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Andrie!Meier . Analysis für Ingenieure
Analysis
für Ingenieure
Ein~. anwendungs bezogene Einführung
mit Ubungen
Prof. Dr. M anfred Andrie
Dipl.-Ing. Paul Meier
3. Auflage
Springer-Verlag Berlin Heidelberg GmbH
ISBN 978-3-540-62296-3
ISBN 978-3-662-21607-1 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-662-21607-1
Die Deutsche Bibliothek CIP-Einheitsaufnahme
Andrle, Manfred:
Analysis für Ingenieure: eine anwendungsbezogene Einführung
mit Übungen I von Manfred Andrie und Paul Meier. - 3. Aufl.
- Düsseldorf : VDI-Verl., 1996
(V DI-Hochsch u Itasche n buch)
NE: Meier, Paul:
© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1996
Ursprünglich erschienen bei VDI-Verlag GmbH, Düsseldorf 1996.
Alle Rechte, auch das des auszugsweisen Nachdruckes, der auszugsweisen oder
vollständigen fotomechanischen Wiedergabe (Fotokopie, Mikrokopie), der
elektronischen Datenspeicherung (Wiedergabesysteme jeder Art) und das der
Übersetzung, vorbehalten.
Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen u.ä.
in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der
Annahme, daß solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und MarkenschutzGesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt
werden dürften.
5
Vorwort zur 3. Auflage
Dieses Buch liefert in einer aktualisierten Auflage eine anwendungsbezogene Einführung in die Differential- und Integralrechnung einer
Variablen. Besonderen Wert wird auf Übungen mit Lösungen und
Anwendungen aus der Ingenieurpraxis, Geometrie und Computertechnik gelegt.
Der Inhalt gehört zur mathematischen Grundausbildung von Ingenieuren
und ist Bestandteil von Prüfungen.
Als Zielgruppen werden Ingenieurstudenten der ersten Semester an
Fachhochschulen und Technischen Universitäten, anwendungsorientierte
Lehrer und Ingenieure in der Praxis angesprochen.
Mit Hunderten von durchgerechneten Beispielen und praxisnahen Anwendungen, erläuternden Bildern und Übungen mit Lösungen wird das
bewährte Prinzip des Anwendungsbezuges methodisch-didaktisch und
fachl ich weiter ausgebaut.
Die motivierende Darstellung ist bewußt als ein Mittelweg zwischen
abstrakter Theorie und rein rezeptmäßigem Kalkül konzipiert. Beispiele dienen als Motivation und Einführung in die Problemstellung.
Übungen und Anwendungen tragen wesentl ich zum Verständnis und
zur praktischen Umsetzung mathematischer Theorie bei. Die Aufgaben
sollen zudem die Sicherheit im Kalkül und das geometrische Vorstellungsvermögen schulen. Schrittweise werden Schwierigkeitsgrad
und Komplexität der Aufgaben gesteigert. Insbesondere bereitet das
Lösen von Sachaufgaben auf die mathematische Modellbildung technischer Probleme in der Praxis vor.
Die vorliegende Darstellung basiert auf Vorlesungen, die einer der
Autoren (Prof. Dr. M. Andrie) im ingenieurwissenschaftlichen Zentrum
der Fachhochschule Köln hält. Übungen und Anwendungen wurden
mehrfach erprobt und tragen insbesondere den inhomogenen Eingangsvo raussetzungen Rechnung.
Wichtige Ergebnisse oder Begriffe werden in übersichtlicher Form
herausgehoben. Die Lösungen im Anhang ermöglichen dem Leser
eine Überprüfung der eigenen Leistungen.
6
Die algebraischen und geometrischen Grundlagen werden in unserem
Band
"Lineare Algebra und Geometrie für Ingenieure"
behandelt.
Dem VDI-Verlag danken die Autoren für die Neuauflage dieses
Buches für den ingenieurwissenschaftlichen Bereich.
