Vorlesung Algebra und Zahlentheorie Teil I 1 Kongruenzen

Vorlesung Algebra und Zahlentheorie
Marcel Kerber
25. April 2012
Teil I
VL5
1 Kongruenzen
Beispiele zur Kongruenz
1. Welche Zahlen der Form n2 + 1 sind durch 3 teilbar?
ˆ
n mod 3 0̄ 1̄ 2̄
n2 mod 3 0̄ 1̄ 1
4n2 mod 3 1̄ 2 2̄
n̄2 = 0̄
4n2 + 1 = 4̄n̄2 + 1̄ = 4̄0̄ + 1 = 1̄ (für Feld 1,2)
ˆ Anwort: es exist. keine
1.1
Wiederholung Satz
ā ∈ Z |mZ invertierbar⇔ ∃b̄ ∈ Z |mZ : āb̄ = 1̄
ā invertierbar ↔ ggT (a, m) = 1
ˆ 3̄ ∈ Z |6Z ist nicht in´nvertierbar, da 3̄ Nullteiler ist: 3̄ · 2̄ = 0̄
ˆ wäre x̄ ein inv. Element zu 3̄
3̄x̄
⇔ |{z}
3̄ · 2̄ x̄
=
1
| ·2̄
= 2̄
0̄
⇔ 0̄
= 2̄ W iderspruch
ˆ (Z |6Z )∗ = {1̄, 5̄}
ˆ (Z |5Z )∗ = {1̄, 2̄, 3̄, 4̄}
Allgemein: (Z |pZ )∗ = Z |pZ − {0̄} = {1̄,2̄, . . . , p − 1}
1
Beispiel
In Z |17Z lösen wir das lin. Gleichungssystem
¯
= 11
I x + 2̄y
II x − y
⇒ 3̄y
= 2̄
= 9̄
| 3̄−1
= 9̄ · 3̄−1
⇒ ȳ
Da 3̄ ∈ Z |17Z invertierbar ist:
1.2
3̄−1
= 6̄ (3̄ · 6̄ = 1̄)
⇒y
= 9̄ · 6̄ = 3̄
⇒x
= 5̄
Bemerkung 1-dtgkeit inv. Element
Sei ā ∈ Z |mZ , ā · b̄ = ā · c̄ = 1̄ + b̄ = c̄
Beweis
āb̄ = āc̄ ⇔
ā(b̄ − c̄) = 0̄
⇔
m | a(b − c)
⇒
m | (b − c)
a, b, c ∈ Z, b, c ∈ {0, 1, . . . , m − 1}, b ≥ c, ggt(m, a) = 1
b ≥ c ⇒ b − c ∈ {0, 1, . . . , m − 1} ⇒ b = c
2
simultane Kongruenzen
2.1
Satz simultane Konvergenz
Seien m1 , m2 , . . . , mn paarweise teilerfremde nat Zahlen und a1 , a2 , . . . , an ∈ Z
beliebig, dann ∃ein x ∈ Z, dass alle Kongruenzen
x
≡ a1 mod m1
x
≡ a2 mod m2
..
.
x
≡ an mod mn
erfüllt. Auÿerdem ist x mod m1 . . . mn 1-dtg. bestimmt.
2
Beispiel
x
≡ 3 mod 5 ⇒ x ∈ {3, 8, 13, 28, 23, −2 . . .}
x
≡ 4 mod 7 ⇒ x ∈ {4, −3, 11, 18, 25, −10 . . .}
Lösung x = 18
weitere Lösungen
ˆ 18 + 35
ˆ 18 + 35 · 101
ˆ 18 − 35
Beweis
1-dtgkeit der Lsg:
Seien x, y ∈ Z mit x ≡ ai mod mi , y ≡ ai mod mi
zu zeigen:
x ≡ y mod m1 . . . mn ⇔ m1 . . . mn | x − y
1. mi | x − ai , ∀i ∈ 1, . . . , n
2. mi | y − ai , ∀−
3. ⇒ mi | x − y, ∀i
1., 2.
4.
| x−y
m1
..
.
| x−y
mn
5. m1 . . . mn | x − y
6. ggT (mi , mj ) = 1, i 6= j
Existenzbeweis:
ˆ Durch Induktion über n, n = 2 :
x ≡
a1 mod m1
x ≡
a2 mod m2
Spezialfall a1 = 1, a2 = 0
ggT (m1 , m2 ) = 1 ⇒ ∃u, r ∈ Z : um1 + rm2 = 1
⇒
1. rm2 ≡ 1 mod m1
3
2. rm2 ≡ 0 mod m2
x = rm2 ist eine Lsg.
ähnlicherweise um1 ≡ 0 mod m1 , um2 ≡ 1 mod m2
ˆ x = um1 löst das System im Fall a1 = 1, a2 = 1
ˆ x = rm2 löst das System im Fall a1 = 1, a2 = 0
ˆ Seien jetzt a1 , a2 ∈ Z allgemeine ganze Zahlen
ˆ x = a1 rm2 + a2 um1 ⇒ x ≡ a1 mod m1
ˆ x mod m1 = a1 rm2 mod m1
|{z}
1
ˆ a1 rm2 ≡ 1 mod m1
ˆ Kongruenzklasse mod m2
x̄ ≡ a2 um1 = ā2
|{z}
≡1
⇒ x ≡ a2 mod m2 ⇒ x ist Lsg.des Systems
Induktionsschritt
ˆ Nehmen an: y ∈ Z bereits gefunden mit
y
≡ a1 mod m1
..
.
y
≡ an−1 mod mn−1
ˆ Betrachtet man das System
x ≡ an mod mn
x ≡ y mod m1 . . . mn−1
ˆ ggt(mn , m1 . . . mn−1 ) = 1
⇒
F all n=2
man ndet ein solches n ∈ Z
ˆ 1≤i≤n−1
ˆ x mod mi = y mod mi = ai mod mi
ˆ mi | x − y folgt, da mi . . . mn−1 | x − y ⇒ mi | x − y
ˆ
x
≡ ai mod mi , 1 ≤ i ≤ n − 1
x
≡ an mod mn
4
ˆ ⇒ x ist Lsg des Systems
x
≡ a1 mod m1
..
.
x
= an mod mn
5