Hausaufgaben von 22.01.2008

Internet-Seite des Mathe-Zirkels:
www-m8.ma.tum.de/personen/suris/teaching/Zirkel
Hausaufgaben vom 22.01.2008
(zum 29.01.2008)
1. Im letzten Hausaufgabenblatt ging es um die Zahlen Cn und Dn . Dabei
war Cn die Anzahl der Darstellungen n = n1 + . . . + nk mit verschiedenen
Summanden 0 < n1 < . . . < nk , während Dn die Anzahl der Darstellungen
n = n1 + . . . + nk mit nicht unbedingt verschiedenen ungeraden Summanden
0 < n1 ≤ . . . ≤ nk , alle ni ungerade, bezeichnete. Mit Hilfe der erzeugenden
Funktionen haben wir gezeigt, dass Cn = Dn . Kannst Du auch einen direkten, kombinatorischen (d.h. abzählenden) Beweis für diese Tatsache finden?
Tipp: man kann jeder Darstellund vom ersten Typ eine Darstellung vom
zweiten Typ zuordnen, und umgekehrt. Versuche, die allgemeine Regel aus
den folgenden Beispielen abzulesen:
1 + 3 + 6 + 10 ↔ 1 + 3 + 3 + 3 + 5 + 5
1 + 4 + 7 + 11 ↔ 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 7 + 11
2+4+6 ↔ 1+1+1+1+1+1+3+3
2. Es bezeichne Vn die Anzahl der verschiedenen Zerteilungen eines konvexen n-Ecks in Dreiecke mittels seinen Diagonalen, sodass V3 = 1, V4 = 2,
V5 = 5, V6 = 9, ... Zeige, dass für alle n ≥ 3 die rekurrente Formel gilt:
Vn = V2 Vn−1 + V3 Vn−2 + . . . + Vn−1 V2
(wobei V2 = 1 gesetzt wird).
µ
3. Vergleiche Vn mit
¶
2n − 4
. Kannst Du eine Regelmässigkeit erkenn−2
nen?
1