Maschenregel)
U0 + Uind = IR
U0 − LI˙ = IR
Man erhält eine inhomogene, lineare Differentialgleichung erster Ordnung, Lösung: allgemeine Lösung der
homogenen Differentialgleichung + spezielle Lösung der inhomogenen Differentialgleichung + Anfangsbedingungen
dI
R
U0
+ I=
dt
L
L
R
U0
=⇒ I(t) =
+ Ce− L t
R
=⇒
Mit der Anfangsbedingung I(0) = 0 folgt:
)
R
U0 (
1 − e− L t
R
)
U0 (
=
1 − e−t/τ
R
τ = L/R
I(t) =
Ausschalten:
˙ Uind = IR
Uind = −LI,
dI
R
+ I=0
dt
L
16 Schaltvorgänge, Wechselstrom und Schwingkreise
32
Anfangsbedingung: I(0) = U0 /R. Damit folgt:
I(t) =
Spannungsabfall am Widerstand:
U0 −t/τ
e
R
U (t) = I(t)R = U0 e−t/τ
Aber: Was passiert beim Öffnen des Schalters tatsächlich? Rof f en = R̃ ≈ ∞.
U (t) = I(t)R̃ = U0
R̃ −t/τ
e
R
=⇒ Riesiger Spannungsstoß für R̃ → ∞ =⇒ Lichtbogen.
16.2 Kapazität im Stromkreis (RC-Glied)
Einschalten:
UC = Q/C, Q = Q(t)
Außerdem gilt: U0 = IR + Q/C. Differenzieren:
˙ + Q̇ = IR + I = 0
IR
C
C
=⇒
dI
1
+
I=0
dt
RC
Anfangsbedingung: I(0) = U0 /R. Damit folgt:
I(t) =
τ = RC. Spannung:
U0 −t/(RC) U0 −t/τ
e
=
e
R
R
(
)
UC (t) = U0 − I(t)R = U0 1 − e−t/τ
Ausschalten, das heißt Entladung:
˙ =−1I
IR + Q/C = 0 → IR
C
1
I˙ = − I
τ
Mit I(0) = −U0 /R als Anfangsbedingung folgt:
U0 −t/τ
e
R
UC (t) = U0 e−t/τ
I(t) = −
16.3 R, L, C im Wechselstromkreis
Beobachtung: Lämpchen brennen für verschiedene Frequenzen f = ω/(2π) unterschiedlich hell.
1. Widerstand: Lämpchen leuchtet unabhängig von der eingestellten Frequenz immer gleich hell
2. Kapazität:
• Niedrige Frequenz → Lämpchen aus
16 Schaltvorgänge, Wechselstrom und Schwingkreise
33
• Hohe Frequenz → Lämpchen leuchtet
3. Induktivität:
• Niedrige Frequenz → Lämpchen leuchtet
• Hohe Frequenz → Lämpchen aus
→ Kondensator und Spule verhalten sich wie frequenzabhängige Widerstände. Quantitative Betrachtung:
1. Ohmscher Widerstand:
U0 (t) = U0 cos ωt
1
=⇒ I(t) = U (t)
R
U0
=
cos ωt
R
= I0 cos ωt
Leistung:
P (t) = U (t)I(t) = I0 U0 cos2 ωt
=⇒ mittlere Leistung
⃗ = 1
P
T
∫
⃗ = 1
P
T
∫
P (t)dt
0
T
I0 U0 cos2 ωtdt =
0
T
I0 U0
T
∫
T
0
1
cos2 ωtdt = U0 I0
2
Definition 16.1 (Wirkleistung)
⃗ = 1 U0 I0 = Uef f Ief f
P
2
mit Uef f =
√1 U0 , Ief f
2
=
√1 I0
2
2. Induktiver Widerstand:
Us (t) = U0 cos ωt
Us (t) + Uind = 0, Uind = −LI˙
=⇒ Us (t) = LI˙
Interpretation:
∫
1
sin ωt = LI
ω
(
(
U0
U0
π)
π)
=⇒ I(t) =
sin ωt =
cos ωt −
= I0 cos ωt −
ωL
ωL
2
2
U0 cos ωtdt = U0
=⇒
U (t) = U0 cos ωt
(
π)
I(t) = I0 cos ωt −
2
U0
I0 =
ωL
=⇒ Strom läuft der Spannung um 90° hinterher, da der Strom nach Anlegen der Spannung U1 erst
allmählich zu fließen beginnt.
16 Schaltvorgänge, Wechselstrom und Schwingkreise
34
3. Kapazitiver Widerstand
Q
, I = Q̇
C
Q = CUs = CU0 cos ωt
Us (t) = Uc , Uc =
Q̇ = I = −ωCU0 sin(ωt)
(
(
π)
π)
= ωCU0 cos ωt +
= U0 cos ωtβ
2
2
U (t) = U0 cos ωt
π)
I(t) = I0 cos ωt +
2
I0 = ωCU0
(
=⇒ Strom läuft der Spannung um 90° voraus, da zuerst Ladung auf den Kondensator fließen muss,
bevor Spannung an Kondensator abfällt.
Merke:
• Ohmscher Widerstand: ZR = R, φ = 0°
• Induktiver Widerstand: ZL = ωL, φ = −90°
• Kapazitiver Widerstand: ZC = 1/ωC, φ = 90°
• Blindleistung Kapazität:
⃗ = 1
P
T
Induktivität:
⃗ = 1
P
T
∫
T
0
∫
0
T
1
Uc (t)Ic (t)dt = −
T
1
UL (t)IL (t)dt =
T
∫
T
U0 I0 cos ωt sin ωtdt = 0
0
∫
0
T
U0 I0 cos
| ωt{zsin ωt} dt = 0
1
2
sin 2ωt
Die sogenannte Blindleistung verschwindet im Mittel, da die Energie zum Aufbau der (elektrischen und
magnetischen) Felder wieder in den Generator zurückfließt → Blindstrom. Aber: Auch der Blindstrom
macht Drähte warm und die Blindleistung muss temporär zur Verfügung gestellt werden. (Wichtig bei
Auslegung von Netzwerken)
16.4 Komplexe Darstellung
Strom und Spannung im Wechselstromkreis:
U (t) = U0 cos ωt
I(t) = I0 cos(ωt + φ)
Übertragung ins Komplexe:
U (t) = U0 eiωt
I(t) = I0 ei(ωt+φ) = I0 eiφ eiωt
= I0 cos(ωt + φ) + iI0 sin(ωt + φ)
Die Verwendung komplexer Zahlen bedeutet rechnerisch eine wesentliche Vereinfachung! Ansonsten äquivalent!
Warum funktioniert das?
Grund → Linearität der auftretenden Differentialgleichungen.
