Quantenmechanik

Theoretische Physik (fur Physiker)
Quantenmechanik
WS 1996/97
H.A. Kastrup
Kapitel 1
Literatur
1.0 Warnung:
Es gibt zahllose Bucher uber Quantenmechanik, aber nicht alle sind gut !!
(Selbst, wenn sie preiswert sind!)
1.1 Als Vorbereitung und Vorstufe
1. Quantum Physics, Berkeley Physics Course Bd. 4,
McGraw - Hill Book Comp., New York etc. 1971
Deutsche U bersetzung: Quantenphysik, 2. Au.,
F. Vieweg & Sohn, Braunschweig 1985.
2. E.W. Schpolski, Atomphysik I (u. II), 18. (u. 13.) Au.
VEB. Deutscher Verlag der Wissenschaften, 1988 (u. 1985).
1.2 Zur Vorlesung:
1. F. Schwabl, Quantenmechanik, 4. verb. Au.,
Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg etc. 1993.
Dieses Lehrbuch wird in erster Linie empfohlen!
2. St. Gasiorowicz, Quantum Physics, (Paperback!)
Wiley and Sons, New York etc. .
Deutsche U bersetzung: Quantenphysik, 4. Au.
Oldenbourg, Munchen 1987.
3. L.I. Schi, Quantum Mechanics, 3. ed. (International Student Edition)
McGraw - Hill, Kogakusha, LTD., Tokyo etc. 1968.
4. L.D. Landau u. E.M. Lifshitz, Theor. Phys. III,
Quantum Mechanics , Pergamon Press, Oxford 1965.
Deutsche U bersetzung: Quantenmechanik, 8. Au. Berlin 1988.
1
KAPITEL 1. LITERATUR
2
5. The Feynman Lectures on Physics, Bd. III,
Addison - Wesley, Reading (Mass.) 1965.
6. R. Jost, Quantenmechanik I u. II,
Verlag der Fachvereine an der ETH Zurich, Zurich 1969 u. 1973.
1.3 Mathematik zur Quantenmechanik:
1. J. von Neumann, Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik
Springer-Verlag, Berlin etc. 1931, Nachdruck 1968.
2. G. Hellwig, Dierentialoperatoren der Mathematischen Physik,
Springer-Verlag, Berlin etc. 1964.
3. Th.F. Jordan, Linear Operators for Quantum Mechanics,
J. Wiley & Sons, New York 1969.
4. G. Ludwig, Foundations of Quantum Mechanics I u. II,
Springer-Verlag, New York etc. 1983 u. 85.
1.4 Zur Geschichte und Interpretation der Quantenmechanik
1. M. Jammer, The Philosophy of Quantum Mechanics,
J. Wiley & Sons , New York 1974.
2. B. d'Espagnat, Conceptual Foundations of Quantum Mechanics, 2nd ed.
Benjamin Inc., Reading (Mass.) 1976.
3. K. Baumann u. R.U. Sexl, Die Deutungen der Quantentheorie,
Vieweg, Braunschweig 1984.
4. J.A. Wheeler and W.H. Zurek (eds.), Quantum Therory and Measurement,
Princeton University Press, Princeton (New Jersey), 1983.
Bemerkungen
Die Vorlesung wird im Aufbau ahnlich wie die Bucher von Schwabl, Schi und
Gasiorowicz sein. Feynman ist sehr orginell und interessant, aber unnachahmlich!
Die Vorlesungsausarbeitung von Jost ist mathematisch sehr anspruchsvoll.
Die Vorlesung folgt nicht der geschichtlichen Entwicklung (hierzu: Jammer).
Weitere Literatur wird im Laufe der Vorlesung angegeben.
Wichtige Parallel - Vorlesung: "Atome, Molekule, Kerne."
Kapitel 2
Schwierigkeiten mit der
klassischen Mechanik und der
Elektrodynamik in der Physik
der Atome
Ende des vorigen und Anfang dieses Jahrhunderts gab es bei den Versuchen, atomare
Phanomene mittels der klassischen Mechanik und der Maxwellschen Elektrodynamik zu verstehen, prinzipielle Schwierigkeiten.
Einige markante, die dann zur Quantenmechanik fuhrten, werden in den folgenden
Abschnitten behandelt.
2.1 Hohlraumstrahlung
Hier sei nur ein zusammenfassender Bericht gegeben, Details werden in der Quantenstatistik abgeleitet. Die Wande eines Hohlraums seien auf die (absolute) Temperatur T gebracht. Die Atome und Molekule der Wande strahlen elektromagnetische
Wellen in den Hohlraum ab. Die Wellen treen ihrerseits wieder auf die Wande,
werden absorbiert oder reektiert etc. Dabei stellt sich bald ein von T abhangiges
(thermodynamisches) Gleichgewicht ein!
Die Strahlung im Innern setzt sich aus elektromagnetischen Schwingungen verschiedener Frequenzen ! zusammen:
1. Elektrische Feldstarke:
!
~E! (~x; t) = <e ~"(!)ei(!t ? ~k ~x) ;
~k : Wellenvektor (zeigt in Ausbreitungsrichtung) :
~
k~kk +(k12 + k22 + k32)1=2 = 2 = !(ck) ;
3
HOHLRAUMSTRAHLUNG
4
: Wellenlange ; c : Lichtgeschwindigkeit im Vakuum,
Transversalitat : ~k(!) ~" = 0:
2. Magnetische Feldstarke:
0 1
~
B~ ! (~x; t) = @ !k A E~ ! :
Die zur Frequenz ! gehorige Energiedichte ist:
w! (~x; t) = 20 E~ !2 + 21 B~ !2 :
0
Das "Gleichgewicht" beinhaltet eine Mittelung uber die Zeit t:
1 Z w (~x; t)dt :
u! (~x) := lim
!1 0 !
Frage:
Welche Eigenschaften hat u! ?
Speziell, wie hangt u! von der Temperatur T ab?
Kirchho: aus thermodynamischen Grunden kann u! nicht von ~x abhangen,
ferner auch nicht vom Material der Wande, d.h. u! ist eine universelle Funktion,
die auer von ! nur von T abhangt.
Wien: ebenfalls aus thermodynamischen Grunden kann u! (T ) nur die Form
u! (T ) = !3f (!=T ) ;
haben1 , wobei f eine zunachst noch unbekannte Funktion ist .
Problem: Wie sieht f aus ?
E~ ! bzw. (B~ ! ) genugt der Wellengleichung:
1 @ 2E~ = E~ = ?~k2E~ ; @ 2E~ = ?!2E~ :
!
! t !
!
c2 t !
Analog wie bei einem akustischen Hohlraumresonator oder bei einer schwingenden
Saite bilden die elektromagnetischen Wellen stehende Wellen im Hohlraum. Dabei
mussen E~ tang und B~ norm an der Wand verschwinden.
Zur Herleitung s. z.B. M. Planck, Vorlesungen uber die Theorie der Warmestrahlung, 5. Au.,
J.A. Barth, Leipzig 1923, 71-90; Jost I, Kapitel I ; M. Born, Atomic Physics, 4th ed. Anhang
XXVII, Blackie and Sons, London and Glasgow 1946, bzw. 5th ed. (1951), Anhang XXXIII.
1
KAPITEL 2. SCHWIERIGKEITEN IN DER PHYSIK DER ATOME
5
Die Anzahl N = n(!)! dieser Wellen im Intervall ! kann man abzahlen. Man
erhalt:
2
n(!) = !2c3 (pro Volumen!) :
Wegen @t2E~ ! + !2E~ ! = 0 genugt jede einzelne Welle bei festem ! einer "Oszillator"{Gleichung. Ist E (!; T ) die mittlere Energie einer solchen Welle, so hat
man
2
u! (T ) = n(!)E (!; T ) = !2c3 E (!; T ) :
Frage: Wie sieht E (!; T ) aus?
Antwort der klassischen Statistischen Mechanik: die mittlere Energie eines (har-
monischen) Oszillators ist kB T (kB : Boltzmannsche Konstante).
Demnach ist (Rayleigh, Jeans):
2
u! (T ) = !2c3 kB T :
Der Vergleich mit dem Experiment zeigt, da die Formel nur fur kleine ! brauchbar
ist.
Theoretisch kann diese Formel auch nicht richtig sein, da die Gesamtenergie
Z1
u(T ) = u! (T )d!
0
divergiert!
Durch Vergleich mit dem Experiment und mittels thermodynamischer U berlegungen fand Planck zunachst empirisch die Formel
E (!; T ) = h !=kh !T
; h = const.
B ?1
e
Die theoretische Begrundung stammt ebenfalls von Planck:
Nach der statistischen Mechanik ist die Wahrscheinlichkeit p(En ) dafur, da
sich ein System mit den moglichen Energiewerten E0; E1; ; En; bei gegebener
Temperatur T in einem Zustand mit der Energie En bendet:
?En=kB T
p(En ) = P1e ?E =k T :
i=0 e i B
Fur die mittlere Energie E (T ) erhalt man deshalb:
E (T ) =
1
X
n=0
En p(En ):
HOHLRAUMSTRAHLUNG
6
Setzt man nun
^ n = 0; 1; ; E^ > 0 fest ;
En = nE;
?nx = (1 ? e?x )?1 (geom. Reihe)
so erhalt man wegen P1
n=0 e
^
E (T ) = ^ E
eE=kB T ? 1
und somit den richtigen Ausdruck fur E (T ) , falls E^ = h !.
Man bekommt also den experimentell richtigen Ausdruck fur die "spektrale" Energieverteilung u! (T ) der Hohlraumstrahlung, falls man annimmt, da die Energie der elektromagnetischen Wellen bei vorgegebener
Frequenz nur ein ganzzahliges Vielfaches eines "Elementarquantums" h !
sein kann.
Diese Annahme ist von der klassischen Physik (Mechanik, Elektrodynamik) nicht
zu rechtfertigen. (Planck selbst hat das jahrelang versucht!)
Zahlenwerte:
h = 1:054572 : : : 10?34 J s
= 6:582 : : : 10?22MeV s
= 1:055 : : : 10?27erg s:
Die Konstante h hat die Dimension einer Wirkung. Das "Plancksche Wirkungsquantum" ist deniert als h = 2h . (h ist bequemer fur die Quantenmechanik.)
Bei einer Wellenlange von 6000 A(ngstrom), 1
A = 10?10 m, (entspricht Licht im
sichtbaren Bereich), hat man h ! 3:3 10?12 erg , d.h. eine Lichtquelle von 100
Watt emittiert
100 107 3 1020 "Lichtquanten"/sek:
3:3 10?12
R
Fur die Gesamtenergie u = 01 u! d! erhalt man
Z 1 !3d!
u = 2hc3 0 h !=k
:
BT ? 1
e
Z 1 x3dx 4
h
!
Mit x = k T und ex ? 1 = 15 bekommt man das Stefan - Boltzmannsche
0
Gesetz : B
2 4
u(T ) = k3 B3 T 4:
15c h
Mehr dazu in der Quantenstatistik!
2.2. PHOTOELEKTRISCHER EFFEKT
7
2.2 Photoelektrischer Eekt
Lat man Licht auf eine Metallplatte(-elektrode) fallen, so werden Elektronen herausgelost, deren Energie man durch Abbremsen in einem elektrischen Feld ("Gegenfeld"{Methode) messen und deren Anzahl man durch Strommessung bestimmen
kann.
???
???
Licht
???
???
???
??????
?
?
?
A
Elektronen
?V0
0
-
Dabei stellt sich folgendes heraus:
1. Die Energie der Elektronen ist unabhangig von der Intensitat des Lichtes,
aber eine lineare Funktion seiner Frequenz !.
2. Elektronen werde nur emittiert, falls die Frequenz des Lichtes oberhalb einer
bestimmten Schwelle liegt. Die Grenzfrequenz hangt von der Art des Metalles
ab.
A , d.h. die Anzahl der Elektronen,
3. Die Groe des Photostromes durch ist proportional zur Intensitat des Lichtes.
Dieser Eekt ist ihm Rahmen der klassischen Elektrodynamik nicht zu verstehen:
Die Energie sollte proportional zur Intensitat ( 20 E~ !2 + 21 0 B~ !2 ) des Lichtes sein.
Erklarung durch Einstein: Das Licht besteht aus Teilchen (Quanten) mit der Energie h !, falls das Licht die ("Kreis-") Frequenz ! hat. Trit ein solches Lichtquant
auf die Metalloberache, so kann es durch Zusammensto mit einem Elektron seine
Energie auf dieses ubertragen. Ist A die "Austrittsarbeit" des Elektrons fur das
betreende Metall, so hat man die Energiebilanz:
1 m ~v 2 + A = h ! :
2 ee
me: Masse des Elektrons ; ~ve: Geschwindigkeit des Elektrons.
COMPTON - EFFEKT
8
A hat die Groenordnung eV (1 eV = 1:602177 : : : 10?19 J).
Die Intensitat des Lichtes ist proportional der Anzahl der Lichtquanten= "Photonen", d.h. je mehr Photonen auf das Metall fallen, desto mehr Elektronen werden
herausgelost.
2.3 Compton - Eekt
Dieser Eekt ist ein unmittelbarer Ausdruck der Teilchennatur des Lichtes: Lat
man Rontgenstrahlen senkrecht auf eine dunne Metallfolie fallen, so werden nach
der klassischen Elektrodynamik die Elektronen in der Folie zu Schwingungen angeregt, deren Frequenz die gleiche ist wie die des Rontgenlichtes.
Die Elektronen sollten dann als schwinFolie
gende Dipole Rontgenlicht gleicher
Frequenz wieder abstrahlen, und zwar
0<!
!
unabhangig von der Richtung (s.
?
Rontgenlicht- ??
!
Skizze). Tatsachlich beobachtet man
!
(Compton ) folgendes: Die Frequenz
des Lichtes hinter der Folie nimmt mit
wachsendem ab!
Erklarung: Man betrachte den Proze als elastischen Sto zwischen Photonen und Elektronen, die sich vor dem Sto in Ruhe benden!
Allgemein gilt zunachst: ist E (~p) die kinetische Energie eines Teilchens, so ist seine
Geschwindigkeit durch
!
@
@
@
~v := gradp E (~p) = @p E; @p E; @p E
1
2
3
deniert. Beispiele:
"Nichtrelativistisch":
relativistisch:
E
~v
E (~p)
~v
=
=
=
=
p~ 2 ;
2m
gradp E = m~p : 1
+c(~p 2 + m2c2) 2 :
2
gradp E (~p) = ~pEc = 2 ~pc 2 2 12 :
(~p + m c )
Fur Licht ist k~vk = c, d.h. es mu mPhoton = 0 sein; die Ruhemasse des Photons
verschwindet!
Aus E = k~pk c und E = h ! folgt dann k~pk = h !=c, und da der Ausbreitungsvektor ~k die gleiche Richtung wie ~p hat, so ergibt sich
~pPhoton p~ = h~k; k~kk = 2= :
2.4. DAS BOHRSCHE ATOMMODELL
9
Ist ~p der Impuls des Photons (" "-Quants) vor dem Sto mit dem Elektron, ~p 0
sein Impuls nach dem Sto und ~pe 0 der Impuls des Elektrons nach dem Sto, so
lauten Energie{ und Impulssatz:
h ! + mec2 = h !0 + (m2e c4 + (~pe 0)2c2) 12 ;
~p = p~ 0 + p~e 0 ;
me : Ruhemasse des Elektrons.
Aus der ersten Gleichung folgt:
m2e c4 + (~pe 0)2c2 = (h! ? h !0 + mec2)2
= (h! ? h !0)2 + 2me c2(h! ? h !0) + m2e c4;
andererseits ergibt der Impulssatz:
(~pe 0)2 = (~p ? ~p 0)2 = (h~k ? h~k0)2
2 2
2 02
0
= h !2 + h !2 ? 2 h ! h ! cos :
c
c
c c
Einsetzen ergibt:
h !!0(1 ? cos ) = mec2(! ? !0);
oder, mit = 2c=!,
2h (1 ? cos ) ;
0 ? = m
ec
d.h. die Wellenlange des abgelenkten Lichtes ist umso groer, je groer der Streuwinkel wird. Das Licht hat also ganz eindeutig Teilcheneigenschaften
(Impuls, Energie, etc.).
Man kann das "Rucksto"{Elektron in Koinzidenz mit dem Photon messen (Geiger, Bothe). Die Groe c (e) = h =me c = 3:861593 : : : 10?13 m bezeichnet man als
Compton{Wellenlange des Elektrons.
2.4 Das Bohrsche Atommodell
Streuversuche mit - Teilchen und Atomen (Geiger, Marsden u.a.) hatten folgendes
Atommodell (Rutherford) nahegelegt:
Die Atome bestehen aus einem nahezu punktformigen positiven Kern (Radien 10?15 m), um den die Elektronen in relativ weitem Abstand (Radius ca. 10?10 m)
"kreisen".
Dieses Modell konnte die Streuexperimente gut erklaren (Rutherfordsche Streuformel), fuhrte aber zu prinzipiellen Schwierigkeiten bei den Spektren: Beschleunigte
10
DAS BOHRSCHE ATOMMODELL
Ladungen strahlen nach der Elektrodynamik elektromagnetische Strahlung ab, deren Intensitat proportional zum Quadrat der Beschleunigung ist. Die "kreisenden" Elektronen muten also standig strahlen und in ca. 10?10 sek in den
Kern "fallen"; d.h. die Atome waren demnach instabil.
Einen vorlaugen Ausweg aus dieser Schwierigkeit fand Bohr fur wasserstof-
fartige Atome mit den beiden folgenden Postulaten:
1. Die Beziehung E = n h ! fur die Energien des atomaren harmonischen Oszillators lat sich im Rahmen von Winkel- und Wirkungsvariablen (s.
Mechanik-Skriptum vom WS 94/95) folgendermaen interpretieren: Mittels
der Wirkungvariablen
I
q
I = p(x; E )dx; p(x; E ) = m(2E ? b x2);
des harmonischen Oszillators kann man die Energie auch in der Form
E = ! 2I
schreiben, d.h. quantentheoretisch gilt
I = n h :
2
Nun ist bei einem rotationssymmetrischen Potential die zum ebenen Polarwinkel gehorige Wirkungsvariable die Groe 2 `, wobei ` der Drehimpuls.
Dies legt die folgende Annahme nahe: Der Drehimpuls ` der Elektronen auf
ihren Bahnen um den Kern ist ein ganzzahliges Vielfaches von h :
` = nh ; n = 0; 1; 2; : : : :
Speziell fur ein Elektron auf einer Kreisbahn vom Radius r bedeutet dies:
` = me v r = n h :
Ist Ze die Ladung des Kerns, so wirkt auf das Elektron die Coulomb - Kraft
vom Betrage Ze2=(4"0 r2) . Mechanische Stabilitat herrscht, falls diese Kraft
gleich der Zentrifugalkraft ist:
Ze2 = l2 = n2h 2 :
4"0 r2 mer3 mer3
Es folgt:
2
2h 2
Ze
4
"
n
0
rn = Ze2m ; vn = 4" nh ;
e
0
2
Ze2 :
mv
und fur die Energie E = 2 ? 4"
0r
2
2
) ; = e :
En = ? 21 mec2 (Z
n2
4"0 h c
2.5. MATERIEWELLEN
11
Die vom Masystem unabhangige dimensionslose Sommerfeldsche Feinstrukturkonstante hat den Zahlenwert 1=(137:035 : : : ).
2. Auf den Bahnen rn strahlt das Elektron keine Energie ab. Strahlung ndet
dagegen statt, falls das Elektron von einem Niveau En2 zu einem Niveau En1 <
En2 "springt", und zwar wird dabei Licht mit der Frequenz ! = (En2 ? En1 )=h
abgestrahlt.
Diese Annahme ergibt unmittelbar die Balmersche Formel fur die Spektrallinien des Wassersto - Atoms:
!
1
1
1
1
2
2
2
! = h 2 mec Z n2 ? n2 :
1
2
Die Postulate 1 und 2 sind nicht aus der Mechanik und Elektrodynamik begrundbar!
Erst die Existenz des Wirkungsquantums h macht die Stabilitat der Atome moglich!
Man hat
2 1
4
"
h
0
a0 := r1(Z = 1) = e2m = c (e) = 0:529177 : : : A : Bohrscher Radius.
e
Das Bohrsche Modell gerat in Schwierigkeiten bei Mehrelektronen{Problemen und
bei nichtperiodischen Bewegungen.
Eine Bestatigung der Existenz von "diskreten" Energie{Niveaus der Atome erhalt
man u.a. auch von den Elektronen{Streuversuchen von Franck und Hertz.
2.5 Materiewellen
Beim Licht hat man die fundamentale Beziehung
E = h !; ~p = h~k
zwischen Welleneigenschaften (!; ~k) auf der einen und den Teilcheneigenschaften
(E; ~p) auf der anderen Seite.
Hypothese (de Broglie): Umgekehrt sollte man dann auch allen Teilchen Welleneigenschaften zuschreiben konnen, wobei
! = h1 E; ~k = h1 ~p ;
2
E = 2~pm oder E = c(~p 2 + m2c2) 21 :
Beispiel: Elektronen. Wird ein Elektron aus der Ruhe auf die Geschwindigkeit
~v = ~p=m gebracht, indem man es eine Potentialdierenz U durchlaufen lat, so hat
man nach dem Energiesatz:
p~ 2 = eU ; und mit ~p = h~k; k~kk = 2 ;
2me
MATERIEWELLEN
12
1 2 2 h 2 = eU ; bzw.
2me 2h
(2meeU ) 21
150 21
U A, U in Volt :
e =
Die "de Broglie"{Wellenlange e der Elektronen ist also eine Funktion der durchlaufenen Spannung U . Bei U = 102; 103 Volt, liegt e in der Groenordnung von Rontgenstrahlen. Experimente mit Elektronenstrahlen (analog zu den Rontgenspektrometern mit Hilfe von Kristallen als Beugungsgittern) haben ergeben, da man
Elektronen (und ebenso anderen atomaren Teilchen) Welleneigenschaften zuschreiben mu: man hat z.B. Interferenzen, Beugungserscheinungen etc. beobachtet.2 Da
(1=m)1=2, so spielt der Wellenaspekt bei makroskopischen Massen keine Rolle.
2
Ausfuhrliche Beispiele: s. Vorlesung "Atome, Molekule, Kerne."
Kapitel 3
Die Schrodinger - Gleichung
Die in Kapitel 2 erwahnten Phanomene (und viele weitere!) zeigen, da "Wellen
Teilcheneigenschaften haben und umgekehrt". Dabei sind fur freie Teilchen bzw.
Wellen die Groen Energie E (~p) und Impuls ~p auf der Teilchenseite mit den Groen
Kreisfrequenz !(~k) und Wellenvektor ~k auf der Wellenseite durch die fundamentalen
Beziehungen
E = h !; p~ = h~k
verknupft. Ausgehend von Wellenvorgangen, kann man mit ihrer Hilfe zur Schrodinger{Gleichung kommen:
3.1 Gruppengeschwindigkeit von Wellenpaketen
Wellen werden (wie in der Optik!?) in der Quantenmechanik mittels komplexer
Zahlen beschrieben.
Ebene Wellen:
~ ~
k (~x; t) = A(~k)e?i(! (k)t ? k ~x) ;
A(~k) : Amplitude ;
!t ? ~k ~x : Phase :
Falls jAj = + [(<eA)2 + (=mA)2] 21 6= 0, so ist die Welle uberall im Raum vorhanden. Raumlich begrenzte Wellenzuge, sog. Wellenpakete, bekommt man durch
U berlagerung von ebenen Wellen mit verschiedenen ~k und !(~k).
Einfaches Beispiel: Es seien k1 (~x; t) und k2 (~x; t) zwei ebene Wellen mit nur
wenig verschiedenen Wellenvektoren ~ki. Wir nehmen an, da ~ki = (ki ; 0; 0), die
Ausbreitung also in x1{Richtung stattnde, und setzen x1 = x. Die U berlagerung
(Superposition) der beiden Wellen ergibt:
?i(!1t ? k1x) + A2 e?i(!2t ? k2x)
k (~x; t) = A1 e
Es sei A1 = A2 = A. Ferner setzen wir:
!1 = ! + ! ; !2 = ! ? ! ;
k1 = k + k ; k2 = k ? k ;
13

KAPITEL 3. DIE SCHRODINGER
- GLEICHUNG
14
und bekommen:
!
+
!
)
t
?
(
k
+
k
)
x
]
?
i
[(
!
?
!
)
t
?
(
k
?
k
)
x
]
?
i
[(
+e
k (~x; t) = A e
?
i
(
t
!
?
x
k
)
+
i
(
t
!
?
x
k
)
e?i(!t ? kx)
= A e
+e
= 2A cos(t! ? xk) e?i(!t ? kx) :
Interpretation: durch Superposition der ebenen Wellen k1 ; k2 ensteht ein Wel-
lenzug, mit der mittleren Frequenz !, dem Wellenvektor ~k und der "modulierten"
Amplitude A~ = 2A cos(t! ? xk). Die neue Amplitude A~ ist eine Funktion von
~x und t. Sie ist maximal fur t! ? xk = n; n = 0; 1; und verschwindet fur
t! ? xk = (2n + 1) 2 ; n = 0; 1 .
Die "Bewegung" des durch t! ? xk = 0 gegebenen Maximums von A~ ist
durch
!t
x~(t) = k
charakterisiert. Im Limes k ! 0 wird daraus
x~(t) = @!
@k t ;
oder, im 3 - dimensionalen Fall,
~x~ = (gradk !(~k)) t ;
d.h. ein Maximum der superponierten Welle wandert mit der Geschwindigkeit
~vg := gradk !(~k )
durch den Raum. Man bezeichnet diese Geschwindigkeit als Gruppengeschwin-
digkeit des Wellenzuges (Wellenpaketes).
Wegen E = h !; ~p = h~k kann man auch
~vg = gradp E (~p) = ~v
schreiben. D. h. die Gruppengeschwindigkeit eines Wellenpaketes ist gleich
der "mechanischen" Geschwindigkeit der zugeordneten Teilchen! Dies ist
ein weiterer wichtiger Zusammenhang zwischen Wellen- und Teilcheneigenschaften.
Bemerkung: die Ausbreitung der Wellenphase !t ? kx ist durch !t ? kx = const.
charakterisiert; die "Phasengeschwindigkeit" ist also durch !=k gegeben. Sie ist von
geringer physikalischer Bedeutung!
Verallgemeinerung:
Im allgemeinen enthalt ein Wellenzug (Wellenpaket) unendlich viele Frequenzen:
Z +1 Z +1 Z +1
d3k g(~k)e?i(!(~k)t ? ~k ~x) :
(~x; t) =
?1 ?1 ?1
3.1. GRUPPENGESCHWINDIGKEIT VON WELLENPAKETEN
15
Die (komplexwertige) Funktion g(~k) gibt an, mit welchem Gewicht die einzelnen
ebenen Wellen k(~x; t) an dem Wellenpaket "beteiligt" sind.
Beispiel: Gausches Wellenpaket fur den eindimensionalen Fall:
2
g(k) = e?(k ? ko) ; > 0 :
Die Funktion g(k) beschreibt eine Gausche Verteilung, die bei k = k0 konzentriert
ist. Die Breite der Verteilung ist durch den Parameter charakterisiert. Das
Wellenpaket lautet:
Z +1
2
dk e?(k ? k0) e?i(!(k)t ? kx) :
(x; t) =
?1
Spezialfalle fur !(k) sind :
! = h1 21m (hk)2 = 2hm k2 ;
mc 2! 21
1
1
2
2
2
2
:
! = h c ((hk) + m c ) 2 = c k + h
Die Entwicklung von !(k) um k = k0 ergibt:
2 ! 1
d
d!
!(k) = !(k0) + dk (k ? k0) + 2 dk2 (k ? k0)2 + :
k=k0
k=k0
Da die Verteilung um k = k0 konzentriert ist, brechen wir die Entwicklung nach
dem zweiten Glied ab (fur ! = 2hm k2 ist die Formel exakt!).
d! dk k=k0 = vg : Gruppengeschwindigkeit
!
1 d2! h
h
2
2 dk2 k=k0 = = const: = 2m fur ! = 2m k :
Damit ergibt sich fur :
Z +1
2
dk e?(k ? k0) (x; t) =
?1
2
e?i [!(k0)t + vg (k ? k0)t + (k ? k0) t ? kx] ;
Mittels Variablen{Substitution : k~ = k ? k0 folgt:
Z +1
2
2
?
i
(
!
(
k
)
t
?
k
x
)
0
0
(x; t) = e
dk~ e?k~ ? itk~ eik~(x ? vgt) :
?1
Nun ist (s. U bungen!).
Z +1
?1
1 2
2 ?iuy s ? 4 u
?
y
:
dy e
e
= e

KAPITEL 3. DIE SCHRODINGER
- GLEICHUNG
16
Diese Formel gilt auch fur komplexe ; <e > 0, so da wir insgesamt zu folgendem
Resultat gelangen:
(x; t) = +it
! 21 ? 1 (x ? vg t)2
e 4( + it)
e?i(!(k0)t ? k0x) :
Interpretation: das Wellenpaket (x; t) ist eine Welle mit der Phase !(k0)t ? k0x
und der ortsabhangigen Amplitude
AG(x; t) =
d.h.
jAG(x; t)j2 = AGAG =
+ it
! 12 ? 1 (x ? vg t)2
e 4( + it)
;
! 12 ? (x ? vg t)2
2(2 + 2t2) :
e
2
2
2
+ t
2
Die "Intensitat" j (x; t)j2 = jAGj2 ist also wieder eine Gausche Verteilung:
1. Bei festem t ist j (x; t)j2 maximal, falls x = vgt, d.h. dort, wo sich nach der
klassischen Mechanik (x(t) = vt) das Teilchen benden sollte. Das Maximum
wandert mit der Geschwindigkeit vg.
2. Fur t = 0 ist
x2
?
j (x; 0)j2 = e 2 ;
andererseits gilt
"
#2
k
?
k
0
?
2
jg(k)j2 = e?2(k ? k0) = e (2)?1=2 :
p
Wir denieren k := 1= 2 als die "Breite" des Gauschen Wellenpaketes im k{Raum (istpk ? k0 = k , so ist jg(k)j2 auf den e - ten Teil
abgefallen) und x(0) = 2 als Breite des Wellenpaketes im Ortsraum zur Zeit t=0. Zwischen x(0) und k gilt die Beziehung
(k)(x(0)) = 1 :
Je schmaler also ein Wellenpaket im k - Raum ist (d.h. je schmaler die Spektrallinie ist), um so breiter ist das Wellenpaket im Ortsraum und umgekehrt.
Und da p = h k, so folgt daraus
(p)(x(0)) = h :
3.1. GRUPPENGESCHWINDIGKEIT VON WELLENPAKETEN
17
Je genauer man also den Impuls eines Teilchens kennt ("Unscharfe
p), desto weniger genau kann man seinen Ort x angeben ("Unscharfe x). Das Produkt der Unscharfen ist durch h gegeben (Heisenbergsche Unscharferelation). Mehr hierzu spater!
22
p
p
Fur t =
6
0 bekommt man statt 2 die zeitabhangige Breite 2(1 + 2t )1=2 >
p
2, d.h. das Wellenpaket "zeriet" im Laufe der Zeit! Diese Aussage gilt wie wir sehen werden - fur beliebige Wellenpakete. Sie bedeutet, da die Wellenfunktion nicht die Materieverteilung eines Teilchens beschreiben kann, denn
erfahrungsgema zerieen Elektronen, Protonen und Atome nicht.
(Nach Born ist j (x; t)j2 vielmehr als Wahrscheinlichkeitsdichte zu interpretieren, s. weiter unten.)
Literatur zur Fourier{Transformation:
1. M.J. Lighthill,
Einfuhrung in die Theorie der Fourier-Analysis;
BI- Hochschultaschenbuch 139, Mannheim 1966.
(Sehr elementar!)
2. F. Constantinescu,
Distributionen und ihre Anwendung in der Physik,
Teubner, Stuttgart 1974.
(Kap. 10: Fourier-Transformation)
3. M. Reed and B. Simon,
Fourier-Analysis, Selfadjointness (Methods of Modern Mathematical
Physics, vol. II)
Academic Press, New York etc. 1975.
(Gute Darstellung im Rahmen des modernen mehrbandigen Werkes
zur Mathematischen Physik!)
4. E. Hewitt and K. Stromberg,
Real and Abstract Analysis xx16 u. 21,
Springer-Verlag, Berlin etc. 1969.
(Mathematisch anspruchsvoll!)

KAPITEL 3. DIE SCHRODINGER
- GLEICHUNG
18
3.2 Die Schrodinger - Gleichung
Mit E = h ! und ~p = h~k wird aus der ebenen Welle k(~x; t) = Ae?i(!t ? ~k ~x)
? hi (Et ? p~ ~x)
:
p (~x; t) = Ae
Fur ein nichtrelativistisches Teilchen hat man E = 21m ~p 2.
Da
@t p(~x; t) = ? hi E p(~x; t) und
@ (~x; t) @ (~x; t) = i p (~x; t) ;
j p
@xj p
h j p
p(~x; t) (@12 + @22 + @32) p(~x; t) = ? 12 p~ 2 p(~x; t) ;
h
= ? 2m2 E p(~x; t) ;
h
so genugt p(~x; t) der (partiellen) Dierentialgleichung
2
ih @t p(~x; t) = ? 2hm p(~x; t) :
e
Ganz analog gilt fur das Integral 1
!
2
~
p
i
Z +1
t ? ~p ~x 3
?
e(~p)e h 2m
(~x; t) = (2h )? 32
dp
?1
die Gleichung
2
ih @t (~x; t) = ? 2hm (~x; t) :
e
Dies ist die Schrodinger{Gleichung fur ein freies Teilchen (nichtrelativistisch).
Bei ihr handelt es sich um eine lineare partielle Dierentialgleichung in den Zeitund Ortskoordinaten. Die Linearitat tragt dem fur die Quantentheorie fundamentalen Superpositionsprinzip Rechnung:
Beschreiben 1 und 2 zwei quantentheoretisch mogliche physikalische
Zustande, so beschreibt auch die lineare Superpostion c1 1 + c2 2; ci :
komplex, einen moglichen physikalischen Zustand.
1
Der Faktor (2h)?3=2 ist Konvention.

3.2. DIE SCHRODINGER
- GLEICHUNG
19
Man erhalt die "freie" Schrodinger-Gleichung formal, indem man in der Beziehung E = 21m p~ 2 folgende Zuordnungen macht:
E ! ih @t ; pj ! Pj := hi @j ;
1 p~ 2 ! 1 P~ 2 = ? h 2 H :
0
2m
2m
2me
Die Differential{"Operatoren" ih @t und H0 sind auf die Wellenfunktion (~x; t) anzuwenden und aus E = 21m ~p 2 folgt dann die "freie" Schrodinger{Gleichung:
2
ih @t (~x; t) = H0 (~x; t) = ? 2hm (~x; t) :
e
Verallgemeinerung:
Fur ein klassisches Teilchen, das sich in einem Potential V (~x) (unabhangig von t
und ~p) bendet, hat man fur die Gesamtenergie E = 21m ~p 2 + V (~x). Die Verallgemeinerung des obigen "freien" Falles ist dann
2
E ! H := H0 + V (~x) = ? 2hm + V (~x) ;
e
und die zugehorige Schrodinger{Gleichung lautet:
2
ih @t (~x; t) = H (~x; t) = ? 2hm (~x; t) + V (~x) (~x; t) :
e
Man beachte, da auch die Schrodinger-Gleichung mit Potential eine lineare Dierentialgleichung ist, also auch hier das Superpositionsprinzip gilt. Umgekehrt
folgt die Linearitat der Schrodinger-Gleichung fur ein Teilchen mit Wechselwirkung aus der Forderung nach Gultigkeit des Superpositionsprinzipes fur Wellenfunktionen!
Man beachte, da das Superpositionsprinzip in der Mechanik i.allg. nicht gilt, da
die (Hamiltonschen) Bewegungsgleichungen i.allg. nicht linear sind!
Bemerkungen:
1. Die Schrodinger{Gleichung
2
ih @t (~x; t) = H0 (~x; t) ? 2hm (~x; t)
e
ist eine Folge der fundamentalen Relationen
E = h ! und ~p = h~k
sowie von E = 21m p~ 2 :

KAPITEL 3. DIE SCHRODINGER
- GLEICHUNG
20
Die Verallgemeinerung
2
ih @t (~x; t) = ? 2hm + V (~x)
e
!
(~x; t)
fur ein Teilchen in einem klassischen aueren Potential V (~x) kann man
sich so plausibel machen :
1-dim:
V1
Teilchen der Energie E benden sich
E f
ur x < 0 in einem Potential V1 > 0
und fur x > 0 in V2 0; V1 > V2.
Z.B.
x < 0 : Elektronen in einem Leiter;
x > 0 : im leeren Raum
Energie
6
V2
-
x=0 x
In beiden Fallen sind den Teilchenstrahlen ebene Wellen zugeordnet:
? hi (Et ? pj x)
; j = 1; 2;
j = Aj e
1
und pj = [2m(E ? Vj )] 2 ;
da E = 21m p21 + V1 = 21m p22 + V2 :
Fur x < 0 bzw. x > 0 hat man oenbar die Gleichungen,
2 d2
ih @t 1(x; t) = ? 2hm dx
2 1(x; t) + V1 1 (x; t) bzw.
2 d2
ih @t 2(x; t) = ? 2hm dx
2 2(x; t) + V2 2 (x; t) :
Hat man nun n verschiedene Gebiete mit V = const.; = 1; : : : n; V1 6= V2 , so
erhalt man fur jedes eine entsprechende Gleichung wie oben. Eine naheliegende (aber nicht zwingende!) Verallgemeinerung fur kontinuierliche
V (x) ist dann:
!
2 d2
h
ih @t (x; t) = ? 2m dx2 + V (~x) (x; t)
(s. auch Berkeley - Kurs, Bd. 4, Kap.7).
Die eigentliche Bestatigung der Schrodinger - Gleichung erhalt man
durch Vergleich mit experimentellen Resultaten.
Optische Interpretation des obigen Beispieles:

3.2. DIE SCHRODINGER
- GLEICHUNG
21
Als "Brechungsindex"
einfallender
n12 := 1 = pp2
Strahl
2
1
2
ergibt sich
"gebrochener"
1
Strahl
E ? V2 21
n12 = E ? V > 1 :
1
Aus der Wellenoptik hat man das Brechungsgesetz
sin 1 = n oder p sin = p sin ;
1
1
2
2
sin 2 12
d.h. die Tangentialkomponente des Teilchenimpulses ist an der
x<0
x>0
Grenzache stetig (Impulssatz).
2. Operatoren sind nichts anderes als bestimmte Vorschriften, wie Elemente ei-
ner vorgegebenen Menge bestimmte Elemente einer anderen Menge (die gleich
der ursprunglichen sein kann) zugeordnet werden. Ein anderer Name fur derartige Vorschriften ist "Abbildung".
Beispiele:
(a) Es sei (e1; e2) eine feste Basis im R2. Man hat dann
!
x
1
~x = x1e1 + x2e2 $ x = x :
2
Jede Matrix
!
a
a
11
12
A = a21 a22
deniert eindeutig eine Abbildung R2 ! R2 durch die Vorschrift
x ! xA = A x fur alle x 2 R2 :
Hier ist A ein Matrix - Operator.
(b) Es sei F := ff1(x); ; fn(x); x 2 Rg eine Menge von komplexwertigen
Funktionen auf der reellen Achse, die bestimmte Eigenschaften haben.
Z.B. seien die f (x) quadratintegrierbar:
Z
dxjf (x)j2 < 1:
R Die Vorschrift f (x) ! x2f (x) deniert den "Multiplikations Operator" x2; Man beachte, da haug x2f (x) 62 F : so braucht
z.B. x2f (x) nicht mehr quadratintegrabel zu sein!

KAPITEL 3. DIE SCHRODINGER
- GLEICHUNG
22
d f (x), falls f 2 C 1 (= Menge der 1-mal
Die Vorschrift f (x) ! dx
stetig dierenzierbaren Funktionen), deniert den " DierentialOperator" dxd . Auch hier stimmt die Bildmenge nicht mit der
Urbildmenge C 1 uberein!
Die Vorschrift f (x) ! f(x) deniert den Operator "Komplexe
Konjugation" K.
Anmerkungen:
(a) Die Beispiele zeigen, da es bei einem Operator wesentlich ist, die zugehorige "Urbild{Menge" = Denitionsbereich und "Bild{Menge" =
Wertebereich anzugeben .
(b) Der Matrix{Operator A ist ein linearer Operator, d.h. sind
x(1); x(2) 2 R2, 1; 2 2 R, so gilt 1x(1) + 2x(2) 2 R2 und
A 1x(1) + 2x(2) = 1 (A x(1)) + 2 (A x(2)) :
Ebenso gilt: falls f1(x); f2(x) 2 C 1, dann ist, mit 1; 2 2 C
d ( f (x) + f (x)) = d f (x) + d f (x) ;
2 2
1 dx 1
2 dx 2
dx 1 1
d.h. dxd ist ebenfalls ein linearer Operator.
Andererseis gilt fur die komplexe Konjugation K:
K (1 f1(x) + 2f2(x)) = 1 Kf1(x) + 2 Kf2(x) ;
d.h. K ist nicht linear. Man nennt K antilinear.
(c) Operatoren vertauschen im allgemeinen nicht miteinander:
A1; A2 : 2 2 Matrizen, so gilt i.a. A1 A2 6= A2 A1 :
Ferner hat man
!
!
d
d
d
x dx f (x) 6= dx (xf (x)) = f (x) + x dx f (x) :
Das bedeutet
!
d (xf ) ? x d f = f , oder formal
dx
dx
d x ? x d = 1 = Idenditatsoperator :
dx
dx
3.3. ZUR INTERPRETATION DER WELLENFUNKTION
23
(d) Der Schrodinger{Operator (auch Hamilton - Operator genannt, s.
spater)
2
H = ? 2hm + V (~x)
e
ist ein linearer Operator im Raum der Wellenfunktionen (~x; t).
Er ist eine Funktion der linearen Dierential{Operatoren
Pj : Pj = hi @j ; j = 1; 2; 3
und der Multiplikations{Operatoren
Qj : Qj = xj ; j = 1; 2; 3 :
H = H(P~ ; Q~ ) = 21m P~ 2 + V (Q~ ) :
Die Operatoren Pj und Qk genugen den "Vertauschungs"{Relationen:
Pj Qk ? Qk Pj = hi jk ; d.h.
8 h
<
Pj (Qk ) ? Qk (Pj ) = : i fur j = k
0 fur j =
6 k:
~ etc. werden spater disWeitere Eigenschaften der Operatoren H; P~ ; Q
kutiert.
3.3 Zur Interpretation der Wellenfunktion
Die folgenden Bemerkungen zur Interpretation der Schrodinger{Gleichung sind (sehr)
unvollstandig!
1. Es sei klassisch E = 12 ~p 2 + V0; V0 = const.; da die Normierung der Energie
(d.h. V0) willkurlich ist, kann die Frequenz ! = E=h selbst keine physikalische
Bedeutung haben, wohl aber !12 = (E2 ? E1)=h !
2. Fur die Wellenfunkion (~x; t) gilt nach M. Born folgende Interpretation:

KAPITEL 3. DIE SCHRODINGER
- GLEICHUNG
24
Die Groe
w(~x; t) = j (~x; t)j2 = (~x; t) (~x; t)
ist als Wahrscheinlichkeitsdichte zu interpretieren:
Die Wahrscheinlichkeit
w(G; t) dafur, das Teilchen zur Zeit
3
t im Gebiet G R zu nden, ist gegeben durch
Z
w(G; t) = d3x w(~x; t) :
G
Da das Teilchen irgendwo sein mu, gilt
w( R3; t) = 1:
Dies ist eine zusatzliche Bedingung an die Losungen der Schrodinger{Gleichung: Zunachst sind nur solche Losungen zugelassen, fur
die
Z
d3x j j2 < 1
R3
gilt. Z
Es sei 3 d3x j j2 = N 2 < 1; N > 0. Wegen der Linearitat der SchrodinR
ger - Gleichung ist mit (~x; t) auch N1 (~x; t) eine Losung, so da man durch
Z
Umnormierung immer 3 d3x j j2 = 1 erreichen kann.
Beispiel: Nach S. 16 hatR man fur ein Gausches Wellenpaket in drei Dimensionen
3 ? ~x 2
jAG(~x; t = 0j2 = e 2 ;
d.h.
3
Z
d3x jAG(~x; t = 0)j2 = (2) 23 = N 2 :
Demnach bekommt man fur das "richtig" normierte Wellenpaket
~x 2 i ~p ~x
?
3
?
0 ;
G (~x; t = 0) = (2) 4 e 4 e h
~x 2
?
3
w(~x; t = 0) = (2)? 2 e 2
und
Frage: Falls
fur t =
6 0?
Z
Z
R3
3 x w(~x; t = 0) = 1 :
d
R3
d3x w(~x; t) = 1 fur t = 0 ist , welchen Wert hat das Integral
3.3. ZUR INTERPRETATION DER WELLENFUNKTION
Antwort:
Z
R3
25
d3x w(~x; t) ist zeitunabhangig!
Zunachst gilt
@tw(~x; t) = (@t ) + (@t ) :
Die Schrodingergleichung ergibt fur bzw. !
!
2
2
h
h
1
1
bzw. @t = ? ih ? 2m + V @t = ih ? 2m + V
e
e
(V ist reell!). Daraus folgt aber
h ( ? ( ) ) :
@tw(~x; t) = ? 2mi
Allgemein gilt nun
f1f2 ? f2f1 = div (f1gradf2 ? f2gradf1) ;
so da wir mit mit folgender Denition
h ( grad ? grad )
~s := 2mi
der Dichte des "Wahrscheinlichkeits - Stromes" eine Kontinuitatsgleichung erhalten:
Beweis:
@tw(~x; t) + div ~s(~x; t) = 0 ;
w(~x; t) = j (~x; t)j2 ;
h ( grad ? grad ) (~x; t) :
~s(~x; t) = 2mi
Bezeichnen wir mit K (a) ein Vollkugel vom Radius a und mit @K (a) ihre
Oberache, so erhalten wir unter Verwendung des Gauschen Satzes:
Z
Z
Z
3
3
@t 3 d x w(~x; t) = 3 d x @tw(~x; t) = ? 3 d3x div ~s(~x; t) =
R
R
R Z
= ? lim
d2 f~ ~s(~x; t)
a!1 @K (a)
Die Transformation in Kugelkoordinaten fuhrt zu
Z
Z1
Z
2
3
x; t) r = k~xk :
3 d x = 0 r dr d
w(~
R

KAPITEL 3. DIE SCHRODINGER
- GLEICHUNG
26
Z
R
Die Bedingung 3 d3xw(~x; t) < 1 ist gewahrleistet, falls d
w(~x; t) fur r !
R
1 mindestens wie k~xk?3? ; > 30, verschwindet . Dies ist sicher erfullt, falls
j (~x; t)j fur groe k~xk wie k~xk3? 2 ? abfallt. Strebt kgrad k im Unendlichen
ebenfalls mindestens wie k~xk? 2 gegen Null, so verschwindet fur groe k~xk =
a der Betrag der Wahrscheinlichkeits{Stromdichte k~s(~x; t)k mindestens wie
a?3? . Das heit aber
Z
lim
d2f~ ~s(~x; t) = 0
a!1 @K (a)
und somit
@t
Z
R3
d3x w(~x; t) = 0 ;
q. e. d.
Beispiel: Fur
?3
G (~x; t = 0) = (2) 4
bekommt man
2
? ~x4 hi p~0 ~x
e
e
~s(~x; t = 0) = ~pm0 w(~x; t = 0) = ~vg w(~x; t = 0) :
Bemerkung: Fur eine ebene Welle
p(~x; t) = Ae
? hi (Et ? ~p ~x)
; A = const. ;
hat man
w(~x; t) = jAj2 = const. ;
~s(~x; t) = mp~ jAj2 ;
d.h. die Kontinuitatsgleichung @tw + div ~s = 0 ist erfullt, aber es ist
Z
Z
3
2
x; t) = jAj 3 d3x = 1 :
3 d x w(~
R
R
Die ebenen Wellen sind also nicht auf w( R3; t) = 1 normierbar; sie erstrecken sich bis ins Unendliche. Mehr hierzu spater!
Ist (~x; t) eine Losung der Schrodinger{Gleichung (mit Potential V (~x)), so
konnen wir bezuglich ~x Fourier{transformieren:
i ~p ~x
3Z 3 ~
?
;
(~x; t) = (2h ) 2 d p (~p; t)e h
3.3. ZUR INTERPRETATION DER WELLENFUNKTION
27
mit der Umkehrung
Z
~(~p; t) := (2h )? 23 d3 x
Einsetzen in die Gleichung
Z
(~x; t) e
? hi p~ ~x
:
d3x (~x; t) (~x; t) = 1
ergibt:
i p~ ~x
~(~p; t)e h
=
1=
1
0
i
Z
Z
? ~p ~x
d3p ~(~p; t) (2h )? 32 d3x B
@ (~x; t)e h CA =
Z
d3p ~(~p; t) ~(~p; t) = 1 :
Z
Z
d3x (~x; t) (2h )? 32 d3p
(Wir haben bei den obigen Rechnungen stillschweigend angenommen, da alle
Integrale existieren und die Vertauschung der Integrationsreihenfolgen erlaubt
ist.) Analog zu w(~x; t) kann man
w~(~p; t) = j ~(~p; t)j2
als Wahrscheinlichkeitsdichte im Impulsraum interpretieren.
Wichtig: w~(~p; t) ist nicht die Fourier - Transformierte von w(~x; t) !
3. Es seien a1; : : :; an die moglichen Mewerte einer Groe A. DiePWahrscheinlichkeit, bei einer Messung den Wert a zu nden, sei w , wobei n=1 w = 1.
Dann deniert man als Mittel - bzw. Erwartungswert von A die Zahl
A hAi =
n
X
=1
a w :
Analog deniert man als Erwartungswert (zur Zeit t) der Ortskoordinate
xj ; j = 1; 2; 3 :
Z
hQj i (t) = d3x xj w(~x; t) :
Beispiel: Fur das Gausche Wellenpaket
2 43 ? 2 (~p ? p~0 )2
^G(~p) =
e h
h 2

