Wie werden Symmetrien in der Quanten

A. Koglbauer, S. Rothe
Wie werden Symmetrien in der QT realisiert?
13.12.2004
Wie werden Symmetrien in der
Quanten-Theorie realisiert ?
- Theorem von Wigner -
Gehalten am 13.12.2004
von
Andreas Koglbauer und Sebastian Rothe
Seminar: Teilchen, Symmetrien und Quantentheorie
S.1
13.12.2004
Wie werden Symmetrien in der QT realisiert?
A. Koglbauer, S. Rothe
0. Inhaltsverzeichnis
Kap. I: Grundlagen, Konventionen, Notationen
Zustände und Strahlen
Superauswahlregeln
Unitäre Operatoren
Antiunitäre Operatoren
Kap. II: Symmetrien
Einleitung
Klassische Mechanik
Lagrang'sche Beschreibung
Hamilton'sche Beschreibung
Kap. III: Symmetrien in der Quantentheorie
Übergang zur Quantenphysik
Symmetrien
Darstellungen und Eigenschaften
Diskrete und kontinuierliche Symmetrien
Kap. IV: Das Theorem von Wigner
Das Theorem
Bemerkungen und Beispiele
Beweis des Wigner-Theorems
Kap. V: Literatur
Bücher
Internet
S.2
Seminar: Teilchen, Symmetrien und Quantentheorie
A. Koglbauer, S. Rothe
Wie werden Symmetrien in der QT realisiert?
13.12.2004
I. Grundlagen, Konventionen, Notationen
Zustände und Strahlen
In der Quanten-Theorie beschreibt man die physikalischen Zustände eines Systems durch
Zustandswellenfunktionen |y\ auf einem linearen Hilbertraum /.
Von physikalischer Relevanz sind allerdings nur die Einheitsstrahlen 9, die sich wie folgt
definieren:
Ein Einheitsstrahl 9 beschreibt eine Äquivalenzklasse von Zustandsvektoren [y] modulo l,
wobei y œ / , »» y »» = 1 und die komplexe Phase l = ‰Â a mit a œ . Die Zustände |y\ sind
dann Repräsentanten der entsprechenden Klasse.
Die
Beschreibung
durch
Einheitsstrahlen
ist
wegen
der
Born'schen
Wahrscheinlichkeitsinterpretation
der
Quantentheorie
zulässig,
denn
die
Wahrscheinlichkeiten, mit denen die Messergebnisse von Observablen (deren
Erwartungswerte) gewichtet sind, sind phasenunabhängige Betragsquadrate.
Befindet sich ein System im Zustand » y1 \, dann berechnet sich die Wahrscheinlichkeit, es im
Zustand » y2 \zu finden zu:
»Xy1 »y2 \»
^12 = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
»»y »»2 »»y »»2
2
1
2
(I.1)
Die Wahrscheinlichkeit hängt natürlich nur von der Wahl des Strahles ab und nicht von der Wahl
eines Repräsentanten. Formel (I.1) wird auch Strahlprodukt genannt.
Oftmals wird für 9 auch @ » y\D oder {|y\} geschrieben.
Konsequenterweise ist der Raum in dem die Strahlen leben der Quotienten-Raum (engl.
quotient space) @/D := H/ \ 80<L ê  , d.h. der projektive Raum /71 der eindimensionalen
Unterräume von /.
Superauswahlregeln
Grundlegendes Prinzip der Quantenmechanik ist das Superpositionsprinzip, welches besagt,
dass mit zwei Lösungen f und y der Schrödingergleichung auch jede Linearkombination
l f + m y mit l, m e  Lösung der Schrödingergleichung ist.
Im Allgemeinen gibt es aber physikalische Grenzen der Gültigkeit des
Superpositionsprinzips: Man kann aus bestimmten Zuständen durch super-positionieren
keine reinen Zustände erhalten. Z.B. kann man aus den Wellenfunktionen zweier
unterschiedlich geladener Teilchen oder einem Fermion und einem Boson keinen reinen
Zustand präparieren. Das heißt aber nicht, dass diese verschiedenen Zustände nicht
interagieren könnten, es heißt nur, dass ihre formale Linearkombination kein physikalisch
realisierbarer, reiner Zustand ist.
Ob es sich bei der Superposition um einen solchen (realisierbaren, reinen) Zustand handelt
entscheiden die sogenannten Superauswahlregeln. Hierzu führt man zusätzliche
Quantenzahlen ein. Es dürfen nur solche Zustände kohärent überlagert werden, die in allen
diesen (additiv erhaltenen) Quantenzahlen übereinstimmen.
Beispiele sind:
è Die Quantenzahl Q der elektrischen Ladung.
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è L (Lepton-Zahl) und B (Baryon-Zahl) -diese beschreiben die Zugehörigkeit zur
entsprechenden Elementarteilchen-Familie.
è Die Fermionen-/Bosonengraduierung Ps sorgt für eine Unterteilung in Teilchen mit
halb- und ganzzahligem Spin.
Bemerkung:
Würde man beispielsweise durch Superposition eines bosonischen und eines fermionischen
Zustandes die Wellenfunktion » Y+ \ = » B\ + » F\ erzeugen, ginge diese nach einer Drehung um 2p
in den Zustand » Y- \ = » B\ - » F\ über (Spinflip des Fermions!). Andererseits müßten » Y+ \ und
» Y- \, wenn sie reine Zustände sein sollen aber zum selben Einheitstrahl gehören.
Der grundlegende Unterschied zwischen den bisher bekannten Observablen und den
Operatoren Q, B, L, Ps , ... liegt darin, dass es nicht zulässig ist, Eigenzustände zu
verschiedenen Eigenwerten zu überlagern. Damit unterteilen sie den Hilbertraum in
orthogonale Unterräume, auf denen das Superpositionsprinzip jeweils uneingeschränkt gilt
(man spricht deshalb auch von kohärenten Unterräumen /c ).
Unitäre Operatoren
Definition:
Seien / H1L und / H2L zwei Hilberträume. Ein linearer, beschränkter und surjektiver Operator
U : / H1L Ø / H2L heißt unitär, wenn
∞ U y ¥ = ∞ y ¥ ; " y œ / H1L
U H l y + m f L = l U y + m U f ; " y, f œ / H1L , l, m œ 
(isometrisch) (I.2)
(linear)
(I.3)
gilt.
Aus dieser Definition ergeben sich einige wichtige Eigenschaften:
1) Jeder unitäre Operator U besitzt ein Inverses U -1 ,welches seinem Adjungierten U †
entspricht:
U † = U -1
; U U† = U† U = 
(I.4)
X U y » U f \ = X y » f \ ;" y, f œ / H1L
2) Der unitäre Operator U erhält das Skalarprodukt:
(I.5)
3) Mit U: / H2L Ø / H3L und V: / H1L Ø / H2L , zwei unitären Operatoren, ist auch das
Produkt UV: / H1L Ø / H3L unitär. Sein adjungierter Operator ist dann
H UV L† = V † U †
S.4
(I.6)
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Beweis:
1) Da U nach Definition surjektiv und wegen (I.2) auch injektiv ist, existiert ein Inverses. Aus der
isometrischen Eigenschaft (I.2) folgt dann
∞ Uy ¥2 = X Uy » Uy \ = X y » U † U y \ = X y » y \ = ∞ y ¥2
ï U † U =  (U U † =  folgt analog )
!
2) Berechne X UHl y + m fL » UHl y + m fL \, l, m œ  zum einen mit der Linearität (I.3) , zum
anderen mit der isometrischen Eigenschaft (I.2):
mit Linearität:
XUHl y + m fL » UHl y + m fL \
= » l »2 XU y » U y \ + » m »2 XU f » U f \ + l m* XU f » U y \ + l* m XU y » U f \
mit isometrischer Eigenschaft:
XUHl y + m fL » UHl y + m fL \
= Xly+ mf » ly+ mf\
= » l »2 X y » y \ + » m »2 X f » f \ + l m* X f » y \ + l* m X y » f \
Da l und m frei wählbar waren, folgt die Behauptung aus einem Koeffizientenvergleich.
3) Den zu UV adjungierte Operator erkennt man aus der Betrachtung:
X y » HUV L f \ = X y » U HV fL \ = X U † y » V f \ = X V † U † y » f \
= X HVUL† y » f \
!