16 Schaltvorgänge, Wechselstrom und Schwingkreise
• Homogene Differentialgleichung:
35
{
ż = 0
z̈ + γ ż + z = 0
Erste Ordnung: z(t) = a(t) + ib(t) sei Lösung → z ∗ (t) = a(=) − ib(t) ebenfalls Lösung. das heißt:
ℜ(z) = 1/2(z + z ∗ ) ist auch ein Lösung der homogenen Differentialgleichung.
Zweite Ordnung: → es gibt zwei linear unabhängige Lösungen z(t), z ∗ (t). Also ℜ(z) = 1/2(z + z ∗ ) =
a(t) und iℑ(z) = 1/2(z + z ∗ ) = ib(t) sind auch unabhängige Lösungen.
• Inhomogene Differentialgleichungen:
{
ż = ξ
z̈ + γ ż + z = ξ
→ zusätzliche partikuläre Lösung.
Erste Ordnung: ż = α+iβ → spezielle Lösung: z(t) = a(t)+ib(t), dann a(t), b(t) partikuläre Lösungen
des reellen / imaginären Teils.
Zweite Ordnung: analog.
Bei Verwendung komplexer Darstellung: Ohmscher Widerstand
U (t) = U0 eiωt = Û eiωt
U0 iωt ˆ iωt
e = Ie
I(t) =
R
Induktiver Widerstand:
U (t) = U0 eiωt = Û eiωt
U0 −iπ/2 iωt
U0 i(ωt−π/2)
e
=
e
e
I(t) =
ωL
ωL
U0 iωt ˆ iωt
=
e = Ie
iωL
Kapazitiver Widerstand:
U (t) = U0 eiωt = Û eiωt
I(t) = ωCU0 ei(ωt+π/2) = ωCU0 e+iπ/2 eiωt
ˆ iωt
= iωCU0 eiωt = Ie
Offenbar gilt: Iˆ = Û /ẑ, wobei die Phase gegenüber der Spannung im komplexen Widerstand ẑ steckt. =⇒
Wechselstromwiderstände:
ẐR = R
ẐL = iωL = ωLeiπ/2
1 −iπ/2
1
=
e
ẐC =
iωC
ωC
=⇒ Ohmsches Gesetz:
Û = ẑ · Iˆ
16 Schaltvorgänge, Wechselstrom und Schwingkreise
36
Beispiel 16.2 (RC-Serienschaltung) Kirchhoff: IR = IC = I, UG = UR + UC . Also:
I(t) = I0 eiωt
=⇒ UR = I0 Reiωt
1 iωt
UC = I0
e
iωC



1 
iφ iωt
 iωt
UG = UR + UC = I0 
e
R + iωC e = I0 |ẑ|e
|
{z
}
| {z }
ẑ
Impedanz ẑ
√
mit
ẑ = |ẑ|e , |ẑ| =
iφ
R2
(
+
1
ωC
)2
(
1
, φ = arctan
ωRC
)
=⇒ Lösung:
I(t) = I0 eiωt
U (t) = ẑI0 eiωt = I0 |ẑ|[cos(ωt + φ) + i sin(ωt + φ)]
Beispiel 16.3 (RC-Parallelschaltung) Kirchhoff: U = UR = UC , IG = IR + IC . Also
U (t) = U0 eiωt
U0 iωt
U0 iωt
=⇒ IR =
e , IC =
e
ẑR
ẑc
U0 iωt
IR =
e , IC = iωCU0 eiωt
R
(
)
1
1
I = IR + IC = U0
+
eiωt
ẑR ẑC
(
)
1
= U0
+ iωC eiωt
R
{z
}
|
= ẑ1
Die beiden Beispiele zeigen, dass für Impedanzen im Wechselstromkreis offenbar die gleichen Regeln wie für
Widerstände im Gleichstromkreis gelten. Damit: Erweiterte Kirchhoffsche Regeln:
∑
Iˆ = 0
(Knotenregel)
∑
Û = 0
(Maschenregel)
∑
Ẑ =
ẑi
(Reihenschaltung)
∑
Ẑ −1 =
ẑi−1
(Parallelschaltung)
16.5 RLC-Schwingkreis
Ohne Stromquelle:
Uind = IR + Q/C
−LI˙ = IR + Q/C
LI˙ + IR + Q/C = 0
16 Schaltvorgänge, Wechselstrom und Schwingkreise
37
Ableiten:
1
LI¨ + RI˙ + I = 0
C
Gedämpfter harmonischer Oszillator:
m+̈β ẋ + kx = 0
ẍ + 2γ ẋ + ω02 x = 0
ω02 = k/m
γ = β/(2m)
γ = R/(2L)
1
ω02 =
LC
Ansatz: ceλt
I(t) = C1 e−γt eiωR t + C2 e−γt e−iωR t
√
ωR = ω02 − γ 2
3 Fälle:
• γ < ω0 : Schwingfall
• γ > ω0 : Kriechfall
• γ = ω0 : Aperiodischer Grenzfall
Mechanik: γ = β/(2m), ω02 = k/m
Schwingkreis: γ = R/(2L), ω02 = 1/(LC) Mit Stromquelle:
UG + Uind = IR + Q/C
˙
LI + IR + Q/Ceiωt = U0 eiωt
LQ̈ + Q̇R + Q/C = U0 eiωt
Ableiten:
LI¨ + RI˙ +
1
I = ωU0 ei(ωt+π/2)
C
Ansatz:
I(t) = ρeiφ eiΩt
Einsetzen →
Ω=ω
ωU0
√(
ρ=
L
(
1
)2
ω02 − ω 2
ω2 − ω2
φ = arctan 0
2γω
)
=√
+ 2γ 2 ω 2
U0
(
R2 + ωL −
)
1 2
ωC
16 Schaltvorgänge, Wechselstrom und Schwingkreise
38
Einfacher:
1
I(t) = U0 eiωt , ẑ = ẑR + ẑL + ẑC
ẑ
U0
U
iωt
( 0
) iωt
I(t) =
=
1 e
1 e
R + iωL + iωC
R + i ωL − ωC
(
) )
(
1
ωL
−
U
U
R
0
0
iωt
ωC
= (a + ib)eiωt =
(
) −i
(
) e
1 2
1 2
2
2
R + ωL − ωC
R + ωL − ωC
= Ceiφ eiωt
√
C = a2 + b2
b
tan φ =
a
U0
C=ρ= √
(
)
1 2
R2 + ωL − ωC
( 2
)
ω0 − ω 2
φ = arctan
ω2γ
)
(
π
ω2γ
φ = − arctan
2
ω02 − ω 2
16.6 Transformator
Große Bedeutung in der Wechselstromtechnik. Insbesondere Transformation von Spannungen für Hochspannungsübertragung
Annahme: Magnetische Feldlinien verlaufen vollständig innerhalb des Eisenjochs, das heißt alle Streufelder
werden vernachlässigt. Unbelasteter Transformator:
(Primärseite)
U1 = U0 cos ωt
U1 + Uind,1 = 0
U1 = −Uind,1 = N1 ϕ̇m
Magnetischer Fluss ist auf Primär und Sekundärseite gleich:
U2 = −Uind,2 = N2 ϕ̇m =
N2
U1
N1
(Sekundärseite)
Außerdem gilt bei Vernachlässigung von Leistungsverlusten
P = U1 I1 = U2 I2
N1
I1
=⇒ I2 =
N2
Magnetfeldführung: Braucht großes µ:
B⊥,F e = B⊥,Lu
B∥,F e = µB∥,Lu
Das heißt: B-Feld im Eisen im wesentlichen tangential zur Oberfläche.
