Quantenfeldtheorie

Quantenfeldtheorie
A. Lenz
SS 2010
C. Gross, S. Schacht
Blatt 6
Aufgabe 11: LSZ–Reduktionsformel
Vorbemerkungen Da Teilchenzustände mit Feldern in Verbindung gebracht werden können, ist es natürlich
zu erwarten, dass man Greens–Funktionen dieser Felder benötigt, um S–Matrix–Elemente zu erhalten. Die
konkrete Verbindung von S–Matrix–Elementen und Greens–Funktionen drückt sich in der Reduktionsformel
von Lehmann, Symanzik und Zimmermann1 aus. Wir betrachten hier den einfachen Fall von neutralen
skalaren Teilchen mit der physikalischen Masse m. Die Greens–Funktionen definieren wir zu
Gn (x1 , . . . , xn ) := h0| T φ(x1 ) . . . φ(xn ) |0i
(1)
mit dem Feld φ, das die charakteristischen Eigenschaften
h0| φ(x) |0i = 0,
h0| φ(x) |ki = e−ix·k ,
hk| φ(x) |0i = eix·k
(2)
besitzt, wobei in der ersten der obigen Gleichungen vorausgesetzt wurde, dass keine spontane Symmetriebrechung stattfindet. Der zugehörige zeitabhängige Erzeugungsoperator φ(f, t), der einen Zustand f
zum Zeitpunkt t erzeugt, ist gegeben durch
Z
φ(f, t) = i
d3 x (φ(x) ∂0 f (x) − f (x) ∂0 φ(x))
(3)
und hat die Eigenschaften
h0| φ(f, t) |0i = 0,
hk| φ(f, t) |0i = hk|f i ,
h0| φ(f, t) |ki = 0.
(4)
Gleichung (3) lässt sich folgendermaßen einsehen: Definieren wir eine zeitabhängige Sesquilinearform h , i
zu
Z
hf, gi(t) = i
d3 xf ∗ (t, x)∂0 g(t, x) − g(t, x)∂0 f ∗ (t, x)
(5)
so sind ebene Wellen e±
p (x) = exp(±ixp) orthogonal bzgl. dieser Form:
herp , esq i = (2π)3 δ (3) (p − q)(rp0 + sq0 ) exp (−it(rp0 − sq0 ))
und für ein freies Feld
Z
d3 k ix·k †
−ix·k
φ(x) =
e
a
(k)
+
e
a(k)
(2π)3 2E
(6)
(7)
haben wir
−
a† (p) = he+
p , φi and a(p) = −hep , φi.
(8)
Sei f nun eine Lösung der Klein–Gordon–Gleichung mit positiver Energie und |ψi ein beliebiger Zustand.
Dann haben wir
lim hψ| φ(f, t) |0i = hψ|f i
t→±∞
1
und
lim h0| φ(f, t) |ψi = 0.
t→±∞
(9)
On the formulation of quantized field theories. (In German) H. Lehmann, K. Symanzik, W. Zimmermann, (Göttingen, Max
Planck Inst.). Nov 1954. Published in Nuovo Cim.1:205-225,1955.
1
Der Annihilations–Operator ist gegeben durch
φ(f, t)† = φ(−f ∗ , t).
(10)
Die S–Matrix ist der Operator, der Anfangs– und Endzustand verbindet:
hf1 , f2 | S |g1 , g2 i =+ hf1 , f2 |g1 , g2 i−
(11)
wobei wir die beiden Typen von Zweiteilchen–Zuständen |f, gi± definieren als
hψ|f, gi− = lim hψ| φ(f, t) |gi
(12)
hψ|f, gi+ = lim hψ| φ(f, t) |gi .
(13)
t→−∞
t→∞
Aufgabenstellung
• Nehmen Sie an, dass f die Klein–Gordon–Gleichung erfüllt. Betrachten Sie die Operation
Z
P (f, x)φ(x) :=
lim − lim φ(f, t) = −
dt ∂0 φ(f, t)
t→−∞
t→∞
und bringen Sie sie auf die Form
Z
P (f, xr )F (x1 , . . . xn ) = i
d4 xr f (xr )Dxr F (x1 , . . . , xn ).
(14)
(15)
mit dem Klein–Gordon–Operator Dxr .
• Zeigen Sie unter Verwendung des Hinweises und der Eigenschaften des Operators φ(x, t), dass
\
P (f, xr )G(x1 , . . . , xn ) = h0| T φ(x1 ) . . . φ(x
r ) . . . φ(xn ) |f i
und
\
P (f ∗ , xr )G(x1 , . . . , xn ) = hf | T φ(x1 ) . . . φ(x
r ) . . . φ(xn ) |0i
(16)
(17)
\
wobei φ(x
r ) den Term kennzeichnet, der weggelassen wird.
• Wenden Sie nun die P –Operatoren auf eine Vierpunktfunktion an um ein S–Matrix–Element für die
Streuung von Wellenpaketen zu erhalten. Bilden Sie
P (f1∗ , x1 )P (f2∗ , x2 )p(f3 , x3 )P (f4 , x4 ) h0| T φ(x1 )φ(x2 )φ(x3 )φ(x4 ) |0i
(18)
und finden Sie den Zusammenhang mit (S − 1) indem Sie die Definition der S–Matrix identifizieren.
Nehmen Sie dabei an, dass die Teilchen nicht miteinander wechselwirken bzw. interferieren.
• Nehmen Sie nun den Limes ebener Wellen und setzen Sie f = e±ikx . Bilden Sie P (e±ikx )G(x).
• Wie lautet der Ausdruck für die (S − 1)–Matrix in diesem Limes?
Hinweis
• Sei Br (t) eine beliebige operatorwertige Funktion der Zeit. Es lässt sich zeigen, dass die Beziehung
zwischen der Zeitintegration, der Differentiation bzgl. der Zeit und der Zeitordnung derart gestaltet
ist, dass
P (f, x)T [φ(x)Bk (tk ) . . . B1 (t1 )] = T [Bk (tk ) . . . B1 (t1 )] φ(f, −∞) − φ(f, ∞)T [Bk (tk ) . . . B1 (t1 )] .
2
(19)