Ñ
Bemerkung:
Zu jedem unitären Operator U(a), der durch einparametrige, stetige Variation von a aus der Identität
 entsteht, gibt es einen spurlosen hermiteschen Operator J, so dass sich U(a) als Exponentialreihe
darstellen läßt:
UHaL = ‰-Â a J ; J † = J , Sp 8J < = 0
J heißt Erzeugende von infinitesimalen unitären Transformationen.
(vgl. dazu Vortrag Nr. 1, "Die Drehungen in der Quantenmechanik (Teil1): Erzeugende und
Darstellungen" von Andreas Müller)
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Antiunitäre Operatoren
Definition:
Sein / H1L und / H2L zwei Hilberträume. Ein beschränkter, surjektiver Operator A: / H1L Ø
/ H2L heißt antiunitär, wenn
∞ A y ¥ = ∞ y ¥ ; " y œ / H1L
A H l y + m f L = l* A y + m* A f ; " y, f œ / H1L , l, m œ 
(isometrisch) (I.7)
(antilinear)
(I.8)
Hieraus folgen die Eigenschaften:
1) Jeder antiunitäre Operator A besitzt ein Inverses A-1 ,welches seinem Adjungierten A†
entspricht:
A† = A-1 ; A A† = A† A = 
2)
X A y » A f \ = X y » f \* = X f » y \
(I.9)
;" y, f œ / H1L
(I.10)
3) Das Produkt HA BL zweier antiunitärer Operatoren A und B ist unitär.
4) Das Produkt eines unitären mit einem antiunitären Operator ist selbst antiunitär (Jeder
antiunitäre Operator A lässt sich sogar als Produkt A = U K H0L eines unitären Operators
U mit einem speziellen antiunitären Operator K H0L - z.B. dem Operator der "komplexen
Konjugation" - schreiben).
5) Mit A: / H2L Ø / H3L und B: / H1L Ø / H2L , zwei antiunitäre Operatoren. Der adjungierte
Operator des Produkts AB: / H1L Ø / H3L ist gegeben als
HA BL† = B† A†
(I.11)
Beweis:
Im folgenden werden nur die Eigenschaften 2) und 5) bewiesen, 1) funktioniert analog zum unitären
Operator, 3) und 4) wurden bereits im Vortrag Nr. 5 "Raumspiegelung und Zeitumkehr in der
Quantenmechanik" von Jan Petersen und Oliver Loesdau bewiesen:
2) Auch hier wird wieder,analog zum unitären Operator, das Skalarprodukt
XAHl y + m fL » AHl y + m fL \, l, m œ  zum einen mit der Antilinearität (I.8) , zum anderen mit der
isometrischen Eigenschaft (I.7) berechnet:
mit Antilinearität:
XAHl y + m fL » AHl y + m fL \
= » l »2 XA y » A y \ + » m »2 XA f » A f \ + l m* XA y » A f \ + l* m XA f » A y \
mit isometrischer Eigenschaft:
XAHl y + m fL » AHl y + m fL \
= Xly+ mf » ly+ mf\
= » l »2 X y » y \ + » m »2 X f » f \ + l m* X f » y \ + l* m X y » f \
S.6
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Und auch hier folgt die Behauptung wieder durch Koeffizientenvergleich.
Bemerkung:
Beachte, dass der adjungierte Operator eines linearen Operators anders definiert ist, als der eines
antilinearen. Für einen linearen Operator U gilt:
X y » U † f \ = XU y » f \,
(I.12)
X y » A† f \ = XA y » f \* = X f » A y \
(I.13)
während für einen antilinearen Operator A
richtig ist. Dies sieht man wie folgt ein:
Angenommen der adjungierte Operator eines antilinearen Operators sei genauso gegeben, wie der
eines linearen. Man betrachte jetzt X m y » A† f \mit m œ . Zieht man den Faktor m aus der ersten
Kompanente des Skalarprodukts, so muss man ihn komplex konjugieren:
X m y » A† f \= m* X y » A† f \.
(I.13 a)
Bringt man jedoch andererseits erst den Operator durch hermitesche Konjugation ( nach den
"Rezept" des linearen Operators (I.12)) auf die andere Seite des Skalarprodukts und zieht den Faktor
m unter Beachtung der Antilinearität von A aus der ersten Komponente, erhält man
X m y » A† f \= X A Hm yL » f \ = X m* A y » f \ = m X A y » f \
(I.13 b)
was beim Vergleich von (I.13 a) und (I.13 b) einen Widerspruch ergibt, der mit Definition (I.13)
ausbleibt.
Dann ist der Beweis von
5)
X y » HABL f \ = X y » A HB fL \ = X A† y » B f \ = X A† B† y » f \
= X HABL† y » f \
*
!
( im letzten Schritt transformiert sich (AB) wegen der Eigenschaft 3) linear )
Ñ
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S.7
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II. Symmetrien
Einleitung
Symmetrien spielen in der Physik eine große Rolle, da man durch sie oft auch ohne
explizite Kenntnis eines Problems, allein durch seine Symmetrien, Erkenntnisse erlangen
kann. Der Begriff taucht in den verschiedensten Kontexten auf:
Aus der Geometrie sind uns allen Symmetrien bekannt.
Ein Schneeflocke z.B. hat eine 6-zählige Rotations-Symmetrie (60°) bzgl. ihres
Mittelpunktes und jeweils sechs Achsen- und Punkt-Spiegel-Symmetrien.
Wenn man sich über Symmetrien unterhalten will, ist es also wichtig, neben der Art der
Symmetrie auch immer das "Bezugssystem" auszuzeichnen (bezogen auf einen Eckpunkt
hat die Flocke z.B. keine Rotationssymmetrie). Die Schneeflocke bietet Beispiele für
diskrete Symmetrien (weitere uns bekannte diskrete Symmetrie ist die Translation im
periodischen Gitter, ...). Dem entgegen stehen kontinuierliche Symmetrien, die stetig aus der
Identität herausführen.
Definierende Eigenschaft der hier angesprochenen Symmetrien ist die Kongruenz des
transformierten mit dem ursprünglichen Objekt.
In der Theorie meint man allgemein wenn man von Symmetrien spricht, bijektiven
Abbildungen physikalischer Zustände von Systemen, welche die Dynamik invariant lassen.
Was genau unter Invarianz und Dynamik zu verstehen ist, kommt auf den Rahmen an, in
dem man diskutiert. So werden wir im Folgenden zuerst einmal die Bedeutung von
Symmetrien in der uns vertrauten klassischen Lagrange'schen und Hamilton'schen
Mechanik behandeln, bevor wir auf die Quantentheorie zu sprechen kommen.
Aber auch schon ohne die Einschränkung auf einen dieser Zusammenhänge lassen sich
einige allgemeine Aussagen treffen:
Als erstes ist zu erwähnen, dass die Komposition von Symmetrie-Transformationen immer
assoziativ ist (da sie als Abbildungen definiert wurden). Weiterhin existiert eine
Identitätsabbildung, welche die Dynamik trivialerweise ungeändert läßt. Und als letztes sind
die Abbildungen nach Voraussetzung invertibel. Hieraus erwächst in natürlicher Weise der
Begriff einer Gruppe von Symmetrien.
S.8
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Klassische Mechanik
Lagrange'sche Beschreibung
Im Lagrange'schen Formalismus wird die Dynamik eines Systems durch die LagrangeFunktion L beschrieben. Sie ist eine Funktion der Koordinaten qi und der
Geschwindigkeiten q° i (die auf dem Tangentialraum zum Koordinatenraum leben). Um die
Charakteristika der Lagrange'schen Betrachtungsweise herauszuarbeiten genügt der einfach
Fall einer Koordinate q und einer Geschwindigkeit q° . Wie bekannt, erhält man die
Bewegungsgleichungen aus den Extrema des Wirkungsfunktionals S = Ÿ L dt , bei
festgehaltenen Randpunkten, in Form der Euler-Lagrange-Gleichungen liefert:
d ∑L
∑L
ÅÅÅÅ
Å ÅÅÅÅÅÅÅÅ = ÅÅÅÅ
ÅÅÅÅ
(II.1)
dt ∑q°
∑q
Betrachten wir jetzt eine Abbildung hs der Koordinate q, die von einem reellen
kontinuierlichen Parameter s abhängt,
hs : q # hs HqL.
