D : DDDDDDD Trigonometrische Sätze im allgemeinen Dreieck

Formelsammlung zur Mathematik I / II für die Beruflichen Fachrichtungen Bautechnik, Metalltechnik und Elektrotechnik
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Bemerkungen:
x Bezeichnet man die Seite a - wie üblich - als Gegenkathete und die Seite b als Ankathete zu D , so ergeben sich folgende Merkformeln für die trigonometrischen Funktionen:
sin D :
Gegenkathete
,
Hypotenuse
cos D :
Ankathete
Hypotenuse
tan D :
Gegenkathete
,
Ankathete
cot D :
Ankathete
Gegenkathete
x Weiterhin erhält man durch Einsetzen:
tan D :
sin D
cos D
,
,
cos D
sin D
cot D :
1
tan D
.
x Bezüglich des Wertebereichs der trigonometrischen Funktionen folgt für D>0, 90 q@ 1:
sin D , cos D  >0,1@ sowie tan D , cot D  >0, f .
x Verwendet man anstelle des Winkelgradmaßes D [q] das Bogenmaß x , so gilt:
S
D>0, 90q@ œ x  ª« 0 , º» .
2 ¼
¬
Mittels elementargeometrischer Betrachtungen erhält man dann unter Verwendung des
Symbols f für „Unendlich“ folgende Werte für sin, cos, tan und cot zu den folgenden
speziellen im Bogenmaß angegebenen Winkeln x :
Winkel x
S/6
0
sin x
0
2
0
cos x
4
2
1
1
2
S/4
1
2
3
2
S/3
2
2
1
2
2
2
1
2
S/2
3
2
1
2
1
2
4
2
1
0
2
0
tan x
0
1
3
1
3
rf
cot x
rf
3
1
1
3
0
Trigonometrische Sätze im allgemeinen Dreieck
Es sei ' ABC ein beliebiges Dreieck mit Seitenlängen a,b,c und Winkeln D,E,J . Dann gelten die folgenden allgemeinen Sätze (siehe dazu die Skizze):
1
Wir verwenden dabei die Intervallschreibweise [a,b] { xR | a d x d b} für gegebene reelle Zahlen a,bR
sowie [a,f) { xR | a d x } im Fall der nach oben unbeschränkten Menge.
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Satz
Formel
sin D
a
Sinussatz
Kosinussatz
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a2
sin E
b
sin J
c
b 2 c 2 2 ˜ b c ˜ cos D
Skizze:
Bemerkungen:
x Der Sinussatz lässt sich vorteilhaft anwenden, wenn im Dreieck ' ABC gegeben sind
- zwei Seiten sowie ein Winkel, welcher einer der Seiten gegenüberliegt (SSW) oder
- eine Seite und zwei Winkel (WSW bzw. SWW) .
x Der Kosinussatz kann vorteilhaft angewendet werden, wenn im Dreieck ' ABC gegeben
sind
- alle drei Seiten (SSS) oder
- zwei Seiten und der von den beiden Seiten eingeschlossene Winkel (SWS) .
Produkte mit Vektoren
Im Bereich der Produktbildung mit Vektoren hat man im Wesentlichen drei Möglichkeiten.
Während wir das skalare Vielfache im Zusammenhang mit der Einführung des Begriffes des
Vektorraumes bereits kennengelernt haben, sind die beiden anderen Produkte neu. Es handelt sich um das Skalar- und um das Vektorprodukt. Man beachte hierbei, welche Objekte
man „reinsteckt“ und welche man „herausbekommt“.
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Produkte
Skalares Vielfaches
Skalar u Vektor
Vektor
Skalarprodukt
Vektorprodukt (nur R 3 )
Vektor u Vektor
Skalar
Vektor u Vektor
Vektor
Hier nun die Definitionen der beiden „Neuen“:
Das Skalarprodukt
Definition:
&
Seien a
§ a1 ·
¨
¸ &
¨ ¸ ,b
¨a ¸
© n¹
§ b1 ·
¨
¸
n
¨ ¸  R zwei Vektoren, dann heißt
¨b ¸
© n¹
& &
& &
a x b : aT˜ b
n
¦ ai bi
a1 b1 a 2 b 2 a n b n
i 1
&
&
das Skalarprodukt (abgekürzt: SP ) von a und b .
