Kleine Formelsammlung

Kleine Formelsammlung
zum Buch
Goebbels St. und Ritter St. (2011) Mathematik verstehen und anwenden. Spektrum,
Heidelberg
Grundlagen
Logik
Kommutativgesetze: A ∧ B = B ∧ A, A ∨ B = B ∨ A
Assoziativgesetze: (A ∧ B) ∧ C = A ∧ (B ∧ C), (A ∨ B) ∨ C = A ∨ (B ∨ C)
Distributivgesetze: A∧(B ∨C) = (A∧B) ∨ (A∧C), A∨(B ∧C) = (A∨B) ∧ (A∨C)
De Morgan’sche Regeln: ¬(A ∧ B) = (¬A) ∨ (¬B), ¬(A ∨ B) = (¬A) ∧ (¬B)
Folgerung: A =⇒ B := ¬A ∨ B
Äquivalenz: A ⇐⇒ B := (A =⇒ B) ∧ (B =⇒ A)
Mengenlehre
Kommutativgesetze: A ∩ B = B ∩ A, A ∪ B = B ∪ A
Assoziativgesetze: (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C), (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)
Distributivgesetze: A∩(B ∪C) = (A∩B) ∪ (A∩C), A∪(B ∩C) = (A∪B) ∩ (A∪C)
De Morgan’sche Regeln: CG (A ∩ B) = (CG A) ∪ (CG B), CG (A ∪ B) = (CG A) ∩ (CG B)
Bruchrechnung
p
Kürzen: mp
mq = q , mq 6= 0
Erweitern: pq = mp
mq , mq 6= 0
p
mq+pn
+
Addition: m
n
q :=
nq
p
mp
Multiplikation: m
n · q := nq
Division:
m
n
p
q
:=
m
n
·
q
p
=
mq
np
2
Potenzrechnung
Ganzzahliger Exponent: xn = x
· · · · · x}, x−n :=
| · x {z
n mal
1
xn ,
x 6= 0
Produkt von Potenzen: xα+β = xα xβ , [xα ]β = xαβ , x−α =
1
xα
Binomialkoeffizienten und Kombinatorik
Fakultät: n! := 1 · 2 · 3 · · · n = Πn
k=1 k, 0! := 1
n
n!
, n, m ∈ N0 mit n ≥ m
:= (n−m)!
Binomialkoeffizient: m
m! n n
n
n
+ m = n+1
Rechenregeln: m = n−m , m−1
m
P
n
k n−k
Binomischer Lehrsatz: (a + b)n = n
k=0 k a b
Binomische Formeln:
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 ,
(a − b)2 = a2 − 2ab + b2 ,
(a − b)(a + b) = a2 − b2
Kombinationen und Variationen:
Reihenfolge
unwichtig: Kombinationen
wichtig: Variationen
mit Wiederholung
n+m−1
m
m
n
ohne Wiederholung
n
n!
m := (n−m)! m!
n!
(n−m)!
Reelle Zahlen und Funktionen
1
1
1
1
1
1
+ 1!
+ 2!
+ 3!
+ 4!
+ 5!
+ · · · = 2,7182818 . . .
Euler’sche Zahl: e = 0!
Kreiszahl π = 3,14159265 . . .
Dreiecksungleichung: |a + b| ≤ |a| + |b|
Exponentialfunktion: exp(x) := ex
Rechenregeln für die Exponentialfunktion:
exp(x + y) = ex+y = ex ey = exp(x) exp(y), exp(xy) = exy = [ex ]y = [exp(x)]y ,
1
exp(0) = e0 = 1, exp(1) = e1 = e, exp(−x) = e−x = e1x = exp(x)
Natürlicher Logarithmus: ln(exp(x)) = x, x ∈ R; exp(ln(x)) = x, x > 0
Rechenregeln für den Logarithmus: ln(x) + ln(y) = ln(xy), ln(x) − ln(y) = ln xy ,
ln(1) = 0, ln(e) = 1, − ln(x) = ln x1
x
Potenz und Logarithmus zur Basis a: ax = ex ln a , loga (x) = ln
ln a
Hyperbelfunktionen:
x
−x
x
−x
sinh x
cosh x
, cosh x := e +e
, tanh x := cosh
sinh x := e −e
2
2
x , coth x := sinh x
3
Trigonometrische Funktionen:
sin x =Gegenkathete/Hypotenuse, cos x =Ankathete/Hypotenuse,
sin x
cos x
tan x = cos
x , cot x = sin x .