Satz 16.4 (Unbelasteter Transformator) Transformatorgleichung für verlustfreien, unbelasteten Transformator
U2 =
N2
U1
N1
I2 =
N1
I1
N2
16 Schaltvorgänge, Wechselstrom und Schwingkreise
39
Mögliche Verluste:
• Wirbelströme
• Streufelder
Komplizierter: belasteter Transformator (siehe Literatur, Übungen, Praktikum)
16.7 Elektrische und magnetische Feldenergie
Elektrische und magnetische Feldenergie: Elektrische Leistung im RC-Glied:
P (t) = I(t)U (t) = C U̇ U
dU
= CU
dt
∫ t
∫ t
1
=⇒ Wel =
P (t)dt =
CU dU = CU (t)2
2
0
0
Elektrische Leistung im LR-Glied:
˙ = LI dI =⇒ Wm
P (t) = I(t)U (t) = LII
dt
∫
=
∫
t
t
P (t)dt =
0
0
1
LIdI = LI(t)2
2
Also:
• Wel = 12 CU 2 - gespeicherte Energie im Kondensator, elektrische Feldenergie
• Wm = 12 LI 2 - gespeicherte Energie in Induktivität, magnetische Feldenergie
Energiedichte des elektrischen Feldes
1
1
A
Wel = CU 2 = εε0 U 2
2
2
d
1
A 2 2 1
= εε0 E d = εε0 V E 2
2
d
2
1
1
2
=⇒ ωel = εε0 E = ED
2
2
Energiedichte des magnetischen Feldes:
1
1
N2 2 1
A
Wm = LI 2 = µµ0
AI = µµ0 M 2 l2
2
2
l
2
l
1
= µµ0 V H 2
2
1
1
ωm = µµ0 H 2 = BH
2
2
Allgemein gilt:
ωelektrom. =
)
1(⃗ ⃗
⃗H
⃗
ED + B
2
17 Elektromagnetische Welle
40
17 Elektromagnetische Welle
17.1 Mechanische Wellen
Eine Welle ist ein Vorgang bei dem sich eine Schwingung vom Ort ihrer Erregung in Folge von Kopplungen an
benachbarte schwingungsfähige Systeme im Raum ausbreitet. Man unterscheidet
• Transversale Wellen → Ausbreitung senkrecht zur Schwingungsrichtung
• Longitudinale Wellen → Ausbreitung entlang der Schwingungsrichtung
Eindimensionale harmonische Welle → harmonische Anregung Bei t = 0:
y(x) = A sin(kx), k =
2π
λ
Zusätzliche Zeitabhängigkeit:
y(x, t) = A sin(k(x − vph t))
= A sin(kx − kvph t)
vph
= A sin(kx − ωt)
ω
λ
= =
T
k
Harmonische ebene Welle:
y(x, t) = A sin(kx ± ωt)
(
)
y(⃗x, t) = A sin ⃗k⃗x ± ωt
• Wellenzahl: k = 2π/λ, ⃗λ ∥ Ausbreitungsrichtung
• Wellenlänge: λ = 2π/k
• Phasengeschwindigkeit: vph = ω/k
• Amplitude: A
Wesentliche Eigenschaften:
Superposition und Interferenz:
Superposition ←→ Überlagerung von Wellen
n
( )
∑
y(⃗x, t) =
yi ⃗k, t
i=1
Überlagerung von Wellen (1 dimensional)
ξ1 (x, t) = A cos(k1 x − ω1 t)
ξ2 (x, t) = A cos(k2 x − ω2 t)
ξ = ξ1 + ξ2 = A(cos(k1 x − ω1 t) + cos(k2 x − ω2 t))
)
(
)
(
ω1 + ω2
k1 − k2
ω1 − ω2
k1 + k2
x−
t cos
x−
t
= 2A cos
2
2
2
2
Jetzt: k1 ≈ k2 , ω1 ≈ ω2 =⇒ Schwebung mit mittlerer Frequenz als Schwebungsfrequenz.
(1 dim)
(3 dim)
17 Elektromagnetische Welle
41
Satz 17.1 (Fouriertheorem) Jede periodische und aperiodische Funktion kann durch harmonische ebene Wellen
dargestellt werden. Fourier-Reihe:
∞
a0 ∑
f (t) = f (t + T ) =
+
an cos(nωt) + bn sin(nωt)
2
n=1
mit
ai =
2
T
bi =
2
T
aperiodische F : Fourier-Integral:
f (t) =
1
π
∫
∫
∫
T /2
f (t) cos(iωt)dt
−T /2
∫ T /2
f (t) sin(iωt)dt
−T /2
∞
a(ω) cos(ωt) + b(ω) sin(ωt)dω
0
∞
a(ω) =
f (t) cos ωtdt
∫−∞
∞
b(ω) =
f (t) sin ωtdt
−∞
Daher genügt es oft harmonische ebene Wellen zu betrachten.
17.2 Wellengleichung
Welle → Ausbreitung einer Schwingung im Raum. Gesucht: Differentialgleichung die die Ausbreitung von Störungen
∧
beschreibt. Sich ausbreitende Störung = Wellenpaket.
