Testvorbereitung: Exakte DGL

Testvorbereitung: Exakte DGL
Markus Nemetz, [email protected], TU Wien, 12.02.2007
1 Theoretische Grundlagen
Eine DGL der Form
f (x, y) d x + g(x, y) d y = 0
ist dann eine exakte DGL, wenn gilt:
d f (x, y)
d g(x, y)
=
y
x
Das ist die Integrabilitätsbedingung. Ist diese gegeben, kann man die Lösung der DGL
aus folgender Formel errechnen:
Z
( f (x, y) d x)y + c0 (y) = g(x, y)
In der Folge integriert man dann nach y und hat einen Term c(y) = · · ·+c. Die allgemeine
Lösung lautet:
Z
f (x, y) d x + [c(y) = · · · + c]
2 Beispielangaben
2.1 Beispiel 1
Quelle: http://www.risc.uni-linz.ac.at/people/wwindste/Teaching/LogikAlsArbeitssprache/
SS04/Papers/0255913+0255621.pdf, S.3.
(2x3 + 3y) d x + (3x + y − 1) d y = 0
2.2 Beispiel 2
Quelle: http://www.wurzelzieher.de/Exakte_Differentialgleichungen.aspx, Beispiel
1.
4x3 y + (y 2 + x4 )y 0 = 0
2.3 Beispiel 3
Quelle: http://www.wurzelzieher.de/Exakte_Differentialgleichungen.aspx, Beispiel
2.
x
y0 =
y
1
2.4 Beispiel 4
Quelle: http://www.wurzelzieher.de/Exakte_Differentialgleichungen.aspx, Beispiel
3.
2
y + (x + )y 0 = 0
y
2.5 Beispiel 5
Quelle: Meyberg und Vachenauer, Höhere Mathematik 2, 4. Auflage, Springer, Berlin
2001, S. 30, Beispiel 1.a.
2x y 2 − 3x2 0
+
y = 0,
y3
y4
y(1) = 1
2.6 Beispiel 6
Quelle: Meyberg und Vachenauer, Höhere Mathematik 2, 4. Auflage, Springer, Berlin
2001, S. 30, Beispiel 1.b; Übungsrunde 1, Beispiel 5.
cos x · cos y − (sin x · sin y + y 2 )y 0 = 0
2
3 Lösungen
3.1 Beispiel 1
Quelle:
(2x3 + 3y) d x + (3x + y − 1) d y = 0
Prüfen der Integrabilitätsbedingung:
A = 2x3 + 3y,
B = 3x + y − 1,
dA
dB
=
dy
dx
dA
=3
dy
dB
=3
dx
√
Berechnen nach der Formel in Einleitung:
Z
( (2x3 + 3y) d x)y + c0 (y) = 3x + y − 1
x4
( + 3yx)y + c0 (y))3y + y − 1
|2 {z }
¨
3x + c0 (y) = 3x + y − 1
Z
0
c (y) = y − 1
|
c(y) =
y2
−y+c
2
Allgemeine Lösung:
y=
x4
y2
+ 3yx +
−y+c
|2 {z } 2
¨
3
3.2 Beispiel 2
4x3 y + (y 2 + x4 )y 0 = 0
Prüfen der Integrabilitätsbedingung:
dA
= 4x3
dy
dB
= 4x3
B = y 2 + x4 ,
dx
√
dA
dB
=
dy
dx
A = 4x3 y,
Berechnen nach der Formel in Einleitung:
Z
( 4x3 y d x)y + c0 (y) = y 2 + x4
( x4 y )y + c0 (y) = y 2 + x4
|{z}
¨
4
x + c0 (y) = y 2 + x4
Z
0
2
c (y) = y
|
c(y) =
y3
+c
3
Allgemeine Lösung:
y3
+c
y = x4 y +
|{z} 3
¨
4
3.3 Beispiel 3
y0 =
x
y
Umformen (·y):
x + y0y = 0
Prüfen der Integrabilitätsbedingung:
dA
=0
dy
dB
=0
B = y,
dx
√
dB
dA
=
dy
dx
A = x,
Berechnen nach der Formel in Einleitung:
Z
( x d x)y + c0 (y) = y
x2
)y + c0 (y) = y
(
2
|{z}
¨
Z
0
c (y) = y
|
c(y) =
y2
+c
2
Allgemeine Lösung:
y=
x2 y2
+c
+
2
2
|{z}
¨
5
3.4 Beispiel 4
2
y + (x + )y 0 = 0
y
Prüfen der Integrabilitätsbedingung:
dA
=1
dy
2
dB
B =x+ ,
=1
y
dx
√
dB
dA
=
dy
dx
A = y,
Berechnen nach der Formel in Einleitung:
Z
2
( y d x)y + c0 (y) = x +
y
2
( xy )y + c0 (y) = x +
|{z}
y
¨
2
x + c0 (y) = x +
y
Z
2
c0 (y) =
|
y
c(y) = 2 ln y + c
Allgemeine Lösung:
y = xy +2 ln y + c
|{z}
¨
6
3.5 Beispiel 5
2x y 2 − 3x2 0
+
y = 0,
y3
y4
y(1) = 1
Prüfen der Integrabilitätsbedingung:
2x
,
y3
dA
6x
=− 4
dy
y
2
2
2
y − 3x
dB
y
3x2
6x
B=
,
=
(
−
)x = − 4
y4
dx
y4
y4
y
√
dA
dB
=
dy
dx
A=
Berechnen nach der Formel in Einleitung:
Z
y 2 − 3x2
2x
0
d
x)
+
c
(y)
=
(
y
y3
y4
2
2
y − 3x2
x
( 3 )y + c0 (y) =
y
y4
|{z}
¨
−
3x2
y 2 3x2
0
+
c
(y)
=
− 4
y4
y4
y
Z
1
c0 (y) = 2
|
y
1
c(y) = − + c
y
Allgemeine Lösung:
y=
1
x2
− +c
3
y
y
|{z}
¨
Spezielle Lösung für Anfangsbedingung y(1) = 1:
1=
1 1
− +c
⇒
1 1
1
x2
y = 3 − +1
y
y
|{z}
¨
7
c=1
3.6 Beispiel 6
cos x · cos y − (sin x · sin y + y 2 )y 0 = 0
Prüfen der Integrabilitätsbedingung:
cos x · cos y − (sin · sin y + y 2 ) · y 0 = 0
∂A
A(x, y) = cos x · cos y
= cos x · (− sin y)
∂y
∂B
= cos x · (− sin y)
B(x, y) = (−1) · (sin x · sin y + y 2 )
∂x
∂A
∂B
=
⇒
exakte DGL liegt vor
∂y
∂x
Bestimmung einer Stammfunktion (Ux = A, Uy = B):
1.
Ux (x, y) =
Z
A(x, y) dx + c(y) =
Z
cos x · cos y dx + c(y) = sin x · cos y + c(y)
2.
Z
Uy (x, y) = ( A(x, y) dx)y + c0 (y) = B(x, y)
(sin x · cos y)y + c0 (y) = − sin x · sin y + y 2
− sin x · sin y + c0 (y) = − sin x · sin y + y 2
c0 (y) = y 2
3.
c(y)0 = y 2 |
Z
⇒
c(y) =
y3
+c
3
Allgemeine Lösung somit:
U(x, y) = sin x · cos y + c(y) = sin x · cos y +
Lösung des AWPs:
y(0) = 1
⇒
sin 0·
1
1
cos1 + + c = 0
⇒
c=−
3
3
y3 1
sin x · cos y +
−
3
3
8
y3
+c
3