Rotation eines kartesischen Koordinatensystems

Rotation eines kartesischen Koordinatensystems
Bei einer Drehung der xy -Ebene um die z-Achse mit dem Winkel α
transformieren sich die Koordinaten eines Punktes P = (p1 , p2 , p3 ) gemäß
p10 = cos α p1 + sin α p2 ,
p20 = − sin α p1 + cos α p2 ,
p30 = p3 .
y
y′
P
p2
x′
p′1
1
p′2
α
1
x
p1
Analoge Formeln erhält man für Drehungen der yz- und zx-Ebene.
Rotation
1-1
Beweis:
y
y′
^(S, P, Q) = α =⇒
4(S, O, R) ∼ 4(S, P, Q)
P
p2
Q
S
p′2
α
O
Rotation
x′
p′1
R
p1
x
2-1
Beweis:
y
y′
^(S, P, Q) = α =⇒
4(S, O, R) ∼ 4(S, P, Q)
P
p2
Q
S
p′2
α
O
x′
p′1
R
p1
x
erstes Dreieck:
|OS| = p1 / cos α,
|RS| = p1 tan α
Rotation
2-2
Beweis:
y
y′
^(S, P, Q) = α =⇒
4(S, O, R) ∼ 4(S, P, Q)
P
p2
Q
S
p′2
α
O
x′
p′1
R
p1
x
erstes Dreieck:
|OS| = p1 / cos α,
|RS| = p1 tan α
zweites Dreieck:
p20 = cos α |PS| = cos α (p2 − |RS|) = cos α p2 − sin α p1
p10 = |OS| + |SQ| = p1 / cos α + sin α (p2 − |RS|)
1 − sin2 α
=
p1 + sin α p2 = cos α p1 + sin α p2
cos α
Rotation
2-3
Beispiel:
Bahnkurven von geradlinigen und kreisförmigen Bewegungen (links)
G : (x, y ) = (1, 2 + t/(2π)),
K : (x, y ) = (1 + cos(t), 2 − sin(t))
beobachtet in einem mit Winkelgeschwindigkeit ω = 1 rotierenden
Bezugssystem (rechts)
y
y
0
Sfrag replaements
2
2
1
!t
x
1
Rotation
x
0
3-1
Transformation
x 0 = cx + sy ,
y 0 = −sx + cy
mit c = cos(ωt), s = sin(ωt)
Rotation
3-2
Transformation
x 0 = cx + sy ,
y 0 = −sx + cy
mit c = cos(ωt), s = sin(ωt)
geradlinige Bewegung
Spirale:
x 0 = c + s(2 + t/(2π)),
y 0 = −s + c(2 + t/(2π))
Rotation
3-3
Transformation
x 0 = cx + sy ,
y 0 = −sx + cy
mit c = cos(ωt), s = sin(ωt)
geradlinige Bewegung
Spirale:
x 0 = c + s(2 + t/(2π)),
y 0 = −s + c(2 + t/(2π))
kreisförmige Bewegung:
x 0 = c(1 + c̃) + s(2 − s̃),
y 0 = −s(1 + c̃) + c(2 − s̃)
(c̃ = cos t, s̃ = sin t)
Rotation
3-4
Transformation
x 0 = cx + sy ,
y 0 = −sx + cy
mit c = cos(ωt), s = sin(ωt)
geradlinige Bewegung
Spirale:
x 0 = c + s(2 + t/(2π)),
y 0 = −s + c(2 + t/(2π))
kreisförmige Bewegung:
x 0 = c(1 + c̃) + s(2 − s̃),
y 0 = −s(1 + c̃) + c(2 − s̃)
(c̃ = cos t, s̃ = sin t)
abrupte Richtungsänderung möglich
Rotation
3-5