Rechenregeln:
Aufgrund des Rückgriffs auf die Matrizenmultiplikation gelten für
das SP viele Rechenregeln. Insbesondere:
&
&
&
& &
& &
(i) a x O ˜ b P ˜ c
O ˜ (a x b ) P ˜ (a x c ) für alle O,PR
& & &
(Linearität in der 2. Komponente)
und a, b , c  R n ,
& & & &
& &
(ii) a x b b x a für alle a, b  R n ,
(Symmetrie)
& &
&
& &
& &
(iii) a x a t 0 für alle a  R n und a x a 0 œ a 0 .
(positive Definitheit)
Einführung einer Norm:
Mit Hilfe des SP lässt sich auch (s. Satz des Pythagoras) die Län&
&
ge a eines Vektors a R n - genannt die Norm - messen.
Dazu setzt man
&
& &
a :
axa
a12 a n2
.
&
&
Dann hat der Betrag bzw. die Norm a von a R n folgende
Eigenschaften:
&
&
& &
&
a t 0 für alle a R n und
a
0 œ a 0
(i)
(eindeutige Charakterisierung des Nullvektors) ,
&
&
&
O ˜a
O ˜ a
(ii)
für alle OR , a  R n (Homogenität) ,
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&
& &
&
ab d a b
(iii)
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& &
für alle a, b  R n
(Dreiecksungleichung) .
&
Beachte also, dass für a  R n gilt:
Geometrische Deutung
des SP:
&
& &
Seien a, b  R n \ 0
^ `
& &
a xa
& &
und M % a, b
&
a
2
.
der von beiden Vekto-
ren eingeschlossene Winkel mit M [0, S] . Dann gilt für das SP :
&
& &
&
axb
a ˜ b ˜ cos M .
Auf diese Weise gelangt man zur Beschreibung der Orthogonalität
zweier Vektoren mittels des SP . Es gilt:
& &
&
aAb œ a
&
&
0 › b
&
0 › M
S
2
& &
œ axb
0 .
Bemerkungen:
&
x Zur Bezeichung der Länge (Norm) eines Vektors a  R n werden häufig auch kleine lateinische Buchstaben, entsprechend der Bezeichung des zugehörigen Vektors, verwendet
&
&
– also z.B. a für a oder b für b usw. Dann gilt beispielsweise:
& &
a xa
&
a
2
a2
&
a
mit
&
0 œa
0
sowie
& &
axb
a ˜ b ˜ cosM
x Die geometrische Formel für das SP lässt sich – zumindest in den Fällen R 2 und R 3 –
aus dem Kosinussatz der Trigonometrie (siehe dazu den „Anhang: Trigonometrische
Funktionen“ im Skript, S. III / IV) und den Rechenregeln für das SP herleiten. Dazu be&
& & &
& &
trachte man den Differenzvektor c a b in dem durch die Vektoren a, b  R n \ 0
^ `
aufgespannten Dreieck.
x Offensichtlich dient das SP neben der Längenmessung von Vektoren (im Sinne einer
&
& &
Norm) auch der Winkelmessung zwischen zwei Vektoren a, b  R n \ 0 . Dies sieht
&
& &
&
man, wenn man die geometrische Formel a x b
a ˜ b ˜ cos M entsprechend um-
^ `
stellt zu:
& &
M % a , b
§
¨
arccos ¨
¨
©
& &
axb
& &
a ˜ b
·
¸
¸
¸
¹
& &
§axb·
¸
arccos ¨¨
¸
© a˜b ¹
.
x Aus der geometrischen Formel des SP folgt die sogenannte Cauchy-Schwarzsche Un& &
& &
gleichung : a x b d a ˜ b a ˜ b mit „ “ genau in den Fällen M 0 und M S .
&
& &
x Sind a, b  R n \ 0
^ `
mit
dann beschreibt die Zahl
a
& &
axb
&
a
&
1 – a ist also ein sogenannter Einheitvektor –,
&
&
&
b ˜ cosM b ˜ cosM die Projektion von b auf a .
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