Mathematische Methoden für Informatiker
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Mathematische Methoden für Informatiker Prof. Dr. Ulrike Baumann Fachrichtung Mathematik Institut für Algebra www.math.tu-dresden.de/∼baumann [email protected] 04.04.2017 Ulrike Baumann Mathematische Methoden für Informatiker Inhalt des Moduls Sommersemester 2017 Analysis und Anwendungen in der Numerischen Mathematik Halbgruppen und Gruppen Erste Modulprüfung: Analysis Wintersemester 2017/18 Algebra und Anwendungen in der Numerischen Mathematik Wahrscheinlichkeitstheorie Zweite Modulprüfung Ulrike Baumann Mathematische Methoden für Informatiker Prüfungen Prüfungsvorleistungen Erste Modulprüfung: (90 Minuten) Prüfungszeitraum des Sommersemesters 2017 Nach- und Wiederholungsprüfung: Prüfungszeitraum des Wintersemesters 2017/18 Zweite Modulprüfung (120 Minuten) Prüfungszeitraum des Wintersemesters 2017/18 Nach- und Wiederholungsprüfung: Prüfungszeitraum des Sommersemesters 2018 Ulrike Baumann Mathematische Methoden für Informatiker Zugelassene Hilfsmittel in Prüfungen Eigene Bücher und Skripte keine elektronischen Hilfsmittel insbesondere kein Taschenrechner Ulrike Baumann Mathematische Methoden für Informatiker Hausaufgaben Das Bearbeiten von Hausaufgaben dient dem regelmäßigen Nacharbeiten der Vorlesungsinhalte. ............................................................... Durch das Abgeben von Hausaufgaben bis zum festgesetzten Termin können Bonuspunkte für die Klausur erworben werden. Hausaufgaben, die zur Bewertung abgegeben werden können, sind auf den Übungsblättern mit A gekennzeichnet. Ein Bonus kann auch durch das Vorrechnen von Aufgaben in den Übungen erlangt werden. Ulrike Baumann Mathematische Methoden für Informatiker Inhalt der Vorlesung Analysis Folgen, Zahlenfolgen Reihen Funktionen (Stetigkeit, Ableitungen) Iteratives Lösen von Gleichungen Reihen von Funktionen (Potenzreihen, Taylorreihen, Fourier-Reihen) Integrale Gewöhnliche Differentialgleichungen Analysis mehrerer reeller Veränderlicher Algebra Halbgruppen und Gruppen Ringe, Körper Ulrike Baumann Mathematische Methoden für Informatiker 1. Vorlesung Folgen Rechnen mit Folgen Eigenschaften von Folgen: Beschränktheit Monotonie Konvergenz (Existenz eines Grenzwertes) Beispiele: explizit bzw. rekursiv definierte Folgen Ulrike Baumann Mathematische Methoden für Informatiker Folgen Eine Folge ist eine Abbildung von der Menge N der natürlichen Zahlen in eine Menge M, die jedem n ∈ N ein xn ∈ M zuordnet. Die Elemente xn werden Folgenglieder genannt. Schreibweise: (xn )∞ n=0 bzw. (xn )n∈N bzw. (xn ) Falls erforderlich, wird N durch N \ {0} ersetzt. Folgen können explizit oder rekursiv definiert sein. Für M = R bzw. M = C spricht man von reellwertigen bzw. komplexwertigen Folgen, für M = Rm von vektorwertigen Folgen. Die reellwertigen Folgen bilden einen R-Vektorraum. Die komplexwertigen Folgen bilden einen C-Vektorraum. Ulrike Baumann Mathematische Methoden für Informatiker Beschränkte Folgen Eine reellwertige oder komplexwertige Folge (xn ) heißt beschränkt, wenn es eine reelle Zahl r (> 0) mit |xn | ≤ r für alle n ∈ N gibt, und andernfalls unbeschränkt. Gilt ∃m ∈ R ∀n ∈ N : m ≤ xn , dann heißt die Folge (xn ) nach unten beschränkt und m eine untere Schranke. Gilt ∃M ∈ R ∀n ∈ N : xn ≤ M, dann heißt die Folge (xn ) nach oben beschränkt und M eine obere Schranke. Ulrike Baumann Mathematische Methoden für Informatiker Monotone Folgen Eine reellwertige Folge (xn ) heißt monoton wachsend, wenn xn+1 ≥ xn für alle n ∈ N gilt. Eine reellwertige Folge (xn ) heißt monoton fallend, wenn xn+1 ≤ xn für alle n ∈ N gilt. Im Falle von xn+1 > xn bzw. xn+1 < xn für alle n ∈ N spricht man von strenger Monotonie. Ulrike Baumann Mathematische Methoden für Informatiker Grenzwert einer Folge Eine Zahl a ∈ R (bzw. a ∈ C) heißt Grenzwert der Folge (xn ) in R (bzw. C), wenn ∀ε > 0 ∃N(ε) ∈ N ∀n ≥ N : |xn − a| < ε, wenn es also zu jeder (beliebig kleinen) Zahl ε > 0 eine (beliebig große) Zahl N ∈ N (die von ε abhängt) gibt, so dass |xn − a| < ε für alle n ≥ N gilt. Folgen, die einen Grenzwert a besitzen, heißen konvergent (die Folge konvergiert dann gegen den Grenzwert a). Ulrike Baumann Mathematische Methoden für Informatiker
