und mehrdimensionale Zufallsvariablen

5.6 Zwei- und mehrdimensionale Zufallsvariablen
Wir betrachten jetzt den Fall,
Fall dass mehrere Zufallsvariablen gleichzeitig analysiert
werden. Allgemein ist eine n-dimensionale Zufallsvariable durch das n-Tupel
(X1, X2, …, Xn)
gegeben. Wir beschränken uns hier aber auf den Fall der zweidimensionalen Zufallsvariablen,
(X, Y)
da die Konzepte mehrdimensionaler Verteilung anhand von bivariaten Verteilungen anschaulich illustriert werden können.
ZweiZ
i und
d mehrdimensionalen
h di
i
l V
Verteilungen
t il
kö
können diskrete
di k t oder
d stetige
t ti Z
Zufallsf ll
variablen zugrunde liegen. Wir unterscheiden hier zwischen der
• gemeinsame Wahrscheinlichkeitsverteilung
(gemeinsame Wahrscheinlichkeits- bzw. Dichtefunktion)
und den
• Randverteilungen
(Randwahrscheinlichkeits- bzw. Randdichtefunktion).
Wie bei den eindimensionalen Verteilungen sind der Erwartungswert und die Varianz Parameter der Randverteilungen.
Randverteilungen Parameter der gemeinsamen Wahr
Wahrscheinlichkeitsverteilungen sind die Kovarianz und der Korrelationskoeffizient.
Beispiel 5.18:
• Ein Würfel wird zweimal hintereinander geworfen. Die Zufallsvariable X bezeichnet die Augenzahl beim ersten Würfel, die Zufallvariable Y die Augenzahl
beim zweiten Würfel. Dann ist (X, Y) eine zweidimensionale Zufallsvariable,
deren Wertebereich aus allen geordneten Paaren (xj, yk) besteht, die sich aus
den natürlichen Zahlen 1 bis 6 zusammensetzen.
• Eine Versicherungsgesellschaft will überprüfen
überprüfen, ob es einen Zusammenhang
zwischen der Unfallhäufigkeit (X) und dem Geschlecht (Y) gibt. Hierzu wird die
zweidimensionale Zufallsvariable (X, Y) analysiert.
• In
I der
d Volkswirtschaftlichen
V lk i t h ftli h Gesamtrechnung
G
t h
werden
d der
d Konsum
K
(C) und
dd
das
Einkommen (Y) je Periode erfasst. Die zweidimensionale Zufallsvariable (C, Y)
gibt dann die potenziellen Kombinationen aus Konsum und Einkommen je Periode wieder
wieder.
♦
A. Gemeinsame Wahrscheinlichkeitsfunktion
und Randwahrscheinlichkeitsfunktionen
)
,
(
,
,
Die gemeinsame Wahrscheinlichkeitsfunktion f(x,y) der zweidimensionalen
Zufallsvariablen (X,Y) ordnet den geordneten Paaren (xj,yk) Wahrscheinlichkeiten
pjk zu:
⎧P X = x j Y = y j = p jk für x = x j y = y k
f (x y ) = ⎨
(5.24)
sonst
⎩0
c
(5.25)
(5 26)
(5.26)
f X (x ) =︵P X = ︶
x = ∑ f (x y k )
k =1
r
,
und
,
Die Randwahrscheinlichkeitsfunktionen
( )
f Y ( y ) =︵P Y = ︶
y = ∑ f xj y
j=1
geben die eindimensionalen Wahrscheinlichkeitsfunktionen der beiden Zufallsvariablen X und Y an.
Die Randwahrscheinlichkeitsfunktion von X, f1(x), wird durch Summation über alle
p
ermittelt. Die Randwahrscheinlichkeitsfunktion von Y,, f2(y), wird durch
c Spalten
Summation über alle r Zeilen bestimmt.
