PO Theorie ausgearbeitet - Informatik

PO Baron Analysis&Grako Theoriefragen f. M2
ausgearbeitet
Wie ist die Landau’sche Notation f. an=o(bn) definiert?
an=O(bn) (für nà¥) genau dann, wenn es Konstanten C>0 und NÎN gibt, so dass
|an|£C*bn f.a. n³N gilt.
Was versteht man unter starken Zusammenhangskomponenten? Wie ist die
Reduktion GR eines Graphen G definiert? Was ist eine Knotenbasis? Wie
kommt man mit Hilfe der Reduktion eines Graphen auf alle Knotenbasen?
Unter starken Zusammenhangskomponenten versteht man die in einem gerichteten
Graphen G maximalen stark zusammenhängenden Teilgraphen. (Ein Graph G heißt
stark zusammenhängend, wenn von jedem Knoten x zu jedem Knoten y eine Bahn
W(x,y) in G existiert.)
GR ist Reduktion des Graphen G, wenn G gerichtet ist, und gilt: V(GR)={Starke
Zusammenhangskomponenten von G}, E(GR): Zw. zwei Komponenten d. starken
Zusammenhangs, K1¹K2 ex. genau dann eine Kante <K1, K2>, wenn es Knoten
xÎK1 und yÎK2 gibt, sodass <x,y>ÎE(G)
Sei G ein gerichteter Graph. Eine bezügl. der Teilmengenrelation minimale
Teilmenge BÍV(G) mit der Eigenschaft, dass jeder Knoten aus V(G) von einem
Knoten in B aus (über eine Bahn) erreichbar ist, heißt (Knoten-) Basis von G.
Ist G ein beliebiger gerichteter Graph, so erhält man alle Basen B von G auf folgende
Weise: Ist K1,…,Kp die Basis der Reduktion GR, so enthält B aus jedem Ki genau
einen Knoten von G.
Wann ist eine Funktionenreihe Summe n=0 bis ¥ von fn(x) auf einem Intervall
[a,b] gleichmäßig konvergent? Wie lautet die Taylorreihenentwicklung von 1.)
e^(2x), 2.) 1/(1-x) um den Punkt x0=0?
Sei [a,b] ÍR und f_n: [a,b]àR differenzierbar f.a. nÎN. Weiters ex. ein x0Î[a,b],
sodass <fn(x0)> konvergiert, und außerdem konvergiere <f’(n)> gleichmäßig auf [a,b].
Taylor:
1.) Summe n=0 bis ¥ von (2n*x n)/n!
2.): f(k)(0)/k!=1 f.a. kÎN, MacLaurin ist daher Summe k=0 bis ¥ von xk (konvergiert gg
1/(1-x)àrichtig)
Beschreiben sie anhand …. die Ansatzmethode, wobei f(n) die Form …. hat.
Wann heißt eine unendliche Reihe Summe n=0 bis ¥ von an (nÎR)
konvergent?, wann bedingt konvergent?, Wie lautet das CAUCHYsche
Konvergenzkriterium für die Konvergenz einer unendlichen Reihe? Ist jede
beschränkte Folge <an> konvergent? (Begründung oder Gegenbsp.)
Die Reihe heißt konvergent genau dann, wenn s=lim sn, d.h. der Grenzwert der
Partialsummenfolge ex. (Partialsummenfolge: Sei an eine Folge reeller Zahlen. Dann
heißen die Summen sn=Summe k=0 bis n von ak Partialsummen der unendlichen
Reihe Summe k=0 bis ¥ von ak.)
Bedingte Konvergenz: Die Reihe Summe k=0 bis ¥ von ak heißt unbedingt
konvergent, wenn jede Reihe, die durch Umordnung der Reihenglieder von Summe
k=0 bis ¥ von ak entsteht, ebenfalls konvergent ist mit demselben Grenzwert. Ist
Summe k=0 bis ¥ von ak konvergent, aber nicht unbedingt konvergent, so heißt die
Reihe bedingt konvergent.
Cauchy: Eine Reihe Summe n=0 bis ¥ von an (nÎR) konvergiert genau dann, wenn
für jedes e>0 ex. ein Index N, sodass f.a. m>n>N gilt: |summe k=n bis m von ak |<e.
