Lösungen der Propädeutikumsaufgaben, Teil I

Lösungen der Propädeutikumsaufgaben, Teil I
Aufgabe 1 ....................................................
x: unabhängige Variable oder Argument
y: abhängige Variable
Definitionsbereich: Menge aller reellen Zahlen
Wertebereich: Menge aller positiven reellen Zahlen
Aufgabe 2 ....................................................
A, B und C sind Funktionen im Sinne der Eindeutigkeit der
Abbildung y(x).
Aufgabe 3 ....................................................
a)
y = -x+2
b)
c)
d)
y = x-2
3
3
x+
y =
4
4
y =
2
5
x3
3
Aufgabe 4 ....................................................
y
4
B
A: a = 0,2, x0 = -15, S(0;3)
B: a = -3, x0 = -1, S(0;-3)
C: a =
A
3
2
1
1
, x0 = -1, S(0;
)
2
2
C
1
(x0: Nullstellen)
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
x
-1
-2
-3
-4
Aufgabe 5 ....................................................
y
Zweipunktformel mit Punkten
P1(x1;y1) und P2(x2;y2):
4
y 2 − y1
y =
(x-x1)+y1
x 2 − x1
2
3
6 −1
y =
(x-2) + 1 = 2,5·x - 4
4−2
a = 2,5,
b = -4
1
-4
-3
-2
-1
0
-1
-2
Schnittpunkte:
-3
mit der x-Achse: N(1,6; 0)
-4
mit der y-Achse: S(0;-4)
1
1
2
3
4
x
Aufgabe 6 ....................................................
y
8
7
6
∆s 1m
m
v =
=
= 0.5
∆t
2s
s
5
4
3
2
1
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Aufgabe 7 ....................................................
v =
∆s
= 0.5 m/s
∆t
Aufgabe 8 ....................................................
R =
∆U
1V
=
= 0.5 kΩ
∆I
2mA
Aufgabe 9 ....................................................
y
1,0
0,5
0
1
2
3
4
5
x
Aufgabe 10 ...................................................
F = c·x, c =
∆F
= 10 N/cm = 1 kN/m
∆x
Aufgabe 11 ..................................................B
Aufgabe 12 ...................................................
a =
∆v
= 1 m/s²
∆t
2
x
Aufgabe 13 ...................................................
y
14
− 14m / s
m
∆v
a =
=
= -0,35
40s
s²
∆t
12
10
8
6
4
2
x
Aufgabe 14 ...................................................
0
10
20
30
40
a: um x = +2 verschoben: y = (x - 2)² = x² - 4x + 4, SP(+2;0)
b: um y = +2 verschoben: y = x² + 2, SP(0;+2)
Aufgabe 15 ...................................................
y
y =
=
=
=
=
x01 =
8
-2x² + 4x + 6
-2(x²-2x) + 6
-2(x²-2x+1-1) + 6
-2((x-1)² -1) + 6
-2(x-1)² + 8 ; SP(1;8)
-1, x02 = 3, S(0;6)
6
4
2
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
x
8
-2
-4
-6
-8
Aufgabe 16 ...................................................
1
m
s =
at² = 1
·t²
2
s²
m
m
s/m
v = a·t = 2
·30 s = 60
s²
s
900
t/s
0
5
10
15
20
25
30
s/m
0
25
100
225
400
625
900
600
300
0
3
10
20
30
x
Aufgabe 17 ...................................................
Es gibt keine Nullstellen, Polstelle ist bei xP = -1.
Asymptoten sind x-Achse und x=-1.
y
4
x
y
-3,0 -0,50
-2,0 -1,00
-1,5 -2,00
-1,0 Pol
-0,5 2,00
0,0 1,00
1,0 0,50
2,0 0,33
3,0 0,25
3
2
1
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
x
4
-1
-2
-3
-4
Aufgabe 18 ...................................................
A:
B:
C:
D:
0,017
2,09
0,79
7,19
Aufgabe 19 ...................................................
A:
B:
C:
D:
E:
5,73°
102,6°
12,6°
130°
180°
Aufgabe 20 ...................................................
A: xP = 4
B: xP = 3π
y
2
0
-2
π/ 2
π
2
2π
4
6
2
4
3π
8
4π
10
12
x
Aufgabe 21 ...................................................
a)
y = 1,5·sin(
b)
y = sin(πx)
x π
+
)
3 3
xp=6π
| P=2 π/k
xp=2
Aufgabe 22 ...................................................
A: xP = 2
B: xP = 4π
1
2
C: xP =
Aufgabe 23 ...................................................
y = 2·sin(2x)
Aufgabe 24 ...................................................
y
2
0,5
0
π/ 2
-0,5
π
2π
ϕ
2
Aufgabe 25 ...................................................
A = 3V, f =
1
1
=
= 40 Hz
T
25ms
Aufgabe 26 ...................................................