Köln, im Januar 1996
M. Andrie
P. Meier
7
Inhaltsverzeichnis
~
GRUNDLAGEN
Mengen
13
2
Zahlen
14
3
Übungen
17
4
Physikalische Größen
18
[;]
FUNKTIONEN
5
Begriff der Funktion
20
6
Polynome.
22
6.1
Lineare Funktionen.
22
6.2
• Anwendungen und Übungen
24
6.3
Quadratische Funktionen •
26
6.4
• Anwendungen und Übungen
29
6.5
Begriff des Polynoms.
33
6.6
Das Hornersehe Schema
35
6.7
Nullstellen •
36
7
Rationale Funktionen
40
8
Begriff der Umkehrfunktion •
41
9
Potenzfunktionen mit rationalen Exponenten
44
9.1
Die n-te Wurzel einer Zahl .
44
9.2
Wurzelfunktion als Umkehrfunktion
45
Definition der Potenzfunktion
47
47
9.3
9.4
• Übungen
10
Logarithmus- und Exponentialfunktion
48
10.1
Rechnen mit Logarithmen
48
10.2
Definition von Logarithmus- und Exponentialfunktion
10.3 • Anwendungen und Übungen
•
49
51
11
Trigonometrische und Zyklometrische Funktionen
54
11.1
Periodische Funktionen und Winkel
54
11.2
Trigonometrische Funktionen
55
11.3
Zyklometrische Funktionen
60
11.4 .Anwendungen und Übungen
62
8
Inhaltsverzeichnis
12
Hyperbel- und Areafunktionen
66
13
Zahlenfolgen
69
13.1
Begriff der Zahlenfolge
69
13.2
Grenzwert einer Zahlenfolge
70
13.3
Arithmetische und geomet rische Folgen
74
13.4
Die Eulersche Zahl 'e'
75
14
Reihen.
76
14.1
Endliche Reihen
76
14.2
Binomischer Lehrsatz
78
14.3
Unendliche Reihen
80
82
14.4 • Anwendungen und Übungen
85
15
Grenzwert einer Funktion
15.1
Grenzwert einer Funktion für x -
15.2
Grenzwert einer Funktion für
85
Xc
X-cO
und
X--oO
91
15.3 • Übungen
92
16
Stetige und unstetige Funktionen
92
16.1
Begriff der Stetigkeit
16.2 • Anwendungen und Übungen
D __
17
93
96
-,D=-=-=-IF....:.F-=E=..:.R.:..:E=.:N-'..T.:..:',,-A.:.=L=..:.R.:..:E=.:C,,-,H-'CNc::..;::U-,-,N=G
Begriff der Ableitung einer Funktion
99
99
17.1
Definition der Ableitung
17.2
Tangenten- und Normalengleichung
103
17.3
Differenzierbarkeit und Stetigkeit
105
18
Grundregeln der Differentiation
106
18.1
Ableitung von Summe, Differenz und Produkt mehrerer
Funktionen.
107
18.2
Ableitung des Quotienten zweier Funktionen
109
18.3
Ableitung zusammengesetzter Funktionen
111
18.4
Ableitung der Umkehrfunktion .
114
19
Ableitung spezieller Funktionen
115
19.1
Ableitung der zyklometrischen Funktionen.
116
19.2
Ableitung der Exponential-, der Logarithmus- und der
Potenzfunktionen .
117
I nha Itsve rze i chn is
9
19.3
Ableitung der Hyperbel- und Areafunktionen .
