21. Sei H ein Hilbertraum und P 1,P2 orthogonale Projektionen

21. Sei H ein Hilbertraum und P1 , P2 orthogonale Projektionen. Dann sind äquivalent:
(i) P1 P2 = P2 P1 = 0.
(ii) ran P1 ⊥ ran P2 .
(iii) P1 + P2 ist eine orthogonale Projektion.
Man bestimme in diesem Falle ran(P1 + P2 ) und ker(P1 + P2 ).
22. Sei H = Cn [z] die Menge aller komplexen Polynome vom Grad ≤ n versehen mit (p, q) :=
R1
p(t)q̄(t) dt. Zeige, dass (H, (., .)) ein Hilbertraum ist.
−1
Sei w ∈ C fest. Zeige, dass es ein kw ∈ Cn [z] gibt, sodass
Z 1
p(t)k̄w (t) dt
p(w) =
−1
für alle p ∈ Cn [z].
23. Sei n ∈ N, und sei (Rn [z] die Menge aller reellen Polynome vom Grad ≤ n)
K := p ∈ Rn [z] : p′′ (x) ≥ 0, x ∈ [−1, 1] .
Zeige, dass es für jedes f ∈ L2 ([−1, 1]) genau ein p0 ∈ K gibt, sodass
Z
Z
2
|f (t) − p0 (t)| dt ≤
|f (t) − p(t)|2 dt
[−1,1]
[−1,1]
für alle p ∈ K.
Hinweis: Die Menge aller komplexen Polynome vom Grad ≤ n ist ein endlich dimensionaler Unterraum
und p 7→ p(t) sowie p 7→ p′′ (t) ist ein lineares Funktional auf diesem Unterraum für jedes t ∈ [a, b]. Schliesse,
dass K abgeschlossen und konvex ist.
24. Für n ∈ N sei (skizziere diese Funktionen)
fn (t) = sgn(sin(2n πt)), t ∈ [0, 1].
Zeige, dass diese Funktionen im Hilbertraumes L2 ([0, 1]) ein Orthonormalsystem, aber keine Orthonormalbasis bilden.
Hinweis: Betrachte Funktionen mit f (x) = f (1 − x).
1
λ ist und λ ist das Lebesguesche Mass auf [0, 2π)
25. Betrachte den Raum L2 ([0, 2π), µ), wobei µ = 2π
ist. Weiters betrachte die Elemente bzw. Teilräume
en (t) := eint , n ∈ Z,
un (t) :=
M := span{en : n = 0, 1, 2, . . .},
e−n (t) + nen (t)
√
, n ∈ N,
1 + n2
N := span{un : n = 1, 2, . . .} .
Zeige:
(a) {en : n = 0, 1, 2, . . .} bzw. {un : n = 1, 2, . . .} sind Orthonormalbasen von M bzw. N .
(b) M ∩ N = {0}.
(c) M +̇N ist dicht in L2 ([0, 2π), µ), aber nicht gleich ganz L2 ([0, 2π), µ).
(d) Die Projektion des normierten Raumes X := M +̇N mit Bild M und Kern N ist nicht stetig.
26. Sei 0 < p < 1. Zeige: Ist V ⊆ Lp (0, 1) Umgebung von 0, und ist V konvex, so folgt V = Lp (0, 1).
Zeige damit, dass es keine stetige lineare Abbildung f : Lp (0, 1) → C geben kann (ausser der
Nullabildung).
Hinweis: Sei V konvexe Nullumgebung, r > 0, sodass Ur (0) := {g ∈ Lp (0, 1) : ∆(g) < r} ⊆ V . Sei
Rxi
|f (t)|p dt = n−1 ∆(f )
f ∈ Lp (0, 1). Wähle n ∈ N mit np−1 ∆(f ) < r, 0 = x0 < x1 < . . . < xn = 1 mit
xi−1
und setze gi (t) := nf (t)1[xi−1 ,xi ] , sodass f = n−1 (g1 + . . . + gn ).
27. Sei (X, k.k) ein Banachraum. Zeige, dass die Mächtigkeit einer algebraischen Basis von X als CVektorraum entweder endlich oder überabzählbar ist.
Hinweis: Zeige, dass ein linearer Teilraum Y ( X keinen inneren Punkt hat, und verwende den Satz von
Baire.
28. Ein topologischer Raum heißt lokalkompakt, wenn jeder Punkt eine Umgebungsbasis aus kompakten Mengen besitzt. Analysiere den Beweis des Satzes von Baire und zeige die folgende Variante:
Sei (X, T ) ein lokalkompakter
Hausdorff-Raum, und seien Vn , n ∈ N, offene dichte Teilmengen von
T
X. Dann ist auch n∈N Vn dicht in X.
Hinweis: Verwende anstelle von Kugeln kompakte Umgebung, und ersetze das Cauchy-Folgen-Argument
durch die endliche Durchschnittseigenschaft.
29. Sei X ein topologischer Raum und E ⊆ X. Dann ist E nirgends dicht genau dann, wenn gilt: Jede
nichtleere offene Menge enthält eine nichtleere offene Menge, die mit E leeren Schnitt hat.
30. Der Satz von Baire wird oft dazu benützt, um die Existenz pathologischer Objekte zu beweisen.
Betrachte die Menge C aller stetigen Funktionen f : [0, 1] → R versehen mit der Supremumsnorm.
Sei Xn ⊆ C die Menge jener Funktionen f , für die gilt, dass es ein t ∈ [0, 1] gibt mit |f (s) − f (t)| ≤
n|s − t|, s ∈ [0, 1]. Zeige, dass Xn in C nirgends dicht ist, und folgere, dass es eine stetige Funktion
gibt, die nirgends differenzierbar ist.
Hinweis: Verwende die vorige Aufgabe und bemerke, dass eine stetige Funktion auf [0, 1] gleichmäßig durch
Polygonzüge mit sehr steilen Anstiegen approximiert werden kann.