Tabelle 5.1: Gemeinsame Wahrscheinlichkeiten und Randwahrscheinlichkeiten
Y
c
∑
X
y1
y2
K
yc
x1
p11
p12
K
p1c
p1• =
x2
p 21
p 22
K
p 2c
p 2• =
M
M
p r1
pr2
M
xr
k =1
c
M
K
∑
j=1
p•1 =
r
∑ p j1
j=1
r
p• 2 = ∑ p j2
j=1
pr• =
p rc
∑ p 2k
k =1
c
∑ p rk
k =1
c
r
∑ ∑ p jk = ∑ p j•
r
j=1k =1
K p•c = ∑ p jc
j=1
=
c
Gemeinsame Wahrscheinlichkeiten: f(xj,yk) = pjk = P(X=xj,Y=yk)
c
Randwahrscheinlichkeiten von X:
f X x j = p j• = ∑ p jk
Randwahrscheinlichkeiten von Y:
f Y ( y k ) = p•k = ∑ p jk
k =1
r
j=1
j=1
∑ p• k = 1
k =1
( )
k =1
c
M
r
r
∑ p1k
Beispiel 5.19:
Eine Versicherungsgesellschaft will überprüfen, ob ein Zusammenhang zwischen
der Unfallhäufigkeit (X) und dem Geschlecht (Y) besteht. Es wurden hierfür folgende Wahrscheinlichkeiten ermittelt:
Y (G
(Geschlecht)
hl ht)
X (Unfallhäufigkeit)
y1 (männlich)
y 2 (weiblich)
x1 (keinmal)
(k i
l)
0 20
0,20
0 30
0,30
x 2 (ein- oder zweimal)
0,15
0,20
x 3 (mehr als zweimal)
0,10
0,05
Mit diesen Informationen lässt sich eine Tabelle der zweidimensionalen Verteilung
von (X,Y) erstellen. Die Randwahrscheinlichkeiten pj• und p•k ergeben sich darin
durch Summation der gemeinsamen Wahrscheinlichkeiten pjk.
Y (Geschlecht)
X (Unf llh fi k i )
fallhäufigkeit)
x1 (keinmal)
2
y1 (männlich)
p11 = 0,20
∑
y 2 (weiblich)
p12 = 0,30
p1• =
k =1
2
∑ p1k
k =1
= 0,20 + 0,30
= 0,50
x 2 (ein- oder zweimal)
p 2• =
p 21 = 0,15
p 22 = 0,20
2
∑ p 2k
k =1
= 0,15 + 0,20
= 0,35
x 3 (mehr als zweimal)
p3• =
p31 = 0,10
p32 = 0,05
2
∑ p3k
k =1
= 0,10 + 0,05
= 0,15
3
∑
j=1
3
3
j=1
j=1
p •1 = ∑ p j1 = 0,2 p •2 = ∑ p j2 = 0,3
+ 0,15 + 0,1
= 0,45
+ 0,2 + 0,05
= 0,55
3 2
∑ ∑ p jk = 0,2 + 0,3
j=1k =1
+ 0,15 + 0,2 + 0,1
+ 0,05 = 1
♦
Stochastische Unabhängigkeit
(5.27a)
,
Die beiden diskreten Zufallsvariablen X und Y sind voneinander unabhängig, wenn
sich die gemeinsame Wahrscheinlichkeitsfunktion als Produkt der Randwahrscheinlichkeitsfunktionen darstellen lässt:
f (x y ) = f X (x ) ⋅ f Y ( y )
⇒ stochastische Unabhängigkeit
Bei stochastischer Unabhängigkeit lassen sich alle gemeinsamen Wahrscheinlichkeiten pjk aus dem Produkt der Randwahrscheinlichkeiten pj• und p•k darstellen:
(5 27b)
(5.27b)
p jk = p j• ⋅ p•k
fü alle
für
ll j=1,2,…,r
j 12
und
d kk=1,2,…,c
12
⇒ stochastische Unabhängigkeit
Beispiel 5.20:
Sind die Zufallsvariablen Unfallhäufigkeit und Geschlecht unabhängig voneinander?