Umrechnung Winkel α ins Bogenmaß: α2π/360
Periode: cos(x + 2π) = cos(x), sin(x + 2π) = sin(x)
Umrechnung von Sinus zum Kosinus: sin x + π2 = cos x
Trigonometrischer Pythagoras: sin2 x + cos2 x = 1
Additionstheoreme
cos(x + y)
=
cos x cos y − sin x sin y
sin(x + y)
=
sin x cos y + cos x sin y
cos(x − y)
=
cos x cos y + sin x sin y
sin(x − y)
=
sin x − sin y
=
sin x cos y − cos x sin y
x + y
x − y
2 cos
sin
2
2
Komplexe Zahlen
Rechenregeln: j 2 = −1, (x1 + jy1 ) + (x2 + jy2 ) = x1 + x2 + j(y1 + y2 ),
(x1 + jy1 )(x2 + jy2 ) = x1 x2 − y1 y2 + j(x1 y2 + y1 x2 )
Konjugation: x + jy = x − jy, z1 + z2 = z1 + z2 , z1 · z2 = z1 · z2
x1 x2 +y1 y2
1 y2
1
+ j x2xy12 −x
Division: xx12 +jy
2
+jy2 =
x22 +y22
2 +y2
q
p
Betrag: |x + jy| := x2 + y 2 = (x + jy)(x + jy)
p
Polarkoordinaten: x + jy = rejϕ mit |ejϕ | = cos2 ϕ + sin2 ϕ = 1, r = |x + jy|,
ϕ = arccos xr = arcsin yr
Multiplikation in Polarkoordinatendarstellung: r1 ejϕ1 r2 ejϕ2 = r1 r2 ej(ϕ1 +ϕ2 )
jϕ1
Division in Polarkoordinatendarstellung: rr21 eejϕ2 = rr21 ej(ϕ1 −ϕ2 )
n
Potenzierung in Polarkoordinatendarstellung: rejϕ = rn ejnϕ
√ ϕ+2kπ
n-te Wurzeln aus rejϕ : n rej n , 0 ≤ k <
qn q p
p
p 2
p 2
2
p-q-Formel: z + pz + q = 0 ⇐⇒ z = − 2 +
−
q
oder
z
=
−
−q
−
2
2
2
Vektoren
p
Betrag: |(a1 , a2 , . . . , an )| := a21 + a22 + · · · + a2n
Skalarprodukt: (a1 , a2 , . . . , an ) · (b1 , b2 , . . . , bn )⊤ = a1 b1 + a2 b2 + · · · + an bn =
|~a||~b| cos ϕ.
