Aufgabe 1 (6 Punkte) - WWW-Docs for B-TU
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Technische Mechanik & Fahrzeugmechanik Prof. Dr.–Ing. habil. Hon. Prof. (NUST) D. Bestle TM III 18. März 2016 Aufgabe 1 (6 Punkte) Ein System besteht aus einem starren Balken, zwei Massenpunkten, zwei Federn und einem masselosen Seil. Dieses soll hinsichtlich seiner Bewegungsmöglichkeiten untersucht werden. Prüfungsklausur Technische Mechanik III Name, Vorname Matrikel–Nr. Studiengang 1. Die Prüfung umfasst 6 Aufgaben auf 6 Blättern. 2. Nur vorgelegte Fragen beantworten, keine Zwischenrechnungen eintragen. 3. Alle Ergebnisse sind grundsätzlich in den gegebenen Größen auszudrücken. 4. Die Blätter der Prüfung dürfen nicht getrennt werden. 5. Zugelassene Hilfsmittel sind Fachliteratur, eigene Aufzeichnungen, Taschenrechner. Mobiltelefone müssen ausgeschaltet sein! 6. Die Bearbeitungszeit beträgt 90 Minuten. 7. Unterschreiben Sie bitte erst beim Eintragen Ihres Namens in die Sitzliste. a) Zunächst wird das System als ebenes System betrachtet. Welchen Freiheitsgrad hat es dann? f2D = ........................................................... Unterschrift b) Zeichnen Sie in obige Skizze geeignete Koordinaten zur Beschreibung der ebenen Bewegung ein und bezeichnen Sie diese. c) Welchen Freiheitsgrad hat das System im räumlichen Fall (Drehung des Balkens um seine Längsachse wird vernachlässigt)? Punkte Gesamtpunktzahl: zum Bestehen erforderlich: 72 36 Note f3D = Aufgabe 2 (23 Punkte) Eine homogene Kiste (Masse m1 ) gleitet reibungsfrei auf einer schiefen Ebene (Neigungswinkel α ) und ist über ein masseloses Seil, welches über zwei ebenfalls masselose Rollen geführt wird, mit einem Gewicht (Masse m2 ) verbunden. Die Kiste ist mit einer Feder (Federsteifigkeit c) abgespannt, die für u = w = 0 entspannt ist. Hinweis: die Aufgabe kann auch mit Teilaufgabe f) begonnen werden. c) Welche kinematischen Beziehungen gelten für u und w sowie die virtuellen Verrückungen δ u und δ w? u= w, δu = δw d) Aus dem Prinzip von d’Alembert erhält man die Beziehung (m1 ü + cu + m1 g sin α ) δ u + (m2 ẅ − m2 g) δ w = 0 . Formulieren Sie mit Hilfe der kinematischen Beziehungen diese Gleichung in Abhängigkeit von w. ẅ + w+ δw = 0 e) Welche Bewegungsgleichung folgt daraus für das System? a) Zeichnen Sie alle eingeprägten Kräfte ein und geben Sie deren Betrag als Funktion der verallgemeinerten Koordinaten an. f) Alternativ kann man die Bewegungsgleichung auch mit Hilfe der Lagrange’schen Gleichungen 2. Art ermitteln. Geben Sie dazu die kinetische Energie des Systems an. T (u̇, ẇ) = g) Wie groß ist die potentielle Energie des Systems? b) Geben Sie die eingeprägten Kräfte, die Schwerpunktsbeschleunigungen und die virtuellen Verrückungen δ u und δ w im Koordinatensystem an. U(u, w) = h) Wie lautet die Lagrange–Funktion in Abhängigkeit von w und ẇ? F e1 = F e2 = , a = 1 , a 2 = , δ r = 1 , δ r 2 = L(w, ẇ)= i) Bilden Sie folgende Ableitungen: ∂L = ∂ ẇ ∂L = ∂w , d dt ∂L ∂ ẇ = Aufgabe 3 (11 Punkte) Eine Saite (Länge l , Durchmesser d , Dichte ρ ) ist links vertikal und rechts horizontal verschieblich gelagert. Die Vorspannung beträgt S. a) Durch welche Differentialgleichung wird die schwingende Saite beschrieben? ẅ = c2 w′′ , ẅ + sin ω l = 0 ω sin l = 0 c 1 − cos ω l cosh ω l = 0 , c) Durch einen Produktansatz w(x,t) = W (x)y(t) gelangt man zu einer Trennung der Variablen. Welche Randbedingungen muss die Ortsfunktion im vorliegenden Fall erfüllen? )= , W ′( )= d) Der Lösungsansatz für die Ortsfunktion lautet W (x) = C cos Bilden Sie die Ableitung W ′ (x). ω ω x+D sin x. c c W ′ (x) = e) Welches lineare Gleichungssystem ergibt sich aus den Randbedingungen in Teilaufgabe c)? D= , h) Welche Eigenformen folgen damit aus dem Lösungsansatz für die Ortsfunktion? c= b) Welche Randbedingungen