Zur Beantwortung dieser Frage berechnen wir die Produkte der Randwahrscheinlichkeiten:
Y (Geschlecht)
X (Unfallhäufigkeit)
x 3 (mehr als zweimal)
l)
p• k
p1• ⋅ p•1
p1• ⋅ p• 2
= 0,5 ⋅ 0,45
= 0,5 ⋅ 0,55
= 0,225
(p11 = 0,20)
p 2• ⋅ p•1
= 0,275
(p12 = 0,30)
p 2• ⋅ p• 2
= 0,35 ⋅ 0,45
= 0,1575
(p 21 = 0,15)
= 0,35 ⋅ 0,55
= 0,1925
(p 22 = 0,20)
p3• ⋅ p•1
p3• ⋅ p• 2
= 0,15 ⋅ 0,45
= 0,15 ⋅ 0,55
= 0,0675
(p31 = 0,10)
= 0,0825
(p32 = 0,05)
p•1 = 0,45
p •2 = 0,55
p j•
z.B.
p1• = 0,50
,
x 2 (ein- oder zweimal)
y 2 (weiblich)
(p1• ⋅ p•1 = 0 225)
≠ (p11 = 0 20)
,
x1 (keinmal)
y1 (männlich)
p 2• = 0,35
p3• = 0,15
1
Beide Merkmale sind abhängig, da die berechneten Produkte der Randwahrscheinlichkeiten pj•·p•k nicht mit den gemeinsamen Wahrscheinlichkeiten pjk übereinstimmen.
♦
B. Gemeinsame Dichtefunktion und Randdichtefunktionen
,
Die beiden Zufallsvariablen X und Y sind gemeinsam stetig verteilt, wenn es eine
gemeinsame Dichtefunktion f(x,y) mit den Eigenschaften
f (x y ) ≥ 0
und
∫
,
∞ ∞
d ⋅ dy
d =1
∫ f ( x y ) ⋅ dx
−∞ −∞
gibt, so dass die gemeinsame Intervallwahrscheinlichkeit P(a≤X≤b,c≤Y≤d) durch
,
,
(5.28)
b d
︵P a ≤ X ≤ b c ≤ Y ≤ ︶
d = ∫ ∫ f (x y ) ⋅ dx ⋅ dy
gegeben ist
ist.
a c
Beispiel 5.21:
,
x+y
︵f x ︶
y = ⎧⎨
⎩0
,
Gegeben ist die gemeinsame Dichtefunktion der zweidimensionalen ZufallsvariaZufallsvaria
blen (X,Y),
für 0 < x < 1 0 < y < 1
,
sonst
die sich in einem dreidimensionalen Koordinatensystem darstellen lässt:
f ( x , y)
2.
1.5
1.
0.5
0
0
x
1.
0.8
0.6
02
0.2
0.4
0.4
0.6
0.2
0.8
0
8
1
y1.
0
Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable X in dem Intervall zwischen 0,5 und 1 und die Zufallsvariable Y gleichzeitig in dem Intervall zwischen 0,4
und 0,6 liegt.
,
Um die gesuchte Wahrscheinlichkeit P(0,5≤X≤1;0,4≤Y≤0,6) zu berechnen, ist ein
Doppelintegral zu lösen:
,
,
;
,
06 1
︵P 0 5 ≤ X ≤ 1 0 4 ≤ Y ≤ 0 ︶
6 = ∫ ∫ (x + y ) ⋅ dx ⋅ dy
0 405
,
,
.
,
,
Hierzu integrieren wir zuerst über x,
,
,
,
(
,
,
,
,
,, ,
[
,
,
,
06
)]
06
,
,
,
04
06
,
, ,
= ∫ 0 5 ⋅ 12 + 1 ⋅ y − 0 5 ⋅ 0 52 + 0 5 ⋅ y dy
= ∫ (0 5 + y − 0 125 − 0 5 y ) dy = ∫ (0 5 y + 0 375) dy,
04
04
,
,
,
;
,
06 ⎛ 1
06 ⎛1
⎞
⎜
⎟
︵P 0 5 ≤ X ≤ 1 0 4 ≤ Y ≤ 0︶
(x + y ) dx dy = ∫ ⎜ x 2 + xy 015 ⎞⎟ dy
6 = ∫
∫
⎜
⎟
⎠
0 4 ⎝0 5
04 ⎝2
⎠
und anschließend über y:
,
,
,
,
,
04 05
04
(
,
06
06
= 0 25 y 2 + 0 375 y
04
04
,
,
,
,,
= 0 5 ⋅ 0 5 ⋅ y 2 + 0 375 ⋅ y
06
∫ (x + y ) dx dy = ∫ (0 5 y + 0 375) dy
,
.
