Analysis I und II

Institut für Mathematik
Achim Ilchmann
Leslie Leben
Tilman Selig
9. Juli 2012
Analysis I und II
WS+SS 2011/12
Konsultationsaufgaben
Aufgabe 1: (a) Es sei P(X) die Potenzmenge einer Menge X. Zeige, dass auf P(X)
durch
M N :⇔ M ⊂ N
eine Ordnungsrelation gegeben ist. Zeige, dass (P(X), ) im Allgemeinen keine
total geordnete Menge ist.
(b) Seien M, N ∈ P(X) und M ∩ N = ∅. Zeige, dass bezüglich der Ordnungsrelation gilt: sup{M, N } = M ∪ N .
Aufgabe 2: Es sei f : X → Y eine Abbildung zwischen den nicht leeren Mengen X und
Y . Zeige die Äquivalenz der folgenden Aussagen:
(i) f ist injektiv,
(ii) ∀A ⊂ X : f −1 (f (A)) = A,
(iii) ∀A, B ⊂ X : f (A ∩ B) = f (A) ∩ f (B).
Aufgabe 3: Wir betrachten die Abbildung f : C → R, z 7→ Re(z 2 ).
(a) Untersuche die Abbildung f auf Injektivität und Surjektivität und bestimme
f −1 ({0, 9}).
(b) Ist f nach oben/unten/auf beschränkten Mengen beschränkt?
(c) Ist f stetig?
Aufgabe 4: Es sei A ⊂ R definiert durch
1
1
+ : m, n ∈ N \ {0}
A=
2m n
Man bestimme das Supremum und das Infimum von A, sowie Maximum und Minimum,
falls diese existieren.
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Aufgabe 5: Es seien (X, d) ein vollständiger metrischer Raum und (xn )n∈N eine Folge
in X. Des Weiteren existiere ein α ∈ (0, 1) mit
d(xn+1 , xn ) ≤ αd(xn , xn−1 ),
∀n ∈ N \ {0}.
Beweise, dass (xn )n∈N konvergiert!
Aufgabe 6: X sei ein Vektorraum.
(a) Zeige, dass zwei Normen k · k1 und k · k2 genau dann äquivalent sind, wenn gilt:
Konvergiert eine Folge (xn ) ∈ X N gegen x ∈ X bezüglich k · k1 , so konvergiert sie
auch bezüglich k · k2 gegen x, und umgekehrt.
(b) Zeige, dass zwei äquivalente Normen k · k1 und k · k2 durch di (x, y) := kx − yki ,
i = 1, 2, äquivalente Metriken induzieren!
Aufgabe 7: Für welche a ∈ R konvergieren die Reihen
(a)
∞
X
k=1
a2k
,
(1 + a2 )k−1
(b)
∞
X
1 − a2k
k=0
1+a
,
2k
(c)
∞
X
(−1)k
k=0
ak
?
Aufgabe 8: Man beweise, dass für den Konvergenzradius ρ einer Potenzreihe
mit ak 6= 0 für k ∈ N gilt:
ak .
ρ ≤ lim sup ak+1 k→∞
P
ak z k
Aufgabe 9: Es sei (X, d) ein metrischer Raum. Beweise oder widerlege die folgenden
Aussagen:
(b) (A ∩ B)◦ = A◦ ∩ B ◦ ,
(a) (A ∩ B) = A ∩ B,
(d) (A ∪ B)◦ = A◦ ∪ B ◦ .
(c) (A ∪ B) = A ∪ B,
Aufgabe 10: (a) Es sei X ein kompakter metrischer Raum und Y ⊂ X. Beweise, dass
Y genau dann kompakt ist, wenn Y abgeschlossen ist!
(b) Es seien K ein kompakter und Y ein beliebiger metrischer Raum. f : K → Y sei
stetig und bijektiv. Zeige, dass f −1 : Y → K stetig ist!
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Aufgabe 11: Es sei X ⊂ Rn . X und {0, 1} versehen mit der euklidischen Metrik von
Rn bzw. R sind metrische Räume. Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind:
(a) X ist zusammenhängend.
(b) Es gibt keine surjektive, stetige Abbildung f : X → {0, 1}.
Aufgabe 12: Sei I ⊂ R ein kompaktes Intervall und f : I → I eine stetige Abbdildung.
(a) Zeige, dass f mindestens einen Fixpunkt besitzt, d.h. ∃x ∈ I :
f (x) = x.
(b) Gilt die Aussage von (a) auch, wenn I nicht kompakt ist?
Aufgabe 13: (a) Man zeige, dass die Abbildung f : C → C, z 7→ z̄ in keinem Punkt
differenzierbar ist.
(b) In welchen Punkten ist die Funktion f : C → C, z 7→ zz, differenzierbar?
Aufgabe 14: Bestimme die Taylorentwicklung von f : C → C im Punkt 1 für
(a) f (z) = 3z 3 − 7z 2 + 2z + 4,
(b) f (z) = ez .
Aufgabe 15: Es sei X ein vollständiger metrischer Raum, und für f : X → X bezeichne
f n die n-fach iterierte Abbildung von f , d.h. f 0 := idX und f n := f ◦ f n−1 , n ∈ N \ {0}.
Weiterhin gebe es für jedes n ∈ N ein qn ≥ 0 mit
d(f n (x), f n (y)) ≤ qn d(x, y),
für alle x, y ∈ X.
Zeige: Ist (qn ) eine Nullfolge, so besitzt f einen Fixpunkt in X.
Aufgabe 16: Entscheide, welche der Funktionenfolgen (fn ) auf X := (0, 1) gleichmäßig
konvergieren, wenn fn (x) gegeben ist durch
1
(a) x n ,
(b)
1
,
1 + nx
(c)
x
.
1 + nx
Aufgabe 17: Untersuche die folgenden Reihen auf normale Konvergenz auf dem Intervall (−1, 1):
(a)
∞
X
n=2
1
,
n(x − n)
(b)
∞
X
xn
n=1
n
,
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Aufgabe 18: Es seien E ein Banachraum und −∞ < a < b < ∞. Gegeben sei eine Folge
(fn ) ⊆ C 1 ([a, b], E), für die die Folge (fn0 ) gleichmäßig konvergiere. Weiterhin gebe es ein
x0 ∈ [a, b], für welches (fn (x0 ))n∈N konvergiert. Zeige, dass dann auch (fn ) bezüglich der
Supremumsnorm konvergiert.
Aufgabe 19: Es seien D ⊆ C ein Gebiet in C sowie f ∈ C ω (D, C). Zeige:
(a) Gilt f 0 (x) = 0 für alle x ∈ D, so ist f konstant auf D.
(b) Gilt eine der Bedingungen
(i) Re(f ) ist konstant,
(ii) Im(f ) ist konstant,
(iii) f ∈ C ω (D, C),
so ist f konstant.
Aufgabe 20: Es seien −∞ < a < b < ∞ und R([a, b], R) der Raum der Regelfunktionen
von [a, b] nach R. Für f : [a, b] → R sei f + := max{f, 0} und f − := max{−f, 0}. Dann
gilt f = f + − f − . Zeige: Ist f ∈ R([a, b], R), so sind auch f + , f − ∈ R([a, b], R) und es
gilt
Zb
Zb
f (x) dx ≤
a
a
f + (x) dx
Zb
und
−
Zb
f (x) dx ≤
a
a
f − (x) dx.