`
Diese induziert eine lineare Abbildung hs der Geschwindigkeit q° :
`
`
∑ hs HqL °
h : q° # h Hq° L := ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅ q .
s
s
∑q
(II.2)
(II.3)
Man bezeichnet die Lagrange-Funktion L unter der Transformation (II.2) und (II.3)
invariant, wenn es für jedes festgehaltene s eine Funktion Fs Hq, q° , tL gibt so dass
`
d
(II.4)
LIhs HqL, hs Hq° LM = LHq, q° L + ÅÅÅÅ
dtÅ Fs ,
da die totale Zeitableitung keine Änderung an der Euler-Lagrange-Gleichung und damit an
den Bewegungsgleichungen hervorruft.
Das Noether Theorem, welches besagt, dass jede Invarianz von der Art (II.4), eine
Erhaltungsgröße des Systems impliziert, läßt sich dann wie folgt ableiten:
Eine Abbildung
f : t # fHtL := q,
(II.5)
die von einem Zeitintervall auf eine Koordinate abbildet wird Kurve genannt. Durch jede
Symmetrie hs lässt sich solch eine Kurve f auf eine neue Kurve fs abbilden:
fs = hs ëf : t # hs HqL = hs HfHtLL.
(II.6)
Auf diese Weise erhält man eine ganze Familie von Kurven, wobei jeder Wert von s zwar
eine Kurve auszeichnet, die Wirkung aber nach der Invarianz (II.4) von s unabhängig ist.
Das bedeutet, dass wenn f eine Lösung der Bewegungsgleichung (II.1) ist, auch jede Kurve
fs Lösung ist.
Zur weiteren Betrachtung ist es üblich eine Funktion F in den zwei Variablen s und t
einzuführen:
FHs, tL := hs ëfHtL.
(II.7)
Dabei parametrisiert t jede einzelne der Kurven, die durch s nummeriert werden
(Einparametrige Schar von Symmetrien). Die Invarianz (II.4) kann dann auch geschrieben
werden als
(II.8)
0 = ÅÅÅÅ∑ÅÅ HLHq, q° LL = ÅÅÅÅ∑ÅÅ HLHF, ÅÅÅÅ∑Å FL - ÅÅÅÅdÅÅ F L.
∑s
∑s
∑t
dt
s
Unter Verwendung der Euler-Lagrange-Gleichung (II.1) schreibt man dies um zu
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∑L ∑F
∑L ∑ F
d ∑Fs
0 = ÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅ
∑qÅÅÅ ÅÅÅÅ
∑sÅÅÅÅ + ÅÅÅÅ
∑qÅ°ÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅ
∑t ∑sÅÅÅ - ÅÅÅÅ
dtÅ ÅÅÅÅ∑s
2
d ∑L ∑F
∑L ∑ F
d ∑Fs
= I ÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅ
dtÅ ÅÅÅÅ
∑qÅ°ÅÅ M ÅÅÅÅ
∑sÅÅÅÅ + ÅÅÅÅ
∑qÅ°ÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅ
∑t ∑sÅÅÅ - ÅÅÅÅ
dtÅ ÅÅÅÅ∑s
HII .1L
∑Fs
d
∑L ∑F
= ÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅ M
dtÅ I ÅÅÅÅ
∑qÅ°ÅÅ ÅÅÅÅ
∑sÅÅÅÅ - ÅÅÅÅ∑s
2
(II.9)
Beim letzten Schritt wurde die Produktregel "rückwärts" angewandt.
Das heißt, dass die Orbitalableitung der Größe
∑Fs
∑L ∑F
Q := ÅÅÅÅ
ÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅ - ÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅ
∑q° ∑s
∑s
(II.10)
verschwindet, und Q entlang der physikalischen Bahnen eine Erhaltungsgröße ist.
Beispiel:
Betrachte ein freies Teilchen im 3 . Die Lagrange-Funktion in natürlicher Form ist dann gegeben
°2
durch L = ÅÅÅÅ12 m x” mit x” œ 3 und invariant unter der Transformation
hs : x” # x” + s ÷a” .
(II.10 a)
`
Die Abbildung hs ist dann gerade die Identitätsabbildung und Fs ª 0, " s œ . Berechnet man jetzt
noch
÷”
dhs Hx
∑F
ÅÅÅÅ
ÅÅÅÅ = ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅLÅÅÅ = ÷a” ,
(II.10 b)
∑s
ds
so sieht man, dass die Erhaltungsgröße Q im Fall der Translation um einen konstanten Vektor
°
Q÷a” = m x” ÿ ÷a” ,
(II.10 c)
also der Impuls in ÷a” -Richtung ist.
S.10
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Hamilton'sche Beschreibung
Im Hamilton Formalismus ist die Dynamik gänzlich von der Hamiltonfunktion bestimmt.
Diese ist eine Funktion der Koordinaten qi und ihrer kanonisch konjugierten Impulse pi
(und eventuell der Zeit t). Die Bewegungsgleichungen - jetzt wiederum nur in einer
Variablen q und p - sind hier durch die kanonischen Gleichungen
dp
∑H
ÅÅÅÅ
ÅÅÅÅ
dtÅÅ = - ÅÅÅÅ
∑q
und
dq
∑H
ÅÅÅÅ
dtÅÅ = ÅÅÅÅ
∑ÅpÅÅÅ
(II.11)
gegeben. Die Lagrange'sche und die Hamilton'sche Beschreibung eines klassischen Systems
sind äquivalent. Den Brückenschlag zwischen beiden bildet die Legendre-Transformation:
3HLHq, q° LL = p q° - LHq, q° L = HHq, pL,
∑L
wobei q° implizit durch p = ÅÅÅÅ
ÅÅÅ festgelegt ist.
∑q°
Wichtiges mathematisches Werkzeug der Hamilton-Mechanik ist die Poisson-Klammer. Sie
ordnet jedem Paar f , g von differenzierbaren Funktionen der dynamischen Größen q und
p die Funktion
∑ f ∑g
∑ f ∑g
8 f , g< := ÅÅÅÅ
∑ ÅpÅÅÅ ÅÅÅÅ
∑qÅÅ - ÅÅÅÅ
∑qÅÅÅÅ ÅÅÅÅ
∑ pÅÅÅ
(II.12)
zu. Sie hat bekanntermaßen drei charakteristische Eigenschaften:
1) Bilinearität:
8l f + m g, h< = l 8 f , h< + m 8g, h<
8 f , l g + m h< = l 8 f , g< + m 8 f , h<
2) Antisymmetrie:
(II.13)
8 f , g< = -8g, f <
(II.14)
8 f , 8g, h<< + 8g, 8h, f << + 8h, 8 f , g<< = 0
(II.15)
3) Sie erfüllt die Jacobi-Identität:
Diese Eigenschaften können in der Aussage zusammengefaßt werden, dass die Poisson-Klammer
{.,.} den Raum der differenzierbaren Funktionen über q und p zu einer Lie-Algebra macht.
Der Begriff der Symmetrie ist in der Hamilton-Mechanik mit dem der kanonischen
Transformationen verknüpft, an deren Definition wir uns hier erinnern wollen:
"Kanonische Transformationen sind diffeomorphe, durch eine Funktionen der alten und
neuen Variablen erzeugte Transformationen der Variablen q und p, sowie der HamiltonFunktion HHq, pL, derart, dass die kanonischen Gleichungen (II.11) forminvariant bleiben."
Anders gesprochen sind es also genau diese Transformationen, welche die Dynamik unseres
Systems invariant lassen, was gerade dem zu Beginn eingeführten Begriff einer Symmetrie
entspricht.
∑H
Betrachten wir jetzt autonome Systeme, für die ÅÅÅÅ
∑tÅÅÅÅ = 0 gilt. Dann kann die
Orbitalableitung einer jeden Funktion f HqHtL, pHtLL als Poisson-Klammer mit der HamiltonFunktion geschrieben werden:
d
ÅÅÅÅ
dtÅ f HqHtL, pHtLL = 8H, f <.
(II.16)
Eine Funktion f beschreibt also genau dann eine Erhaltungsgröße, wenn sie mit der
Hamilton-Funktion "poisson-kommutiert":
8H, f < = 0.
(II.17)
Man sagt auch, f stehe in Involution mit H.