,
,
,,
, ,,
︵P 0 5 ≤ X ≤ 1 0 4 ≤ Y ≤ 0︶
6 = ∫
,
, , ,, ,
,
,
,
;
,
06 1
,
,
= 0 25 ⋅ 0 62 + 0 375 ⋅ 0 6 − 0 25 ⋅ 0 42 + 0 375 ⋅ 0 4
= 0 090 + 0 225 − 0 190 = 0 125
)
Die g
gesuchte Wahrscheinlichkeit beträgt
g also 0,125.
,
Mit einer Wahrscheinlichkeit
von 12,5 % liegt die Zufallsvariable X zwischen 0,5 und 1 und die Zufallsvariable Y
gleichzeitig zwischen 0,4 und 0,6.
♦
Aus der gemeinsamen Dichtefunktion f(x,y) lassen sich die Randdichtefunktionen durch Integration bestimmen:
,
∞
fX x = ∫ f x ︶
y ⋅ dy
(5.29a)
−∞
((5.29b))
︵ ︶
︵ ∞
fY y = ∫ f x ︶
y ⋅ dx .
,
und
−∞
︵ ︶
︵ Unabhängigkeit der beiden stetigen Zufallsvariablen X und Y
Bei stochastischer
ist gemeinsame Dichtefunktion f(x,y) durch das Produkt der Randdichtefunktionen
fX(x) und fY(y) gegeben:
,
(5.30)
f (x y ) = f X (x ) ⋅ f Y ( y )
⇒ stochastische
t h ti h Unabhängigkeit.
U bhä i k it
Beispiel 5.22:
,
x+y
︵f x ︶
y = ⎧⎨
⎩0
,
Wie lauten die Randdichtefunktionen der Zufallsvariablen X und Y
Y, deren gege
meinsame Dichtefunktion durch
für 0 < x < 1 0 < y < 1
sonst
gegeben ist?
• Randdichtefunktion von X:
f X (x ) = ∫ (x + y ) dy
y = xy
y+
0
,
1
1 21
1
y 0 = x ⋅ 1 + ⋅ 12 − 0 = x + 0 5
2
2
• Randdichtefunktion von Y:
f Y y = ∫ (x + y ) dx =
︵ ︶
0
,
1
1 2
1 1
x + xy 0 = 12 + y ⋅ 1 − 0 = 0 5 + y
2
2
♦
C. Parameter der gemeinsamen Wahrscheinlichkeitsverteilung
der zweidimensionalen Zufallsvariablen (X, Y)
● Kovarianz
,
Die Kovarianz der beiden Zufallsvariablen X und Y ist ein Maß der Verbundstreuung:
Cov(X Y ) = σ xy = E[(X − E(X )) ⋅ (Y − E(Y ))]
.
Sie misst die Richtung eines linearen Zusammenhangs zwischen zwei Zufallsvariablen X und Y.
(5.31a)
Für diskrete Zufallsvariablen X und Y berechnet sich die Kovarianz aus
r
c
[
,
,
((5.32a))
]
Cov(X Y ) = σ xy = ∑ ∑ x j − E(X ) ⋅ [y k − E(Y )]︵
⋅ f x j y︶
k
j=1 k =1
und bei stetigen Zufallsvariablen aus
Cov(X Y ) = σ xy = ∫
,
,
(5.32b)
.