KAPITEL 3. DIE SCHRODINGER
- GLEICHUNG
28
ist
!
2
~
p
i
Z
? 2m t ? ~p ~x
? 23 d3 p ^ (~p) e h
(
~
x
;
t
)
=
(2
h
)
G
G
!2
p
~
t
0
~x ? m
0
1 34 ?
!
!
2
~
p
i
i
h
0
B
C
4 + 2m t ? h 2m t ? ~p0 ~x
B
CC
B
e
:
= B
!2 C e
B
@ 2 + i h t CA
2m
Weiter hat man
!2
~
p
t
0
~x ? m
! 23 ?
2
e
w(~x; t) = 2
; mit
2
:= (t) = 2 + 4hm2 t2 ;
und fur das zugehorige w~(~p; t) gilt
Somit erhalt man
2 23 ? 22 (~p ? ~p0)2
w~(~p; t) =
:
e h
h 2
!2
~
p
0
~x ? m t
1 23 ?
0
2
h
Z
2
C
B
2( + 4m2 t2)
C
B
3
CA e
:
hxj i (t) = R3 d x xj B@
2
h
2
2
2( + 4m2 t )
2
Mit (t) = 2 + h 2 t2 und der Variablen - Substitution ~y = ~x ? ~p0 t ist
4m
m
schlielich
y~ 2
! 32 Z
?
hxj i (t) = 2(t) R3 d3y yj + m1 (p0)j t e 2 (t) :
Da der Term mit yj eine ungerade Funktion in yj ist, verschwindet er. Man
erhalt als Ergebnis:
Z
1
hxj i (t) = m (p0)j t d3x w(~x; t) = m1 (p0 )j t; d.h.
3.3. ZUR INTERPRETATION DER WELLENFUNKTION
29
D E
Q~ (t) = h~xi (t) = m1 p~0t = ~vg t ;
das ist die Bewegung eines freien Teilchens!
Analog bekommt man fur den Mittelwert des Impulses eines Teilchens (auch
bei V (~x) 6= 0 !):
Z
Z
hPj i (t) = hpj i (t) = d3ppj w~(~p; t) = d3ppj ~(~p; t) ~(~p; t)
i ~p ~x
Z
Z
3
?
3
3
= d p ~(~p; t) pj (2h ) 2 d x (~x; t)e h
i ~p ~x
Z
Z
3
= d3x (~x; t) (2h )? 2 d3ppj ~(~p; t)e h
Z
= hpj i (t) = d3x (~x; t) hi @j (~x; t) :
Nach Konstruktion ist das letzte Integral reell, was sich auch direkt nachweisen
lat:
!
Z
h
3
hpj i = d x i @j
Z
= ? hi d3x@j ( ) ? (@j ) Z
h
= hpj i ? i d3x@j ( ) :
Nun ist
xj =1
Z
Z
3
2
= 0;
d x@j ( ) =
d x ( )
xk 6=xj
xj =?1
da j j ! 0 fur k~xk ! 1. Also haben wir
!
Z
h
3
hpj i = d x i @j = hpj i :
Verallgemeinerung: Es sei F (~x) eine Funktion von ~x und G(~u) ein Polynom
in ~u mit reellen Koezienten, dann gilt fur den Erwartungswert von F bzw.
G:
Z
D ~ E
F (Q) = d3xF (~x)w(~x; t) ;
Z
D
E
G(P~ ) = d3x (~x; t) G( hi grad) (~x; t) :
Beispiel:
G(~u) = 21m ~u 2;
!
2
h
h
G i grad = ? 2m ;
e
30

KAPITEL 3. DIE SCHRODINGER
- GLEICHUNG
d.h. uj ! Pj = hi @j :
D
E Z
Oenbar gilt G(P~ ) = d3pG(~p)w~(~p; t). (Es wird vorausgesetzt, da alle
Integrale existieren!).
Ist F (~x) ebenfalls ein Polynom, so hat man
D ~ E Z 3 ~
hF (~x)i = F (Q) = d p (~p; t)F (ihgrad~p) ~(~p; t) :
Der Beweis wird mittels Fourier{Transformation gefuhrt.
Man sagt, der Operator Qj habe im Ortsraum eine Darstellung als Multiplikations - Operator : Qj (~x; t) = xj (~x; t) und im Impulsraum eine Darstellung als Dierential - Operator: Qj ~(~p; t) = ih @pj ~(~p; t). Entsprechend
ist Pj Differential{Operator im Ortsraum und Multiplikations - Operator im
Impulsraum.
4. Bei Wahrscheinlichkeits - Aussagen ist nicht nur der Mittelwert
wichtig, sondern auch die mittlere Abweichung davon.
Hat A die Mewerte a1; : : :; an und den Mittelwert hAi,so deniert
man als
1
2
2
2
mittleres Schwankungsquadrat (A) ; A = +[(A) ] die Groe:
(A)2 =
n
X
=1
n
X
(a ? hAi)2w
(a2 ? 2 hAi a + hAi2)w
=1
n
D E
X
a2 w ? hAi2 = A2 ? hAi2 0 :
=
=
=1
Analog sind die mittleren Schwankungen bzw. Unscharfen xj ; pj bzw.
Qj ; Pj folgendermaen deniert:
Z
(xj )2 = d3x(xj ? hxj i)2w(~x; t)
E
D
= (Qj ? hQj i)2 = (Qj )2 ;
!2
Z
h
(pj )2 = d3x (~x; t) i @j ? hpj i (~x; t)
Z
= d3p(pj ? hpj i)2w~(~p; t)
D
E
= (Pj ? hPj i)2 = (Pj )2 :
3.3. ZUR INTERPRETATION DER WELLENFUNKTION
Mit xj ist die positive Wurzel von (xj )2 gemeint.
Beispiel: Wir betrachten wieder das Gausche Wellenpaket
!2
p
~
0
~x ? m t
! 32 ?
2 (t)
w(~x; t) = 2(t) e
2
(t) = 2 + 4hm2 t2
hxi = p~m0 t :
Dann ist
(xj )2
=
=
=
=
=
Z
d3x
!2
(
p
)
0
j
xj ? m t w(~x; t)
!2
(
p
)
0
j
xj ? m t
! 21 Z +1
!2 ?
(p0)j t e
2 (t)
dx
j xj ?
2 (t) ?1
m
(yj )2
! 21 Z +1
?
2 2 (t)
2 (t) ?1 dyj (yj ) e
(yj )2
! 12 Z +1
?
d
dyj e 2
?2 2(t) d
?1
! 12
!? 12
d
?2 2 (t) d 2 (t) = :
Das heit
! 12 p
2
p
h
xj = 1 + 42 m2 t2 :
Analog erhalt man
(pj )2
=
mit
Z
d3p[pj ? (p0)j ]2 w~(~p; t) ;
2 32 ? 22 (~p ? ~p0)2
e h
w~ (~p; t) =
:
h 2
Ausrechnen wie oben ergibt:
2
(pj )2 = 4h ; also pj = p1 h2 :
31

KAPITEL 3. DIE SCHRODINGER
- GLEICHUNG
32
Zwischen pj und xj besteht demnach die Heisenbergsche Unscharfe{Relation:
(xj ) (pj ) 21 h
Spater wird gezeigt, da diese Relation auch fur V (~x) 6= 0 gilt:
(Qj ) (Pj ) 21 h ;
D
E
(Qj )2 = (Qj ? hQj i)2 ;
E
D
(Pj )2 = (Pj ? hPj i)2 :
Die Unscharfe{Relation folgt aus der Beziehung
Pj Qj ? Qj Pj = hi :
(Beweis spater!)
Folgerung: Bei einem quantenmechanischen System lassen sich Orts-
und Impulsvariable nie gleichzeitig beliebig scharf messen. Dem
Produkt der Unscharfen ist durch die Relation (xj ) (pj ) h =2
eine untere Schranke gesetzt!
Beispiel: Beugung eines monochromatischen Elektronenstrahles an zwei Spal-
ten:
x
62
-
-
-
x1
S1
A
-
A
A
- 2
A
S
-
p~ = (p; 0; 0)
= h=p
d
-
Schirm
Von links fallt eine ebene Welle der Frequenz ! = Eh = h1 21m ~p 2 ; ~k = h1 ~p
3.3. ZUR INTERPRETATION DER WELLENFUNKTION
33
auf eine Blende mit den Spalten S1 und S2, die sich im Abstand a voneinander
benden. Die Spalte sind koharente Quellen fur die Wellen
A e?i(!t ? ~k1 ~x) und A e?i(!t ? ~k2 ~x) ;
1
2
die sich hinter der Blende superponieren:
(~x; t) = A1e?i(!t ? ~k1 ~x) + A2e?i(!t ? ~k2 ~x) ;
k~k1k = k~k2k = 2 :
Die zugehorige Intensitat (unnormierte Wahrscheinlichkeitsdichte) ist
!
~
~
2
2
2
i
(
k
?
k
)
~
x
:
j (~x; t)j = jA1j + jA2j + <e 2A1A2 e 1 2
Der letzte Term ist verantwortlich fur die Interferenzen auf dem Schirm. Eine
einfache U berlegung zeigt, da die Maxima bei Winkeln n auftreten, fur die
a sin n = n
gilt. Die Abstande der Maxima betragen
d sin n+1 ? d sin n = d
a :
Halt man einen der Spalte zu, so verschwindet das zugehorige Ai und ebenso
das Interferenzbild. Dies war die Beschreibung des Systems im Wellen "Bild".
Im Teilchen - "Bild" wei man nicht, durch welchen Spalt ein Elektron
geogen ist, d.h.:
x2 a ;
andererseits haben die Elektronen hinter der Blende im allgemeinen eine Impulskomponente in x2 - Richtung, die ebenfalls nicht genau bekannt ist. p2
ist in etwa:
2h = h ;
p2 > p sin 1 = p
=
a
a a
d.h.
(x2) (p2)) > h > 12 h :
Bemerkungen:
(a) Die Tatsache, da "Elektronen" mit Impuls ~p unter bestimmten Umstanden (s. Beispiel) Welleneigenschaften zeigen, wobei ~k = h1 p~; k~kk = 2 ,
34

KAPITEL 3. DIE SCHRODINGER
- GLEICHUNG
fuhrt dazu, da bestimmte Teilcheneigenschaften - vor allem die Lokalisierbarkeit - "unscharf" werden, und zwar derart, da xj 2hp .
j
Wellen - und Teilcheneigenschaften sind zueinander komplementar (N.
Bohr).
(b) Will man bei dem Doppelspalt - Experiment beispielsweise die Teilcheneigenschaften scharfer erfassen, indem man mit, ob ein Elektron durch
S1 oder S2 gegangen ist, so braucht man dazu eine Messung, bei der
x2 a. Dies impliziert, da p2 h 1 h gilt (z.B. x2 = a ;
2 x2 a
10
p
p
2
2
und p = h 2 a = sin 1). Durch die Ortsmessung ist die Im2
puls - Unscharfe derart gro geworden, da die Richtungen 1; : : :; n; : : :
maximaler Interferenz "verwaschen" werden: das Inferferenzmuster verschwindet.
(c) Die "Intensitat" j (~x; t)j2 ist ein Ma fur die Wahrscheinlichkeit, das Teilchen in einer kleinen Umgebung von ~x aufzunden: deshalb bezeichnet
man die Schrodinger - Wellenfunktion (~x; t) als Wahrscheinlichkeits Amplitude.
Wichtig: in obigem Beispiel sind die Amplituden 1 und 2 zu addieren,
um j j2 zu bekommen, nicht jA1j2 und jA2j2 !
(d) Verringert man die Intensitat der einfallenden Elektronenstrahlen so, da
immer nur ein Elektron in der Apparatur ist, so ndet man trotzdem
(nach einiger Zeit) auf dem Schirm wieder ein Beugungsbild!!
Man kann die hereinkommenden Elektronen in der Ebene des Beugungsbildes zahlen, indem man dort sehr viele Zahler aufbaut, von denen
dann jeder einzelne auf je ein Elektron anspricht (Idealisierung).
Kapitel 4
Die stationare Schrodinger Gleichung fur eindimensionale
Systeme
Ist das Potential V (~x) von der Zeit t unabhangig, so kann man nach Losungen der
Form
(~x; t) = (t)u(~x)
suchen (Separation der Variablen). Einsetzen ergibt:
" 2
#
h
d
ih u(~x) dt (t) = ? 2m u(~x) + V (~x)u(~x) (t) :
e
Dividiert man durch (t)u(~x) 6= 0, so erhalt man
2
1
h
d
(
t
)
1
ih (t) dt = u(~x) Hu(~x); H = ? 2m + V (~x) :
e
Da die linke Seite eine Funktion der unabhangigen Variablen t, die rechte Seite eine
Funktion der unabhangigen Variablen ~x ist, so mu
ih (1t) ddt(t) = E = const. sein, d.h.,
Andererseits gilt:
(t) = Ce
? hi Et
; C = const.
!
2
h
Hu(~x) = ? 2m u(~x) + V (~x)u(~x) = Eu(~x)
e
Dies ist die zeitunabhangige oder "stationare" Schrodinger - Gleichung.
Die stationare Schrodinger - Gleichung hat die Form einer Eigenwert{Gleichung:
35
36
 SCHRODINGER

KAPITEL 4. DIE STATIONARE
- GLEICHUNG
Ist A eine n n{ Matrix in einem n{dimensionalen Vektorraum, und ~v ein n{dimensionaler Vektor mit der Eigenschaft A~v = a~v; a 2 R, so heit a ein Eigenwert
von A und ~v ein Eigenvektor von A zum Eigenwert a: ~v = ~va.
Analog ist u(~x) = uE (~x) "Eigenfunktion" des Schrodinger{Operators
H zum "Eigenwert" E .
Sind
? hi Ej t und u (~x) j = 1; 2;
j (t) = Cj e
Ej
zwei Losungen j (~x; t) = j (t)uEj (~x) von
ih @t (~x; t) = H (~x; t) ;
so ist auch ihre Summe 1(~x; t) + 2(~x; t) eine Losung.
Allgemein: Sind ?1 < B E1; : : : ; E ; : : : diskrete Eigenwerte von H und
fE; ?1 < B E < 1g kontinuierlich verteilte Eigenwerte von H, so ist bei
geeigneten C bzw. C (E ), die Konvergenz gewahrleisten, auch
(~x; t) =
1
X
=1
? hi E t
C e
uE (~x) +
Z1
B
dE C (E ) e
? hi Et
uE (~x)
eine Losung. C und C (E ) sind komplexe Zahlen; sie konnen auch Null sein!
Bemerkung: Die Energie mu nach unten beschrankt sein, da das System sonst
nicht stabil ist: E B > ?1.
Einfaches Beispiel fur Eigenfunktionen von Dierential - Operatoren:
d der Impulsoperator und ist e (x) Eigenfunktion von P zum reellen
Ist P = hi dx
p
Eigenwert p, d.h.
Pep(x) = hi dxd ep(x) = p ep(x) ;
ipx
so sind die Eigenlosungen oenbar ep(x) = Ce h , C = const:. D.h. die ebenen
Wellen sind Eigenfunktionen des Impuls{Operators P.
4.1 Die eindimensionale Potentialstufe
Wir haben als eindimensionales Potential hier
V (x) = 0 fur x < 0
V (x) = V0 > 0 fur x > 0 :
DIE EINDIMENSIONALE POTENTIALSTUFE
37
Die zugehorige (eindimensionale) Schrodinger{Gleichung lautet:
2 2
u(x) + V (x)u(x) = Eu(x)
? 2hm d dx
2
E fest ;
d.h.
d2u(x) = ? 2m (E ? V )u(x) :
dx2
h 2
Aus der letzten Gleichung folgt, da bei stetigem u(x) die 2. Ableitung von u bei
du ist ebenfalls noch stetig:
x = 0 einen endlichen Sprung macht, d.h. dx
!
Z + d du !
du
du
dx dx dx
= lim
? lim
!0 ?
!0 dx dx ?
Z +
2
m
= lim
? 2 ? dx (E ? V )u(x) = 0 ;
!0 h
du sind stetig fur x = 0!
also gibt es hier die Randbedingung: u(x); dx
1. E > V0:
Fur x < 0 ergibt sich, abgesehen von einer Konstanten, die allgemeine Losung:
x < 0 : u(x) = eikx + Re?ikx; k = h1 (2mE ) 21 > 0 ;
R = const..
!
h
du
du
Als zugehorigen "Flu" s(x) = 2mi u dx ? u dx (Wahrscheinlichkeits Stromdichte) erhalt man:
s? = hmk (1 ? jRj2)
Interpretation: eikx beschreibt eine von von links nach rechts laufende,
einfallende Welle mit Flu hmk > 0, R e?ikxbeschreibt eine an der Stufe
reektierte Welle mit Flu ?jRj2 hmk .
Die Losung fur x > 0 lautet
x > 0 : u(x) = Teiqx; q = + h1 [2m(E ? V0)] 21
s+ = hmq jT j2 :
38
 SCHRODINGER

KAPITEL 4. DIE STATIONARE
- GLEICHUNG
Die ebenfalls mogliche Losung e?iqx lassen wir weg, da von rechts keine Welle
einfallen soll. s+ = hmq jT j2 ist der nach rechts durchlaufende Strom.
Stetigkeit von u(x) bei x = 0 ergibt
1+R =T
und die Stetigkeit von du
dx bei x = 0:
ik(1 ? R) = iq T :
Aus beiden Gleichungen folgt
? q ; T = 2k :
R = kk +
q
k+q
Damit sind R und T als Funktionen von E und V0 bekannt. Man rechnet
unmittelbar nach, da
h k (1 ? jRj2) = h q jT j2 ;
m
m
s(x) ist also ebenfalls stetig bei x = 0.
Bemerkung: im Gegensatz zur klassischen Mechanik, wo fur E > V0 kein
Teilchen reektiert wurde, wird hier der Bruchteil jRj2 reektiert. Fur V0 E
gilt q ! k und R ! 0.
2. E < V0:
Fur x < 0 hat man als allgemeinste Losung
u(x) = A1 sin kx + B1 cos kx ;
k = h1 (2mE ) 21 ;
und fur x > 0
u(x) = A2e?x + B2ex ;
= h1 [2m(V0 ? E )] 21 :
Aus physikalischen Grunden kann u(x) fur x > 0 nicht beliebig gro werden,
woraus B2 = 0 folgt. Die Bedingung der Stetigkeit von u(x) fur x = 0 ergibt
A2 = B 1 ;
4.2. DIE POTENTIALBARRIERE
39
die Stetigkeit von du
dx in x = 0 fuhrt auf
A1k = ?A2 :
Mit diesen beiden Gleichungen erhalt man schlielich:
!
k
x < 0 : u(x) = A1 sin kx ? cos kx ;
x > 0 : u(x) = ?A1 k e?x :
Bemerkungen:
(a) Es ist uberall s(x) = 0 (stehende Wellen!).
2
(b) Man hat w(x) = jA1j2 k 2 e?2x fur x > 0, d.h. im Gegensatz zum
klassischen Fall dringt ein Bruchteil der Teilchen auch in das Gebiet
x > 0 ein! ("Tunneleekt", s. spater).
(c) Fur V0 ! 1 gilt k ! 0, also u(x) = A1 sin kx fur x < 0 und u(x) = 0
fur x > 0. Beachte: du
dx hat dann einen Sprung an der Stelle x = 0!
4.2 Die Potentialbarriere
6
einfall. Teilchen
-
durchl. Teilchen
V0
6
-
reekt. Teilchen E
?
?a
Das Potential ist:
0
?
a
8
>
fur x < ?a
<0
V (x) = > V0 > 0 fur ?a < x < a
:0
fur x > a :
-
x
40
 SCHRODINGER

KAPITEL 4. DIE STATIONARE
- GLEICHUNG
Von links fallen Teilchen mit der Energie E < V0 ein (Annahme!), von denen ein
Teil reektiert wird. Wir haben somit:
x < ?a : u(x) = eikx + Re?ikx
;
1
1
2
k = h (2mE ) ;
?a < x < a : u(x) = Ae?x + Bex ; 1
= h1 [2m(V0 ? E )] 2 ;
x > a : u(x) = Teikx (von rechts lauft keine Welle ein).
du in x = a fuhrt auf folgendes lineare GleichungsDie Stetigkeit von u(x) und dx
system fur die vier Groen R, A, B und T :
e?ika + Reika = Aea + Be?a ?
x = ?a :
= ?Aea + Be?a
ik e ika ? Reika
Ae?a + Bea
Teika
x = +a : ?Ae?a + Bea =
= ikTeika :
Aus den beiden ersten Gleichungen ergibt sich durch Addition und Subtraktion:
!
!
k
k
2Aea = 1 ? i e?ika + R 1 + i eika ;
!
!
k
k
?
a
?
ika
2Be
= 1 + i e
+ R 1 ? i eika ;
ebenso aus den beiden letzten Gleichungen:
!
2Ae?a = 1 ? i k eika T ;
!
k
1 + i eika T :
!
k
A = 1 ? i ! e2a :
B
1 + i k
2Bea =
Damit erhalten wir
Setzen wir dies in den Quotienten aus den ersten beiden Gleichungen ein, so ergibt
sich:
2 + k2) sinh(2a)
R = e?2ika (k2 ? 2)(sinh(2
a) + 2ik cosh(2a) :
Aus der ersten und dritten der obigen Gleichungen erhalt man:
2ik
T = e?2ika (k2 ? 2) sinh(2a
) + 2ik cosh(2a) :
DIE POTENTIALBARRIERE
41
Daraus bekommt man folgende Absolutquadrate:
2
22
2
) sinh (2a)
jRj2 = (2 +(k2+)2 ksinh
2(2a) + 42 k 2
42k2
jT j2 = (2 + k2)2 sinh
2(2a) + 42 k 2
d.h.
jRj2 + jT j2 = 1 :
Wichtig: Obwohl E < V0 konnen Teilchen durch die Barriere kommen, wobei vor
allem die Groe
a = h1 [2ma2(V0 ? E )] 21
fur den Bruchteil der durchlaufenden Elektronen verantwortlich ist (Tunneleekt).
Man betrachte folgende Spezialfalle:
! 0 (E ! V0 ) ; dann jT j2 ! 1 +1a2k2 :
Ferner
a 1 : sinh(2a) 12 e+2a;
d.h.
2
jT j2 ((42 +kk)2)2 e?4a :
Berucksichtigt man in dieser Formel in erster Naherung nur die Exponentialfunktion,
so sind sind die Transmissionskoezienten naherungsweise multiplikativ, d.h., falls
a = a1 + a2, dann gilt fur die zugehorigen Transmissionskoezienten
jTaj2 jTa1 j2 jTa2 j2
(Multiplikationssatz der Wahrscheinlichkeiten).
Approximiert man nun einen kontinuierlichen Potentialberg V (x) durch Stufen der
Dicke x = 2a, so ergibt sich - abgesehen von einem Normierungsfaktor Z q
?2 dx (2m=h 2)(V (x) ? E ):
2
jT j e
Der Tunneleekt ist wichtig bei vielen physikalischen Phanomenen, z.B. beim Kernzerfall sowie bei der "kalten" Emission von Elektronen aus einer Metalloberache,
die als Kathode dient:
 SCHRODINGER

DIE STATIONARE
- GLEICHUNG
42
6
V
"Auslosearbeit"
6
@
?
6
Potential
?eEel x im
??????????
@
Auenraum
@
A
@
@
@
@
E
Metall
?
@
@
0
@
@
@
Vakuum
-
x
4.3 Der unendlich tiefe Potentialtopf, bzw. der
Potentialtopf mit unendlich hohen Wanden
Wir studieren hier den Potentialverlauf
V (x) = 0 fur ? a < x < a ;
V (x) = 1 sonst :
Aus der letzten Bemerkung in Abschnitt 4.1 folgt, da u(a) = 0 = u(?a) sein mu!
Im Topf selbst hat man
d2u = ? 2 m E u :
d x2
h 2
Falls E < 0; = h1 (?2mE ) 21 , so hat man die Losungen
u(x) = A1ex + A2e?x ;
mit denen man die Randbedingungen u(a) = 0 = u(?a) jedoch nicht erfullen kann.
Es gibt also keine Losungen fur das Problem mit E < 0!
Fur E > 0 hat man
d2u = ?k2 u(x); k = 1 (2mE ) 21
dx2
h
mit den Losungen
u(?)(x) = A(?) sin kx ;
u(+)(x) = A(+) cos kx ;
(?) : ungerade Funktion in x,
(+) : gerade Funktion in x.
DER UNENDLICH TIEFE POTENTIALTOPF
43
Randbedingungen:
sin ka = 0 bedeutet, da ka = n; n = 1; 2; 3; sein mu, d.h. nur bestimmte
Werte von k (und damit der Energie E ) sind mit der Randbedingung
vertaglich: "Quantisierung".
Die zulassigen Energiewerte sind
2 2 2
h ; n = 1; 2; 3; :
En(?) = n2ma
2
Die Normierung der zugehorigen Eigenfunktionen
nx (
?
)
(
?
)
un = A sin a
R
gema ?aa u(x) u(x)dx = 1 ergibt A(?) = (a)? 21 , also
u(n?)(x) = a? 21 sin nx
a ;
n = 1; 2; 3; :
Ferner folgt aus cos ka = 0, da hier ka = (n + 1=2); n = 0; 1; 2; sein mu, und
damit lauten die Energiewerte
2 2 2
=2) h ; n = 0; 1; 2; :
En(+) = (n + 21ma
2
Die zugehorigen Eigenfunktionen sind :
? 21 cos (n + 1=2) x ;
u(+)
=
a
n
a
n = 0; 1; 2; :
Der tiefstmogliche Energiewert - die Grundzustandsenergie - ist
2h 2
(+)
E0 = 8ma2
:
E = 0 ist nicht moglich, da dann die Losung u(x) = b1 x + b0 den Randbedingungen
nur genugt, wenn b0 = 0, b1 = 0.
Die Mittelwerte hxi und hpi verschwinden. Z.B. ergibt sich
nx Za
x
sin
hxi = a1 ?a dx sin nx
a
a =0
 SCHRODINGER

DIE STATIONARE
- GLEICHUNG
44
da der Integrand antisymmetrisch in x ist. Fur das mittlere Schwankungsquadrat
d2 = 2mH, so folgt
(p)2 gilt somit (p)2 = hp2i. Da aber P2 = ?h 2 dx
2
D 2E()
p n = 2mEn() , wobei
!
Za
2
D 2E()
d
2
(
)
(
)
dx un (x) ?h dx2 un (x)
p n =
?a
Ferner erhalten wir fur hx2i mit der Substitution y = x
a
Za
D 2E(?)
x n = a1 dx x2 sin2 nx
a
?a
Z
2
2
= 1 ? ay
sin ny dy :
Da sin2 = 12 (1 ? cos 2), so erhalt man nach mehrmaliger partieller Integration
D 2E(?) a2 3
x n = 3 1 ? 22n2 :
Das Gesamtergebnis fur die ungeraden Eigenfunktionen lautet also:
12
a
n
h
3
(
?
)
(
?
)
(p)n = a ; (x)n = p 1 ? 22n2
3
Analog erhalt man mit cos2 = 12 (1 + cos 2):
(p)(+) = (n + 1 ) h
n
2 a ;
(x)(+) =
n
pa 1 ? 22(n3+ 1 )2
3
2
! 21
Die Unscharfe - Relationen lauten:
h
i1
(x)(n?) (p)(n?) = ph n22 ? 3=2 2 ;
3
1
h
(+) = p h(n + 1=2)2 2 ? 3=2i 2 :
(x)(+)
(
p
)
n
n
3
Bemerkungen
1. Die Energien En() sind umso groer, je groer die Zahl der Nullstellen (sog.
Zahl der Knoten) der zugehorigen Eigenfunktionen u(n)(x) im Intervall
DIE ENTWICKLUNG NACH BASISFUNKTIONEN
45
[?a; +a] sind.
Interpretation:
2 Za
D E()
d2 u()
= ? 2hm ?a dx u(n) dx
En() = hH i(n) = 21m p2 n
2 n
2 Z a du() 2
2 Z a du() du()
h
h
n
n
= 2m dx dx dx = 2m dx dxn ;
?a
?a
2
d.h. En ist umso groer, je schneller sich u(x) mit x andert (je groer du
dx ?1=2 cos x des Grundzustandes hat fur
ist). Die Wellenfunktion u(+)
n=0 = a
2a
jxj < a keine Nullstelle.
2. Das Produkt der Unscharfen (+)
x p hangt nicht von a ab und wachst mit
n. Fur den Grundzustand u0 hat man
1
21
3
h
(+)
(+)
2
(x)0 (p)0 = p 4 ? 2 = 0; 568 h > h2 ;
3
d.h. die allgemeine Relation (P) (Q) > h2 ist gerade erfullt. Ferner ist
(+) h
(x)(+)
0 = 0; 36 a, (p)0 = a 2 . Da (x) nicht groer als 2a (Durchmesser
des Potentialtopfes) sein kann, mu (wegen (P) (Q) > h2 ) die Impuls{
Unscharfe (p) 6= 0 sein! D.h. obwohl die Teilchen in den Zustanden u(n)
"scharfe" Energiewerte En() haben, gilt dies wegen der endlichen Ausdehnung des "Kastens" nicht fur ihre Impulse!
3. Mittels der Beziehungen
2 cos 1 cos 2 = cos(1 + 2) + cos(1 ? 2) ;
2 sin 1 sin 2 = cos(1 ? 2) ? cos(1 + 2) ;
2 sin 1 cos 2 = sin(1 + 2) + sin(1 ? 2)
rechnet man leicht nach, da
Za
(x)u(+) (x) = dx u(m?)(x)u(n?)(x) = mn ;
dx u(+)
;
mn
m
n
?a
?a
Za
(?)
dx u(+)
m (x)un (x) = 0 ;
Za
?a
d.h. Eigenfunktionen zu verschiedenen Eigenwerten En() sind zuein-
ander "orthogonal".
 SCHRODINGER

DIE STATIONARE
- GLEICHUNG
46
4.4 Die Entwicklung von Funktionen nach einem
System von Basisfunktionen
In einem n-dimensionalen (komplexen) Vektorraum = f~vg mit Skalarprodukt (~v1;~v2)
g(~v1;~v2) kann man jeden Vektor ~v eindeutig nach einer vollstandigen orthonormalen Basis f~e ; = 1; : : : ; ng entwickeln:
n
n
X
X
~v = c~e ; k~vk2 = (~v;~v) = jc j2 ;
=1
=1
c = (~e ;~v) sind.
wobei die Koezienten
Ganz analog kann man sich fragen, ob und in welchem Sinne man eine Funktion
u(x) nach "Basisfunktionen" f (x); = 1; 1 (abzahlbar!) entwickeln kann. Zu
diesem Zweck braucht man zunachst einmal ein Skalarprodukt, mit dem man u.a.
Orthogonalitat und Norm (= "Lange") von Funktionen denieren kann.
4.4.1 Denition und Eigenschaften des Skalarproduktes
Die Funktionen
u1(x); u2(x) seien im Intervall ?a x a quadratintegrabel,
R
a
d.h. ?a dx ju(x)j2 < 1, dann deniert man als Skalarprodukt:
Za
(u1; u2) := dx u1(x)u2(x) :
?a
Die Groe (u; u) 12 = kuk bezeichnet man als "Norm" der Funktion u bezuglich des
Skalarproduktes (u1; u2). Das obige Skalarprodukt hat u.a. folgende Eigenschaften:
(u1; u2) = (u2; u1) ;
(u1; 2u2 + 3u3) = 2(u1; u2) + 3(u1; u3) :
Ferner folgt aus
Za
dx (u1 + u2)(u1 + u2)
0 ?a
= (u1; u1) + jj2(u2; u2) + (u2; u1) + (u1; u2)
mit = ? ((uu22;; uu12)) die Schwarzsche Ungleichung:
(u1; u1)(u2; u2) j(u1; u2)j2 :
ENTWICKLUNG NACH BASISFUNKTIONEN
47
Vorsicht:
In einem n-dimensionalen Vektorraum folgt aus k~vk = 0, da ~v = 0, aber aus
kuk = 0 folgt i.a. nicht, da u(x) 0; es sei z.B. u(x) = 0 fur x 2 [?a; +a]
mit Ausnahme von endlich vielen Stellen, an denen u(x) = 1, dann hat man
kuk = 0 aber u 6 0. Man sagt auch u sei aquivalent zu 0 (u 0), wenn
kuk = 0.
Ferner sei im n-dimensionalen Vektorraum eine Folge f~vmg mit limm!1 k~vmk
= 0, so folgt limm!1 ~vm = ~0 . Dies gilt jedoch nicht immer bei Funktionen!
Beispiel:
8
>
2 x2 fur x2 1 ;
1
?
n
>
<
n2
un(x) = >
>
:0
fur x2 n12 ;
x 2 [?1; +1] :
Die Funktionen un(x) sind stetig und man hat
Z + n1 Z1
2
2
2
2
j
u
(
x
)
j
dx
=
kunk2 =
1
?
n
x
dx
n
?1
? n1
n1
2
1
2
3
4
5
= x ? 3 n x + 5 n x 1 = 1516n ;
?n
d.h. limn!1 kunk = 0; andererseits ist aber
(
0 fur x 6= 0
lim
u
(
x
)
=
n
n!1
1 fur x = 0
Auswege:
Man beschranke sich auf gleichgradig stetige Funktionen.
Man erweitere den Riemanschen Integralbegri (Lebesgue, s. mathematische
Literatur).
Anmerkung: Zwei Funktionen u1; u2 6 0 heien orthogonal, wenn ihr Skalarprodukt verschwindet: (u1; u2) = 0.
n Funktionen u1; ; un heien linear unabhangig, falls aus
n
X
ciui 0 ; fur alle x;
i=1
folgt, da c1 = = cn = 0. n zueinander orthogonale Funktionen f1; ; fn sind
immer linear unabhangig, denn aus
n
X
cifi 0
i=1
folgt nach Multiplikation mit fk und Integration
ck (fk ; fk ) = 0; d.h. ck = 0; k = 1; ; n :
 SCHRODINGER

DIE STATIONARE
- GLEICHUNG
48
4.4.2 Approximation von Funktionen im Mittel
Es sei ff (x)g ein System von orthonormalen Funktionen: (f ; f) = . Wir
nehmen an, da die f glatt (d.h. stetig dierenzierbar) in [?a; +a] sind. Ist u(x)
eine stetige Funktion, und sind 1; ; n komplexe Zahlen, so kann man fragen, fur
welche Wahl der Koezienten der Ausdruck
!
!
Za
n
n
n
X
X
X
2
0 ( ) := ku ? f k = dx u(x) ? f (x) u(x) ? f (x)
=1
?a
=1
=1
minimal wird (Methode der kleinsten Quadrate). Umformen ergibt
n
n
X
X
( ) = (u; u) + j ? c j2 ? jc j2; wobei
=1
=1
Za
c := (f ; u) = dx f(x)u(x) :
?a
Man sieht, da ( ) minimal wird, falls = c !
"Beste mittlere quadratische Approximation von u bei vorgegebenen f1; : : : ;
fn ."
Za
c = dx f (x)u(x) : Entwicklungskoezient
?a
von u bzgl. f .
Da ( ) 0, so folgt
kuk2 n
X
=1
jc j2;
und da die linke Seite nicht von n abhangt, so haben wir die Besselsche Ungleichung:
1
X
2
kuk jc j2 ;
=1
P
2
2
d.h die Reihe 1
=1 jc j konvergiert, falls nur kuk < 1.
Denition: Das orthonormale System ff g heit vollstandig im Intervall
[?a; +a], falls man jede dort stetige (bzw. stuckweise stetige, d.h. endlich viele
Unstetigkeitsstellen mit endlichen Sprungen) Funktion durch Wahl eines geeigneten n im Mittel beliebig genau approximieren kann, d.h. die Zahl
n
X
( ) = ku ? c f k2
=1
beliebig klein machen kann. Fur ein vollstandiges System tritt an die Stelle der
Besselschen Ungleichung die Gleichung
1
X
2
kuk = (u; u) = jc j2 :
=1
ENTWICKLUNG NACH BASISFUNKTIONEN
49
Wendet man diese Gleichung auf u(1) u(2) sowie auf u(1) iu(2) an, so folgt 1
(u(1); u(2)) =
1
X
(2)
c(1)
c :
=1
Nimmt man nur eine der Funktionen f aus dem System heraus, z.B. f1, so ist es
nicht mehr vollstandig, denn dann gilt
c = (f ; f1) = 0 ; = 2; ; aber (f1; f1) = 1 !
Ferner: aus der Konvergenz im Mittel
n
X
c f k2 = 0
lim
k
u
?
!1
=1
kann man i.a. nicht folgern, da die punktweise Konvergenz gilt, also
1
X
u(x) = c f (x) fur jedes x 2 [?a; +a] :
=1
Dies ist jedoch der Fall, wenn die letzte Reihe in [?a; +a] gleichmaig konvergiert,
da man dann Integration und Summation vertauschen darf. Also: die Konvergenz
im Mittel ist i.a. nicht gleichbedeutend mit der punktweisen Konvergenz
(siehe Seite 47). (Die Konvergenz im "Mittel", d.h. bezuglich der Norm kuk, ist
"grober".)
Etwas verallgemeinerte Denition der Vollstandigkeit: Ein System fg g von
Funktionen heit vollstandig, falls man jede stuckweise stetige Funktion im Mittel,
d.h bezuglich der Norm kuk, durch eine Linearkombination der g beliebig genau
approximieren kann.
Bemerkung: ein solches System kann immer orthonormiert werden (siehe die beiden
ersten U bungsstunden)!
Wichtig fur die Anwendungen ist der folgende Approximationssatz von Weierstra:
Jede im Intervall [a; b] stetige Funktion lat sich in diesem Intervall
gleichmaig durch Polynome in x approximieren.
Das heit: die Funktionen 1; x; x2; x3; bilden im endlichen Intervall [a; b]
ein (noch nicht orthonormiertes!) vollstandiges System.
4.4.3 Die Vollstandigkeit der trigonometrischen Funktionen und Fourier - Reihen
Es sei zur Vereinfachung a = gesetzt. Dann bilden die Funktionen
p1 ; p1 sin x und p1 cos x ; = 1; 2; 2
1 Es gilt (u ; u ) = 1 ku + u k2 ? ku ? u k2 + iku + iu k2 ? iku ? iu k2 :
1
2
4
1
2
1
2
1
2
1
2
 SCHRODINGER

DIE STATIONARE
- GLEICHUNG
50
ein System orthonormaler Funktionen in Intervall [?; +]. Daruber hinaus lat
sich jede Funktion f (x), die im Intervall [?; +] stetig ist und fur die f (?) = f ()
gilt, gleichmaig durch trigonometrische Polynome
n
1a + X
(+) cos x + a(?) sin x
a
0
2
=1
approximieren.
Beweis: Es sei = x der Polarwinkel in der y1 ; y2 -Ebene mit y1 = cos und
y2 = sin . Die Funktion f~(y1; y2) = f () ist stetig in der y1; y2-Ebene. Nach
dem Approximationssatz von Weierstra kann sie in einem Quadrat, das den Kreis
= 1 enthalt, durch Polynome in y1 und y2 gleichmaig approximiert werden, d.h.
fur = 1 ist f () gleichmaig durch Polynome in cos und sin approximierbar.
Die Polynome lassen sich dann mittels trigonometrischer Formeln in die obige Form
bringen.
Q. E. D.
Es sei
sn (x) = a0f0 +
n X
(+) (x) + a(?) f (?) (x) ;
a(+)
f
=1
wobei
Z +
1
a0 = p ? u(x) dx = (f0; u); ; f0 = p1 ;
2
2
Z +
1
u(x) cos x dx ;
= p
?
Z +
u(x) sin x dx ;
a(?) = (f(?); u) = p1
a(+) =
(f (+); u)
?
dann folgt aus dem vorher Gesagten
nlim
!1 ku ? sn k = 0
sowie
1 2 (?)2
X
(u; u) = ja0j2 + a(+)
+ a :
=1
Daruber hinaus gilt (ohne Beweis) folgender Satz:
Die Funktion u(x) sei stetig im Intervall [?; +] und ferner u(?) = u(+), dann
konvergiert die Reihe
1 X
(+) (x) + a(?) f (?) (x)
a(+)
f
a0f0 +
gleichmaig gegen u(x).
=1
4.5. NOCHMAL DER UNENDLICH TIEFE POTENTIALTOPF
51
Mathematische Literatur:
1. Courant and Hilbert, Methods of Mathematical Physics, Vol I.
2. Hewitt and Stromberg, Real and Abstract Analysis.
Springer Verlag.
(Mathematisch anspruchsvoll, ausfuhrliche Diskussion vom Lebesgue - Integral).
4.5 Nochmal der unendlich tiefe Potentialtopf
Nach den vorigen Abschnitten bilden die Funktionen
1 cos ( + 1=2) x ; = 0; 1; p
u(+)
(
x
)
=
a
a
und
u(?)(x) = p1a sin x
a ; = 1; 2; fur stetige Funktionen u(x) mit u(?a) = 0, u(a) = 0 ein vollstandiges System im
Intervall [?a; +a], d.h.
u(x) =
c()
=
(u; u) =
1
1
X
(+) (x) + X c(?)u(?) (x) ;
c(+)
u
=1
=0
(
)
(u ; u) und
1 2 X
X
c(+) + 1 c(?)2
=1
=0
=1:
u(x) sei die (als zweimal stetig dierenzierbar vorausgesetzte) Wellenfunktion eines beliebigen, mit den Randbedingungen vertraglichen Zustands des Systems, insbesondere gelte (u; u) = 1. Fur den Erwartungswert der Energie im Zustand u
bekommen wir:
Za
E = hHi = (u; Hu) = ?a dx u(x)Hu(x)
1
1
2
(+)2 X
X
(+)
E c + E(?) c(?) :
=
=0
=1
Physikalische Interpretation:
jc()j2 = j(u(); u)j2 ist die Wahrscheinlichkeit dafur, bei einer Energiemessung am System, das sich im Zustand u bendet, den Wert E() zu
messen.
52
 SCHRODINGER

KAPITEL 4. DIE STATIONARE
- GLEICHUNG
2
(+)
Fur den Fall, da z.B. jc(+)
j = , so mit man z.B. mit Sicherheit den Wert E .
Ferner: Bendet sich das System vor der Messung im Zustand u und
hat man den Wert E(+) gemessen, so bendet sich das System nach der
Messung im Zustand u(+)
. Eine erneute Messung der Energie liefert also
wieder das Resultat E(+).
Man bezeichnet die Groe
w(u ! u()) := j(u(); u)j2
auch als "U bergangswahrscheinlichkeit", das ist die Wahrscheinlichkeit
dafur, da ein System vom Zustand u in den Zustand u() ubergeht.
Diese hier am Beispiel des Potentialtopfes angestellten U berlegungen gelten ganz
allgemein!
Mathematische Bemerkung:
Hermitesche bzw. symmetrische Operatoren
u1(x) und u2(x) seien zwei beliebige, komplexwertige, zweimal stetig dierenzierbare
Funktionen mit ui(?a) = 0,ui(a) = 0, i = 1; 2. Dann gilt:
Z +a
Z +a
dx(xu1)u2
dxu1(x)(xu2(x)) =
1: (u1; Q u2) =
?a
?a
= (Qu1; u2)
Z +a
d u (x))
dxu1(x)( hi dx
2: (u1; Pu2) =
2
?a
"
#+a Z +a
h
d u ) u
= + i u1u2 +
dx( hi dx
1 2
?a
?a
= (Pu1; u2) :
und analog durch 2{malige partielle Integration
1 (u ; P2u ) = (H u ; u ) :
3:
(u1; H0 u2) = 2m
1
2
0 1 2
D. h. die drei Operatoren A = Q; P; H = H0 + V (Q) haben
die Eigenschaft
(u1; Au2) = (Au1; u2) = (u2; Au1) :
Solche Operatoren nennt man "hermitesch" oder "symmetrisch. Symmetrische Operatoren haben reelle Erwartungswerte:
< A > (u; Au) = (Au; u) = (u; Au) :
4.6. DER POTENTIALTOPF MIT ENDLICHER TIEFE
53
Ein symmetrischer (hermitescher) Operator heit selbstadjungiert, falls das System seiner Eigenfunktionen vollstandig ist. Bei endlich{dimensionalen Vektorraumen sind "hermitesch" und "selbstadjungiert" identisch, bei unendlich{dimensionalen i. a. jedoch nicht.
Fur die Physik wichtig sind die selbstadjungierten Operatoren: ihre Erwartungswerte sind reell, ihre Eigenfunktionen bilden ein vollstandiges
System und ihre Eigenwerte sind die moglichen Mewerte.
4.6 Der Potentialtopf mit endlicher Tiefe
Es sei
V = 0
fur jxj > a ;
V = ?V0 ; V0 > 0 ; fur jxj < a :
Die Losungen zu positiver Energie bekommt man durch analytische Fortsetzung
( ! ?i) der Losungen fur die Potentialbarriere (s. Abschnitt 4.2). Zusatzlich
kann es Losungen zu negativen Energien geben:
0 > E > ?V0 :
Klassisch entspricht dies einem gebundenen Zustand, d.h. fur jxj a sollte die
Wellenfunktion abfallen. Demnach kommen folgende Losungen der Schrodinger{
Gleichung in Frage:
x < ?a : u(x) = B? ex ; = + h1 (?2mE ) 21
?a < x < +a : u(x) = A1 cos qx + A2 sin qx ;
q = + h1 (2m(V0 + E )) 21 ;
x > a : u(x) = B+ e?x :
Die Forderung nach Stetigkeit der Wellenfunktion und ihrer Ableitung fur x = a
gibt die Bedingungen
B? e?a = A1 cos qa ? A2 sin qa ;
B? e?a = q(A1 sin qa + A2 cos qa) ;
B+ e?a = A1 cos qa + A2 sin qa ;
B+ e?a = q(A1 sin qa ? A2 cos qa) :
Hieraus folgt
A1 sin qa + A2 cos qa = q A1 sin qa ? A2 cos qa ;
= qA
A1 cos qa + A2 sin qa
1 cos qa ? A2 sin qa
 SCHRODINGER

KAPITEL 4. DIE STATIONARE
- GLEICHUNG
54
d. h. es mu A1 A2 = 0 sein: die Losungen zerfallen wieder in symmetrische und
antisymmetrische
u(+)(x) = A1 cos q(+)x ; u(?)(x) = A2 sin q(?)x :
Die Gleichungen
(+) = q(+) tan(q(+)a) ; (?) = ?q(?) cot(q(?)a)
bestimmen die zulassigen Eigenwerte E (+), E (?). Mit b2 = 2mV0a2=h 2, y() = aq(),
ergibt dies die transzendenten Gleichungen
(b2 ? y(+) 2) 21 =y(+) = tan y(+) ; (b2 ? y(?) 2) 21 =y(?) = ? cot y(?) :
Graphische Losung:
6tan y
tan y
? cot y
tan y
? cot y
(b2 ?y2 ) 21
y
0
2
b
3
-
Die Anzahl der gebundenen Zustande hangt von dem Wert von b2 = 2mV0a2=h 2 ab:
1. Wie klein auch b2, es gibt immer einen gebundenen Zustand fur 0 < y(+) < 2 .
(Dies gilt nicht im 3{dimensionalen
Fall!) Einen Eigenwert E (?) < 0 gibt es
1
nur, falls (b2 ? 2=4) 2 > 0, d. h. falls
2
2mV0a2=h 2 > 4 :
2. Fur sehr groe b2 y2 hat man die approximierten Losungen
y(+) (n + 21 ) ; n = 0; 1; : : : ; y(?) n ; n = 1; : : : ;
d. h. die Losungen gehen in die des Topfes mit unendlich hohen Wanden uber.