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Hieraus erkennt man ein Hamilton'sches Analogon zum Noether-Theorem, wenn man
(zeitunabhängige) kanonische Transformationen betrachtet, die aus der Identität
SE = ⁄k qk Pk
f
(II.18)
hervorgehen. Diese infinitesimalen kanonischen Transformationen lassen sich mit Hilfe der
Poisson-Klammer in einer symmetrischen Form schreiben:
d qi = 8sHq, pL, qi < ÿ ¶
(II.19)
d p j = 8sHq, pL, p j < ÿ ¶ .
Dabei ist sHq, pL die Erzeugende der infinitesimalen Transformation. Allgemein kann man
die Änderung einer dynamischen Größe f(q,p) unter der Wirkung der Erzeugenden s
schreiben als
ds f = 8s, f < ÿ ¶.
(II.20)
Die Hamitlton-Funktion als Erzeugende war dabei der wichtige Spezialfall einer
Transformation, die das System in der Zeit vorantreibt.
Betrachten wir jetzt speziell die Änderung von H unter der Transformation, die durch f
erzeugt wird (d f H ), und die (zeitliche) Änderung von f, erzeugt durch Hamilton-Funktion
HdH f L. Ist f eine Erhaltungsgröße des Systems, so gilt mit (II.17)
dH f = 8H, f < = 0 = 8 f , H< = d f H ,
(II.21)
und die durch f erzeugte Transformation lässt die Hamiltonfunktion invariant und
umgekehrt. Ähnlich, wie eine Transformation, die die Lagrange-Funktion invariant lässt,
nach Noether eine Erhaltungsgröße impliziert.
Bemerkung:
Eine weitere interessante Aussage lässt sich mit der Jacobi-Identität (II.15) zeigen: Sind f und g
beides Erhaltungsgrößen, so ist ihre Poisson-Klammer ebenfalls eine Erhaltungsgröße.
Mathematisch gesprochen bilden die in Involution stehenden Größen unter der Poisson-Klammer
eine abgeschlossene Sub-Algebra zur Lie-Algebra der Funktionen von q und p.
S.12
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III. Symmetrien in der Quantentheorie
Übergang zur Quantenphysik
Um Symmetrien in der Quanten-Theorie zu analysieren, gehen wir von der klassischen
Hamilton'schen Betrachtungsweise aus, die wir nach einer Quantisierungsvorschrift
überführen.
Genaueres zu diesem Thema ist im Vortrag Nr. 4, "Quantenmechanik und Klassische Mechanik"
von Kerstin Hild und Christian Lehn nachzulesen.
Für unsere Zwecke reicht es aus daran zu erinnern, dass an die Stelle der klassischen
Observablen (die Funktionen auf dem Phasenraum waren) jetzt selbstadjungierte, lineare
Operatoren über einem komplexen Hilbertraum / treten. Die Poisson-Klammer wird wie
folgt durch den Kommutator ersetzt:
8. , .< ö ÅÅÅÅÑÂ @. , .D,
(III.1)
und für (klassisch) kanonisch konjugierte Observablen gilt analog die Heisenberg'sche
Kommutationsrelation
8 p, q< = 1 ö ÅÅÅÅÑÂ @ p, qD = 1.
(III.2)
Auch der Kommutator erfüllt die drei Eigenschaften, die schon für die Poisson-Klammer
galten:
1) Bilinearität:
@l A + m B, CD = l@A, CD + m@B, CD
@A, l B + m CD = l@A, BD + m@A, CD
2) Antisymmetrie:
(III.3)
@A, BD = -@B, AD
(III.4)
@A, @B, CDD + @B, @C, ADD + @C, @A, BDD = 0.
(III.5)
3) Er erfüllt die Jacobi-Identität:
Der Kommutator versieht / ebenfalls mit einer Lie-Algebra.
Im Heisenberg-Bild der Quantenmechanik sind die Zustandsvektoren selbst zeitunabhängig,
und die ganze Zeitabhängigkeit steckt in den Operatoren. Die zeitliche Entwicklung eines
Operators A ist dann durch die Heisenberg'sche Bewegungsgleichung
d
Â
ÅÅÅÅ
dtÅ AHtL = ÅÅÅÅ
Ñ @H, AD
(III.6)
gegeben und Erhaltungsgrößen (sofern man im Rahmen der Unschärferelation von solchen
sprechen kann) kommutieren mit dem Hamiltonoperator H,
@H, AD = 0.
Seminar: Teilchen, Symmetrien und Quantentheorie
(III.7)
S.13
13.12.2004
Wie werden Symmetrien in der QT realisiert?
A. Koglbauer, S. Rothe
Symmetrien
Wollen wir nun klären, was wir in der Quanten-Theorie unter Dynamik und Invarianzen zu
verstehen haben.
Die Schrödingergleichung
”
”
∑
(III.8)
Â Ñ ÅÅÅÅ
∑tÅ yHr, tL = H yHr, tL
ist die Grundgleichung der (nichtrelativistische) Quantenmechanik, die als Wellengleichung
die zeitliche Entwicklung der (unbeobachtbaren) Zustände eines Quantensystems
mathematisch fasst. Die Dynamik steckt dabei im Hamiltonoperator H,
2
(III.9)
H = - ÅÅÅÅÑÅÅÅÅÅ D + V Hr”, tL .
2m
Genaugenommen ist der Raum, über den wir sprechen müssen nicht der Hilbertraum / der
Zustandsvektoren, sondern der projektive Hilbertraum [/] in welchem die Einheitsstrahlen
leben. Denn die physikalische Relevanz liegt in der Äquivalenzklasse der Strahlen, nicht in
seinen Repräsentanten. Wir betrachten ja, wenn wir an einem quantenmechanischem
System messen, immer reelle Betragsquadrate. Diese sind aber unabhängig von der Phase,
und der Raum [/] ist zur vollständigen Beschreibung ausreichend. Die Angabe einer Phase
wäre eine uns eigentlich nicht zugängliche - weil nicht messbare - Information.
Die Transformationen, die uns interessieren sind also Transformationen zwischen
projektiven Hilberträumen, man nennt sie deshalb auch Strahltransformationen.
Wie auch zuvor wollen wir uns auf äußere Symmetrien (die Transformationen in der RaumZeit beschreiben) beschränken.
Innere Symmetrien gehen aus intrinsischen Eigenschaften der Elementarteilchen hervor und sind
von der Raum-Zeit unabhängig (mehr zu diesem Thema im Vortrag 13, "Kompakte Lie-Gruppen als
innere Symmetrie" von Sebastian Becker und Michael Semmel).
In der Quanten-Theorie ist die definierende Eigenschaft für Symmetrien, dass alle
Übergangsamplituden dem Betrag nach erhalten bleiben. Eine Symmetrie-Transformation
; : @/D Ø @/D ist also eine invertierbare Abbildung des projektiven Hilbertraumes in sich,
die einen Strahl 9 auf 9' abbildet. Mit » y\ œ 9 und » y'\ œ 9 ' , gilt dann
» Xy' » f '\ »2 = » Xy » f\ »2 .
(III.10)
Dies ist intuitiv klar, wenn man (äußere) Symmetrie-Transformationen z.B. als einen
Wechsel des Beobachtungsortes auffasst:
Wenn ein Beobachter B ein System im Zustand |y\ sieht, dann wird ein anderer Beobachter
B', der das selbe System betrachtet, es im Zustand |y'\ sehen. Die zwei Beobachter werden
aber die selben Wahrscheinlichkeiten P messen, da sich die Physik nicht ändert.
PH9 Ø 9n L = P H9 ' Ø 9n 'L
(III.11)
Ein Satz . von Symmetrie-Transformationen hat auch in der Quanten-Theorie die
Eigenschaften einer Gruppe:
Wenn ;1 die Strahlen 9 nach 9 ' abbildet und ;2 diese Strahlen 9' nach 9 '' ; ;1 , ;2 œ .,
;1 : 9 Ø 9 '
;2 : 9' Ø 9 '',
dann gilt für die Hintereinanderausführung H;2 ;1 L œ .:
S.14
(III.12)
Seminar: Teilchen, Symmetrien und Quantentheorie
A. Koglbauer, S. Rothe
Wie werden Symmetrien in der QT realisiert?
13.12.2004
;2 ;1 : 9 Ø 9 ''.
Jede Symmetrie-Transformation ; : 9 Ø 9 ' besitzt auch ein Inverses ;
; -1 : 9 ' Ø 9.
(III.13)
-1
œ .:
(III.14)
Es gilt die Assoziativität für ;1 , ;2 , ;3 œ .:
;1 H;2 ;3 L = H;1 ;2 L ;3 .
