Konsequenzen aus dem Fundamentalsatz der Algebra

KAPITEL 10
Konsequenzen aus dem Fundamentalsatz der Algebra
Satz 10.1 (Fundamentalsatz der Algebra). Ist f ∈ C[x] nicht konstant, so hat
f eine Nullstelle.
Ohne Beweis
1. Der Satz von Schur
Satz 10.2. Es sei f ∈ K[x] nichtkonstant.
a) Ist K = C, so hat jeder irreduzible Faktor von f den Grad 1.
b) Ist K = R, so hat jeder irreduzible Faktor von f den Grad 1 oder 2.
Satz 10.3 (Satz von Schur). Ist A ∈ Cn×n , so gibt es ein U ∈ Un (C), so dass
U AU −1 eine obere Dreiecksmatrix ist.
⊤
Satz 10.4. Ist A = A ∈ Cn×n , so gibt es ein U ∈ Un (C), so dass U AU
reelle Diagonalmatrix ist.
⊤
eine
Satz 10.5. Ist A ∈ Cn×n hermitesch, so ist sie genau dann positiv definit, wenn
alle Eigenwerte positiv sind.
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2. Von C nach R
Satz 10.6. Ist n ungerade, so hat A ∈ Rn×n einen reellen Eigenwert.
Satz 10.7. Ist A = A⊤ ∈ Rn×n , so gibt es ein Q ∈ On (R), so dass QAQ⊤ eine
reelle Diagonalmatrix ist.
Korollar 10.8. Eine reelle symmetrische Matrix A = A⊤ ∈ Rn×n ist genau
dann positiv definit, wenn sie nur positive Eigenwerte hat.
3. Reelle Quadriken
Definition 10.9. Eine Abbidlung der Form
X
f : Rn → R, (x1 , x2 , . . . , xn ) 7→
αk1 ,...,kn xk1 xk1 . . . xkn
mit 0 ≤ ki ≤ N, k1 + · · · + kn ≤ N nennt man Polynom in n-Variablen.
Ist ak1 ,...,kn 6= 0 für mindestens ein Tupel (k1 , . . . , kn ) mit k1 + · · · + kn = N
so nennt man N den Grad des Polynoms. Die Menge aller Polynome in n
Variablen bezeichnet man mit R[x1 , . . . , xn ].
Definition 10.10. Die Lösungesmenge Lf (x)=0 der Gleichung f (x1 , . . . , xn ) =
0 mit f ∈ R[x1 . . . , xn ] mir Grad höchstens 2 nennt man Quadrik.
Lemma 10.11. Ist Q eine Quadrik in Rn , so gibt es ein A ∈ Rn×n mit A = A⊤ ,
ein b ∈ Rn und ein α ∈ R, so dass
Q = {x ∈ Rn | x⊤ Ax + b⊤ x + α = 0}.
Satz 10.12. Es sei Q = {x ∈ Rn | x⊤ Ax + b⊤ x + α = 0} mit A = A⊤ ∈ Rn×n ,
b ∈ Rn und α ∈ R.
a) Es gibt es eine Euklidische Bewegung f , so dass
f (Q) = {y ∈ Rn | λ1 y12 + b̃1 y1 + · · · + λn zn2 + b̃n yn + α = 0}.
für geeignete b̃1 , . . . , b̃n . Hierbei sind λ1 , . . . , λn die Eigenwerte von A.
b) Ist Rang A = n so gibt es eine Euklidische Bewegung f , so dass
f (Q) = {z ∈ Rn | λ1 z12 + · · · + λn zn2 + α̃ = 0}.
Hierbei sind λ1 , . . . , λn die Eigenwerte von A.