∫ [x − E(X )] [y − E (Y )] ⋅ f (x y ) ⋅ dx ⋅ dy
∞ ∞
−∞ −∞
Verschiebungssatz:
(5.31b)
Cov(X,Y) = E(X·Y) – E(X)·E(Y)
Beispiel 5.23:
Für die zukünftigen Konjunkturaussichten wird von einem Wirtschaftsforschungs
Wirtschaftsforschungsinstitut folgendes Szenario entwickelt:
Umweltzustand
Beschreibung
Eintrittswahrscheinlichkeit
1
keine wesentliche Änderung des ökonomischen
Umfelds
0,5
2
Rezession
0,3
3
Hochkonjunktur
0,2
Die möglichen Rahmenbedingungen beeinflussen die Ertragssituation von Unternehmen und damit die Kursentwicklung ihrer Aktien. Abhängig von der Rahmenbedingung erwarten die Investoren als Renditen für zwei Aktien X und Y:
Umweltzustand
Rendite X
Rendite Y
1
35%
3,5
50%
5,0
2
4,0 %
-1,0 %
3
20%
2,0
70%
7,0
Aus den angegebenen Größen lässt sich folgende zweidimensionale Wahrscheinlichkeitstabelle erstellen:
Y (Rendite Y)
X
Rendite X)
y1 ( − 1 % ) y 2 ( 5 % )
y3 ( 7 % )
x1 ( 2 % )
p11 = 0
p12 = 0
p13 = 0,2
x 2 ( 3,5 % )
p 21 = 0
p 22 = 0,5
p 23 = 0
p31 = 0,3
p32 = 0
p33 = 0
x3 ( 4 % )
3
p• k = ∑ p jk
j=1
p •1 = 0 + 0 p •2 = 0 +
p •3 = 0,2
+ 0,3
0,5 + 0
+0+0
= 0,3
= 0,5
= 0,2
p j• =
3
∑ p jk
k =1
p1• = 0 + 0 + 0,2
= 0,2
p 2• = 0 + 0,5 + 0
= 0,5
p3• = 0,3 + 0 + 0
= 0,3
3 3
∑ ∑ p jk = 0 + 0
j=1k =1
+ 0,2 + 0 + 0,5 + 0
+ 0,3 + 0 + 0 = 1
Zunächst bestimmen wir die erwarteten Renditen der beiden Aktien:
3
E(X) = ∑ x j ⋅ p j• = 0,02 ⋅ 0,2 + 0,035 ⋅ 0,5 + 0,04 ⋅ 0,3 = 0,0335
j=1
,
3
E(Y) = ∑ y k ⋅ p•k = (− 0 01) ⋅ 0,3
0 3 + 0,05
0 05 ⋅ 0,5
0 5 + 0,07
0 07 ⋅ 0,2
0 2 = 0,0360
0 0360 .
k =1
Die Kovarianz errechnet sich mit der Formel für den diskreten Fall:
3 3
[
]
Cov(X,Y)
(
) = σ xy = ∑ ∑ x j − E(X ) ⋅ [y k − E(Y )] ⋅ p jk
j=1k =1
= 0 + 0 + (0,02 − 0,0335) ⋅ (0,07 − 0,036) ⋅ 0,2
+ 0 + (0,035 − 0,0335) ⋅ (0,05 − 0,036) ⋅ 0,5 + 0
+ (0,04 − 0,0335) ⋅ ( − 0,01 − 0,036) ⋅ 0,3 + 0 + 0
= −0,000171 .
Da di
D
die K
Kovarianz
i
negativ
ti iist,
t b
besteht
t ht zwischen
i h d
den R
Renditen
dit d
der b
beiden
id Akti
Aktien ein
i
negativer linearer Zusammenhang. Mit einer höheren Rendite der einen Aktie geht
also tendenziell eine niedrigere Rendite der anderen Aktie einher.
♦
● Korrelationskoeffizient
,
Die Kovarianz gibt keine Auskunft über die Stärke des Zusammenhangs zwischen
zwei Zufallsvariablen X und Y, weil sie unbeschränkt ist. Aus diesem Grund wird
der Korrelationskoeffizient zur Messung der Stärke eines bivariaten Zusammenhangs verwendet:
σ xy
︵
︶
Corr X Y = ρ xy =
(5.33)
σx ⋅ σ y
Das Vorzeichen des Korrelationskoeffizienten wird nur von der Kovarianz bestimmt,
da der Nenner stets positiv ist. Der Korrelationskoeffizient gibt zunächst einmal wie
die Kovarianz die Richtung einer linearen Abhängigkeit an.