120
19.4
Zusammenstellung der wichtigsten Ableitungen
122
20
• Anwendungen und Übungen
123
Extremwerte und Mittelwertsatz
126
21.1
Notwendiges Kriterium für ein lokales Extremum
126
21.2
Mittelwertsatz •
129
21.3
Monotonieverhalten von Funktionen
131
21.4
Hinreichendes Kriterium für ein lokales Extremum
132
21.5
Wendepunkte
134
21
22 • Anwendungen und Übungen zur Differential rechnung
F'-----=-'-'
136
22.1
Extremwertaufgaben (Opti mierungsprobleme)
136
22.2
Übungen (Extremwertprobleme)
144
22.3
Kurvendiskussion
148
22.4
Funktionen und Graphen in Technik und Physik
161
22.5
22.6
Übungen (Kurvendiskussion und ihre Anwendung in
Technik und Physik)
170
Taylor-Polynome und Taylor-Reihen
174
~ _---..:I'-'-N-'-'T'-"E=..!G"'R--"A'-!!:L.!.-'R""E"'C"--H'-'-N"-'U::..:N...:.G::::
23
Begriff des bestimmten Integrals
180
23.1
Problemstellung
180
23.2
Das bestimmte Integral einer Funktion
182
24
Grundrege I n de r Integral rechnung •
187
24.1
Vertauschen der Integrationsgrenzen
187
24.2
Linearität des Integrals.
188
24.3
Additivität und Monotonie des Integrals
189
25
Zusammenhang zwischen Integral- und
25.1
Differential rechnung •
190
Das Integral als Funktion der oberen Grenze
190
25.2
Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
191
25.3
Stammfunktion und unbestimmtes Integral
192
25.4
Tabelle von Stammfunktionen
195
25.5
Bestimmtes Integral und Stammfunktion
197
26
Technik des Integrierens
199
Inhal tsverzei chnis
10
Partielle Integration.
199
26.2
Integration durch Substitution
200
27
Uneigentliche Integrale . .
203
27.1
Integration auf einem unendlichen Integrationsintervall
203
27.2
Integration einer unbeschränkten Funktion
204
26.1
r=2=8_~.~A~n~"'{~nd u n gen ~_C! Üb u ng ~_z LJrlllt.?9 r aJs e ch nJ!ng
205
Flächeninhalt und Integration
205
28.2
Übungen (Technik des Integrierens und Flächeninhalte).
214
28.3
Volumen von Rotationskörpern
220
28.1
, 28.4
Übungen (Rotationskörper)
224
28.5
Bogenlänge einer Kurve
226
28.6
Krümmung einer Kurve
228
28.7
Die Klotoide (Eine Anwendung aus dem Verkehrsbau)
231
28.8
Mantelfläche von Rotationskörpern
234
28.9
Übungen (Bogenlänge, Krümmung, Oberfläche)
236
28.10 Schwerpunkt und statisches Moment einer ebenen Fläche
237
28.11
243
Übungen (Schwerpunkt)
28.12 Guldinsche Regel für das Volumen von Rotationskörpern
244
28.13 FI ächent räghei tsmomente
245
28.14 Übungen (Flächenträgheitsmomente)
254
28.15 Querkräfte und Momente am Balken
255
28.16 Übungen (Querkraft- und Momentenfunktionen)
261
LÖSUNGEN
Zu Teil A: Grundlagen
262
Zu Teil B: Funktionen
263
Zu Teil
C: Differential rechnung
271
Zu Teil 0: Integral rechnung
287
REGISTER
295
11
Symbolverzeichnis
{a,b, ••. }
Menge mit den Elementen a, b, •••
a,b,cE M
a, bund c sind Elemente von M
d~M
d ist nicht Element von M
McN
Mist Teilmenge von N
{x I E}
o
Menge aller x mit der Eigenschaft E
leere Menge
MttN
M ist nicht Teilmenge von N
AnB
Durchschnitt der Mengen A und B
AuB
Vereinigung der Mengen A und B
A,\B
Differenzmenge der Mengen A und B
AXB
Produktmenge der Mengen A und B
IN
Menge der natürl ichen Zahlen
Z
Menge der ganzen Zahlen
Q
Menge der rationalen Zahlen
IR
Menge der reellen Zahlen
IR+
Menge der positiven reellen Zahlen
IR
Menge der negativen reellen Zahlen
IR+
o
Menge der nichtnegativen reellen Zahlen
[a,b]
abgeschlossenes Intervall von abis b
(a,bJ ' [a,b)
halboffenes Intervall von abis b
(a,b)
offenes Intervall von abis b
Ue;(a)
E-Umgebung von a
(x,y)
P(x,y)
geordnetes Paar
Punkt mit den Koordinaten x und y
Pa
Bogen P,Q
AvB
A oder B
AAB
A und B
A-B
aus A folgt B
a<b
a ist kleiner als b
a>b
a ist größer als b
a~b
a ist kleiner oder gleich b
a~b
a ist größer oder gleich b
12
Symbolverzeichnis
lai
Betrag von a
loga b
Logarithmus von b zur Basis a
In b
natürlicher Logarithmus von b
Ig b
Briggscher Logarithmus von b
Ib b
Binärlogarithmus von b
e
Eulersche Zahl, e
Kreiszahl Pi, 11"
00
= 2,71828 ...