(III.15)
Und es gibt natürlich die Identitätsabbildung ; =  œ . :
; : 9 Ø 9,
(III.16)
die die Strahlen unverändert lässt.
Bemerkung:
Hier soll angemerkt werden, dass in der Quanten-Theorie eigentlich ein noch allgemeineres
Symmetrieprinzip existiert, und nicht alle Symmetrien auch Gruppen bilden. Das lässt sich qualitativ
so verstehen: In der klassischen Theorie sind Symmetrie-Tranformationen Abbildungen über dem
Konfigurationsraum und bekommen durch ihn die Gruppenstruktur aufgeprägt. In der QuantenTheorie macht der Begriff des Konfigurationsraumes aber keinen Sinn mehr. Diese
verallgemeinerten Symmetrien sind unter dem Begriff der Quanten Symmetrien zusammengefasst
und noch nicht vollständig verstanden, so dass wir in diesem Vortrag nur Gruppensymmetrien
betrachten.
Für tiefergehendes Interesse seien hier die Quellen R.Haag: Local Quantum Physics - Berlin:
Springer, 1992 und K.Fredenhagen: Superselection sectors in low dimensional quantum field theory
- J.Geom. and Phys. 11 (1993) 337 sowie G.Mack, V. Schomerus: A short introduction to quantum
symmetry - J.Geom. and Phys. 11 (1993) 361 aufgeführt.
Seminar: Teilchen, Symmetrien und Quantentheorie
S.15
13.12.2004
Wie werden Symmetrien in der QT realisiert?
A. Koglbauer, S. Rothe
Darstellungen und Eigenschaften
Um mit einem Quantensystem rechnen zu können, ist es notwendig eine Darstellung für
Operatoren einzuführen. Diese sind sind Elemente des Raum 3(/), der linearen Operatoren
auf /.
Definition:
Sei . eine Gruppe mit Elementen g . Eine Darstellung U der Gruppe . ist ein
Homomorphismus:
U : . Ø 3H/L
(III.17)
g œ . # UHgL œ 3H/L
Die Gruppenverknüpfung in . entspricht dann der Hintereinanderausführung
g1 ë g2 œ . # UHg1 ë g2 L = UHg1 LëUHg2 L
(III.18)
Man kann jetzt auch einen Symmetriebegriff für Observablen definieren:
Falls eine Observable A die Relation
A' := UH; L A UH; L-1 = A
(III.19)
erfüllt, so heißt A invariant unter der Transformation ; oder auch symmetrisch bezüglich ;.
Es gilt außerdem die Äquivalenz
8A ist symmetrisch unter ; < ó 8 @A, UH; LD = 0<
(III.20)
Beweis:
Folgt trivial durch rechtsseitige Multiplikation von (III.19) mit U(;):
äUH; L
UH; L A UH; L-1 = A ›îîfl UH; L A = A UH; L ó @A, UH; LD = 0
(III.20 a)
Ñ
Diskrete und kontinuierliche Symmetrien
Wenn die Symmetriegruppe endlich ist, es also eine beschränkte Anzahl der möglichen
Transformationen ; gibt, spricht man von diskreten Symmetrien. Es seien hier zwei kurze
Beispiele gegeben:
Beispiel 1: Spiegel-Symmetrie
Gegeben ist ein Operator
7 : yHr”, tL # yH-r”, tL .
mit
72 = , 7 = 7-1 = 7†
Das zeigt, dass 7 selbst eine Observable mit Eigenwerten ≤ 1ist. Wir kennen 7 bereits als
den Paritätsoperator. Seine Eigenfunktionen sind entweder symmetrisch (gerade Parität)
oder antisymmetrisch (ungerade Parität).
S.16
Seminar: Teilchen, Symmetrien und Quantentheorie
A. Koglbauer, S. Rothe
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13.12.2004
Eine genauere Behandlung des Paritätsoperator 7 findet man im Vortrag Nr. 5, "Raumspiegelung
und Zeitumkehr in der Quantenmechanik" von Jan Petersen und Oliver Loesdau.
Beispiel 2: Permutations-Symmetrie
Betrachten wir ein Zweiteilchensystem mit zugehöriger Wellenfunktion yHr”1 , ”r2 L. Der
Permutationsoperator P ist als ein Teilchenaustausch-Operator definiert:
PyHr”1 , ”r2 L = yHr”2 , ”r1 L
mit
P2 = , P = P-1 = P†
Auch der Permutationsoperator hat die Eigenwerte ≤1ist. Es ergibt sich wieder eine
Aufspaltung in die zwei Klassen symmetrischer und antisymmetrischer Wellenfunktionen.
Wenn man jetzt das Ganze auf mehrere Teilchen erweitert bekommt man
Wellenfunktionen, die
è total antisymmetrisch
(Fermionen)
è total symmetrisch sind.
(Bosonen)
Eine genauere Behandlung des Permutatiosoperators P findet man im Vortrag Nr. 6, "Spin und
Statistik" von Falk May und Thomas Beyer.
Kontinuierliche Symmetrien werden dagegen durch stetige Transformationen aus der
Identität erzeugt. Ihre Gruppen sind demnach unendlich. Paradebeispiel hierfür sind
Drehungen, die in Vortrag Nr. 1, "Die Drehungen in der Quantenmechanik (Teil1):
Erzeugende und Darstellungen" von Andreas Müller ausführlich diskutiert wurden. Weitere
kontinuierliche Symmetrien sind z.B. Translationen in Raum und Zeit oder spezielle
Lorentz-Transformationen.
Seminar: Teilchen, Symmetrien und Quantentheorie
S.17
13.12.2004
Wie werden Symmetrien in der QT realisiert?
A. Koglbauer, S. Rothe
IV. Theorem von Wigner
Das Theorem
Nachdem wir uns nun (mehr oder weniger abstrakt) mit den Begriffen der Symmetrie und
der Symmetrie-Transformation befasst haben, wollen wir nun etwas konkreter werden,
indem wir die Frage stellen, wie Symmetrien in der Quantentheorie realisiert werden.
Betrachten wir einen durch Superauswahlregeln definierten kohärenten Unterhilbertraum
/c .
Eine Symmetriewirkung ; œ . (. ist die Symmetriegruppe) transformiert zumeist wieder
in den selben kohärenten Unterhilbertraum /c , seltener in den dazu konjugierten
Unterraum /êêc .
Das Theorem von Wigner macht genau darüber Angaben:
Sei ; eine Symmetriewirkung, die 9 auf 9' abbildet, wobei 9 œ @/c D und 9' œ A/H-Lc E ,
welche alle Übergangsamplituden betragsmäßig erhält. Dann kann man diese immer als
eine Abbildung V H; L mit
V H; L : @/c D Ø A/H-Lc E,
(IV.1)
9 # V H; L 9 = : 9'
(IV.2)
V H; L H9i + 9k L = V H; L 9i + V H; L 9k
(IV.3)
∞V H; L 9i ¥2 = ∞9i ¥2 .
(IV.4)
realisiert werden, die additiv und normerhaltend ist, d.h.
und
Sie ist entweder unitär oder antiunitär.
Die Darstellungen V(;) der Transformationen ;, wie wir sie eben eingeführt haben, sind
sogenannte projektive Darstellungen. Sie transformieren zwischen den Strahlen und sind
deshalb nur bis auf eine Phase festgelegt. Betrachtet man aber die Transformation der
Zustandsvektoren, so muss uns klar sein, dass jeder Transformation eigentlich noch eine
Phase angefügt wird.
S.18
Seminar: Teilchen, Symmetrien und Quantentheorie
A. Koglbauer, S. Rothe
Wie werden Symmetrien in der QT realisiert?
13.12.2004
Da wir es aber gewohnt sind, im Hilbertraum / zu arbeiten und wir bisher noch gar nicht
definiert haben, was unitäre und antiunitäre Operatoren auf Projektiven Hilberträumen [/]
sind, formulieren wir das Theorem noch einmal für Transformationen von
Zustandsvektoren. Dabei behalten wir aber im Hinterkopf, dass SymmetrieTransformationen eigentlich Strahl-Transformationen sind.
Seien [/c ] ein kohärenter projektiver Hilbertraum, 9 œ @/c D, 9' œ A/H-Lc E zwei Strahlen,
; : 9 Ø 9' eine Symmetriewirkung und » y\ œ 9, » y'\ œ 9 ' Zustandsvektoren.
