Mathematische Methoden für Informatiker

Mathematische Methoden für Informatiker
Prof. Dr. Ulrike Baumann
www.math.tu-dresden.de/∼baumann
11.1.2018
Ulrike Baumann
Mathematische Methoden für Informatiker
38. Vorlesung
Unabhängigkeit von Ereignissen
Bedingte Wahrscheinlichkeit
Eigenschaften
Formel von Bayes
Decodierprinzipien NND, MLD, MED
Vollständiges Ereignisfeld
Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit
Informationstheoretische Sicherheit
Beispiel
Ulrike Baumann
Mathematische Methoden für Informatiker
Unabhängigkeit von Ereignissen
Zwei Ereignisse A, B heißen (stochastisch) unabhängig,
wenn gilt:
p(A ∩ B) = p(A) · p(B)
Sind A1 , A2 , . . . , An paarweise unabhängige Ereignisse,
dann gilt:
p(A1 ∩ A2 ∩ · · · ∩ An ) = p(A1 ) · p(A2 ) · . . .· (An )
Ulrike Baumann
Mathematische Methoden für Informatiker
Bedingte Wahrscheinlichkeit, Formel von Bayes
Sind A und B zwei zufällige Ereignisse und ist p(B) > 0, so
wird die bedingte Wahrscheinlichkeit p(A|B) von A unter der
Bedingung B wie folgt definiert:
p(A|B) :=
p(A ∩ B)
p(B)
Formel von Bayes:
Sind A und B zwei zufällige Ereignisse mit p(A) > 0 und
p(B) > 0, so gilt
p(A|B) · p(B) = p(B|A) · p(A)
Seien A, B zufällige Ereignisse mit p(A) > 0 und p(B) > 0.
A, B unabhängig ⇐⇒ p(A|B) = p(A) ⇐⇒ p(B|A) = p(B)
Ulrike Baumann
Mathematische Methoden für Informatiker
Decodierprinzipien für Blockcodes C
Das empfangene Wort y wird zum Codewort cy korrigiert, falls
(1) Nearest Neighbour Decoding
(NND)
d(y , cy ) = min d(y , c)
c∈C
(2) Maximum Likelihood Decoding
(MLD)
p(y | cy ) = max p(y | c)
c∈C
(3) Minimum Error Probability Decoding
(MED)
p(cy | y ) = max p(c | y )
c∈C
Ulrike Baumann
Mathematische Methoden für Informatiker
Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit
Sei E ein Ereignisfeld über Ω und I ⊆ N eine Indexmenge.
Man nennt {Ai | i ∈ I } ein vollständigesSEreignisfeld,
falls Ai ∩ Aj = ∅ für alle i 6= j gilt und
Ai = Ω ist.
i∈I
Ein vollständiges Ereignisfeld ist also eine abzählbare Menge
von paarweise disjunkten Ereignissen, von denen eines mit
Sicherheit eintreten muss.
Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit:
Es sei {Ai | i ∈ I ⊆ N} ein vollständiges Ereignisfeld und B
ein beliebiges Ereignis mit gegebenen bedingten
Wahrscheinlichkeiten p(B|Ai ) (i ∈ I ). Dann kann man die
Wahrscheinlichkeit von B wie folgt berechnen:
X
p(B) =
p(B|Ai )p(Ai )
i∈I
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Mathematische Methoden für Informatiker
Informationstheoretische Sicherheit
Ein Kryptosystem mit der Klartextmenge M und der
Schlüsseltextmenge C heißt informationstheoretisch sicher,
wenn
∀m ∈ M ∀c ∈ C : p(m|c) = p(m)
Das Kryptosystem ist informationstheoretisch sicher genau
dann, wenn
∀m ∈ M ∀c ∈ C : p(c|m) = p(c)
Das Kryptosystem ist informationstheoretisch sicher genau
dann, wenn
∀m ∈ M ∀c ∈ C : p(m ∩ c) = p(m) · p(c)
(stochastische Unabhängigkeit von Klartext und Schlüsseltext)
Ulrike Baumann
Mathematische Methoden für Informatiker