= 3,14159 ...
'unendlich'
[x]
Gaußklammer
n!
n Fakultät,
(~)
Euler-Symbol 'n über k'
n!
= 1·2·3· ... ·n
n
2:= ak
Summe über alle ak für k = 1 bis n
(an)nEN
Zahlenfolge
n~~ an
Grenzwert der Folge (an)neIN 'für n gegen
k=1
f:M-N mit y = fex)
f ist eine Funktion von M in N,definiert durch
die Funktionsgleichung y
= fex)
gof
Komposition der Funktionen fund g
f', fll, f'"
f(n)
erste, zweite, dritte Ableitung der Funktion
dy
dx
/f(x)dx
b
f(x)dx
I
a
00'
n-te Ableitung der Funktion f
Leibnizsche Schreibweise für f'
unbestimmtes Integral der Funktion
bestimmtes Integral der Funktion f auf [a,b]
13
A
GRUNDLAGEN
MENGEN
Die Mengenlehre, einer der zentralen Begriffe der Mathematik, wird
im folgenden im Hinblick auf eine kurze und eindeutige Darstellung
mathematischer Sachverhalte verwandt. Auf die allgemeine Theorie
wi rd nicht eingegangen.
Eine Menge ist nach G. CANTOR eine Zusammenfassung von bestimmten, wohl unterschiedenen Objekten unserer Anschauung oder
unseres Denkens zu einem Ganzen. Die Objekte heißen Elemente.
Ist a Element einer Menge M, so schreibt man:
aE M.
Ist a kein Element der Menge M, so schreibt man:
a tj. M.
Darstellung von Mengen:
a) Die Elemente einer Menge werden aufgezählt:
M
= {a,b,c,d,e},
M
= {-2,-1,0,1,S,7}.
b) Die Eigenschaften der Elemente a einer Menge M werden beschrieben:
M
M
{a
a hat die Eigenschaft E} , z.B.
{a
a ist eine ganze Zahl}
= {••• ,-2,-1 ,0,1 ,2, ... }
Die Menge, die kein Element enthält, heißt leere Menge und wird
mit
0
oder {} bezeichnet.
Eine Menge M heißt Teilmenge einer Menge N, geschrieben Me N,
wenn jedes Element von M auch ein
Element von N ist.
Beisp~
{2,3,4 }c{-2,1 ,2,3,4,7}
Ist M nicht Teilmenge von N, so
schreibt man M
Beisp~
ct N.
{10,12}si {-2,1 ,2,4}
MengenoRerationen:
Als Durchschnitt zweier Mengen Mund N, geschrieben M" N,
M
Grundlagen
14
bezeichnet man die Menge aller
Elemente, die der Menge M und
der Menge N ang,ehören:
Mn N
I
= {x
Das Zeichen
M
XE:
1\
1\ X €
N
N } .
bedeutet "und"
im Sinne von "sowohl als auch".
Bei~p~
{-2,1 ,3,4} n {-2,3,7}
MnN
{-2,3}.
Die Vereinigung zweier Mengen Mund N, geschrieben M u N, ist
die Menge aller Elemente, die
mindestens in einer der Mengen
Moder N (gegebenenfalls in
beiden Mengen) enthalten sind:
I
MuN={x
xEMvX6N} .
v bedeutet "oder"
Das Zeichen
im einschließenden Sinn.
