Arbeitsauftrag - Fundamentalsatz der Algebra

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Berufliche Oberschule Rosenheim
Michael Schmid
2015/16
Mathematik
Komplexe Zahlen
Arbeitsauftrag - Fundamentalsatz der Algebra
Die folgenden Aufgaben bereiten für ein tieferes Verständnis in eine der zentralen Aussagen im Bereich
der komplexen Zahlen, dem sogenannten Fundamentalsatz der Algebra (Carl Friedrich Gauß - 1799),
vor.
Wir betrachten (als hinführendes Beispiel) die quadratische Funktion
f : C → C, z 7→ f (z) = z 2 − i · z + 2.
1)
Berechnen Sie zunächst die Funktionswerte
w1 = f (0)
und
w2 = f (1 + i)
und
w3 = f (2i)
und
w4 = f 2i .
Klären/bearbeiten Sie anschließend folgende Fragen/Aufgaben:
i) Aus welcher (größtmöglichen) Zahlenmenge kann die Funktion f z -Eingabewerte “verarbeiten”?
ii) In welcher Zahlenmenge liegen die entsprechenden Ergebniswerte w = f (z)?
iii) Wie lauten die Koeffizienten des Polynoms f (z)?
6 0?
iv) Liegt ein Widerspruch in dem Verhalten von f , dass f (2i) = 0 aber f 2i =
v) Bestimmen Sie mit Hilfe einer geeigneten Polynomdivision die zweite Nullstelle von f und überprüfen
Sie Ihr Ergebnis durch Einsetzen.
Für die weiteren Betrachtungen führen wir nun eine spezielle Hilfsfunktion
γr : [0, 1] → C, x 7→ γr (x ) = r · e i·2πx
ein, wobei der Parameter r aus [0, +∞[ gewählt werden kann.
2)
Skizzieren Sie die Funktionswerte
γ4 (0), γ4 (0.1), γ4 (0.2), γ4 (0.3), . . . , γ4 (0.9) und γ4 (1)
in ein Koordinatensystem (Gaußsche Zahlenebene).
Auf welche Figur wird das (gesamte) reelle Intervall [0, 1] durch die Funktion γ4 in C abgebildet?
3)
Weisen Sie nach dass
f γr (x ) = r 2 e i·4πx − i · r e i·2πx + 2
entspricht und damit folgt, dass
Re f γr (x ) = r 2 cos(4πx ) + r sin(2πx ) + 2
und
Im f γr (x ) = r 2 sin(4πx ) − r cos(2πx )
gilt. Hinweis: Verwenden Sie e iϕ = cos(ϕ) + i · sin(ϕ) für die Herleitung der letzten beiden Gleichungen.
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Michael Schmid
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Mathematik
Komplexe Zahlen
4) - am besten in einer Zweiergruppe mit zwei Wertetabellen-fähigen Taschenrechnern :-)
Vervollständigen Sie mit Hilfe von Aufgabe 3 die nachfolgende Tabelle (eine Nachkommastelle genügt).
Re f γ4 (x )
Im f γ4 (x )
Re f γ0.5 (x )
Im f γ0.5 (x )
x
0.00
0.10
0.20
0.30
0.40
0.50
0.60
0.70
0.80
0.90
1.00
5) Die obigen Spalten 2 und 3 repräsentieren das Verhalten von f beim Abbilden eines Ursprungskreises
mit Radius 4. Tragen Sie diese f(z)-Werte (Spalte 2 ↔ x und 3 ↔ y) in das folgende Koordinatensystem
ein und verbinden Sie die entstehende Punktefolge der Reihe nach durch entsprechende Kurvenstücke.
Gehen Sie anschließend in einer anderen Farbe analog für die Spalten 4 und 5 vor, welche das Abbild
eines Ursprungskreises mit Radius 0.5 durch die Funktion f repräsentieren.
iR
C
20
15
10
5
R
−20
−15
−10
5
−5
10
15
20
−5
−10
−15
−20
Was passiert wenn man den Ursprungskreises mit Radius 4 langsam kleiner “zieht”?
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