4.7. DER SPIEGELUNGS{ ODER PARITATSOPERATOR
55
4.7 Der Spiegelungs{ oder Paritatsoperator
Beim Potentialtopf zerfallen die Eigenlosungen von H in symmetrische und antisymmetrische. Dies legt die folgende Denition nahe:
Es sei der Operator, der u(x) in u(?x) uberfuhrt:
: (u)(x) = u(?x) :
Oenbar gilt:
u(+) = u(+)(?x) = u(+)(x) ;
u(?) = u(?)(?x) = ?u(?)(x) ;
d. h. die u(+) sind Eigenlosungen von zum Eigenwert +1, die u(?) Eigenfunktionen
von zum Eigenwert -1! Die Eigenwerte 1 sind hier auch die einzig moglichen,
da zweimalige Anwendung von zur ursprunglichen Funktion zuruckfuhrt:
Aus (u)(x) = u(x) folgt:
u(x) = (u) 2u = u = 2u(x) ; d.h. = 1 :
Ist u(x) eine beliebige Funktion, so kann man immer schreiben
u(x) = 21 (u(x) + u(?x)) + 12 (u(x) ? u(?x)) ;
d. h. man kann jede Funktion nach Eigenfunktionen von zerlegen.
Dynamisch (physikalisch !) ist2 folgendes entscheidend:
d22 + V0, (jxj < a), ist invariant gegenuber
Der Hamilton{Operator H = ? 2hm dx
der Substitution x ! ?x, d.h. wir haben
(H(x; t) = H((x; t)) ;
bzw. formal
H ? H = 0 :
Ist (x; t) eine Losung der Schrodinger{Gleichung
ih @t(x; t) = H(x; t) ;
so bekommt man durch Anwendungvon auf beiden Seiten
ih @t() = (H) = H() ;
56
 SCHRODINGER

KAPITEL 4. DIE STATIONARE
- GLEICHUNG
d.h. falls H invariant gegenuber der Spiegelung : x ! ?x ist, dann ist mit auch eine Losung der Schrodinger{Gleichung, oder die Funktionen
(+)(x; t) = 12 (1 + )(x; t) ;
(?)(x; t) = 12 (1 ? )(x; t) :
genugen jede fur sich der Schrodinger{Gleichung und werden im Laufe
der Zeit nicht gemischt, falls schon die Anfangszustande (z. B. fur t = 0)
gerade oder ungerade Funktionen sind.
Fur die zeitliche Konstanz der Eigenschaften "gerade" oder "ungerade" ist
die Eigenschaft H ? H = 0 entscheidend.
Denition: man nennt "Spiegelungs"{ oder auch "Paritats"{Operator.
Die Eigenwerte 1 heien "Paritaten".
Spater wird die Verallgemeinerung auf raumliche Spiegelungen : ~x ! ?~x betrachtet.
Fur die Orts{ und Impulsoperatoren Q und P gilt oenbar
Q = ?Q ; P = ?P :
Der Paritatsoperator ist hermitesch: Es gilt
Z +a
dxu1(x)u2(?x) :
(u1; u2) =
?a
Die Substitution x ! ?x unter dem Integral ergibt
Z +a
dxu1(?x)u2(x) = (u1; u2) :
(u1; u2) =
?a
4.8. DER HARMONISCHE OSZILLATOR
57
4.8 Der harmonische Oszillator
4.8.1 Eigenfunktionen und Eigenwerte des HamiltonOperators
Klassisch hat man fur die Gesamtenergie
1 p2 + 1 bx2 ; b > 0 :
E = 2m
2
2 d2
1 2
Daraus ergibt sich der Hamiltonoperator H = ? 2hm dx
2 + 2 bx und die zeitunabhangige Schrodinger{Gleichung
2 2
d u + 1 bx2u(x) = Eu(x) .
? 2hm dx
2 2
Die "Wande" des Potentials 12 bx2 werden umso hoher je groer x wird, d. h. die
Aufenthaltswahrscheinlichkeit wird fur groe jxj gegen Null gehen. Gesucht sind
Losungen der obigen Gleichung, fur die
lim u(x) = 0 und (u; u) =
jxj!1
Z +1
?1
dxu(x)u(x) = 1
gilt. Es zeigt sich, da nur bestimmte Werte von E mit dieser Bedingung
vertraglich sind! Mit
s
! = mb ; " = 2hE! ; 2 = m!
h ;
erhalt man
1 d2u = ( 2x2 ? ")u :
2 dx2
Diese Gleichung lat sich zunachst approximativ fur sehr groe x losen:
2x2 " : u u1(x) ; u001 = 4x2u1 ;
Eine approximative Losung ist
? 12 2x2
;
u1 = e
1
?
2x2
0
2
2
u = ? xe
;
1
? 2 2x2 4 2 ? 12 2x2 4 2
00
2
+ x e
x u1 :
u1 = ? e
58
 SCHRODINGER

KAPITEL 4. DIE STATIONARE
- GLEICHUNG
? 21 2x2
ist sogar eine exakte Losung, falls " = 1, d. h. E = E0 =
Man sieht: u = e
1 h ! . Die zugehorige normierte Losung der Schrodinger{Gleichung ist
2
1 2x2
? ( 2=)+ 41 e 2
u0(x) =
E = E0 = 21 h !
; (u0; u0) = 1 ;
Die anderen Eigenlosungen und Eigenwerte gewinnt man folgendermaen:
Die Operatoren
d ) ; a+ p1 (x ? 1 d )
a p12 (x + 1 dx
dx
2
haben folgende Eigenschaften: Sei u(x) beliebig, dann gilt
2
a+ (au) = 12 ( 2x2 ? 12 dxd 2 )u ? 12 u ;
2
a(a+ u) = 12 ( 2x2 ? 12 dxd 2 )u + 21 u ;
also
(aa+ ? a+ a)u = u ; oder
aa+ ? a+ a = 1 :
Ferner gilt
H = h !(a+ a + 12 )
und
(u1; au2) = (a+ u1; u2)
fur Funktionen u1, u2, die im Unendlichen hinreichend stark verschwinden.
Die Schrodinger{Gleichung lat sich damit in folgender Weise schreiben
(a+ a)u(x) = 12 (" ? 1)u(x) :
4.8. DER HARMONISCHE OSZILLATOR
59
Fur normierte u(x) folgt hieraus
1 (" ? 1) = 1 (" ? 1)(u; u) = (u; a+au)
2
2
= (au; au) 0 ;
wobei die Gleichheit dann und nur dann gilt, falls au = 0 und ebenfalls " = 1.
au(x) = 0 bedeutet:
1
du = ? 2xu(x) ; d. h. u = u = ( 2=)+ 41 e? 2 2x2 :
0
dx
" = 1, d.h. E0 = 21 h ! ist also der kleinstmogliche Eigenwert von H.
Wendet man a auf beide Seiten der Schrodinger{Gleichung an, so erhalt man
a(a+ au) = (a+ a + 1)au = 12 (" ? 1)au ;
also:
a+ a(au) = [ 12 (" ? 1) ? 1]au ;
und analog
a+ a(a+ u) = [ 21 (" ? 1) + 1]a+ u ;
Interpretation:
Aus Hu = 12 h !"u folgt
H(au) = 21 h !(" ? 2)au ;
H(a+ u) = 21 h !(" + 2)a+ u :
Entspricht daher "b einem beliebigem Eigenwert zur Losung u, so gehort au zu
"b ? 2 und a+ u zu "b + 2; entsprechend gehort am u zu "b ? 2m. Nun mu fur jeden
Eigenwert " ? 1 0 gelten (s. oben). D.h. fur jeden Eigenwert "b gibt es eine
ganze Zahl n, so da an u 6= 0 ist , aber an+1 u = 0, und es gilt "b ? 2n = 1. Dies
bedeutet an u = const: u0, da u0 Eigenlosung zu " = 1 ist!
Ergebnis: aus der Forderung " 1 folgt, da nur die Eigenwerte "bn = 2n + 1,
n = 0; 1; : : :, moglich sind. Dementsprechend sind die moglichen Eigenwerte
En des harmonischen Oszillators
En = (n + 21 )h! ; n = 0; 1; : : : :
60
 SCHRODINGER

KAPITEL 4. DIE STATIONARE
- GLEICHUNG
Bezeichnet man die zugehorigen Eigenfunktionen mit un, so mu gelten
a+ un(x) = Nun+1 (x) :
Die Konstante N ist dadurch bestimmt, da un+1 normiert sein soll, falls un normiert
ist:
N 2(un+1; un+1 ) = N 2 = (a+ un; a+ un )
= (aa+ un; un) = ((a+ a + 1)un; un) :
Da die Schrodinger{Gleichung
a+ aun = nun
gilt, so hat man schlielich N 2 = n + 1. Demnach erhalt man
p
a+ un (x) = pn + 1un+1 (x) ;
aun (x) = nun?1(x) :
Mittels Iteration folgt daraus
un(x) = p1 (a+ )n u0(x) ;
n!
1 2 2
1 ? x
2
+
u0(x) = ( =) 4 e 2
:
Man kann die Eigenfunktionen un(x) auch so schreiben
q
p
un(x) = (n! 2n )? 12 e? 12 2x2 Hn (x) ;
wobei Hn (y) ein sogenanntes "Hermitesches" Polynom ist. Es ist
H0 (y) = 1 ; H1(y) = 2y ;
H2 (y) = 4y2 ? 2 ; H3(y) = 8y3 ? 12y ; : : : :
Die Hermiteschen Polynome sind Losungen der Dierentialgleichung
Hn00(y) ? 2yHn0 (y) + 2nHn (y) = 0 :
4.8. DER HARMONISCHE OSZILLATOR
61
Sind En1 6= En2 zwei verschiedene Eigenwerte, so hat man
En1 (un2 ; un1 ) = (un2 ; Hun1 ) = (Hun2 ; un1 )
= En2 (un2 ; un1 ) ;
d.h. (un2 ; un1 ) = 0 fur n1 6= n2. Die un (x) bilden also ein orthonormales
System!
Man kann ferner beweisen (s. z.B. Courant-Hilbert, Methoden der Mathematischen Physik, Bd. I, Kap. 2), da die Funktionen un(x) im Intervall (?1; +1)
auch ein vollstandiges System von Funktionen bilden!
4.8.2 Matrizenmechanik des harmonischen Oszillators
Ist V n ein n{dimensionaler Vektorraum mit Elementen ~v, Basis ~e1; : : :~en (orthonormiert!) und Skalarprodukt (~v;~v), so ist eine lineare Abbildung A (Operator A)
deniert, falls man die Bildvektoren der Basis angegeben hat:
n
X
~ei ! ~bei = aki~ek A~ei :
k=1
Fur die Matrixelemente aik hat man
aik = (~ei; A~ek ) :
Ganz analog kann man sich die Matrixelemente der nun unendlich{dimensionalen
Matrizen bezuglich der Basis fung beim harmonischen Oszillator ausrechnen, die
den Operatoren a, a+ , Q, P und H entsprechen: Man hat
p
p
amn = (um; aun ) = pn (um; un?1 ) = n m;n
p ?1
+
+
amn = (um; a un) = n + 1 (um; un+1 ) = n + 1 m;n+1 :
Ferner ist
und daher gilt
Q = p12 (a + a+ ) ; P = hi p2 (a ? a+ ) ;
p
Qun = p12 (pnun?1 + n + 1un+1) ;
p
p
(um; Qun) = p1 ( nm;n?1 + n + 1m;n+1) ;
2
p
p
(um; Pun ) = hi p ( nm;n?1 ? n + 1m;n+1) :
2
62
 SCHRODINGER

KAPITEL 4. DIE STATIONARE
- GLEICHUNG
Schlielich hat man noch fur die Matrixelemente des Schrodinger{Operators
(um; Hun) = En mn :
d. h. in der Basis fung ist die Matrix fHmn (um; Hun )g auf Diagonalform:
"Energie"{ oder auch "Heisenberg"{Darstellung der Operatoren Q, P und
H.
Wegen
1
X
(u(1); u(2)) = (u(1); u )(u ; u(2))
=0
gelten die ublichen Regeln der Matrixmultiplikation (Beweisen! : : :) und man spricht
von der "Matrizen"{Mechanik (Heisenberg, Born, Jordan) des harmonischen Oszillators!
4.8.3 Bemerkungen:
1. Da die Operatoren a und a+ die Eigenwerte von H um den Betrag h ! erniedrigen bzw. erhohen, spricht man auch von "Leiter"{Operatoren, bzw. von
"Vernichtungs"{ und "Erzeugungs"{Operatoren.
Solche Operatoren spielen eine sehr groe Rolle in der heutigen Physik, da man viele Systeme aus harmonischen Oszillatoren aufbauen
kann.
2. Sei B ['] = f' , = 1; : : :g ein vollstandiges System von Funktionen bezuglich
des Skalarproduktes (u1; u2). Ferner sollen alle ' zum Denitionsbereich vom
Operator A gehoren, d. h. jjA' jj < 1.
Lat sich dann zu gegebenem u ein u+ nden, derart da
(u; A' ) = (u+; ' )
fur alle ' , so deniert die Zuordnung
u ! u + = A+ u
eindeutig den zu A adjungierten Operator A+.
4.8. DER HARMONISCHE OSZILLATOR
63
Zur Eindeutigkeit: aus (u+1 ? u+2; ' ) = 0 8' folgt u+1 = u+2, da das System
der f' g vollstandig ist!
Falls
8 ' ; ' ;
so ist A symmetrisch, und falls A+ = A, so ist A selbst(' ; A ') = (A ' ; ')
adjungiert.
Die Gleichheit von Operatoren schliet die Gleichheit des Denitionsbereiches
und die Gleichheit des Wertebereiches ein!.
Ist dagegen A+ = A?1, d. h. A+A = AA+ = 1, so heit A U
unitar. Fur unitare Operatoren gilt
(Uu1; Uu2) = (U +Uu1; u2) = (u1; u2) ;
d.h. unitare Operatoren lassen das Skalarprodukt
(u1; u2) invariant!
Beispiele fur unitare Transformationen:
(a) Fourier{Transformation (s.S. 27).
(b) Orthogonale Transformationen in einem n{dimensionalen Vektorraum.
3. Fur den "Kommutator" AB ? BA zweier Operatoren A, B schreiben wir in
Zukunft
AB ? BA [A; B ] = ?[B; A] :
4.8.4 Koharente Zustande
Es lat sich leicht nachrechnen (s. U bungen), da die Erwartungswerte (un; Qun)
und (un; Pun ) verschwinden. Dies ist auch fur die zeitabhangigen Losungen
?i Ehn t
un(x)
n (x; t) = e
der Fall. Der Erwartungswert des Ortsoperators Q bezuglich der Energie-Eigenfunktionen un (x) hat also sehr wenig mit dem periodischen Verlauf der klassischen Bewegung x(t) = A sin(! t + ) zu tun.
Dies ist anders, wenn man die Erwartungswerte bezuglich folgender U berlagerung
der Eigenfunktionen un(x) betrachtet:
64
 SCHRODINGER

KAPITEL 4. DIE STATIONARE
- GLEICHUNG
Es sei uz (x) Eigenfunktion des Vernichtungsoperators a zum komplexen Eigenwert
z:
auz (x) = z uz (x) :
Dann hat man
p
1
1
(uz ; Q uz ) = p (uz ; (a + a+ )uz ) = p (z + z) = 2 Re(z);
2
2
und analog
p
(uz ; Puz ) = 2 h Im(z):
Die Eigenfunktionen uz lassen sich nach den Energie-Eigenfunktionen un entwickeln:
1
X
uz (x) = (un; uz ) un (x):
n=0
Fur die Entwicklungskoezienten (un; uz ) erhalten wir
n
(un ; uz ) = p1 (a+ nu0; uz ) = p1 (u0; an uz ) = pz (u0; uz );
n!
n!
n!
so da
1 n
X
uz (x) = (u0; uz ) pz un(x):
n=0 n!
Wegen (um; un) = mn und der Normierungsforderung (uz ; uz ) = 1 folgt aus
1 jz j2n
1
X
X
2
2 jz j2 = 1;
(uz ; uz ) = (uz ; un)(un ; uz ) = j(u0; uz )j
=
j
(
u
;
u
0
z )j e
n=0 n!
n=0
da
2
j(u0; uz )j2 = e?jzj :
Da die Normierungsbedingung (uz ; uz ) = 1 die Funktion uz nur bis auf eine beliebige
Phase festlegt, konnen wir
2
? jz2j
(u0; uz ) = e
setzen. Wir haben daher
2
j
z
j
1 zn
? X
p un(x):
uz (x) = e 2
n=0 n!
Eigenfunktionen, die zu verschiedenen z-Werten gehoren, sind nicht zueinander orthogonal:
1
X
? 21 jz1j2 ? 12 jz2j2 + z2z1
(uz2 ; uz1 ) = (uz2 ; un)(un; uz1 ) = e
:
n=0
4.8. DER HARMONISCHE OSZILLATOR
65
Wegen
2 ! 41 1 ? 1 2x2
un(x) = p n e 2 Hn ( x)
2 n!
bekommen wir fur uz explizit
! 14 ? 1 2x2 ? jzj2 X
1 1 z
2
n H (x):
2
2
p
(
uz (x) = e
)
n
n=0 n! 2
Die Summe lat sich so berechnen:
Die Erzeugende Funktion F (s; y) fur die Hermiteschen Polynome ist
1 n
n
X
2
F (s; y) = e?s + 2s y = sn! Hn (y); Hn (y) = d Fds(s;n y)
js = 0:
n=0
Damit erhalten wir
1
p
2 ! 4 ? 1 2 x2 + 2z x ? 1 jz j2 ? 1 z 2
2
2 :
uz (x) = e 2
Bei den Eigenfunktionen uz (x) des Vernichtungsoperators a handelt es sich also um
Gausche Wellenpakete!
Setzen wir = Re(z); = Im(z) , so folgt wegen
p b2
Z +1
Z +1
2
2
1
?
a
b
2
d
e
= a e 4a ; a > 0; 2 ?1 deia(x ? y) = a1 (x ? y);
?1
da
Z +1 Z +1
(x) u
d
u
d
+i (y ) = (x ? y ):
+i
?1
?1
Da
2 2
Q2 = 21 2 [a2 + (a+ )2 + 2a+ a + 1]; P2 = h 2 [2a+ a ? a2 ? (a+ )2 + 1];
so folgt
1 (42 + 1); (u ; P2 u ) = h 2 2 (42 + 1)
z
z
2 2
2
und daher gilt fur den Mittelwert der Energie bezuglich der Zustande uz :
< H >z = (uz ; Huz ) = 21m < P2 >z + 12 m !2 < Q2 >z = h !(jzj2 + 21 )
und
ergibt sich wegen (s. oben) < uz ; Quz >=
p fur die mittleren Schwankungen
p
( 2= ); < uz ; Puz >= 2h (uz ; Q2uz ) =
2 2
(Q)2 = 21 2 ; (P)2 = h 2 ; Q P = h2 ;
66
 SCHRODINGER

KAPITEL 4. DIE STATIONARE
- GLEICHUNG
d.h. das Produkt der Schwankungen von Q und P im Zustand uz hat
den minimalen Wert der Heisenbergschen Unschaferelation und ist von
z unabhangig. Diese Minimaleigenschaft hinsichtlich der Unscharferelation ist
fur die Gauschen Wellenpakete charakteristisch!
Wegen der Zeitabhangigkeit
?i !2 t ?in!t
?i Ehn t
un(x) = e
e
un(x)
n (x; t) = e
der Energie-Eigenfunktionen ist die Zeitabhangigkeit der Zustande uz nach S. 36
gegeben durch
jzj ?i ! t X
1 (ze?i!t)n
?
2
2
p
un = e?i!t=2uz(t)(x); z(t) = ze?i!t:
uz (x; t) = e
e
2
n=0
n!
Man beachte, da uz (x; t = 0) = uz .
Fur den Erwartungswert von Q bezuglich uz (x; t) erhalten wir
< Q >z (t) = p1 (uz(t); (a + a+ )uz(t)) = p1 (z(t) + z(t)):
2
2
Setzt man z = jzjei, so folgt schlielich
p
< Q >z (t) = A cos(!t ? ); A = 2jzj :
Hier hat der Erwartungswert von Q dieselbe Form wie die klassische Bewegung!
Die zeitabhangige Funktion uz(t)(x) hat die explizite Gestalt
1 2 x2 + p2 z(t)x ? 1 jzj2 ? 1 z2(t)
?
2
2
uz(t)(x) = ( 2=)1=4e 2
:
Es handelt sich um ein zeitabhangiges Gausches Wellenpaket, dessen Breite je-
doch nicht von der Zeit abhangt, d.h. diese Wellenpakete zerieen nicht!
Der Name "koharente Zustande" ruhrt von ihren Anwendungen bei Koharenzproblemen in der Quantenoptik her.
Kapitel 5
Rotationsinvariante Potentiale
Wir betrachten 3{dimensionale Systeme mit rotationssymmetrischen Potentialen,
d. h.
ih @t(~x; t) = H(~x; t) ;
2
H = ? 2hm + V (r) ; r = jj~xjj :
In der klassischen Mechanik gilt fur rotationsinvariante Systeme der Satz
von der Erhaltung des Drehimpulses:
~l = ~x ~p ; d~l = 0 ; l1 = x2p3 ? x3p2 ; etc. :
dt
Da man in der "Schrodinger{Darstellung", d. h. im Raum der x{abhangigen Wellenfunktion die Zuordnung
xj ! Qj : Multiplikation mit xj ;
pj ! Pj : "Multiplikation" mit hi @j ;
hat, so erwartet man als quantenmechanischen Drehimpuls
~l ! L~ =
=
Q~ P~
h (x @ ? x @ ; x @ ? x @ ; x @ ? x @ ) :
i 23 32 31 13 12 21
L~ heit (Bahn{) Drehimpulsoperator. Die Lj sind symmetrisch bezuglich
Z
(1; 2) = d3~x (~x; t)(~x; t) !
67
KAPITEL 5. ROTATIONSINVARIANTE POTENTIALE
68
Die Komponenten L1, L2, L3 genugen den "Vertauschungs"{Relationen
[L1; L2] L1L2 ? L2L1 = ih L3 ; und zykl. Vertauschung.
Im folgenden sollen einige Eigenschaften von ~L und sein Zusammenhang mit den
raumlichen Drehungen naher untersucht werden.
5.1 Raumliche Drehungen
Sie sind deniert durch
~x ! ~y = R~x ; RRT = RT R = 13 ; det R = 1 ;
man hat
R : 3 3 Matrix
jj~yjj = jjR~xjj = jj~xjj : RT : transponierte Matrix;
R = (ajk ) ;
RRT
=1 :
3
X
l=1
ajlakl = jk
Wegen dieser Nebenbedingungen gibt es nur 3 voneinander unabhangige Parameter.
Hierfur kann man die 3 Drehwinkel '1, '2, '3 um die 3 Achsen wahlen:
1
0
cos '3 ? sin '3 0
R('3) = B
@ sin '3 cos '3 0 CA ;
0
0
1
1
0
1 0
0
R('1) = B
@ 0 cos '1 ? sin '1 CA ;
0 sin '1 cos '1
0
1
cos '2 0 sin '2
R('2) = B
1 0 C
@ 0
A :
? sin '2 0 cos '2
Mit
1
0
0
?
1
0
dR('3 ) j = B
C
d'3 '3 =0 @ 01 00 00 A A3
kann man auch schreiben:
R('3) = eA3'3 = 13 + A3'3 + 2!1 A23'23 + : : :

5.1. RAUMLICHE
DREHUNGEN
Analog hat man
0
dR
(
'
)
A1 = d' 1 j'1 =0 = B
@
1
0
A2 = dRd'('2 ) j'2 =0 = B
@
2
69
0 0 0
0 0 ?1
0 1 0
0 0 1
0 0 0
?1 0 0
1
CA ;
1
CA :
Man nennt die Aj "Erzeugende der innitesimalen" Drehungen. Oenbar
gilt ATj = ?Aj , d. h. deniert man M~ j = iAj , so sind die M~ j hermitesch:
M~ j+ = M~ j T = M~ j :
Sie genugen den Vertauschungsrelationen
[M~ j ; M~ k ] = iM~ l ; (jkl) = zykl. (123) :
Diese haben die gleiche Form wie die fur Lj (abgesehen vom Faktor h ). Man hat
demnach (u.a.) folgendes Problem:
Es seien die selbstadjungierten Operatoren M1, M2, M3 mit
denVertauschungsrelationen
[Mj ; Mk ] = iMl ; (jkl) = zykl. (123) ;
in einem Vektorraum mit Elementen fug und Skalarprodukt
(u1; u2) gegeben. Gesucht sind die moglichen Eigenwerte und
Eigenfunktionen der Mj !
Die Mj konnen Dierentialoperatoren (wie die Lj ) oder Matrizen (wie die M~ j ) sein!
Da die Groen Mj einerseits in einem Vektorraum operieren, andererseits aber noch
den obigen algebraischen Vertauschungsrelationen genugen, bezeichnet man sie als
Elemente der Lie-Algebra der Drehgruppe.
5.1.1 Algebraische Eigenschaften der Drehimpulsoperatoren
Mathematische Vorbemerkung:
Sind A und B zwei selbstadjungierte Operatoren, so lassen sie sich genau
dann gleichzeitig auf Diagonalform bringen, bzw. haben sie genau dann
ein gemeinsames System von Eigenfunktionen, falls sie vertauschen, d.h.
falls [A; B] = 0.
Andeutungen eines Beweises:
KAPITEL 5. ROTATIONSINVARIANTE POTENTIALE
70
1. Sind A und B zwei Matrizen in Diagonalform, so folgt notwendig AB = BA.
2. Es sei u Eigenfunktion ({vektor) von A zum Eigenwert a :
Au = au :
Vertauscht man B mit A, so hat man
B (Au) = A(Bu) = aBu ;
d.h. mit u ist auch Bu Eigenvektor von A.
Fallunterscheidung:
(a) Falls der zu a gehorige Eigenvektorraum 1{dimensional ist, so mu Bu
ein Vielfaches von u sein: Bu = b u, d.h. u ist auch Eigenvektor von
B!
(b) Der Eigenwert a ist "entartet", d.h. der zu a gehorige Eigenvektorraum
ist mehrdimensional. Bu liegt in diesem Unterraum und B kann, da
es selbstadjungiert ist, in diesem Unterraum auf Diagonalform gebracht
werden, m.a.W. , man wahle als Basis in dem zu a gehorigen Unterraum
die Eigenvektoren u von B:
Bu = b u ; fest ; = 1; 2; : : :
Ein schon bekanntes Beispiel ist: A = , B = H beim unendlich tiefen Potentialtopf. Die Eigenwerte von : 1 sind unendlichfach entartet. Die entsprechenden 2 Unterraume enthalten jeweils abzahlbar viele Eigenvektoren von H: u(+)
n ,
n = 0; 1; : : : und u(n?) ,n = 1; : : :.
Anwendung auf die Mj
Da sie nicht miteinander kommutieren, haben sie kein gemeinsames System von
~ 2 = M21 + M22 + M23 hat man
Eigenvektoren; aber fur M
~ 2; M 3 ] =
[M
=
=
~ 2M3 ? M3M
~2
M
(M21 + M22)M3 ? M3 (M21 + M22)
M1(M1M3 ? M3 M1) + (M1M3 ? M3M1 )M1
+M2(M2M3 ? M3 M2) + (M2M3 ? M3M2 )M2 :
Einsetzen der Vertauschungsrelationen fur die Mj ergibt:
~ 2; M3] = 0 ; und analog [M
~ 2; Mj ] = 0 ; j = 1; 2 :
[M
~ 2 (Quadrat des GesamtdrehMan kann also z.B. gemeinsame Eigenvektoren zu M
impulses =h 2) und zu M3 suchen:
Deniert man noch die Groen
M+ = M1 + iM2 ; M? = M1 ? iM2 ;

5.1. RAUMLICHE
DREHUNGEN
71
so hat man
[M3; M+ ] = M+ ;
M+ M? =
M? M+ =
(M u1; u2) =
[M3; M? ] = ?M? ;
~ 2 + M3 ? M23 ;
M
~ 2 ? M3 ? M23 ;
M
(u1; M u2) :
3
~2
~ 2u) = X(Mj u; Mj u) 0. Dies bedeutet, da die Eigenwerte von M
Es ist (u; M
j =1
nicht negativ sein konnen, d.h. ist v Eigenvektor, so konnen wir fur den Eigenwert
( + 1), 0, schreiben. (Diese Parametrisierung des Eigenwertes wird spater
plausibel!), also
~ 2v = ( + 1)v ; 0 :
M
~ 2 vertauscht, konnen wir die v so wahlen, da sie gleichzeitig EigenDa M3 mit M
vektoren zu M3 sind, mit Eigenwert :
M3v = v :
Der Eigenwert ( +1) wird i. a. entartet sein, da zu vorgegebenem Gesamtdrehimpuls verschiedene Werte der M3{Komponente gehoren konnen.
~ 2v) gilt
Wegen (v; M23v) (v; M
2 ( + 1) :
Bei vorgegebenem gibt es also ein max und ein min . Multipliziert man die
Eigenwertgleichung fur M3 mit M+ und beachtet [M3; M+ ] = M+ , so hat man
M3(M+ v) = ( + 1)(M+ v) :
M+ v gehort also zum Eigenwert + 1. Daher mu
M+ vmax = 0
~ 2 = M? M+ + M23 + M3 folgt
gelten. Wegen der Identitat M
~ 2vmax
( + 1)vmax = M
= (M? M+ + M23 + M3)vmax
= max(max + 1)vmax :
Da 0, so mu max = sein.
Analog hat man
M3(M? v) = ( ? 1)M? v)
KAPITEL 5. ROTATIONSINVARIANTE POTENTIALE
72
und M? vmin = 0.
~ 2 = M+ M? + M23 ? M3 bedeutet dies
Wegen M
( + 1)vmin = (M+ M? + M23 ? M3)vmin
= min (min + 1)vmin ;
also
min = ? :
Ausgehend von v bekommt man
Mn? v = const: v?n ; n = 0; 1; : : : :
Schlielich mu ? n = min = ? sein, d.h.
2 = n ; n = 0; 1; 2; : : : :
Damit ist folgendes bewiesen:
~ 2 kann die EigenDas Quadrat des Drehimpulsoperators h 2M
werte
h 2j (j + 1) ; j = 0; 21 ; 1; 32 ; : : : ;
haben.
Bei festem j kann h M3 die Werte
h m ; m = ?j; ?j + 1; : : : ; +j
annehmen.
Matrixelemente:
Wir haben
M+ vj m = Nvj m+1 ;
unter der Annahme, da die vj m normiert sind, bestimmt man N folgendermaen:
N 2 = (M+ vjm; M+ vjm)
= (vjm; M? M+ vjm)
~ 2 ? M3 ? M23)vjm)
= (vjm; (M
= j (j + 1) ? m(m + 1) ;
also
M+ vjm = [(j + m + 1)(j ? m)] 21 vj m+1
M? vjm
und analog
= [(j ? m + 1)(j + m)] 21 vj m?1 :

5.1. RAUMLICHE
DREHUNGEN
73
Mittels dieser Formeln kann man sich die Matrixelemente von M1 und M2 ausrechnen.
Beispiele:
5.1.2 Der Spin mit j = 21 und die Paulischen Spin-Matrizen
j = 12 ; m = 21
;
v 12 12 v 21 ; v 21 ?21 v? 12 ;
(vm; M3vm0 ) = mmm0
Demnach gehort zu M3 die Matrix
M3 ! S~3 = 21 3 ; 3 = 10 ?01
Ferner
:
M+ v 12 = 0 ; M+ v? 21 = v 21 ;
d.h.
M+ ! S~+ = 00 10
sowie
!
;
M? v 21 = v? 21 ; M? v? 21 = 0 ;
d.h.
Da
!
M? ! S~? = 01 00
!
:
M1 = 21 (M+ + M? ) ; M2 = 21i (M+ ? M? ) ;
so hat man schlielich
!
1
0
1
~
M1 ! S1 = 2 1 ; 1 = 1 0 ;
!
1
0
?
i
M2 ! S~2 = 2 2 ; 2 = i 0 :
Die i , i = 1; 2; 3 heien Paulische Spin{Matrizen.
KAPITEL 5. ROTATIONSINVARIANTE POTENTIALE
74
5.1.3 Bahndrehimpuls und Kugelfunktionen
Wir setzen L~ j = h1 Lj , j = 1; 2; 3, und rechnen
in Polarkoordinaten um:
L~ 1 = 1i (x2@3 ? x3@2) etc.
x1 = r cos ' sin # ; x2 = r sin ' sin # ; x3 = r cos # :
Man bekommt dann (r fallt heraus!!):
@ ;
L~ 3 = 1i @'
@ + i cot # @ ) ;
L~ + = ei'( @#
@'
@ + i cot # @ ) ;
L~ ? = e?i'(? @#
@'
2
2
@ sin # @ + @ ) :
L~ = ? sin12 # (sin # @#
@# @'2
2
Aus historischen Grunden bezeichnet man die Eigenfunktionen von L~ und L~ 3 mit
Ylm ('; #) , j = l. Fur m = l haben wir die Dierential{Gleichungen
@ Y ('; #)
L~ 3Yll = 1i @'
ll
= lYll('; #) ;
@ + i cot # @ )Y ('; #) = 0 :
L~ +Yll = ei'( @#
@' ll
Der Ansatz Yll('; #) = f1(')f2(#) fuhrt zu
1 @ f = lf ; d.h. f = C eil' ; C = const: :
1
1
1
i @' 1 1
Geht man im R3 von ' zu ' + 2 uber, so kommt man zum selben Punkt. Soll
dabei f1(') in sich ubergehen, d. h. eindeutig sein, so mu e2il = 1 gelten, d.h. l
ist eine ganze Zahl! Dies wird im folgenden vorausgesetzt.
Fur f2(#) bekommt man die Dierential{Gleichung
@ ? l cot #)f (#) = 0 ; bzw. @ f = l cos # f (#) ;
( @#
2
@# 2 sin # 2

5.1. RAUMLICHE
DREHUNGEN
mit der (oensichtlichen!) Losung
f2(#) = C2 sinl # ; C2 = const: :
Also ist
Yll('; #) = Ceil' sinl # :
Die Konstante C bestimmt man aus der Normierungsbedingung
Z
1 = (Yll; Yll) = YllYlld
Z 2 Z = C 2 d' d# sin2l # sin #
0
0 Z
= C 2 2 d# sin2l+1 # :
0
Ausrechnen des Integrals ergibt
l " (2l + 1)! # 21
(2
l
+
1)!
(
?
1)
C 2 = 22l+1(l!)22 ; C = 2ll!
:
4
(Die Phase (?1)l ist Konvention!) Wir haben demnach
l " (2l + 1)! # 12
(
?
1)
eil' sinl # :
Yll('; #) = 2ll!
4
Wegen
L~ ? Ylm = [(l ? m + 1)(l + m)] 21 Yl;m?1
kann man nun die ubrigen Ylm aus Yll durch Anwenden von L~ ? ausrechnen1:
l " (2l + 1) (l + m)! # 21
(
?
1)
1 dl?m (sin2l #) eim' :
Ylm ('; #) = 2l l!
4 (l ? m)!
sinm # d(cos #)l?m
Beispiele:
Y00 = p1 ;
4
Y11 = ?( 83 ) 12 sin #ei' ;
Y10 = ( 43 ) 12 cos # ;
Y1?1 = ( 83 ) 12 sin #e?i' :
Bemerkungen:
1
Man beachte
d
d
+ l cot #)f (#) = (sin #)?l d#
(sinl # f (#))
( d#
fur eine beliebige dierenzierbare Funktion f (#)!
75
KAPITEL 5. ROTATIONSINVARIANTE POTENTIALE
76
1. Viele Formeln werden ubersichtlicher, falls man die Variable z = cos # einfuhrt:
l " (2l + 1) (l + m)! # 21
? m2 dl?m (1 ? z2)l im'
(
?
1)
2
(1 ? z )
Ylm('; #(z)) = 2ll!
4 (l ? m)!
dzl?m e :
2. Fur m = 0 hat man
Ylm=0 = 2l4+ 1
! 12
Pl(z) ;
l 2
l
Pl (z) = 21l l! d (zdz?l 1) :
Die Funktionen Pl(z) heien "Legendre"{Polynome. Sie bilden ein vollstandiges, orthogonales System im Intervall [?1; +1].
Die Legendre{Polynome kann man auch durch ihre erzeugende Funktion denieren: Es sei jj~yjj < jj~xjj, s = jj~yjj=jj~xjj < 1, dann
jj~x ? ~yjj?1 = jj~x1jj (1 ? 2zs + s2)? 21
1
X
= jj~x1jj Pl (z)sl ;
l=0
(Entwicklung nach "Multipolen").
Die "zugeordneten" Legendre{Polynome sind deniert als
l
2 m=2 l+m 2
m
Plm (z) = (?1)m (1 ? z2)m=2 d dzPlm(z) = (?1)m (1 ?2zll!) d dz(zl+m? 1) :
Die letzte Beziehung gilt auch fur negative m. Da
? m)! P m(z) ;
Pl?m (z) = (?1)m ((ll +
m)! l
so haben wir
und
"
# 21
(2
l
+
1)
(
l
?
m
)!
Ylm ('; #) = 4 (l + m)!
Plm (cos #) eim'
Yl?m = (?1)mYlm :
5.2. STERN{GERLACH{VERSUCH
77
3. Die Funktionen Ylm(#; ') bilden ein vollstandiges System auf der
Einheitskugel: 0 # , 0 R ' 2, d. h. ist f ('; #) eine Funktion auf
der Einheitskugel, mit (f; f ) d
f f < 1, dann gilt "im Mittel":
f ('; #) =
wobei
1 mX
=+l
X
l=0 m=?l
flmYlm(#; ') ;
Z
flm = (Ylm; f ) = d
Ylm (#; ') f ('; #) :
4. Die Zustande mit l = 0; 1; 2; 3 werden auch als "s"{, "p"{, "d"{ und "f" {
Zustande bezeichnet. Die Bezeichnungen kommen aus der optischen Spektroskopkie. Sie sind Abkurzungen fur "scharfe","prinzipielle", "diuse" und
"feine" Linie!
5.2 Stern{Gerlach{Versuch
Der experimentelle Beweis fur die "Quantelung" des Drehimpulses kommt (z.B.!)
aus dem Stern{Gerlach{Versuch: Bewegt sich eine Punktladung q eines Teilchens
mit Masse m0 auf einer geschlossenen Kurve C ", so gehort zu dem Bahndrehimpuls
~l das magnetische Dipolmoment (s. Elektrodynamik-Skriptum S. 60)
q ~l :
~ = 2m
0
Ferner wird auf einen punktformigen magnetischen Dipol in einem inhomogenen
Magnetfeld B~ (~x) die Kraft
K~ (~x) = grad(~ B~ (~x))
ausgeubt.
KAPITEL 5. ROTATIONSINVARIANTE POTENTIALE
78
x
@
I
@
x2
63
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
@
?
?
?
?
@?
1
@
@
*
:
x
@
@
@
@
@
@
6
Atomstrahl
-
@B3
@x3
Versuchsanordnung
Von links (s. Skizze) werden Atome in der Ebene x2 = 0 in ein inhomogenes Magnetfeld "geschossen". Die Elektronen in den Atomen sollen bezuglich des Atomkernes den Drehimpuls (Bahndrehimpuls) ~l und damit das magnetische Moment
~ = ? 2em0 e ~l , e0: Elementarladung (> 0), haben. Dann erfahren die Elektronen
(und damit die Atome) in x3{Richtung die Kraft
K3(x1; x2 = 0; x3) = @x@ (1B1 + 2B2 + 3B3) :
3
Zwischen den Magnetpolen ist B1 0, d. h. @3B1 = 0. Ferner gilt B2(x2 = 0) = 0
und damit @3B2(x2 = 0) = 0 ; also
K3 (x1; x2 = 0; x3) = 3 @3B3 :
Quantenmechanisch gilt l3 ! h m , l = 0; 1; : : : , ?l m l , d. h.
0h m ; ?l m l :
3 = ? 2em
e
Demnach waren also auch die magnetischen (Bahn{) Momente gequantelt. Enthalt
nun der einfallende Strahl Atome, bei denen auere Elektronen relativ zum Kern
den Bahndrehimpuls ~l haben, und sind (aufgrund der Praparierung) des Strahles
etwa alle x3{Komponenten mit vergleichbaren "Gewichten" vertreten, so spaltet
der Strahl aufgrund der Kraft K3 in 2l + 1 Komponenten raumlich auf
(Nachweis z.B. durch Photoplatte).
5.2. STERN{GERLACH{VERSUCH
79
Auf diese Weise kann man nachweisen, da die quantenmechanischen Bahndrehimpulse ganzzahlige Vielfache von h sind!
0h heit Bohrsches Magneton,
Die Groe B 2em
e
B = 5; 788382::: : : : 10?15 MeV gauss?1 = 5; 788382::: : : : 10?11 MeV T ?1:
Bemerkung: in vielen Fallen sind die 2l + 1 Teilstrahlen nochmal "gespalten"
("Feinstruktur"). So hat man z.B. bei Alkali{Metallen fur l=0 eine Aufspaltung in
2 Teilstrahlen. Dies ruhrt daher, da die Elektronen einen "Eigendrehimpuls"
oder "Spin", S~ = h2 ~; haben und zu diesem das magnetische Moment
~e = ? 2em0 gS~ ; g = 2 + 2 ( 1159; 652193 0; 000010) 10?6
e
gehort! Mehr zum Spin und zum g-Faktor spater!
80
KAPITEL 5. ROTATIONSINVARIANTE POTENTIALE
5.3 Schrodinger{Gleichung fur den Radialteil im
Falle rotationssymmetrischer Potentiale
Es sei ~x ! ~y = R~x eine Rotation,
R = (ajk ) :
Ist f (~x) = f (R?1~y) eine dierenzierbare Funktion, so gilt
3
@ f (~x) ; und
@ f (~x) = @ f (R?1~y) = X
a
kj
@yj
@yj
k=1 @xk
3 @2
X
X
@ @ f (~x)
f
(
~
x
)
=
a
y f (~x) kj alj
2
@xk @xl
j =1 @yj
j;k;l
3 @2
X
=
2 f (~x) = xf (~x) ;
j =1 @xj
also x = y :
Folgerung: Ist (~x; t) eine Losung der Schrodinger{
Gleichung
2
h
ih @t(~x; t) = (? 2m + V (jj~xjj))(~x; t) ;
e
so ist auch (R)(~x; t) = (R?1~x; t) eine Losung!
Aus x = y und V (jj~xjj) = V (jj~yjj) folgt
2
ih @t(~x; t) = (? 2hm y + V (jj~yjj))(~x; t) ;
e
?
1
und da ~x = R ~y,
2
ih @t(t; R?1~y) = (? 2hm y + V (jj~yjj))(t; R?1~y) :
e
Nennt man die Variable ~y jetzt wieder ~x, so ist der Beweis fertig! q.e.d.
Wegen x = y , V (jj~xjj) = V (jj~yjj) sagt man auch: die Drehungen R vertauschen
2
h
mit dem Hamilton{Operator H = ? 2m + V (jj~xjj).
e
Ist , z.B., R = R('3), so hat man R?1 ('3) = R(?'3)
Beweis:
d (R)(~x; t)j
d (R?1(' )~x; t)j
'3 =0 =
3
'3 = 0
d'3
d'3
= (x2@1 ? x1@2)(~x; t)
= ? hi (L3) :

 DEN RADIALTEIL
5.3. SCHRODINGER{GLEICH.
FUR
81
Analoges erhalt man fur R('1), R('2). D. h. die "Erzeugenden der innitesimalen Drehungen" der Funktionen (~x; t) sind in diesem Fall die Bahn{Drehimpuls{
Operatoren Lj , j = 1; 2; 3. Drehinvarianz von H bedeutet (kann man auch direkt
nachrechnen):
[Lj ; H] = 0 ; j = 1; 2; 3 ; also auch [L~ 2; H] = 0 :
Dies bedeutet: man kann die Eigenfunktionen zu H gleichzeitig als Eigenfunktionen
zu ~L2 und L3 wahlen. M.a.W.: Ist u(~x) eine Losung der Schrodinger{Gleichung, so
entwickeln wir den Winkelanteil nach Kugelfunktionen Ylm:
u(~x) =
1 mX
=+l
X
l=0 m=?l
Rlm(r)Ylm (#; ') ; r = jj~xjj :
Der Laplace{Operator in Polar{Koordinaten lautet
2
1 (sin # @ sin # @ + @ 2 )
= 1r @@r2r + r2 sin
2#
@#
@# @'2
2
= 1r @@r2r ? 21 2 L~ 2 ;
r h
(s.S. 74). also:
h 2 @ 2 r + 1 L~ 2 + V (r) :
H = ? 2rm
2m0r2
0 @r2
Angewandt auf u(~x) erhalt man
#
1 mX
=+l " h 2 @ 2 (rRlm ) h 2l(l + 1)
X
? 2rm @r2 + 2m r2 Rlm(r) + V (r)Rlm (r) Ylm(#; ')
0
l=0 m=?l
0
=E
=+l
1 mX
X
l=0 m=?l
Rlm(r) Ylm(#; ') :
Multipliziert man diese Gleichung mit Yl0 m0 und integriert uber # und ', so folgt
wegen (Yl1 m1 ; Yl2 m2 ) = l1 l2 m1 m2 fur Rlm(r) die Gleichung
#
2 @ 2(rRlm ) " h 2 l(l + 1)
h
? 2rm @r2 + 2m r2 + V (r) Rlm(r) = E Rlm(r) :
0
0
Im folgenden wird angenommen, da fur r ! 0 das Zentrifugalpotential
h 2l(l + 1)=2mr2 fur l 6= 0 starker ist als V (r); d.h.
lim(r2V (r)) = 0:
r!0
KAPITEL 5. ROTATIONSINVARIANTE POTENTIALE
82
Dies bedeutet anschaulich, da auch quantenmechanisch das Teilchen nicht in den
Ursprung "fallen" soll, die Wahrscheinlichkeitsdichte
w(~x) = u(~x)u(~x)
fur ~x ! 0 also endlich bleibt, d.h. Rlm(r = 0) soll endlich sein. Deniert man
lm(r) = rRlm (r) ;
so bekommt man fur lm(r) die gewohnliche Dierential{Gleichung
#
"
d2lm + 2m0 E ? V (r) ? h 2l(l + 1) (r) = 0 ;
lm
dr2
2m0r2
h 2
mit der Randbedingung (r = 0) = 0.
Damit ist das ursprunglich 3{dim. Problem auf ein 1{dimensionales reduziert worden!
Fur r ! 0 kann man E und V (r) gegenuber r?2 vernachlassigen: ((r) lm(r))
00(r) ? l(l r+2 1) (r) 0 fur r ! 0 :
Der Ansatz (r) Cr gibt ( ? 1) = l(l + 1), d. h. = l + 1 oder = ?l. Wenn
(r = 0) = 0, kommt nur die Losung = l + 1 in Frage ("regulare" Losung), d.h.
gesucht sind dann Losungen lm(r), die sich am Ursprung wie rl+1 verhalten. Am
Ursprung singulare Losungen und das Verhalten fur groe r werden spater diskutiert.
5.4 Die Bindungszustande des Wasserstoatoms
Es sei nun
2
0
V (r) = ? 4Ze
" r ;
0
Elektron mit Ladung ?e0 im Feld eines Kernes mit Ladung Ze0.
Fur Rlm (r) R(r) hat man nach S. 81 die Gleichung
"
!
#
d2 + 2 d R + 2m0 E + Ze20 ? h 2l(l + 1) R(r) = 0 :
dr2 r dr
4"0r
2m0r2
h 2

5.4. DIE BINDUNGSZUSTANDE
DES WASSERSTOFFATOMS
83
Gesucht werden quadratintegrierbare Losungen mit E < 0 (Gebundene Zustande).
Fuhrt man die neuen Variablen
2
= ( 8m02jE j ) 21 r ;
= Z ( c2jEmj0 ) 21 ;
h
2
e
= 4"0 h c 1=137 : Sommerfeldsche
0
Feinstrukturkonstante,
ein, so bekommt man
d2R + 2 dR + ( ? 1 ? l(l + 1) )R = 0 :
d2 d 4
2
Fur sehr groe ergibt sich naherungsweise R R1(), wobei
d2R1 ? 1 R = 0 ;
d2 4 1
d.h. R1 = const:e 21 . Als normierbare Losung kommt nur e? 12 in Frage!
Setzt man nun
R() = l e? 21 g() ;
so ergibt sich fur g() die Gleichung
!
d2g() + 2l + 2 ? 1 dg + ? 1 ? l g() = 0 :
d2
d
Der Faktor l ist herausgezogen worden, da man wei (s.S. 82), da R() l fur
! 0!
Die Gleichung fur g() kann man durch den "Polynom"{Ansatz
g() =
1
X
n=0
ann
losen. Einsetzen ergibt
1
X
[n(n ? 1)ann?2 + ( 2l + 2 ? 1)nan n?1 + ( ? 1 ? l)ann?1] = 0 :
n=0
Dies lat sich auch so schreiben:
1
X
[(n + 1)(nan+1 + (2l + 2)an+1) + ( ? 1 ? l ? n)an]n?1 = 0 :
n=0
KAPITEL 5. ROTATIONSINVARIANTE POTENTIALE
84
Da diese Gleichung fur alle gelten soll, mussen die Koezienten einzeln verschwinden:
a:
an+1 = (n +n +1)(l n++1 2?l +
2) n
Bricht die Reihe nicht ab, so hatte man fur groe n: an+1 (n +1 1) an, d.h. g()
verhielte sich fur groe wie
g() e :
Dies wurde jedoch zu einem nicht normierbaren R() fuhren. Die Reihe mu fur
normierbare R also abbrechen2!
Fur ein bestimmtes n = nr mu also anr+1 = 0 sein, d.h.
= nr + l + 1 ; n r 0 ;
n = nr + l + 1 : "Hauptquantenzahl".
n : naturliche Zahl mit n l + 1 :
Aus = n folgt fur die moglichen Energiewerte der gebundenen Zustande
des Wasserstoatoms das "klassische" Resultat
)2 (Bohrsche Formel!).
En = ? 12 m0c2 (Z
n2
Entartungsgrad: bei den bisherigen U berlegungen war l fest vorgegeben und n
eine Funktion von nr = 0; 1; : : :, (und l). Umgekehrte Frage: Welche l{Werte sind
bei vorgegebenem n moglich? Antwort: l = 0; 1; : : : n ? 1. Da die Energie En
nur von n abhangt, kann man fragen, wieviel linear unabhangige Zustande
(Wellenfunktionen) gehoren zu vorgegebenem En ?
Da zu l schon 2l + 1 Zustande mit verschiedenen x3{Komponenten gehoren, so
ist der "Entartungs"{Grad gegeben durch
nX
?1
(2l + 1) = n2 :
l=0
Zu vorgegebenem En gehoren also n2 verschiedene Bahndrehimpuls-Zustande. Berucksichtigt man auerdem, da zu jedem Bahndrehimpuls-Zustand
(l; m) noch je 2 Spin{Zustande des Elektrons gehoren, so bekommt man schlielich
als Entartungsgrad von En den Wert 2n2 = dn = Dimension des zu En
gehorigen Unterraumes.
d1 = 2 ; d2 = 8 ; d3 = 18 etc. :
Dies ist sehr wichtig fur die Atomphysik (s. spater).
2
sogenannte "Sommerfeldsche Polynom{Methode"