MuN
M = {-2,0,1 ,3}, N = {0,2,3, 4 ,5},
Mu N
=
{-2,0,1 ,2,3,4,5} .
Als Differenzmenge, geschrieben M'\ N, bezeichnet man die Menge
aller Elemente, die zur Menge M
N
und nicht zur Menge N gehören:
I
M\N = {x
Beisp~
xEM
1\
x!iN}.
= {-2,1 ,0,2,4},
M\ N = {-2,2,4}
M
N
{ 1,O,3,7},
.
M\N
ZAHLEN
Wir legen nun Mengen von Zahlen zugrunde:
1\1
= {1 ,2,3, ... } : Menge der natürlichen Zahlen
= {•.• ,-2,-1 ,0,1 ,2, .•. }: Menge der ganzen Zahlen
~ 0=
Z
{xl x
=-5
1\
a,bEZ
1\
b
~O}: Menge der rationalen Zahlen
IR : Menge der reellen Zahlen (etwa
Es gilt:
NcZcOcR
1/3"'., R,
11'':
IR, .. .)
Zahlen
15
Die elementaren Rechenoperationen und Rechenregeln für die reellen
Zahlen werden als bekannt vorausgesetzt.
Ungleichungen:
In der Menge IR der reellen Zahlen ist vermöge der Beziehung S
(kleiner oder gleich) eine Anordnung erklärt, d.h. für zwei Zahlen
a,bE IR kann festgestellt werden, ob asb (a kleiner oder gleich b)
ist oder nicht. "a s b" heißt Ungleichung.
Die Ungleichung a
~
b bedeutet b:<; a.
Für das Rechnen mit Ungleichungen folgt
aus a:<;b (a,bGIR):
für
a+c s b+c
aus -2 s 3 :
CE
R
-2 + 4
s
3+4
ac
s bc
für c>O
(-2)·4 s 3·4
ac
~
bc
für c<O
(-2)-(-4) ? 3·(-4)
~<E.
c-c
für c>O
4
~>E.
c -
für c<O
-2 > ~
c
- ->2
b
a
falls a> 0 /\ b>O
oder a< 0/\ b<O
-2 < ~
- 4
-4 - -4
2<3 ~
-3< -2
aber:
1
2 > 23
~
-2<3
1
1
-3 > -2
~
1 <
-2
23
Mit Hilfe der Ungleichungen werden besondere Teilmengen von IR
charakterisi e rt:
I
R - = {x I
IR+= {x I
o
R+= {x
XE IR /\ x>O}
Menge der positiven reellen Zahlen,
x E IR /\ x< 0 }
Menge der negativen reellen Zahlen,
xe: IR /\ X~O}
Menge der nicht negativen reellen Zahlen.
Eine besondere Rolle spielen Intervalle: (a,bE IR)
I asx:<;b} : abgeschlossenes Intervall,
[a,b) = {x I asx<b}: rechtsoffenes Intervall,
(a,b] = {x I a<xsb}: linksoffenes Intervall,
(a,b) = {x I a < x < b } : offenes Intervall,
[a,oo) = {x I x?a}, (a,"") = {x I x>a} ,
(-oO,aJ = {x I x s a}, (-oO,a) = {x I x < a } •
[a,b] = {x
Grundlagen
16
BeisRiele:
CD Bestimme die
-4x + S ~ 2x - 7
Menge der reellen Lösungen der Ungleichung
und stelle die Lösungsmenge L an der Zahlengeraden
graphisch da r.
L,ösur1g~
-4X+S22x-7
xs2. Damit erhalten wir
=}>
l = {xl x~2} = {-00,2J
die Lösungsmenge
®
-6xz-12
=9
32
o
.. x
::~;;>
Ermittle die Lösungsmenge lclR der Ungleichung
Darstellung von
1Qsul1~
11..
0
mit
an der Zahlengeraden.