Reihe: Nein, Gegenbsp: Summe von k=0 bis ¥ von 1/k. (beschränkt aber divergent;
harmonische Reihe)
Folge: Nein, Gegenbsp: <0, -1, 0, +1, -2, -1, 0, +1, +2,…>
Wann heißt die Fkt. f: RàR stetig an der Stelle x0ÎR? Man gebe ein Bsp. Für
eine Fkt. an, die an der Stelle x0 unstetig ist. Man gebe min. 2 äquivalente
Definitionen an (für Stetigkeit)
Def.1: f: RàR stetig in x0ÎR genau dann, wenn gilt: f.a. e>0 ex. ein δ>0, sodass gilt:
f.a. xÎR mit |x- x0|<δ: |f(x)-f(x0)|< e.
Def. 2: f: RàR stetig in x0 genau dann, wenn gilt: lim (xà x0) von f(x)= f(x0)
Bsp: Signumfunktion sgn(x)
Für welche komplexen Zahlen q konvergiert <qn >, nÎN? Wie groß ist im Falle
der Konvergenz der Grenzwert?
Für komplexe Zahlen qn mit |q|<1
lim qn = 1/(1-q)
Wie lautet das CAUCHYsche Konvergenzkriterium f. <an>, wie für Summe n=0
bis ¥ von an?
<an>: Eine Folge <an> (nÎN) von reellen Zahlen ist genau dann konvergent in R,
wenn es zu jedem e>0 ein N=N(e) gibt, sodass f.a. m,n>N gilt: |am-an|<e.
Summe (Cauchysches Konvergenzkriterium f. Zahlenreihen): Die Summe… ist in R
genau dann konvergent, wenn es zu jedem e>0 ein N=N(e) gibt, sodass f.a. m,nÎN
mit n>m>N gilt: |summe k=m+1 bis n von an|<e.
f: [a,b(]ÍR)àR; Wie lautet der Nullstellensatz von Bolzano?
Sei I=[a,b] ÍR und f:IàR stetig. Gilt a) f(a) £0 und f(b) ³0 oder b) f(a) ³0 und f(b) £0,
so besitzt f auf I (mindestens) eine Nullstelle.
Wie lautet der Satz von LEIBNITZ über die Konvergenz alternierender Reihen?
Sind die Bedingungen notwenig, hinreichend, oder beides? Nennen sie ein
Beispiel einer alternierenden Reihe, die konvergent, aber nicht absolut
konvergent ist.
Eine alternierende Reihe Summe k=0 bis ¥ Von (-1)k bk (bk³0), bei der die Folge
<bk> eine monoton fallende Nullfolge bildet (d.h. b0³b1³…³0 und lim bk=0) ist
konvergent.
Die Bedingungen sind hinreichend, aber nicht notwendig.
Beispiel: Summe k=1 bis ¥ von ((-1)(k+1))/k
Wie bestimmt man den Radius des Konvergenzkreises einer Potenzreihe
Summe k>0 von ak xk akÎC? Welche Aussage über Konvergenz bzw. Divergenz
einer Potenzreihe erlaubt er?
Sei P(z, z0) eine Potenzreihe Summe n=0 bis ¥ von an*(z-z0)n. Dann ex. ein R mit
0£R£+¥ mit folgenden Eigenschaften:
P konvergiert punktweise absolut auf K(z0,R)={zÎC| |z- z0|<R}
P konvergiert gleichmäßig auf jeder abgeschlossenen Kreisscheibe K(z0; R) )={zÎC|
|z- z0|£r}
P divergiert in jedem z mit |z- z0|>R
(R=R(P)=Konvergenzradius)
Wie lautet der Satz der Vorzeichenbeständigkeit?
Sei f eine Funktion aus Rp in R1 und f stetig an der Stelle x0. Gilt f(x0) ¹0, so existiert
eine Umgebung K(x0, δ), δ>0, von x0, so dass f(x) ¹0 f.a. xÎK(x0, δ) ÈDf, ja sogar sgn
f(x)=sgn f(x0) f.a. derartigen x.
Gegeben ist eine Zahlenreihe Summe n=0 bis ¥ von an. Wie lautet das
Wurzelkriterium in Limesform? Wie lautet das Quotientenkriterium in
Limesform? Welche Art von Konvergenz wird durch diese Kriterien überprüft?
Was beschreiben Wurzel- und Quotientenkriterium?