5.4. DIE BINDUNGSZUSTANDE
DES WASSERSTOFFATOMS
85
Wasserstoeigenfunktionen:
Die Funktionen g() sind jetzt Polynome vom Grade nr = n ? l ? 1, nr = 0; 1; : : :
Fur gegebene n und l hat man die folgende Rekursionsformel fur die Koezienten
a , = 0; : : :, nr = n ? l ? 1:
n a ; = 0; : : :
a+1 = ( + +1)(l ++1 2?l +
2) Bei geeigneter Wahl von a0, sind die Polynome identisch mit speziellen sogenannten
"zugeordneten Laguerreschen Polynomen" :
Lnr ()
! n
+
r
=
nr ? !
=0
n
d r (e?nr +) :
= n1 ! e? d
nr
nr
X
(?1)
r
Fur = 0 bekommt man die "Laguerre"schen Polynome. Beim Wasserstoatom
hat man = 2 l + 1.
Zusammenfassend: die zu En gehorigen Eigenfunktionen Rnlm () Rnl() sind
Rnl() = Cnl e? 21 l Ln2l?+1l?1 ()
Cnl : Normierungsfaktor.
Setzt man
2 0
a hm4"
: Bohrscher Atomradius,
e e2
so hat man z.B. (normiert!)
Zr
3 ?
Z
R10(r) = 2( a ) 2 e a ;
Zr
?
3
Zr
Z
R20(r) = 2( 2a ) 2 (1 ? 2a ) e 2a ;
Zr
3 Zr ?
Z
1
R21(r) = p ( 2a ) 2 a e 2a :
3
Weitere Beispiele nden sich in nahezu jedem Lehrbuch uber Quantenmechanik.
Die Wahrscheinlichkeit, das Elektron in einer Kugelschale mit Radius
r und r + r anzutreen, ist gegeben durch
Z r+r
dr wnl (r) ; wobei
w(r) =
r
wnl(r) = r2R2nl (r) :
KAPITEL 5. ROTATIONSINVARIANTE POTENTIALE
86
"radiale" Wahrscheinlichkeitsdichte.
2Zr
?
Das Maximum von w10(r) = C102 r2 e a liegt bei r = a=Z . Allgemein hat
man fur wnl(r) genau n ? l Maxima.
Wichtige Beispiele fur die Mittelwerte < rk >= R 1 drrk w (r) sind
0
nl
Z :
< r >= 2aZ [3n2 ? l(l + 1)] ; < r?1 >= an
2
Bemerkungen: Die obige Bohrsche Formel fur die Energieniveaus des Elektrons
im Wasserstoatom stellt nur eine Naherung dar, zu der eine ganze Reihe von
Korrekturen kommen (Feinstruktur, Hyperfeinstruktur etc.):
1. Mitbewegung des Kernes (Protons). Wir haben so getan, als ob der Kern
des Wasserstoatoms unendlich schwer sei (und deshalb ruht). Tatsachlich hat
der Kern die Masse mp = 938; : : : MeV/c2 (c2me = 0; 51 : : : MeV) und seine
Mitbewegung macht sich bemerkbar:
Die Energie E~ zweier Teilchen mit Koordinaten ~xi = (x(1i); x(2i); x(3i)), i = 1; 2,
und wechselseitigem Potential V (~x1 ? ~x2) ist klassisch gegeben durch
1 p~ 2 + 1 p~ 2 + V (~x ? ~x ) :
E~ = 2m
1
2
1 1 2m2 2
Die Substitutionen
~p1 ! hi grad1; ~p2 ! hi grad2; gradj = ( @(j) ; @(j) ; @(j) ) ;
@x1 @x2 @x3
fuhren zu der stationaren Schrodinger{Gleichung fur zwei Teilchen:
!
2
2
h
h
? 2m 1 ? 2m 2 + V (~x1 ? ~x2) u~(~x1;~x2) = E~ u~(~x1;~x2) :
1
2
Mittels der Relativ{ und Schwerpunktkoordinaten
~x = ~x1 ? ~x2 ;
+ m2~x2) ;
R~ = (m(1m~x1 +
1 m2 )
~x1 = R~ + m ~x ;
1
~
~x2 = R ? m ~x ;
2
m
m
1
2
= m +m ;
wird hieraus
1
2
!
2
2
h
h
? 2(m + m ) R ? 2 x + V (~x) u~(~x; R~ ) = E~ u~(~x; R~ ) :
1
2

5.4. DIE BINDUNGSZUSTANDE
DES WASSERSTOFFATOMS
87
Aus der klassischen Mechanik wei man, da der Schwerpunkt eines solchen
Systems sich frei bewegt. Dies legt den Ansatz nahe
u~(~x; R~ ) = u(~x) ei K~ R~ :
("Separation" der Variablen ~x und R~ !)
Einsetzen ergibt fur u(~x):
!
2
h
? 2 x + V (~x) u(~x) = Eu(~x)
2~2
:
E = E~ ? 2(mh K
1 + m2 )
Da grad1 + grad2 = gradR, so hat man fur den Gesamtimpuls{Operator
P~ = P~ 1 + P~ 2 = hi (grad1 + grad2) = hi gradR ;
~ iK~ R~ :
P~ eiK~ R~ = h Ke
h 2K~ 2
2(m1 + m2) : kinetische Energie des Schwerpunktes ;
E
: Energie der Relativbewegung .
Die Schrodinger{Gleichung fur die Relativbewegung ist also
die gleiche wie fur die Bewegung in einem aueren Potential
V (~x). Man hat nur die Masse m durch die reduzierte Masse
= m1m2=(m1 + m2) zu ersetzen!
Fur die Energie{Niveaus des Wasserstoatoms bedeutet dies
2
e
:
En = ? 21 c2 n2 ; = mm
1 + me
p
Geht man vom Proton zum Deuteron uber, so hat man mp ! md 2mp und
eine entsprechende Verschiebung der Energieniveaus (schwerer Wassersto!).
Aufgrund dieses Eektes wurde das Deuteron entdeckt!
2. Andere Korrekturen: Sie kommen 1. vom magnetischen Moment des Elektrons; 2. von der relativistischen Geschwindigkeit des Elektrons; 3. vom magnetischen Moment des Kerns; 4. u. a. (s. spater).
88
KAPITEL 5. ROTATIONSINVARIANTE POTENTIALE
5.5 Radialsymmetrische Losungen fur V (r) = 0
5.5.1 Spharische Bessel- und Neumann-Funktionen
Falls V 0, so bekommt man fur Rlm (r) Rl (r) die Gleichung:
2
2
2
(rRl ) + h l(l + 1) R (r) = ER (r) :
? 2hmr @ @r
l
2
2mr2 l
Da sie ein freies Teilchen beschreibt, ist die Energie E 0 beliebig. Setzt man
2mE = k2 = jj~kjj2 ; und kr ;
h 2
so folgt
d2Rl + 2 dRl ? l(l + 1) R + R = 0 :
d2 d
2 l l
Als Dierentialgleichung 2. Ordnung hat diese Gleichung 2 unabhangige Losungen.
Als Basis kann man die folgenden sogenannten "spharischen Zylinderfunktionen"
nehmen:
1. Bei = 0 regulare Losung (spharische Bessel-Funktion)
1
Rreg:
l () = jl () = ( 2 ) 2 Jl+ 12 ();
1
X
2k
J () = 2 (?1)k 22k k! ?( + k + 1) :
k=0
Die Bessel{Funktion J () genugt der Gleichung
d2J + 1 dJ + (1 ? 2 )J () = 0 :
d2 d
2 Man hat, z.B., auch folgende Darstellung
d )l ( sin ) ;
jl() = (?)l ( 1 d
sin
j0() = ;
? cos ; etc.
j1() = sin
2

 V (R) = 0
5.5. RADIALSYMMETRISCHE LOSUNGEN
FUR
89
Man kann dies z.B. dadurch verizieren, da man zunachst den Fall l = 0 beweist
und dann aus der Richtigkeit fur l auf die Richtigkeit fur l + 1 schliet.
2. Bei = 0 singulare Losung (spharische Neumann-Funktion)
nl() = (?1)l+1 ( 2 ) 21 J?l? 12 ()
d )l ( cos ) :
= ?(?)l ( 1 d
? sin ; etc..
n0() = ? cos ; n1() = ? cos
2
Fur ! 0 hat man
jl() (2l + 1)!! ; (2l + 1)!! 1 3 5 (2l + 1) ;
1)!! :
nl() ?(2ll?
+1
l
Fur ! 1 gilt andererseits
jl() 1 sin( ? l2 ) ; nl() ? 1 cos( ? l2 )
5.5.2 Entwicklung von ebenen Wellen nach Legendre-Polynomen und spharischen Bessel-Funktionen
Da auch die ebene Welle ei~k ~x = eikr cos #, # = 6 (~k;~x), eine regulare Losung von
( + k2)u(~x) = 0 ist, so mu sie nach Kugelfunktionen und spharischen BesselFunktionen jl () entwickelbar sein. Die ebene Welle hangt vom Winkel ' nicht ab
(die Richtung ~k ist parallel zur x3{Achse gewahlt worden!) und daher kommen in
der Entwicklung nur die Legendre{Polynome Pl(z), z cos #, vor:
eiz =
1
X
l=0
cl jl() Pl (z) :
KAPITEL 5. ROTATIONSINVARIANTE POTENTIALE
90
Wegen der Orthogonalitat
Z +1
?1
dzPl1 (z)Pl2 (z) = (22l l+1 l21) erhalt man
cl jl() =
Z +1
?1
1
dz(Pl (z)eiz )( 2l 2+ 1 ) :
Nun gilt
zl = (2l +l! 1)!! [(2l + 1)Pl (z) + (2l ? 3) 2l 2+ 1 Pl?2(z)
l ? 1) P (z) + : : : ; ]
+(2l ? 7) (2l + 1)(2
l?4
24
d.h. man hat
8
>
fur n < l ;
< 0
n
dz z Pl(z) = > 2 l!
?1
: (2l + 1)!! fur n = l :
Z +1
1 1
X
(iz)n , so verschwinden die ersten l Terme in
n
!
n=0
Z +1
l2
dzPl(z)eiz = (2(li+) 1)!!
+ : : ::
?1
Fur ! 0 hat man also
l
l
cl (2l + 1)!! (2l + 1) il (2l + 1)!! + hohere Potenzen in :
Koezientenvergleich ergibt
cl = (2l + 1)il :
Damit bekommen wir die uberaus wichtige Formel
Da eiz =
1
X
~
i
k
~
x
ikr
cos
#
e
=e
= (2l + 1) il jl(kr) Pl (cos #) :
l=0
Physikalische Interpretation des asymptotischen Verhaltens von jl () fur sehr
groe :
jl() 1 sin( ? l2 )
1 [e?i(kr? 21 l) ? ei(kr? 21 l) ]
= ? 2ikr
5.6. ELASTISCHE POTENTIALSTREUUNG
91
1 e?i(!t + kr) : einlaufende Kugelwelle.
r
! = 21m k2
(die Phase !t + kr = 0 ;
r = ? !k t ; t < 0 "lauft ein").
1 e?i(!t ? kr) : auslaufende Kugelwelle.
r
jl() ist fur groe Abstande (kr 1) eine Superposition von ein{ und
auslaufenden Kugelwellen.
5.6 Elastische Potentialstreuung
5.6.1 Allgemeiner Teil
Voraussetzung:
rlim
!1(rV (r)) = 0 ;
d.h. das Coulomb{Potential ist ausgeschlossen und die Krafte sollen kurzreichweitig
sein.
Wirkungsquerschnitt
.. ... ... ... Detektor
@@??
einlaufende
Kugelwelle:
Teilchenstromdichte
s3
?@
?
@
@
?
@?
@
I
@
@
r
#
~x = 0
S = r2 auslaufende
Kugelwelle:
Teilchenstromdichte
sr
-
-
-
x3
Langs der x3{Achse fallen Teilchen der Stromdichte s3 (s. S. 25) ein, die am Streuzentrum in ~x = 0 (Relativkoordinate) in das Raumwinkelelement = sin # # '
mit radialer Teilchenstromdichte sr(r; #; ') = ~s ~er gestreut werden. Durch ein
Flachenelement S = r2 im Abstande r treten dann pro Zeiteinheit sr S
Teilchen.
KAPITEL 5. ROTATIONSINVARIANTE POTENTIALE
92
Der dierentielle Wirkungsquerschnitt fur die Streuung in das Raumwinkelelement ist deniert durch
2
(#; ') = srrs ; oder
3
d (#; ') = sr(r; #; ')r2 :
d
s3
Die Groe d=d
ist i.a. zusatzlich eine Funktion der Energie E = 21 h 2k2, :
reduzierte Masse. Falls V (~x) rotationssymmetrisch, so hangt d=d
nicht mehr
von ' ab.
Mathematische Idealisierung:
u(~x) sei die Losung der stationaren Schrodinger{Gleichung zum Potential V (r).
Diese Losung soll fur groe r = jj~xjj aus einlaufender ebener Welle und auslaufender
Kugelwelle bestehen:
u(~x) ei~k ~x + f (k; #) er ; ~k = (0; 0; k) :
ikr
Es ist f (k; #) = 0, falls V (r) = 0. Die Groe f heit Streuamplitude. Da hier
s3 = h k3=, sr = h k jf j2=(r2 ), so folgt
d (k; #) = jf (k; #)j2 :
d
Entwicklung von f (k; #) nach Partialwellen:
Fur groe r gilt fur die "Partialwellen"-Entwicklung der ebenen Welle
1
X
ei~k ~x = (2l + 1) il jl(kr) Pl (cos #)
l=0
1
?i(kr? 12 l) ei(kr? 21 l)
X
e
1
l
? 2ik (2l + 1) i ( r ? r )Pl(cos #) :
l=0
Diese ebene Welle entspricht dem Fall V (r) = 0. Falls nun V (r) 6= 0, so wird die
auslaufende Kugelwelle modiziert:
ei~k ~x ! u(~x) ;
wobei jetzt fur groe r
1
i(kr? 1 l)
?i(kr? 21 l)
X
u(~x) ? 21ik (2l + 1) il ( e r
? Sl(k) e r 2 )Pl(cos #) :
l=0
5.6. ELASTISCHE POTENTIALSTREUUNG
93
Da bei rein elastischer Streuung nur die Phasen, aber nicht die Intensitaten, geandert
werden konnen, so mu jSl(k)j = 1 sein (bei inelastischer Streuung hat man jSl(k)j <
1!). D.h. man kann setzen
Sl(k) = e2il(k) ;
l(k) : zur l{ten "Partialwelle" gehorige "Streuphase".
Da Sl = (Sl ? 1) + 1, so lat sich das obige u(~x) auch schreiben
21
3
i(kr? 12 l)
X
~
e
S
(
k
)
?
1
l
u(~x) eik ~x + 4 (2l + 1) il 2ik Pl(cos #) r 5 ;
l=0
und da e? 2i l = i?l , so bekommt man schlielich fur groe r
ikr
u(~x) ei~k ~x + f (k; #) er ; wobei
1
2il(k)
X
f (k; #) = (2l + 1) e 2ik ? 1 Pl (cos #) :
l=0
Fur den Radialanteil Rl(r) der Wellenfunktion sind die obigen Aussagen fur groe
r gleichbedeutend mit dem asymptotischen Verhalten
sin(kr ? 21 l + l(k))
i
(
k
)
l
:
Rl (r) e
kr
Der totale elastische Wirkungsquerschnitt el(k) ist deniert durch
Z
el (k) = d
jf (k; #)j2 :
Wegen der Orthogonalitat der Pl(cos #) und da (e2il ? 1)=2i = eil sin l, so folgt
1
X
4
el(k) = k2 (2l + 1) sin2 l(k) :
l=0
Da andererseits =m(eil sin l) = sin2l(k) und Pl(1) = 1, so hat man
1
X
=mf (k; # = 0) = k1 (2l + 1) sin2l(k) ;
l=0
oder
=mf (k; # = 0) = 4k el(k):
Sogenanntes "Optisches Theorem".
Gibt es auch inelastische Streuung, so lautet es (hier ohne Beweis!)
=mf (k; # = 0) = 4k tot(k)
94
KAPITEL 5. ROTATIONSINVARIANTE POTENTIALE
wobei tot(k) der totale Wirkungsquerschnitt (el + inel ) ist. Bedeutung: der
Verlust an einfallender Intensitat (tot) entsteht durch "koharente" (elastische) Interferenz!
Die Streuphasen l(k) sind bei vorgegebenem Potential aus dem asymptotischen
Verhalten der Partialwellen Rl(kr) zu bestimmen!
5.6.2 Beispiel: 3{dimensionaler Potentialtopf
V (r) = ?V0 fur r < a ; V0 > 0 ;
V (r) = 0
fur r > a ;
q = h1 (2(V0 + E )) 21 ;
= h1 (?2E ) 21 fur E < 0;
k = h1 (2E ) 12 fur E > 0 :
Bindungszustande (E < 0)
Hier genugt Rl(r) den Gleichungen
d2Rl + 2 dRl ? l(l + 1) R + q2R = 0 ; r < a ;
l
dr2 r dr
r2 l
d2Rl + 2 dRl ? l(l + 1) R ? 2R = 0 ; r > a :
l
dr2 r dr
r2 l
Fur r < a kommt nur die regulare Losung in Frage:
Rl(r) = A jl(qr) ; r < a :
Fur r a mu die Losung exponentiell abfallen. Da die (spharischen Hankel{)
Funktionen
h(1)
l () jl () + i nl ()
sich asymptotisch wie
1 i(? 1 l)
h(1)
l () i e 2
verhalten, so kann man fur r > a
Rl(r) = B h(1)
l (ir)
setzen. Die zulassigen Energiewerte E ergeben sich aus den Randbedingungen
A jl(aq) = B h(1)
l (ia) und
d h(1)(ir)
A drd jl(rq)jr = a = B dr
l
jr = a ;
5.6. ELASTISCHE POTENTIALSTREUUNG
95
aus denen die transzendenten Bestimmungsgleichungen
d j (rq)
d h(1)(ir)
l
jr = a = dr l
jr = a ; l = 0; 1; : : :
dr
(1)
jl(aq)
hl (ia)
folgen. Diese Gleichungen sind i.a. nur numerisch zu losen. Fur l = 0 bekommt
man die gleichen Werte wie beim 1{dim. Potentialtopf (S. 54/55), allerdings nur die
zu den antisymmetrischen Wellenfunktionen gehorigen. Dies hangt damit zusammen, da im 3-dimesionalen Fall die Wellenfunktionen Rl(r) fur r = 0 verschwinden
mussen und dies ist beim 1-dimensionalen Topf nur fur die in x antisymmetrischen
Wellenfunktionen der Fall.
Fur einen sehr tiefen Topf, d.h. qa l, kann man auf der linken Seite die asymptotischen Formen fur jl(rq) benutzen:
jl (rq) rq1 sin(rq ? l2 ) ;
djl (rq) ? 1 sin(rq ? l ) + 1 cos(rq ? l ) :
dr
r2 q
2 r
2
Einsetzen ergibt
d h(1)(ir)
l
1
1
? a + q cot(qa ? 2 l) = dr (1) jr = a :
hl (ia)
Da die rechte Seite nicht von V0 abhangt, so mu fur jE j V0 bei sehr groem q
der Kotangens auf der linken Seite sehr klein sein:
cot(qa ? 21 l) 0 ; d. h.
aq (n + 12 ) + l 2 ; n = 0; 1 : : :
(nur Naherung!)
Streuzustande (E > 0)
Fur r > a hat man jetzt
Rl(r) = B jl (kr) + C nl(kr) ;
fur r < a Rl(r) = A jl(qr) wie vorher (wobei jetzt E > 0). Aus den Stetigkeitsbedingungen bei r = a folgt
d (Bj (kr) + Cn (kr))
d j (qr)
l
l
j
r
=
a
jr = a :
dr
dr l
=
j (qa)
Bj (ka) + Cn (ka)
l
l
l
96
KAPITEL 5. ROTATIONSINVARIANTE POTENTIALE
Damit ist C=B bestimmt!
Andererseits hat man fur groe r
B [sin(kr ? 1 l) ? C cos(kr ? 1 l)] ;
Rl(r) kr
2
B
2
1
i
Der Vergleich mit e l sin(kr ? 2 l + l)=kr ergibt
C;
tan l(k) = ? B
(da sin( + ) = sin cos + sin cos .)
Ausrechnen von C=B ergibt
d j (kr) j (qa) ? d j (qr) j (ka)
l
ja l
dr l ja l
tan l(k) = ddr
d
n
l (kr)ja jl (qa) ? jl (qr)ja nl (ka) :
dr
dr
Damit sind die Streuphasen bestimmt!
Grenzfalle:
1. Niederenergie-Streuung: ka l :
Es sei V0, d.h. q, beliebig.
l
Da fur ! 0, jl() (2l + 1)!! , nl() ? (2l?l+11)!! , so bekommt man
d j (qr)
lj
(
qa
)
?
a
l
2
l
+
1
dr l ja :
tan l(k) [(2l + 1)!!]2 (ka)2l+1
d j (qr)
(l + 1)jl (qa) + a dr
l
ja
Das "Schwellen"{Verhalten
tan l(k) clk2l+1 fur k ! 0
gilt nicht nur fur den Potentialtopf, sondern fur alle Potentiale, deren Streuverhalten fur k ! 0 bzw. r ! 0 durch das Zentrifugalpotential bestimmt ist.
Schreibt man fur den totalen elastischen Wirkungsquerschnitt
1
X
el (k) = l(k) ; l(k) = 4(2kl2+ 1) sin2 l(k) ;
l=0
so hat man fur k ! 0, da sin tan fur ! 0,
l(k) = 4(2kl2+ 1) jClj2 k4l+2 ; d.h.
(
const: 6= 0 fur l = 0 ;
lim
(
k
)
=
l
k!0
0
fur l 6= 0 :
5.6. ELASTISCHE POTENTIALSTREUUNG
97
2. Resonanzstreuung
Fur gewisse Energien ER = 21 h 2kR2 verschwindet der Nenner in der obigen
Formel fur tan l(k). Man hat dann
tan l(kR) = 1 d.h. l(kR) = (n + 12 ) ; n ganze Zahl.
Da sin2[(n + 21 )] = 1, so werden die Groen l(k) fur k = kR maximal:
2
(2l + 1)
l(kR) = 4(2kl2+ 1) = 4h2E
R
R
Das Phanomen lat sich als Resonanzerscheinung interpretieren:
Der Einfachheit halber sei
qa l ka:
(tiefer Topf!) Bei dieser Approximation kann man die Naherungsformel fur
tan l von S. 96 benutzen: d.h. fur k = kR, q = qR hat man die Bedingung
d j (q r) = 0
(l + 1)jl(qRa) + a dr
l R ja
Da andererseits qRa l, so gilt (s.a. S. 95)
(l + 1) cos(q a ? l + 1 ) ? sin(q a ? l + 1 ) = 0 ;
R
R
aqR
2
2
d. h. tan(qRa ? l +2 1 ) laq+ 1 0 ; oder
R
aqR n + 21 (l + 1) ; n ganz .
Dies sind aber gerade die gleichen Bedingungen wie fur die diskreten gebundenen Zustande von S. 95! Im Unterschied zu den gebundenen Zustanden ist hier
jedoch ER > 0. Es handelt sich um vom System ausgezeichnete (bevorzugte)
diskrete Energieniveaus, die z.B. bei der Streuung "angeregt" werden, ahnlich
wie bei erzwungenen Schwingungen in der Mechanik und Elektrodynamik:
Bei ganz bestimmten "Frequenzen" !R = h1 ER der einfallenden Teilchen werden die Eigenschwingungen des streuenden Systems angeregt. Die Resonanz{
Niveaus ER lassen sich in gewisser Hinsicht als instabile Bindungszustande
interpretieren:
KAPITEL 5. ROTATIONSINVARIANTE POTENTIALE
98
E
6
Resonanzzustande
(sind wegen
...
2 l (l + 1) des Tunnel{
...
h
eektes instabil)
VZ (r) = 2 r2
...
.. ER
-
6
r
Bindungszustande
V0
VZ (r) ? V0
?
a
-
6l
2
ER
E
-
In der Nahe der Resonanz kann man
2l+1
l (ka)
tan l = E
? ER ; l = const: :
setzen (Naherung!) Fur den Wirkungsquerschnitt l der Partialwelle l ergibt sich
daraus
2
l(E ) = 4(2kl2+ 1) sin2 l = 4(2kl2+ 1) 1 +tantan2l l
2
l
+1
2
)
= 4(2kl2+ 1) (E ? E()(2ka+)( (ka
)2l+1)2 :
R
l
5.6. ELASTISCHE POTENTIALSTREUUNG
99
Dies ist die sogenannte "Breit{Wigner"{Formel fur den Wirkungsquerschnitt in
der Umgebung der Resonanzenergie ER. Fur die "Partialwelle"
i tan l ? 1)
fl(k) = 21ik (e2il(k) ? 1) = 21ik ( 11 +
? i tan l
erhalt man
ka)2l+1
fl (k) = k1 E ? El (?
i (ka)2l+1
R
l
Die Groe
?l = 2l (ka)2l+1
bezeichnet man als "Breite" der Resonanz, da l(ER 21 ?l) = 21 l(ER).
Die Resonanzstreuung spielt eine ganz groe Rolle in der Atom{, Kern{ und Elementarteilchenphysik! Die Formeln gelten fur viele Potentiale.
Vgl. auch Kap. 3.7 bei Schwabl, Quantenmechanik!
Literatur uber Kugel-, Zylinder- und andere spezielle Funktionen
Die folgende Literatur enthalt weitere Einzelheiten der in der Quantenmechnik
haug auftretenden speziellen Funktionen:
A. Erdelyi, W. Magnus, F. Oberhettinger and F.G. Tricomi, Higher Trans-
zendental Functions, Vols. 1-3, Mc Graw Hill Book Co. Inc. New York etc.
1953-55.
Schafke, Einfuhrung in die Theorie der speziellen Funktionen der mathematischen Physik, Springer-Verlag, Berlin etc. 1963.
N.N. Lebedev, Special Functions and their Applications, Prentice Hall, Englewood Clis 1965.
W. Magnus, F. Oberhettinger and R.P. Soni, Formulas and Theorems for the
Special Functions of Mathematical Physics, 3rd Ed. , Springer-Verlag 1966.
Y.L. Luke, The Special Functions and their Approximations, vols. I u. II,
Academic Press, New York 1969.
5.6.3 Literatur zur Streutheorie
Es gibt viele Bucher uber die quantenmechanische Streutheorie. Hier zwei Beispiele:
R.G. Newton, Scattering Theory of Waves and Particles, 2. Auage, Springer-Verlag, Berlin etc. 1982
J.R. Taylor, Scattering Theory, J. Wiley, New York 1972
KAPITEL 5. ROTATIONSINVARIANTE POTENTIALE
100
5.7 Coulomb{Streuung
Die Streuung eines Teilchens der Ladung q1 an einem Streuzentrum mit Ladung
q2 lat sich nicht innerhalb des im letzten Paragraphen diskutierten Rahmens der
Potential{Streuung behandeln3. Dies hangt damit zusammen, da das Coulomb{Potential "langreichweitig" ist, d. h. wie r?1 abfallt. Dies fuhrt zu Modikationen
der einlaufenden ebenen Wellen und auslaufenden Kugelwellen.
5.7.1 Integration mittels parabolischer Koordinaten
Die die stationare Coulomb{Streuung beschreibende Wellenfunktion uc (~x) erfullt
2k2
2
q
q
h
h
1
2
(? 2 + 4" r )uc = Euc ; E = 2 ;
0
und lat sich am gunstigsten mittels parabolischer Koordinaten beschreiben:
p
= r + x3
; x1 = p cos ' ;
= r ? x3
; x2 = sin ' ;
x
2
' = arctan x1 ; x3 = 21 ( ? ) ;
r = 21 ( + ) :
Dann wird
ds2 = (dx1)2 + (dx2)2 + (dx3)2
= 4+ (d)2 + 4+ (d)2 + (d')2 ;
= +4 @ (@ ) + +4 @(@ ) + 1 @'2 :
Nehmen wir wieder an, da die einlaufenden Teilchen sich parallel zur x3{Achse
bewegen, so sollte die gesuchte Losung nicht vom Winkel ' um diese Achse abhangig
sein!
Fur die gesuchte Losung machen wir den Separationsansatz
uc = f ()g() :
Einsetzen ergibt
2
[@(@ ) + @(@ )]f ()g() ? q1q22 f ()g() = ? k4 ( + )f ()g()
4"0 h
Das Kap. 5.7 des Skriptums ist in der Vorlesung nicht behandelt worden und nicht Teil einer
eventuellen Prufung!
Die Coulomb-Streuung ist jedoch Teil der physikalischen Bildung!
3
5.7. COULOMB{STREUUNG
101
Nach Division durch f g erhalt man drei Summanden, von denen einer nur von
abhangt, einer nur von und der dritte eine Konstante ist. D. h. es mussen die
folgenden Beziehungen gelten:
2
@ (@ )f + k4 f ? c1f = 0 ;
2
@ (@ )g + k4 g ? c2g = 0 ;
c 1 + c 2 = q1 q2 2
4"0 h
1 ik
f = e 2 ist eine Losung der ersten Gleichung, falls c1 = 21 ik. Dann wird aus der
zweiten Gleichung
2
@ (@)g ? ( q1q22 ? 12 ik)g + k4 g = 0 :
4"0 h
Spaltet man von g noch den Faktor e
daraus
? 21 ik
ab, also g = e
? 21 ik
h(), so wird
uc = fg = eikx3 h() ;
wobei h() der Differential{Gleichung
h00() + (1 ? ik)h0 ? kh = 0; = q1q22 ;
4"0 h k
genugt. Fur Bindungszustande geht ?i in die Hauptquantenzahl n uber (s. weiter
unten) .
Die Differential{Gleichung fur h() ist ein Spezialfall der Differential{Gleichung
fur die "konuente" hypergeometrische Funktion, die zunachst kurz diskutiert werden soll:
102
KAPITEL 5. ROTATIONSINVARIANTE POTENTIALE
5.7.2 Mathematisches Intermezzo: Konuente hypergeometrische Funktion
Literatur:
A. Erelelyi et al. , Higher Transzendental Functions I, McGraw{Hill Book Co.,
New York etc. 1953.
H. Buchholz, The Conuent Hypergeometric Function, Springer-Verlag, Berlin
etc. 1969.
Hypergeometrische Funktion (Gau)
Gegeben sei die Reihe (z; a; b; c komplex):
b + 1) z2 + (a)n(b)n zn + : : :
F (a; b; c; z) = 1 + abc z + a(a +c(c1)+b(1)
2!
(c)n n!
a + n) ;
(a)n = a(a + 1) : : : (a + n ? 1) = ?(?(
a)
c 6= ?n ; n = 0; 1; 2; : : : :
Falls a oder b = ?m, m = 0; 1; : : :, so bricht die Reihe ab und man hat Polynome. Sonst konvergiert die Reihe fur beliebige komplexe a; b; c, falls jzj < 1. Die
Funktion kann jedoch in die komplexe z{Ebene fortgesetzt werden und ist dort
holomorph bis auf einen Schnitt langs der reellen Achse von 1 bis 1.
Auch die analytischen Fortsetzungen werden mit F (a; b; c; z) bezeichnet.
Die oben benutzte Gamma{Funktion ?(z) ist fur <ez > 0 deniert durch
Z1
?(z) = dte?ttz?1 :
0
Sie ist in die gesamte z{Ebene fortsetzbar und hat Pole bei
z = ?n, n = 0; 1; 2; : : : mit Residuen (?1)n=n!
Es gilt: ?(z + 1) = z?(z), d. h. ?(n + 1) = n!, ?(1) = 1,
?(z)?(1 ? z) = sin(z) :
Einfache Beispiele fur die Hypergeometrische Funktion:
F (?a; b; b : ?z) = (1 + z)a ;
zF (1; 1; 2; ?z) = ln(1 + z) ;
F (?n; n + 1; 1; 21 (1 ? x)) = Pn (x) :
F (a; b; c; z) ist die Losung der Differential{Gleichung
z(1 ? z)w 00(z) + [c ? (a + b + 1)z]w0 ? abw = 0 ;
5.7. COULOMB{STREUUNG
103
ebenso ist
z1?cF (a ? c + 1; b ? c + 1; 2 ? c; z)
eine Losung. Die Differential{Gleichung ist singular fur z = 0; 1; 1.
Konuente hypergeometrische Funktion
Ersetzt man in F (a; b; c; z) z durch z=b, so wird die Singularitat bei z = 1 nach
z = b transformiert. Im Grenzfall b ! 1 "ieen" dann die Singularitaten bei 1
und 1 "zusammen" und wir erhalten die Reihe
1) z2 + + (a)n zn + ;
F (a; c; z) = 1 + ac z + ac((ac ++ 1)
2!
(c)n n!
c 6= ?n ; n = 0; 1; 2; : : : ;
die in der gesamten komplexen z{Ebene holomorph ist und der Differential{Gleichung
zw 00(z) + (c ? z)w0(z) ? aw(z) = 0
genugt. Losung ist auch
z1?cF (a ? c + 1; 2 ? c; ?z) :
Ferner gilt:
Beispiele:
F (a; c; z) = ez F (c ? a; c; ?z) :
1.
2. Hermitesche Polynome:
F (a; a; z) = ez
n
H2n+1(z) = (?n1)! (2n + 1)! 2z F (?n; 32 ; z2)
n
H2n(z) = (?n1)! (2n)! F (?n; 12 ; z2)
3. Laguerresche Polynome:
4. Bessel{Funktionen:
L(n) = ( +n!1)n F (?n; + 1; z)
J (z) = ?( 1+ 1) ( 21 z) e?iz F ( + 21 ; 1 + 2 ; 2iz)
104
KAPITEL 5. ROTATIONSINVARIANTE POTENTIALE
Das asymptotische Verhalten fur jzj ! 1, a; c fest, sieht folgendermaen aus:
M (a) (a ? c + 1)
c) eiaz?a X
n
n
F (a; c; z) = ?(?(
(?z)?n
c ? a)
n
!
n=0
+O(jzj?a?M ?1 )
N (c ? a) (1 ? a)
?(c) ez za ? c X
n
n ?n
+ ?(
z
a)
n!
n=0
+O(jez za?c?N ?1 j)
M ; N = 0; 1; 2; : : : ;
? < arg z < = +1 ; falls =mz > 0
= ?1 ; falls =mz < 0 :
5.7.3 Zuruck zur Coulomb{Streuung
Der Vergleich der Differential{Gleichung
h00() + (1 ? ik)h0 ? kh = 0
mit zw 00(z) + (c ? z)w0(z) ? aw(z) = 0, ergibt fur z = ik,
zh00(z) + (1 ? z)h0(z) + ih(z) = 0 ;
d. h.
a = ?i ; c = 1 :
h() = CF (?i ; 1; ik) ; C = const: :
Wichtig ist das asymptotische Verhalten von h() fur groe :
Wegen ?(1) = 1 sowie
1 i
?
a
i
(z) = (ik) = (e 2 k)i
? 12 i ? 21 i ln(k)
= e
(k) = e
e
;
a
?
c
?
i
?
1
z = (ik)
;
= r(1 ? cos #) = 2r sin2 #2
erhalten wir
1 2 )
1
F (?i ; 1; ik) ?(1 + i ) e 2 ei ln(k)(1 + ik
5.7. COULOMB{STREUUNG
105
1 2
1
ik
+ i?(?i ) e k e 2 e?i ln(k)(1 + (1 +iki ) + ) ;
wobei jkj 1; d. h. # 6= 0, r gro. Damit bekommen wir fur uc = Ceikx3h()
1
uc
A(k; #)
i ?(?i )
d. h. 0
1 2
C ?(1e + i ) [ei[kx3 + ln k(r ? x3)] + A(k; #) 1r ei(kr ? ln 2kr)] ;
?
i ln(sin2 #2 )
?(1
+
i
)
1
=
i?(?i ) 2k sin2 # e
2
?i ln(sin2 #2 ) + 2i0
?
e
=
;
#
2
2k sin
2
?(1 + i ) ;
= ??(1 ? i ) ; e2i0 = ?(1
? i )
= arg(?(1 + i )) :
Interpretation:
Die Phase der einlaufenden ebenen Welle ist durch den Term ln(r ? x3)k und
die der auslaufenden Kugelwelle durch ? ln 2kr modiziert! Dies ist eine Folge
der "langen" Reichweite des Coulomb{Potentials.
Die Amplitude A(k; #) beschreibt wie f (k; #) in Abschn. 5.6.1 das Verhaltnis
beider Wellen und ihr Absolutquadrat ist ein Ma fur den Wirkungsquerschnitt:
dc = jA(k; #)j2 = 2
d
4k2 sin4 #2
q12q222
q12q22
=
=
:
#
#
4
2
4
4
2
2
4
(4"0) 4h k sin 2 (4"0) 16E sin 2
Rutherford'scher Wirkungsquerschnitt, derselbe wie in der Mechanik! Die
Quantenmechanik macht sich in der folgenden Weise bemerkbar:
1. Streuung ununterscheidbarer Teilchen:
q1 = q 2 ; m 1 = m 2
Die beiden folgenden atomaren Streuprozesse sind makroskopisch ununterscheidbar:
KAPITEL 5. ROTATIONSINVARIANTE POTENTIALE
106
1
1
?
?
?
?
?
?
?@
I
- ?
@
?
?
?
?
#
2
2
2
1
?
?
?
?
- ?
?{
%
?
#
?
?
?
?
?
2
1
Klassisch hat man
d = dc (#) + dc ( ? #)
d
d
d
4
= (4" q)2 16E 2 ( 1 # + 1 # ) ;
0
sin4 2 cos4 2
Quantenmechanisch dagegen:
d = jA(k; #) + A(k; ? #)j2 ;
d
und da
(aei + bei )(ae?i + be?i ) = a2 + b2 + 2ab cos( ? ) ;
so erhalt man
2
3
4
66 1
d =
1 + 8 cos ln(tan2 # )77
q
+
4
d
(4"0)2 16E 2 sin4 # cos4 # sin2 #
25
2
2
Der zusatzliche
2 Term
2 ruhrt von der Phase von A her!
q
q
Falls = h 2 k = h v 1, so oszilliert dieser Term stark und ist unbeobachtbar!
2. Streuung bei niedrigen Energien
Normiert man den Flu s3 der einlaufenden Welle auf 1, so mu der Normierungsfaktor C von uc oben den Wert
? 21 ? 21
v ; v = hk ;
C = ?(1 + i )e
5.7. COULOMB{STREUUNG
107
haben, d. h.
? 12 ? 21 ikx3
v e F (?i ; 1; ik) :
uc(~x) = ?(1 + i )e
Fur ~x = 0 wird daraus
uc(0) = ?(1 + i )e? 21 v? 21 ;
juc(0)j2 = v?1e? ?(1 + i )?(1 ? i )
2 ;
= v?1 e2
?1
da
?(1 + i )?(1 ? i ) = i ?(i )?(1 ? i )
= sin(i
i ) (s:S: 102) :
Fur kleine v, d.h. j j 1, hat man:
bei Anziehung ( < 0) : juc(0)j2 ? 2
v ?2
bei Abstoung ( > 0) : juc(0)j2 2
v e
?
2
e
:
"Gamov"{Faktor.
Wichtig in der Kernphysik!
5.7.4 Partialwellen
Aus dem Ansatz uc(~x) =
1
X
l=0
Rl(r)Pl (cos #) folgt fur Rl(r) die Gleichung
l(l + 1) ]R = 0 :
?
Rl00 + 2r R0l + [k2 ? 2k
l
r
r2
Setzt man weiter Rl(r) = rl eikr fl(r), so genugt fl(r) der Gleichung
rfl00 + [2ikr + 2(l + 1)]fl0 + [2ik(l + 1) ? 2k]fl = 0 :
Der Vergleich mit zw 00(z) + (c ? z)w0(z) ? aw(z) = 0 (s.S. 103), z = ?2ikr, zeigt,
da
fl(r)) = Cl F (l + 1 + i ; 2l + 2; ?2ikr) :
108
KAPITEL 5. ROTATIONSINVARIANTE POTENTIALE
Fur groe r wird hieraus (s.S. 104):
1 0
?2ikr + 21 i(l + 1) + i ln 2kr
2
?(2
l
+
2)
e
B
fl(r) Cl
e
(2kr)l+1 ?(l + 1 + i ) @
1
1
?(l + 1 + i ) e? 2 i(l + 1) ? i ln 2kr C
+ ?(
A
l + 1 ? i )
Setzt man l = arg ?(l + 1 + i ), so erhalt man entsprechend fur Rl(r):
Rl(r) rleikr fl(r)
1 C
l ?(2l + 2)e 2 i
2(2k)l ?(l + 1 + i )kr 0
1 li ? i ln 2kr 1
1 li + i ln 2kr
ikr
?
?
ikr
+
CA
2
2
? e2il e
B@e
Der Vergleich mit S. 92 legt nahe, l als Streuphase der l{ten Partialwelle der
Coulomb{Streuung zu denieren:
Slcoul = e2il ; l = arg ?(l + 1 + i ) :
Die bisher noch unbestimmten Koezienten Cl mussen aus der Beziehung
? 21 ? 21 ikx3
uc = ?(l + i )e
v e F (?i ; 1; ik)
1
X
=
Rl(r)Pl (cos #) ;
l=0
bestimmt werden:
Aus der Orthogonalitat der Pl(cos #) folgt zunachst
Rl = rleikr ClF (l + 1 + i ; 2l + 2; ?2ikr)
Z
2
l
+
1
= 2 0 d#Pl(cos #)uc(ri#) sin # :
Wegen der Identitat (s.S. 103)
F (?i ; 1; ik) = eik F (1 + i ; 1; ?ik) ;
x3 = r cos # ;
= r(1 ? cos #) ;
gilt
? 21 ? 21 ikr
v e F (1 + i ; 1; ?ik) ;
uc = ?(1 + i )e
5.7. COULOMB{STREUUNG
109
und daher
ClrlF (l + 1 + i ; 2l + 2; ?2ikr) =
2l + 1 C Z +1 dzP (z)F (1 + i ; 1; ikr(z ? 1))
l
2
?1
1 ? 1
?
z = cos # ; C = ?(1 + i )e 2 v 2 :
Entwickelt man beide Seiten um r = 0, so tragt auf der rechten Seite nur der l{te
Term
(1 + i )l 1 [ikr(z ? 1)]l = ?(1 + i + l) (ik)l rl (z ? 1)l
(1)l l!
?(1 + i ) (l!)2
bei, d. h.
Z
? 12 ?(1 + i + l)
(2
l
+
1)
e
l +1 dzP (z )(z ? 1)l :
Cl =
(
ik
)
l
?1
2v 12 (l!)2
Da
Z +1
dz
(z ? 1)l Pl(z) = (2l 2+l!1)!! (s.S.90) ;
?1
l?1 l ? 1)!
und (2l ?1 1)!! = 2 (2l(?
1)! , so wird
? 21 Cl = e
?(1 + i + l)(2ik)l :
1
v 2 (2l)!
Man kann ferner zeigen, da
?i ln(sin2 #2 ) + 2i0
A(k; #) = ?
e
#
2
2k sin 2
1
X
=! 1 (2l + 1)e2il Pl(cos #) :
2ik l=0
5.7.5 Pole von Slcoul (k) in der komplexen k-Ebene und die
Bindungszustande
Die Coulomb-Streuamplitude
?(l + 1 + i ) ; = q1q2 ;
SlCoul (k) = ?(
l + 1 ? i )
(4"0) h 2k
110
KAPITEL 5. ROTATIONSINVARIANTE POTENTIALE
die zunachst fur reelle Argumente k deniert ist, lat sich analytisch in die komplexe k-Ebene fortsetzen. Dabei hat man zu beachten, da ?(z) eine meromorphe
(analytisch mit moglichen Polen) Funktion in der z{Ebene mit Polen bei
z = ?nr ; nr = 0; 1; : : : ;
ist, d.h. Slcoul (k) hat Pole bei
l + 1 + i = ?nr ; bzw. i = ?(nr + l + 1) ;
also bei den folgenden imaginaren k-Werten
knr = ?
q1q2i
2
4"0 h (nr + l + 1)
:
Wegen E = 21 h 2k2 ergibt dies die Energiewerte
Enr = ? 12 q12q22
1
!
2
(4"0)2 h (nr + l + 1)2
Dies ist fur q1q2 < 0 genau die Bohrsche Formel fur die Bindungszustande eines
anziehenden Coulomb-Potentials:
Die Pole von Slcoul (k) auf der positiven imaginaren k-Achse entsprechen
den Bindungszustanden En ! Diese wichtige Eigenschaft gilt auch fur andere
Potentiale !
Kapitel 6
Schrodinger{Gleichung fur
geladene Teilchen (Elektronen) in
aueren elektromagnetischen
Feldern
6.1 Grundlagen
6.1.1 Klassische Mechanik der Lorentz-Kraft
In der klassischen Mechanik ist die Wirkung von aueren elektrischen und magnetischen Feldern auf Teilchen mit Masse m und Ladung q gegeben durch die
Lorentz{Kraft:
m~x(t) = q[E~ (~x; t) + ~v B~ (~x; t)] :
Im Rahmen des Lagrange{Formalismus lassen sich diese Bewegungsgleichungen fur
die drei Koordinaten xi(t) auassen als Lagrange Gleichungen
wobei
d @L(~x; ~x_ ; t) ? @L(~x; ~x_ ; t) = 0 ; i = 1; 2; 3 ;
dt @ x_ i
@xi
L(~x; ~x_ ; t) = m2 ~x_ 2 ? q['(~x(t); t) ? ~x_ A~ (~x(t); t)] ;
B~ (~x; t) = rotA~ (~x; t) ; E~ (~x; t) = ?grad'(~x; t) ? @tA~ (~x; t) :
Beweis:
@L = mx_ + qA (~x(t); t) ;
i
i
@ x_ i
3
d @L = mx + q(@ A + X
@k Ai x_ k ) :
i
t i
dt @ x_ i
k=1
111
112

KAPITEL 6. SCHRODINGER{GLEICHUNG
GELADENER TEILCHEN
Ferner ist
und damit ergibt sich
3
@L = ?q @' + q X
@xi
@xi k=1 @iAk x_ k ;
3
d @L ? @L = mx + q(@ ' + @ A ) ? q X
(x_ k @iAk ? x_ k @k Ai)
i
i
t i
dt @ x_ i @xi
k=1
= mxi ? q(E~ )i ? q(~v rotA~ )i :
Die Groen
pi = @@L
x_ = mx_ i + qAi
i
heien "kanonische" Impulse. Da
3 @L
dL = X
@L x ) + @L und
x
_
(
k+
dt
@ x_ k k @t
k=1 @xk
@L x = p x = d (p x_ ) ? x_ p_
k
k k
@ x_ k k
dt k k
@L
= dtd (pk x_ k ) ? x_ @x
k
ist, so gilt
3
d [X
@L ;
(
p
k x_ k ) ? L] = ?
dt k=1
@t
d. h. falls L nicht explizit von der Zeit abhangt (@tL = 0), dann ist die Groe
3
X
H = pk x_ k ? L
k=1
eine Erhaltungsgroe, namlich die Energie. Betrachtet man anstatt xi, x_ i und t die
Variablen xi, pi und t als unabhangig, so heit
3
X
H = H (~x; ~p; t) = pk x_ k [~x; ~p; t] ? L[~x; ~x_ (~x; ~p; t); t]
k=1
die "Hamilton{Funktion" des Systems. In unserem Falle ist
~x_ = m1 [~p ? qA~ (~x; t)] ;
und daraus folgt
H (~x; ~p; t) = 21m [~p ? qA~ (~x; t)] 2 + q'(~x; t)
6.1. GRUNDLAGEN
113
Der obige Ausdruck fur die Lorentz{Kraft sowie die Maxwellschen Gleichungen sind
invariant gegenuber Eichtransformationen
'(~x; t) ! '(~x; t) ? @tf (~x; t) ;
A~ (~x; t) ! A~ (~x; t) + gradf (~x; t) ;
f (~x; t) beliebig.
Physikalisch beobachtbare Groen sollten invariant gegenuber diesen Transformationen sein, physikalische Gleichungen sollen ihre Struktur (Form) unter ihnen nicht
andern. Es transformieren sich:
L ! Lb = L + q(@tf + ~x_ gradf ) = L + q dtd f ;
b
pj ! pbj = @@xL_ = pj + q@j f ;
j
b
@L ! @ L = @L + q@ d f ;
j
@xj
@xj @xj
dt
X
X
c
b
H ! H = pbj x_ j ? L = pj x_ j ? L ? q@tf ;
@L = d pb ? @ Lb :
aber: dtd p_j ? @x
dt j @xj
j
6.1.2 Die zugehorige Schrodinger-Gleichung
In Analogie zu den fruheren quantenmechanischen "Korrespondenzen"
E ! ih @t ; p~ ! hi grad
haben wir jetzt die Verallgemeinerungen
H ! ih @t ; ~p ! hi grad :
Daraus ergibt sich die Schrodinger{Gleichung fur ein geladenes Teilchen in
aueren elektromagnetischen Feldern
ih @t (~x; t) = 21m ( hi grad ? qA~ )( hi grad ? qA~ ) (~x; t)
+ q'(~x; t) (~x; t) :
114

