Blatt 8

Übung (8)
Vorbemerkung: Sie können Aufgabe 1 schon lösen, für Aufgaben 2 und 3 sollten Sie den Inhalt der
Vorlesung am 11.6. abwarten.
1. Geben Sie eine Matrix an, welche das Einheitsquadrat [0, 1]2 im R2 überführt in ein Parallelogramm mit den
(beliebigen) Seitenlängen a, b und dem Winkel α, welcher von zwei Seiten dieser Längen eingeschlossen wird.
(Wir setzen das übliche kartesische System voraus.) Tun Sie im Einzelnen Folgendes:
→
→
(a) Skizzieren Sie das Einheitsquadrat mit eingezeichneten Kantenvektoren −
e 1, −
e 2 , zeichnen Sie auch ein Parallelogramm wie gewünscht mit Kantenvektoren beispielhaft ein, so dass die Kantenvektoren im Ursprung
→
anfangen. (Nehmen Sie einen dieser Kantenvektoren zweckmäßig parallel zu −
e 1 .)
(b) Geben Sie die Koordinatendarstellungen für die Kantenvektoren des Parallelogramms, das Sie gezeichnet
haben.
→
(c) Nun können Sie die gesuchte Matrix aufschreiben nach dem Muster: Bildvektor des k. Einheitsvektors −
ek
in die k. Spalte.
(d) Folgern Sie, dass alle nicht ausgearteten Dreiecke affin äquivalent sind, sich also durch affine Abbildungen ineinander überführen lassen. (Es genügt eine verbale Darstellung eines geeigneten Arguments, und es
genügt, nur die Form der Dreiecke zu betrachten. Benutzen Sie das bisherige Resultat über Parallelogram−
me.) Hinweis: Eine affine Abbildung lässt sich stets darstellen in der Form T→
a ◦ A, mit einer bijektiven
−
→
−
→
−
Matrixabbildung A und einer Translation T→
(eventuell
mit
a
=
0
.)
a
2. Betrachten Sie ein gleichseitiges Dreieck.
(a) Zeichnen Sie die Symmetrieachsen ein, und bezeichnen Sie diese mit a, b, c, entgegen dem Uhrzeigersinn.
(b) Zählen Sie alle Symmetrien des gleichseitigen Dreiecks auf, benutzen Sie dabei ’Sa ’ für ’Spiegelung an der
Achse a’, ’DP,ϕ ’ für ’Drehung um den Punkt P mit Winkel ϕ entgegen dem Uhrzeigersinn’, usw. (die
passenden Winkel ϕ sollten Sie natürlich konkret eintragen). Zusatzfrage: Wie könnte man sofort auf die
Anzahl aller Symmetrien des regelmäßigen Dreiecks kommen, ohne alle aufzuzählen?
(c) Geben Sie zwei verschiedene Erzeugendensysteme für die Symmetriegruppe des Dreiecks an (Hinweis: Sie
sollten jeweils mit höchstens zwei erzeugenden Symmetrien auskommen).
(d) Stellen Sie eine Spiegelung, die zur Symmetriegruppe des Dreiecks gehört, als Rechenausdruck dar, der nur
Ihre erzeugenden Symmetrien aus c benutzt - tun Sie dies für beide von Ihnen zu c genannten Erzeugendensysteme.
(e) Geben Sie ein Fundamentalgebiet an, und erzeugen Sie durch fortgesetzte Anwendung der Symmetrien eines
Ihrer Erzeugendensysteme aus c die gesamte Dreiecksfläche. (Die Lösung dieser Aufgabe sollten Sie einfach
mit einer kleinen Folge von Skizzen darstellen, wobei Sie jeweils angeben, welche Symmetrieoperation Sie
verwandt haben).
3. Betrachten Sie die Sinuskurve (also den Funktionsgraphen von sin auf ganz R) als Bandornament, zeichnen Sie
ein Stück davon, stellen Sie sich aber bitte das Ganze vor, beidseitig ins Unendliche wandernd).
(a) Geben Sie eine Translationssymmetrie, eine Drehsymmetrie, eine Spiegelsymmetrie und eine Gleitspiegelsymmetrie (für ’Gleitspiegelung’ sagt man auch ’Schubspiegelung’) der Figur an. Bezeichnen Sie dafür
−
geeeignet in der Skizze und benutzen Sie die Bezeichnungen T→
a , DP,ϕ (für ’Drehung mit Winkel ϕ um den
−
Punkt P ’ entgegen dem Uhrzeigersinn), Sa für ’Spiegelung an der Achse a’, Ga,→
a für ’Gleitspiegelung an
→
der Achse a mit Translationsvektor −
a ’.
(b) Geben Sie ein (möglichst minimales - mehr als drei Symmetrieoperationen sollten darin nicht vorkommen!)
Erzeugendensystem für die Symmetriegruppe des Sinusgraphen. Geben Sie auch ein Fundamentalgebiet an,
aus dem Sie den ganzen Sinusgraphen durch fortgesetzte Anwendung einer der Symmetrien des Erzeugendensystems wiederherstellen. (Hinweis: Führen Sie nur wenige Schritte aus wieder mit eine kleinen Folge
von Skizzen analog zu 2e, und dann helfen Sie sich mit ’und immer so weiter’ für die tatsächlich notwendigen unendlich vielen Schritte.) Zusatzfrage: Vielleicht fallen Ihnen auch zwei (wesentlich!) verschiedene
Erzeugendensysteme ein.)
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