Zusätzlich misst der Korrelationskoeffizient ρxy die Stärke des linearen Zusammenhangs zwischen den Zufallsvariablen X und Y,
Y da er im Unterschied zur Kovarianz
σxy auf das Intervall zwischen -1 und 1 normiert ist. Je näher der Korrelationskoeffizient an den Extremwerten -1 oder +1 liegt, desto stärker ist der lineare Zusammenhang ausgeprägt.
ausgeprägt
Beispiel 5.24:
g zwischen den Renditen X und Y
Wir wollen jjetzt die Stärke des Zusammenhangs
der beiden Aktien messen, die eine Kovarianz von -0,000171 aufweisen.
Hierzu sind die Varianzen der beiden Zufallsvariablen X und Y zu berechnen, aus
denen sich ihre Standardabweichungen ergeben.
Varianz von X:
3
σ2x = E[X − E(X )] 2 = ∑ x j − μ x 2 ⋅ p j
)
,
,
,
,
,
,
,
,
,,
j=1
(
σ x = 0 00005025 = 0 0071
Standardabweichung
g von X:
Varianz von Y:
,
,
= (0 02 − 0 0335)2 ⋅ 0 2 + (0 035 − 0 0335)2 ⋅ 0 5 + (0 04 − 0 0335)2 ⋅ 0 3
= 0 00005025
3
2
2
σ y = E[Y − E(Y )] = ∑ y k − μ y 2 ⋅ p k
k =1
= (− 0 01 − 0 036)2 ⋅ 0 3 + (0 05 − 0 036)2 ⋅ 0 5 + (0 07 − 0 036)2 ⋅ 0 2
(
,
,
,
,
,
,
,
,.
,
,
,
,
= 0 000964
)
,
,
,
,
σ y = 0 000964 = 0 0310
σ xy
− 0,000171
︵
︶
=
= −0 7769
Korrelationskoeffizient: Corr X Y = ρ xy =
σ x ⋅ σ y 0 0071 ⋅ 0 0310
Standardabweichung
g von Y:
Bei einem Korrelationskoeffizient von rd. -0,8 besteht ein enger negativer Zusam♦
menhang zwischen den Renditen der beiden Aktien.
D. Erwartungswert und Varianz einer Linearkombination von Zufallsvariablen
Gegeben: n Zufallsvariablen: X1, X2, …, Xn
Linearkombination der Zufallsvariablen X1, X2, …, Xn:
(5 34)
(5.34)
n
Z = ∑ a i Xi = a1X1 + a 2X 2 + K + a n X n
i =1
● Erwartungswert einer Linearkombination von Zufallsvariablen
⎛ n
⎞ ⎛ n
⎞
⎜
E Z = E⎜ ∑ a i Xi ⎟⎟ = ⎜⎜ ∑ a i ⋅ E Xi ⎟⎟
(5.35)
⎝ i =1
⎠ ⎝ i =1
⎠
︶
⋅ E X︶
= a1︵
⋅ E X︶
+ a 2︵
⋅ E X︶
+ K + an︵
1
2
n
︵ ︶
︵ ︶
● Varianz einer Linearkombination von Zufallsvariablen
gg
- bei stochastischer Unabhängigkeit:
⎛ n
⎞ ⎛ n 2
⎞
V Z = V⎜⎜ ∑ a i Xi ⎟⎟ = ⎜⎜ ∑ a i ⋅ V Xi ⎟⎟
(5.36)
⎝ i =1
⎠ ⎝ i =1
⎠
2︵ ︶
2 ︵ ︶︶
= a i2 ︵
⋅ V X︶
⋅ V X︶
1 + ai ︵
2 + K + ai ⋅ V Xn
︵ ︶
- bei stochastischer Abhängigkeit zweier Zufallsvariablen X und Y:
(5.37)
V(a ⋅ X + b ⋅ Y) = a 2 ⋅ V(X) + b 2 ⋅ V(Y) + 2 ⋅ a ⋅ b ⋅ Cov(X, Y)
Beispiel 5.25:
Die Portfoliotheorie zeigt auf, wie optimale Wertpapierportfolios strukturiert sein
müssen Alternative Ertrags-Risiko-Kombinationen
müssen.