ψ+ (x, t) = f (x − vt)
ψ− (x, t) = f (x + vt)
∂ψ
∂ψ
= f ′,
∂x
∂t
∂2ψ
= f ′′
∂x2
= ±vf ′
∂ψ
= v 2 f ′′
∂t2
Klassische Wellengleichung:
2
∂2ψ
2∂ ψ
=
v
∂t2
∂x2
(
)
2
2
∂ ψ
∂2ψ ∂2ψ
2 ∂ ψ
= v 2 ∆ψ
=v
+
+
∂t2
∂x2
∂y 2
∂z 2
v 2 : Phasengeschwindigkeit. Eigenschaften:
• lineare Differentialgleichung → Superposition und Interferenz
• Ebene Wellen sind Lösung der Wellengleichung
• Auftreten solcher Gleichungen weist auf Wellenchararkter der Lösung hin
(1 dim)
(3 dim)
17 Elektromagnetische Welle
42
17.3 Wellenpakete, Phasen- und Gruppengeschwindigkeit
Wellenpaket
∫
1 ∞
{a(k) cos kx + b(k) sin kx}dt
π 0
∫
1 ∞
ψ(x, t) =
{a(k) cos(k(x − vph t)) + b(k) sin(k(x − vph t))}
π 0
ψ(x, t) =
Jetzt: Übergang ins komplexe:
eiφ + e−iφ
2
iφ
e − e−iφ
sin φ =
i2
iφ
e = cos φ + i sin φ
∫
∫
1 ∞ 1
1
1 ∞ 1
1
=⇒ ψ(x, t) =
{ a(k) + b(k)}eik(x−vph t) dk +
{ a(k) − b(k)}e−ik(x−vph t) dk
π 0 2
2i
π 0 2
2i
∫ ∞
∫ π
1
1
ik(x−vph t)
=√
A(k)e
A∗ (k)e−ik(x−vph t)
dk + √
2π 0
2π 0
∫ ∞
∫ 0
1
1
A(k)ei(kx−ωt) dk + √
A(k)ei(kx−ωt) dk
(ω = |k|vph > 0)
=√
2π 0
2π −∞
Damit ergibt sich dann allgemein:
∫ ∞
1
A(k)eikx−ωt dk
ψ(x, t) = √
2π −∞
∫ ∞
1
A(k) = √
ψ(x, 0)ei(kx) dx
2π −∞
cos φ =
Phasengeschwindigkeit: vph = ω/k ↔ Ausbreitungsgeschwindigkeit gleicher Phasen. Phasengeschwindigkeit
kann aber für unterschiedliche k, das heißt unterschiedliche Wellenlängen λ = 2π/k unterschiedlich sein →
Dispersion. Dispersionsrelation:
dω (k − k0 ) + . . .
ω(k) = ω(k0 ) +
dk k0
(Taylorentwicklung). Dispersion führt im Allgemeinen dazu, dass Wellenpakete mit der Zeit auseinander fließen.
Bei schwacher Abhängigkeit der Ausbreitungsgeschwindigkeit von der Wellenlänge bewegt sich das Wellenpaket
ein beträchtliches Stück, bevor es nicht wieder zuerkennen ist. Für Wellenpakete für die A(k) nur in einem
schmalen Bereich um k0 von Null verschieden ist - was für die meisten relevanten Wellenpakete der Fall ist kann man eine Wellenpaketgeschwindigkeit herleiten:
dω vgr =
dk k0
=⇒ Gruppengeschwindigkeit, Geschwindigkeit des Schwerpunktes eines Wellenpakets:
vgr =
Einfaches Beispiel: Schwebung:
(
dω
dk
)
(
)
k1 + k2
ω1 + ω2
k − k2
ω1 − ω2
ξ(x, t) = 2A cos
x−
t cos
x−
t
2
2
2
2
)
(
(
)
∆ω
∆k
x−
t
= 2A cos k̄ − ω̄t cos
2
2
∆ω
ω̄
=⇒ vph = , vgr =
∆k
k̄
17 Elektromagnetische Welle
43
17.4 Elektromagnetische Wellengleichung
Maxwell-Gleichung im Vakuum ( =⇒ ρ = 0, ⃗j = 0):
⃗
∂B
∂t
⃗
⃗ = ε0 µ 0 ∂ E
rot B
∂t
⃗ =−
rot E
⃗ =0
div E
⃗ =0
div B
Ableiten:
2⃗
∂
⃗ = ε0 µ 0 ∂ P
rot B
∂t
∂t2
(
)
⃗
⃗ = − rot ∂ B = − ∂ rot B
⃗
rot rot E
∂t
∂t
( )
2⃗
⃗ = −ε0 µ0 ∂ E
=⇒ rot rot E
2
( ( ))
( ∂t )
(
)
⃗
⃗ − ÷ grad E
⃗
rot rot E
= grad div E
|
{z
} |
{z
}
=0
⃗ = ε0 µ 0
=⇒ ∆ E
=⇒
⃗
∆E
⃗
∂2 E
∂t2
⃗
∂2 E
1
⃗
=
∆E
2
∂t
ε0 µ 0
Analog:
2⃗
∂
⃗ = − ∂ B , rot rot B
⃗ = ...
rot E
∂t
∂t2
⃗
∂2 B
1
⃗
=⇒
=
∆B
2
∂t
ε0 µ 0
=⇒ Wellengleichungen für elektromagnetische Wellen. Im Vakuum:
⃗
1
∂2 E
⃗
=
∆E
2
∂t
ε0 µ 0
⃗
∂2 B
1
⃗
=
∆B
2
∂t
ε0 µ 0
In Materie:
⃗
∂2 E
1
⃗
=
∆E
2
∂t
εµε0 µ0
⃗
∂2 B
1
⃗
=
∆B
2
∂t
εµε0 µ0
mit Lichtgeschwindigkeit:
√
1
ε0 µ 0
√
1
c
=
=
εµε0 µ0
n
c=
cmat
17 Elektromagnetische Welle
44
17.5 Struktur elektromagnetischer Wellen
Ebene Welle
⃗ r, t) = E
⃗ 0 sin(kx − ωt)
E(⃗
kx = ⃗k⃗r
(
)
!
⃗ r, t) = E
⃗ 0 sin ⃗k⃗r − ωt ÷ E
⃗ =! 0 = ∂Ex + ∂Ey + ∂Ez = ∂Ex 0
=⇒ E(⃗
∂x
∂y
∂z
∂x
|{z} |{z}
=0
=0
=⇒ Ex = const.