Die Darstellung UH; L der Symmetriewirkung definiert eine Abbildung mit:
UH; L : /c Ø /H-Lc
» y\ # UH; L » y\ = : » y'\ ,
(IV.5)
(IV.6)
UH; L H » yi \ + » yk \L = UH; L » yi \ + UH; L » yk \
(IV.7)
∞UH; L yi ¥2 = ∞yi ¥2 .
(IV.8)
die additiv und normerhaltend ist, d.h.
und
Dann ist der Operator UH; L entweder unitär oder antiunitär.
An dieser Stelle wird noch einmal darauf aufmerksam gemacht, dass die an die SymmetrieTransformation gestellte Vorraussetzung der Normerhalt, und nicht der Erhalt des
Skalarprodukts ist. In der Tat sind Isometrie und Phasenfreiheit (die ja die Einheitsstrahlen
mit sich bringen), die einzig maßgeblichen Elemente, die im Beweis dieses Theorems
eingehen. Dieser wird an späterer Stelle noch ausführlich dargelegt.
Seminar: Teilchen, Symmetrien und Quantentheorie
S.19
13.12.2004
Wie werden Symmetrien in der QT realisiert?
A. Koglbauer, S. Rothe
Bemerkungen und Beispiele
è Der zu /c konjugierte kohärente Unterraum /êêc definiert sich dadurch, dass additiv
erhaltene Quantenzahlen (Q, B, L, ∑, ...) durch ihr negatives ersetzt werden (Beispiele für
solche Transformationen sind die Ladungskonjugation C oder das Produkt Q := 7 C T aus
Raumspiegelung 7, Ladungskonjugation C und Zeitumkehr T ).
è Die triviale Strahltransformation 9 Ø 9, die durch die Identitätsabbildung U =  gegeben
ist, ist natürlich unitär und linear.
è Jede (kontinuierliche) Symmetrie (Rotation, Translation, ...), die aus der Identität hervor
geht, etwa durch stetige Veränderung von Parametern (Winkel, Entfernungen, ...) muss
durch einen unitären Operator dargestellt werden - nicht durch eien antiunitären - dies folgt
aus der Stetigkeit (da sie aus der  entstehen).
In der Nähe der  kann dieser dargestellt werden als:
U =  + Â ¶ t,
(IV.9)
mit ¶ > 0, ¶ œ  und t einem hermiteschen, linearen Operator.
t wäre ein guter Kandidat für eine Observable. Die meisten Observablen gehen in dieser Weise aus
Symmetrie-Transformationen hervor. Man denke an den Drehimpuls.
è Die Gruppenstruktur von ; überträgt sich auf die Operatoren UH; L. Nur mit dem
Unterschied, dass die Operatoren UH; L auf Vektoren im Hilbertraum wirken und nicht auf
Strahlen:
Wenn ;1 : 9 Ø 9 ' einen Strahl transformiert, dann muss der entsprechende Operator
UH;1 L, der auf einen Vektor » y\ aus dem Strahl 9 wirkt, einen Vektor
UH;1 L » y\ ausspucken, der im Strahl 9' liegt. Wenn jetzt UH;2 L auf diesen Vektor wirkt, so
erhält man den Vektor UH;2 L UH;1 L » y\, der im Strahl 9''liegt.
Der zur Verknüpfung ;2 ;1 gehörende Operator UH;2 ;1 L bildet den Vektor » y\ nach
UH;2 ;1 L » y\ ab. Beachte: Dieser Vektor ist gleichermaßen ein Element des Strahls 9 ''!
Also:
UH;2 ;1 L » y\ œ 9 '' und UH;2 L UH;1 L » y\ œ 9'' .
(IV.10)
UH;2 L UH;1 L » y\ = ‰Â aH;1 ,;2 L UH;2 ;1 L » y\ .
(IV.11)
Damit können sich die beiden Vektoren nur um eine feste Phase: aH;1 , ;2 L unterscheiden:
Aus der Anti/Linearität von UH; L folgt, dass diese Phasen unabhängig vom Zustand » y\
sind.
S.20
Seminar: Teilchen, Symmetrien und Quantentheorie
A. Koglbauer, S. Rothe
Wie werden Symmetrien in der QT realisiert?
13.12.2004
Beweis:
Wir betrachten zwei linear unabhängige Vektoren » yA \ und » yB \ mit » yAB \ ª » yA \ + » yB \ gilt:
‰Â g UH;2 ;1 L H » yA \ + » yB \L = UH;2 L UH;1 L H » yA \ + » yB \L
= UH;2 L UH;1 L » yA \ + UH;2 L UH;1 L » yB \
= ‰Â a UH;2 ;1 L » yA \ + ‰Â b UH;2 ;1 L » yB \
Jeder anti/unitäre Operator hat ein Inverses (der adjungierte Operator, der natürlich auch anti/unitär
ist). Wenn man jetzt obige Gleichung von links mit U -1 H;2 ;1 L multipliziert, liefert das:
‰≤ g H » yA \ + » yB \L = ‰≤ a » yA \ + ‰≤ b » yB \
Wobei das positive Vorzeichen vor der Phase für unitäre und das negative für antiunitäre Opreatoren
gilt. Gleichheit gibt es nur dann, wenn
‰≤ g = ‰≤ a = ‰≤ b .
Und damit sind die Phasen unabhängig vom Zustandsvektor » y\.
Ñ
Wichtig ist auch, dass wir Wirkungen auf einem kohärenten Hilbertraum /c betrachten, da ja nur
hier das Superpositionsprinzip uneingeschränkt gilt. Die Unabhängikeit der Phase von den
Zuständen ist dann nicht mehr gegeben!
UH;2 L UH;1 L = ‰Â aH;2 ,;1 L UH;2 ;1 L.
Dies kann man als Operatorgleichung schreiben:
Für a = 0 würde das bedeuten, dass UH; L eine Darstellung der Gruppe der SymmetrieTransformationen liefert. Für allgemeine Phasen aH;1 , ;2 L liefert das eine sogenannte
projektive Darstellung oder eine "Darstellung bis auf eine Phase" (die wir als V H; L
bezeichneten).
(IV.12)
è Wann ist die Darstellung der Symmetrie-Transformation unitär - wann ist sie antiunitär?
Um dies zu entscheiden betrachten muss die Dynamik betrachtet werden.
Die Dynamik unseres Systems ist durch den Hamiltonoperator H gegeben. Die zeitliche
Entwicklung unseres Zustands yHt, xL wird bekanntermaßen beschrieben durch
Â
yHt, xL = ‰- ÅÅÑÅÅ H t yH0, xL.
(IV.13)
Wenn die Symmetriewirkung die Zeitrichtung nicht beeinflusst, so muss der
Zeitentwicklungsoperator auch die transformierten Zustände aufeinander abbilden:
y' Ht, xL = ‰- ÅÅÑÅÅ H t y' H0, xL
(IV.14)
y' Ht, xL = UH; L yHt, xL.
(IV.15)
Â
und
U -1 H; L ‰- ÅÅÑÅÅ H t UH; L = ‰- ÅÅÑÅÅ H t
(IV.16)
@H, UH; LD = 0
(IV.17)
Damit muss U(;) zeitunabhängig, linear und unitär sein. Außerdem müssen
Â
Â
und somit
gelten.
Betrachten wir jetzt eine Symmetrie AH; L, die die Zeitrichtung umkehrt. Dann gilt:
y' Ht, xL = ‰+ ÅÅÑÅÅ H t y' H0, xL
Â
(man beachte das + im
Zeitentwicklungsoperator),
y' Ht, xL = AH; L yHt, xL
Seminar: Teilchen, Symmetrien und Quantentheorie
(IV.18)
S.21
13.12.2004
Wie werden Symmetrien in der QT realisiert?
Â
Â
und die
A-1Transformation
H; L ‰+ ÅÅÑÅÅ H t AH;ist
L =durch
‰- ÅÅÑÅÅ H t .
gegeben. Damit ist AH; L antiunitär. Es gilt aber auch wieder
@H, AH; LD = 0
A. Koglbauer, S. Rothe
(IV.19)
(IV.20)
è Handelt es sich bei der Symmetriewirkung um eine Lie-Gruppe , dann muss ihr
darstellender Operator unitär sein. Dies sieht man ein, wenn man weiß, dass eine
Eigenschaft von Lie-Gruppen ist, dass sich jedes Element g œ durch das Quadrat eines
anderen g0 œ  ausdrücken lässt.
