Mathematische Methoden für Informatiker

Mathematische Methoden für Informatiker
Prof. Dr. Ulrike Baumann
www.math.tu-dresden.de/∼baumann
19.1.2017
Ulrike Baumann
Mathematische Methoden für Informatiker
26. Vorlesung
Kenngrößen von Zufallsgrößen
Erwartungswert
Streuung
Zentrierte, normierte, standardisierte Zufallsgrößen
Erwartungswert und Streuung von Zufallsvektoren
Ulrike Baumann
Mathematische Methoden für Informatiker
Erwartungswert µ
Sei X eine diskrete Zufallsgröße mit der Wahrscheinlichkeitsverteilung p(X = xi ) = pi (i = 1, 2, . . . , ∞). Dann ist der
Erwartungswert E (X ) von X definiert als
E (X ) :=
∞
X
xi · p(X = xi ),
i=1
falls die Reihe
∞
P
|xi | · p(X = xi ) konvergiert.
i=1
Andernfalls existiert der Erwartungswert nicht.
Sei X eine diskrete Zufallsgröße mit dem Erwartungswert E (X ) und
a, b ∈ R. Dann gilt:
E (aX + b) = a · E (X ) + b
Für eine diskrete Zufallsgröße X mit dem Erwartungswert E (X ) gilt:
E (X − E (X )) = 0
Den Übergang von X zu X − E (X ) nennt man Zentrieren.
Ulrike Baumann
Mathematische Methoden für Informatiker
Streuung (Varianz) σ 2
(1)
Sei X eine diskrete Zufallsgröße mit dem Erwartungswert
µ = E (X ). Dann ist die Streuung von X definiert als
D 2 (X ) := E ((X − µ)2 ),
falls der Erwartungswert E ((X − µ)2 ) existiert. Andernfalls
existiert die Streuung nicht.
σ :=
p
D 2 (X ) nennt man Standardabweichung.
Verschiebungssatz:
Für jede diskrete Zufallsgröße X mit der Streuung D 2 (X ) gilt:
D 2 (X ) = E ((X − µ)2 ) = E (X 2 ) − µ2
Ulrike Baumann
Mathematische Methoden für Informatiker
Streuung (Varianz) σ 2
(2)
Sei X eine diskrete Zufallsgröße mit der Streuung D 2 (X ) und
a, b ∈ R. Dann gilt:
D 2 (aX + b) = a2 · D 2 (X )
Für eine diskrete Zufallsgröße X mit der Streuung D 2 (X ) gilt:
!
X
2
p
D
=1
D 2 (X )
Den Übergang von X zu √
X
D 2 (X )
nennt man Normieren.
X − E (X )
Für die Zufallsvariable Z := p
gilt E (Z) = 0 und
D 2 (X )
D 2 (Z) = 1.
X − E (X )
Den Übergang von der Zufallsgröße X zu p
nennt
D 2 (X )
man Standardisieren.
Ulrike Baumann
Mathematische Methoden für Informatiker
Normalverteilte Zufallsgrößen
Seien µ, σ ∈ R, σ > 0.
Eine (stetige) Zufallsgröße X heißt normalverteilt mit den
Parametern µ und σ 2 (oder N(µ, σ 2 )-verteilt), wenn die
Dichte fX die Form
fX (x) = √
(x−µ)2
1
· e− 2σ2
2π · σ
(x ∈ R)
hat.
ϕ(x; µ, σ 2 ) :=
√1
2π·σ
Verteilungsfunktion:
· e−
(x−µ)2
2σ 2
Φ(x; µ, σ 2 ) :=
Rx
ϕ(t; µ, σ 2 ) dt
−∞
Ulrike Baumann
Mathematische Methoden für Informatiker
Zufällige Vektoren
Seien X1 , . . . , Xn (n ≥ 2) Zufallsgrößen über demselben
Wahrscheinlichkeitsraum.
(X1 , . . . , Xn ) heißt (n-dimensionaler) zufälliger Vektor.
FX (X1 , . . . , Xn )(x1 , . . . , xn ) := p(X1 < x1 , . . . , Xn < xn )
heißt Verteilungsfunktion von (X1 , . . . , Xn ).
Sei n = 2.
Durch FX (x) = lim (x, y ) ist die Randverteilungsfunktion
y →∞
von X der gemeinsamen Verteilung von X und Y gegeben.
Zufallsgrößen X and Y heißen unabhängig, wenn für alle
x, y ∈ R gilt:
F(X ,Y)(x,y ) = FX (x) · FY (y )
Ulrike Baumann
Mathematische Methoden für Informatiker