4
Differential- und Integralrechnung
Grenzwerte
lim xn = ∞, n > 0;
x→∞
lim ln x = ∞;
lim
x→±∞
1
= 0;
x
lim ln x = −∞;
x→∞
x→0+
lim ex = ∞;
sin x
= 1;
x→0 x
lim
lim ex = 0;
x→∞
x→−∞
a x
1+
= ea
x→∞
x
lim
Ableitungen und Integrale
Ableitungen und Stammfunktionen elementarer Funktionen:
Ableitung
′
xk+1 = (k + 1) xk
(ln |x|)′ =
1
x
(ex )′ = ex
(sin x)′ = cos x
(cos x)′ = − sin x
(tan x)′ =
1
cos2 x
(arcsin x)′ =
√ 1
1−x2
1
(arccos x)′ = − √1−x
2
1
(arctan x)′ = 1+x
2
′
(sinh x) = cosh x
(cosh x)′ = sinh x
(tanh x)′ =
1
cosh2 x
(arsinh x)′ = √x12 +1
(arcosh x)′ =
√ 1
x2 −1
(artanh x)′ =
1
1−x2 ,
1
1−x2 ,
′
(arcoth x) =
|x| < 1
|x| > 1
Stammfunktion
R k
k+1
x dx = xk+1 + c, k 6= −1
R 1
dx = ln |x| + c
R xx
e dx = ex + c
R
cos x dx = sin x + c
R
sin x dx = − cos x + c
R 1
cos2 x dx = tan x + c
R
√ 1
dx = arcsin x + c
2
R 1−x
1
√
dx = − arccos x + c
2
R 1−x
1
2 dx = arctan x + c
R 1+x
cosh x dx = sinh x + c
R
sinh x dx = cosh x + c
R
1
dx = tanh x + c
2
Rcosh1 x
√
dx = arsinh x + C
x2 +1
√
= ln(x + x2 + 1) + c
R
√ 1
dx = arcosh x + C
x2 −1
√
= ln(x + x2 − 1) + c, x > 1
R 1
1
1+x
|x| < 1
2 dx = artanh x + c = 2 ln 1−x + c,
R 1−x
1
x+1
1
1−x2 dx = arcoth x + c = 2 ln x−1 + c, |x| > 1.
Linearität der Ableitung: (f + g)′ (x0 ) = f ′ (x0 ) + g ′ (x0 ),
Produktregel: (f g)′ (x0 ) = f ′ (x0 )g(x0 ) + f (x0 )g ′ (x0 )
(cf )′ (x0 ) = cf ′ (x0 )
5
′
f ′ (x0 )g(x0 )−f (x0 )g ′ (x0 )
g(x0 )2
Kettenregel: (f ◦ g) (x0 ) = f ′ (g(x0 ))g ′ (x0 )
′
1
Ableitung der Umkehrfunktion: f −1 (y) = f ′ (f −1
(y))
Rb ′
Berechnung mittels Fundamentalsatz: a f (x) dx = f (b) − f (a)
Rb
Rb
Rb
Linearität des Integrals: a cf (x) + dg(x) dx = a cf (x) dx + a dg(x) dx
b R
Rb
b
Partielle Integration: a f (x)g ′ (x) dx = f (x)g(x) − a f ′ (x)g(x) dx
a
Quotientenregel:
f
g
′
(x0 ) =
Substitutionsregel:
Z b
Z
f (g(x))g ′ (x) dx =
a
Z
g(b)
f (t) dt,
g(a)
β
f (t) dt =
α
Z
g −1 (β)
f (g(x))g ′ (x) dx
g −1 (α)
Laplace-Transformation
Einige Laplace-Transformierte (f (t) = 0 für t < 0, Re(s) > 0):
Zeitfunktion
Transformierte
Zeitfunktion
Transformierte
f (t)
F (s)
f (t)
F (s)
1
1
s
sinh2 (at)
exp(at)
cosh2 (at)
sin (ωt)
1
s−a , Re(s) > a
1
, Re(s)
(s−a)n+1
s
s2 +ω 2
ω
s2 +ω 2
2ω 2
s(s2 +4ω 2 )
2a2
s(s2 −4a2 ) , Re(s) > 2|a|
s2 −2a2
s(s2 −4a2 ) , Re(s) > 2|a|
s
2ω (s2 +ω
2 )2
2
2
s −ω
(s2 +ω 2 )2
s+δ
(s+δ)2 +ω 2 , Re(s) + δ >
ω
, Re(s) + δ >
(s+δ)2 +ω 2
cos2 (ωt)
s2 +2ω 2
s(s2 +4ω 2 )
δ sin(ωt)−ω sin(δt)
ωδ(δ 2 −ω 2 )
1
(s2 +ω 2 )(s2 +δ 2 ) ,
sin(ωt + ϕ)
s sin ϕ+ω cos ϕ
s2 +ω 2
s cos ϕ−ω sin ϕ
s2 +ω 2
n!