KAPITEL 6. SCHRODINGER{GLEICHUNG
GELADENER TEILCHEN
Das Ausrechnen der rechten Seite liefert
2
ih @t (~x; t) = ? 2hm (~x; t) + iqmh A~ grad (~x; t)
e
2
+ 2iqmh (divA~ ) (~x; t) + 2qm A~ 2 (~x; t)
+ q'(~x; t) (~x; t) :
Die rechte Seite vereinfacht sich, wenn man die Coulomb{Eichung, divA~ = 0, wahlt.
Die obige Form der Schrodinger{Gleichung fur geladene Teilchen in elektromagnetischen Feldern lat sich auch aus der Forderung nach Eichinvarianz herleiten:
6.2 Eichinvarianz
Die obige Schrodinger{Gleichung ist invariant unter Eichtransformationen, falls man
die Wellenfunktion (~x; t) in der folgenden Weise transformiert:
iq f (~x; t)
(~x; t) ! ~(~x; t) = e h
(~x; t) ;
Dies ist eine ortsabhangige Phasentransformation, fur die ! .
Beweis: Es ist
iq f
ih @t(e h ) =
iq
h grad(e h f ) =
i
iq f
e h [(?q@tf ) + ih @t ] ;
iq f
e h [(qgradf ) + hi grad ]
Setzt man
A~~(~x; t) = A~ (~x; t) + gradf (~x; t) ;
'~(~x; t) = '(~x; t) ? @tf (~x; t) ;
so folgt aus den obigen Formeln, da die Groen ~, '~ und A~~ derselben Schrodinger{Gleichung genugen wie , ' und A~ .
Es gilt namlich
iq f
(ih @t ? q'~) ~ = e h (ih @t ? q') ;
iq f
h
~
( i grad ? qA~) ~ = e h ( hi grad ? qA~ ) :
6.2. EICHINVARIANZ
115
Wichtige Umkehrung:
Verlangt man, da die freie Schrodinger{Gleichung
2
ih @t = ? 2hm invariant gegenuber "lokalen" Phasentransformationen
iq f (~x; t)
(~x; t)
(~x; t) ! e h
ist, so ist dies genau dann der Fall, falls man in der freien Schrodinger-Gleichung
mittels der Substitutionen
ih @t ! ih @t ? q' ; hi grad ! hi grad ? qA~
Potentiale ' und A~ einfuhrt, die sich bei Eichtransformationen wie oben transformieren. Die Forderung nach Invarianz der Schrodinger-Gleichung gegenuber solchen
"lokalen" Eichtransformationen zwingt also zur Einfuhrung elektromagnetischer Potentiale. Dieses "Eichprinzip" spielt eine sehr groe Rolle in der modernen Physik
der Elementarteilchen !
Einfache Anwendungen:
1. Quantisierung des magnetischen Flusses
In Gebieten, fur die B~ = 0 ist, hat man rotA~ = 0, d. h. A~ = gradf . In diesen Gebieten, in denen sich die geladenen Teilchen (Elektronen) im Potential
V (~x) benden sollen, hat man zwei zueinander aquivalente Schrodinger{Gleichungen; einmal
1 ( h grad) 2 + V (~x) = ih @
t
2m i
und zum anderen
1 ( h grad ? qA~ ) 2 ~ + V (~x) ~ = ih @ ~ ;
t
2m i
iq
~(~x; t) = e h f (~x; t) ;
wobei A~ = gradf :
Ist A~ (~x; t); rotA~ = 0 vorgegeben und ist C1" ein Weg (eine Kurve), der ganz
im Gebiete mit B~ = 0 von ~x0 = ~x( = 0) nach ~x = ~x( = 1) , 0 1,
verlauft, so hat man
Z
Z1
d~y :
~
f (~x; t) = " d~y A(~y; t) d A~ (~y( )) d
0
C1
116

KAPITEL 6. SCHRODINGER{GLEICHUNG
GELADENER TEILCHEN
Der Wert von f (~x; t) kann vom Wege abhangig sein: Ist namlich C2" eine zweite
Kurve f~y() , 0 1g von ~x0 nach ~x, so gilt
I
Z
Z
~
~
d~y A~ (~y; t)
d~
y
A
(
~
y
;
t
)
=
d~
y
A
(
~
y
;
t
)
?
C1" ?C2"
C2"
C1"
Z
Z
~
~
= " df (rotA) = " df~ B~
F
F
= (F ") ;
wobei F " eine von den Kurven C1" und ?C2" = C2# berandete Flache ist und
(F ") der durch diese Flache tretende magnetische Flu.
Ist die Flache F " nicht einfach zusammenhangend, sondern hat in der Mitte ein
Loch, durch das der Flu tritt, so andert sich nach den obigen U berlegungen
die Phase der Wellenfunktion (~x; t) beim einmaligen Umlaufen des Loches
iq q
um den Wert h , d. h. (~x; t) geht uber in (~x; t)e h . Wenn nun die
Wellenfunktion
in einer vorgegebenen Umgebung eindeutig sein soll, so mu
q = 2n , n ganz,
gelten, d.h.
h
n = 2qh n , n = 0; 1; : : : :
Da alle Groen bis auf n vorgegeben sind, so bedeutet diese Gleichung, da
der eingeschlossene Flu gequantelt ist!
Der Eekt ist tatsachlich beobachtet worden:
6 6
6 B~ 6 6
'
&
&
?
?
$
-
Strom in einem supraleitenden
Ring, der von einem Magnetfeld B~ durchsetzt ist.
%
%
Strom der Elektronen
Nach Abkuhlung unter die kritische Sprungtemperatur wird das B~ {Feld aus
dem Leiter verdrangt (Meiner{Eekt), nicht aber aus dem Loch! Messungen
des Flues im Loch ergaben
= 22eh n ; d. h. q = ?2e0 ;
0
6.2. EICHINVARIANZ
117
in U bereinstimmung mit der Vorstellung, da bei Supraleitern die Elektronen
paarweise korreliert sind!
2. Interferenz zweier Elektronen{Strahlen, Bohm-Aharanov-Eekt
Schirm
XXX
XXX
XX
XX
X
}
PP
PP
I @
PP
@
PP
@
PP
P
P
Elektronenquelle
Langs der Wege C1" und C2"
ist B~ = 0, nicht aber im
Inneren!
magnetischer
Flu Auf dem Schirm hat man eine Superposition ~1 + ~2 der Wellen vom Strahl
langs C1" und C2":
iq Z d~y A~ (~y)
iq Z d~y A~ (~y)
~1 = 1 e h C1"
; ~2 = 2 e h C2"
;
d. h.
( ~1 + ~2) (in einem Punkte auf dem Schirm)
iq (Z d~y A~ ? Z d~y A~ )
iq Z d~y A~
C2"
= ( 1e h C1"
+ 2)e h C2"
iq Z d~y A~
iq = ( 1 e h + 2) e h C2"
:
Durch A nderung von kann man danach die relative Phase zwischen ~1 und
~2 andern und damit das Interferenzbild!!
Dieser Eekt ist ebenfalls beobachtet worden!
Der geometrische Hintergrund der gerade diskutierten Eekte ist der folgende: Nach
Poincare kann man aus divB~ = 0 nur dort folgern, da B~ = rotA~ , wo das Gebiet
sternformig bzw. einfach zusammenhanmgend ist. Ist ein Gebiet G dagegen nicht
einfach zusammenhangend, hat also z.B. ein Loch, so braucht man mindestens zwei
sich uberlappende einfach zusammenhangende Teilgebiete G1 und G2 , um G damit zu uberdecken. Ist dann B~ = rotA~ 1 in G1 und B~ = rotA~ 2 in G2, so folgt aus
rotA~ 2 = rotA~ 1 in G2 \ G1, da dort A~ 2 = A~ 1 + gradf !
118

KAPITEL 6. SCHRODINGER{GLEICHUNG
GELADENER TEILCHEN
Bemerkung:
Bei Anwesenheit des Vektorpotentials A~ andert sich die Wahrscheinlichkeitsstromdichte
h ( grad ? (grad ) ) = 1 ( P~ + (P~ ) ) ;
~s = 2im
2m
da auch hier wegen der erforderlichen Eichinvarianz von ~s der Operator P~ durch
h grad ? q A~ zu ersetzten ist. Es gilt also
i
h ( grad ? (grad ) )(~x; t) ? q A~
~s(~x; t) = 2mi
m
(~x; t) ;
Mittels der zugehorigen Schrodingergleichung rechnet man leicht nach, da fur dieses
~s dann die Kontinuitatsgleichung @tw + div~s = 0 gilt, wobei weiterhin w = .
6.3 Konstantes Magnetfeld: normaler Zeeman{
Eekt
Es sei q'(~x; t) = V (r) und das magnetische Feld B~ = ???!
const:. Ein solches B~ {Feld
lat sich aus dem Potential
A~ = 21 B~ ~x
ableiten, da
rotA~ = 12 rot(B~ ~x)
= 21 [?(B~ grad)~x + B~ div~x] = B~ :
Ferner ist
divA~ = 21 div(B~ ~x)
= ~x rotB~ ? B~ rot~x = 0 :
Die obige Wahl von A~ ist nicht eindeutig, ebenso ware A~ + gradf (~x) moglich, mit
f (~x) = 0, damit div(A~ + gradf ) = 0.
Fur den Term iqmh A~ grad in der Schrodinger{Gleichung erhalt man
iqh (B~ ~x) grad
2m
= 2iqmh B~ (~x grad)
= ? 2qm~l B~ ;
~l = h (~x grad) : Bahndrehimpulsoperator.
i
6.3. KONSTANTES MAGNETFELD: NORMALER ZEEMAN{EFFEKT
119
Fur den Term mit A~ 2 in der Schrodinger{Gleichung bekommt man
q2 vA 2 = q2 (B~ ~x)2 = q2 (~x 2B~ 2 ? (~x B~ ) 2) :
2m2
8m2
8m2
Mit B~ = (0; 0; B ) hat man also als Schrodinger{Gleichung fur ein Teilchen mit
Ladung q in einem Potential q'(r) V (r) und in einem konstanten Magnetfeld B~ :
2
q Bl
ih @t (~x; t) = ? 2hm ? 2m
3
0
0
2
+ 8qm2 B 2(x21 + x22) + V (r) :
0
Hier ist der Massenparameter m durch m0 ersetzt worden, ida m im folgenden die
"magnetische" Quantenzahl bedeutet. Mit (~x; t) = e? h Etu(~x) lautet die zugehorige stationare Schrodinger{Gleichung:
2
2
? 2hm u ? 2mq B l3 u + 8qm2 B 2(x21 + x22)u + V (r)u = Eu(~x) :
0
0
0
Abschatzung der Groenordnung der in B linearen und quadratischen Terme:
< l3 > ist von der Groenordnung h , < x21 + x22 > fur in Atomen gebundene
Elektronen von der Groenordnung des (Bohrschen Atomradius)2 = a2, d.h. mit
q = ?e0,
B
(e20=8m20)a2B 2 = 1 e20 B 2
9
(e =2m )hB 4 h e =a 9 10 Gauss :
0
0
0
Im Labor kann man magnetische Feldstarken der Groenordnung 105 Gau erzeugen, und daher ist hier der quadratische Term vernachlassigbar. Dies ist i.a.
jedoch bei ungebundenden Bewegungen nicht der Fall.
6.3.1 Der normale Zeeman-Eekt
Vernachlassigen wir den in B quadratischen Term, so bekommen wir die Gleichung
(fur ein Elektron, q = ?e0):
2
h
? 2m u(~x) + V (r)u(~x) + 2em0 B l3 u(~x) = Eu(~x) :
0
0
Da der Hamilton{Operator
2
H = ? 2hm + V (r) + 2em0 B l3
0
0
120

KAPITEL 6. SCHRODINGER{GLEICHUNG
GELADENER TEILCHEN
mit ~l 2 und l3 vertauscht, so kann man die Eigenfunktionen von H gleichzeitig als
Eigenfunktionen von ~l 2 und l3 wahlen:
u(~x) = Rlm (r)Ylm (#; ') ;
und da l3 Ylm = h mYlm, so bekommt man fur Rlm
2 2 rR )
h 2l(l + 1) + V (r))R
lm
? 2mh r @ (@r
+
(
lm
2
2m0r2
0
+ 2em0h BmRlm = ERlm :
0
Diese Gleichung lat sich sofort auf den Fall B = 0 (s.S. 80) zuruckfuhren, wenn
man
E = E (B=0) + h !L m ;
0B ;
!L = 2em
0
setzt.
!L : sogen. "Larmor"{Frequenz .
Ze20
Insbesondere bekommt man beim Potential V (r) = ? 4"
0r
)2 + h ! m ; ?l m l ;
En;m = ? 12 m0 c2 (Z
L
n2
d. h. beim Vorhandensein eines konstanten Magnetfeldes werden die entarteten Energieniveaus En der wasserstoartigen Atome in 2l + 1 verschiedene aufgespalten!
Bei allgemeineren rotationssymmetrischen Potentialen V (r) wird E (B=0) i.a. nicht
nur von einer Hauptquantenzahlt n, sondern auch noch von l abhangen: E (B=0) =
Enl . Auch diese Niveaus spalten in 2l + 1 auf.
6.3.2 Auswahlregeln fur Dipolstrahlung
Fur die Frequenzen !n2 l2m2 ;n1 l1m1 der Emissions{ und Absorptionsspektren
der obigen Atome gilt bei U bergangen (n1; l1; m1) $ (n2; l2; m2) die Bohrsche
Frequenzbedingung
!n2 l2 m2 ;n1 l1m1 = h1 (En2 l2m2 ? En1 l1m1 )
= h1 (En2 l2 ? En1 l1 ) + !L (m2 ? m1)
6.3. KONSTANTES MAGNETFELD: NORMALER ZEEMAN{EFFEKT
121
Frage: Treten tatsachlich alle moglichen U bergange auf?
Antwort: nein! Begrundung:
Die folgenden U berlegungen sind Plausibilitatsbetrachtungen, die sich aber
streng begrunden lassen.
Ein klassischer schwingender Dipol
e0~x(t) = e0(~be?i!t + ~bei!t)
strahlt im zeitlichen Mittel die Leistung
s = 6c0 e20(~x 2) = 6c0 e20!4(~x 2)
= 3c0 e20!4~b ~b
ab.
 berIn der Quantenmechanik treten an die Stelle der klassischen Frequenz ! die U
gangsfrequenzen !n2 l2m2 ;n1 l1m1 , und an die Stelle der klassischen Amplituden ~b

die "Ubergangs"{Amplituden
~b ! ~bn2 l2 m2 ;n1 l1 m1 = (un2 l2m2 ;~x un1 l1m1 )
der Quantentheorie!
Setzt man
x = x1 ix2 = r sin # ei' ;
x3 = r cos # ;
so hat man wegen
unlm = Rnl Ylm ;
b = b1 ib2 = (Rn2 l2 ; rRn1 l1 )(Yl2 m2 ; sin # ei' Yl2m2 )
(der Index wird fortgelassen) ,
b3 = (Rn2 l2 ; rRn1 l1 )(Yl2 m2 ; cos #Yl1m1 ) :
Nun kann man zeigen, da
(+)
sin #ei'Ylm = A(+)
lm Yl+1;m+1 + Blm Yl?1;m+1 ;
(?)Y
sin #e?i'Ylm = A(lm?)Yl+1;m?1 + Blm
l?1;m?1 ;
(3)
cos #Ylm = A(3)
lm Yl+1;m + Blm Yl?1;m ;
A; B : Konstanten.
Hieraus folgt wegen der Orthogonalitat der Kugelfunktionen, da
~b = 0, auer wenn
l l2 ? l1 = 1
und m m2 ? m1 = 1; 0 :
Wichtige Auswahlregeln fur die Dipolstrahlung! Es lat sich zeigen, da die Dipolstrahlung bei der Emission von Licht i.allg. die wichtigste ist.
122

KAPITEL 6. SCHRODINGER{GLEICHUNG
GELADENER TEILCHEN
6.3.3 Dipol-Emissionslinien beim Zeeman-Eekt
Setzt man h1 (En2 l2 ? En1 l1 ) = !0 fur die Frequenzen mit B = 0, so hat man
!2!1 = !0 + !Lm :
B~ 6= 0
B~ = 0
l2 = 2
!0
l1 = 1
?
2
1
0 m2
?1
?2
?
?
?
?
H
@HH
@ H
@
@
HH
H
H
?
?
?
?
?
?
?
?
?
m=0 ; m=?1 ; m=1
"Normaler
ZeemanEekt"
1
0 m1
?1
Diskussion ("halb"-klassische Interpretation):
1. m2 = m1: b = 0, b3 =
6 0, ! = !0:
~be?i!0t + ~bei!0t = const:(0; 0; cos !0t) ;
d. h. der "Dipol" schwingt in x3{Richtung mit unveranderter Frequenz !0,
keine Ausstrahlung in x3{Richtung (klassische Elektrodynamik). Das Licht
ist parallel zu dieser Richtung polarisiert.
2. m2 = m1 + 1: b? = 0, b3 = 0, b+ 6= 0; !2!1 = !0 + !L
~be?i!2!1t + ~bei!2!1t = const:(cos(!0 + !L)t; sin(!0 + !L)t; 0) ;
d. h. das Dipolmoment rotiert in der (x1; x2)-Ebene mit vergroerter Frequenz
um die x3{Achse. In x3{Richtung: rechtszirkulares Licht, in der (x1; x2){
Ebene linear polarisiertes Licht.
3. m2 = m1 ? 1: b+ = 0, b3 = 0, b? 6= 0; !2!1 = !0 ? !L
~be?i!2!1t + ~bei!2!1t = const:(cos(!0 ? !L )t; ? sin(!0 ? !L )t; 0) ;
d.h. das Dipolmoment rotiert in der (x1; x2)-Ebene mit verkleinerter Frequenz
um die x3{Achse. In x3{Richtung: linkszirkular polarisiertes Licht, in der
(x1; x2){Ebene linear polarisiertes Licht!
6.4. "FREIE" LADUNGEN IM KONSTANTEN MAGNETFELD
123
1{3: "Normaler" Zeeman{Eekt.
Wegen Spin des Elektrons gibt es auch noch den "anomalen" Zeeman{Eekt (s.
spater).
Anschauliche Interpretation der Auswahlregeln:
Ein Photon hat den Eigendrehimpuls = Spin S = 1h, der immer in oder
entgegengesetzt zur Bewegungsrichtung zeigt (bei Teilchen der Ruhemasse
= 0 ist der Spin immer parallel oder antiparallel zu seinem Impuls p~). Ferner
kann man zeigen, da bei der Dipolstrahlung der Atome der Bahndrehimpuls
der Photonen Null ist.
Nun wird bei einem in x3{Richtung schwingenden Dipol die uberwiegende Zahl
der Photonen senkrecht zur x3{Achse abgestrahlt. Dabei nehmen sie den Drehimpuls h mit (l = 1 fur die Elektronen). Die x3{Komponente von ~lElektron andert
sich nicht, da der Spin der abgestrahlten Photonen senkrecht zur x3{Achse ist.
Rotiert dagegen das Dipolmoment in der (x1; x2){Ebene um die x3{Achse, so
werden die Photonen auch parallel bzw. antiparallel zur x3{Achse abgestrahlt .
Dabei "tragen" sie wieder den Drehimpuls h weg, sowie die 3{Komponente mh =
+h, falls ihr Spin parallel zur 3{Achse ist, und ?h , falls antiparallel!
6.4 "Freie" geladene Teilchen in einem konstanten Magnetfeld
6.4.1 Vorbemerkungen
1. Setzt man j = Pj ? qAj , so hat man fur beliebige Aj = Aj (~x; t)
[ j ; k ] = [( hi @j ? qAj ); ( hi @k ? qAk)]
= ? hiq (@j Ak ? @k Aj )
= ? hiq jkl Bl ;
also
[ j ; k ] = ? hiq jklBl :
2. Ist A ein selbstadjungierter Operator, der mit H kommutiert und
der nicht explizit von der Zeit abhangt, so sind seine Erwartungswerte ( ; A ) fur beliebige Losungen der Schrodinger{Gleichung
ih @t = H zeitunabhangig, d. h. A ist eine Erhaltungsgroe!
Beweis:
@t < A > = (@t ; A ) + ( ; A@t )
= ( i1h H ; A ) + ( ; A i1h H )
= i1h ( ; AH ) ? i1h (H ; A ) ;
124

KAPITEL 6. SCHRODINGER{GLEICHUNG
GELADENER TEILCHEN
und da (H ; A ) = ( ; HA ), so
@t < A >= hi ( ; [H; A] ) = 0:
3. Fur die klassische Bewegung eines Teilchens der Ladung q in dem konstanten Magnetfeld B~ = (0; 0; B ) hat man
mx1 = qB x_ 2 ; mx2 = ?qB x_ 1 ; x3 = 0 ;
d. h. die Bewegung in x3{Richtung ist frei und senkrecht zur x3{Richtung
bewegen sich die Teilchen auf Kreisen mit einer Frequenz ! = qB=m. Dabei
ist ! positiv oder negativ, je nachdem die Ladung q positiv oder negativ ist.
Aus
x1 = !x_ 2 ; x2 = ?!x_ 1
folgt
x_ 1 ? !x2 = ?!b = const: ; x_ 2 + !x1 = !a = const: ;
x_ 21 + x_ 22 = !2(x1 ? a)2 + !2(x2 ? b)2 = const: ;
da
E = m2 (x_ 21 + x_ 22 + x_ 23) = const: :
(a; b): Mittelpunkt der Kreisbahn.
Bei Translationen x1; a ! x1 + c1; a + c1, x2; a ! x2 + c2; a + c2, andert sich
der Wert von E nicht, d. h. E hangt nicht von der Lage des Mittelpunktes
(a; b) ab! (Entartung!)
6.4.2 Quantenmechanische Eigenschaften
B~ = (0; 0; B )
Ohne Spezizierung der Eichung von A~ folgt zunachst:
[ 1; 2] = ? hi m! ; [ 1; 3] = 0 ; [ 2; 3] = 0 ;
Fur die Groen
gilt
und damit
H = 21m ( 21 + 22 + 23) :
1 ; b~ = x ? 1 ;
a~ = x1 + m!
2
2 m! 1
[~a; j ] = 0; [b~ ; j ] = 0; j = 1; 2; 3
[H; a~ ] = 0 ; [H; b~ ] = 0 ;
6.4. "FREIE" LADUNGEN IM KONSTANTEN MAGNETFELD
125
d.h. wie die im klassischen Fall analogen Koordinaten a und b, so sind die Groen
a~ und b~ Erhaltungsgroen, von denen jede gleichzeitig mit H diagonalisiert werden
kann.
Jedoch gilt
h = k ; k = h ;
[~a; b~ ] = m!i
i
m!
d. h. a~ und b~ sind nicht gleichzeitig beliebig genau mebar. Vergleicht man
mit [P; Q] = h =i, so bekommen wir analog die Unscharfe{Relation
(~a)(b~ ) 21 mhj!j :
Da a~ und b~ mit H kommutieren, aber [~a; b~ ] 6= 0, so mussen die Eigenwerte E
von H entartet sein!
Beweis: Sei HuE = EuE . Wegen der obigen Vertauschungsrelationen kann uE
gleichzeitig Eigenfunktion zu a~ oder b~ sein (s.S. 69/70). Weil jedoch a~b~ 6= b~ a~ , so
kann der zu E gehorige Eigenfunktionenraum nicht 1{dimensional sein! Da a~ bzw.
b~ wie P und Q ein kontinuierliches Spektrum haben konnen, so mussen
die Energiewerte E von H sogar unendlichfach entartet sein!
Ferner sei bemerkt, da der dem Quadrat des Radius R der kreisformigen (x3 =
const:)-Projektion der klassischen Bahn entsprechende Operator R die Form
R2 = m21!2 12 + 22 m!2 2
32
H ? 2m
!
hat.
6.4.3 Eigenwerte und Eigenfunktionen von H in der LandauEichung
Um Eigenwerte und Eigenfunktionen von
H = 21m ( 21 + 22 + 23)
auszurechnen, mu A~ in einer bestimmten "Eichung" speziziert werden.
Wir wahlen hier die sogen. Landau-Eichung:
A1 = ?B x2 ; A2 = 0 ; A3 = 0 ;
so da
2
2
1
h
h
h
2
2
H = 2m ( i @1 + qB x2) ? 2m @2 ? 2m @32 :
126

KAPITEL 6. SCHRODINGER{GLEICHUNG
GELADENER TEILCHEN
In dieser Eichung vertauscht H mit Pj = hi @j , j = 1; 3. H, P1 und P3 bilden
also ein System wechselseitig kommutierender selbstadjungierter Operatoren und es
existieren gemeinsame (verallgemeinerte) Eigenfunktionen
i (p x + p x )
u(~x) = e h 1 1 3 3 v(x2) :
Wegen der (in dieser Eichung gultigen) Relation b~ = ?P1=m! hat man damit auch
gleichzeitig Eigenfunktionen zu b~ mit Eigenwert b = ?p1=m! gefunden; selbstverstandlich kann u damit aber nicht auch Eigenfunktion zu a~ = Q1 + P2=m! sein.
Fur v(x2) folgt nun aus Hu = Eu
1 (p + qB x )2v ? h 2 v00 + 1 p2v = Ev ;
2
2m 1
2m
2m 3
oder
2
h
? 2m v00 + 12 m!2(x2 ? b)2v = (E ? 21m p23 )v ;
j ; b = ? p1 :
! = jqB
m
qB
Dies ist die 1{dim. Schrodinger{Gleichung fur einen harmonischen Oszillator in der
x2{Koordinate mit x2 = b als Ruhelage!
Damit erhalten wir als Eigenwerte
2
(E ? 2pm3 ) = h !(n + 21 ) ; n = 0; 1; : : :
oder
2
E = 2pm3 + h !(n + 21 ) ; n = 0; 1; : : :
Da E nicht von dem kontinuierlichen Eigenwert p1 abhangt, ist E unendlichfach
entartet!
Die Eigenfunktionen vn sind nach S. 60:
p ? 1 2(x2 ? b)2
vn(x2) =
Hn [ (x2 ? b)] ;
p e 2
(n!2n ) 21
jqB j :
=
2 = m!
h
h
Die gefundenen Eigenfunktionen u(~x) up1 ;p2 ;n(~x) diagonalisieren oensichtlich
auch den Radiusoperator R und man erhalt
2h n + 1 :
R2 = m!
2
6.4. "FREIE" LADUNGEN IM KONSTANTEN MAGNETFELD
127
Eine in der 1-2 Ebene gelegene Kreisache mit diesem Radius durchsetzt ein magnetischer Flu = 1 (n + 12 ), wobei 1 genau das im Zusammenhang mit der
Fluquantisierung besprochene elementare Fluquantum h=q ist.
6.4.4 Entartungsgrad pro Flache
Wir haben oben angenommen, da das System unendlich ausgedehnt ist. Bei der
Anwendung auf den Quanten{Hall{Eekt liegt jedoch eine nur endlich ausgedehnte
Probe vor, mit den jeweiligen Langen Li, so da 0 xi Li fur i = 1; 2; 3, wobei
L3 L1; L2.
Implementieren wir die endliche Ausdehnung in die 3-Richtung durch die Forderung,
da die Energie-Eigenfunktionen bei x3 = 0 und x3 = L3 verschwinden sollen, so
mu man die Faktoren exp (ip3x3=h ) mit p3 2 IR durch deren Linearkombinationen
sin(p3x3=h ) mit p3L3=h = n3 und n3 positiv ganzzahlig ersetzen.
Da wir an dem Entartungsgrad pro Flache transversal zur Magnetfeldrichtung interessiert sind, fordern wir auerdem periodische Randbedingungen in die 1{Richtung
mit Periode L1. Das ergibt fur p1 die Einschrankung
p1 = 2Lh n1 ; n1 = 0; 1; 2; : : :
1
Andererseits sollte aber wegen 0 < x2 < L2 die Koordinate b = p1=(jqB j) zwischen
0 und L2 liegen. (Damit verschwinden die Energieeigenfunktionen zwar nicht auch
bei x2 = 0 und x2 = L2, die Forderung nach dem entsprechenden Wertebereich
des Spektrums von b~qerscheint aber dennoch physikalisch gerechtfertigt { wobei wir
den Minimalradius h =m! als gegenuber L2 vernachlassigbar betrachtet haben).
Durch diese Forderung wird nun p1 positiv und nach oben begrenzt: Das maximal
mogliche n1 = n1 ist dann durch
2h n1 = L ; n = jqj jB jL L
1 2
1 2h
L1jqB j 2
gegeben.
Interpretation:
= BL1L2 ist der die Flache L1L2 durchsetzende Gesamtu und 1 = 2h =q
wieder das elementare Fluquantum. Die (Landau{) Energieniveaus
Ep3 ;n = 21m p23 + h !(n + 21 ) ; n = 0; 1; : : : ;
wobei nun p3 = hn3=L3 , n3 2 N, sind also n1{fach entartet, n1 = =1 .
Der Entartungsgrad g pro Flacheneinheit ist gegeben durch
j;
g = LnL1 = jqB
h
1 2
d.h. bei gegebener Ladung q steigt g linear mit B !
128

KAPITEL 6. SCHRODINGER{GLEICHUNG
GELADENER TEILCHEN
6.4.5 Quanten{Hall{Eekt
1. Klassischer Hall{Eekt
Bewegen sich Ladungstrager in einem Leiter mit der Geschwindigkeit ~v und
bendet sich der Leiter auerdem in einem Magnetfeld B~ , so werden die Ladungstrager senkrecht zu B~ und ~v mit der Kraft q~v B~ abgelenkt. Die
zugehorigen Leitfahigkeiten lassen sich folgendermaen berechnen:
(s. z.B. Ch. Kittel, Einfuhrung in die Festkorperphysik, 6. Au., R. Oldenbourg, Munchen, Wien 1983, S. 196 oder K.{H. Hellwege, Einfuhrung in die
Festkorperphysik, 3. korr. Auage, Springer 1988, S. 451.)
Fur die Bewegung der in erster Naherung als frei betrachtbaren Ladungstrager
der Ladung q in Leitern ist die Lorentz{Kraft
m dtd ~v = q(E~ + ~v B~ )
aufgrund der \abbremsenden" Zusammenstoe mit Gitterschwingungen (Phononen) und Gitterfehlstellen zu modizieren. Diese, der Geschwindigkeit proportionale, \Reibungskraft" kann in der folgenden Weise berucksichtigt werden:
!
1
d
m dt + ~v = q(E~ + ~v B~ ) ;
: \Stozeit": mittlere Zeit zwischen zwei Zusammenstoen.
Im stationaren Fall ist ~v_ = 0, so da
m ~v = q(E~ + ~v B~ ) :
Das einfache Ohmsche Gesetz fur B~ = 0, d.h.
~
~v = q
mE ;
lautet, mit nq als Dichte der Ladungstrager:
~| = qnq~v = E~ ; d.h.
2
nq :
=qm
Fur B~ = (0; 0; B ) 6= 0 erhalten wir dagegen:
v1 = q
m (E1 + Bv2)
v2 = q
m (E2 ? Bv1)
v3 = q
m E3 :
6.4. "FREIE" LADUNGEN IM KONSTANTEN MAGNETFELD
129
Druckt man in diesen Gleichungen ~v durch ~j =qnq aus und lost man nach E~
auf, so erhalt man das verallgemeinerte Ohmsche Gesetz
Ei =
ik
3
X
ik jk ;
0k=1 1
B B
= B
B@ qn
q
0
i = 1; 2; 3
1
? qnBq 0 C
C :
1
A
0 C
0 1 ik
Inversion der spezischen Widerstandsmatrix ik ergibt die spezische Leitfahigkeitsmatrix ik = (?1)ik ; in expliziter Komponentenschreibweise nimmt
das Ohmsche Gesetz dann die Form
j1 = 11E1 + 21E2 = 1 + (!)2 (E1 + !E2)
j2 = 21E1 + 22E2 = 1 + (!)2 (?!E1 + E2)
j3 = E3 ; ! = qB
m ;
an. Man beachte, da die Widerstands{ und Leitfahigkeitsmatrix fur B 6= 0
unsymmetrisch sind, wahrend sie fur B = 0 proportional zur Einheitsmatrix
werden. (Fur B~ = 0 ist die Leitfahigkeitsmatrix auch bei anisotropen (nicht
"optisch aktiven") Leitern symmetrisch, und es reicht bereits kubische Symmetrie des Kristallgitters um Proportionalitat zur Einheitsmatrix sicherzustellen;
siehe Hellwege, Kap. 11.)
Anwendung auf den klassischen Hall-Eekt: Wir betrachten nun einen
zur 1-Achse parallelen Leiter mit endlichem Leiterquerschnitt in einem konstanten Magnetfeld (0; 0; B ). Im stationaren Zustand kann der Strom dann
nur in die 1{Richtung ieen: j2 = j3 = 0. Der spezische Hall-Widerstand
ist nun als das Verhaltnis von E2 zu j1 deniert, also gleich
B :
21 = qn
q
(Die spezische Hall-Leitfahigkeit ist der entsprechende Kehrwert: j1=E2 =
1=21 = (1221 ? 1122)=21.) Der spezische Widerstand in Stromrichtung
ist der ohne Magnetfeld: E1=j1 = 11 = 1= m=q2nq .
Wahrend obiges Ohmsches Gesetz vielfaltige Anwendungsmoglichkeiten bietet, gibt es fur die spezielle Situation des Hall-Eektes auch eine direktere Herleitung: Weise das ursprunglich angelegte elektrische Feld in die 1{Richtung
und das Magnetfeld wie zuvor in die 3{Richtung. Aufgrund der Lorentzkraft sammeln sich Ladungstrager an den Begrenzungen in 2{Richtung und
130

KAPITEL 6. SCHRODINGER{GLEICHUNG
GELADENER TEILCHEN
bauen ein zusatzliches elektrisches Feld auf, das im stationaren Grenzfall
genau die insgesamt auf die Ladungstrager wirkende Lorentzkraft kompensiert. Im
station
aren Gleichgewicht bestimmt sich E2 demnach aus F2 =
~
qE2 + q ~v B 2 = 0, was mit ~| = nq q~v auf
Bj
E2 = qn
1
q
und damit, wie zuvor, auf 21 = B=qnq fuhrt. Das insgesamt auf die Leitungselektronen wirkende E~ -Feld ist nun also nicht parallel zur 1{Richtung.
Da sich jedoch die Wirkung des Magnetfeldes und der 2{Komponente des elektrischen Feldes genau gegenseitig aufheben, ist der longitudinale Widerstand
11 = E1=j1 gleich 1=, also gleich jenem Widerstand ohne Magnetfeld und
2-Komponente des E~ -Feldes.
Klassisch ist also der Hall-Widerstand zum angelegten Magnetfeld proportional! Die einfache Abhangigkeit von q erlaubt auerdem eine Bestimmung des
Vorzeichens der Ladungstrager. (Im ussigen Zustand des Metalls kann man
nq in sehr guter Naherung uber die Wertigkeit der Elemente bestimmen und
es ist stets negativ. Im festen Zustand gibt es davon jedoch aufgrund der
nichttrivialen Energiebandstruktur Abweichungen, q kann dann sogar positiv
werden (diese uberwiegende Locherleitung ist allerdings eher die Ausnahme,
siehe z.B. Hellwege, Tabelle S. 454).)
2. Aspekte des Quanten{Hall{Eektes
Bei sehr dunnen Schichten (L3 ! 0), starken Magnetfeldern ("B ! 1") und
tiefen Temperaturen (T ! 0) weichen die experimentellen Daten bei einigen
Substanzen (Halbleitern) von den Voraussagen der klassischen Rechnung ab:
Mit zunehmenden B -Werten geht der lineare Verlauf des Hall-Widerstandes
21 als Funktion von B in einen treppenahnlichen uber. Bezeichnet man den
Hall-Widerstand 21=L3 (Einheiten in Ohm) der im wesentlichen zweidimensionalen Probe mit RH und die elementare Elektronenladung mit e0, so liegen
die Plateaus bei den diskreten Werten (v. Klitzing 1980, Nobelpreis 1985)
RH L21 = k(eh )2 ;
3
0
k = 1; 2; 3; : : : :
In Wertebereichen des Magnetfeldes, bei denen die Plateaus vorliegen, 21 sich
also bei Veranderung von B nicht andert, verschwindet auerdem der longitudinale Widerstand R11 / 11! (Abbn. dazu siehe z.B. Hellwege S. 610 bzw.
Titelbild).
Die "quantisierten" Werte von RH bei den gegebenen, relativ extremen experimentellen Bedingungen kann man sich qualitativ wie folgt erklaren: Die Ladungstrager seien in erster Naherung freie Elektronen. Fur sie gelten dann im
wesentlichen die in den vorigen Abschnitten von 6.4 angestellten U berlegungen.
Aufgrund der geringen Schichtdicke L3 und der groen Werte von B sind die
6.4. "FREIE" LADUNGEN IM KONSTANTEN MAGNETFELD
131
thermischen Energien kB T bei kleinen Temperaturen T gegenuber den Energiedierenzen der Landau-Niveaus vernachlassigbar. (Man beachte, da
dafur alle drei dieser Voraussetzungen notwendig sind). Bei genugend geringer Schichtdicke sind auerdem die Anregungsenergien in die 3{Richtung
deutlich groer als h !, soda sich die Elektronen in Zustanden mit Quantenzahl n3 = 1 benden (Abschnitt 6.4.4). (Fur ein realistisches Zahlenbeispiel siehe U bungen). Die relevanten Landau-Niveaus haben also Energien
En = (h2=8m(L3)2) + h ! [n + (1=2)], n = 0; 1; 2; : : :. Den Entartungsgrad pro
Flache orthogonal zum B~ -Feld bestimmten wir zu g = e0B=h. Nun gibt es
im Leiter ne Leitungselektronen pro Volumen also neL3 =: Ne pro Flache.
Aufgrund des Pauliverbots mussen die Elektronen in zueinander orthogonalen Quantenzustanden sein. Dabei werden die Landau-Niveaus von unten her
mit Elektronen aufgefullt. Je groer B , desto mehr Elektronen passen in ein
Niveau. Wieviele Landau-Niveaus (bei vernachlassigbarer thermischer Anregung) nun besetzt sind, wird durch den sogenannten Fullfaktor bestimmt.
Oensichtich gilt = Ne =g neL3h=Be0. Bei ganzzahligen Werten von ( = k; k = 1; 2; 3; : : :) sind also k Niveaus zur Ganze aufgefullt. Das tritt bei
folgenden Werten von B auf: B(k) = neL3h=ke0, k = 1; 2; 3; : : : Mit Hilfe der
(semi-)klassischen Beziehung RH = 21=L3 = B(k)=ne L3e0 erhalt man damit
genau die oben angegebenen experimentell ausgezeichneten Werte von RH !
Aus diesem Bild wird auch klar, warum der longitudinale Widerstand R1 bei
den betreenden Werten von RH verschwindet: Sind die untersten k LandauNiveaus zur Ganze aufgefullt, so stehen fur die Leitungselektronen wegen des
Pauliverbots keine genugend nahen Energieniveaus zur Aufnahme von Energie nach Stoen (an vorwiegend Gitterfehlstellen) zur Verfugung. Es kann in
dieser Situation daher keine Warmeenergie an das Gitter abgegeben werden,
und R11 / 11 verschwindet!
Die Ausbildung der Plateaus bei den ausgezeichneten Werten von RH , also
das Gleichbleiben des Hall-Widerstandes uber ein ganzes Intervall [B(k) ?
B; B(k) + B ] um die oben gefundenen Werte B(k) = Ne h=ke0 erklart man
sich durch Mitwirken von lokalisierten, und damit am Ladungstransport direkt nicht mitwirkenden Elektronenzustanden (z.B. an Fremdatomen im Gitter), deren Energieniveaus dicht um die ungestorten Landau-Niveaus liegen:
Bei genugend kleiner Abweichung B von den ausgezeichneten B -Werten
verandern sie durch Aufnahme oder Abgabe von Elektronen die fur den Ladungstransport eektiv zur Verfugung stehende Elektronenzahl Ne derart, da
= k weiterhin erfullt bleibt, die ungestorten untersten k Landauniveaus der
Probe also vollbesetzt bleiben.
Damit ist der treppenahnliche Verlauf von RH (B ) mit Plateaus bei den angegebenen Werten und das in diesen Bereichen verschwindende R11 weitgehend
plausibel gemacht. Nicht geklart ist jedoch die experimentell beobachtete,
deutlich geringere Breite der Plateaus bei manchen ungeraden Werten von
k. Bei gewissen Materialien existieren auerdem Plateaus bei ganz speziellen
gebrochenen Werten des Fullfaktors (fraktionaler Quanten{Hall{Eekt im
Gegensatz zum bisher behandelten ganzzahligen); in obiger Formel fur RH
132

KAPITEL 6. SCHRODINGER{GLEICHUNG
GELADENER TEILCHEN
kann k dann auch Werte der Form 1=3; 2=3; 2=5; 3=5; : : : (ungerade Nenner!)
annehmen. Die Erklarung derartiger Phanomene im Zusammenhang mit dem
Quanten{Hall{Eekt ist (mit rund 1000 wissenschaftlichen Publikationen pro
Jahr) eines der heutzutage bewegtesten Gebiete der theoretischen Physik.
Abschlieend sei noch erwahnt, da das universelle Widerstandsquantum
h=e20 = 25812; 81:::J s=(A s)2 = 25812; 81:::V A s2=(A s)2 = 25812; 81:::
mittels des "Quantum"-Hall-Eektes sehr prazise gemessen werden kann und
damit als Widerstand-Normal herangezogen wird!
Zugleich liefert dies die Moglichkeit einer unabhangigen Prazisionsmessung
der Feinstrukturkonstanten = 0 c e20=2 h!
Weiterfuhrende Literatur: Hajdu u. Kramer, Physikal. Blatter, Dez. 1985 .
R.E. Prange and St.M. Girvin (Eds.), The Quantum Hall Eect, Springer-Verlag,
New York etc. 1987.
Kapitel 7
Der Spin der Elektronen
Wie in den Paragraphen 5.2 und 5.3 schon erwahnt, haben Elektronen (ebenso auch
Protonen und Neutronen) einen Eigendrehimpuls ("Spin") vom "Betrage" 21 h !
7.1 Quantenmechanische Beschreibung
Die Existenz des Spins bedeutet, da die Elektronen, auer der Ortskoordinate ~x
oder Impulskoordinate ~p, einen weiteren Freiheitsgrad haben: Spin nach "oben"
und Spin nach "unten" bezuglich einer vorgegebenen Richtung, z.B. der x3{
Richtung.
Mathematische Beschreibung: man verdoppelt die Wellenfunktion (~x; t):
!
(
~
x
;
t
)
+
(~x; t) ! ~(~x; t) =
;
? (~x; t)
wobei + ein Elektron mit Spin "oben" und ? ein Elektron mit Spin "unten"
beschreiben. Der zugehorige Spin{Operator ~S ist nach S. 73 mittels der Pauli{
Matrizen gegeben:
~S = h (1; 2; 3) ;
2
!
0
1
1 = 1 0 ;
!
0
?
i
2 = i 0
;
!
1
0
3 = 0 ?1 :
Die Matrizen j haben u. a. die Eigenschaften
[1; 2] = 2i3 ; +zykl. Gleichg., j2 = 1 ; j = 1; 2; 3 :
133
KAPITEL 7. DER SPIN DER ELEKTRONEN
134
Ferner gilt:
!
!
!
h
h
1
0
+
+
;
S3 ~+ = 2 0 ?1
0 =2 0
!
+
d. h. ~+ = 0 ist Eigenzustand von S3 zum Eigenwert 21 h ; analog ist ~? =
!
0 Eigenzustand zu S mit Eigenwert ? 1 h .
3
2
?
Fur festes ~x und t spannen ~+ und ~? einen 2{dim. Vektorraum auf, dessen
Elemente als "Spinoren" bezeichnet werden. Ein allgemeines Element lat sich in
der folgenden Art darstellen:
~(~x; t) = c+ ~+(~x; t) + c? ~?(~x; t) ; c+ ; c? : komplex.
Das Skalarprodukt fur ~ ist so deniert:
( ~; ~) Z
d3~x (jc+j2j + (~x; t)j2 + jc? j2j ?(~x; t)j2)
Z
Z
2
3
2
2
= jc+ j d ~x j +(~x; t)j + jc?j d3~x j ?(~x; t)j2
Z
= jc+ j2 + jc? j2 ; falls d3~x j j2 = 1 :
Wegen der physikalischen Interpretation soll ( ~; ~) = 1 sein. jc+j2 ist die Wahrscheinlichkeit dafur, da ein Elektron im Zustande ~ den Spin parallel zur x3{Achse
hat, jc? j2 die Wahrscheinlichkeit dafur, da der Spin antiparallel zur x3{Achse ist:
jc+ j2 + jc?j2 = 1
Im folgenden wird die Ortsabhangigkeit von ~ ignoriert, und zunachst werden
nur Spineigenschaften betrachtet: Es sei
!
!
!
c
1
0
+
c = c+ 0 + c? 1 = c+ + + c? ? ;
?
jc+ j2 + jc? j2 = 1 :
Fur die Erwartungswerte < Sj > der Komponenten Sj im Zustande bekommt
man, da jetzt
!
c
2+
;
(1; 2) = c1+ c2+ + c1?c2? = (c1+; c1?) c
2?
!
!
h
1 0
1
c
+
< S1 >= 2 (c+; c?) 1 0
c? = 2 h (c+c? + c?c+ ) ;
analog:
< S2 > = ? i2h (c+ c? ? c? c+) ;
< S3 > = 21 h (jc+ j2 ? jc? j2) :
7.2. MAGNETISCHES MOMENT DES ELEKTRONS
135
7.2 Magnetisches Moment des Elektrons
Wegen des Spins hat das Elektron auch ein magnetisches Moment (s.S. 79) der
Groe
~ = ? 2em0g ~S ;
e
wobei g 2 ; in guter Naherung;
g heit "gyromagnetischer" Faktor = g{Faktor. In einem aueren Feld B~ hat ein
klassisches magnetisches Moment ~ die Energie ?~ B~ , d.h. wir haben quantenmechanisch den Hamilton{Operator
H = e40mgh ~ B~
e
und fur den zeitabhangigen Spinor (t) = c+(t)+ + c?(t)? bekommen wir die
Schrodinger{Gleichung
ih dtd (t) = e40mgh ~ B~ (t) :
e
!
c+ , c = const:, so hat
c?
Setzt man B~ = (0; 0; B ), B = const: und
man fur ! die Gleichung
!
!
!
eg
h
B
1
0
c
c
+
+
h ! c = 4m 0 ?1
c? ;
?
e
mit den beiden Losungen
(t) = e?i!t
!+ ! = e40mgB !L und !? = ?! ?!L :
e
Die zugehorigen Eigenvektoren
sind + und ?.
!
Ist (t = 0) = ab , so hat man
Ist z. B. ab
!
?i!t
(t) = aebei!t
!
; ! = e40mgB ; jaj2 + jbj2 = 1 :
e
Eigenvektor zu S1 zum Eigenwert 21 h , d.h.
1 h 0 1
2 1 0
!
!
!
a = 1 h a ;
b
2 b
KAPITEL 7. DER SPIN DER ELEKTRONEN
136
so folgt aus dieser Gleichung, da a = b. Da die Normierungsbedingung jaj2 +
jbj2 = 1 sich nicht andert, wenn wir a und b gleichzeitig mit demselben konstanten
Phasenfaktor ei multiplizieren, so konnen wir hier a = b = p12 wahlen. Es ergibt
sich so fur den Erwartungswert
((t); S1(t)) = < S1 > (t)
! ?i!t !
1
1
0
1
e
i!t
?
i!t
p1
= 2 h p (e ; e ) 1 0
i!t
e
2
2
= h2 cos 2!t
< S1 > (t) = h2 cos 2!t ;
analog < S2 > (t) = h2 sin 2!t ;
< S3 > (t) = 0
d. h. der Spin "prazediert" mit der doppelten Lamor{Frequenz um die Richtung
von B~ !
7.3 Paramagnetische Resonanz der Elektronen
und anderer Teilchen mit Spin 12h
Der g{Faktor in der Beziehung
~ = 2qgm ~S ; ~S = 21 h ~ ; q : Ladung ;
ist eine dynamische Groe, deren Wert in den meisten Fallen experimentell bestimmt werden mu. Eine Methode ist die folgende: Setzen wir
jB0
!g gj4qm
fur das Teilchen in einem konstanten Magnetfeld B~ 0, so hat z. B. das Elektron
aufgrund seines magnetischen Momentes ~ die beiden moglichen Energie{Niveaus
E+ = h !+ = h !g ; E? = h !? = ?h !g :
Die Dierenz zwischen den Energie{Niveaus ist E+ ? E? = 2h!g .
Analog zu dem Induzieren von U bergangen zwischen verschiedenen Niveaus bei
Atomen durch Einstrahlen von Licht, kann man U bergange zwischen den beiden
Spinniveaus induzieren, indem man zusatzlich ein oszillierendes Magnetfeld B~
uberlagert!
7.3. PARAMAGNETISCHE RESONANZ DER ELEKTRONEN : : :
Es sei also
Da
137
B~ = (B~ cos !~ t; B~ sin !~ t; B0) :
!
~
B
;
B
(cos
!
~
t
?
i
sin
!
~
t
)
0
;
~ B~ = B~ (cos !~ t + i sin !~ t) ;
?B0
so lautet die Schrodinger{Gleichung jetzt (fur q = ?e0)
~ ?i!~t !
d
h
qg
B
;
Be
0
ih dt = 4m Be
~ i!~t ; ?B0 (t)
Da H = h !g~ B~ jetzt explizit von der Zeit abhangt, kann keine Erhaltung der
Energie fur das System mehr gelten, analog zu den erzwungenen Schwingungen in
der Mechanik!
Der Ansatz (Variation der Konstanten!)
?i!gt !
a
(
t
)
e
(t) = b(t)ei!gt
fuhrt zu den Gleichungen
a_ = ?i!~g ei(2!g?!~)tb(t) ;
b_ = ?i!~g e?i(2!g?!~ )ta(t) ;
0B~ :
!~g = ge4m
Dierenzieren der 1. Gleichung nach t und Einsetzen der zweiten ergibt
a ? i(2!g ? !~ )_a + !~g2a = 0 :
Der Ansatz a(t) = Aei!t fuhrt zu einer quadratischen Gleichung fur !, mit den
Losungen
!1;2 = (!g ? 21 !~ ) [(!g ? 21 !~ )2 + !~g2] 12 :
Hat man zur Zeit t = 0: a(0) = 1, b(0) = 0, d. h. alle Spins zeigen nach "oben", so
erhalt man zu spateren Zeiten:
1 !~ )
i(!g ? 12 !~ )t
(
!
?
g
2
a(t) = [cos(!b t) ? i !b sin !b t] e
;
?
i(!g ? 21 !~ )t
!
~
g
;
b(t) = ?i !b sin !b t e
!b = ((!g ? 12 !~ )2 + !~g ) 21 :
KAPITEL 7. DER SPIN DER ELEKTRONEN
138
Ist T die Zeit, die zum Durchiegen des Magnetfeldes B~ benotigt wird, so ist am
Ende der Bruchteil jb(T )j2 der Spins "umgeklappt":
!~g2
2 [((!g ? !~ )2 + !~ 2 ) 12 T ] :
sin
g
2
(!g ? !~2 )2 + !~g2
"Resonanz" liegt vor, falls !~ = 2!g ! Um die Resonanz moglichst scharf zu machen,
mu !~g !g , d. h. B~ B0, sein.
Um moglichst viele Spins umzuklappen, wahlt man auerdem noch T !~ g = =2,
da dann sin2 = 1.
Die obige "paramagnetische" Resonanzmethode hat viele Anwendungen in der
Atom{ und Kernphysik sowie auch in der Medizin. .
jb(T )j2 =
Kapitel 8
Zeitunabhangige Storungstheorie
8.1 Ohne Entartung der ungestorten Energie{
Niveaus
Im Gegensatz zu den bisher diskutierten Beispielen lat sich bei den meisten
Anwendungen die Schrodinger{Gleichung nicht streng losen. Aus diesem
Grund sind viele Naherungs{Verfahren entwickelt worden, von denen ein wichtiges hier diskutiert werden soll:
Der Hamilton{Opertor H habe die Form
H = H0 + H1 ; reell und "klein",
(0)
Dabei wird angenommen, da die Losungen u(0)
n und Eigenwerte En der stationaren
Gleichung
(0) (0)
(0) (0)
H0u(0)
n = En un ; (un1 ; un2 ) = n1 n2
bekannt sind!
Andererseits seien un und En die entsprechenden Groen fur H:
(H0 + H1 )un = En un :
Sowohl un wie auch En hangen von ab:
un = un() ; En = En() :
Annahmen:
1.
(0)
lim u () = un
!0 n
; lim
E () = En(0) ;
!0 n
wobei (zunachst) noch vorausgesetzt ist, da die Eigenwerte En(0) nicht entartet sind, d. h. zu jedem Energiewert En(0) gehort genau eine Eigenfunktion
u(0)
n . (Diese Annahme wird spater fallengelassen).
139