Mit dem Definitionsbereich 1R\{-2} folgt:
a) x-1 <: 0 /\ x+2 > 0
Lösungsmenge:
~
x 2 1 /\ X > -2
x >1
=9
L 1 = {x I x 21} = [1,00)
b) x-1 < 0 /\ x+2 < 0 =9
< 1 /\
X
X
< -2
x < -2
=9
Lösungsmenge : l2 = {x I x < -2} = (-oo, -2)
c) Insgesamt erhalten wir die Lösungsmenge
l = L 1ul 2 = {xl xz1 v x< -2}
2. 2
1-+[----------0 x
0
1
Rechnen mit Beträgen:
~
Der Absolutbetrag oder einfach Betrag einer reellen Zahl a,
geschrieben I a I, ist definiert durch
laI
Auf der Zahlengeraden kann
Ia I
=
{
a
für a 2 0
-a
für a < 0
als Abstand der Zahl a von der
Zahl 0 gedeutet werden.
BeisJ)iele:
CD
®
13 1 = 3,
1-31 = 3,
{xl
lxi = 2} = {-2,2}
Ermittle die Lösungsmenge lc IR der Gleichung
a}~-:-220:
Ix-21=3 ~
x-2=3
Lösungsmenge: L 1 = {xl x-2
b} x-2 ~
I x-21 = 3 -
Lösungsmenge :
~
z 0/\
-{x-2} = 3
L 2 = {x I x-2 < 0 /\
I x-21 = 3.
x=S
= S} = {S}
X
X
x = -1
= -1} = {-1}
c} Insgesamt erhalten wir die Lösungsmenge L = l1 u
®
Stelle die Lösungsmenge der Ungleichung I x+31
a} x+3~--= IX+31z2
-
x+3z2
~
x2-1
11.. 2
z2
= {S ,-1}
graphisch dar.
Zahlen
11... 1
= {x
b) x+3 < 0:
2 = {x
11...
= {x
I x+3~O /\ x~-1}
I x+31 ~ 2
I x+3< 0 /\
X
17
I x~-1}
-(x+3) ~ 2
==i>
~ -5 }
= {x
c) Lösungsmenge insgesamt:
=
11...
~
I x ~ -5}
1I... 1u
=
[-1,(0)
x ~ -5
= (-00,-5J
l2 = {x I x ~ -1 v x ~ -5}
[
]
-5
Rechenregeln für Beträge:
_ 0
lai >
Ia I
wobe',
,
{
lai
Ia I
I~I
und
la+bl ~ lai + Ibl
=
x
für a =0
für a ~ 0
=0
> 0
50 b mit b ~ 0 ist gleichwertig mit
labl = lal·lbl
o
-1
:~:
-b 50 a 50 b
für bIO
(Dreiecksungleichung)
la-bi ~ lal- Ibl
und
la-bi L Ibl-Ial
Beispiele:
CD
1-3·(4-7)1
(3)
{x I I x I
=
1-3 1.1 4- 7 1
= 3·3
9
~ 3} = {x I -350 x ~ 3 }
[
G:J
]
o
-3
3
..
x
ÜBUNGEN
(Gleichungen und Ungleichungen mit einer Variablen
und Beträge)
Bestimme jeweils unter Beachtung des Definitionsbereiches die Lösungsmenge L
der folgenden Gleichungen bzw. Ungleichungen und stelle L an der Zahlengeraden
graphisch dar. Als Grundmenge werde R gewählt.
Cl)
Gleichungen mit einer Variablen:
a)
e)
8
14
'3=7
b)
5x + 3 = 4
2x
c)
x +4 = ~
x:-4 x+1
~ = 1 (m",R)
d)
1_ 1
_1_+1
x
x+ 2
4- ~ =-2
-+1 - - 1
1 +xm
~ Lineare Ungleichungen mit einer Variablen:
a)
Cl)
4x 53
b)
-3x > 6
c)
3x - 5 ~ 4
d)
4 - x < 3 - 2x
Ungleichungen mit Produkt- und Bruchtermen:
a)
(x-1)·x.s 0
b)
(x+2)-(x-3)
<
0
c)
(3x-4)-(2+x) > 0
e) x-7 < 2x + 5