sn+1
s
s2 −a2 , Re(s)
a
s2 −a2 , Re(s)
cos(ωt)−cos(δt)
δ 2 −ω 2
sin(ωt)−ωt cos(ωt)
2ω 3
sin(ωt)+ωt cos(ωt)
2ω
s
(s2 +ω 2 )(s2 +δ 2 ) , ω
1
(s2 +ω 2 )2 , ω 6= 0
s2
(s2 +ω 2 )2 , ω 6= 0
n
t
n!
exp(at)
cos(ωt)
sin(ωt)
2
cos(ωt + ϕ)
tn
cosh(at)
sinh(at)
>a
> |a|
t sin(ωt)
t cos(ωt)
exp(−δt) cos(ωt)
exp(−δt) sin(ωt)
δ(t) (siehe
1
> |a|
Rechenregeln:
Linearität:
[L(af (t) + bg(t))](s) = a[Lf ](s) + b[Lg](s), a, b ∈ R.
Streckung:
[L(f (ct))](s) =
s
1
, c > 0.
[Lf ]
c
c
ω 6= δ,
0
0
ω, δ 6= 0
6= δ
6
Dämpfung:
[L(exp(−at)f (t))](s) = [Lf ](s + a), a > 0.
Ableitung: Sei f zusätzlich stetig differenzierbar auf [0, ∞[:
[L(f ′ )](s) = s[Lf ](s) − f (0).
Für höhere Ableitungen gilt für n-mal auf [0, ∞[ stetig differenzierbares f iterativ:
[L(f (n) )](s)
=
sn [Lf ](s) − f (n−1) (0) − sf (n−2) (0) − · · · − sn−1 f (0)
=
sn [Lf ](s) −
n−1
X
sk f (n−1−k) (0).
k=0
Faltung:
[L(f ∗ g)](s) = [Lf ](s) · [Lg](s),
wobei hier die Faltung definiert ist über
Z t
Z ∞
Z
(f ∗ g)(t) :=
f (t − u)g(u) du =
f (t − u)g(u) du =
0
0
∞
−∞
f (t − u)g(u) du.
Beschreibende Statistik
n
Arithmetisches Mittel: x = x1 +x2 +···+x
n
Median der Werte x1 , x2 ,. . . , xn :


x n+1 ,
2
Z :=
 1 x n + x n +1 ,
2
2
2
falls n ungerade
falls n gerade
Pn
2
1
Empirische Varianz: s2 := n−1
i=1 (xi − x)
Empirische Kovarianz der Wertepaare (x1 , y1 ), (x2 , y2 ),. . . , (xn , yn ):
n
Cov(X, Y ) := sxy :=
1 X
(xi − x)(yi − y).
n−1
i=1
Wahrscheinlichkeitsrechnung
Bedingte Wahrscheinlichkeit (Wahrscheinlichkeit, dass E eintritt, wenn bekannt
(E∩F )
ist, dass F eintritt): P (E|F ) := P P
(F )
Unabhängig Ereignisse: P (E ∩ F ) = P (E)P (F )
7
Totale Wahrscheinlichkeit und Satz von Bayes für elementfremde Ereignisse Ej ,
die zusammen Ω ergeben:
P (A) =
n
X
P (A|Ej )P (Ej )
j=1
P (Ek |A) =
P (Ek ∩ A)
P (A|Ek )P (Ek )
= Pn
P (A)
j=1 P (A|Ej )P (Ej )
Hypergeometrische Verteilung: Von N Teilen sind M ≤ N markiert. Ohne
Zurücklegen werden n gezogen. Davon sind X markiert:
N −M M
P (X = m) =
m
n−m
N
n
Binomialverteilung: Ereignis tritt X mal bei n unabhängigen Experimenten ein:
n
P (X = k) =
pk (1 − p)n−k
k
Poisson-Verteilung für seltene Ereignisse:
λk
exp(−λ).
k!
P
P
Erwartungswert: E(X) := x∈X(Ω) xP X ({x}) = x∈X(Ω) xP (X = x)
Varianz: Var (X) := E([X − E(X)]2 )
P (X = k) =
http://www.springer.com/978-3-8274-3007-6