KAPITEL 8. ZEITUNABHANGIGE
STORUNGSTHEORIE
140
(0)
2. Die u(0)
n gehoren zum Denitionsbereich der "Storung" H 1 , und die un bilden
ein vollstandiges System. Wir konnen deshalb die un nach den u(0)
n entwickeln:
X
un = N ()(u(0)
cnk ()u(0)
n +
k )
k6=n
N () ist ein Normierungsfaktor mit N (0) = 1. Ferner gilt cnk (0) = 0.
3. Die Groen En() und cnk () lassen sich in einer Potenzreihe um = 0
entwickeln:
En () = En(0) + En(1) + 2En(2) + ;
2 (2)
cnk () = c(1)
nk + cnk + :
Mit diesen Annahmen bekommt man fur die Schrodinger{Gleichung
(H0 + H1)(u(0)
n +
=
X (1) (0) 2 X (2) (0)
cnk uk + cnk uk + )
k6=n
k6=n
(1)
2
(2)
(0)
(En + En + En + )
X (1) (0) 2 X (2) (0)
(u(0)
cnk uk + cnk uk + )
n +
k6=n
k6=n
(N () ist herausgefallen!)
Der Vergleich der Potenzen von auf beiden Seiten ergibt:
Ordnung 1 :
X
(0)
(0)
(0) X c(1)u(0) + E (1)u(0) ;
H0 c(1)
nk uk + H 1 un = En
nk k
n n
k6=n
k6=n
(0) (0)
und da H0u(0)
k = Ek uk , so gilt
(0)
En(1)u(0)
n = H 1 un +
X (0) (0) (1) (0)
(Ek ? En )cnk uk :
k6=n
(0) (0)
Bildet man hiervon das Skalarprodukt mit u(0)
n , so folgt wegen (un ; uk ) = nk :
(0)
En(1) = (u(0)
n ; H 1 un ) ; wichtige Formel!
Bildung des Skalarproduktes mit u(0)
k , k 6= n, gibt analog:
(0)
(u(0)
k ; H 1 un ) ; n 6= k :
c(1)
=
nk
En(0) ? Ek(0)

8.1. OHNE ENTARTUNG DER UNGESTORTEN
ENERGIE{NIVEAUS
Ordnung 2:
141
X (2) (0)
X
(0)
cnk uk + H1 c(1)
nk uk
k6=n
k6=n
X (2)
X
(0)
(0)
(2) (0)
= En
cnk uk (2) + En(1) c(1)
nk uk + En un ;
H0
k6=n
k6=n
Skalarprodukt{Bildung mit u(0)
n ergibt
(0) (0)
(0)
X (0)
(1) = X (u(0)
n ; H 1 uk )(uk ; H 1 un ) ;
(un ; H1u(0)
)
c
k nk
En(0) ? Ek(0)
k6=n
k6=n
und da H1 symmetrisch ist, folgt
En(2) =
E (2) =
n
(0) 2
X j(u(0)
k ; H 1un )j :
(0)
(0)
k6=n En ? Ek
Auf diese Weise kann man in vielen Fallen die Naherungen En(1) und En(2) aus den
bekannten Groen En(0) und u(0)
n des ungestorten Systems bei gegebenem H 1 berechnen.
Bemerkung:
Die Potenzreihenentwicklung von En() um = 0 kann verschiedene Eigenschaften haben:
1. Falls En() analytisch in einer Umgebung von = 0 ist, so konvergiert die
Reihe fur jj < 0 > 0 und es gibt, im Prinzip, keine Probleme, es sei denn,
die Reihe konvergiert nur langsam.
2. Die Reihe konvergiert nicht, ist jedoch asymptotisch, d. h. fur
j
X
Rj () = jEn() ? iEn(i)j
i=0
gilt
lim R ()
j !1 j
6= 0 ; fest: Divergenz,
1 R () = 0 ; j fest.
aber lim
!0 j j
Noch brauchbar fur Naherungsrechnungen!
3. Die Reihe divergiert und ist auch nicht asymptotisch.
142


KAPITEL 8. ZEITUNABHANGIGE
STORUNGSTHEORIE
Wichtiges Beispiel: Anharmonischer Oszillator
2
2
H0 = ? 2hm dxd 2 + 12 bx2 ; H1 = x4 :
Bisher sind keine exakten Losungen von
(H0 + x4)un(x) = En(; b)un (x)
bekannt.
Man wei (s. B. Simon, Annals of Physics, Bd. 58 (1970); S.76{136) z. B. ,da
En (; b) einen kubischen Verzweigungspunkt bei = 0 hat, d. h. En(; b)
verhalt sich dort wie 1=3.
Ferner ist = 0 Haufungspunkt von Verzweigungspunkten.
Die Storungsreihe ist divergent, aber asymptotisch!!
1 +
4 (0)
2 (0) 2 (0)
Wir haben En(1) = (u(0)
n ; Q un ) = (Q un ; Q un ). Da Q = p2 (a + a), so ergibt
sich fur En(1):
h )2(2n2 + 2n + 1) :
En(1) = 34 ( m!
8.2 Entartung der ungestorten Energie{Niveaus
Falls zu den Eigenwerten En(0) mehrere Eigenfunktionen gehoren { z. B. Wasserstoffatom { , so mu das obige Verfahren modiziert werden: zu En(0) mogen endlich
viele Eigenfunktionen u(0)
n;j ; j = 1; :::; J; gehoren, die ebenfalls alle orthonormiert
sind:
(0)
(u(0)
n1 ;j1 ; un2 ;j2 ) = n1 n2 j1 j2 :
Entwicklung von un nach den ungestorten Wellenfunktionen ergibt jetzt:
X
X (1) X (0)
un = N ()( j u(0)
cnk j uk;j + );
n;j + k6=n
j
j
wobei die j , j , c(1)
nk etc. zu bestimmen sind! Einsetzen in die Schrodinger{Gleichung
ergibt bis zur Ordnung :
X
X
k6=n
j
X
(0)
j u(0)
H0( c(1)
k;j ) + H 1 ( j un;j )
nk
X
= E (1)( j u(0) )
n
j
n;j
+
j
X X (0)
j uk;j ) :
En(0)( c(1)
nk
j
k6=n
Skalare Multiplikation mit u(0)
n;i gibt
X (0)
(1)
j (un;i ; H1u(0)
n;j ) = En i ; i = 1; : : :; J :
j
8.3. DIE SPIN{BAHN{KOPPLUNG
143
(0)
Da die Groen bij (u(0)
n;i ; H 1un;j ), die eine J -dimensionale hermitesche Matrix
bilden, im Prinzip bekannt sind, so stellt das obige System von Gleichungen, ein
J -dimensionales (1)algebraisches Eigenwert{Problem zur Bestimmung der i. a.
verschiedenen En;j und der j ; j = 1; :::; J; dar.
In 2 Dimensionen hat man z. B.
b111 + b122 = En(1)1
b211 + b222 = En(1)2
Damit diese Gleichungen eine nichttriviale Losung haben, mu
!
(1)
b
?
E
b
11
12
n
det
b21
b22 ? En(1) = 0
sein. Dies gibt eine quadratische Gleichung fur En(1), mit Losungen En;(1)1, En;(1)2.
Vorteilhaft ist es, wenn man die u(0)
ur i 6= j . Dies
n;j so wahlen kann, da bij = 0 f
ist z. B. der Fall, falls es einen selbstadjungierten Operator A gibt, der
sowohl mit H0 als auch mit H1 vertauscht und die Entartung "aufhebt", d. h.
es gilt
(0)
Au(0)
n;j = aj un;j ; aj1 6= aj2 :
Dann folgt aus
(0)
0 = (u(0)
n;i ; (AH 1 ? H 1 A )un;j ) = (ai ? aj )bij = 0 ;
da
bij = 0 fur ai 6= aj :
Beispiel: H0, H1 rotationssymmetrisch, A: Drehimpuls.
8.3 Die Spin{Bahn{Kopplung
Fur ein um einen positiven Kern kreisendes Elektron bewegt sich die Ladung des
Kernes und erzeugt, vom Elektron aus gesehen, ein Magnetfeld B~ . Ist E~
das vom ruhenden Kern erzeugte Feld und ~v die Geschwindigkeit des Elektrons, so
hatte man bei konstantem ~u = ?~v nach der speziellen Relativitatstheorie fur B~
~ 2, wenn man noch (~v) 1 annimmt. Nun ist ~v aber
den Wert B~ = ?~v E=c
bei der Bewegung um den Kern nicht konstant, und man kann zeigen, da man
das obige B~ noch mit dem "Thomas{Faktor" 21 multiplizieren mu: (s. Vorlesung
Spezielle Relativitatstheorie)
B~ = ? 12 c12 ~v E~ ;
~x :
E~ = ?grad'(r) = ? d'
dr r
144


KAPITEL 8. ZEITUNABHANGIGE
STORUNGSTHEORIE
0 g ~S hat, so ergibt das obige
Da das Elektron das magnetische Moment ~ = ? 2em
e
~B {Feld im Hamilton{Operator den zusatzlichen Term
HSB = ?~ B~ = 2em0g ~S B~ = ? 4me0gc2 ~S (~v E~ )
e
e
e0g ~S (E~ ~p) = ? e0g ~S ( d' ~x ~p)
= 4m
2e c2
4m2e c2 dr r
e0g 1 d'(r) ~S ~l : "Spin{Bahn" Kopplung.
= ? 4m
2e c2 r dr
Wir betrachten jetzt das Wasserstoatom von Kap. 5, mit dem Hamiltonoperator H0 und der Storung H1 = HSB . Die Bohrschen Energie{Niveaus En(0) des
Wasserstoatoms mit
2
2
2
1
Ze
h
Ze20
0
~
H0 = 2m P ? 4" r = ? 2m ? 4"
0
e
0r
als Hamiltonoperator sind entartet, und zwar 2n2{fach, falls man den Spin berucksichtigt. Fur vorgegebenes n kann der Bahndrehimpuls die Werte l = 0; 1; :::; n ? 1
annehmen und jeder dieser Bahndrehimpulswerte ist nochmal 2l + 1-fach entartet.
Das Problem in diesem Fall von Storungstheorie mit Entartung der
ungestorten Energie-Eigenwerte ist, in den 2n2 {dimensionalen Eigen-Unterraumen die Basis so zu wahlen, da die Basisfunktionen Eigenfunktionen zu HSB sind, weil dann die Matrixelemente bij = (u0n;i; HSB u0n;j ) von
Kap. 8.2 fur i =6 j verschwinden!
Dies geschieht so:
Der Bahndrehimpuls{Operator L~ wirkt in den von den Funktionen Ylm aufgespannten Raumen Vl, die fur festes l (2l + 1){dimensional sind, der Spinoperator S~ wirkt
dagegen in dem 2{dimensionalen Raum VS der Spinoren , der von den Vektoren
+, ? aufgespannt wird. Man bildet nun den tensoriellen Produktraum Vl VS ,
indem man die Produkte
!
1
Ylm " Ylm(; ') " ; " = ; + = 0 ; etc.
als Basis des (komplexen) Vektorraumes Vl VS wahlt, der 2(2l + 1){dimensional
ist. Da
Lj (Ylm ") = (Lj Ylm)" und
Sj (Ylm ") = Ylm(Sj ") ;
so ist Lj "Einheits"{Operator bezuglich " und Sj Einheitsoperator bezuglich Ylm ,
d. h. in Vl VS haben Lj und Sj die "Darstellung"
Lj 1S und 1l Sj :
8.3. DIE SPIN{BAHN{KOPPLUNG
145
Die Groen
Jk = Lk 1S + 1l Sk ; k = 1; 2; 3
sind Operatoren in Vl VS , mit den Vertauschungsrelationen
[J1; J2] = [L1; L2] 1S + 1l [S1; S2] = ih J3 ;
da
[Lj 1S ; 1l Sk ] = 0 ; j; k = 1; 2; 3 :
Analoge Relationen gelten fur zyklische Vertauschungen der Indizes 1,2,3.
Der "Gesamtdrehimpuls"{Operator ~J genugt also den Bedingungen von Paragraph 5.1 und man hat demnach die Eigenwerte h 2j (j + 1) von ~J 2 sowie h mj ,
?j mj +j , von J3. Die zugehorigen Eigenfunktionen seien ~jmj .
Frage: wie hangen j und mj mit l, ml, s = 21 und ms = 12 , sowie ~jmj mit
Ylm " zusammen?
Nun ist
3
~J 2 = L~ 2 1S + 1l ~S2 + 2 X Lk Sk
k|=1 {z
}
L~ ~S
2
2
Da [L~ 1S ; L~ ~S] = [L~ ; L~ ] ~S = 0, und analog [1l ~S2; L~ ~S] = 0, so gilt
[~J2; L~ 2 1S ] = 0 ; [~J2; 1l ~S2] = 0
(Man beachte, da (A1 B1) (A2 B2) = (A1 A2) (B1 B2)!) Da ferner
[J3; L~ 2 1S ] = 0 ; [J3; 1l ~S2] = 0 ;
so kann man die Eigenfunktionen ~jmj aus Eigenfunktionen zu L~ 2 1S und 1l ~S2
2
2
konstruieren. Da aber [~J ; Lj 1S ] 6= 0, [~J ; 1l Sj ] 6= 0, so sind die Ylm " selbst
2
i. a. keine Eigenfunktionen zu ~J , wohl aber ist Ylm " Eigenfunktion zu J3:
J3(Ylm ") = (L3 1S + 1l S3)(Ylm ")
= (L3Ylm ) " + Ylm (S3")
= h (ml + mS )(Ylm ") ;
J3 hat also die Eigenwerte h mj = h (ml + mS ) . Da
(mj )max = (ml)max + (mS )max = l + s ;
und andererseits (mj )max = j , so hat J~ 2 den Eigenwert h 2j (j + 1), j = l + s .
Der zu j = l + s, mj = j , gehorige Eigenvektor kann nur
~j=l+s;mj =l+s = Yll +
146


KAPITEL 8. ZEITUNABHANGIGE
STORUNGSTHEORIE
sein.
Der nachstniedrige Eigenwert von J3 ist mj = l + s ? 1. Diesen Wert kann
man entweder dadurch bekommen, da man von ml = l zu ml = l ? 1, oder, da
man von mS = s zu mS = s ? 1 ubergeht, d. h. der zu mj = l + s ? 1 gehorige
Vektorraum ist 2{dimensional. Einer der 1{dim. Unterraume wird aufgespannt
von einem Vektor, der Eigenvektor zu ~J2 mit Eigenwert j = l + s ist, der andere
wird aufgespannt von einem Vektor, der zum Eigenwert j = l + s ? 1 gehort
(beide mussen zueinander orthogonal sein, da sie zu verschiedenen Eigenwerten des
selbstadjungierten Operators ~J 2 gehoren). (Es wird l 6= 0 vorausgesetzt.)
Man hat also
~j=l+s;mj =l+s?1 = (Yl;l?1 +) + (Yl;l ?) ; jj2 + j j2 = 1 :
Die Koezienzen , sind durch die Forderung bestimmt, da ~j=l+s;l+s?1 normierter Eigenvektor von ~J2 zum Eigenwert h 2j (j + 1), j = l + s, sein soll. Man
kann sie reell wahlen. Analog erhalt man (wegen der Orthogonalitat)
~j=l+s?1;mj =l+s?1 = (Yl;l?1 +) ? (Yl;l ?) :
Allgemeiner hat man
~l+ 1 ;mj = l;mj (Yl; ml +) + l;mj (Yl;m + 1 ?) ;
2
|{z}
| l{z }
=mj ? 12
mj + 12
~l? 1 ;mj = l;mj (Yl; ml +) ? l;mj (Yl;m + 1 ?) :
2
|{z}
| l{z }
mj ? 21
mj + 12
Die sogenannten "Clebsch{Gordan" Koezienten l;mj und l;mj haben die Werte
l ? mj + 21 12
l + mj + 21 12
l;mj = ( 2l + 1 ) ; l;mj = ( 2l + 1 ) :
Wir kommen zuruck zu unserem storungstheoretischen Problem:
2
h
Ze20
H0 = ? 2m ? 4"
e
0r
hat die Eigenfunktion unlm (~x) = Rnl(r)Ylm (; ') und wirkt im Raum der Spinoren
c+ + + c?? als Identitat, d. h. im Raum der durch
unlm unlm(~x) aufgespannten Funktionen hat H0 die Form
H 0 ! H 0 1S
8.3. DIE SPIN{BAHN{KOPPLUNG
147
Fur die Storung HSB haben wir dagegen:
HSB = ? 4me02gc2 1r d'dr(r) L~ ~S
e
e
1 (~J 2 ? L~ 2 1 ? 1 ~S2) ;
= ? 4m02gc2 1r d'
S
l
dr 2
e
d. h. die ~j;mj sind Eigenfunktionen zu HSB , nicht dagegen
die Ylm "!!
Es sei nun Enl(0) ein Eigenwert von H0 (beim Coulomb{Potential hangt Enl(0) nicht
von l ab!)
Um dann den niedrigsten Beitrag der Storung HSB auszurechnen, wahlt man nun in
dem zu Enl gehorigen 2(2l +1){dim. Unterraum Vl VS die Funktionen Rnl(r) ~j;mj ,
j = l 12 , als Basis ( man beachte, da 2(l + s) + 1 + 2(l ? s) + 1 = 2(2l + 1)).
2
2
Wegen (L~ S~ ) = 12 (J~ ? L~ 1S ? 1l S~ 2) bekommt man
2
(L~ ~S) ~j;mj = h2 [j (j + 1) ? l(l + 1) ? s(s + 1)] ~j;mj
8
2
>
>
< h l
fur j = l + 21
2
= > h 2
>
: 2 (?l ? 1) fur j = l ? 21
(1) folgt daraus
Fur die 1. Naherung Enlj
E (1) = ?
nlj
(
e0g h 2 (R ~ ; 1 d' R ~ ) l :
nl j;mj
nl j;mj
2
2
?
l
?1
4me c 2
r dr
e0Z , so bekommt man
Da (u ; u ) = (u; u)(; ), '(r) = 4"
0r
(
2gZ
e
1
(1)
0
2
Enlj = 32" m2c2 h
(Rnl ; r3 Rnl ) ?l l? 1
0 e
| {z }
3
1
Z
3
3
a n l(l + 12 )(l + 1)
;
( a: Bohrscher Radius ), bzw.
E (1) =
nlj
(
1 4Z 4 g m c2
1
l fur j = l + 21
e 3
8
n l(l + 12 )(l + 1) ?l ? 1 fur j = l ? 21
:
148


KAPITEL 8. ZEITUNABHANGIGE
STORUNGSTHEORIE
Man erhalt also fur l 6= 0 eine Aufspaltung der Energie{Niveaus, die dann zu j = l+ 21
und j = l ? 12 gehoren.
Ein bekanntes Bespiel bildet die Aufspaltung der gelben "D{Linie" des Natriums.
Sie entspricht den U bergangen l = 1 ! l = 0. Das obere Niveau ist entsprechend
j = 12 und j = 32 aufgespalten! Die Linien gehoren zu n = 3. Man beachte,
da bei den Alkali{Spektren schon die ungestorten Niveaus von l abhangig sind,
da das Coulomb{Potential wegen der Abschirmung durch die inneren Elektronen
modiziert ist.
Man beachte, da die Spin-Bahn-Kopplung von der Ordnung 4 ist, wahrend die
Bohrschen Energie-Niveaus des Wasserstoatoms von der Ordnung 2 sind! Weitere
"Storungen" der Energie{Niveaus im Wasserstoatom:
1. Relativistische Korrekturen:
2
Ekin = mc2(1 + m~p2c2 ) 21 ? mc2
2
p
~
= 2m ? 8m13c2 (~p 2)2 + :
Spin{Bahn{Kopplung und relativistische Korrekturen werden automatisch in
der Dirac{Gleichung ( wird in QT II behandelt ) berucksichtigt!
2. Wechselwirkung des magnetischen Momentes vom Proton mit dem vom Elektron (Hyperfeinstruktur).
3. Ausdehnung des Protons
4. Wechselwirkung des Elektrons mit dem "Strahlungsfeld", d.h. dem elektromagnetischen Feld als Quantentheoretisches System : "Lamb{shift" ( Aufspaltung von auch bei der Dirac-Gleichung noch entarteter Energie-Niveaus ) und
Korrekturen zu g = 2! (Quantenelektrodynamik)
Wegen weiterer Einzelheiten s. Kap. 12 von Schwabl, Quantenmechanik .
Kapitel 9
Systeme mit N Teilchen
9.1 Einige allgemeine Eigenschaften
Es seien N Teilchen mit den Massen mn, n = 1; : : : ; N , gegeben. Ferner seien
~xn = (x(1n); x(2n); x(3n)) die zugehorigen Ortskoordinaten.
Jedes dieser Teilchen bende sich in einem aueren (elektrischen oder magnetischen etc.) Potential Vn(~xn ) und zwischen je zweien der Teilchen wirke das
Potential Vjk (~xj ? ~xk ). Dabei werden Spinkrafte zunachst ignoriert. In unmittelbarer Verallgemeinerung von den U berlegungen fur zwei Teilchen (S. 85/86) erhalt
man als Hamilton{Operator fur dieses System:
2
N
N
N
X
X
X
H = ? 2hm n + Vn (~xn) + 21 Vjk (~xj ? ~xk ) :
n
j;k=1
n=1
n=1
j 6=k
Beispiel: N = 26 Elektronen in der Hulle des Eisenatomes, Vn (~xn): Coulomb{
Potential des Kernes am Ort des n{ten Elektrons, Vjk (~xj ? ~xk ): Coulomb{Potential
zwischen dem j{ten und k{ten Elektron!
Die zugehorige zeitabhangige Schrodinger{Gleichung ist
ih @t (~x1; : : :;~xN ; t) = H (~x1; : : :;~xN ; t) :
Die N {Teilchen Wellenfunktion ist folgendermaen normiert:
Z
d3~x1 : : : d3~xN j (~x1 : : :~xN ; t)j2 = 1
und w(~x1 : : :~xN ; t) j j2 ist die Wahrscheinlichkeitsdichte
dafur, das erste Teilchen in einer Umgebung des Ortes ~x1; : : :,
und das N {te Teilchen in einer Umgebung des Ortes ~xN zu
nden.
Sind die Potentiale nicht explizit von der Zeit abhangig, so kann man
? hi Et
u(~x1 : : :~xN )
(~x1 : : :~xN ; t) = e
149
KAPITEL 9. SYSTEME MIT N TEILCHEN
150
setzen und erhalt dann die zeitunabhangige (stationare) Schrodinger{Gleichung:
Hu(~x1 : : :~xN ) = Eu(~x1 : : :~xN ) :
In einem wichtigen Spezialfall kann man die Gleichung sofort losen: verschwinden
die Vjk oder kann man sie in nullter Naherung vernachlassigen (wie z.B. in der
Atomhulle die Coulomb-Krafte zwischen den Elektronen oft zunachst vernachlassigt
werden) und kennt man die Losungen der Gleichungen
so ist
2
(? 2hm n + Vn (~xn))un(~xn) = Enun (~xn) ; ;
n
u(~x1 : : :~xN ) = u1(~x1) uN (~xN )
eine Losung mit
E = E1 + + E N :
In vielen Anwendungen spielt der Spin von Teilchen ( Elektronen, Protonen,
Neutronen ) etc. eine Rolle, z.B. bei der Spin{Bahn{Kopplung, bei den Wechselwirkungen von magnetischen Momenten verschiedener Elektronen etc.
Analog zum U bergang (Verdopplung)
!
(
~
x
;
t
)
+
(~x; t) !
? (~x; t)
(s. Kap. 7.1) berucksichtigt man diesen zusatzlichen "Freiheitsgrad" dadurch, da
man eine zusatzliche Variable "n = 1 einfuhrt, die angibt, ob der Spin des
n{ten Teilchens nach "oben" oder nach "unten" weist (wir betrachten hier
nur Teilchen mit Spin 21 h ).
Die Verallgemeinerung von "(~x; t), " = 1, fur ein Teilchen mit Spin 12 h ist
dann fur N {Teilchen:
"1 ;:::;"N (~x1 : : :~xN ; t)
; "n = 1 ;
wobei man die 2N komplexwertigen Funktionen von (~x1 : : :~xN ; t), z.B. zu einem
2N {komponentigen Spaltenvektor zusammenfassen kann!
9.2 Die Permutationssymmetrie der Wellenfunktionen identischer Teilchen
Eine sehr wichtige Rolle in der Quantentheorie spielen die Eigenschaften von Systemen "identischer" Teilchen, wie ein System von Elektronen oder Protonen etc.
Ein Grund ist folgender: wahrend in der klassischen Mechanik die N gleichen Massenpunkte eines Systems dadurch individuell indiziert werden konnen, da man
zu einem festen Zeitpunkt ihre Positionen und Impulse genau angibt (und durchnummeriert) und dann die einzelnen Bahnen zeitlich verfolgt, so ist dies in der
 IDENTISCHE TEILCHEN
9.2. PERMUTATIONSSYMMETRIE FUR
151
Quantenmechanik nicht mehr moglich, da wegen der Unscharferelation Ort
und Impuls eines Teilchens zu einem bestimmten Zeitpunkt nicht gleichzeitig genau gemessen werden konnen. Streut man z.B. zwei Elektronen aneinander,
und mit nach der Streuung eines in einem Zahler, so wei man nie, welches
der beiden Elektronen von vor der Streuung man gemessen hat, da man
nicht "sehen" kann, was im Streubereich passiert; mit anderen Worten, man kann
quantenmechanisch die beiden "klassisch" verschiedenen Prozesse
-1
2
1
3
2
+
2
und
>
2
1
=
-1
nicht unterscheiden, da man nicht beliebig genau wissen kann, was in dem schraferten Bereich passiert!
Konsequenzen: Diese sollen zunachst am Beispiel von 2 Elektronen in den spinunabhangigen Potentialen V (~x1), V (~x2) und V (k~x1 ? ~x2k) gezeigt werden, d. h.
der Hamilton{Operator ist
2
2
h
h
H = ? 2m 1 ? 2m 2 + V (~x1) + V (~x2) + V (k~x1 ? ~x2k)
(z.B. die beiden Elektronen des Helium{Atoms).
H = H(1; 2) ist symmetrisch unter der Vertauschung von ~x1 und ~x2:
H(1; 2) = H(2; 1) !
Es sei nun u"1 "2 (~x1;~x2) eine Eigenfunktion von H(1; 2):
H(1; 2)u(1; 2) = Eu(1; 2) ; u(1; 2) u"1 "2 (~x1;~x2) :
Da es auf die Reihenfolge bei der Durchnummerierung nicht ankommt, so kann man
auch schreiben
H(2; 1)u(2; 1) = Eu(2; 1) ;
KAPITEL 9. SYSTEME MIT N TEILCHEN
152
und wegen H(2; 1) = H(1; 2):
H(1; 2)u(2; 1) = Eu(2; 1) ;
d.h. ist u(1; 2) eine Losung von H(1; 2), so ist es auch u(2; 1). (Orts{ und Spin{
Koordinaten vertauscht!).
Etwas formaler: ist P12 der Permutations{ (Transpositions{) Operator
P12u(1; 2) = u(2; 1) ;
so folgt ganz analog zum Paritatsoperator (s. Kap. 4.7),
[H; P12] = 0 ; P212 = 1 ;
d. h. P12 hat die Eigenwerte +1 und ?1, man kann also die Eigenfunktionen von
H(1; 2) in symmetrische und antisymmetrische zerlegen,
uS (1; 2) = p1 (u(1; 2) + u(2; 1)) ;
2
uA (1; 2) = p1 (u(1; 2) ? u(2; 1))
2
und diese Zerlegung wird wegen [H; P12] = 0 im Laufe der Zeit nicht "gemischt"!
Frage: Welche Wellenfunktionen treten in der
Natur auf?
Antwort: (sehr tief liegendes Naturgesetz, Pauli):
2 Teilchen mit ganzzahligem Spin haben immer
eine vollstandig symmetrische und
2 Teilchen mit halbzahligem Spin (Elektronen, Protonen)
eine vollstandig antisymmetrische Wellenfunktion!!
Die Verallgemeinerung fur N identische Teilchen ist das Pauli-Prinzip:
u(1; : : : ; N ) u"1 :::"N (~x1; : : : ;~xN ) ;
Die Wellenfunktion u(1; : : : ; N ) ist vollstandig symmetrisch bezuglich der
Vertauschung von je zweien der Argumente, z.B. (~x1; "1) und (~xN ; "N ), fur
Teilchen mit ganzzahligem Spin (Photonen, Deuteronen etc. ) und vollstandig antisymmetrisch fur Teilchen mit halbzahligem Spin (Elektronen
etc.).
Konsequenz:
9.3. DAS HELIUMATOM UND DIE ANDEREN ATOME
153
2 Elektronen konnen sich niemals in demselben Zustand benden!
Es sei z.B. ("1;~x1) = ("2;~x2), dann folgt
u"1 "2 (~x1;~x2) = ?u"2 "1 (~x2;~x1) = ?u"1 "2 (~x1;~x2) = 0 :
Dies hat weitreichende Konsequenzen fur die Atomhulle, die Statistik ("Quantenstatistik") der Elektronen | Elektronen sind "Fermionen" |, das Verhalten von
Elektronen in Metallen etc..
Von Teilchen mit ganzzahligem Spin ("Bosonen") kann man dagegen beliebig viele
in einen Zustand stecken!
9.3 Das Heliumatom und die anderen Atome
In diesem Falle ist Z = 2 und der Hamiltonoperator ist:
2
2
2
2
2
H = ? 2hm 1 ? 2hm 2 ? 4"Zek0~x k ? 4"Zek0~x k + 4" k~xe0 ? ~x k :
e
e
0 1
0 2
0 1
2
Hier ist der Spin der Elektronen im Hamiltonoperator vernachlassigt! Er kann
jedoch nicht bei der Symmetrie der Wellenfunktion vernachl
assigt werden:
(1) , d. h.
(1)
,
"
=
1
seien
die
beiden
Eigenfunktionen
zu
S
3
"1 1
h (1)
(1) h (1) (1)
S(1)
3 "1 = 2 3 "1 = "1 2 "1 :
Entsprechendes gelte fur S(2)
3 und (2)
"2 .
Wir konnen dann die 4 "Produkt"vektoren
(2)
(1)
(2)
(1)
(2)
(1)
(2)
(1)
+ + ; + ? ; ? + ; ? ?
bilden, auf die die 4 4 Matrizen S~ (1) 1(2) ; 1(1) S~ (2) wirken, wobei
1
0
a
B
a
B
:
:
:
11
12
A
B = B
@ a21 B a22 B : : : CA ; A = (aij ) ; B = (bij ) ;
::: ::: :::
(A B )(u v) = (A u) (B v) :
(2)
Die 4 (1)
"1 "2 bilden eine Basis in einem 4{dim. Vektorraum, in dem der Gesamtspinoperator
S~ = S~ (1) 1(2) + 1(1) S~ (2)
wirkt. Da
(1) (1)
(2) (2)
(2)
(2)
(1)
S3((1)
"1 "2 ) = (S 3 "1 ) "2 + "1 (S 3 "2 )
KAPITEL 9. SYSTEME MIT N TEILCHEN
154
ist, so hat man
(2)
S3((1)
+ + )
(2)
S3((1)
+ ? )
(2)
S3((1)
? + )
(2)
S3((1)
? ? )
=
=
=
=
(2)
h ((1)
+ + ) ;
0;
0;
(2)
?h ((1)
? ? ) ;
(2)
, 0, ?h , wobei
d.h. die ((1)
"1 "2 ) sind Eigenzustande zu S 3 mit Eigenwerten h
(1)
(2)
(1)
(2)
0 zweifach auftritt. Die Zustande (+ + ) und (? ? ) sind ferner Eigenzustande zu S~ 2 mit den Eigenwerten h 21(1+1), d.h. j = 1. Zum gleichen Eigenwert
gehort die Kombination
(1)
(2)
p1 ((1)
(2)
+
? + ? + ) :
2
Alle drei Wellenfunktionen
(2)
(s)
(1)
(2)
(ms)s=1(1; 2) = (1)
+ + ; ms =?1 (1; 2) = ? ? ;
(1)
(2)
(ms)s=0(1; 2) = p1 ((1)
(2)
+
? + ? + )
2
sind symmetrisch in den Indices "1" und "2". Dagegen ist die Wellenfunktion
(1)
(2)
(2)
(a)(1; 2) = p1 ((1)
+
? ? ? + )
2
antisymmetrisch in "1" und "2". Sie gehort zum Eigenwert 0 von S~ 2.
Da die Gesamtwellenfunktion u"1 "2 (~x1;~x2) antisymmetrisch in ("1;~x1) und ("2;~x2)
sein mu, so ist (a)(1; 2) mit einer symmetrischen Losung u(s)(~x1;~x2) von
Hu(~x1;~x2) = Eu(~x1;~x2)
zu kombinieren und (s)(1; 2) mit einer antisymmetrischen u(a)(~x1;~x2):
"Triplett:" 3ums (~x1;~x2) = u(a)(~x1;~x2)(ms)s (1; 2) ;
"Singulett:" 1u(~x1;~x2) = u(s)(~x1;~x2)(a)(1; 2)
Die Helium{Atome konnen bezuglich des Spins also in einem "Triplett"-Zustand
(Spin 1h) oder "Singulett"{Zustand (Spin 0) sein. Im ersten Fall bezeichnet
man es als "Ortho"{, im zweiten Fall als "Para"{ Helium.
9.3. DAS HELIUMATOM UND DIE ANDEREN ATOME
155
In nullter Naherung vernachlassigen wir das Potential
V12 = e20=(4"0 k~x1 ? ~x2k) zwischen den beiden Elektronen. Eigenlosungen von
2
2
2
2
h
h
H0 = ? 2m 1 ? 2m 2 ? 4"Zek0~x k ? 4"Zek0~x k
e
e
0 1
0 2
sind u(~x1;~x2) = un1 l1m1 (~x1)un2 l2m2 (~x2) ; unlm: Wasserstoeigenfunktionen; und
2
)2 :
E = En1 + En2 ; En = ? m2ec (Z
n2
Fur den Grundzustand bekommt man in dieser Naherung
u(0s) = u100(~x1)u100(~x2) : "Para"helium.
E0(0) = 2E1 = ?mec2(2)2 = ?108; 8 eV :
Der exp. Wert ist E (Grundzustand) = ?79; 0 eV . Die Naherung ist also schlecht.
Den ersten angeregten Zustand bekommt man, falls eines der beiden Elektronen
in einem n = 2 Zustand ist:
E = E1 + E2 = ?68; 0 eV (nullte Naherung).
Wir haben jetzt:
u(a)(~x1;~x2) = p1 (u100(~x1)u2lm(~x2) ? u2lm(~x1)u100(~x2)) ;
2
u(s)(~x1;~x2) = p1 (u100(~x1)u2lm(~x2) + u2lm(~x1)u100(~x2)) :
2
Multipliziert man diese Funktionen mit (ms)s (1; 2) bzw. (a)(1; 2), so hat man die
antisymmetrischen Wellenfunktionen in nullter Naherung fur den Grundzustand
und den 1. angeregten Zustand.
Mit diesen Wellenfunktionen konnen wir nun Storungstheorie fur
V12 = e20=(4"0k~x1 ? ~x2k) treiben. Da die Storung V12 den Spin nicht enthalt,
brauchen wir nur den raumlichen Anteil der Wellenfunktionen zu betrachten. Nach
Kap. 8.1 bekommen wir fur den Grundzustand (nicht entartet) in 1. Naherung den
zusatzlichen Beitrag:
Z
2
d3~x1d3~x2ju100(~x1)j2 k~x e?0 ~x k ju100(~x2)j2
1
2
(
s
)
(
s
)
(u0 ; V12u0 ) :
E =
KAPITEL 9. SYSTEME MIT N TEILCHEN
156
Da u100(~x) = p24 (Z=a) 32 e?Zr=a ist (s.S. 84 ), so kann man das Integral ausrechnen, mit dem Ergebnis:
Ze20 = 5 Z ( 1 m c22) = 34 eV fur Z = 2 :
E = 85 4"
e
0a 4 2
Damit bekommen wir fur den Grundzustand in 1. Naherung
E0(1) = E0(0) + E = ?74; 8 eV :
Beim 1. angeregten Zustand hat man Storungstheorie mit entarteten Eigenwerten
(Kap. 8.2). Da V12 jedoch mit dem Permutationsoperator P12 vertauscht, so sind
u(a;s)(~x1;~x2) schon die richtigen Funktionen fur die Storungstheorie:
E (s;a)
Z
1
2
= 2 e0 d3x~ 1d3~x2[u100(~x1)u2lm(~x2) u2lm(~x1)u100(~x2)]
1
4"0 k~x1 ? ~x2k [u100(~x1)u2lm(~x2) u2lm(~x1)u100(~x2)] :
Wegen der Art der Storung hangt das Ergebnis nicht von m ab und wir konnen
m = 0 wahlen! Wir bekommen
E (s;a) = CnlZ Anl ;
Cnl = e20 d3~x1d3~x2ju100(~x1)j2 4" k~x1 ? ~x k ju2l0(~x2)j2 ;
0 1
2
Z
1
Anl = e20 d3~x1d3~x2u100(~x1)u2l0(~x2) 4" k~x ? ~x k u2l0(~x1)u100(~x2)
o
1
2
Das in nullter Naherung entartete Energieniveau spaltet also auf, und zwar liegt
der Triplett{Zustand (Cnl ? Anl) tiefer, da bei antisymmetrischer u(a)(~x1;~x2)
die Elektronen sich nicht sehr nahe kommen konnen und die Abstoung deswegen
geringer ist!
Aus
E (a) = Cnl ? Anl < E (s) = Cnl + Anl ;
folgt Anl > 0.
Die Groe Cnl kann man als Analogon zur klassischen Coulomb{Energie
Z
d3~x1d3~x2 4"(~xk1~x)(?~x2~x) k
0 1
2
interpretieren, der "Austausch"{Term Anl ist jedoch typisch quantenmechanisch und ruhrt von den Symmetrieeigenschaften der Wellenfunktionen fur die

 ATOME MIT Z ELEKTRONEN 157
9.4. NAHERUNGSRECHNUNGEN
FUR
beiden, prinzipiell nicht unterscheidbaren Elektronen her. Obwohl die Spin{Spin{
Wechselwirkungen selbst klein sind, fuhrt die "Existenz" des Spins und das Pauli{
Prinzip zu groen Eekten in Form von Anl!!
Die Austauschterme sind qualitativ wichtig fur die Krafte zwischen Atomen
und z.B. auch fur den Ferromagnetismus. Mehr hierzu in den Lehrbuchern.
Analog zum Helium{Atom kann man die anderen Atome in nullter Naherung (d.h.
unter Vernachlassigung der Krafte zwischen den Elektronen) qualitativ diskutieren,
wobei allerdings diese Naherung fur wachsende Z immer schlechter wird! Qualitativ
entscheidend fur die Struktur der Atomhulle ist das Pauli{Prinzip: Die Gesamtwellenfunktion fur N Elektronen mu antisymmetrisch unter der Vertauschung der
Quantenzahlen sein (Ortskoordinate + Spin, oder: Inpulskoordinate + Spin, oder:
Haupt(Energie{)quantenzahl n + Bahndrehimpuls l + 3{Komponente m + Spin,
d. h. der Zustand eines Elektrons ist durch 4 "Quanten"zahlen charakterisiert).
Wichtige Charakterisierung von Energie{Niveaus der Atome:
2S +1 LJ
S : Gesamt{Spin
L : Gesamt{Bahndrehimpuls
J : Gesamt{Drehimpuls.
L = 0 : "S ? Welle" ; L = 1 : "P ? Welle" etc:
Beispiele: Grundzustand des Heliums.
1 S0 = (S = 0; L = 0; J
= 0) ; n = 1 :
Erste angeregte Zustande: L = 0, n = 2; 3S1 liegt niedriger als 1S0 (s. o.). Ebenso
gehoren dazu die P ?Zustande 3P0;3P1;3P2 und 1P1.
9.4 Naherungsrechnungen fur die 1{Elektronen
Wellenfunktionen fur Atome mit Z Elektronen.
Zur Berechnung der Grundzustands{ und Anregungs{Energien der Atome mit hoheren Z sind viele Naherungsmethoden entwickelt worden, von denen 2 wichtige
erwahnt seien:
9.4.1 Hartree{Verfahren
Die N {Elektronen{Wellenfunktion u(1; : : : ; N ), "i" steht fur (~xi; si) wird als Produkt von orthonormierten 1{Elektronen{Wellenfunktionen angesetzt:
u(1; : : :; N ) = u1(1) uN (N ) ;
wobei der Index i die Quantenzahlen des i{ten Elektrons meint. Diese Produkt{
Wellenfunktion ist nicht richtig antisymmetrisiert. Dem Pauli{Prinzip wird
KAPITEL 9. SYSTEME MIT N TEILCHEN
158
dadurch Rechnung getragen, da alle der N Wellenfunktionen orthogonal
zueinander sein sollen.
Das i{te Elektron bewegt sich einmal im Potential des Kernes sowie in einem
"eektiven" Potential V~ (~xi), das durch die anderen N ? 1 Elektronen erzeugt wird.
Dieses Potential hat nach Hartree naherungsweise die folgende Form:
Sind uj die Wellenfunktionen des j {ten Elektrons, so erzeugt dies am Orte ~y die Ladungsdichte ?e0juj (~y)j2, so da das i{te Elektron am Orte ~x das eektive mittlere
Potential
Z
X
e20
2
~Vi (~x) = d3~y
4"0 k~x ? ~yk j6=i juj (~y)j
besitzt. Das i{te Elektron bendet sich insgesamt in dem Potential
2
Vi(~x) = ? 4"e0Zk~xk + V~i(~x) ;
0
und die zugehorige Schrodinger{Gleichung lautet
2
(? 2hm + Vi (~x))ui(~x) = 1Eiui(~x)
e
i = 1; : : :; N ;
1 Ei : 1{Elektronen{Energien.
Dies ist ein System von N nichtlinearen Integro{Dierential{Gleichungen zur Bestimmung der ui. Es(0)ist nur numerisch iterativ (0)losbar! Man geht von plausiblen
"Test"{Funktionen uj aus, berechnet daraus V~i , bekommt Losungen 1Ei(1), u(1)
i
(1) etc.
~
der Schrodinger{Gleichung, berechnet mit diesen u(1)
ein
entsprechendes
V
i
i
etc.: Sogenanntes "selbstkonsistentes" Verfahren.
Als Erwartungswert (u; Hu) fur den Gesamt{Hamilton{Operator
X
2
2
X
2
H = (? 2hm i ? 4"e0Zk~x k ) + 12 4" k~xe0 ? ~x k
e
0 i
0 i
j
i
i6=j
erhalt man
2
XZ 3 3
1
Ei ? 2
(u; Hu) =
d ~xd ~y 4" ke~x0 ? ~yk jui(~x)j2juj (~y)j2 :
0
i=1
i6=j
N
X
1
Mittelt man V~i(~x) noch uber die Winkel von ~x, so erhalt man ein rotationssymmetrisches Potential V~i ! Vbi(k~xk) und man kann auch hier die 1{Teilchen{
Zustande durch Quantenzahlen n, l, m, ms charakterisieren, wobei jetzt allerdings
die Energiewerte 1Ei von der Hauptquantenzahl n und dem Bahndrehimpuls l
abhangen.