Wahl der Randbedingung → wähle Ex = 0. Fazit: Im Vakuum gibt es keine longitudinalen, sondern nur transversale
elektromagnetische Wellen. Jetzt: Verknüpfung von E -und B -Feld. Ansatz: Linear polarisierte Welle (das heißt
⃗ B
⃗ zeigen immer in eine Richtung)
E,
⃗
E(x,
t) = (0, Ey (x, t), 0)
Ey (x, t) = E0 sin(kx − ωt)
⃗ = − B,
⃗˙ rot B
⃗ = 1/c2 E
⃗˙
Maxwell: rot E
∂By
∂Ey
∂Bz
∂Bz
∂Bx
=−
=⇒
= −kE0 cos(kx − ωt),
=
=0
∂x
∂t
∂t
∂t
∂t
∂By
∂Bx
∂Bz
ω
∂Bx
1
=−
=⇒
= 2 E0 cos(kx − ωt),
=
=0
2
c
∂x
∂x
c
∂x
∂x
E0
⃗
=⇒ B(x,
t) = (0, 0, Bz (x, t)), Bz (x, t) =
sin(kx − ωt)
c
=⇒
=⇒ Magnetisches Wechselfeld muss in z-Richtung zeigen falls das elektrische Feld in y-Richtung polarisiert
ist. das heißt für elektromagnetische, ebene Wellen im Vakuum gilt:
⃗ ⊥B
⃗
E
⃗¨ = c2 ∆ E
⃗
E
⃗¨ = c2 ∆ B
⃗
B
(
)
⃗ r, t) = E
⃗ 0 ∼ ⃗k⃗r − ωt
=⇒ E(⃗
⃗˙
⃗ = − B,
⃗˙ rot B
⃗ = 1/c2 E
Mit rot E
⃗
E(x,
t) = (0, Ey , 0)
Ey = E0 sin(kx − ωt)
⃗ = (0, 0, Bz )
B
E0
Bz =
sin(kx − ωt)
c
⃗ ⊥ B,
⃗ E,
⃗ B
⃗ ⊥ K,
⃗ E,
⃗ B
⃗ in Phase
=⇒ E
⃗ E
⃗ B =
C
(
)
1
⃗k × E
⃗ =
⃗
B
ω
(Ebene Welle)
17 Elektromagnetische Welle
45
Zirkular polarisierte Welle:
[E0,x = E0,y , φ = 90°]
Elliptisch Polarisierte Welle:
[E0,x ̸= E0,y , φ = 90°]
Unpolarisierte Welle:
[keine feste Phasenverschiebung]
Kugelwellen:
(
)
⃗
⃗ = E 0 sin ⃗k⃗r − ωt
E
r
)
(
⃗
⃗ = B 0 sin ⃗k⃗r − ωt
B
r
17.6 Energietransport elektromagnetischer Welle
Energiedichte im Vakuum:
ωem =
)
1(⃗ ⃗
⃗H
⃗ = 1 ε0 E 2 + 1 B 2 = ε0 E 2 (t)
ED + B
2
2
2µ0
1
⟨ωem ⟩ = ⟨ωem (t)⟩ = ε0 E02
2
Energiestromdichte (oder Intensität)
Strahlungsleistung
Energie
=
Fläche
Fläche · Zeit
= Energiedichte · Geschwindigkeit
S=
=⇒ S = ωem c = ε0 cE 2 (t) = ε0 c2 EB =
1
EB = EH
µ0
Definition 17.2 (Poyntingvektor)
)
(
⃗ ×B
⃗ =E
⃗ ×H
⃗
⃗S = 1 E
µ0
17.7 Erzeugung elektromagnetischer Wellen
Hetzscher Dipol:
ω=√
1
LC
ω groß → L, C klein
• Spule → Draht
• Kondensator → Draht
=⇒ geraderiung: PTP3
(
(
))
1
˙ × ⃗r + r ⃗¨p × ⃗r
⃗
p
4πε0 c2 r3
C
((
) ) )
)
(
(
1
1
r
˙ + 3 ⃗p + r ⃗p˙ r̂ r̂ +
¨p × ⃗r × ⃗r
⃗ r, t) =
⃗
p
⃗
E(⃗
⃗
p
+
4πε0 r3
C
C
4πE0 c2 r2
⃗ v, t) =
B(⃗
=⇒ Hertzscher Dipol
17 Elektromagnetische Welle
46
• Nahfeld: E ∼ 1/r3 , B ∼ 1/r2 , E, B phasenverschoben, φ = 90°
⃗ ⊥B
⃗ ⊥ ⃗k, φ = 0°
• Fernfeld: E ∼ 1/r, b ∼ 1/r, E
=⇒ ⃗S ∼ EB ∼ 1/r2
Symmetrie:
• S = σ(r) · ξ(θ)
• ⃗S ∥ ⃗r
H
• ⃗Sd ⃗A = const.
I
I
2
σ(r)ξ(θ)r dΩ = σ(r)r
2
!
ξ(θ)dΩ = Cσ(r)r2 = const.
| {z }
konstant
=⇒ σ(r) ∼ 1/r2 , S ∼ 1/r2 . Also: Die 1/r -Abhängigkeit von E, B-Feld und die 1/r2 Abhängigkeit
von ⃗S ergeben sich für das Fernfeld aus der Symmetrie und der Erhaltung des Energieflusses. Außerdem:
⃗ B
⃗ rein transversal, E,
⃗ B
⃗ in Phase. Nahfeld: r ≫
Fernfeld = reines Wellenfeld im freien Raum. Daher sind E,
⃗ E
⃗ phasenverschoben. Vorbemerkung: Hochfrequente Wechselspannung auf einem Leiter führt zu
d =⇒ B,
elektromagnetischen Wellen entlang des Leiters, da sich die Oberflächenladung σ nur mit endlicher Geschwindigkeit
ausbreitet. (Drahtwelle) =⇒ Hertzscher Dipol: Stehende Drahtwellen:
Phasenverschiebung: π/2
I(z, t) = I0 (z) sin ωt
U (z, t) = U0 (z) cos ωt
Randbedingungen
(
)
1
I0 ± l = 0
2
(
)
1
U0 ± l = U0
2
U0 (0) = 0
Daraus folgt
I0 (z) = I0 cos
( πx )
l )
( πx
U0 (z) = U0 sin
l
Abstrahlungscharakteristik::
⃗ S = σ(r) · ξ(θ) ∼ EB (Fernfeld) =⇒ ξ(θ) =?, σ(r) ∼ 1/r2 . Fernfeld:
(
)
(
)
⃗ ∼ 1 ⃗¨p × ⃗r × ⃗r = − 1 ⃗¨pr2 − ⃗r(p̈ · ⃗r)
E
r3
r2
18 Natur des Lichts und Wellenoptik
47
in Kugelkoordinaten mit p̂ = cos θ⃗er − sin θ⃗er folgt
¨
⃗p
· (r̂ cos θ − p̂)
r
⃗¨p
= sin θ⃗er
r
sin2 θ 2
⃗ ⃗ ∼ E
S ∼
, S = cε0 E 2
r2
=
=⇒ Strahlungsgleichung des Hertzschen Dipols:
S(r, θ) =
p20 ω 4 sin2 θ
sin2 (ωt − kr)
16π 2 ε0 c3 τ 2
17.8 Elektromagnetisches Spektrum
λ=
ν
ν
ν
ν
= 100 MHz
= 10 GHz
= 1 × 1014 Hz
= 1 × 1015 Hz
c
ν
→
→
→
→
λ ∼ 3m
λ ∼ 3 cm
λ ∼ 3 µm
λ ∼ 300 nm
• Radiowellen
• Mikrowellen
• Infrarotstrahlung
• Licht
• Röntgenstrahlung
• Gammastrahlung
∧
Quantenphysik: Elektromagnetische Strahlung = Photonen γ → Eγ = hν, h: Plancksches Wirkungsquantum
h = 6.626 × 10−34 J s
18 Natur des Lichts und Wellenoptik
Wellencharakter → Interferenz und Beugung, insbesondere zum Beispiel Poissonscher Fleck.
18.1 Beugung und Interferenz
Beugung: Ableitung von Wellen an einem Hindernis.
Inferferenz: Konstruktive und destruktive Überlagerung von Wellen.
Beruht auf: Superposition und Prinzip von Huygens. Prinzip von Hulgens: Jeder Punkt einer Wellenfront ist
Ausgangspunkt einer neuen (Elementar)Welle. Lage der Wellenfront ergibt sich durch Überlagerung (Superposition)
18 Natur des Lichts und Wellenoptik
48
sämtlicher Elementarwellen. Beachte: Elementarwellen haben Kugel-/Kreisform =⇒ auch rücklaufende Welle.