Wurzelkriterium in Limesform: Geg. sei die Reihe Summe k=0 bis ¥ von ak.
a) Gilt lim sup k’te sqrt(|ak |)<1 so ist Summe k=0 bis ¥ von ak absolut konvergent.
b) Gilt lim sup k’te sqrt(|ak |)>1 so ist Summe k=0 bis ¥ von ak divergent.
c) Gilt lim sup ………………=1 so ist keine Aussage möglich
Quotientenkriterium in Limesform: Geg. sei eine Reihe Summe k=0 bis ¥ von ak,
wobei ak ¹0 f. fast alle k.
a) Gilt lim sup |a(k+1)/ ak |<1, so ist Summe k=0 bis ¥ von ak absolut konvergent.
b) Gilt lim inf ……………….>1, so ist ………………………….. divergent.
c) Gilt lim inf ……………….£1£ lim sup |a(k+1)/ ak |, so ist keine Aussage möglich.
Es wird (no na) auf absolute Konvergenz überprüft.
Was beschreiben sie…hm…Verfahren zur Überprüfung auf Konvergenz…?!?
Wie ist die Funktionalmatrix einer Funktion f: RpàRq definiert?
GRAKO
Was versteht man unter einer offenen/geschlossenen Hamilton’schen Linie,
was unter einer offenen/geschlossenen Euler’schen Linie? Wie kann man mit
Hilfe der Knotengraden bestimmen, ob ein Graph eine Euler’sche Linie enthält?
Sei G ein (ungerichteter bzw. gerichteter) Graph. Eine (ungerichtete bzw. gerichtete)
Kantenfolge in G heißt
Euler’sche Linie, wenn sie jeden Knoten und jede Kante enthält und jede Kante
genau einmal auftritt.
Hamiltonsche Linie, wenn sie jeden Knoten genau einmal enthält.
Je nachdem ob die Kantenfolge geschlossen oder offen ist, spricht man von
geschlossenen bzw. offenen Eulerschen/Hamiltonschen Linien.
In einem gerichteten Graph G ex. eine Eulersche Linie genau dann, wenn G
schwach zusammenhängend, und f.a. xÎV(G) gilt: d+(x)=d-(x)
In einem ungerichteten Graph G ex. eine Eulersche Linie, wenn G
zusammenhängend ist und f.a. xÎV(G) gilt: d(x) ist eine gerade Zahl.
Wann ist ein Graph azyklisch? Beschreibe den Markierungsalgorithmus!
Ein gerichteter Graph, der keine Zyklen positiver Länge enthält, heißt azyklisch. (z.B.
die Reduktion GR eines Graphen G)
1.)Suchen aller Knoten mit d+ (x)=0
Wenn keine solche Knoten ex., ist G nicht azyklisch. Wenn doch, dann markieren
dieser Knoten.
2.) Sind alle Knoten markiert, ist G azyklisch. Wenn noch min. ein unmarkierter
Knoten ex., alle Knoten markieren, deren sämtliche direkte Nachfolger bereits
markiert sind.
3.) Wurde in 2.) min. ein Knoten markiert, bei 2.) fortsetzen. Wurde in 2.) kein Knoten
markiert, so ist G nicht azyklisch.
Was kann man über die Anzahl der Knoten ungeraden Grades in einem
ungerichteten Graphen sagen?
Die Anzahl dieser Knoten ist immer gerade.
Wann heißt ein Graph G ein Wald, wann ein Baum?
Ein ungerichteter Graph, der keine Kreise positiver Länge enthält, heißt ein Wald. Ein
zusammenhängender Wald heißt Baum.
Was versteht man unter der Adjazenzmatrix A eines schlichten Graphen G?
Wie sind in einem Graph G a0(G) und a1(G) definiert?
U(G)=UG: Seien v1,…,vn die Knoten von G. Dann ist UG eine n x n-Matrix (aij) mit aij=1
falls <vi,vj>ÎE, und =0 sonst.
a0(G)=|V(G)| (=Anz. der Knoten in G)
a1(G)=|E(G)|(=Anz. der Kanten in G)
Wann heißt ein ungerichteter Graph G zusammenhängend? Welche beiden
Zusammenhangsbegriffe für Graphen wurden behandelt und wie wurden diese
definiert? Wie viele Kanten muss ein Graph G mit a0 (G)=n mindestens haben?
(Begründung)
Ein ungerichteter Graph G heißt zusammenhängend, wenn jeder Knoten x von jedem
Knoten y erreichbar ist, d.h. wenn die Äquivalenzrelation R der Erreichbarkeit genau
eine Klasse besitzt.
Stark zusammenhängend=
Wenn Knotengrad d=0 erlaubt ist, dann a1(G)=mindestens 0 (trivial)
Wenn dem nicht so ist, dann a1(G)=n-1.