 ATOME MIT Z ELEKTRONEN 159
9.4. NAHERUNGSRECHNUNGEN
FUR
9.4.2 Hartree{Fock{Verfahren
Hier ist die N {Elektronen{Wellenfunktion u(1; : : :; N ) wiederum aus 1{Elektronen{
Wellenfunktionen aufgebaut, aber vollstandig antisymmetrisiert:
u1(1) u1(N ) ... ...
1
u(1; : : : ; N ) = p ..
... N ! .
uN (1) : : : uN (N ) ("Slater"{Determinante), wobei die ui(j ) orthonormal sein sollen. Rechnet man
jetzt den Erwartungswert von H bezuglich dieser u(1; : : :; N ) aus, so erhalt man
2
X Z 3 h 2
d x~ ( 2m jgradui(~x)j2 ? 4"Zek0~xk jui(~x)j2
(u; Hu) =
e
0
i
Z
2
X 3 3
d ~yd ~x 4" ke~x0 ? ~yk jui(~x)j2juj (~y)j2
+ 12
0
i;j
Z
2
X
? 21 i;j d3~yd3~x 4" ke~x0 ? ~yk ui (~x)ui(~y)uj (~y)uj (~x) :
0
| i;j
{z
}
("Austausch"{Term).
Die Integro{Dierential{Gleichung fur die ui(~x) erhalt man aus der Forderung, da
(u; Hu) minimal werden soll: Man "variiert" ui: ui ! ui + ui und verlangt, da
(u; Hu) = (u; Hu) + (u; Hu) = 0 fur "kleine", aber beliebige ui, wobei jedoch
die Orthonormierung erhalten bleiben soll! Resultat:
2
2
h
Ze
(? 2m ? 4" k0~xk )ui(~x)
e
0
Z
2
X
+ d3~y 4" ke~x0 ? ~yk uj (~y)[uj (~y)ui(~x) ? uj (~x)ui(~y)ij ]
0
j
|
{z
}
= 1Eiui(~x) :
V~iHF (~x)
Bis auf den Austauschterm sind dies dieselben Gleichungen wie bei Hartree. Im
Austauschterm wird nur uber die ui, uj summiert, die denselben Spin Si und Sj
haben (daher die Antisymmetrie in den Ortskoordinaten).
Losungen der Hartee{Fock{Gleichungen erhalt man iterativ wie oben! Mittelt
man V~iHF (~x) noch uber die Winkel, so spurt das i{te Elektron ein rotationssymmetrisches Potential VbiHF (k~xk). Die 1{Elektronen{Wellenfunktionen haben dann die
160
Form
KAPITEL 9. SYSTEME MIT N TEILCHEN
ui(~x; S ) = Rnl(r)Yl;m " ; n l + 1 :
Zu gegebenem (n; l) gehoren dann noch 2(2l+1) = 4l+2 Zustande, deren Gesamtheit
man als "Schalen" bezeichnet: 1s{Schale (n = 1; l = 0); 2s{Schale (n = 2; l = 0);
2p{Schale (n = 2; l = 1) etc.
Die Hartree{Fock{Losungen uHF (1; : : : ; N = Z ) konnen dann fur ein Atom mit
Z Elektronen dadurch charakterisiert werden, da die Elektronen{Kongurationen
in den Schalen angegeben werden.
Beispiel: Sticksto: (1s)2(2s)2(2p)3: 2 Elektronen in der 1s{Schale, 2 in der 2s{
Schale und 3 in der 2p{Schale.
Die folgende Tabelle (aus Baym, Lectures on Quantum Mechanics) zeigt die
Elektronenkongurationen der Elemente in den nicht abgeschlossenen Schalen der
Grundzustande sowie deren Gesamt-Spin, -Bahndrehimpuls und -Drehimpuls.
 UND CHEMISCHE BINDUNG
9.5. MOLEKULE
161
9.5 Molekule und chemische Bindung
Die Quantenmechanik der Molekule und der im allgemeinen notwendigen Naherungen ist qualitativ stark dadurch bestimmt, da die Kernmassen M um mehrere
Groenordnungen groer als die Elektronenmasse me sind:
me 10?3 ? 10?5 :
M
Dieses Verhaltnis bestimmt die Groenordnungen der verschiedenen Energieanregungsarten:
Bei einem Molekul von der "Ausdehnung" a sind die Elektronenimpulse von der
Groenordnung h =a und die elektronischen Anregungsenergien von der Groenordnung
2
EEl mh a2 ( einige eV ) :
e
Die Kerne bewegen sich relativ langsam in der sie umgebenden Elektronenwolke,
verandern deren Wellenfunktion und bewegen sich dorthin, wo die Elektronenenergie zusammen mit der die Abstoung bewirkenden Coulomb-Energie zwischen den
Kernen minimal wird.
Die Kerne schwingen um dieses Minimum mit einer Kreisfrequenz !, deren Groenordnung so abgeschatzt werden kann (Faktoren 21 werden vernachlassigt):
Im Abstand R vom Minimum hat ein Kern die potentielle Energie M!2R2 . Die
vom Kern bei der Bewegung von R = 0 bis R = a gewonnene potentielle Energie
M!2a2 ist von der Groenordnung der elektronischen Energie EEl, d.h.
2
;
e 12 h
M!2a2 mh a2 ; also ! ( m
)
M m a2
e
e
die Schwingungsenergie h ! der Kerne sind demnach von der Groenordnung
e 12
ESchw ( m
M ) EEl :
Die Molekule rotieren ferner im allgemeinen um ihren Schwerpunkt, mit der Energie
d.h. wir haben
also
2l(l + 1)
h
ERot ; Ma2 ;
e
ERot m
M EEl ;
me :
e 12
EEl : ESchw : ERot 1 : ( m
:
)
M
M
Dies gibt einen Eindruck von den relativen Groenordnungen der verschiedenen
Energieanregungs{Stufen.
KAPITEL 9. SYSTEME MIT N TEILCHEN
162
Bei den Rechnungen bedient man sich der Born{Oppenheimer{Approxima-
tion:
Der Hamilton{Operator eines Molekuls, das aus NK Kernen der Massen M1, M2,
: : : , MNK mit den Kernladungszahlen Z1, : : : , ZNK , Kernimpulsen P~1, : : :, P~ , : : :,
P~NK , und aus Ne Elektronen mit Impulsen p~i besteht, enthalt bei Vernachlassigung
der Spins im wesentlichen 5 Anteile:
H = Te + TK + Vee + VeK + VKK ;
wobei
Ne 1
X
2 ;
Te =
p
~
i
i=1 2me
NK 1
X
~2 ;
TK =
P
=1 2M
2
X
Vee = 21 4" k~xe0 ? ~x k ;
0 i
j
i6=j
NK X
Ne
X
?e20Z
VeK =
~ ? ~xik ;
=1 i=1 4"0 kR
X e20Z Z
1
VKK = 2
~ ? R~ k :
6= 4"0 kR
Wegen der Kleinheit von me=M vernachlassigt man nach Born und Oppenheimer
c=
zunachst die kinetische Energie TK der Kerne. Im Rest{Hamiltonoperator H
~
~
H ? TK treten die Positionen R (R1; : : : ; RNK ) der Kerne nur noch als Parameter
c'n (r; R) = "bn(R)'n (r; R) folgt dann:
auf. Aus H
[Te + Vee (r) + VeK (r; R)]'n(r; R) = ("bn(R) ? VKK (R))'n (r; R) ;
wobei r (~x1; : : :;~xNe ), "bn (R): elektronische Energie, die von R abhangt.
c selbstadjungiert ist, bilden die 'n(r; R) ein vollstandiges System und man
Da H
kann daher die Losung (r; R) von H = E nach den 'n entwickeln:
X
(r; R) = un(R)'n (r; R) ;
n
so da
X
X
("bm(R) + TK )um(R)'m (r; R) = E um(R)'m (r; R) :
m
m
Multiplikation der letzten Gleichung mit 'n(r; R) und Integration uber alle d3~xi
gibt wegen der Orthonormalitat der 'n:
 UND CHEMISCHE BINDUNG
9.5. MOLEKULE
163
X Z 3Ne d r 'n(r; R) TK um(R)'m (r; R) + "bn (R)un(R) = Eun(R) :
m
Da
R (um'm) = (R um )'m + umR 'm
+ 2(gradR um)(gradR 'm) ;
so bekommt man fur die un (R) die Gleichung
(TK + "b(R))un(R) = Eun(R) ?
X
m
Bnmum(R) ;
wobei
NK 1 Z
2X
h
Bnmum(R) = ? 2 M d3Ne r 'n(r; R)
=1 [2(gradR um)(gradR 'm) + umR 'm (r; R)] :
Der Bnm {Term "mischt" elektronische Wellenfunktionen1 'n, die zu verschiedenen
n gehoren. Er ist von der Groenordnung (me=M ) 2 und kann als Storung
behandelt werden:
1 ' = me ( 1 ' ) me E kin ; da i.a. ' = ' (R~ ? ~x ) :
m
m n
2M R m M 2me R m M El
Die um(R) werden in etwa die Form von Oszillator{Wellenfunktionen haben und
1
~ ~ 2
Faktoren e? 2h !M (R ? R ;0) enthalten, d.h.
gradR um kR~ ? R~ ;0k Mh ! um :
Da kR~ ? R~ ;0k gradR 'n 'n, so ist der zugehorige Term in Bnm von der Grossenordnung h ! ( mMe ) 21 EEl.
In 1. Naherung kann man daher den Bnm{Term vernachlassigen, d.h.
(TK + "b(R))un (R) = Eun(R) :
Dies ist die { genaherte { Schrodinger{Gleichung fur die Kern{Wellenfunk ti onen u(R). In ihr tritt die Energie "b(R) = EEl(R) + VKK als eektives Potential auf, um dessen lokale Minima die Kerne Schwingungen
ausfuhren.
Beispiele:
1. Das H2+ {Ion
KAPITEL 9. SYSTEME MIT N TEILCHEN
164
Dieses System besteht aus zwei Protonen mit Ortsvektoren R~ a, R~ b und einem
c hat hier die Form
Elektron mit Ortsvektor ~x. H
2
c = ? h ?
H
2m
e
e20
e20
e20
?
+
:
4"0 kR~ a ? ~xk 4"0 kR~ b ? ~xk 4"0 kR~ a ? R~ b k
c'n(~x; R~ a; R~ b) = "n 'n(~x; R~ a; R~ b) ist exakt losbar; wir werDie Gleichung H
den jedoch folgende typische Naherung betrachten: Dabei ist wichtig, da
c mit dem Permutationsoperator Pab kommutiert, der die beiden
H
Protonen vertauscht!
c die Form
Fuhrt man noch R~ = R~ a ? R~ b , R = kR~ k, ein, so bekommt H
2
c = ? h ?
H
2m
e
wobei
e20
e20 ;
e20
?
+
4"0 k~x ? R~ =2k 4"0 k~x + R~ =2k 4"0 R
R~ s = 12 (R~ a + R~ b) = 0 :
2
Man hat fur die elektronische Grundzustandsenergie "b0(R) = EEl;0(R)+ 4"e00 R ,
wobei
c'0(~x; R~ ) = "b0(R)'0(~x; R~ ):
H
Betrachtet man e20=(4"0 R) als Storung, so hat man qualitativ folgende
Situation: Fur groe R ist das Elektron nur an ein Proton gebunden und
man hat die (negative) Wassersto{Atom{Bindungsenergie E1H = ?13; 6 eV .
Fur R ! 0 ist das Elektron bei Vernachlassigung der Coulomb-Abstoung
zwischen den Protonen an zwei positive Ladungen gebunden, mit der Bindungsenergie 4E1H .
Rechnerisch kann man die Coulomb-Abstoung naherungsweise folgendermassen berucksichtigen:
Ausgehend von den Wasserstoeigenfunktionen
R~ k
k
~
x
?
2
1 ?
1
~
2
a
va(~x; R) = ( a3 ) e
;
k
~x + R~2 k
? a
vb(~x; R~ ) = ( a1 3 ) 21 e
;
c symmetrische und
sind wegen der erwahnten Permutationssymmetrie von H
antisymmetrische Linearkombinationen von va und vb die richtigen Ausgangsfunktionen fur die Storungstheorie:
v = c(va vb) ;
 UND CHEMISCHE BINDUNG
9.5. MOLEKULE
165
c sind Normierungskonstanten, die wegen (v + ; v + ) = 1 aus den va, vb
(?) (?)
berechnet werden konnen:
1 = (v v ; v v )
a
b a
b
c2
Z
= 2 2 d3~x va(~x; R~ )vb(~x; R~ ) :
Das Integral S (R) = R d3~x v (~x; R~ )v (~x; R~ ) lat sich explizit berechnen:
a
b
2
S (R) = (1 + Ra + 3Ra2 ) e?R=a :
c bezuglich der Wellenfunktionen v+, v? erhalt
Fur die Erwartungswerte von H
man dann
c v )
" (R) = (v; H
c va vb )
= 2(1 1S (R)) (va vb; H
cva) + (vb; H
cvb) (va; H
cvb) (vb; H
cva)]
= 2(1 1S (R)) [(va; H
c
c
= (va; H1va) S ((Rva); Hvb) ;
cva) = (vb; H
cvb), (va; H
cvb) = (vb; H
cva), also
da (va; H
c
c
" (R) = (va; H1va) S ((Rva); Hvb) :
cva), (va; H
cvb) kann man berechnen:
Die Integrale (va; H
Z
cva) = E1H + e20 ? e20 d3~x jva(~x; R~ )j2
(va; H
4"0 R 4"0
k~x + R~ =2k
2
e20 e?2R=a ;
= E1H + 4"e0 R + 4"
0
0 a
Z
2
e20
cvb) = d3~x va(E1H + e0 ?
(va; H
4"0 R 4"0 k~x + R~ =2k )vb
2
2
e
e
0
0 (1 + R )e?R=a :
H
= (E1 +
)
S
(
R
)
?
4" R
4" a
a
0
Fur " (R) erhalt man (graphisch):
0
KAPITEL 9. SYSTEME MIT N TEILCHEN
166
"(R)
6
"? (R)
R-
"+ (R)
E1H
exaktes "+(R)
"+(R) hat ein Minimum, d. h. fuhrt zu einem stabilen Grundzustand des
Molekuls.
Qualitativer Grund fur den Unterschied zwischen "+ (R) und "?(R):
Bei der symmetrischen Wellenfunktion ist die Aufenthaltswahrscheinlichkeit
zwischen den beiden Kernen gro, bei der antisymmetrischen dagegen klein,
d.h. das Elektron zwischen den Kernen fuhrt zu deren Anziehung, das dort
fehlende Elektron dagegen zur Abstoung!
2. Das H2{Molekul
Hier hat man 2 Protonen und 2 Elektronen:
CO
@
I
C@
C @
1 C @
C
@ b1
a1
C 12
@
*
?
@ a2 C
?
C @
?
@
C
? a @ C b2
?
@C ? b
RC
@
? ?
2
?
~x
R~
~r
~r
~r
~r
R~
~r
R~
~x
r12
ra1
rb1
ra2
rb2
R
=
=
=
=
=
=
k~x1 ? ~x2k
k~x1 ? R~ ak
k~x1 ? R~ bk
k~x2 ? R~ ak
k~x2 ? R~ bk
kR~ a ? R~ bk
 UND CHEMISCHE BINDUNG
9.5. MOLEKULE
167
Der Gesamt{Hamiltonoperator ist, ohne Spinwechselwirkungen,
1 (P~ 2 + P~ 2) + 1 (~p 2 + ~p 2)
H = 2M
a
b
2me 1 2
e20 ( 1 + 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ) ;
+ 4"
0 R r12 ra1 ra2 rb1 rb2
c = H ? 1 (P~a2 + P~b2) :
H
2M
In der Born{Oppenheimer{Naherung genugen die Elektron{Wellenfunktionen
der Gleichung
2
e
c
(H ? 4"0 R ) 'n(r; R) = EEl;n(R) 'n (r; R)
0
und die Kern{Wellenfunktion der Gleichung
2
2
h
? 2M (a + b)u(R~ a; R~ b) + (EEl;n(R) + 4"e0 R )u(R~ a; R~ b)
0
~
~
= Eu(Ra; Rb) :
Die Translationsbewegung des Schwerpunkts R~ s = 21 (R~ a + R~ b ) und die Rotation um den Schwerpunkt kann man abspalten:
b
u(R~ a; R~ b) = eiK~ R~ s Ylm (; ') u(RR) ; ; ' : Polarwinkel von R~ ;
wobei dann
h2 ub00(R) + [ h 2l(l + 1) + E (R) + e20 ] ub(R)
?M
El;n
MR2
|
{z 4"0 R}
2K
~2
= (E ? h4M
)ub(R) :
Veff (R)
Falls Veff (R) bei R0 ein Minimum hat, so werden die Kerne gebunden. Fur
kleine Schwingungen kann man Veff (R) um R = R0 entwickeln.
Wichtig fur die Existenz von Kernbindungszustanden ist daher oensichtlich
das Verhalten von EEl(R). Dies kann man storungstheoretisch untersuchen,
KAPITEL 9. SYSTEME MIT N TEILCHEN
168
indem man in nullter Naherung von zwei unabhangigen Wasserstoatomen
ausgeht:
2
2
2
2
H0 = ? 2hm 1 ? 2hm 2 ? 4"e0r ? 4"e0 r :
e
e
0 a1
0 b2
Die beiden Grundzustandseigenfunktionen sind:
va(ra1) va(1) = ( a1 3 ) 12 e?ra1 =a ;
vb(rb2) vb(2) = ( a1 3 ) 21 e?rb2=a :
Aus diesen 1{Teilchenfunktionen kann man vier 2{Teilchenfunktionen bilden:
va(1)va(2); va(1)vb(2); vb(1)va(2); vb(1)vb(2) :
Entscheidend ist nun, da der Hamiltonoperator H invariant ist, sowohl gegenuber der Vertauschung Pab der Kernkoordinaten einerseits, sowie auch
gegenuber der Vertauschung P12 der Elektronen andererseits. Die Ausgangsfunktionen fur die Storungstheorie sollten daher solche Linearkombinationen
der obigen 4 Produkte sein, die Eigenfunktionen zu Pab und auch P12 sind:
v??
Pab v??
v++
Pab v++
v?+
Pab v?+
=
=
=
=
=
=
c? [va(1)vb(2) ? va(2)vb(1)] ;
?v?? ; P12v?? = ?v?? ;
(2)
c(1)
+ [va(1)vb (2) + va(2)vb (1)] + c+ [va(1)va (2) + vb(1)vb (2)];
v++ ; P12v++ = v++ ;
c [va(1)va(2) ? vb(1)vb(2)] ;
?v?+ ; P12v?+ = v?+ ;
Eine entsprechende Funktion v+? lat sich nicht bilden.
Bei dem zweiten Term in v++ sowie bei v?+ benden sich jeweils zwei Elektronen an einem Kern a bzw. b. Aufgrund der Diskussion beim H2+ {Ion wird man
vermuten, da vor allem die Zustande, bei denen die Elektronen zwischen den
Kernen sind, zur Bindung beitragen. Man versucht daher (Heitler{London)
, Storungstheorie mit den beiden Zustanden
v?? = c? [va(1)vb(2) ? va(2)vb (1)] ;
vb++ = c+ [va(1)vb(2) + va(2)vb(1)]
 UND CHEMISCHE BINDUNG
9.5. MOLEKULE
169
zu machen.
Die Normierungskonstanten c?, c+ bestimmen sich aus (v?? , v??) = 1, (vb++ ,
vb++ ) = 1 zu
1 = 2 2S 2 ;
c2
Z
S = d3~x1 va(1)vb(1) = S (R) :
c ? e20 bezuglich v?? und vb++ , so
Bildet man den Erwartungswert von H
4"0 R
erhalt man
E ?? (R) = 2E1H + 1C??SA2 ;
E ++ (R) = 2E1H + 1C++SA2 ; wobei
2 Z
e
C (R) = 4"0 d3~x1 d3~x2( r1 ? r1 ? r1 )jva(1)j2jvb(2)j2
0
12
b1
a2
Z
2
e0 d3~x d3~x ( 1 ? 1 ? 1 )v (1)v (1)v (2)v (2) :
A(R) = 4"
1 2 r
r r a b a b
0
12
b1
a2
Rechnerisch ist das Austauschintegral A negativ und die symmetrischen Elektron{Wellenfunktionen vb++ fuhren zur Bindung der Kerne:
"(R)
6
"?? (R)
2EH
R-
"++ (R)
1
exaktes "++(R)
Diskussion:
Bei genaueren Rechnungen mu man auch die "polaren" Zustande va(1)va(2),
(1)
vb(1)vb(2) berucksichtigen. Es ist dann c(2)
+ 0; 26 c+ .
KAPITEL 9. SYSTEME MIT N TEILCHEN
170
Spin und Pauli{Prinzip:
Fur die Gesamtwellenfunktion gilt:
(a; b; 1; 2) = '(R~ a; R~ b; ~x1;~x2) u(R~ a; R~ b ) (sa; sb) (s1; s2) ;
(sa; sb) : Kern{Spinwellenfunktion,
(s1; s2) : Elektron{Spinwellenfunktion.
Wegen des Pauli{Prinzips mu (a; b; 1; 2) antisymmetrisch bezuglich der Vertauschung von a und b und | unabhangig davon | bezuglich der Vertauschung von 1 und 2 sein.
Bezuglich der Vertauschung von a und b hat man folgende Situation:
u(R~ a; R~ b) = eiK~ R~ s Ylm (; ') u(RR) ;
R~ s ist symmetrisch bezuglich der Vertauschung von a und b, R~ aber antisymmetrisch und R symmetrisch.
Da Ylm (; ') ! (?1)l Ylm (; '), falls R~ ! ?R~ , so gilt
Pab u(R~ a; R~ b) = (?1)lu(R~ a; R~ b) :
Der Bindungszustand der Kerne tritt fur
'(R~ a; R~ b ; ~x1;~x2) vb++
auf, d. h. fur l = 0 mu (sa; sb) antisymmetrisch sein (Singulett): Parawassersto ; und fur l = 1 ist (sa; sb) symmetrisch (Triplett): Orthowassersto.
Kapitel 10
Zur Struktur der
Quantenmechanik
Vorbemerkung: Viele der folgenden U berlegungen sind unvollstandig sowie mathematisch heuristisch bzw. formal. Fur ausfuhrlichere Begrundungen sei auf
die Literatur am Anfang des Skriptums verwiesen.
10.1 Zeitliche Entwicklung von Zustanden und
Operatoren
Wir betrachten zunachst wieder einzelne Teilchen in einem Potential V (~x), das nicht
explizit von der Zeit abhangen soll. Die Schrodingersche Wellenfunktion (~x; t)
genugt der Gleichung
2
ih @t (~x; t) = H (~x; t) ; H = ? 2hm + V (~x) :
e
Die Operatoren Qj = Multiplikation mit xj sowie Pj = hi @x@ sind zeij
tunabhangig, die Zeitabhangigkeit steht in (~x; t). (Es sei denn, man betrachtet
~ 0 + m1 P~ t.)
solche explizit zeitabhangigen Groen wie Q
~ ; t) ein Operator, der von P~ , Q
~ und explizit von t abhangen
Es sei A = A(P~ ; Q
kann. Fur die Zeitabhangigkeit seines Erwartungswertes
< A > (t) ( (t); A (t)) bekommt man:
d < A > (t) = (@ ; A ) + ( ; @ A ) + ( ; A @ )
t
t
t
dt
= ? i1h (H ; A ) + i1h ( ; AH )+ < @tA > ;
und da H selbstadjungiert sein soll, gilt:
d < A > (t) = i ( ; [H; A] )+ < @ A > :
t
dt
h
171
KAPITEL 10. ZUR STRUKTUR DER QUANTENMECHANIK
172
Beispiel: es sei A = P~ = hi grad, dann hat man: @tP~ = 0 und
[H; P~ ] (~x; t) = [V (~x); P~ ] (~x; t) = V (~x)P~ (~x; t) ? P~ (V (~x) (~x; t))
= ? hi (gradV (~x)) (~x; t) ; d. h.
d < P~ > = ? < gradV > ;
dt
das Analogon zum klassischen dtd p~ = ?gradV .
Eine andere Beschreibung der zeitlichen Entwicklung bekommt man so: es sei
u0(~x) beliebig oft stetig dierenzierbar und Hnu0(~x), n = 0; 1; : : :, existiere, wobei
@tH = 0.
Das Anfangswertproblem
ih @t (~x; t) = H (~x; t) ; (~x; t = 0) 0(~x) = u0(~x)
hat dann die (formale) Losung
(~x; t) = e
? hi Ht
denn
u0(~x) =
1
n
X
(? hi )n Hn! u0 tn ;
n=0
1
n
X
(? hi )n Hn! u0 ntn?1
n=0
1
n+1
X
= ? hi (? hi )n Hn! u0 tn
n=0
= ? i H (~x; t) :
h
@t (~x; t) =
Die Transformation
0 = u0 (~x) !
(~x; t) = U (?t)u0(~x) ;
i Ht
U (t) = e h ;
ist eine unitare Transformation, denn von S. 26 wissen wir, da
Z
d3~x u0(~x)u0(~x)
=
=
Z
Z
d3~x (~x; t = 0) (~x; t = 0)
d3~x (~x; t = ) (~x; t = ) reell.

10.1. ZEITLICHE ENTWICKLUNG VON ZUSTANDEN
& OPERATOREN 173
Dies ist gleichbedeutend mit
(U (?t) 0; U (?t) 0) = (U (t) 0; U (t) 0) = ( 0; 0) ;
beliebig, d. h. U + (?t) U (?t) = 1, U + (t) U (t) = 1, und da U + (t) = U (?t), so
hat man
U +(t)U (t) = U (t)U + (t) = 1 :
Setzt man (~x; t) = U (?t) 0(~x) in den Erwartungswert < A > ein, so bekommt
man
0
< A > (t) = ( (t); A (t))
i tH
i tH
?
?
= (e h
0; A e h
0)
i tH ? i tH
= ( 0; e h Ae h
0) :
Dieser Ausdruck legt es nahe, zeitabhangige Operatoren
i
~A (t) = U (t) A U + (t) ; U (t) = e h Ht ;
zu denieren. Da dtd U (t) = hi HU (t), so gilt
d A~ (t) = i HA~ (t) ? i A~ (t)H + U (t)@ AU + (t)
| t{z
}
dt
h
h
@t A~
Im folgenden sei @tA = 0. Wir haben demnach die folgende Situation:
Entweder: die Operatoren sind zeitunabhangig und
alle Zeitabhangigkeit steckt in den Zustanden
(~x; t), deren zeitliche Entwicklung durch ih @t =
H gegeben ist.
Dies ist das sogenannte "Schrodinger{Bild".
Oder: Die Zustande 0(~x) sind zeitunabhangig und
die Operatoren A~ (t) hangen von der Zeit ab.
Die "Bewegungs"{Gleichung fur die Operatoren ist
d A~ (t) = i [H; A~ (t)].
dt
h
Dies ist das sogen. "Heisenberg{Bild".
KAPITEL 10. ZUR STRUKTUR DER QUANTENMECHANIK
174
Da ( (t); A (t)) = ( 0; A~ (t) 0), so ergeben beide "Bilder" dieselben Erwartungswerte und sind damit physikalisch aquivalent.
Zur Zeit t = 0 stimmen Zustande und Operatoren im Heisenberg{ und Schrodinger{Bild uberein.
Beispiel: harmonischer Oszillator:
H = h !(a+ a + 21 ) ; [a; a+ ] = 1 :
Wir haben
i Ht ? i Ht
i Ht ? i Ht i Ht ? i Ht
H = e h He h = h !(e h a+ e h e h ae h + 21 ) ;
Da
H = h !(~a+ (t)~a(t) + 21 ) ;
mit [~a(t); a~ + (t)] = 1 ;
[H; a~ (t)] = ?h !a~ (t) ; [H; a~ +(t)] = h !a~ + (t)
ist, so gilt
da~ (t) = ?i!a~ (t) ; da~ +(t) = i!a~ +(t) :
dt
dt
Diese Operator{Dierentialgleichungen haben die Losungen:
a~ (t) = e?i!ta~ (0) ; a~ + (t) = ei!ta~ +(0) ;
a~ (0) = a ; a~ (0) = a+ :
Fur Q~ (t) und P~ (t) bekommt man daraus
1 P(0) sin !t
Q~ (t) = Q(0) cos !t + m!
P~ (t) = P(0) cos !t ? m!Q(0) sin !t
Es sei @tA = 0, dann folgt aus [H; A~ (t)] = 0, da dtd A~ (t) = 0, d.h.
Jeder Operator A~ (t), (bzw. A), der mit H vertauscht, ist eine
Konstante der Bewegung, liefert also einen Erhaltungssatz !!
i
Da e? h Ht mit H vertauscht, so genugt es, da [H; A] = 0 fur t = 0, denn
U (t)[H; A]U ?1(t) = [H; A~ (t)] = 0.

10.1. ZEITLICHE ENTWICKLUNG VON ZUSTANDEN
& OPERATOREN 175
Im Heisenberg{Bild genugen die Operatoren Q~ j (t) und P~ j (t) den "kanonischen"
Operator{Gleichungen
d Q~ (t) = @ H ; d P~ (t) = ? @ H :
dt j
dt j
@ P~ j (t)
@ Q~ j (t)
Dies folgt aus den fundamentalen Vertauschungsrelationen
d A~ (t) = i [H; A~ (t)] ; [P~ (t); Q~ (t)] = h :
j
k
dt
h
i jk
Im folgenden wird P~ j (t) Pj , Q~ k (t) Q k gesetzt.
Beweisskizze: Multipliziert man PQ ? QP = hi jeweils von links und rechts mit
P und addiert das Resultat, so erhalt man
P2Q ? QP2 = 2 hi P = hi @@P P2 :
("Formale" Dierentiation)
Fortsetzung des Verfahrens gibt
n
Pn Q ? QPn = hi nPn?1 = hi @@PP :
Analog
n
Qn P ? PQn = ? hi nQn?1 = ? hi @@QQ :
Ist nun F(Q; P) in einer Potenzreihe in Q bzw. P entwickelbar, so hat man
F ; [F; P] = ? h @ F :
[F; Q] = hi @@P
i @Q
Mit F = H(Q; P) folgt dann
d Q = i [H; Q] = @ H ; d P = i [H; P] = ? @ H :
dt
h
@ P dt
h
@Q
Die Verallgemeinerung fur mehrere Freiheitsgrade folgt unmittelbar.
Bei Groen, in denen Produkte von P und Q { z.B. PQ oder Q2P etc. {
vorkommen, ist die Reihenfolge der Operatoren wichtig, da P und Q nicht
miteinander vertauschen!
Das Heisenberg{Bild ist besonders geeignet fur relativistische Verallgemeinerungen | Quantenfeldtheorien | . Da das Schrodinger{Bild die Zeit
besonders auszeichnet, ist dieses Bild fur die relativistische Quantenfeldtheorie i.a.
weniger vorteilhaft!
Heisenberg{Bild:
Q~ j (t) = Q~ (t; j ) ! F~ (t; ~x) : "Feldoperator" im Heisenberg{Bild
176
KAPITEL 10. ZUR STRUKTUR DER QUANTENMECHANIK
(Der "Index" ~x charakterisiert die unendlich
vielen Freiheitsgrade eines Quantenfeldes).
Auer dem Schrodinger{Bild und dem Heisenberg{Bild benutzt man noch oft, vor
allem in der Streutheorie, das sogenannte "Wechselwirkungs-" bzw. DiracBild". Bei ihm sind sowohl Zustande wie Operatoren zeitabhangig. Es sei H =
H0 + W , wobei H0 das System ohne Wechselwirkung W beschreibt. Die Zustande
im Schrodinger{Bild sind dann
? hi Ht
(~x; t) = e
0(~x) :
Verfolgt man nun die zeitliche Entwicklung von (~x; t) relativ zu H0 "ruckwarts",
so bekommt man
iH t
i H t ? i Ht
0
(~x; t) = e h
(~x; t) = e h 0 e h
0(~x) :
Falls sich nun die Operatoren zeitlich wie
iH t ?iH t
c
A (t) = e h 0 Ae h 0
entwickeln, so ergibt sich fur die Erwartungswerte:
c(t)(t)) = ( (t); A (t)) = ( 0; A~ (t) 0) :
((t); A
Die Bewegungsgleichungen (@tA = 0) sind jetzt:
c
dA
i [H ; A
c
=
dt
h 0 (t)] ; und
d(t)(~x; t :)
ih @t(~x; t) = W
Das Wechselwirkungsbild spielt eine wichtige Rolle bei der zeitabhangigen Storungstheorie (s. Kap. 11).
10.2 Translationen, Drehungen und
Galilei{Invarianz
10.2.1 Raumliche Translationen
Analog zu den gerade diskutierten zeitlichen Translationen
? hi H
(~x; t)
! (~x; t + ) = e
10.2. TRANSLATIONEN, DREHUNGEN, GALILEI{INVARIANZ
177
kann man die raumlichen Translationen ~x ! ~x + ~a behandeln: u(~x) sei beliebig
oft stetig dierenzierbar und falle fur groe k~xk genugend stark ab. Dann gilt fur
P~ = hi grad
+ hi ~a P~
U (~a) u(~x) = e
u(~x) = e~a grad u(~x)
X an1 1 an2 2 an3 3 n1 n2 n3
=
n !n !n ! @1 @2 @3 u(~x)
n1 ;n2 ;n3
1 2 3
= u(~x + ~a) :
Da
Z
d3~x u(~x ? ~a)u(~x ? ~a)
=
=
Z
Z
so ist
u(~x) ! U (~a)u(~x) = e
eine unitare Transformation.
d3~x u(~x + ~a)u(~x + ~a)
d3~x u(~x)u(~x) ;
+ hi ~a P~
u(~x) ;
Bei N Teilchen hat man analog mit
N
X
P~ hi gradn fur u(~x1; : : :;~xN ) :
n=1
+ i ~a P~
U (~a)u(~x1; : : : ;~xN ) = e h
u(~x1; : : :;~xN ) = u(~x1 + ~a; : : : ;~xN + ~a) :
Es sei nun
2
N
X
X
H = ? 2hm n + 21 Vjk (~xj ? ~xk ) ;
n=1
n
j;k=1
j 6=k
dann folgt wegen der Translations{Invarianz von H aus
Hu(~x1; : : : ;~xN ) = Eu(~x1; : : :;~xN ) ; da
Hu(~x1 + ~a; : : :;~xN + ~a) = Eu(~x1 + ~a; : : :;~xN + ~a) ;
oder
HU (?~a)u(~x1; : : :;~xN ) = EU (?~a)u(~x1; : : :;~xN ) :
Multiplikation von links mit U (~a) ergibt
U (~a)HU (?~a)u(~x1; : : :;~xN ) = Eu(~x1; : : :;~xN )
= Hu(~x1; : : :;~xN ) :
178
KAPITEL 10. ZUR STRUKTUR DER QUANTENMECHANIK
Da diese Beziehung fur alle Eigenfunktionen des selbstadjungierten Operators H
gelten soll, so hat man U (~a)HU (?~a) = H . Entwickelt man u(~x1 + ~a; : : :;~xN + ~a)
nach Potenzen von ~a bis zur Ordnung ~a, so sieht man, da aus
N
X
u(~x1 + ~a; : : :;~xN + ~a) = u(~x1; : : :;~xN ) + ~a gradnu + ~a H
N
X
n=1
gradnu = ~a E
N
X
n=1
n=1
N
X
gradn u = ~a
n=1
gradnHu ;
also
[HPj ? Pj H]u = 0 ; j = 1; 2; 3
folgt. Der Gesamt{Impuls P~ kommutiert also mit H und ist demnach eine Konstante der Bewegung (Erhaltungssatz!)
10.2.2 Drehungen
(s. auch Kap. 5) Hier sind die Drehimpuls{Operatoren Lj = hi jklxk @l die "Erzeugenden" von endlichen Drehungen:
' ist der Drehwinkel einer Drehung R~n(') um die Richtung ~n, ~n2 = 1. Ist (~x; t)
die Wellenfunktion von einem spinlosen Teilchen, so gilt
i L~ ~n '
(~x; t)
U (~n; ') (~x; t) e h
= (R~n(')~x; t) :
Da
Z
=
=
Z
Z
d3~x (R~n(')~x; t) (R~n(')~x; t)
d3(R?n 1 (')~x) (~x; t) (~x; t)
d3~x (~x; t) (~x; t) ;
so ist U (~n; ') ein unitarer Operator. Falls V (~x) = V (k~xk), so folgt
i L~ ~n ' ? i L~ ~n '
e h
He h
= H ; oder
~
[H;~n L] = 0 ; d.h. [H; Lj ] = 0 ;
d.h. die Lj sind Konstanten der Bewegung.
10.2. TRANSLATIONEN, DREHUNGEN, GALILEI{INVARIANZ
179
Teilchen mit Spin 21 h :
Ersetzt man ~n L~ in U (~n; ') durch ~n S~ , S~ = h2 (1; 2; 3), so erhalt man
i ~n S~ '
US (~n; ') = e h
= cos '2 + i~n ~ sin '2 ;
denn es gilt
i ~n S~ '
1 ~n ~ '
i
e h
= e12
X 1 i' j
=
( 2 ) (~n ~)j
j
!
j =0
1 (?1)j '
1
j
X
2j + i(~n ~ ) X (?1) ( ' )2j +1 ;
=
(
)
j =0 (2j )! 2
j =0 (2j + 1)! 2
wegen (~n ~)2j = 1 ) (~n ~)2j+1 = ~n ~ .
Aus
0 '
' (n2 + in1) sin '
+
in
sin
cos
3
2
2
2
B
cos '2 + i~n ~ sin '2 = B
@
?(n2 ? in1) sin '2 cos '2 ? in3 sin '2
folgt
det(US (~n; ')) = cos2 '2 + n23 sin2 '2 + (n21 + n22) sin2 '2
= 1;
also
Da auerdem
1
CC
A
det(US (~n; ')) = 1 :
US (~n; ')US+(~n; ') = (cos '2 + i~n ~ sin '2 )(cos '2 ? i~n ~ sin '2 )
= cos2 ' + (~n ~)2 sin2 '
2
2
= 1;
so ist US (~n; ') ein Element der Gruppe von unitaren 2 2{Matrizen mit
Determinante =1: SU(2).
Zusammenhang mit den Drehungen:
Die Matrix
x = ~x ~ = x +x3ix x1??xix2
1
2
3
ist eine hermitesche Matrix, mit
det x = ?~x 2 ; Sp x = 0 :
!
180
KAPITEL 10. ZUR STRUKTUR DER QUANTENMECHANIK
Die Matrix
US (~n; ') x US+ (~n; ')
ist wiederum hermitesch und hat die Spur 0, da
(US x US+ )+ = US++ x+ US+ = US x US+ ;
Sp (US x US+ ) = Sp (US+ US x ) = Sp (x) ;
d. h. man kann
US (~n; ') x US+ (~n; ') = cx = ~xb ~
setzen, wobei ~xb = A(~n; ')~x eine lineare Transformation der xj ist. Da
?~xb 2 = det(xb) = det(US (~n; ') x US+ (~n; '))
= det US det US+ det x = det x
= ?~x 2
gilt, so ist A(~n; ') ist eine Drehmatrix: A(~n; ') = R~n(')
Jeder unitaren 2 2{Matrix US (~n; ') mit Determinante 1 ist eine 3{dim. Drehmatrix R~n(') zugeordnet!
Beispiel:
~n = (0; 0; 1) ;
0 '
1
i
B e 2 0 CC
B@
C
US = cos '2 + i3 sin '2 = B
?i '2 A
0 e
i' !
x
(
x
?
ix
)
e
3
1
2
+
US x US =
; so da
(x1 + ix2)e?i'
?x3
xb1 = x1 cos ' + x2 sin '
xb2 = ?x1 sin ' + x2 cos ' ;
xb3 = x3 :
Aber: den Matrizen US und ?US ist dieselbe
Drehmatrix R~n(') zugeordnet, wie man unmittelbar aus US (~n; ') x US+ (~n; ') = xb sieht. Man kann umgekehrt
zeigen, da jeder Drehmatrix zwei unitare Matrizen US und ?US entsprechen, z.B.
hat man fur ' = 2 R~n (2) = 13, aber US (~n; 2) = ?12 und US (~n; 4) = 12.
Topologisch bildet die Gruppe SU(2) eine
zweifache U berlagerung der Drehgruppe!
Aus den Eigenschaften der Pauli{Matrizen folgt, da
US (~n; ') ~ US+ (~n; ') = ~n(~n ~) ? ~n (~n ~) cos '
+ ~n ~ sin ' :

10.3. INVARIANZ GEGENUBER
BEWEGUNGS{ (ZEIT{)UMKEHR
181
!
(
~
x
;
t
)
+
e
Ist (~x; t) =
ein zweikomponentiger Spinor, so transformiert er sich
? (~x; t)
bei einer Drehung ~x ! ~x^ = R~n (')~x folgendermaen
e(~x; t) ! be(~x) = US (~n; ') e :
10.2.3 Galilei{Transformationen
Hier transformieren sich die Koordinaten so: ~x ! ~x + ~ut, t ! t. Ist nun (~x; t)
2
eine Losung der freien Schrodinger{Gleichung ? 2hm = ih @t , so ist (~x ? ~ut; t)
e
keine Losung, da
ih dtd (~x ? ~ut; t) = ih (@t ? ~u grad ) :
Man kann die Galilei{Invarianz jedoch retten, in dem man die Phase von | wie
bei den Eichtransformationen | mittransformiert:
i m(~u ~x ? 1 ~u2t)
2
(~x; t) ! e h
(~x ? ~ut; t) :
Diese Transformationen lassen ebenfalls das Skalarprodukt ( 1; 2) invariant. Bei
mehreren Teilchen mit wechselseitigen Potentialen transformiert sich die (freie)
Schwerpunkts{Wellenfunktion in der obigen Weise, die Relativ{Koordinaten ~xj ? ~xk
sind invariant.
10.3 Invarianz gegenuber Bewegungs{
(Zeit{) Umkehr
In der klassischen Mechanik ist die "Zeit"{ oder "Bewegungs"{Umkehr deniert
durch
: ~x(t) ! ~x (t) = ~x(?t) ; t ! ?t ;
~p(t) ! p~ (t) = m dtd ~x (t) = ?~p(?t) ;
d. h. die durch ~x , p~ beschriebene Bahn ist geometrisch dieselbe wie die durch ~x,
~p beschriebene, sie wird nur in umgekehrter Richtung durchlaufen.
Die Newtonschen (Lagrangeschen) Bewegungsgleichungen sind i. a. invariant
gegenuber der Transformation .
Quantenmechanisch sollte gelten:
Qj = Qj ; Pj = ?Pj (Schrodinger{Bild!)
KAPITEL 10. ZUR STRUKTUR DER QUANTENMECHANIK
182
Ware quantenmechanisch eine lineare Transformation, d.h. wurde gelten
(1A + 2B) = 1A + 2B ; (AB) = A B ;
so wurde folgen:
1: [Pj; Qk ] = [Pj ; Qk ] = ( hi jk ) = hi jk ;
2: [Pj; Qk ] = [?Pj ; Qk ] = ? hi jk : Widerspruch!
Der Widerspruch wird beseitigt, falls eine antilineare Transformation ist:
(1A + 2B) = 1A + 2B ; (AB) = A B ;
~ ) = H(?P~ ; Q
~ ) = H(P~ ; Q
~ ), z.B. bei
da dann ( hi jk ) = ? hi jk ist ! Es sei H (P~ ; Q
2
H = 21m P~ + V (Q~ ), dann gilt
i
i t
Ht
? H
U (t) (e h ) = e h
=e
? hi Ht
= U (?t) :
Der Operation entspricht ein antiunitarer Operator Ub (), mit folgenden Eigenschaften:
Ub (1 1 + 2 2) = 1Ub 1 + 2Ub 2 ;
(Ub 1; Ub 2) = ( 2; 1) = ( 1; 2) :
Fur ein Teilchen ohne Spin deniert man
Ub () (~x; t) (~x; t) = (~x; ?t) ;
also: Ub 2() = 1 ; Ub () = Ub ()?1 :
Ist H = H, so ist mit (~x; t) auch (~x; t) eine Losung von ih @t = H . Dies
bedeutet, da sowohl <e und =m seperat Losungen der Schrodinger-Gleichung
sind.
Ferner gilt
(Ub ()Qj Ub ()?1) (~x; t) = Ub ()xj (~x; ?t)
= xj Ub () (~x; ?t)
= xj (~x; t) ;

