Mathematische Methoden für Informatiker
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Mathematische Methoden für Informatiker Prof. Dr. Ulrike Baumann www.math.tu-dresden.de/∼baumann 19.1.2017 Ulrike Baumann Mathematische Methoden für Informatiker 26. Vorlesung Kenngrößen von Zufallsgrößen Erwartungswert Streuung Zentrierte, normierte, standardisierte Zufallsgrößen Erwartungswert und Streuung von Zufallsvektoren Ulrike Baumann Mathematische Methoden für Informatiker Erwartungswert µ Sei X eine diskrete Zufallsgröße mit der Wahrscheinlichkeitsverteilung p(X = xi ) = pi (i = 1, 2, . . . , ∞). Dann ist der Erwartungswert E (X ) von X definiert als E (X ) := ∞ X xi · p(X = xi ), i=1 falls die Reihe ∞ P |xi | · p(X = xi ) konvergiert. i=1 Andernfalls existiert der Erwartungswert nicht. Sei X eine diskrete Zufallsgröße mit dem Erwartungswert E (X ) und a, b ∈ R. Dann gilt: E (aX + b) = a · E (X ) + b Für eine diskrete Zufallsgröße X mit dem Erwartungswert E (X ) gilt: E (X − E (X )) = 0 Den Übergang von X zu X − E (X ) nennt man Zentrieren. Ulrike Baumann Mathematische Methoden für Informatiker Streuung (Varianz) σ 2 (1) Sei X eine diskrete Zufallsgröße mit dem Erwartungswert µ = E (X ). Dann ist die Streuung von X definiert als D 2 (X ) := E ((X − µ)2 ), falls der Erwartungswert E ((X − µ)2 ) existiert. Andernfalls existiert die Streuung nicht. σ := p D 2 (X ) nennt man Standardabweichung. Verschiebungssatz: Für jede diskrete Zufallsgröße X mit der Streuung D 2 (X ) gilt: D 2 (X ) = E ((X − µ)2 ) = E (X 2 ) − µ2 Ulrike Baumann Mathematische Methoden für Informatiker Streuung (Varianz) σ 2 (2) Sei X eine diskrete Zufallsgröße mit der Streuung D 2 (X ) und a, b ∈ R. Dann gilt: D 2 (aX + b) = a2 · D 2 (X ) Für eine diskrete Zufallsgröße X mit der Streuung D 2 (X ) gilt: ! X 2 p D =1 D 2 (X ) Den Übergang von X zu √ X D 2 (X ) nennt man Normieren. X − E (X ) Für die Zufallsvariable Z := p gilt E (Z) = 0 und D 2 (X ) D 2 (Z) = 1. X − E (X ) Den Übergang von der Zufallsgröße X zu p nennt D 2 (X ) man Standardisieren. Ulrike Baumann Mathematische Methoden für Informatiker Normalverteilte Zufallsgrößen Seien µ, σ ∈ R, σ > 0. Eine (stetige) Zufallsgröße X heißt normalverteilt mit den Parametern µ und σ 2 (oder N(µ, σ 2 )-verteilt), wenn die Dichte fX die Form fX (x) = √ (x−µ)2 1 · e− 2σ2 2π · σ (x ∈ R) hat. ϕ(x; µ, σ 2 ) := √1 2π·σ Verteilungsfunktion: · e− (x−µ)2 2σ 2 Φ(x; µ, σ 2 ) := Rx ϕ(t; µ, σ 2 ) dt −∞ Ulrike Baumann Mathematische Methoden für Informatiker Zufällige Vektoren Seien X1 , . . . , Xn (n ≥ 2) Zufallsgrößen über demselben Wahrscheinlichkeitsraum. (X1 , . . . , Xn ) heißt (n-dimensionaler) zufälliger Vektor. FX (X1 , . . . , Xn )(x1 , . . . , xn ) := p(X1 < x1 , . . . , Xn < xn ) heißt Verteilungsfunktion von (X1 , . . . , Xn ). Sei n = 2. Durch FX (x) = lim (x, y ) ist die Randverteilungsfunktion y →∞ von X der gemeinsamen Verteilung von X und Y gegeben. Zufallsgrößen X and Y heißen unabhängig, wenn für alle x, y ∈ R gilt: F(X ,Y)(x,y ) = FX (x) · FY (y ) Ulrike Baumann Mathematische Methoden für Informatiker