A: AI = 2V, AII = 2V
B: fI =
1
1
= 25 Hz, fII =
= 25 Hz
40ms
40ms
C: ∆t = 10 ms
D: ∆φ = 90° =
π
2
5
Aufgabe 27 ...................................................
f =
1
1
Herzschläge
=
= 1 Hz = 60
T
1s
Minute
Aufgabe 28 ...................................................
1)
2)
a
c) 1/an
b)
f) 107
g) 1/55 =
a) 2
b)
91
f)
3)
n
a) 3
a) 3
f) (2)
4
2
d) 1
1
3125
c)
1
e)
x5
h) 1
10
10
d)
10
e
e) 1
g) 8
h) 4
b) –2
c) 200
d) 10
e) 0,06
100
4)
a) e
f) 4
b) 57
c) e4
d) 1
e) e³
5)
a) 5x
b) x
c) –x
d) 2x²
e) lg
6)
a) lg a + lg b
b) ln a + ln b
n
a
c) 5 lg x
d) x-2
Aufgabe 29 ...................................................
A: lg y = x+2
B: ln y =
1
x
C: lg y = 4x
Aufgabe 30 ...................................................
y
x
2x
x
22x
-3
-2
-1
0
1
2
3
0,125
0,25
0,5
1
2
4
8
-3
-2
-1
0
1
2
3
0,016
0,062
0,25
1
4
16
64
22x
9
8
2x
7
6
5
4
3
2
1
0
-3
6
-2
-1
1
2
3
4
5
x
Aufgabe 31 ...................................................
A = 10, th = 2s
Aufgabe 32 ...................................................
Die Normalparabel geht durch den Koordinatenursprung; der Graph
der Exponentialfunktion schneidet die y-Achse; die Hyperbel ist
bei x = 0 nicht definiert und schneidet keine Achse.
1 ist Parabel, 2 ist Exponentialfunktion, 3 ist Hyperbel.
Aufgabe 33 ...................................................
t1/2 = 3 min
Aufgabe 34 ...................................................
d1/2 = 4 cm
7
Lösungen der Propädeutikumsaufgaben
a) Grundbegriffe
1C, 2A, 3D, 4B, 5B
b) Fehlerrechnung
1: B
2: C
3: Keine groben Fehler, kleine Schwankungsbreite
4: grobe, systematische, zufällige
5: gar nicht
6: grob
7: nein
8: Ungenauigkeit der Schätzung, Genauigkeit Messinstrument
9: nein
10: 4,5%
11: 3, 3 · 10−7 %
12: (5 ± 4) kg , 80%
13:
∆F
F
= 4, 8 %
14: 1,5%
15: 0,25%
16: 9, 3 · 10−4 %
17: 10−3 %
18: 7,8 µm
19: 2,5%
20: 0,3%
21: ∆P = 100 W
22: 1,5%
23: 7%
24: 5%
25: v = 1, 28
m
s
∆v = 0, 01 m
s
1
26: V = 0, 1398 m3
27: ̺ = 8, 01 g/cm3
∆̺ = 0, 04 g/cm3
∆V
V
∆̺
̺
= 0, 6%
∆V = 0, 8 · 10−3 m3
= 0, 5 · 10−2 = 0, 5%
c) Vektorrechnung
1a: ~a ↑↑ ~b
1b: ~a ↓↑ ~b
1c: ~a ⊥ ~b
1d: ~a ↑↑ ~b
1e: ~a ⊥ ~b
√
2: ~a + ~b = (1; 2; 2, 5) → |~a + ~b| = 1 + 4 + 6, 25 = 3, 35
√
~a − ~b = (−1; 0; 1, 5) → |~a − ~b| = 1 + 0 + 2, 25 = 1, 80
3: F~ = (6, 5, 5)N
d) Differentiation
1a) 6x2
1
2b) √
3
3 x2
2
1c) − 3
x
2(4 + x) − 2x
8
2d)
=
(4 + x)2
(4 + x)2
1e) 6x(x2 + 2)2
1
2f) 4x3 − 2
x
x
1g) √
1 + x2
1h) −18 sin(6x)
2i) 8π cos(2πx)
1j) A(−e−x sin(2πx) + e−x · 2π cos(2πx))
1
2k)
x+1
1l) cos2 x + (− sin2 x) = cos2 x − sin2 x
2m) 2x cos x2
2
1n) 12x(3x2 + 2)
2o) y = a · sin(bx + c) ⇒ y ′ = a · b cos(bx + c)
1p) 6x2 · e2x
3 −4
3.: s(t) = at2 − bt ⇒ v(t) = 2at − b
v(3s) = 10 ms
3
Lösungen
zu den Aufgaben zur Elektrizitätslehre
1C, 2D, 3A, 4C, 5C, 6C, 7B, 8C, 9C, 10D, 11A, 12B, 13E, 14D,
15E, 16C, 17C, 18B, 19D, 20E, 21C, 22B, 23C, 24B, 25B, 26C,
27D, 28B, 29C,30B, 31D