10.3. INVARIANZ GEGENUBER
BEWEGUNGS{ (ZEIT{)UMKEHR
183
und
(Ub ()Pj Ub ()?1) (~x; t) = (Ub () hi @j ) (~x; ?t)
= ? hi Ub ()@j (~x; ?t)
= ? hi @j (~x; t) ;
d.h.
Ub ()Qj Ub ()?1 = Qj ; Ub ()Pj Ub ()?1 = ?Pj ;
aus beiden folgt
Ub ()Lj Ub ()?1 = ?Lj :
H heit reell, falls Ub ()HUb ()?1 = H, z.B. H = 21m P~ 2 + q'(~x).
In einem magnetischen Feld mit Vektor{Potential A~ gilt dagegen, wegen
H(A~ ) = 21m (P~ ? qc A~ )2 + q'(~x) ;
da
Ub ()H(A~ )Ub ()?1 = H(?A~ ) 6= H(A~ ) :
Im Gegensatz zu einem aueren elektrischen Feld bricht ein aueres magnetisches
Feld die Invarianz gegenuber Zeitumkehr!
Mit Spin der Elektronen:
Sind 1B und 1S die Einheits{Operatoren
im Orts{ bzw. Spinraum, so hat man jetzt
!
auf die e(~x; t) =
+ (~x; t)
? (~x; t)
wirkenden "Produkt"{Operatoren :
(Qj 1S ) ; (Pj 1S ) ; (1B Sj ) ; wobei
(Qj 1S ) = Qj 1S ; (Pj 1S ) = ?Pj 1S und
(1B Sj ) = ?1B Sj
gelten sollen.
Bezeichnen wir die komplexe Konjugation von oben mit K; K2 = 1, so gilt
K(Qj 1S )K = Qj 1S ; K(Pj 1S )K = ?Pj 1S ;
KAPITEL 10. ZUR STRUKTUR DER QUANTENMECHANIK
184
und
K(1B S1 )K = 1B S1 ;
K(1B S2 )K = ?1B S2 ;
K(1B S3 )K = 1B S3 ;
da 1 und 3 reell sind , 2 rein imaginar ist!
Deniert man nun (wegen 212 = ?1, 232 = ?3, 222 = 2!)
Ub () = K(1B 2) ;
so gilt
Ub ()(Qj 1S )Ub ()?1 = Qj 1S ;
Ub ()(Pj 1S )Ub ()?1 = ?Pj 1S ;
Ub ()(1B Sj )Ub ()?1 = ?1B Sj ;
wobei jetzt
Ub 2() = K(1B 2) K(1B 2) = ?(1B 2)2 = ?1B 1S :
Fur N Elektronen bekommt man analog
Y
Ub () = K (1(Bn) 2(n)) ; Ub ()2 = (?1)N :
N
n=1
Diese Relation hat folgende wichtige Anwendung:
Der Hamilton{Operator H habe die Eigenschaft
Ub ()HUb ()?1 = H
sowie den Eigenwert E , H e(~x1; : : : ;~xN ) = E e. Dann sind
e und Ub () e fur ungerades N linear unabhangig und E ist
mindestens 2{fach entartet.
Beweis:
sowie
H(Ub () e) = Ub ()(H e) = E Ub () e ;
(Ub () e; Ub () e) = ( e; e) = 1 ;
(Ub e; e) = (Ub 2 e; Ub e) = (?1)N ( e; Ub e)
= (?1)N (Ub e; e) :
10.4. FORMINVARIANZ (ZUSAMMENFASSUNG)
185
Das bedeutet Ub () e ist zu e orthogonal, falls N ungerade, gehort aber zum selben
Eigenwert E .
In einem aueren elektrischen Feld sind die Energie{Niveaus
einer ungeraden Anzahl von Elektronen also immer mindestens 2{fach entartet. Die Entartung kann durch Anlegen
eines Magnetfeldes aufgehoben werden!
10.4 Zusammenfassung der wichtigsten Elemente
bei der Forminvarianz der Schrodinger{Gleichung gegenuber Transformationsgruppen
Es sei (~x1; s1; : : : ;~xN ; sN ; t) (~x; s; t) die Wellenfunktion eines N {Teilchen{
Systems und genuge der Gleichung
ih @t (t;~x; s) = H (t;~x; s)
wobei
H = H((~x1; : : :;~xN ; ~p1 = hi grad1; : : :; ~pN = hi gradN ;~s1; : : : ;~sN )
Funktion der Orts{, Impuls{ und Spin{Operatoren, ~x (~x1; : : : ;~xN ),
~p (~p1; : : : ; p~N ), ~s (~s1; : : :;~sN ) ist. Es sei nun G = fgg eine Transformationsgruppe, deren Elemente g die Groen ~xj , p~j = hi gradj , ~sj und t in neue transformieren:
~
~
~
T (g) : x~bbi = fi(~g; ~x; p~; t) ; pbbi = ~gi (g; ~x; ~p; t) ;
si = hi(g; ~s) ;
t = k(g; t) ;
wobei fur g = e (Gruppen{Eins) die identischen Transformationen gelten sollen:
f~i(g = e; ~x; ~p; t) = ~xi ; ~gi(g = e; ~x; ~p; t) = p~i ;
~hi(g = e; ~s) = ~si ; k(g = e; t) = t :
T (g) bezeichnet die Gesamtheit aller Transformationen
~xi ! ~xbi ; ~pi ! ~pbi ; ~si ! ~sbi ; t ! tb :
T (g?1) T ?1(g) sei die Umkehrtransformation.
186
KAPITEL 10. ZUR STRUKTUR DER QUANTENMECHANIK
Ferner werde die (2s1 + 1) (2sN + 1){komponentige Wellenfunktion (~x; s; t)
so transformiert:
b(T (g)[~x; s; t]) b(~xb; sb; tb)
= A(g) (~x; s; t) ;
wobei A(g) eine (2s1 + 1) (2sN + 1) mal (2s1 + 1) (2sN + 1){Matrix ist !
Durch die Transformation T (g) der ~xi, p~i , ~si, t wird der Hamilton{Operator
c(~xb; ~pb; ~sb; tb) transformiert. Bei beliebigen
H(~x; ~p;~s; t) in einen anderen Operator H
c(~xb; ~pb; ~sb; tb) im allg. eine andere Funktion der ~xb, ~pb, ~sb, tb sein
Transformationen wird H
als H(~x; p~;~s; t) Funktion der ~x, ~p, ~s, t ist.
c als FunkEntscheidend sind jedoch die Transformationen, bei denen H
tion der ~xbi, ~pbi, ~sbi , tb dieselbe Form hat wie H(~x; p~;~s; t), d. h. fur die gilt:
c(~xb; ~pb; ~sb; tb) = H(~xb; ~pb; ~sb; tb) ;
H
Man sagt dann, da H "forminvariant" gegenuber den Transformationen T (g)
ist und die Gruppe G heit "Symmetriegruppe" von H .
b(~xb; sb; tb) = A(g) (T ?1(g)[~xb; sb; tb])
ist dann eine Losung von
ih @bt b(~xb; sb; tb) = H(~xb; ~pb; ~sb; tb) b(~xb; sb; tb) :
In dieser Gleichung kann man die " c "{Zeichen uber den unabhangigen Variablen
auch weglassen | wegen der Forminvarianz von H | , so da
ih @t b(~x; s; t) = H(~x; ~p;~s; t) b(~x; s; t) :
Da
b(~x; s; t) = A(g) (T ?1(g)[~x; s; t]) ;
so ist bei Forminvarianz von H mit (~x; s; t) auch A(g) (T ?1(g)[~x; s; t]) eine Losung
der Schrodinger{Gleichung ih @t = H , d. h. T (g) erzeugt neue Losungen! Falls
auch noch ( b1; b2) = ( 1; 2) oder ( b1; b2) = ( 2; 1), so handelt es sich bei T (g)
um eine unitare oder antiunitare Transformation.
Beide lassen die U bergangswahrscheinlichkeiten !1!2 = j( 2; 1)j2 invariant.
Bei den Gruppen G kann es sich um "kontinuierliche" oder "diskrete" handeln.
Bei den kontinuierlichen hangen die Gruppenelemente g von einem oder
mehreren kontinuierlichen Parametern a1; : : : ; ar ab: g = g(a1; : : : ; ar).
Beispiele: Translationen, Drehungen, Galilei{Transformationen.
Beispiele fur diskrete Gruppen: Permutationen, Spiegelungen.
Die unitaren (antiunitaren) Transformationen im Hilbertraum, die
mit H vertauschen, lassen die Struktur der Bewegungsgleichungen ungeandert. Sie entsprechen kanonischen Transformationen in der Mechanik,
welche die Lagrange{Funktion forminvariant lassen.
10.5. DER QUANTENMECHANISCHE HILBERT{RAUM
187
10.5 Der quantenmechanische Hilbert{Raum
Die folgenden Bemerkungen sind unvollstandig. Eine zusammenhangende Diskussion ndet sich in den unten angegebenen Buchern!
1. Die quantenmechanischen Zustande (z.B. (~x; t) fur 1 Teilchen) bilden einen
linearen Raum, d. h. sind 1 und 2 physikalisch realisierbare Zustande, so
sind es auch 1 1 + 2 2, wobei 1 ; 2 komplex sein konnen (Superpositionsprinzip). Das Superpositionsprinzip gilt nicht vollig uneingeschrankt:
Zustande mit verschiedenen elektrischen Ladungen (z. B. Proton und Neutron) und von Teilchen mit ganzzahligem und halbzahligem Spin sind nicht
superponierbar.
2. Im Raum der Zustande ist durch
Z
( 2; 1) = d3~x 2(~x; t) 1(~x; t)
ein Skalarprodukt deniert, mit dessen Hilfe die physikalischen Aussagen
formuliert werden konnen: War das System im Zustand 1 (z.B. Eigenzustand
zu L1), so ist die Wahrscheinlichkeit dafur, bei einer unmittelbar folgenden
Messung das System im Zustande 2 (z.B. Eigenzustand zu L2) zu nden,
durch
w1!2 = j( 2; 1)j2
gegeben. Mathematisch wird der Raum der Zustande durch das Skalarprodukt ( 1; 2) zu1 einem normierten Raum, wobei die "Norm" k k von durch
k k +( ; ) 2 deniert ist! A hnlich wie im Euklidischen kann man mittels
der Norm "Konvergenz" etc. denieren: die Folge f n; n = 1; : : :g konvergiert
gegen , falls nlim
!1 k n ? k = 0. Die Folge f n g heit "Cauchy{Folge", falls
fur beliebiges > 0 ein N () existiert, so da
k
n1
?
n2 k < ; fur n1; n2 > N () :
Falls zu jeder Cauchy{Folge im Raum ein Grenzelement gehort (wie im Rn!),
so heit der Raum vollstandig. Der Raum der stetigen Funktionen ist nicht
vollstandig (s. Literatur)! Jedoch kann man zeigen (Riesz{Fischer), da der
Raum der quadratintegrablen Funktionen vollstandig ist.
Denition: ein Vektorraum mit Skalarprodukt, der vollstandig ist, heit Hilbert{Raum H.
Eine Untermenge des Hilbert{Raumes heit dicht in H, falls die Menge aller
Grenzelemente H selbst ist. Gibt es abzahlbare Untermengen, die dicht sind,
so heit H separabel.
Die quantenmechanischen Hilbert{Raume sind separabel.
188
KAPITEL 10. ZUR STRUKTUR DER QUANTENMECHANIK
10.5.1 Operatoren
: Den physikalischen Groen wie Ort, Impuls, Drehimpuls, Energie etc. entsprechen
selbstadjungierte Operatoren (s. Literatur) im Hilbertraum, und die moglichen
Mewerte bilden das "Spektrum" der Operatoren. Bei endlich{dimensionalen Matrizen (wie z.B. beim Drehimpuls) ist das Spektrum "diskret", d.h. es gibt nur
endlich viele verschiedene Eigenwerte und die zugehorigen Eigenvektoren liegen im
Hilbertraum. Anders dagegen die Operatoren mit kontinuierlichem Spektrum, wie
z.B. die Impulsoperatoren, Pj = hi dxd , j = 1; 2; 3; Die zugehorigen "Eigenfunktioj
i ~p ~x
?
nen", die ebenen Wellen ep(~x) = (2h )?3=2e h , sind nicht quadratintegrabel
und gehoren damit nicht zum Hilbertraum. Die mathematische Theorie wird hier
aufwendiger (s. Literatur).
Wichtige Konzepte im Zusammenhang mit selbstadjungierten Operatoren und
den ihnen zugeordneten Observablen sind die folgenden:
1. Vollstandiger Satz von kommutierenden "Observablen".
Es sei A1 ein selbstadjungierter Operator mit Eigenwerten aj (1). Sind die
Eigenwerte nicht entartet, d. h. gehort zu jedem aj1 (1), j1 = 1; 2; : : :, genau
ein ein{dimensionaler Eigenvektorraum mit Eigenfunktion uj1 , so ist man
fertig. Im allgemeinen werden die Eigenwerte jedoch entartet sein. Dann
sucht man einen zweiten Operator A2, der mit A1 kommutiert: A2A1 =
A1 A2.
Man kann dann die Eigenvektoren von A2 so wahlen, da sie gleichzeitig
Eigenvektoren von A1 sind:
A2uj1 = aj2 (2)uj1 :
Im allgemeinen werden zu einem j1 verschiedene aj2 (2) gehoren, mit Eigenvektoren uj1 j2 , d. h. die ursprungliche Entartung wird reduziert.
Man setzt das Verfahren so lang fort, bis man einen Satz (A1 ; : : :; Ag ) von
selbstadjungierten Operatoren A , = 1; : : : ; g, mit folgenden Eigenschaften hat:
Je zwei der A kommutieren miteinander. Die A haben die Eigenwerte aj ( )
und die gemeinsamen Eigenvektoren uj , j = (j1; : : :; j ; : : : ; jg ), wobei die uj
jeweils fur festes j einen 1{dimensionalen Vektorraum aufspannen.
Verschiedene uj sind zueinander orthogonal und die uj bilden ein vollstandiges System, d. h. jedes 2 H lat sich entwickeln
X
= cj uj ; cj = (uj ; ) :
j
(Man beachte, da j = (j1; : : :; jg ) ein Multi{Index ist!)
10.5. DER QUANTENMECHANISCHE HILBERT{RAUM
189
Man nennt die A einen vollstandigen Satz von kommutierenden Observablen!
Beispiel: Wassersto{Atom:
A1 = H ; A2 = L~ 2 ; A3 = L3 ; A4 = S3
2. Projektionsoperatoren
Sei M H ein Unterraum des Hilbertraumes H und M? das orthogonale
Komplement von M , d. h. M? besteht aus der Gesamtheit aller Vektoren,
die auf allen Elementen von M senkrecht stehen. Wie M ist auch M? ein
Unterraum von H, d. h. ein separabler Hilbertraum, d.h. abgeschlossen und
vollstandig.
Jeder Vektor 2 H lat sich eindeutig in zwei Komponenten M und M?
zerlegen:
= M + M ? ; M 2 M ; M ? 2 M? :
Der Projektionsoperator PM auf den Unterraum M ist so deniert:
PM = M fur alle 2 H :
Falls 2 M , dann ist PM = , und falls 2 M?, dann ist PM = 0.
Umgekehrt projeziert 1 ? PM auf M? !
Projektionsoperatoren P haben die Eigenschaften:
P+ = P, P2 = P :
P hat die Eigenwerte 1 und 0.
Beweis: Seien 1, 2 beliebig, dann gilt
( 2; PM 1) = ( 2M + 2M? ; 1M ) = ( 2M ; 1M )
= (PM 2; 1) :
P2 = P folgt unmittelbar aus der Denition.
Sei P = , dann ist P2 = 2 = P = , da P2 = P, d. h. 2 = ,
also = 1 oder 0. Die Eigenvektoren zu = 1 sind die Elemente von M , die
zu = 0 die in M? .
P1 und P2 seien Projektionsoperatoren auf die Unterraume M1 und M2, dann
gilt:
Falls M1 orthogonal zu M2 ist, dann hat man
P1P2 = P2 P1 = 0 :
Falls M1 M2, so schreibt man P1 P2 , oder P2 P1 ; in diesem Fall
gilt P1P2 = P1, P2P1 = P1. Falls P1 P2 = P2 P1, dann ist auch P1P2
Projektionsoperator; er projeziert auf M1 \ M2. Falls P1 und P2 orthogonal
sind, d. h. P1 P2 = 0, dann projeziert P1 + P2 auf M1 M2.
Falls P1 P2, dann projiziert P2 ? P1 auf das orthogonale Komplement von
M1 in M2.
KAPITEL 10. ZUR STRUKTUR DER QUANTENMECHANIK
190
Anwendungen von Projektionsoperatoren
1. Es sei A ein selbstadjungierter Operator mit den Eigenwerten aj | diese kon-
nen entartet sein | und zugehorigen Eigenvektoren uj , die einen Unterraum
Mj aufspannen.
Es seien Pj die Projektionsoperatoren auf die Unterraume Mj . Dann gilt
X
Pj Pk = Pk Pj = jk Pj ; Pj = 1
X
A = aj Pj : Spektraldarstellung von A.
j
Auj = aj uj
Eine Funktion des Operators A wird deniert durch
X
f (A) = f (aj )Pj :
j
Es sei H ein n{dimensionaler Vektorraum, A eine hermitesche Matrix mit
nicht entarteten Eigenwerten aj und Eigenvektoren
1
0
c
(
j
)
1
B .. CC
uj = B
@ . A ; ci(j ) : komplex.
cn (j )
Das Skalarprodukt sei wie folgt deniert:
0
1
c
(
k
)
1
B .. CC
u+j uk = (c1(j ); : : : cn(j )) B
@ . A
cn (k)
X ci (j )ci(k) = jk :
=
j
Dann gilt
1
c1(j ) C
... C (c(j ); : : :c (j ))
n
A 1
cn(j )
1
c1(j )c1(j ) c1(j )cn (j ) C
...
...
CA ;
cn(j )c1(j ) cn(j )cn (j )
da Pj uk = (uj u+j ) uk = uj (u+j uk ) = jk uj :
0
B
Pj = uj u+j
= B
@
(keine Summation uber j )
0
BB@
10.5. DER QUANTENMECHANISCHE HILBERT{RAUM
Ferner
191
Pj Pk = uj u+j uk u+k = uk jk u+k = jk uj u+j
= jk Pj :
Ist aj entartet, mit zugehorigen orthonormalen Eigenvektoren
uj;s, s = 1; : : : ; mj , dann lautet der Projektionsoperator auf den Eigenvektorraum
m
X
Pj = ujs u+js :
s=1
2. Ist ein System im Zustand , so hat man fur den Erwartungswert < A >
der Observablen A:
< A > = ( ;A ):
Die Wahrscheinlichkeit w(aj ; ) dafur, bei einer Messung der Observablen A
am System im Zustand den Eigenwert aj zu messen, ist (s.S. 52):
mj
X
w(aj ; ) = j(ujs; )j2 ;
s=1
wobei ujs, s = 1; : : : ; mj , die orthonormierten Eigenvektoren von A zum Eigenwert aj sind. Die obige Formel fur die U bergangswahrscheinlichkeit folgt
aus der Entwicklung von nach Eigenfunktionen von A:
X
cj;s ujs ; cj;s = (ujs ; ) ;
=
j;s
X
Pk = ck;s uk;s ;
s
X
X X
A = ak Pk = ak ck;suk;s :
k
( ;A ) =
d. h. wir haben
X
j
k
aj ( ; P j ) =
X
j
s
aj w(aj ; ) ;
w(aj ; ) = ( ; Pj ) :
Ist selbst wieder Eigenzustand eines selbstadjungierten Operators B, mit
dem vollstandigen System von Eigenfunktionen 1; : : : ; l = ; : : : dann gilt
X
=P = P j ;
d. h.
j
( ; A ) = (X
P ; AP )
= (P j ; AP
j
X
= ( j ; P AP
j
Sp (P ; AP ) :
j)
j)
192
KAPITEL 10. ZUR STRUKTUR DER QUANTENMECHANIK
Da allgemein Sp (AB) = Sp (BA) ist, vorausgesetzt sie existieren, so folgt
wegen P2 = P schlielich:
< A > = Sp (AP )
w(aj ; ) = Sp (Pj P )
Vorteil: Wegen der Invarianz
der Spur gegenuber unitaren Basis{TransformaP
tionen j ! U j = ajk k , hat man nun eine vollig invariante Darstellung
von < A > und w(aj ; ).
10.5. DER QUANTENMECHANISCHE HILBERT{RAUM
193
10.5.2 Diracsche Notation fur Zustandsvektoren, Skalarprodukt und Projektions{Operatoren
Eine Spektraldarstellung gilt fur alle selbstadjungierten Operatoren (s. Literatur), auch fur solche mit kontinuierlichem Spektrum.
Dirac hat in diesem Zusammenhang eine formale Schreibweise entwickelt, die
diesem nichttrivialen Sachverhalt Rechnung tragen soll: Oben, unter 1) hatten wir
am Beispiel des n{dimensionalen Vektorraumes gesehen, da
+
Auj = aXj uj ; u+j uX
k = jk ; uj uj = P j ;
A = aj Pj ; Pj = 1 :
Dirac:
uj jaj > ; u+j < aj j
u+j uk < aj jak > ; uj u+j = jaj >< aj j
X
X
A = aj jaj >< aj j ; jaj >< aj j = 1
( ; A ) = < jAj >
< aj j ist der zu jaj > "duale" Vektor!
Diese Notation wird nun auf alle Elemente eines
quantenmechanischen Hilbert{Raumes ubertragen:
Bei kontinuierlichen Eigenwerten a, a0 von A normiert man so:
< a0ja >= (a0 ? a) ;
A = R da aja >< aj + Pj aj jaj >< aj j :
kontinuierliches
Spektrum
Beispiel: Ortsoperator (1{dimensional)
Qjx > = xjx > ; Q =
< x0jx > = (x0 ? x) ;
< x0jQjx > = x(x0 ? x) :
diskretes
Spektrum
Z +1
?1
dx xjx >< xj ;
Die Entwicklung eines Zustandes j > sieht dann so aus:
Z
j > = dx (x)jx > :
Z
0
< x j > = dx (x) < x0jx >= (x0) ;
KAPITEL 10. ZUR STRUKTUR DER QUANTENMECHANIK
194
d.h. (x) =< xj >: Orts{"Darstellung" von bzw. "Schrodinger{Darstellung" des Zustandes j >!
d (x), so folgt aus
Sei jp > "Eigenvektor" von P: Pjp >= pjp >; da P (x) = hi dx
Z
jp > = dx0 < x0jp > jx0 > ;
Z
d < x0jp >)(x ? x0) = h d < xjp > ;
p < xjp > = dx0 ( hi dx
i dx
also
i xp
< xjp >= c e h :
Da
Z
(x ? x0) =< xjx0 > = dp < xjp >< pjx0 > ;
Z
(wegen dp jp >< pj = 1 (formal)) ;
so gilt wegen
(x ? x0)
i p(x ? x0)
dp e h
=
= jcj22h (x ? x0) ;
jcj2
Z
da c = (2h )? 12 . Somit haben wir
ixp
1
< xjp >= p e h :
2h
Formale Interpretation:
Entwickelt man die Basisvektoren jp > nach den Basisvektoren jx >, so sind die
ebenen Wellen < xjp > die Entwicklungskoezienten!
Die "Matrix{Elemente" < x0jPjx > sind gegeben durch
< x0jPjx > =
also:
Z
dp < x0jPjp >< pjx >
i p(x0 ? x)
Z
1
= dp p 2 e h
i p(x0 ? x)
Z
d
1
h
= hi dxd 0 (x0 ? x) ;
= i dx0 dp 2h e h
< x0jPjx >= hi dxd 0 (x0 ? x) :
10.5. DER QUANTENMECHANISCHE HILBERT{RAUM
195
Seien jE > die Eigenvektoren von H,
HjE >= E jE > :
R
"Einschieben" von 1 = dxjx >< xj ergibt
Z
dx0Hjx0 >< x0jE >= E jE > :
Mit uE (x) < xjE > erhalt man
Z
dx0 < xjHjx0 > uE (x0) = EuE (x) :
1 P 2 + V (Q ) folgt daraus
Fur H = 2m
< xjV (Q)jx0 >= V (x0)(x ? x0)
sowie < xjP2jx0 >= ?h 2 dxd22 (x ? x0), und damit
Z
2 d2
0
0
0
0
dx0[? 2hm dx
2 (x ? x ) + V (x ) (x ? x )]uE (x ) = EuE (x)
oder (nach zweimaliger partieller Integration des kinetischen Termes sowie wegen
limx!1 )
2 d2
? 2hm dx
2 uE (x) + V (x)uE (x) = EuE (x) ;
d.h. die Schrodinger{Gleichung in der Ortsdarstellung!
Interpretation: Die Basisvektoren jE >, die Eigenvektoren von H, lassen sich
als Linearkombination der jx > darstellen, mit < xjE >= uE (x) als Entwicklungskoezienten:
Z
Z
jE >= dx < xjE > jx >= dx uE (x)jx >
Die uE (x) sind die Matrix{Elemente einer (formal!) unitaren Transformation von der Basis fjx >g zu der Basis fjE >g, denn aus < x0jx >= (x0 ?x)
folgt
Z
< E 0jE > = dx0 dx uE0 (x0) < x0juE (x)jx >
Z
= dx0 dx uE0 (x0)uE (x)(x0 ? x)
Z
= dx uE0 (x)uE (x)
= (E 0 ? E ) :
Die Darstellung der Groen in der Basis fjE >g, "Energie"{Darstellung auch
"Heisenberg{Darstellung", sieht folgendermaen aus:
< E 0jHjE >= E < E 0jE >= E(E 0 ? E )
196
KAPITEL 10. ZUR STRUKTUR DER QUANTENMECHANIK
((E 0 ?E ) bedeutet jk , falls E 0 und E zum Punktspektrum von H gehoren E 0 = Ej ,
E = Ek , (E 0 ? E ) meint die "{Funktion", falls E 0 und E zum kontinuierlichen
Spektrum gehoren)
Z
0
< E jQjE > = dx < E 0jQjx >< xjE >
Z
= dx x < E 0jx >< xjE >
Z
= dx uE0 (x) x uE (x) :
Analog:
Z
< E 0jPjE
> = dp u~E0 (p) p u~E (p)
u~E (p) = < pjE > :
10.6 Die Dichte{Matrix
Wir haben bisher nur solche quantenmechanischen Systeme diskutiert, die sich in
einem ganz bestimmten Zustand (~x; t), u(~x) etc. benden; dieser Zustand kann
naturlich als Linearkombination einer beliebigen Basis beschrieben werden. Das
System bendet sich jedoch in genau einem Zustand.
In vielen Fallen | z. B. bei atomaren Teilchen in einem Strahl, bzw. bei der
Thermodynamik von quantenmechanischen Systemen { wei man jedoch nicht, in
genau welchem Zustand sich ein System bendet, sondern man kann nur gewisse
Wahrscheinlichkeiten dafur angeben, das System in einem bestimmten Zustand anzutreen.
Quantitativ kann man eine solche Situation so beschreiben:
Es sei fuj ; j = (j1; : : : ; jg )g das vollstandige System von Eigenvektoren eines vollstandigen Satzes A = (A1; : : : ; Ag ) von kommutierenden, selbstadjungierten Operatoren. Projektionsoperatoren auf die von den uj aufgespannten, 1{dimensionalen
Unterraume seien
X Pj . Die Wahrscheinlichkeit dafur, das System im Zustand uj zu
nden, sei wj , wj = 1.
j
Der Operator | Dichte{Operator |
X
= wj Pj ;
j
hat u.a. folgende Eigenschaften:
+ = ; uj = wj uj ;
d.h. die uj sind Eigenfunktionen von zum Eigenwert wj , (uj ; uk ) = jk wj ,
X
X
(uj ; uj ) Sp = wj = 1 :
j
j
10.6. DIE DICHTE{MATRIX
197
Falls das System sich mit Sicherheit in dem Zustand uj bendet, d. h. falls wj = 1,
wk = 0, k 6= j , so ist Projektionsoperator:
= Pj ; 2 = :
Umgekehrt folgt aus 2 = , Sp = 1, da Projektionsoperator auf einen 1{
dimensionalen Unterraum ist. Man sagt dann, das System bende sich in einem
"reinen" Zustand, falls 2 = , und: es bende sich in einem "gemischten"
Zustand (in einem "Gemisch" oder "Gemenge"), falls 2 6= .
Das System bende sich in einem durch beschriebenen Zustand.
Ferner sei A~ der einer Observablen zugeordnete selbstadjungierte Operator mit
Eigenwerten ~ak und Eigenfunktionen u~k , wobei die a~k entartet sein konnen. Die
Wahrscheinlichkeit w(~ak ; ) dafur, bei einer Messung von A~ das System im Zustande
u~k anzutreen, ist dann gegeben durch
X
X
wj j(~uk ; uj )j2 = wj < ~ak jaj >< aj ja~k >
w(~ak ; ) =
j
j
X
< a~k jwj Pj ja~k >=< a~k j ja~k > :
=
j
Ist Pk Projektionsoperator auf den Eigenvektor{Unterraum von a~k , so kann man
auch schreiben:
w(~ak ; ) = Sp (Pk ) :
Fur den Erwartungswert von A~ im "Zustand" erhalt man daraus
X
X
< A~ > a~k w(~ak ; ) = a~k Sp (Pk )
k
k
X
=
Sp (~ak Pk ) = Sp (A~ ) ;
also
Beispiele:
k
< A~ >= Sp (A~ ) = Sp ( A~ ) :
1. Strahl von Teilchen mit Spin 12 h . Solch ein System besteht in der Regel aus
N unabhangig voneinander ("inkoharent") erzeugten Teilchen, von denen fur
jedes einzelne der Spin wie in Kapitel 7 durch eine 2{komponentige Wellenfunktion = c+ + + c? ? beschrieben wird.
Die allgemeinste hermitesche 2 2{Matrix mit der Spur 1 hat die Form
= 21 (1 + P~ ~) ;
!
1
1
+
P
P
?
iP
3
1
2
;
= 2 P + iP 1 ? P
1
2
3
P~ = (P1; P2; P3) : Polarisationsvektor ;
j : Pauli{Matrizen.
KAPITEL 10. ZUR STRUKTUR DER QUANTENMECHANIK
198
Da 2 = 14 (1 + jjP~ jj2 + 2P~ ~) und damit
Sp 2 = 12 (1 + jjP~ jj2) 1 ;
so mu
gelten.
jjP~ 2jj 1
Fur jjP~ jj2 = 1 gilt 2 = : reiner Zustand!
q
1
Die Eigenwerte von sind 2 (1 jjP~ jj2).
Sei nun ~n Einheitsvektor, ~n2 = 1. Dann ist
Sn = ~n S~ = 12 h~n ~
Komponente von ~S in Richtung ~n. Sn hat die Eigenwerte 12 h , da Sn2 = 41 h 2.
Die Projektionsoperatoren auf die beiden zugehorigen Eigenzustande +(~n)
und ?(~n) sind
P+ (~n) = 12 (1 + ~n ~) ; P? (~n) = 21 (1 ? ~n ~) ;
denn P2+ (~n) = P+ (~n), P2? (~n) = P? (~n), Sp (P (~n)) = 1,
P+ (~n) P? (~n) = 0. Es sei ein beliebiger Spinor (normiert). Dann
+(~n) = P+ (~n) ;
?(~n) = P? (~n) ;
Sn +(~n) = 21 h~n ~ 12 (1 + ~n ~) = 21 h P+ (~n) ;
Sn ?(~n) = 21 h~n ~ 12 (1 ? ~n ~) = ? 21 h P? (~n) ;
da (~n ~)2 = 1.
Wegen
(~n ~)(P~ ~) = ~n P~ + i~ (~n P~ ) ;
gilt Sp (~n ~ ) = ~n P~ , und daher
w+ (~n) Sp (P+ (~n)) = 21 (1 + ~n P~ ) ;
w? (~n) Sp (P? (~n)) = 21 (1 ? ~n P~ ) ;
< ~n S~ > = 21 h ~n P~ :

10.7. UNSCHARFE{RELATIONEN
199
~n P~ heit der Polarisationsgrad
des Strahles in Richtung ~n.
Spezialfalle:
(a) P~ = 0: der Strahl ist bezuglich jeder Richtung unpolarisiert.
(b) P~ = ~n: der Strahl bendet sich in einem reinen Zustand und ist vollstandig in Richtung ~n polarisiert.
(c) P~ = (0; 0; P3 ): Strahl ist nur in 3{Richtung polarisiert; falls P3 = 1, dann
handelt es sich um einen reinen Zustand, alle Spins zeigen nach oben.
Im allgemeinen hangt von den 3 reellen Parametern Pi ab, d.h. man braucht
3 unabhangige Messungen, um zu bestimmen!
2. Ein quantenmechanisches System bende sich in einem Warmebad der Temperatur T ; dann ist
?H=kT
(H; T ) = e ?H=kT ;
Sp (e
)
Herleitung in der Quantenstatistik.
10.7 Unscharfe{Relationen
Bei gegebener Dichte{"Matrix" sind die mittleren Schwankungen A und B
der selbstadjungierten Operatoren A und B deniert durch
1
A = +[< (A? < A >)2 >] 2 = +[< A2 > ? < A >2] 21 ;
B = +[< (B? < B >)2 >] 21 = +[< B2 > ? < B >2] 12 :
Es sei
=
X
j
wj juj >< uj j :
Mit A und B sind auch AB + BA und i(AB ? BA) selbstadjungiert, d. h.
(uj ; (AB + BA)uj ) und (uj ; i(AB ? BA)uj ) sind reell.
Aus der Schwarzschen Ungleichung ( 1; 1)( 2; 2) j( 1; 2)j2 folgt dann
(uj ; A2uj )(uj ; B2uj ) = (Auj ; Auj )(Buj ; Buj )
j(Auj ; Buj )j2
= j 21 (uj ; (AB + BA)uj ) ? 2i (uj ; i(AB ? BA)uj )j2
j 21 (uj ; [A; B]uj )j2 :
KAPITEL 10. ZUR STRUKTUR DER QUANTENMECHANIK
200
Ersetzt man A und B durch
A? < A > ; B? < B > ;
so erhalt man
(uj ; [A? < A >]2uj )(uj ; [B? < B >]2uj ) j 21 (uj ; [A; B]uj )j2 :
1
1
Betrachtet man nun wj2 (uj ; [A? < A >]uj ) 21 und wj2 (uj ; [B? < B >]uj ) 12 als
Komponenten von (unendlich dimensionalen) Vektoren, auf die man ebenfalls die
Schwarzsche Ungleichung anwenden kann, so folgt:
X
X
wj (uj ; [A? < A >]2 uj ) wk (uk ; [B? < B >]2 uk )
j
k
X
1
2
j wk (uk ; [A? < A >] uk ) 2 (uk ; [B? < B >]2uk ) 21 j2
k
X
1
j 2 wk (uk ; [A; B]uk )j2 ;
k
so da schlielich
(A)(B ) 21 j < [A; B] > j :
Dies ist die allgemeine "Unscharfe"{Relation fur zwei Operatoren im
Zustand .
Beispiel: A = P, B = Q, [P; Q] = hi , also
(P )(Q) 21 h :
Das Gleichheitszeichen gilt in der Schwarzschen Ungleichung ( 1; 1)( 2; 2) j( 1; 2)j2 genau dann, wenn 2 = 1. Angewandt auf 2 = (A? < A >)~u,
1 = (B ? < B >)~u, bedeutet dies
(A? < A >)~u = (B? < B >)~u :
Damit ferner aus dem 2. Teil der obigen Ungleichungen eine Gleichung wird, mu
(~u; ABu~) = ?(~u; BAu~) sein, d. h. ist rein imaginar: = i :
(A? < A >)~u = i (B? < B >)~u ; reell.
Fur gegebene A und B ist dies eine Bestimmungsgleichung fur u~.
Beispiel:
A = P = hi dxd ; B = Q = x ; < P >= p0 ; < Q >= x0 ;
10.8. WEITERE LITERATUR
201
Die Dierentialgleichung
d ? p )~u = i (x ? x )~u(x) ;
( hi dx
0
0
hat die Losung
i p x ? (x ? x )2
0
;
u~(x) = const: e h 0 e 2h
d. h. die Gauschen Wellenpakete haben die Eigenschaft (Q)(P ) = 12 h !
10.8 Weitere Literatur zur Struktur und Interpretation der Quantenmechanik
Neben der schon am Anfang von Kapitel 1 der Vorlesung aufgefuhrten Literatur sei
noch die folgende genannt, die vor allem die Diskussionen berucksichtigt, die es in
den letzten Jahren zur Interpretation der Quantenmechanik gegeben hat, insbesondere auch im Zusammenhang mit der sogen. "Bell'schen Ungleichung".
1. Proceedings of the International Symposium "Foundations of Quantum Mechanics in the Light of New Technology" (1983), ed. by S. Kamefuchi et al.,
Physical Society of Japan, Tokyo 1984.
2. Fundamental Questions in Quantum Mechanics, ed. by L.M. Roth and A.
Inomata, Gordon and Breach, New York etc. 1986.
3. Symposium on the Foundations of Modern Physics, ed. by P. Lahti and P.
Mittelstaedt, World Scientic, Singapore 1985.
4. Quantum Concepts in Space and Time, ed. By R. Penrose and C.J. Isham,
Clarendon Press, Oxford 1986.
5. Proceedings of the 2nd International Symposium "Foundations of Quantum
Mechanics in the Light of New Technology" (1986) , ed. by M. Namiki et al.,
Physical Society of Japan, Tokyo 1987.
6. J.S. Bell, Speakable and unspeakable in quantum mechanics, Cambridge University Press, Cambridge etc. 1987.
7. Quantum Implications, Essays in Honour of David Bohm, ed. by B.J. Hiley
and F.D. Peat, Routledge and Keagon-Paul, London etc. 1987.
8. D. Bohm, B.J. Hiley and P.N. Kaloyerou, Physics Reports 144(1987)321.
9. Quantum Mechanics Versus Local Realism, The Einstein-Podolsky-Rosen Paradox, ed. by F. Selleri, Plenum Press, New York and London 1988.
Kapitel 11
Storungstheorie zeitabhangiger
Prozesse
 ange sind tatsachlich nicht "stationar" sondern
Die meisten physikalischen Uberg
laufen in einem endlichen Zeitintervall ab, d.h. man mu die zeitabhangige Schrodinger{Gleichung bzw. zeitabhangige Operatoren zur Beschreibung des Systems benutzen. Wichtige Beispiele sind:
1. Emission und Absorption von Quanten (Licht etc.),
2. Zerfalle von Teilchen,
3. Streuprozesse.
In der Regel wird die fur die betrachteten Vorgange magebliche Wechselwirkung
V (t) erst zu einer Zeit t > ?T , T 0, wirksam und ist spater fur t > T nicht mehr
spurbar, d.h. wir haben:
V (t) = 0
fur
jtj > T 0
oder
V (t) V" (t) = e?"jtj V
mit " > 0
wobei im letzten Ausdruck V hochstens polynomial fur groe jtj anwachst.
11.1 Schrodinger{Bild
Es sei H = H0 + V (t). Die "innitesimale" Zeitentwicklung eines Schrodinger{
Zustandes S (t) ist dann gegeben durch:
ih @t S (t) = H S (t) :
Falls H nicht von der Zeit t abhangt, so ist die Zeitentwicklung von S (t0) zur
Zeit t0 nach S (t) zur Zeit t > t0 nach Abschnitt 10.1 gegeben durch die unitare
202

11.1. SCHRODINGER{BILD
203
Transformation:
S (t)
= U (t; t0) S (t0)
? hi H (t ? t0)
U (t; t0) = e
U (t0; t0) = 1:
Frage: wie sieht U (t; t0) aus, falls H explizit von der Zeit abhangt: H = H (t)?
In diesem Fall lat sich U (t; t0) formal so bestimmen: Aus S (t) = U (t; t0) S (t0)
folgt ih @t S (t) = ih @tU (t; t0) S (t0). Der Vergleich mit
ih @t S (t) = H S (t) = H U (t; t0) S (t0)
ergibt fur U (t; t0) die Dierentialgleichung:
ih @tU (t; t0) = H U (t; t0)
mit der Anfangsbedingung U (t0; t0) = 1. Die Dierentialgleichung lat sich formal
durch eine Reihe fur U (t; t0) losen: Zusammen mit der Anfangsbedingung ist sie
der folgenden Integralgleichung fur U (t; t0) aquivalent:
Zt
U (t; t0) = 1 + i1h dt0 H (t0) U (t0; t0):
t0
Die Losung dieser Integralgleichung lat sich in Form einer sogenannten "Neumannschen Reihe" angeben: Man setzt
U (0)(t; t0) = 1 ;
Zt
U (1)(t; t0) = 1 + i1h t dt1 H (t1) U (0)(t1; t0) ;
Z 0t
1
U (2)(t; t0) = 1 + ih dt2 H (t2) U (1)(t2; t0) ;
t
1 2 Z t
Z t2
Z 0t
1
= 1+
dt
H
(
t
)
dt
H
(
t
)
+
ih t0 1 1
ih t0 2 2 t0 dt1 H (t1) :
Entsprechend ergibt sich fur U (n)(t; t0):
Zt
1
(
n
)
U (t; t0) = 1 + ih dtn H (tn ) U (n?1)(tn; t0) ;
t0
so da
1 1 n Z
X
U (t; t0) =
ttnt1 t0 dtn dt1 H (tn) H (t1):
n=0 ih
204


KAPITEL 11. STORUNGSTHEORIE
ZEITABHANGIGER
PROZESSE
Unter dem Integral ist die Reihenfolge der H (ti) wichtig, da i.a. H (t2)H (t1) 6=
H (t1)H (t2). Der Teilraum, uber den integriert wird, sieht fur n = 2 so aus:
t2
6 t2 t1
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
-
t0
t1
Die Integration uber t1 und t2 etc. lat sich durch folgenden Trick symmetrisieren:
Denition:
(
(t1)H (t2)
T (H (t1)H (t2)) = H
H (t2)H (t1)
fur
fur
t 1 > t2
t 2 > t1
Da T (H (t1)H (t2)) = T (H (t2)H (t1)), so gilt:
Z tZ t
Z t2
Zt
1
T (H (t1)H (t2)) :
dt2H (t2) dt1H (t1) = 2
t0 t0
t0
t0
Ist (t) die Stufenfunktion
(
ur t > 0 ;
(t) = 10 f
fur t < 0 ;
so kann man auch schreiben
T (H (t1)H (t2)) = (t1 ? t2)H (t1)H (t2) + (t2 ? t1)H (t2)H (t1) ;
und allgemein:
X
T (H (t1) H (tn)) =
(t1 ? t2 ) (tn?1 ? tn )H (t1 ) H (tn ) :
Permut:
Damit erhalten wir fur U (t; t0):
1 1 n 1 Z t Z t
X
n! t0 t0 dt1 dtnT (H (t1) H (tn))
n=0 ih
Zt
T exp ? hi t dt0H (t0) :
U (t; t0) =
0
11.2. DIRAC{ ODER WECHSELWIRKUNGSBILD
205
U (t; t0) ist unitar:
U + (t; t0)U (t; t0) = 1 = U (t; t0)U + (t; t0)
falls H selbstadjungiert ist.
Plausibilitatsbetrachtung: Es sei t ? t0 = n, n gro, dann ist
? hi H (t0)
U (t0 + ; t0) = 1 ? hi H (t0) e
U (t0 + 2; t0) = U (t0 + 2; t0 + )U (t0 + ; t0)
? hi H (t0 + ) ? hi H (t0)
e
e
U (t; t0) e
? hi H (t0 + (n ? 1))
e
? hi H (t0)
: unitar
: unitar
: unitar
11.2 Dirac{ oder Wechselwirkungsbild
Dieses, vor allem fur die Storungstheorie wichtige "Bild" zur zeitlichen Entwicklung
eines quantentheoretischen Systems, wurde von Dirac eingefuhrt (s. Kap. 10.1): Es
sei
H (t) = H0 + V (t) ;
wobei H0 nicht explizit von der Zeit abhangt. Beim Wechselwirkungsbild separiert
man den Anteil der Zeitentwicklung von S (t) ab, der von dem Anteil H0 des
Hamiltonoperators herruhrt:
iH t
0 S (t) ;
I (t) = e h
iH t ?iH t
AI (t) = e h 0 AS e h 0 :
Fur V = 0 hat man
I (t) = S (t) ;
d.h., falls V (t) ! 0 fur jtj ! 1, so "folgt" (d.h. ohne mathematische Details)
I (t ! 1) = 'aus=ein ;
H0 'aus=ein = E0(aus=ein) 'aus=ein :
Es gilt
iH t
iH t
iH t
0
0
ih @t S (t) = e h 0 V (t) S (t) = VI (t) I (t) ;
ih @t I = ?H0 e h
S (t) + e h
206


KAPITEL 11. STORUNGSTHEORIE
ZEITABHANGIGER
PROZESSE
also
ih @t I = VI (t) I (t) und
d A = i [H ; A ] + (@ A) :
t I
dt I
h 0 I
Entsprechend dem Operator U (t; t0) im Schrodinger-Bild gibt es hier ein UI (t; t0)
mit der Eigenschaft
I (t) = UI (t; t0) I (t0) ;
UI (t0; t0) = 1 :
Falls V (t) nicht explizit von der Zeit abhangt, so hat man (s. Abschnitt 10.1)
i H t ? i Ht i Ht ? i H t
UI (t; t0) = e h 0 e h e h 0 e h 0 0 :
Ist V (t) dagegen zeitabhangig, so verfahrt man vollig analog wie im Schrodinger{
Bild:
Aus der Dierentialgleichung:
ih @tUI (t; t0) = VI (t) UI (t; t0)
folgt die Integralgleichung
Zt
1
UI (t; t0) = 1 + ih t dt0VI (t0) UI (t0; t0) ;
0
und aus ihr die Reihe:
1 1 1 Zt
X
)n t0 dt1 dtn T (VI (t1) VI (tn))
n=0 n! (ih
Zt
= T exp ? hi dt0 VI (t0) :
t
UI (t; t0) =
0
Sie ist der magebliche Ausgangspunkt fur sehr viele storungstheoretische Rechnungen, indem man sukzessive die Terme mit n = 1; 2; 3 etc. berucksichtigt.
11.3 U bergange 1. Ordnung
Es seien 'n = 'n (t = 0) die stationaren Eigenzustande von H0: H0 'n = En 'n .
Liegt zur Zeit t = t0 der Zustand I (t0) vor, so entwickelt sich daraus aufgrund der


11.3. UBERG
ANGE
1. ORDNUNG
207
"Storung" VI (t) zur Zeit t der Zustand I (t) = UI (t; t0) I (t0) . Nimmt man aus
der Reihe fur U (t; t0) nur die Terme mit n = 0 und 1 mit, so folgt:
1 Z t dt0 V (t0) (t ) :
(
t
)
=
(
t
)
+
I
I 0
ih t0 I I 0
Zur Zeit t0 = ?T , T 0, liege der Eigenzustand 'n vor: I (?T ) = 'n . Dann
ist die Wahrscheinlichkeitsamplitude dafur, da zur Zeit t = +T der Zustand 'm
vorliegt, durch
Z +T
1
('m; I (T )) = mn + ih
dt0 ('m; VI (t0) 'n )
?T
iH t
iH t
?
0
gegeben. Da VI (t) = e h V (t) e h 0 , so folgt
i (E ? E )t
('m; VI (t) 'n) = e h n m ('m; V (t) 'n )
und daher
Z +T i (En ? Em )t0
1
dt0e h
('m; I (T )) = mn + ih
('m ; V (t0) 'n )
?T
Dies ist die grundlegende Formel fur die Berechnung der U bergangswahrscheinlichkeit
wn!m(2T ) = j('m ; I (T ))j2
fur die Storungstheorie der ersten Ordnung in V (t). Um die Formel weiter auszuwerten, sind zusatzliche Annahmen zur Form von V (t) notwendig. Zwei wichtige
Beispiele seien beschrieben:
11.3.1 Zeitunabhangiges Potential
Falls V nicht explizit von der Zeit abhangt, so lat sich das Zeitintegral unmittelbar
ausfuhren:
Z +T
0
dt0ei!nm t = 2 sin(!mn T )=!mn ; !mn = h1 (Em ? En ) :
?T
Bei der Berechnung von wn!m (2T ) braucht man noch die Beziehung
2(xT ) !
sin
lim x2T = (x) ;
T !1


KAPITEL 11. STORUNGSTHEORIE
ZEITABHANGIGER
PROZESSE
208
die sich so begrunden lat: Es sei f (x) eine Testfunktion. Dann gilt
Z +aT sin2(y)
Z +a sin2(xT )
dx x2T f (x) = ?aT dy y2 f (y=T ) ; y = Tx :
?a
Fur groe T folgt daraus:
Z +1 sin2(y)
dy y2 = f (0) :
: : : f (0)
?1
Daraus erhalten wir fur m 6= n
wn!m (2T ) = 4 12 T (!mn ) j ('m; V 'n ) j2
h
Wegen (ax) = ja1j (x) bekommen wir damit schlielich die Rate
?n!m = wn!m (2T )=(2T ) :
?n!m = 2h (En ? Em) j ('m ; V 'n ) j2 :
Im allgemeinen steht als Endzustand nicht nur ein einziger Zustand 'm mit scharfer
Energie experimentell zur Verfugung, sondern ein Energieintervall Em, in dem
(Em )(Em) Zustande liegen. Dann betragt die Gesamtrate
Z
? n (En ) = dEm (Em ) ?n!m = 2h (En ) j ('n ; V 'n ) j2 :
Diese Formel wird { nach Fermi { als "Goldene Regel" der 1. Ordnung fur die
zeitabhangige Storungstheorie bezeichnet. Es sei nochmals betont, da die 1. Ordnung der Storungstheorie nur Sinn macht, falls die hoheren Ordnungen entsprechend
vernachlassigt werden konnen.
11.3.2 Zeitlich periodisches Potential
V (t) habe die Gestalt
V (t) = A e?i!t + A+ ei!t :
Fur die U bergangsamplitude ergibt sich daraus (m 6= n)
Z +T 1
i
(
!
?
!
)
t
i
(
!
+
!
)
t
+
mn
mn
('n; 'I (T )) = ih
dt e
hmj A jni + e
hmj A jni :
?T
Bei der Berechnung der U bergangswahrscheinlichkeit ist zu beachten, da die gemischten Terme beim Quadrieren wegfallen: Fur sehr groe T gilt namlich:
Z +T
Z +T
0
dt0 ei(!mn + !)t (!mn ? !) (!mn + !) = 0 :
dt ei(!mn ? !)t
?T
?T

11.4. POTENTIALSTREUUNG: 1. ORDNUNG STORUNGSTHEORIE
209
Wir haben demnach fur groe T
2 wn!m = 4T 12 (!mn ? !) jhmj A jnij2 + (!mn + !) hmj A+ jni :
h
Fur die Rate ?n!m = wm!n =(2T ) folgt daraus
2 ?n!m = 2h (Em ? En ? h !) jhmj A jnij2 + (Em ? En + h !) hmj A+ jni :
Wegen Em = En +h! beschreibt der Operator A einen Absorptionsproze, wahrend
A+ wegen Em = En ? h ! einen Emissionsproze fur ein Quant der Energie h ! beschreibt. Die gerade skizzierten U berlegungen sind sehr wichtig fur die Absorption
und Emission von Strahlung (s. Abschnitt 16.4 in Schwabl, Quantenmechanik, 4. Au.).
11.4 Potentialstreuung: 1. Ordnung Storungstheorie
2
h
Es sei H0 = ? 2m und V~ ein Potential, an dem die im Anfangs- und Endzustand
freien Teilchen gestreut werden, H = H0 + V~ . Das System sei in einem Volumen
V = L3, und die freien Wellenfunktionen
'~k = p1 ei~k ~x
V
genugen periodischen Randbedingungen: eikj L = 1 , d.h. wir haben
~k = 2 ~n; ~n = (n1; n2; n3); ni = 0; 1; 2; : : :
L
2 2
Anfangszustand: '~ka = p1 ei~ka ~x ; Ea = h2mka ;
V
2 2
1
Endzustand:
'~ke = p ei~ke ~x ; Ee = h2mke :
V

Fur die Ubergangsrate ?~ka !~ke erhalt man:
D E2
?~ka !~ke = 2h (Ee ? Ea) ~ke V~ ~ka D~ ~ ~ E 1 Z 3 i(~ka ? ~ke) ~x ~
ke V ka = V d x e
V (~x) :
Die Anzahl der Zustande im Endzustandintervall k1e k2e k3e = 3ke ist gegeben
durch
3ne = (2V)3 3ke ;
210


KAPITEL 11. STORUNGSTHEORIE
ZEITABHANGIGER
PROZESSE
und die zugehorige Rate durch
2
Z
~
~
1
?~ka !~ke 3ne = (2)2h V (Ea ? Ee ) 3ke d3x ei(ka ? ke) ~x V~ (~x) :
Die Teilchenstromdichte ~| a der einfallenden Teilchen ist hier
~
~| a V1 hmka ;
und damit erhalten wir fur den 3fach dierentiellen Wirkungsquerschnitt
?
3n
3 = ~ka !~ke e
j~| aj
2
Z
m
1
~
~
3
3
i
(
k
?
k
)
~
x
= (2h )2 ~ (Ea ? Ee ) ke d x e a e V~ (~x) :
jkaj
Wegen d3ke = ke2dke d
e = hm2 ke dEe d
e bekommen wir schlielich (ke = ka):
d3 =
m Z d3x ei(~ka ? ~ke ) ~x V~ (~x)2 (E ? E ) dE d
:
a
e
e e
(2h )2 Die Integration uber die Endzustandsenergie Ee ergibt die wichtige Formel
d(1) = m Z d3x ei(~ka ? ~ke ) ~x V~ (~x)2 :
d
e (2h )2 (Der Index (1) soll andeuten, da es sich lediglich um die 1. Naherung handelt!)
Man sieht, da d(1)=d
e nur vom Impulsubertrag ~q = ~ka ? ~ke abhangt.
Falls V~ (~x) = V~ (r), so lat sich das Integral noch weiter vereinfachen:
Z
Z
Z1
2
3
irq
cos
~
~
d xe
V (r) = 2 dr r V (r) deirq cos sin Z0+1
Z01
dzeirqz
= 2 dr r2 V~ (r)
?1
0
Z1
= 4q dr r V~ (r) sin(qr) ;
0
so da
!
d(1) = 4m2 Z 1 dr r V~ (r) sin(qr)2 :
d
e
q2h 4 0

11.4. POTENTIALSTREUUNG: 1. ORDNUNG STORUNGSTHEORIE
Beispiel: Yukawa{Potential:
Da
Z1
0
211
?r
V~ (r) = g e r :
dr e?r sin(rq) = q2 +q 2 , so folgt
d(1) = 2mg 2
1
2
d
e
(q2 + 2)2 :
h
Da
q~ 2 = (~ka ? ~ke )2 = 2ka2(1 ? cos[6 (~ka; ~ke)]) ;
6 (~ka ; ~ke ) = # : Streuwinkel ;
und (1 ? cos #) = 2 sin2(#=2), so folgt
a 2#
q2 = 4ka2 sin2 #2 = 8mE
sin 2 :
2
h
Fur = 0 ergibt sich daher:
d(1) = g2 1 :
d
16Ea2 sin4 #
2
Dies ist die exakte Rutherfordsche Formel fur die Coulomb{Streuung. Sie
ergibt sich also schon in 1. Ordnung Storungstheorie.