Für die Darstellung der Hintereinanderausführung von g1 und g2 gilt allgemein
UHg1 L UHg2 L = UHg1 g2 L,
(IV.21)
UHg0 L UHg0 L = UHg0 g0 L = UHg0 2 L = UHgL
(IV.22)
und speziell
Die Darstellung einer solchen Symmetriewirkung ist immer unitär.
Beweis:
Da das Produkt zweier antiunitärer Operatoren selbst unitär ist, sich U(g) aber immer als ein solches
schreiben lässt, kann U(g) selbst nicht antiunitär sein.
Ñ
S.22
Seminar: Teilchen, Symmetrien und Quantentheorie
A. Koglbauer, S. Rothe
Wie werden Symmetrien in der QT realisiert?
13.12.2004
Beweis des Wigner-Theorems
Die Symmetrie-Transformationen
;, die wir im Folgenden behandeln, sind
Transformationen von Einheitstrahlen 8 » yk \<, mit
» yk \ œ 8 » yk \< := 8 » yk \ ‰ij » j œ <
» y'k \ œ ; 8 » yk \<
Dann gilt:
» Xy1 » y2 \ »2 = » Xy1 » y2 \ »2
(IV.23)
Xyk » yl \ = dkl .
(IV.24)
'
'
Wir betrachten einen vollständigen orthonormalen Satz von Zustandsvektoren » yk \œ
{ » yk \}.
Damit ist
Für beliebige Zustandsvektoren » y'i \ gilt damit:
» Xyk » yl \ »2 = » Xyk » yl \ »2 = dkl
'
'
und die Zustandsvektoren |y'k \ sind ebenfalls orthonormal:
Xyk » yl \ = dkl ,
'
'
(IV.25)
bilden demnach auch eine Basis.
Dies sieht man wie folgt ein: Gäbe es nämlich irgend ein|y'\∫|0\ , das orthogonal zu
allen » y'k \ steht, dann müsste es ein » y'' \ ∫ » 0\ œ ; -1 8 » y' \< geben derart, dass
" k : » Xyk » y'' \ »2 = » Xy'k » y' \ »2 = 0 . Das kann aber nicht existieren, da ja » yk \
vollständig ist.
Jetzt führen wir noch eine Phasenkonvention für » yk \ ein. Dazu wählen wir ein
beliebiges » yk \, z.B. » y1 \ , aus und betrachten.
,
1
» Uk \ ª ÅÅÅÅ
ÅÅÅÅ!Å @ » y1 \ + » yk \]
è!!!
mit » Uk \ œ 8 » Uk \< und k ∫ 1. Jeder Zustandsvektor » U'k \ œ ; 8 » Uk \<
geschrieben werden als
» U'k \ = ⁄b ckb » y'b \; ckb œ 
1
Aus (IV.23) folgt » ckk »= » ck1 »= ÅÅÅÅ
ÅÅÅÅ!Å und " b ∫ k, b ∫ 1 gilt : ckb = 0
è!!!
2
(IV.26)
kann
2
Für jedes gegebene k kann durch eine günstige Wahl der Phase der zwei Vektoren
» U'k \ und » y'k \ auch die Phase der Koeffizienten ckk , ck1 ∫ 0 so gewählt werden, dass
1
ckk = ck1 = ÅÅÅÅ
ÅÅÅÅ!Å
è!!!
Die »U'k \ und »y'k \ die dies erfüllen werden von jetzt an als U » Uk \ und U » yk \
bezeichnet. Aus obigen Betrachtungen folgt:
2
1
1
U ÅÅÅÅ
ÅÅÅÅ!Å @ » yk \ + » y1 \D = U » Uk \ = ÅÅÅÅ
ÅÅÅÅ!Å @U » yk \ + U » y1 \D
è!!!
è!!!
Es bleibt nun zu zeigen, was U » y\ für allgemeine » y\ bedeutet. Dazu betrachten wir
solch einen beliebigen Zustandsvektor » y\ œ 8 » y\< und stellen ihn durch
2
» y\ = ⁄k Ck » yk \
2
(IV.27)
(IV.28)
dar.
Seminar: Teilchen, Symmetrien und Quantentheorie
S.23
13.12.2004
Wie werden Symmetrien in der QT realisiert?
A. Koglbauer, S. Rothe
Genauso kann » y' \ œ ; 8 » y\< aus dem vollständigen, orthonormalen Satz U » y\
geschrieben werden als
» y' \ = ⁄k Ck' U » yk \.
(IV.29)
Die Gleichheit
» Xyk » y\ »2 = » XUyk » y' \ »2
zeigt uns, dass " k (auch k = 1) gilt:
» Ck »2 = » Ck' »2 ,
(IV.30)
» XUk » y\ »2 = » XU Uk » y'\ »2 ï " k ∫ 1 : » Ck + C1 »2 = » Ck' + C1' »2
(IV.31)
während
Ck
Ck
Re 9 ÅÅÅÅ
ÅÅÅ = = Re 9 ÅÅÅÅ
ÅÅÅ =.
C1
C'
Aus den Gleichungen (IV.30) und (IV.31) folgt
'
(IV.32)
1
Ck
Ck
Im 9 ÅÅÅÅ
ÅÅÅ = = ≤Im 9 ÅÅÅÅ
ÅÅÅ =.
C1
C'
Und aus Gleichung (IV.30) entnehmen wir
'
(IV.33)
1
Beweis von (IV.32) und (IV.33):
Das
wird
anschaulich,
wenn
man
» Ck + C1 »2 = » Ck' + C1' »2 so schreibt:
*
Durch
ausmultiplizieren
erhalten
wir:
HCk + C1 L HCk + C1 L* = HCk' + C1' L HCk' + C1' L .
» Ck »2 + » C1 »2 +2 Re 8Ck C1 * < = » Ck ' »2 + » C1 ' »2 +2 Re 8Ck ' C1 '* <. Mit (IV.30) ergibt sich:
C1
C1 '
ÅÅÅ = = Re 9Ck ' C1 '* ÅÅÅÅ
ÅÅÅÅ =, damit
Re 8Ck C1 * < = Re 8Ck ' C1 '* <. Weiter geht es mit erweitern: Re 9Ck C1 * ÅÅÅÅ
C1
C1 '
Ck
Ck '
ÅÅÅ †C1 §2 = = Re 9 ÅÅÅÅ
ÅÅÅÅ †C1 '§2 =, und ergibt sich (IV.32).
man nun wieder (IV.30) anwenden kann: Re 9 ÅÅÅÅ
C1
C1 '
Für (IV.33) teilen wir die allgemeine Form (IV.30) durch die Gleichung für k = 1 und erhalten:
»Ck »2
»Ck '»2
ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅ = ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅ .Für z œ gilt ja: » z »2 = Re 8z< + Im 8z<. Damit, mit (IV.32) und nachfolgendem
»C1 »2
»C1 '»2
Wurzelziehen ergibt sich (IV.33).
Ñ
Folglich gilt entweder
Ck'
Ck
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
C1
C1'
oder
*
Ck i Ck' yz
z
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = jj ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
C1 k C1' {
Diese Wahl muss für jedes k getroffen werden.
(IV.34)
(IV.35)
Beweis:
(Diesen Beweis hatte Wigner in seinem Paper weg gelassen.)
Annahme:
Ck'
Cb' *
Ck
Cb
Für ein k gelte ÅÅÅÅ
ÅÅÅ = ÅÅÅÅ
ÅÅÅ , während für ein b ∫ k ÅÅÅÅ
ÅÅÅ = I ÅÅÅÅ
ÅÅÅ M gilt. Weiterhin nehmen
C1
C'
C1
C'
1
1
wir an, dass die Verhältnisse wirklich komplex sind, sodass wir uns um
verschiedene Fälle kümmern. (Übrigens fordert dies k ∫ 1, b ∫ 1 , k ∫ bL. Wir
werden zeigen, dass diese Annahmen zu einem Widerspruch führen.
1
» F\ := ÅÅÅÅ
ÅÅÅÅ!Å @ » y1 \ + … yk ] + … yb ]E.
è!!!
Definiere:
3
S.24
(IV.35 a)
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A. Koglbauer, S. Rothe
Wie werden Symmetrien in der QT realisiert?