Betrachte Einzelspalt mit Breite a. =⇒ Erste Nullstelle:
λ
a
= sin θ, λ = a sin θ
2
2
Weitere Nullstellen:
a sin θ = mλ, m =∈ N
Intensitätverteilung: Betrachte N → ∞ Schwinger in Einzelspalt von Breite a. Abstand zwischen zwei Schwingern:
d = a/N → 0. Einzelschwingung: Amplitunde A0 . Phasenverschiebung zwischen zwei Schwingern:
δ=
2π
d sin θ
λ
Vorwärtsrichtung: θ = 0° =⇒ A = Amax = N A0 Richtung θ ̸= 0
A1 = A0 cos ωt
A2 = A0 cos(ωt + δ)
A3 = A0 cos(ωt + 2δ)
..
.
Betrachte Kreisbogen, damit
A
1
1
→ A = 2r sin ϕ
∼ ϕ=
2
2r
2
Amax
r = ϕAmax → ϕ =
r
Amax
1
sin ϕ
ϕ
2
1
sin ϕ
A
= 12
Amax
2ϕ
)2
(
sin 12 ϕ
I
A2
=⇒
= 2
=
1
I0
Amax
2ϕ
π
ϕ = N δ = N d sin θ
λ
A=2
=⇒ Intensitätsverteilung für Beugung im Einzelspalt
(
I(θ) = I0
( (
(
) )2
) )2
sin πa
sin πa
λ sin θ
λ sin θ
= I0 ı(θ) = I0
πa
πa
λ sin θ
λ sin θ
Doppelspalt: Zuerst: unendlich dünne Spaltteile, Abstand d
(
)
• Interferenzminima: d sin θ = m + 12 λ, m = 0, 1, . . .
• Interferenzmaxima: d ∼ θ = mλ, m = 0, 1, . . .
18 Natur des Lichts und Wellenoptik
49
• Intensitätsverteilung:
E1 = A0 sin ωt
E2 = A0 ∼ (ωt + δ)
2π
δ=
d sin θ
λ
(
)
1
1
E = E1 + E2 = 2A0 cos δ sin ωt + δ
2
2
mit
(
) (
)
1
1
sin α + sin β = 2 cos (α − β) sin (α + β)
2
2
I ∼ E2
1
I = 4I0 cos2 δ
2
I0 ∼ A20
π
δ = ∼ θd
λ
Jetzt: Doppelspalt mit Spaltbreite a.
( ( ) )2
sin 12 ϕ
1
I = 4I0 cos2 δ
1
2
2ϕ
2π
a sin θ
λ
2π
δ=
d sin θ
λ
ϕ=
Frauenhofer Beugung: Annahmen:
• Abstand L groß gegen Abstand Objekt / Spalt
• Huygensches Prinzip
• Einfallende ebene Welle
• Kohärenz
Definition 18.1 (Kohärenzlänge) Waximale Wellenlägen / Laufzeitunterschiede, die zwei Teilwellen haben
dürfen, um stabil zu interferieren.
Definition 18.2 (Kohärenzzeit) Mittleres Zeitinterwall, in der sich die Phase einer Teilwelle um maximal 2π
ändert.
Fraunhofer Beugung → Erzeugung von Kugelwellen ausgehend von jedem Punk im Objektspalt
E∼
Einzelspalt:
A0 i(kr−ωt) A0 ik(√L2 +x′2 +∆(x)) −iωt
e
∼
e
e
r
r
E(x, t) = A(x)e−iωt
18 Natur des Lichts und Wellenoptik
50
Gangunterschied: ∆(x) = x sin θ = x = x′ /L Phasendifferenz:
δ(x) = k∆(x) =
∫
E(θ, t) ∼
= kx
∞
x′
L
2π
2π x′
∆(x) =
x
λ
λ L
A(x)eiδ(x) e−iωt dr
−∞
∫
iωt
∞
=e
−∞
∞
x′
A(x)eikx L dx
∫
= eiωt
A(x)eiKx dx
K=k
−∞
x′
= k sin θ
L
Frauenhofer-Beugung: Im Fernfeld ist die Winkelverteilung der Amplitude die Fouriertransformation der Amplitudenverteilung
in der Bildebene
∫
−iωt
E(θ, t) ∼ e
A(x)eiKx n
mit K = k sin θ = 2π
λ sin θ
Damit berechne Einzelspalt (Breite a von −a/2 nach a/2):
∫ ∞
A(x)eiKx dx
F (K) =
−∞
∫ a/2
1 [ iKx ]−a/2
e
a/2
raK
−a/2
a
a
( a)
2
2 eiK 2 − e−iK 2
=
sin K
=
Ka
2i (
2
) Ka
sin K a2
F (k) ∼ E(θ, t) ∼
K a2
( (
) )2
θ
sin
sin πa
λ
I(θ) = I0
πa
λ sin θ
=
1
a
eiKx dx =
mit
I ∼ E2, K =
2π
sin θ = k sin θ
λ
Doppelspalt, zentriert um Null, Abstand der Spaltmittelpunkte ist d, Spaltgröße ist a.
( a ) sin(K a )
2
F (K) = 2 cos K
2
K a2
(
)
( a ) sin(K a ) 2
2
I(θ) = 4I0 cos2 K
2
K a2
K = k sin θ
Gitter mit m Spalte:
(
I(θ) ∼
Hauptmaxima: sin θ = n λd
λ
≤ nm
Auflösungsvermögen: ∆λ
=
) )2 ( ( a ) )2
(
sin K 2
sin mK a2
( a)
K a2
sin K 2
2π
sin θ
λ
18 Natur des Lichts und Wellenoptik
51
18.2 Reflexion und Brechung
Reflexion: Einfallswinkel = Ausfallswinkel, Beobachtung! Ergibt sich aus Huygenschem Prinzip. Einfallende
Wellenfromnt AP trifft reflektierende Oberfläche zuerst im Punkt A. Die von dort ausgehende Gugelwelle
bildet zusammen mit den von A′ und A′′ ausgehenden Wellen zum Zeitpunkt t die Wellenfront der reflektirten
Welle BQ. ABP und ABQ kongruentn → θr = θi . Brechung: Lichtlaufzeiten mi Medium größer, Verringerung
der Lichtgeschwindigkeit in Materie.