muss die Lösung w(x,t) der Differentialgleichung erfüllen? W( cos ω l = 0 ω cos l = 0 c 1 + cos ω l cosh ω l = 0 g) Welche nichttriviale Lösung ergibt sich dann aus dem Gleichungssystem für ω 6= 0? C= c= EI IV w = 0, ρA f) Welche Gleichung muss erfüllt sein, damit dieses Gleichungssystem für ω 6= 0 nichttriviale Lösungen besitzt? C D =0 2k − 1 π x Wk (x) = Ck sin 2 l kπ x Wk (x) = Ck sin 2l 2k − 1 π x Wk (x) = Ck cos 2 l kπ x Wk (x) = Ck cos 2l k = 1, 2, . . . k = 1, 2, . . . k = 1, 2, . . . k = 1, 2, . . . Aufgabe 4 (11 Punkte) c) Wie groß muss die Länge des Schwimmkörpers mindestens sein, damit die x-Achse die kritische Kippachse ist? Ein prismatischer Schwimmkörper (Länge l , Dichte ρK ) mit einer Querschnittsfläche in Form eines gleichseitigen Dreiecks (Seitenlänge a) schwimmt auf einem See (Dichte ρF ). Die zunächst unbekannte Eintauchtiefe des Schwimmkörpers wird mit t bezeichnet. l> d) Geben Sie die z-Koordinaten der Schwerpunkte des Körpers und des verdrängten Flüssigkeitsvolumens an. zK = , zF = e) Wie groß ist die Metazenterhöhe für ein Kippen um die x-Achse? √ 1 8t + 3 3a 9 √ 1 8t + 3a hM = 9 hM = √ 1 8t − 3 3a 9 √ 1 hM = 8t − 3a 9 hM = f) Welche Eintauchtiefe t ergibt sich für den Schwimmkörper? t= g) Welche Bedingung muss erfüllt sein, damit der Körper schwimmt? ρK < ρF ρK > ρF ρK > √ 3ρF h) Bei welchem Dichteverhältnis hat man stabiles Schwimmverhalten? a) Wie groß sind das Volumen VK des Körpers und das von ihm verdrängte Flüssigkeitsvolumen VF ? VK = , VF = b) Berechnen Sie die Flächenträgheitsmomente der Schwimmfläche. Ix = , Iy = ρK 3 < ρF 4 9 ρK < ρF 16 ρK 3 > ρF 4 9 ρK > ρF 16 Aufgabe 5 (15 Punkte) d) Berechnen Sie das Gewicht des freigeschnittenen Wassers G und den Hebelarm hG . In einem Behälter ist eine rechtecki√ ge Klappe (Kantenlängen 2a × b) eingebaut, die zum Ablassen des Wassers (Dichte ρ ) dient. Die Klappe ist am Boden durch ein Gelenk P befestigt. Gesucht ist die Kraft FK , mit der sich die Klappe öffnen lässt. Zur Berechnung der resultierenden Wasserkraft F und ihres Anfgriffspunkts wird das Erstarrungsprinzip verwendet und ein prismatisches Kontrollvolumen über der Klappe herausgeschnitten. An dessen vertikaler Schnittfläche entsteht die Druckkraft FA , das Gewicht des freigeschnittenen Wasservolumens ist G, von oben wirkt die Kraft FV . G= e) Geben Sie die Größe der vertikalen Schnittfläche A, deren Schwerpunktskoordinate zC und die auf diese Fläche wirkende Kraft FA an. A= ICy = FK = Fh = c) Wie groß ist die von oben wirkende Kraft FV und wo greift diese an? FV = , FA = , , ζD = , hA = g) Welche Mindestkraft FK ist erforderlich, um die Klappe zu öffnen? b) Formulieren Sie das Momentengleichgewicht für das Kontrollvolumen bezüglich des Punktes P und bestimmen Sie die Momentenwirkung der Wasserkraft. ⇒ zC = , f) Geben Sie das Flächenträgheitsmoment ICy der Fläche A bezüglich des Flächenmittelpunkts C, den Abstand ζD des Druckpunkts vom Flächenmittelpunkt und den Hebelarm hA der Kraft FA an. a) Stellen Sie das Momentengleichgewicht für die Klappe bezüglich des Gelenks P auf und berechnen Sie die Mindestkraft FK zum Öffnen der Klappe. ⇒ hG = , hV = 1 FK = ρ ga2 b 2 7 FK = ρ ga2 b 6 5 FK = ρ ga2 b 6 3 FK = ρ ga2 b 2 FK = ρ ga2 b FK = 2ρ ga2 b Aufgabe 6 (6 Punkte) Ein Wasserstrahl tritt aus einem Hahn (Öffnungsdurchmesser d1 ) mit der Geschwindigkeit v1 senkrecht nach unten aus. Im Abstand h von der Austrittsstelle ist der Durchmesser des Strahls nur noch d2 . Der Luftdruck beträgt p0 . a) Formulieren Sie die Bernoulli-Gleichung von ➀ nach ➁. b) Formulieren Sie die Kontinuitätsgleichung für den Wasserstrahl. c) Wie groß ist die Strahlgeschwindigkeit v2 ? v2 = d) Welchen Durchmesser besitzt der Strahl an der Stelle ➁? d1 d2 = r 4 1 + 2gh v21 d1 d2 = r 4 1 + gh v21 d1 d2 = r 4 1 − 2gh v21 d1 d2 = r 4 1 − gh v21
