Übung (1)

Übung (1)
1. Die Mengen A, B, C ⊂ Ω seien Ereignisse über Ω im Rahmen eines Wahrscheinlichkeitsraums. Im Folgenden
werden mittels A, B, C zusammengesetzten Ereignisse als Aussagen formuliert (wobei man sich A, B, C ebenfalls
als Aussagen formuliert denken sollte). Stellen Sie die formulierten Ereignisse als Mengenausdrücke in A, B, C
unter Benutzung der Mengenoperationen ∪, ∩, dar - es ist Ihre Sache, die Aussagen einfacher zu formulieren,
wenn das möglich ist:
(a) Das Ereignis ’A oder B’ tritt nicht ein,
(b) ’A tritt nicht ein, oder B tritt nicht ein’, (vergleichen Sie mit a (!)),
(c) ’A und weder B noch C’,
(d) ’A und mindestens eines von B, C’, auch hier mit Klammer verdeutlicht: A und (mindestens eines von B,C)
(e) ’Wenn eines der drei Ereignisse eintritt, dann nicht beide anderen’.
2. Zufallsexperiment: 3 mal wird mit einem gewöhnlichen symmetrischen Würfel gewürfelt.
(a) Geben Sie eine geeignete Ergebnismenge Ω an, so dass (Ω, P (Ω) , P ) ein zum Experiment passender Laplaceraum ist. Geben Sie außerdem |Ω| an.
(b) Welche Wahrscheinlichkeit haben Sie dafür, den Ausgang einer Durchführung des Experiments richtig vorherzusagen?
(c) Schreiben Sie folgende verbal formulierten Ereignisse (alle Formulierungen beziehen sich auf alle drei Würfe
!) als Teilmengen von Ω auf (tun Sie das jeweils aufzählend oder mit Beschreibung der Menge durch eine
Bedingung, je nach dem, wie es besser geht), und berechnen sie dann deren Wahrscheinlichkeiten jeweils
direkt über die für Laplaceräume gültige Formel:
i.
ii.
iii.
iv.
A : ’Es wird keine Sechs gewürfelt’,
B : ’Es wird mindestens eine Sechs gewürfelt’,
C : ’Es wird keine Sechs und keine Fünf gewürfelt’,
D : ’Die Augensumme ist mindestens 17’.
(d) Berechnen Sie über Formelnutzung bzw. über die Axiome
der Wahrscheinlichkeitsrechnung bzw. über Mengenalgebra (geben Sie jeweils an, was Sie benutzen): P D , P (B ∩ C) , P (B ∪ C) , P (B ∩ D) , P (B ∪ D) .
3. Zufallsexperiment: Es wird zufällig ein Wort mit vier Buchstaben über dem Alphabet mit nur den Buchstaben
a, b, c, d, e gebildet.
(a) Geben Sie Ω passend an und dazu auch |Ω| .
(b) Betrachten Sie folgende Ereignisse, die Sie wieder als Teilmengen von Ω aufschreiben sollten, und berechnen
Sie deren Wahrscheinlichkeiten:
i. A : ’Es kommt ein Wort ohne Buchstabenwiederholung heraus’ (also mit vier verschiedenen Buchstaben),
ii. B : ’Es kommt ein Wort heraus mit vier paarweise verschiedenen Buchstaben, in alphabetischer Reihenfolge’,
iii. C : ’Es kommt ein Wort heraus, in dem einer der Buchstaben genau drei mal vorkommt’,
iv. D : ’Es kommt ein Wort heraus mit zwei verschiedenen Buchstaben, die jeweils unmittelbar unmittelbar
wiederholt werden’,
v. E : ’Es kommt ein Wort heraus, in dem genau zwei Buchstaben vorkommen’ (also an beliebigen Stellen).
(c) Wir bleiben bei den Wörtern aus vier Buchstaben - schaffen Sie b (i) , (ii) auch dann noch, wenn das
Alphabet aus 26 Buchstaben besteht? Versuchen Sie es!
(d) ∗ ) Wie müsste die Länge der Wörter (alle seien gleich lang) minimal sein, damit man 250000 Wörter (eine
für eine Sprache typische Zahl) über einem Alphabet mit 26 Buchstaben bilden könnte? Warum wäre eine
so gebildete Sprache menschlich nicht zu handhaben?
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4. ∗ ) Sie setzen sich zum Ziel, die Menge N0 aller natürlichen Zahlen 0, 1, 2, ... als Menge möglicher Ausgänge eines
Zufallsexperiments zu einem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, S, P ) zu machen. Dabei sollen alle {n}, n ∈ N0 , in S
sein. Ferner soll es sich um einen Laplaceraum handeln. Warum müssen Sie scheitern? (Hinweis: Sehen Sie, dass
diese Forderungen sich nicht mit den Axiomen für einen Wahrscheinlichkeitsraum vertragen.)
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