c= √
1
c0
n0
=√ =
εµε0 µ0
εµ
n
n: Brechzahl. Damit verändert sich im Medium auch die Wellenlänge, da die Atome das Licht mit gleicher
Frequenz absorbieren und abstrahlen. Es gilt:
2π
ω
=
, ω = 2πν =⇒ c = νλ
c
λ
Das heißt für c ↓ =⇒ λ ↓ für ν = const.. Wellenlänge nimmt ebenfalls ab! Brechungsgesetz mit Huygeschen
Prinzip: Die einfallende Wellenfront AP trifft die Grenzfläche zuerst im Punkt A. Die von dort ausgehende
Kugelwelle breitet sich im Medium 2 mit c2 < c1 aus und trifft im Punkt Q ein, wenn die einlaufende Wellenfront
Punkt B erreicht. Die neue Wellenfront BQ verläuft demnach nicht parallel zu AP und man erhält:
k=
c1 t
AB
c2 t
sin θ2 =
AB
c1
sin θ1
n2
=⇒
=
=
c2
sin θ2
n1
sin θ1 =
mit ci = c/ni . Gesetz von Snellius:
n1 sin θ1 = n2 sin θ2
Totalreflexion =⇒ Übergang vom Licht von einem optisch dichteren in optisch dünneres Medium. Kritischer
Winkel:
n1
sin θk =
, n1 < n2
n2
18.3 Fermatsches Prinzip
Der Weg, den das Licht beschreibt wenn es sich von einem Punkt zu einem anderen bewegt ist stets so, dass
die Zeit, die das Licht für das Zurücklegen des Weges braucht, ein (lokales) Minimum aufweist. Licht wählt den
kürzesten optischen Weg: s′ = ns.
Reflexion: =⇒ Spiegelung ist Minimum =⇒ Einfallswinkel = Ausfallswinkel.
Brechung:
l2
n1 l1 n2 l2
l1
+
=
t=
+
c1 c2
c
c
Minimum:
(
)
∂l1
dl2
dt
1
n1
=
+ n2
dx
c
∂x
dx
mit l12 = a2 + x2 , l2 = b2 + (d − x)2
dl1
1
x
=
2x =
dx
2l1
l1
n1
dl2
d−x
=
dx
l2
x
d−x
x
d−x
−
=0
sin θ1 = , sin θ2 =
l1
l2
l1
l2
=⇒ n1 sin θ1 = n2 sin θ2
18 Natur des Lichts und Wellenoptik
52
18.4 Polarisation und Fresnelsche Formeln
Elekromagnetische Wellen sind transversal, das heißt Schwingungsebene steht senkricht auf der Ausbreitungsrichtung.
Möglichkeit der Polarisation::
• linear polarisierte EM-Welle
• zirkular / elliptische polarisierte EM-Welle
Erzeugung von Polarisation: Apsorption, Streuung, Reflexion und Doppelbrechung.
Polarisation durch Absorption: Polarisation durch die Absorption einer Schwingungsrichtung mit Hilfe dichromatischer
Kristalle oder polarisierender Folie aus langkettigen, ausgerichteten Kohlenwasserstoffmolekülen. (Absorption
des E-Felder entlang der Moleküle). Gesatz von Malus (Intensität von polarisiertem Licht nach einem weiterem
Polarisationsfilter):
I = I0 cos2 θ
Polarisation durch Streuung. Streuung: Absorption + Wiederabstrahlung. Elektromagnetische Wellen:
• Rayleich-Streuung (Himmelblau, ω 4 )
• Ramen-Streuung
• Mie-Streuung
Gestreutes Licht ist je nach Streurichtung unterschiedlich polarisiert, Ausbildung eines Winkelabhängigen Polarisationsmusters.
(zum Beispiel Polarisationsmuster am Himmel wird von Bienen zur Orientierung genutzt).
Polarisation durch Reflexion: Reflexion beziehungsweise Transmission an dielektrischer Grenzfläche
• transmittierter und reflektierter Strahl sind (teilweise) polarisiert, Polarisationsgrad abhängig vom Einfallswinkel
α.
• Für α = θBr , θBr : Brewsterwinkel. Vollständige Polarisation des reflektierten Strahls in Richtung senkrecht
zur Einfallsebene.
Fresnelsche Formeln:
Reflexion des senkrecht zur Einfallsrichtung polarisierten Strahls
(
)
sin(α − β) 2
R⊥ (α, β) =
α+β
Reflexion des parallel zur Einfallsrichtung polarisierten Strahls
(
)
tan(α − β) 2
R∥ (α, β) =
tan(α + β)
Transmission des senkrecht zur Einfallsrichtung polarisierten Strahls
)
(
2 sin β cos α 2
T⊥ (α, β) =
sin(α + β)
Transmission des parallel zur Einfallsrichtung polarisierten Strahls
(
)2
2 sin β cos α
T∥ (α, β) =
sin(α + β) cos(α − β)
R⊥ + T⊥ = 1
R∥ + T∥ = 1
18 Natur des Lichts und Wellenoptik
53
Bemerkung 18.3 Herleitung der Fresnelschen Formeln mit Hilfe der Maxwellschen Gleichungen beziehungsweise
den aus diesen folgenden Stätigkeitsbedingungen für das E- und das D-Feld an Grenzflächen sowie dem Brechungsgesetz
unter Beachtung der Energieerhaltung der Lichtströme an der Grenzfläche (siehe Demtröder).
Aus de Fresnel-Formeln folgt: R∥ = 0 für α + β = 90°, das heißt der Brewsterwinkel θBr ist der Winkel, bei
dem reflektierter und gebrochener Strahl senkrecht aufeinander stehen. Es folgt:
n1 sin θBr = n2 sin θ2 = n2 sin(90° − θBr ) = n2 cos θBr
=⇒ Gesetz von Brewster:
n2
n1
Qualitative, anschauliche Erklärung für das Gesetz von Brewster: Sei das E-Feld in der Einfallsebene, also parallel
(∥) polarisiert. Dann schwingen auch die von ihm erzeugten atomaren Dipole ⃗p in dieser Ebene. Die (kohärente)
Abstrahlung dieser Dipole ist aber für das Zustandekommen der reflektierten Welle verantwortlich. Ist α = θBr
beziehungsweise α + β = 90° so zeigen die Dipole in Richtung des reflektierten Strahlt; ein Dipol emittiert aber
nicht in diese Richtung. Für α = θBr (Brewsterwinkel) =⇒ vollständige Polarisation des reflektierten Strahls.
Für α, β → 0 gilt sin α ≈ α, sin β ≈ β und α/β ≈ n2 /n1 . Damit lässt sich der Reflexionsgrad bei senkrechten
Einfall herleiten:
(
)
n2 − n1 2
R∥ = R⊥ =
n2 + n1
das heißt der Reflexionsgrad ist für beide Komponenten gleich, wie man es aus Symmetriegründen auch erwartet.
tan θBr =
Bemerkung 18.4 Aufgrund der (teilweisen) Polarisation von reflektiertem Licht schützen Sonnebrillen mit
Gläsern aus polarisierendem Material besonders gut vor zu grellem Licht. Zum Beispiel Reflektion an Wasseroberfläche
→ horizontale Polarisation, das heißt Sonnenbrillen haben vertikale Transmissionsachse.
Polarisation durch Doppelbrechung.