13.12.2004
Wären alle Verhältnisse der Koeffizienten reell, so müssten wir dieselben
Verhältnisse
in
beliebigen
» F' \ œ ; 8 » F' \<
mit
a
'
» F \ = ÅÅÅÅ
ÅÅÅÅ!Å @U » y1 ] + U … yk ] + U … yb ]E und a einem Phasenfaktor mit |a|=1.
è!!!
Aber dann fordert die Gleichheit der Übergangswahrscheinlichkeiten » Xf » y\ » und
» Xf' » y' \ », dass
Ck '
Ck
Cl
Cl '
À 1 + ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ + ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ À2 = À 1 + ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ + ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ À2 .
(IV.35 b)
C1 '
C1
C1
C1
Und folglich gilt
Ck
Cl * 2
Ck
Cl 2
… 1 + ÅÅÅÅ
ÅÅÅ + ÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅ … = … 1 + ÅÅÅÅ
ÅÅÅ + ÅÅÅÅ
ÅÅÅ … .
(IV.35 c)
C1
C1 *
C1
C1
3
Ck Cl
Ck Cl
Re 9 ÅÅÅÅ
ÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅ = = Re 9 ÅÅÅÅ
ÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅ =.
C1 C*
C1 C1
Das ist nur möglich, wenn
*
(IV.35 d)
1
Ck
Cl
Im 9 ÅÅÅÅ
ÅÅÅ = ÿ Im 9 ÅÅÅÅ
ÅÅÅ = = 0.
C1
C1
Oder in anderen Worten, wenn
(IV.35 e)
Ck
Cl
Also müssen entweder ÅÅÅÅ
ÅÅÅ oder ÅÅÅÅ
ÅÅÅ für beliebiges Paar k, l reell sein. Dies ist aber
C1
C1
ein Widerspruch zu unserer Annahme.
Ñ
Wir sehen dann, dass für eine gegebene Symmetrie-Transformation ;, die auf einen
gegebenen Zustandsvektor Sk Ck yk angewandt wird, entweder (IV.34) oder
(IV.35) gelten müssen.
Wigner schloss die zweite Möglichkeit (IV.35) aus, da er in seinem Beweis nur für
Symmetrie-Transformationen zeigte, die die Zeitrichtung nicht beeinflussten.
Abhängig davon, welche der Möglichkeiten zutrifft, werden wir jetzt U » y\ genau als
den Vektor » y' \ definieren, der aus dem transformierten Einheitsstrahl ;{|y\} stammt.
*
Dabei wählen wir die Phase so, dass entweder C1 = C1' oder C1 = C1' gilt.
UHSk Ck yk L = Sk Ck U » yk \
(IV.36)
UHSk Ck yk L = Sk Ck* U » yk \.
(IV.37)
Daraus folgt entweder
oder
Es verbleibt zu zeigen, dass für eine gegebene Symmetrie-Transformation die gleiche
Unterscheidung für die Gleichungen (IV.36) und (IV.37) für beliebige Werte von Ck
gilt.
Jetzt benutzen wir für Gleichung (IV.36) Sk Ak » yk \ und für Gleichung (IV.37)
Sk Bk » yk \. Dann verlangt die Invarianz der Übergangswahrscheinlichkeiten, dass
» Sk B*k Ak »2 = » Sk Bk Ak »2
oder gleichsam
Sk,b Im@A*k Ab D Im@B*k Bb D = 0
Wir können nicht ausschließen, dass (IV.38) für ein Paar Zustandsvektoren Sk Ak » yk \,
Sk Bk » yk \ (die zu verschiedenen Strahlen gehören) erfüllt sein könnte.
Seminar: Teilchen, Symmetrien und Quantentheorie
(IV.38)
S.25
13.12.2004
Wie werden Symmetrien in der QT realisiert?
A. Koglbauer, S. Rothe
Für ein beliebiges Paar solcher Zustandsvektoren in denen weder alle Ak noch alle Bk
gleiche Phase haben, können wir immer einen dritten Zustandsvektor Sk Ck » yk \ finden,
für den
Sk,b Im@Ck* Cb D Im@A*k Ab D ∫ 0
(IV.39)
Sk,b Im@Ck* Cb D Im@B*k Bb D ∫ 0 .
(IV.40)
und auch
Man erkennt, dass in (IV.39) für die Koeffizienten Ai und Ci die gleiche Wahl der
Phase getroffen werden muss (also Xi = Xi ' oder Xi = Xi '* , mit X = A oder C ) , da die
Summe sonst wie in (IV.38) Null ergäbe. Analoges gilt für die Koeffizienten Bi und Ci
in (IV.40).
Damit gilt diese Wahl auch für die Zustandsvektoren Sk Ak » yk \ und Sk Bk » yk \ .
Es ist jetzt leicht zu zeigen, dass der quantenmechanische Operator U entweder linear
und unitär oder antilinear und antiunitär ist.
Wir nehmen jetzt an, dass (IV.36) für alle Sk Ck yk erfüllt ist, und es seien
» y\ = Sk Ak » yk \ und » f\ = Sk Bk » yk \.
Mit (IV.36) folgt nun
UHa » y\ + b » f\L = U Sk HaAk + bBk L » yk \ = Sk HaAk + bBk L U » yk \ =
a Sk Ak U » yk \ + bSk Bk U » yk \
fl
UHa » y\ + b » f\L = a U » y\ + bU » f\
(IV.41)
Und U ist linear.
Mit (IV.24) und (IV.25) gilt für das Skalarprodukt der Transformierten Zustände:
XUy » Uf\ = Sk,b A*k Bb XUyk » Uyb \
Xy » f\
HIV .25L
=
Sk A*k Bk
= Sk,b XAk yk » Bb yb \
HIV .24L
(IV.42)
fl
XUy » Uf\ = Xy » f\
Und U ist unitär
Im Falle, dass die Symmetrie-Transformation Gleichung (IV.37) erfüllt gilt der gleiche
Weg, den sich zu überlegen dem geneigten Leser überlassen bleibt.
Ñ
Ein anderer Beweis des Theorems nach Bargmann befindet sich im Anhang von [4]
S.26
Seminar: Teilchen, Symmetrien und Quantentheorie
A. Koglbauer, S. Rothe
Wie werden Symmetrien in der QT realisiert?
13.12.2004
V. Literatur
Bücher
[1] Barut, Asim O.: Theory of group representations and applications - 2., rev. ed.. Singapore : World Scientific, 1986.
[2] Fuchs, Juergen: Symmetries, lie algebras and representations - Cambridge [u.a.] :
Cambridge Univ. Press, 1997.
[3] Messiah, Albert: Quantenmechanik - Berlin [u.a.] : de Gruyter, 19XX
[4] Scheck, Florian: Nichtrelativistische Quantentheorie - Berlin [u.a.] : Springer, 2000.
[5] Scheck, Florian: Quantisierte Felder - Berlin [u.a.] : Springer, 2001.
[6] Weinberg, Steven: The quantum theory of fields - Cambridge [u.a.] : Cambridge Univ.
Press, 19XX.
[7] Wigner, Eugene P.: Symmetries and reflections - Woodbridge, Conn.: Ox Bow, 1979.
[8] Wigner, Eugene P.: The collected works of Eugene Paul Wigner - Berlin [u.a.] :
Springer, 19XX.
Internet
Script: Prof. Dieter Suter Laserspektroskopie und Quantenoptik SS 2000
fuj.physik.uni-dortmund.de/~suter/ Vorlesung/Laserspektroskopie_00/4_Auswahlregeln.pdf
Symmetry and History Quantum Theory: An Analogue of Wigner’s Theorem,S.
Schreckenberg, Blackett Laboratory, Imperial College, South Kensington, London SW7
2BZ, JMP
http://www.math.rutgers.edu/~oldstein/papers/qts1.ps.gz
Diskrete Symmetrietransformationen, Hendrik van Hees, 29. Mai 1998
http://theory.gsi.de/~vanhees/faq/zeitum/
Theoretische Physik, Quantenmechanik II, Sommersemester ’95, Gerrit Jahn, 6. Juni 2004
http://www.planetjahn.de/files/theoried.pdf
Wikipedia - Die freie Enzyklopädie
http://wikipedia.de
Bemerkung:
Wer Druckfehler findet darf sie behalten.
Seminar: Teilchen, Symmetrien und Quantentheorie
S.27