Ertrags Risiko Kombinationen, die durch den Erwartungswert
und die Varianz der Renditen gemessen werden, lassen sich unter Berücksichtigung der Präferenzen eines Anlegers bewerten.
Für den Anleger wird es im Allgemeinen vorteilhaft sein
sein, gleichzeitig unterschied
unterschiedliche risikobehaftete Wertpapiere zu halten. Hierbei kommt es nicht nur auf die
erwartete Rendite, sondern auch auf eine günstige Korrelationsstruktur an, die das
Risiko der Wertpapieranlage verringert
verringert.
Wir setzen die Bespiele 5.23 und 5.24 fort, in denen wir die erwarteten Renditen
und die Varianzen für zwei Aktien separat betrachtet haben:
E(X) = μ x = 0,0335
,
,
V X = σ2x = 0 00005025
E(Y) = μ y = 0,0360
und
V Y = σ2y = 0 000964 .
und
︵die
︵
Für
Fü
di︶K
Kovarianz
i
h
haben
b wir
i d
den W
Wert
t ︶
Cov(X,Y) = σ xy = −0,000171 .
,
,
erhalten und der Korrelationskoeffizient beträgt
︵ XY
︶ = ρ xy = −0 7769 .
Corr
Wir wollen nun die Ertrags-Risiko-Struktur von zwei Aktienportfolios betrachten.
Aktienportfolio
p
1: 100% Aktie X,, 0% Aktie Y
Aktienportfolio 2: 80% Aktie X, 20% Aktie Y
● Ertrags-Risiko-Struktur
g
des Aktienportfolios
p
1
Erwartete Rendite des Portfolios 1:
︵E ︶
︶ + b︵
︶
Z = a︵
⋅E X
⋅E Y
mit
it a=1
1 und
db
b=0
0
,
,
,
︵E ︶
︶ + 0︵
︶ = 1 ⋅ 0 0335 + 0 ⋅ 0 0360 = 0 0335
Z = 1︵
⋅E X
⋅E Y
Risiko des Portfolios 1:
V( Z) = a 2 ⋅ V(X) + b 2 ⋅ V(Y) + 2 ⋅ a ⋅ b ⋅ Cov(X, Y)
,
,
→
,
,
V( Z) = 12 ⋅ V(X) + 02 ⋅ V(Y) + 2 ⋅ 1 ⋅ 0 ⋅ Cov(X, Y)
= 1 ⋅ 0 00005025 = 0 00005025
︶ = 0 00005025 = 0 0071
σx = ︵
VX
mit a=1 und b=0
● Ertrags-Risiko-Struktur des Aktienportfolios 2
Erwartete Rendite des Portfolios 2:
︵E ︶
︶ + b︵
︶
Z = a︵
⋅E X
⋅E Y
mit a=0,8 und b=0,2
,
,
,
,
,
,
,
︵E ︶
︶ + 0 2︵
︶ = 0 8 ⋅ 0 0335 + 0 2 ⋅ 0 0360 = 0 034
Z = 0 8︵
⋅E X
⋅E Y
Risiko des Portfolios 2:
V(( Z) = a 2 ⋅ V(X)
( ) + b 2 ⋅ V(Y)
( ) + 2 ⋅ a ⋅ b ⋅ Cov(X,
( , Y))
mit a=0,8
, und b=0,2
,
,
,,,
,
,
,,
,
,
,
,
, ,
→
,
V( Z) = 0 82 ⋅ V(X) + 0 22 ⋅ V(Y) + 2 ⋅ 0,8 ⋅ 0,2 ⋅ Cov(X, Y)
︶
= 0 64 ⋅ 0 00005025 + 0 04 ⋅ 0 000964 + 2 ⋅ 0 8 ⋅ 0︵
2 ⋅ −0 000171
= 0 00003216 + 0 00003856 − 0 00005472 = 0 000016
︶ = 0 000016 = 0 004
σy = ︵
VY
Das Aktienportfolio 2, das aus einer Mischung der beiden Aktien X und Y im Verhältnis 4:1 (80%:20%) besteht, hat eine bessere Ertrags-Risiko-Struktur als das
Aktienportfolio 1
1, das allein aus der Aktie X besteht
besteht.
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