Wichtiger Effekt. Auftreten in optischen anisotropen Materialien (zum Beispiel Kalkspat CaCO3), das heißt
Materialien bei denen sich das Licht in verschiedenen Richtungenn mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten
ausbreitet. Lichtgeschwindigkeit im Medium cmed abhängig von
• Polarisation
• Ausbreitungsrichtung
=⇒ Phänomen der Doppelbrechung. Ausgezeichnete optische Achse.
• Parallel zur optischen Achse
=⇒ cmed = c/n0
n0 : normaler Brechungsindex
• Senkrecht zur optischen Achse ⊥ Polarisation =⇒ c0 = c/n0
∥ =⇒ cao = c/nao
mit c0 ̸= cao
ordentliches Verhalten
außerordentliches Verhalten
=⇒ 3 Fälle:
1. Lichteinfall parallel zur optischen Achse. =⇒ normale Lichtausbreitung beider Polarisationsrichtung
2. Lichteinfall senkrecht zur optischen Achse. Unterschiedlich polarisierte Teilstrahlen breiten sich mit unterschiedlicher
Geschwindigkeit aus ( =⇒ Phasenverschiebung)
3. Lichteinfall unter einem von Null verschiedenen Winkel. =⇒ Aufspaltung des einfallenden Lichtes in
ordentlichen und außerordentlichen Strahl
Doppelbrechende Kristalle erlauben Erzeugung definieter Gangunterschiede (λ/4, λ/2 -Plättchen) (Einfall senkrecht
zur optischen Achse)
19 Optische Abbildungen
54
18.5 Dispersion und Prismenwirkung
Dispersion: Abhängigkeit der Ausbreitungsgeschwindigkeit von der Wellenzahl k beziehungsweise der Wellenlänge
λ. Snellius: n1 sin θ1 = n2 sin θ2 . → Aufspaltung des Lichts in Farben bei Brechung an Grenzfläche (zum
Beispiel Prisma). (Wichtige Anwendung: Prismenspektrograh).
19 Optische Abbildungen
Sehr breites Thema mit einer Fülle von Instrumenten. Zum Beispiel moderne bildgebende Methoden wie Hologromme,
Ultraschall, Temographie. Hier nur einige Grundprinzipien.
19.1 Dünne Linsen, Linsengleichung
das heißt: Linsendicke vernachlässigbar, schwahce Krümmung, alle Lichtbündel achsennah, kleine Öffnungswinkel,
sin α ≈ tan α ≈ α.
Linsenwirkung beruht auf Brechung an gekrümmten Grenzflächen zwischen optische dichteren und optisch
dünneren Medien. Fokussierend und Defokussierend. Wichtige Begrifflichkeiten
• Optische Achse
• Brennpunkt
• Brennweite f
• Brennebene
• Gegenstand
• Bildpunkt, virtuelles Bild
Linsengleichung: Betrachte dünne Linse, d vernachlässigbar. Es gilt:
sin α
α
= =n
sin β
β
sin δ
δ
= =n
sin γ
σ
(Snellius)
Außerdem:
α=ε+ξ
δ =η+κ
β+γ =η+ξ
α
δ
=⇒
+ =η+ξ
n n
Einsetzen von α und δ liefert:
1
(ε + ξ + η + κ) = η + ξ
( n
)
1 1
1
1
1
1
1
=⇒
+
+
=
+
+
n g r1 r2
b
r1 r2
)
(
1 1
1
1
=⇒
+
+ = (n − 1)
g
b
r1 r2
|
{z
}
f
1 1
1
=⇒
+ =
g
b
f
(Linsengleichung)
19 Optische Abbildungen
55
mit
f=
r1 r2
(n − 1)(r1 + r2 )
(Brennweite)
Diese Gleichung lässt sich mit einiger Mühe auch für achsennahe Gegenstans- und Bildpunkte herleiten →
Existenz Bildebene. Damit folgt dann auch:
B
b
=
G
g
Ähnliche Abbildung. Folgt mit Hilfe des Strahlensatzes.
Bemerkung 19.1 Linsengleichung gilt auch für sphärische Spigel, hier ligen dann Bild und Gegenstand auf der
gleichen Seite
19.2 Einfache Anwendung des Linsegesetzes
Bekannt: Brennfunkte F1 , F2 im Abstand f . Geometrische Konstruktion:
• Parallelstrahl → Brennstrahl
• Zentralstrahl → Zentralstrahl
• Brennstral → Parallelstrahl
Für g ≥ f : reelles Bild.
Für g < f : virtuelles Bild.
Virtuelles Bild kann nicht direkt auf Schirm dargestellt werden. Aber: Virtuelles Bild kann von Auge (= 2. Linse)
sehr wohl auf die Netzhaut als reelles Bild fokussiert werden. Bildrekunstruktion für zwei Linsen mit virtuellem
Zwischenbild. (hier konkave und konvexe Linse)
1. Rekonstruktion des virtuellen Bildes für (konkave) Linse 1 (Hautebene H).
2. Rekonstruktion des reellen Bildes mit Hilfe des virtuellen Bildes als Gegenstand und (konvexer) Linse 2
(Hauptebene H ′ )
19.3 Dicke Linsen
Dicke der Linse nicht vernachlässigbar, das heißt d ≈ r1 , r2 (r1 , r2 : Krümmugsradius). Gültigkeit des Linsengesetzes
bleibt bestehen, wenn dicke Linse als ein (Linsen) System mit zwei Hauptebenen betrachtet wird. Auch dann gilt:
1
1 1
= +
f
g
b
mit f = f (r1 , r2 , n, d), H1 = H1 (r2 , f, d), H2 = H2 (r1 , f, d). Bildrekonstruktion mittels fiktiver Strahlen,
die nur an den jeweiligen Hauptebenen gebrochen werden.
19.4 Linsenfehler
• Sphärische Aberration. Von optischer Achse weiter entfernte Strahlen werden stärker gebrochen; Abhilfe:
asphärische Linsen.
• Chromatische Aberation. Unterschiedliche Fokussierung aufgrund der Dispersion. Abhilfe: achromatische
Linsen
• Astigmatissmus. Schärfefehler für schräg einfallende Strahlenbündel
20 Spezielle Relativitätstheorie
56
19.5 Optische Instrumente
• Mikroskop
• Spektrograph
• Auge
• Fernrohr
• Interferometer
20 Spezielle Relativitätstheorie
In Intertialsystemen gelten die Newtonschen Gesetze. Klassisches Relativitätsprinzip: Alle relativ zu einem Intertialsystem
gleichförmig bewegten Bezugssysteme sind ebenfalls Inertialsysteme und im Rahmen der Newtonschen Mechanik
gleichwertig. =⇒ Galilei Transformationen
x′ = x − ut
y′ = y
z′ = z
t = t′
=⇒ ∆x′ = ∆x
∆y ′ = ∆y
∆z ′ = ∆z
∆t′ = ∆t
dx′
dx
d
=
− (ut)
dt′
dt
dt
v′ = v − u
Raum und Zeil sind absolut. Es gibt keine absoluten Geschwindigkeiten.